固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406
§5.3 导体、绝缘体和半导体的能带论解释
V 问题的提出：所有固体都包含大量的电子，但电子的导电性却相差非常大。
导体的电阻率： cm?
?
?ρ
6
10~
半导体的电阻率： cm??
?
?ρ
92
1010~
绝缘体的电阻率： cm?? ?ρ
2214
1010~
对于一些金属，特鲁特关于导电电子数等于原子的价电子数的假设是相当成功，但对于其它一些固
体却不是这样。导体、半导体和绝缘体的区别在哪里？电子的能带理论给予很好的解释。
1. 满带中的电子对导电的贡献
能带中电子的能量是波矢k
K
的偶函数：)()( kEkE
sn
K K
?=
波矢为k
K
的电子的速度：Ekv
k
?=
=
K
K 1
)(
波矢为k
K
?的电子的速度：Ekv
k?
?=?
=
K
K 1
)(，Ekv
k
??=
=
K
K 1
)(
)()( kvkv
K
K
K
K
??= —— 波矢为的状态和波矢为k
K
k
K
?的状态中电子的速度大小相等、方向相反。
1) 在无外场时：波矢为k
K
的状态和波矢为k
K
?的状态中电子的速度大小相等、方向相反，每个电子
产生的电流：，对电流的贡献相互抵消。 vq?
K
在热平衡状态下，电子占据波矢为的状态和占据波矢为k
K
k
K
?的状态的几率相等。所以晶体中的满
带在无外场作用时，不会产生电流。如图XCH005_008_00所示。
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2) 在有外场E作用时
电子受到的作用力： EqF
K K
?=
电子动量的变化：F
dt
kd
K
K
=
=
)(
，F
dt
kd
K
=
K
1
=
—— 有外场时，所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动。在满带的情形中，电子的运
动不改变布里渊区中电子的分布。所以在有外场作用的情形时，满带中的电子不产生宏观的电流。
如图XCH005_008所示。
2. 导带中的电子对导电的贡献
1) 无外场存在时：虽然只有部分状态被电子填充，但是波矢为k
K
的状态和波矢为的状态中电子
的速度大小相等、方向相反，对电流的贡献相互抵消。在热平衡状态下，电子占据波矢为的状态
和占据波矢为的状态的几率相等。
k
K
?
k
K
K
k?
—— 晶体导带中的电子在无外场作用时，不产生电流。如图XCH005_009所示。
作用时： 2) 在有外场E
导带中部分状态被电子填充，外加电场的作用使布里渊区的状态分布发生变化。
从
()dk
qE
dt
=?
K
K
=
可以看出所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动。由于能带是不满
带，逆电场方向上运动的电子较多，因此产生电流。如图XCH005_010所示。
V 导体、半导体、绝缘体模型
绝缘体 —— 原子中的电子是满壳层分布的，价电子刚好填满了许可的能带，形成满带，导带和价
带之间存在一个很宽的禁带，在一般情况下，价带之上的能带没有电子，所以在电场的作用下没有
电流产生。
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导体 —— 在一系列能带中除了电子填充满的能带（满带）以外，还有只是部分被电子填充的能带，
后者起着导电作用。
半导体（Si：14、Ge：32） —— 从能带结构来
看与绝缘体的相似，但半导体禁带宽度较绝缘体
的窄，约为以下。所以依靠热激发即可以
将满带中的电子激发到导带中，因而具有导电能
力。理论计算和实验表明：由于热激发到导带中
的电子数目随温度按指数规律变化，所以半导体
的电导率随温度的升高也按指数形式变大。导体、
半导体和绝缘体的能带如图XCH005_011所示。
eV2~
—— 由N个原胞构成的晶体，每一条能带所能容纳的电子数为2N，即为原胞数目的二倍。
原胞中只有一个价电子的固体：Li（3）、Na（11）、K（19）、Cu（29）、Ag（47）
—— 它们只填充半条能带，一般是导体。
—— 如果原胞含有偶数个价电子，这样可以填满一个能带，形成绝缘体。
—— 但对于二价金属：Be（4）、Mg（12）、Zn（30），它们原胞中有2个价电子，照此应该是绝缘
体，但它们却是导体。这是因为能带存在交迭现象。
V 半金属
V族元素Bi、Sb、As具有三角晶格结构，每个原胞含有偶数个电子，但由于能带的交叠使它们具有
了金属的导电性。但由于能带交叠较小，对导电有贡献的载流子数远远小于普通的金属。
2. 近满带和空穴
满带中的少数电子受热或光激发从满带跃迁到空带中去，使原来的满带变为近满带。通常引入空穴
的概念来描述近满带的导电性。
K
—— 设想近满带中只有一个k态没有电子，在电场的作用下，近满带产生的电流为近满带中所有电
子对电流的贡献，总电流：
K
)(kI
—— 如果在空的k中放入一个电子，近满带变为满带，总的电流为零，有
K
0)]([)( =?+ kvqkI
K
K
K
，() ()I kqvk=
K K
K
可见近满带的总电流相当于一个带正电的粒子，以空状态q k
K
中电子的速度所引起的。 )(kv
K
K
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在电磁场作用下，满带不产生电流，有0)]([)( =?+ kvqkI
K
K
K
两边对时间微分得到 )(
)(
kv
dt
d
q
dt
kdI
K
K
K
=
外加电磁场作用于空状态k中电子的洛伦兹力：
K
]})([{ BkvEq
K K
K
K
×+?
电子加速度：]})([{)(* BkvEqkv
dt
d
m
K K
K
K K
K
×+?=
0*<m —— 空状态在满带顶附近，电子的有效质量 k
K
所以]})([{
*
)(
2
BkvE
m
q
dt
kdI
K K
K
K
K
×+?=，]})([{
*
)(
BkvqEq
m
q
dt
kdI
K K
K
K
K
×+?=
()
{[()
*
dI k q
qE qv k B
dt m
=+×
K
K K K
K
]}
])([ BkvqEq
K K
K
K
×+ —— 正电荷在电磁场中受到的力 q
—— 在外电磁场中，近满带电流的变化如同一个带正电，具有正质量q *m的粒子。
结论
空穴 —— 满带顶附近有空状态k
K
时，整个能带中的电流以及电流在外电磁场中的变化相当于一个
带正电，具有正质量q *m、速度)(kv
K
K
的粒子，这样一个假想的粒子称为空穴。
固体中导带底部少量电子引起的导电 —— 电子导电性
固体中满带顶部缺少一些电子引起的导电 —— 空穴导电性
—— 若将满带中的少量电子激发到导带中，产生的本征导电就是由相同数目的电子和空穴构成的混
合导电性。
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