固体物理学_黄昆 _第四章 能带理论 _20050406
§4.8 表面电子态
从理想表面模型出发，研究考察晶体表面对电子能量本征态的影响。
假设晶体表面位于处，有 0=z
0
() 0
()
0
Vz z Crystal
Vz
V z Vaccum
<
?
=
?
>
?
电子在晶体内部的能量，在界面
0
VE < 0=z电子波函数和一阶微分连续。
—— 考虑一维晶体的情形
电子波动方程
22
2
()
2
d
Vz E
mdz
ψ
ψ ψ?+=
=
0>z电子波函数：
z
ae
α
ψ
?
=，
0
2
()
m
VEα =?
=
0<z区域，采用近自由电子近似
电子零级波函数：
0
1
()
ikz
k
z
L
eψ =，能量本征值：
22
0
2
k
k
EV
m
= +
=
在布里渊区边界：
a
n
k
π
=，能量发生中断，而不连续。
在第一布里渊区边界附近： ε
π
+=
a
k，ε
ππ
+?=?=
aa
kk
2
'
电子的波函数：
() ()
()
iz i
aa
k
zae be
ππ
zε ε
ψ
+?
=+
?
或电子的波函数表示为：
00
'
()
kk
x abψ ψψ=+
将波函数代入薛定谔方程：
0
() ' () ()HzHzEzψ ψψ+=
其中：
22
0 2
2
d
H
mdz
=?
=
，'()HVzV V=?=?
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考虑到：
00
0
00
0''
()
()
kkk
kk
HV E
HV E
0
0
'k
ψ ψ
ψ ψ
+=
+=
得到：
000
''
()()
kkk
aEEV bEEVψψ?+? + ?+? =
0
k
分别以*
0
k
ψ或*
0
'k
ψ从左边乘上方程，对z积分，并利用：''kVk k Vk 0< ?>=<? >=
得到两个线性代数方程： ——
0
1
0
1'
()
()
k
k
EEaVb
Va E E b
?+=
+?=
0
0
dz
00
1'
*() *
kk
V
VVzψψ=
∫
a, b有非零解，系数行列式满足：
0
1
0
1'
0
k
k
EE V
VEE
?
=
?
解得
2
22
1
() ( 1)
2
EVV
ma
π
ενν= ++?±++
=
——
2
1
ma V
πε
ν =
=
将
2
22
1
() ( 1)
2
EVV
ma
π
ενν= ++?±++
=
0
1
0
1'
() 0
()0
k
k
EEaVb
Va E E b
代入
? +=
+ ?=
得到的值，将其代入/ab
() ()
()
iz i
aa
k
zae be
ππ
zε ε
ψ
+??
=+
得到
21
( ) [exp( ) ( 1)exp( )]exp( )
k
V
z b iz iz iz
aV a
ππ
ψ νν ε=+?±+?
对于ε为实数：
21
( ) [exp( ) ( 1)exp( )]exp( )
k
V
z b iz iz iz
aV a
ππ
ψ νν ε=+?±+?就是晶体中电子的
波函数。
在的界面上：晶体界面内的波函数和界面外的波函数0=z
z
ae
α
ψ
?
=总是满足匹配。
—— 在半无限长晶体内部的能带保持不变
在，如果ε为复数 —— 0<z iq?=ε，为正数 q
令：
22
11
sin(2 )
q
ii
ma V ma V
πε π
ν δ==?=?
= =
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0<z的波函数
1
( ) {exp[ ( )] exp[ ( )]}exp( )
k
V
zc iz iz qz
aVa
ππ
ψ δδ=±+?±
相应的能量
22
22 21/2
1
1
[( ) ] [1 ( ) ]
2
q
E qV V
ma maV
ππ
=?±?
= =
+
根据波函数和波函数一阶微分连续条件：
由
?
?
?
?
?
=
±?±±=
? z
k
ae
qzz
a
i
V
V
z
a
icz
α
ψ
δ
π
δ
π
ψ )exp()]}(exp[)]({exp[)(
1
确定和q值 /ac
再将q值带回能量表达式得到相应的能量。
所以对于半无限晶体，当k为实数，晶体内部能带与一般
晶体的情况一样，当k为虚数，波函数在晶体内部是衰减
的，能量本征值位于能隙之中，在这些解中有一个可以与
真空区域的波函数相匹配，表明在表面内附近很窄的区域
中有一个电子态，称为表面态。界面内外的波函数如图
XCH004_048所示。
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