固体物理学 _黄昆 _第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动 _20050406
第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动
V 问题的提出
晶体中的电子在外加场的作用下，外场可以是电场、磁场、掺入杂质势场等，如何描述电子的运动？
如果外场与晶体的势场相比弱许多，可以用电子在晶体周期性势场中的本征态为基础进行讨论。
V 方法一 —— 求解在外加势场时电子的薛定谔方程
2
2
[()]
2
Vr U E
m
ψ ψ??+ + =
= K
V 方法二 —— 在满足一定条件下将电子的运动近似当作经典粒子来处理，这样可以很方便地讨论
均匀电磁场中各种电导效应以及一般晶体中输运过程问题。
本节介绍电子在晶体中准经典运动的一些基本概念和规律。
§5.1 准经典运动
1. 波包和电子速度
波包—— 在量子力学中，对任意有经典类比的力学系统，如果对一个态的经典描述近似成立，则在
量子力学中这个态就由一个波包代表。
根据量子力学测不准原理，粒子的坐标和动量不能同时有确定的值。
—— 粒子空间分布在附近的
0
r
K
r
K
?范围内，动量取值为
0
k
K
=附近k
K
=?的范围内，构成了粒子的波包。
—— 波包中心为粒子的中心，中心的动量
0
r
K
0
k
K
=称为粒子的动量。
V 波包的波函数
晶体中的波包由布洛赫波组成，布洛赫波：)(),(
'
)
)'(
'(
'
ruetr
k
t
kE
rki
k
K K
=
K
K
??
=ψ
—— 为得到以量子态
0
k
K
为中心的波包，kkk
K K K
+=
0
' —— 其中k
K
必须很小
势场周期性函数近似表示为：)()(
0
'
ruru
kk
K K
≈
将能量)'(kE
K
按泰勒级数展开：
0
0
(') ( ) ( )
kk
Ek Ek k E?+??
K K K
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k
K
的取值范围：
22
x
y
z
k
k
k
??
????
?≤ ≤
??
??
??
波包函数：
0
0
0
/2 /2 /2 ()
[( ) )
/2 /2 /2
(,) ()
Ek k
ik kr t
xyz kk
r t dk dk dk e u rψ
??? +
+??
+
?? ?? ??
=
∫∫∫
K K
K K
K
=
K K
K K
00
0
0
()/2 /2 /2
()
[] [
/2 /2 /2
(,) ()
kk
E
Ek
ik r t ik r t
xyzk
rt u re dk dk dke
]
ψ
????
?? ? ?
?? ?? ??
?
∫∫∫
K
K K
= =
K
K K
电子的概率密度分布函数：
0
0
2
()
/2 /2 /2
2 []
2
/2 /2 /2
(,) ()
kk
E
ik r t
xyz
k
r t u r dk dk dk eψ
?
???
??
?? ?? ??
=
∫∫∫
K
K
=
K
K K
0
22
2
2
6
sin / 2 sin / 2 sin / 2
(,) ()
/2 /2 /2
k
uvw
rt u r
uv
ψ
???
=?
???
K
K K
—— 其中
0
0
0
1
()
1
()
1
()
k
x
k
y
k
z
E
ux t
k
E
vy t
k
E
wz t
k
?
?
=?
?
?
?
?
??
=?
?
?
?
?
?
=??
?
?
?
=
=
=
sin / 2
~
/2
u
u
u
?
?
的曲线如图XCH005_001所示
波包的限度：
2
u
π
=
?
当时：0uvw===
0
2
2
6
(,) ()
k
rt u rψ =?
K
K K
波包中心：
0
0
0
0
0
0
1
()
1
()
1
()
k
x
k
y
k
z
E
x t
k
E
yt
k
E
zt
k
?
?
=
?
?
?
?
??
=
?
?
?
?
?
=?
?
?
?
=
=
=
，
0
0
1
()
kk
rE=??
K
=
t
如果将波包看成一个准粒子，则粒子的速度：
00
1
()
kk
k
vE=?
K
K
=
REVISED TIME: 05-4-28 - 2 - CREATED BY XCH
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因为k很小：
22
x
y
z
k
k
k
??
????
?≤ ≤
??
??
??
，在第一布里渊区(,
aa
)
π π
?
有：
2
a
π
?<<，即
2
a
π
>>
?
，波包远远大于原胞。在这一个限度里才能将电子看作是准经典粒子。
在一维近自由电子近似模型中，在能带底和能带顶：0=
dk
dE
，电子的速度为零；在能带0
2
2
=
dk
Ed
处，
电子的速度最大，速度和能量的变化结果与自由电子的是不同的。如图XCH005_002所示。
2. 在外力作用下状态的变化和准动量
外场力F
K
对电子作功：dtvFdE
k
K
K
?=
电子能量的增量EkddE
k
??=
K
，Ev
kk
?=
=
K 1
，
kk
vE
K
==?，
k
vkddE
K
=
K
?=
根据功能原理：
kk
vkddtvF
K
=
K
K
K
?=?，0)( =??
k
vF
dt
kd K
K
K
=，可以证明：F
dt
kd
K
K
=
=
)(
将F
dt
kd
K
K
=
=
)(
与F
dt
vmd
K
K
=
)(
比较，k
K
=具有动量的性质 —— 准动量
3. 加速度和有效质量
电子状态变化基本公式：F
dt
kd
K
K
=
=
)(
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电子的速度：Ev
kk
?=
=
K 1
电子的速度分量：
α
α
k
kE
v
?
?
=
)(1
K
=
电子的加速度分量：)
)(1
(
α
α
k
kE
dt
d
dt
dv
?
?
=
K
=
∑
?
?
?
?
=
β αβ
β
α
)
)(
(
1
k
kE
kdt
dk
dt
dv
K
=
将
β
β
F
dt
kd
=
)( =
代入得到：
∑
??
?
=
β αβ
β
α
)(
1
2
2
kE
kk
F
dt
dv
K
=
将加速度分量用矩阵来表示：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
y
x
zyzxz
zyyxy
zxyxx
z
y
x
F
F
F
k
E
kk
E
kk
E
kk
E
k
E
kk
E
kk
E
kk
E
k
E
v
v
v
2
222
2
2
22
22
2
2
2
1
=
与牛顿定律比较：F
mdt
vd
K
K
1
=
电子的倒有效质量：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
2
222
2
2
22
22
2
2
2
1
zyzxz
zyyxy
zxyxx
k
E
kk
E
kk
E
kk
E
k
E
kk
E
kk
E
kk
E
k
E
=
如果将选在张量主轴方向上，有
zyx
kkk ,,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
2
2
2
2
00
00
00
1
z
y
x
k
E
k
E
k
E
=
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此时有效质量张量：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
*
*
*
/00
0/0
00/
00
00
00
z
y
x
z
y
x
k
E
k
E
k
E
m
m
m
=
=
=
此时
222
2
222
22
222
2
1
xxyxz
xx
yy
yx y yz
zz
zx zy z
EEE
kkkkk
vF
EEE
kk k kk
EEE
kk kk k
??
???
??
?????
?? ??
????? ??
=
?? ??
?? ? ????
?? ??
?? ??
???
?? ?? ?
??
=
表示为：
*
*
*
xx x
yy y
zz z
mv F
mv F
mv F
? =
?
=
?
?
=
?
有效张量是一个张量，一般不相等，因此加速度和外力方向可以不同。
***
,,
zyx
mmm
V 有效质量的特点
在紧束缚近似下，讨论简单立方格子s能带的有效质量
)coscos(cos2)(
10
akakakJJkE
zyxi
s
++??=ε
K
可以验证：在张量主轴方向上，即有
zyx
kkk ,,
?
?
?
≠=
=≠
=
??
?
βα
βα
βα
,0
,0
2
kk
E
有效质量：
1
1
2
2
2
2
2*
1
1
2
2
2
2
2*
1
1
2
2
2
2
2*
)(cos
2
/
)(cos
2
/
)(cos
2
/
?
?
?
=
?
?
=
=
?
?
=
=
?
?
=
ak
Jak
E
m
ak
Jak
E
m
ak
Jak
E
m
z
z
z
y
y
y
x
x
x
=
=
=
=
=
=
—— 有效是波矢的函数
在能带底部：)0,0,0(=k
K
，有效质量
1
2
2
***
2 Ja
mmm
zyx
=
===
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有效质量张量约化为一个标量：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
2
00
00
00
1
2
2
*
*
*
Ja
m
m
m
z
y
x
=
，或
1
2
2
2
*
Ja
m
=
=
在能带顶部：),,(
aaa
k
πππ
±±±=
K
，有效质量0
2
1
2
2
***
<?===
Ja
mmm
zyx
=
在)0,0,(
a
k
π
=
K
布里渊区侧面中心的X点，有效质量
1
2
2
**
1
2
2
*
2
2
Ja
mm
Ja
m
zy
x
=
=
==
?=
有效质量张量：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
2
00
00
00
1
2
2
*
*
*
Ja
m
m
m
z
y
x
=
晶体中的共有化电子的有效质量一般是一个张量，是波矢的函数。在一个能带底部附近，有效质量
总是正的，在能带顶部附近，有效质量总是负的。
在这个能带的顶部有一个质量为（为负）的电子。 *m
有效质量为什么为负？自由电子的运动仅仅是在外场作用下受力的运动，而在晶体中电子运动
即受外力，又受晶体周期性势场力作用的运动。在
*m
2
2
0
2
2
min
)
2
2
1(
2
)( k
V
m
k
m
EkE
n
δδ
=
=
++=
+
中，将周
期性势场力的作用归并到晶体中电子的质量中去了，所以m*m ≠。
电子在晶体中运动，通过与原子散射而交换动量。如果电子从晶格获得的动量大于付出给晶格的，
则；如果电子从晶格获得的动量小于付出给晶格的动量，则0*>m 0*<m。
—— 晶体中电子的动量形式k
K
=，布洛赫波不是动量的本征态，而且k
K
=也不是动量算符的本征值
—— 称k
K
=为赝动量（准动量）
—— 在处理晶体中电子的输运问题，引入电子的有效质量和赝动量对于处理问题会带来很大方便。
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