固体物理学_黄昆 _第四章 能带理论 _20040920 §4 .7 能态密度和费密面 1. 能态密度函数 原子中的电子的能量是一系列分立的能级，在固体中电子的能量由一些准连 续的能级形成的能带。 能量在 EEE ?+~ 之间的能态数目 Z? 能态密度函数： 0 ( ) lim E Z NE E ?→ ? = ? 在 k K 空间， 根据 构成的面为等 能面，如图 XCH004_036 所示。 由 ConskE =)( K EEandE ?+ 围成的体积为 V? ，状 态 在 k K 空间是均匀分布的 其密度： 3 )2( π V ——动量标度下的能态密度 则可以将 EEE ?+~ 之间的能态数目表示为： ∫ = dSdk V Z 3 )2( π ? dk 表示两个等能面间的垂直距离，显然有： EEdk k ?=? 将 E E dk k ? = ? 代入 ∫ = dSdk V Z 3 )2( π ? 得到： E E dSV Z k ? π ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ∫3 )2( 能态密度： ∫ ? = E dSV EN k 3 )2( )( π 如果考虑到电子的自旋，能态密度： ∫ ? = E dSV EN k 3 4 )( π 1) 自由电子的能态密度 电子的能量： m k kE 2 )( 22 = K = ，在 k K 空间等能面是半径 2mE k = = 的球面，如图 XCH004_044_01 在球面上 dk dE E k =? ， m k E k 2 = =? ，在球面上为一常数。 REVISED TIME: 05-4-21 - 1 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第四章 能带理论 _20040920 能态密度： ∫ ? = E dSV EN k 3 4 )( π ∫ ? = dS E V EN k 3 4 )( π 2 23 4 4 )( k k mV EN π π ?= = 将 2mE k = = 代入得到： 2 1 2 3 22 ) 2 ( )2( 2 )( E mV EN =π = ——能量标度下的能态密度 2) 近自由电子的能态密度 晶体的周期性势场对能量的影响表现在布里渊区附近。 等能面的变化 考虑第一布里渊区的等能面的情况， 对于二维正方格子， 波矢在接近布里渊区的 A 点时， 能量受到 周期性的微扰而下降， 等能面将向边界凸现。 在 A 点到 C 点之间， 等能面不再是完整的闭合面， 而 是分割在各个顶点附近的曲面，如图 XCH004_038。 能态密度的变化 随着 k 接近布里渊区，等能面不断向边界凸现，两个等能面之间的体积不断增大，能态密度较自由 电子的将显著增大。 在 A 点到 C 点之间， 等能面发生残缺， 达到 C 点时， 等能面缩成一个点， 因此 能态密度将不断减小直到为零。如图 XCH004_037。 REVISED TIME: 05-4-21 - 2 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第四章 能带理论 _20040920 第二布里渊区能态密度 在 E 越 过第一 布里 渊区的 A 点，从 B 点开 始能 态密 度由零 迅速 增大。图 XCH004_039_01 和图 XCH004_039_02 表示了能带重叠和不重叠两种情况下，能态密度的变化。 3) 紧束缚模型的电子能态密度 对于简单立方格子的 s 带 )coscos(cos2)( 10 akakakJEkE zyx s ++?= 附近，0=k )( 2 )( 222 * 2 min zyx kkk m EkE +++= = ——等能面为球面，与自由电子相似 0= z k 截面的等能面如图 XCH004_040 所示。 随着 E 的增大，等能面与近自由电子的情况类似。 )sinsin(sin2 1 akakakaJE zyxk ++=? 能态密度 (函数曲线如图 XCH004_041 所示 )： REVISED TIME: 05-4-21 - 3 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第四章 能带理论 _20040920 3 1 () 8 (sin sin sin ) xy VdS NE aJ ka ka kaπ = ++ ∫ 等能面z 带底 和 10 6JEE ?= 10 2JEE ?= 出现微商不连续的奇点 —— 等能面与布里渊区相交。 X 点 )0,0,( a K π = 的能量： ，其所在的等能面如图 XCH004_042 所示 10 2JEE X ?= 0 EE= 的等能面如图 XCH_004_043 所示。 2. 费米面 1) 如果固体中有 N 个自由电子， 按照泡利原理它们基态是由 N 个电子由低到高填充的 N 个量子态。 电子的能级： m k kE 2 )( 22 = K = 则 N 个电子在 k K 空间填充一个半径为 的球，球内包 含 N 个状态数： F k 3 3 3 4 )2( 2 F k V N π π ×= 球的半径： 3/13/1 )() 8 3 (2 V N k F π π= ， 3/1 ) 8 3 (2 π π n k F = 费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度 费米球：在波矢空间以 2 F F mE k = = 为半径做出的球 面，如图 XHC004_044 所示。 REVISED TIME: 05-4-21 - 4 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第四章 能带理论 _20040920 费米能量： 22 2 F F k E m = = 费米球半径： 2 F F mE k = = 费米动量： ， FF kp K = K = 2 FF p mE= 费米速度： m p v F F K K = 费米温度： ， FBF TkE = B F F k E T = 自由电子球半径 ： s r 3 3 41 s r nN V π== ， 3/1 ) 4 3 ( n r s π = 简单计算可以得到： 3/1 ) 8 3 (2 π π n k F = ， s F r k 92.1 = sm arm p v s F F /10 / 20.4 6 0 ×== —— 氢原子基态玻尔半径： ma -10 0 10529.0 ×= 22 2 F F k E m = = ， 2 0 )/( 1.51 ar eV E s F = —— 1.5 ~ 10eV eV 2) 晶体中的电子 满带：电子占据了一个能带中所有的状态，称该能带为满带。 空带：没有任何电子占据（填充）的能带，称为空带； 导带：一个能带中所有的状态没有被电子占满，即不满带，或说最下面的一个空带； 价带：导带以下的第一个满带，或者最上面的一个满带； 禁带：两个能带之间，不允许存在的能级宽度，称为禁带，或带隙。 单电子的能级由于周期性势场的影响而形成一系列的准连续的能带， N 个电子填充这些能带中最低 的 N 个状态。 REVISED TIME: 05-4-21 - 5 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第四章 能带理论 _20040920 对于半导体和绝缘体 电子刚好填满最低的一系列能带， 形成满带 （价带） ， 导 带 （最下面的空带） 中没有电子。 对于半导 体禁带（带隙）的宽度较小 : ~1 eV。如图 XCH005_011 所示。 —— 对于绝缘体禁带（带隙）的宽度较宽 : ~10 eV。 对于金属 电子除了填满一系列的能带形成满带，还部分填充了其它能带形成导带。 在这种情况 下，电子填 充的最高能 级为费密能 级，位于一 个或几个能 带范围内， 因此在不同 的能带 中，在 k 空间形成不同的费密面。 对于碱金属， 具有体心立方格子， 每个原胞内有一个原子， 由 N 个原子构成的晶体， 各满层电子的 能级相应地分成 2N 个量子态的能带，内层电子刚好填满了相应的能带。 —— 例如 的能级，原子的量子态数为 8，电子填充数为 8 个。形成晶体后相应的能带 2s（ 1 个） 、 2p（ 3 个） ，共 4 个能带，每个能带所容许的量子态 2N，共有 8N 个量子态。因此刚好可以填 充 8N 个电子。 2n = 对于 ns 态所对应的能带可以填充 2N 电子， N 个原子只有 N 个自由电子。 因此只填充了半个能带而形成导带。 所以碱金属 为典型的金属导体，对应的费米面没有与布里渊区界面相交， 因而费米面接近球面。 对于二价碱土金属， 最外层有 2 个 s 态电子， 似乎刚好填充满 和 s 相应的能带。 但由于与 s 对应的能带和上面的能带发生重 叠， 2N 个尚未填充满与 s 态对应的能带，就开始填充上面的 能带， 形成两个能带都是部分填充， 因此碱土金属为金属导体。 REVISED TIME: 05-4-21 - 6 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第四章 能带理论 _20040920 如图 XHC004_045 所示。第一布里渊区中的状态尚未填满，第二布里渊区已填充电子，此时的费米 面由两部分构成。 具有金刚石结构的 IVB 族元素 C、 Si 和 Ge 电子的填充 IVB 原子外层有 4 个电子， 形成晶体后成键态 对应 4 个能带在下面， 反 键态对应 4 个能带在 上面。 每个能带可容纳 2N 个电子， 成键态的 4 个能带刚好可以容纳 8N 电子。在金刚石结 构晶体中， 每个原胞有两个原子， 共 8 个电子。 所以晶体中的 8N 个电子全部填充在成键态的 4个能带中形成满带， 反键 态则是导带 （ 空带） 。 Si 和 Ge 为半 导体 ，金刚 石为 绝缘体 。如 图 XHC004_030 所示。 —— 能态密度的实验结果 用 X 射线可以将原子内层的电子激发， 因而产生空的内层能级， 当外层电子 （导带中的电子） 跃 迁 填充内层能级时发射出 X 射线光子。 如图 XCH004_052 所示， 用 X 射线将 Na 原子的内层电 子激发产生诸如 1s、 2s 和 3p 等空的内层能级。 —— K表示导带中的电子到 1s 能级的跃迁 —— L I 表示导带中的电子到 2s能级的跃迁 —— L II 表示导带中的电子到 2p能级的跃迁 —— L III 表示导带中的电子到 3s能级的跃迁 因为导带中电子能量从带底能量到最高能量 ， 各种能 量的电子均可发生跃迁产生不同能量的 X 光子， 所以发射出 X 光子能量形成一个连续能量谱。 发射 的 X 光子能量可以通过实验测得。 0 E X 光子发射强度决定于： （能态密度）×（发射几率） —— 根据不同固体的 X 光子发射谱可以获知能态密度的信息 —— 图 XCH004_053_01~05 是金属 Na、 Mg、 Al 和非金属金刚石、硅的实验结果。 REVISED TIME: 05-4-21 - 7 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第四章 能带理论 _20040920 —— 在低能量区域 金属 Na、 Mg、 Al 和非金属金刚石、 硅的 X 光子发射能量逐渐上升的 —— 反映了电子的能量从带 底逐渐增大，其能态密度逐渐增大的规律。 —— 在高能量的一端 金属 Na、 Mg、 Al 的 X 光子发射谱陡然下降 —— 反映了导带未被电子填充满， 最高能量的电子对 应的能态密度最大。 非金属金刚石、硅的 X 光子发射谱逐渐下降 —— 反映了电子填充了导带中所有的状态，即满带。 而在满带顶对应的布里渊区附近，电子的能态密度逐渐降为零。 REVISED TIME: 05-4-21 - 8 - CREATED BY XCH