第三节 z变换
? Z变换的思想来源于连续系统
? Z变换在采样系统中的作用与 L变换在连续系
统中的作用等效
? Z变换可以看作是采样函数 L变换的一种变形
? 本节主要内容介绍,
1,离散信号的 L变换
2,离散信号的 z变换
3,z变换的方法
4,z变换的性质
5,z反变换
一离散信号的 L变换与 z变换
? 连续信号 f(t)经采样后得到采样函数 f*(t)
? L变换公式,
? 将上述采样信号进行 L变换可得,
?
?
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0
)()()(
k
kTtkTftf ?
? ? ??? 0 )()}({)( dtetftfLsF st
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)2()()0(
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*)()()}({)(
k
n T s
TsTs
Ts
Tss
st
k
ekTf
eTfeTff
dteTtTf
dteTtTfdtetf
dtekTtkTftfLsF
?
??
??
?
（ 1）
离散信号的 z变换
? 引入 z变量,
? 那么就可以得到离散信号的 z变换
? 上述两个公式均表示为采样信号 f*(t)的 L变
换，不同之处就在于定义域 s和 z；
? 将 z变换公式和 L变换公式比较可知，二者
一致，说明 z变换在采样系统中的作用等价
与 L变换在连续系统中的作用
Tsez ?
?
?
?
?? ??
0
* )()()}({
k
nzkTfzFtfz （ 2）
? 注意,F(z)实际上只是采样函数 f*(t)的 z变换，
而不是连续函数 f(t)的 z变换。
? 一对多 一对一
连续函数 采样函数 z变换函
数
f1(t)
f2(t)
t
f(t)
二 z变换方法
1。级数求和法（亦称定义法）
例：给定斜坡函数 attf ?)(
21
1
211
1
)1(
)321(
))(()(
?
?
???
?
?
?
?
?
????
??? ?
z
k T z
zzk T z
zak TtfzzF
k
k
?
2。部分分式法（查表法）
s域 时域 z
域
则相应地,
11 1,)( ??
?
? ?
????? ?
ze
aea
ps
a
ps
asG
Tp
itpi
i
in
i i
i
i
i
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??
?
? ?????
n
i
Tp
i
n
i
Tp
i
ze
a
ez
zatfZzG
ii 1 11 1
)]([)(
例,求传递函数 的 z变换。
解：部分分式法
))(()( bsas
absG
??
??
bTaT
ez
z
ez
z
bsas
Z
bsas
ab
ZsGZzG
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
]
11
[
]
))((
[)]([)(
三 z变换的性质
1，线性
2，位移
3，初值
4，终值
（只有 时 x(k)收敛情况下才能应用）
)()()]()([ 22112211 zXazXatxatxaZ ???
])()([)]([
)()]([
1
0
?
?
?
?
?
???
??
m
k
km
m
zkXzXzmTtxZ
zXzmTtxZ
)(lim)0( zXx z ???
? ? )()1(lim)()1(lim 1
11
zXzzXzx
zz
?
??
?????
??k
5，复位移：序列加权后的 z变换等价于 z平
面尺度的缩展
6,卷积
)(])([ Tt zeXetxZ ?? ???
)()()](*)([ 2121 zXzXtxtxZ ?
四 z反变换
1，幂级数法（长除法）
例
适用于简单函数，但难以求闭式解。
2，部分分式法
...73
)2)(1(
)( 321 ????
??
? ??? zzz
zz
zzX
k
m
m
m
m m
m
m m
m zAtx
zz
zAzX
zz
A
z
zX ??? ?
?
?
?
? )(,)(,)(
作业
? A－ 6－ 2
? A－ 6－ 3
? A－ 6－ 6
? A－ 6－ 8