固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 § 5.4 在恒定磁场中电子的运动导体 1. 恒定磁场中的准经典运动 恒定磁场中电子运动的基本方程： Bkvq dt kd kEkv k KK K K = K = K K ×?= ?= )( )( 1 )( 从两个方程可以得到： 1） 沿磁场方向 k K 的分量不发生变化； 2） 由于洛伦兹力不做功， 能量 )(kE K 不 随时间变化，电子在 空间的等能面上运动。 k —— 电子在空间的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等能面的交线。 2. 自由电子的准经典运动 自由电子的能量： m k kE 2 )( 22 = K = 将 m k kE 2 )( 22 = K = 代入 Bkvq dt kd kEkv k KK K K = K = K K ×?= ?= )( )( 1 )( 得到： )( )( Bk m q dt kd m k kv KK K K = K K ×?= = 选取 B K 为 方向： z k ),0,0( BB = K 由 )( Bk m q dt kd KK K ×?= 得到 ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = ?= 0 dt dk k m qB dt dk k m qB dt dk z x y y x ? ? ? ? ? ? ? = ?= dt dk m qB dt kd dt dk m qB dt kd x y y x 2 2 2 2 ， ? ? ? ? ? ? ? ?= ?= y y x x k m qB dt kd k m qB dt kd 2 2 2 2 2 2 )( )( REVISED TIME: 05-4-29 - 1 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 2 2 2 2 2 2 () 0 () x x y y dk qB k dt m dk qB k dt m ? += ? ? ? ? += ? ? 0 —— 回转频率： m qB = 0 ω —— 空间电子在 平面做圆周运动，如图 XCH005_013 所示。 k )( yx kk V 在实空间电子的运动 电子运动的基本方程： 1 () () () k vk Ek dk qv k B dt =? =? × KK K = K K K K = 方程 () k vk m = K K =K 两边对时间求导： ()vk dk dt m dt = KK K = 将 () dk qv k B dt =? × K K K K = 代入得到： () 1 [() vk qv k B dt m ]= ?× K K K K K 分量表示： 0 x y y x z dv qB v dt m dv qB v dt m dv dt ? =? ? ? ? = ? ? ? = ? ? —— 两边再对时间求导 得到： 2 2 2 2 y x y x dv dv qB dt m dt dv qB dv dt m dt ? =? ? ? ? ? = ? ? —— 将 x y y x dv qB v dt m dv qB v dt m ? =? ? ? ? ? = ? ? 代入得到： ? ? ? ? ? ? ? =+ =+ 0)( 0)( 2 2 2 2 2 2 y y x x v m qB dt vd v m qB dt vd —— 即 2 2 2 2 2 2 () 0 () dx qB x dt m dy qB y dt m ? 0 + = ? ? ? ? + = ? ? —— 0 z dv dt = 电子在 方向做匀速运动 z REVISED TIME: 05-4-29 - 2 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 —— ? ? ? ? ? ? ? =+ =+ 0)( 0)( 2 2 2 2 2 2 y m qB dt yd x m qB dt xd ，电子在 平面做匀速圆周运动 ),( yx —— 回转频率： m qB = 0 ω ，如图 XCH005_014 所示。 3. 自由电子情况的量子理论 无磁场时自由电子的哈密顿量： 2 22 ? 22 mm p = K ?==H 当有磁场时： ，Aqpp K KK +→ 2 2 )( 2 1 2 Aqp mm p K K K +==H 如果磁场沿 轴，取 ，则有z )0,0,( ByA ?= K AB KK ×?= ]??)?[( 2 1 222 zyx ppqByp m ++?=H ， z ip y ip x ip zyx ? ? ?= ? ? ?= ? ? ?= === ?,?,? 因为哈密顿量不含 zx, ，所以 ，选取波函数为 本征态。 ? ? ? = = 0]?[ 0]?[ z x p p H H )?,?( zx pp ? ? ? = = ψψ ψψ zz xx kp kp = = ? ? 波函数： )( )( ye zkxki zx ?ψ + = ，将其代入 ]??)?[( 2 1 222 zyx ppqByp m ++?=H 得到： )()(]?)[( 2 1 2222 yEykpqByk m zyx ?? =++? == )()(]?)[( 2 1 2222 yEykpqByk m zyx ?? =++? == )() 2 ()(])( 2 1 2 [ 22 2 2 22 y m k EyqByk mym z x ?? = = = ?=?+ ? ? ? REVISED TIME: 05-4-29 - 3 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 )() 2 ()(])()( 22 [ 22 22 2 22 y m k Eyyk qBm qBm ym z x ?? === ?=?+ ? ? ? 令 m k Ek qB y m qB z x 2 ,, 22 00 == ?=== εω )()(])( 22 [ 2 0 2 0 2 22 yyyy m ym ε??ω =?+ ? ? ? = —— 简谐振子方程 简谐振子波函数： )]([)( 00 )( 2 1 0 2 00 yyHeyy n yy ??? ?? ω? ω )]([ 00 yyH n ?ω —— 多项式 相应的能量本征值： 0 ) 2 1 ( ωε =+= n n 在磁场中自由电子的波函数： 2 00 1 () () 2 00 [( ) xz yy ikxkz n ee Hyy ω ]ψ ω ?? + =? 能量本征值： 22 22 0 1 () 22 zz n kk En mm εω=+ =+ + == = 2 —— 根据量 子理论在 yx? 平 面内的圆 周 运动对应一 种简谐振荡， 能量是量子化的， 这些量子化的能级称为 朗道能级，如图 XCH005_015 所示。 4. 晶体中电子的有效质量近似 晶体中电子在磁场中的运动时，其哈密顿量： )()( 2 1 2 rVAqp m K K K ++=H 严格求解晶体中电子在磁场中的运动是很困难的， 可以将周期性势场的影响概括为有效质量的变化， 称为有效质量近似。 哈密顿量： 2 )( *2 1 Aqp m K K +=H 在半导体材 料中能带底 和能带顶附 近常常采用 有效质量近 似处理。对 于碱金属也 可以采用有 效质量 近似。 REVISED TIME: 05-4-29 - 4 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 采用有效质 量近似后， 晶体中电子 在磁场中的 运动变为自 由电子在磁 场中的运动 ，前面的结 果中将 电子的质量 用有效质量 代替。 m *m 回转频率： * 0 m qB =ω 能量本征值： 22 22 0 1 () 2* 2 2* zz n kk En mm εω=+ =+ + == = REVISED TIME: 05-4-29 - 5 - CREATED BY XCH