B2.1 描述流体运动的数学方法
拉格朗日法 欧拉法
当地法
B2 流动分析基础
描述方法
随体法 拉格朗日法
欧拉法
质点轨迹,)( a,b,c,trr ?
参数分布,B = B（ x,y,z,t）
1.分类
2.比较
分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数
表达式复杂 表达式简单
不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布
不适合描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性
拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法
[例 B2.1.2] 由速度分布求质点轨迹
求,在 t = 0时刻位于点（ a,b）的流体质点的运动轨迹。
对某时刻 t位于坐标点上 (x,y)的质点解：
求解一阶常微分方程（ a）可得
已知, 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为
??
?
??
??
tyv
txu
(a)
?
?
?
??
?
?
???
???
ty
t
y
v
tx
t
x
u
d
d
d
d
? ? ? ?
? ? ? ? ??
???
????????
????????
??
??
?
?
1)1(d
1)1(d
222
111
tecetcettecey
tecetcettecex
ttttt
ttttt
(b)
上式中 c1, c2 为积分常数，由 t = 0时刻流体质点位于,可确
定,代入 (b)式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为
??
?
?
?
by
ax
??
?
??
??
1
1
2
1
bc
ac
1)1(
1)1(
????
????
teby
teax
t
t
讨论,本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速
度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出－指定流体质点在不
同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。
B2 流动分析基础
B2.2 速度场
? 速度场是最基本的场
v = v (x,y,z,t )
? 可用速度廓线（剖面）描述空间线或面上的速度分布
二维速度剖面 u ＝ u ( x,y)
速度分量：
?
?
?
?
?
?
?
?
),,,(
),,,(
),,,(
tzyxww
tzyxvv
tzyxuu
?
?
?
?
?
?
?
?
),,,(
),,,(
),,,(
tzyxww
tzyxvv
tzyxuu
三维速度廓线
B2 流动分析基础
B2.2.1 流量与平均速度
Q,指净流出流量m?封闭曲面时
流量
体积流量
? ?? A nvm Ad)(ρ?
平均速度
体积流量
不可压缩流体质量流量
质量流量
不可压缩流体
dAnvQ A )( ?? ?
Qm ???
A
QV ? VAQ ?
VAm ???
[例 B2.2.1]直圆管粘性定常流动：流量与平均速度
求,两种速度分布的（ 1）流量 Q的表达式；
（ 2）截面上平均速度 V。
解,（ 1）流量由（ B2.2.3）式计算，注意到 dA = 2πrdr,抛物线分布的
流量为
已知,粘性流体在半径为 R的直圆管内作定常流动。设圆管截面（指垂直管轴
的平面截面）上有两种速度分布（参见图 B2.2.1），一种是抛物线分
布,另一种是 1/7指数分布：
???
?
???
? ?
?
??
?
??? 2
m1 11 R
ruu 7/1
2m2 1 ??
??
?
? ??
R
ruu
上式中,um1,um2分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。
?? AQ (1 ?? ???????? ?????????? ? RR rRrrurrRru 0 230 1m221m d2d21 ??v·n )dA =
2
1m
0
2
42
1m 5.0422 RuR
rru R ?? ?
???
?
???
? ??
1 / 7指数分布的流量为
?? AQ (2 ? ?? R rrRru0 7/12m d2)1( ?v·n )dA
? ? RRrRrRu
0
7/87/15
2
2m 7/8
)/1(
7/15
/12 ?
?
??
?
? ???? ?
22m22m2m2 8 1 6 7.012098815 772 RuRuuR ??? ?????
（ 2）平均速度由（ B2.2.4）式计算，抛物线分布和 1 / 7指数分布的平
均速度分别为
1m2
1
11 5.0 u
R
QV ??
?
2m2
2
22 8167.0 uRQV ?? ?
讨论,由上可见，速度为抛物线分布的截面上的平均速度为最大速度的一
半，而 1/7指数分布的截面上的平均速度为最大速度的 0.8167倍，
这是由于后者的速度廓线中部更平坦，速度分布更均匀的缘故。
B2.2.2 一维，二维与三维流动
B2 流动分析基础
1,流动维数的确定：
三维流动, 速度场必须表示为三个方向坐标的函数
v=v ( x,y,z,t)
二维流动, 速度场简化为二个空间坐标的函数
v=v ( x,y,t) 或 v=v ( r,z,t)
一维流动, 速度场可表示为一个方向坐标的函数
v=v( x ) 或 v=v ( s )
2,常用的流动简化形式：
(1) 二维流动：平面流动
轴对称流动
(2) 一维流动：
质点沿曲线的流动 v=v ( s )
流体沿管道的平均速度 v=v ( s )
B2 流动分析基础
用平均速度描述圆管一维流动简化了流量和压强计算。但对截面上
动能和动量计算造成偏差，引入动能修正因子和动量修正因子。
mVαmuA ?? )21(d)21( 22 ?? ? ?A mβVmu ??d
表 B2.2.1 圆管粘性一维定常流动修正因子
3,直圆管一维流动修正因子
m/uV ?
速度分布类型 平均速度 /中心速度 动能修正因子 动量修正因子
β
抛物线分布 0.5 2.0 1.333
1/7指数分布 0.8167 1.058 1.020
[例 B2.2.2]直圆管粘性定常流动：动能修正系数与动量修正系数
(1) 按单位质量流体的动能计算，动能修正系数定义为解：
已知,粘性流体在半径为 R的直圆管内作定常流动。设圆管截面（指垂直管轴
的平面截面）上有两种速度分布（参见图 B2.2.1），一种是抛物线分
布,另一种是 1/7指数分布：
???
?
???
? ?
?
??
?
??? 2
m1 11 R
ruu
上式中，分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。
7/1
2m2 1 ??
??
?
? ??
R
ruu
?求,两种速度分布的（ 1）关于平均速度的动能修正系数
（ 2）关于平均速度的动量修正系数 β 。
mVmuA ?? )21(d)21( 22? ? ?
，
rruAurQrm d2d)(d)(d ???? ????
rrA d2d ?? VAQm ?? ???
上式中 V为平均速度，设 ρ =常数,截面积 A=π R2，微元圆环面积
。由（ B2.2.7)式,。
rrVuRAVuA A R d)(2d)(1 0 323? ????
对抛物线分布，由（ B2.2.8a）和（ B2.2.9a）式可得
? ? ????????? ????????????????? ????????????????? R R
R
R
rrr
R
r
RrrV
u
R 0 0
0
4232
2
3
1
1
21 212d1
16d2?
对 1/7指数分布，由（ B2.2.8b）和 (B2.2.9b)式可得
0 5 8 3 8.1d1981202d2 0
7/33
20
3
2
2
22 ???
??
?
? ??
?
??
?
????
?
?
???
?? ?? rr
R
r
RrrV
u
R
RR?
（ 2）按单位质量流体的动量计算，动量修正系数 β 定义为
mVmuA ?? ??? d
可得 ?? ?????????????? R
A rrV
u
RAV
u
A 0
2
2
2
d2d1?
对抛物线分布 333.134d18d2
0
22
20
2
1
1
21 ?????
?
???
? ?
?
??
?
?????
?
?
???
?? ?? RR rr
R
r
RrrV
u
R?
对 1/7指数分布 020.14950d1)98120(2d2 0
7/2
2
20
2
2
2
22 ????
??
?
? ????
?
?
???
?? ?? RR rr
R
r
RrrV
u
R?
讨论：将例 B2.2.1和本例的结果合在一起列表如下：
由上可见，在直圆管粘性定常流动中，与抛物线分布相比,1/7指数分布
比较接近平均速度廓线，用一维流动近似计算动能和动量时，可取
α=β=1,即不必修正。
表 B2.2.1 圆管粘性一维定常流动修正系数
m/uV ?
动能修正系数
1.0201.0580.81671/7指数分布
1.3332.00.5抛物线分布
动量修正系数
β速度分布类型
平均速度 /中心速度
B2 流动分析基础
B2.2.3 定常与不定常流动
a,定常流动
b,准定常流动
c.周期性谐波脉动流
d,周期性非谐波脉动流（生理波）
e.非周期性脉动流 (衰减波）
f.随机流动（湍流）
? 不定常流与定常流的转换
B2 流动分析基础
B2.3 流体运动的几何描述
迹线 流线
定义
拉格朗日法 )( a,b,c,trr ?
欧拉法
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
z
w
t
y
v
t
x
u
d
d
d
d
d
d
（ t为自变量，
x,y,z 为 t
的函数 ）
),,,(
d
),,,(
d
),,,(
d
tzyxw
z
tzyxv
y
tzyxu
x ??
(x,y,z为 t的函数,t为参数）
质点的运动轨迹 切线与速度方向一致的假想曲线
[例 B2.3.2A]不定常流场的迹线 与 流线
求,（ 1）质点 A的迹线方程；
解,此流场属无周期性的不定常流场。
1
d
d
1
d
d
?
??
t
y
t
t
x
由上两式分别积分可得
2
1
2
2
1
cty
cttx
??
???
已知,设速度场为 u = t+1,v = 1,t = 0时刻流体质点 A位于原点。
(1)由 (B2.3.3a)式，迹线方程组为
（ 2） t = 0时刻过原点的流线方程；
（ 3） t = 1时刻质点 A的运动方向。
t=0时质点 A位于 x=y=0，得 c1=c2=0。质点 A迹线方程为
消去参数 t 可得
2
1)1(
2
1
2
1 22 ????? yyyx
上式表明质点 A的迹线是一条以（ -1/2,-1）为顶点，且通过原点的抛
物线（图 BE2.3.2A）。
（ 2）由 (B2.3.5b)式，流线方程为
1
d
1
d y
t
x ?
?
积分可得
??
???
?
??
ty
ttx 221
(a)
cyt x ??? 1 (b)
在 t = 0时刻，流线通过原点 x = y = 0，可得 c = 0，相应的流线方程为
c??? 111 2/3
可得 c = -1/4 。
（ c）x = y
这是过原点的，一三象限角平分线，与质点 A的迹线在原点相切（见图）。
(3)为确定 t = 1时刻质点 A的运动方向，需求此时刻过质点 A所在位置的
流线方程。由迹线的参数式方程 (a)可确定,t=1时刻质点 A位于 x=3/2,y=1
位置，代入流线方程 (b)
讨论,以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；不同时刻通过某固
定点的流线可以不同（见 b式），通过某流体质点所在位置的流线
也可以不同（见 c和 d式）。
t = 1时刻过流体质点 A所在位置的流线
方程为
x = 2 y－ 1/2 (d)
上式是一条与流体质点 A的迹线相切于
（ 3/2,1）点的斜直线，运动方向为
沿该直线朝 x,y值增大方向。
B2 流动分析基础
B2.2.3－ 4 脉线与流体线
流体线
又称 染色线、烟线或条纹线
脉线
定义 相继通过某空间点的
质点连线
时间线
某时刻标记的一串相连的
质点连线
B2 流动分析基础
B2.3.5 流管，流束与总流
流管,流线围成的管子
流束,流管内的流体
缓变流流束：流线平行或接近平行
微元流束：有限截面无限小的流束
总流,微元流束的总和
在有效截面上取平均值，按一维流动处理
B2 流动分析基础
B2.4 流体质点的随体导数
流体质点（随体）导数是质点物理量在运动中随时间的变化率。
右图中质点 p的位置不进行变化，位置
也是 t的函数，物理量 B(t) 可表示为
Bp = Bp [ xp ( t ),yp ( t ),zp ( t ),t ]
(1) 用求全导数方法得质点导数欧拉表达式
z
Bw
y
Bv
x
Bu
t
B
t
B
?
??
?
??
?
??
?
??
D
D
(2)从物理上解释质点导数：
tB?? 为当地（固定点）物理量 B随时间变化率，称为当地变
化率，反映流场的不定常性。
xBu?? 为不同位置（迁移）上物理量的差异引起的变化率，称为
迁移变化率，反映流场的不均匀性。
B2 流动分析基础
B2.4.2 加速度场
s
vv
t
va
s ?
??
?
??
1,三维流动
取,速度的质点导数为加速度()B ? v x,y,z,t
vvvvvvva )( ??????????????????? tzwyvxutDtD
2,一维流动
(1)沿流线 s,v=v(s,t)
(2)沿总流 s,v=v(s,t)
s
vv
t
va
s ?
??
?
??
[例 B2.4.2]收缩喷管流动：迁移加速度
已知,图 BE2.4.2示一圆锥形收缩喷管。长为 36 cm，底部与顶部直径分
别为 d0= 9 cm,d3 = 3 cm，恒定流量 Q = 0.02 m 3 / s。
按一维流动处理
解,取轴向流动方向为 x轴，原点在圆锥底部。
喷管内为定常流动，当地加速度为零，只有迁
移加速度。按一维流动 (B2.4.6)式计算
x
VVa
?
??
2
2
0 2 18.00 2 35.00 0 63 6.012045.0 xxxA ????????? ?? ?
求,图示四个截面 A0, A1, A2,A3上的加速度。
V为管截面上的平均速度。设任意管截面与底部
的距离为 x，面积 A与 x的关系为
任一截面上的平均速度和加速度为
2
3
0436.00235.0 Q
A
x
x
VV
A
QV
??
?
?
?
计算结果如下表
1-s/xV??
8834.00312.2528.290.000710.36A 3
682.0067.1810.150.001970.24A 2
128.0024.655.1900.003850.12A 1
36.5011.603.1440.006360.00A 0
a/ms-2V /ms-1A /m2x /m截面
讨论,计算结果表明喷管进出口的直径比为 1:3，速度比为 1:9，加速度
比为 1:242。按牛顿第二定律流体有加速度必产生对喷管的冲击力，
而且该冲击力在不同截面上数值不同。例 B4.4.2将计算流体对喷
管的冲击力合力。
速度与加速度的变化曲线如图所示
B2 流动分析基础
B2.5 一点邻域内相对运动分析
B2.5.1亥姆霍兹速度分解定理
在 xy平面流场中,M0点邻近 M点的
速度在 x方向的分量可分解为
yxvyuxxuyxvyuMuMu d)(21dd)(21)()( 0 ????????????????
旋转速率 线变形速率 角变形速率
M0 平移速度 M 相对 M0的速度
B2 流动分析基础
B2.5.2 流体的变形
1.线变形（以平面流动为例）
(1)线应变率
流体面元的线尺度在 x方向的局部瞬时相对伸长速率
x
u
tx
txxu
xx ?
???
?
? ??
??
?
)(
(2)面积扩张率
流体面元的面积在平面内的局部瞬时相对扩张速率
y
v
x
uv
?
??
?
????
(3)体积膨胀率
流体体元的体积在空间的局部瞬时相对膨胀速率
z
w
y
v
x
uv
?
??
?
??
?
????
y
v
yy ?
???同理
[例 B2.5.2]膨胀流动：线应变率与面积扩张率
解,(1)按（ B2.3.5a）式，因 v=0,流线微分
方程为 dy = 0，积分可得流线方程为
已知,设平面流场为
（ k > 0，为常数）
??
?
?
?
0v
kxu
说明流线是平行于 x轴的直线族。线应变率为
kxuxx ????? 0???? yvyy?
求,（ 1）流线、线应变率和面积扩张率表达式；
y = c ( c为常数 )
（ 2） 设 k=1,t=0时刻边长为 1的正方形流体面 abcd位于图 BE2.5.2
所示位置,求 t=t‘时刻点 a(1,3)到达点 a’(3,3)时流体面 a‘b’c‘d’的
位置和形状。
说明 x方向的线元以恒速率 k伸长,y方向的线元长度保持不变。
面积扩张率为
kyvxuv ?????????
说明流场中每一点的瞬时面积相对扩张率为常数，任何单位面积的流
体面均以恒速率 k扩张，通常将这种流动称为膨胀流（当 k < 0时为收
缩流）。
（ 2）设 t = 0时，质点位于 M（ x,y）,t = t ‘ 时位于 M ’ (x‘ y’ )。
按（ B2.3.3a）式求质点轨迹方程
?
?
?
??
?
?
?
?
0
d
d
d
d
t
y
kx
t
x
??
?
?
?
?
? ??
cy
tk
x
x tx
x
'
0
'
dd
??
?
?
?
?
?
'
''ln
yy
kt
x
x
(a)
(b)
对流体面 abcd和 a'b'c'd '内所有质点均满足 (a),(b)式。现
t'相同,x'/x也相同。设 k =1，由点 a和 a',x'/x = 3，即 x'=3x，
y'=y，因此 M '(x',y') = M '(3x,y)。
abcd和 a‘b’c‘d’四角点的坐标分别为 a(1,3), b(2,3),c(2,4)，
d(1,4),a‘(3,3),b’(6,3),c‘(6,4) d’(3,4),a‘b’c‘d’的位置
和形状如图 B2.5.2中虚线所示，说明从 t=0到 t=t‘，流体面在 x方向
扩张了 3倍,
（此流场纯属假想，很难找到与之相符的实际例子）。
B2 流动分析基础
B2.5.2 流体的变形 (续）
2.角变形速率
两正交线元的夹角在 xy平面内的局部
瞬时变化速率
y
u
x
v
xy ?
??
?
????
B2.5.3 流体的旋转
? 旋转角速度 两正交线元在 xy面内绕一点的旋转角速度平均值
???????? ?????? yuxvz 21?
（规定逆时针方向为正）
? 涡量 （三维流场）
wvu
zyx ?
?
?
?
?
?
??????
kji
v
???
???
?2
B2 流动分析基础
B2.6 流动分类
B2.6.1 层流与湍流
2,雷诺数
μ
Vd??Re
1,经典实验
雷诺实验 (1883)
哈根实验 (1839)
林格伦实验 (1957)
V 流速,d 特征长度,ρ,μ 流体密度、粘度
圆管临界雷诺数 2 3 0 0Re ?
cr
流场显示
阻力测量
热线测速
B2 流动分析基础
B2.6.2 内流与外流
管道流（不可压缩流体）
喷管流（可压缩流体）
明渠流
流体机械
内流
粘性边界层
外部势流
外流
按流场是否被固体边界包围分类
B2 流动分析基础
B2.7 常用的流动分析方法
质量守恒定律
动量定律（牛顿第二定律）
能量守恒定律（热力学第一定律）
基本的物理定律
系统与控制体分析法
微分与积分分析法
量纲分析法
基本的分析方法
拉格朗日法 欧拉法
当地法
B2 流动分析基础
描述方法
随体法 拉格朗日法
欧拉法
质点轨迹,)( a,b,c,trr ?
参数分布,B = B（ x,y,z,t）
1.分类
2.比较
分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数
表达式复杂 表达式简单
不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布
不适合描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性
拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法
[例 B2.1.2] 由速度分布求质点轨迹
求,在 t = 0时刻位于点（ a,b）的流体质点的运动轨迹。
对某时刻 t位于坐标点上 (x,y)的质点解：
求解一阶常微分方程（ a）可得
已知, 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为
??
?
??
??
tyv
txu
(a)
?
?
?
??
?
?
???
???
ty
t
y
v
tx
t
x
u
d
d
d
d
? ? ? ?
? ? ? ? ??
???
????????
????????
??
??
?
?
1)1(d
1)1(d
222
111
tecetcettecey
tecetcettecex
ttttt
ttttt
(b)
上式中 c1, c2 为积分常数，由 t = 0时刻流体质点位于,可确
定,代入 (b)式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为
??
?
?
?
by
ax
??
?
??
??
1
1
2
1
bc
ac
1)1(
1)1(
????
????
teby
teax
t
t
讨论,本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速
度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出－指定流体质点在不
同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。
B2 流动分析基础
B2.2 速度场
? 速度场是最基本的场
v = v (x,y,z,t )
? 可用速度廓线（剖面）描述空间线或面上的速度分布
二维速度剖面 u ＝ u ( x,y)
速度分量：
?
?
?
?
?
?
?
?
),,,(
),,,(
),,,(
tzyxww
tzyxvv
tzyxuu
?
?
?
?
?
?
?
?
),,,(
),,,(
),,,(
tzyxww
tzyxvv
tzyxuu
三维速度廓线
B2 流动分析基础
B2.2.1 流量与平均速度
Q,指净流出流量m?封闭曲面时
流量
体积流量
? ?? A nvm Ad)(ρ?
平均速度
体积流量
不可压缩流体质量流量
质量流量
不可压缩流体
dAnvQ A )( ?? ?
Qm ???
A
QV ? VAQ ?
VAm ???
[例 B2.2.1]直圆管粘性定常流动：流量与平均速度
求,两种速度分布的（ 1）流量 Q的表达式；
（ 2）截面上平均速度 V。
解,（ 1）流量由（ B2.2.3）式计算，注意到 dA = 2πrdr,抛物线分布的
流量为
已知,粘性流体在半径为 R的直圆管内作定常流动。设圆管截面（指垂直管轴
的平面截面）上有两种速度分布（参见图 B2.2.1），一种是抛物线分
布,另一种是 1/7指数分布：
???
?
???
? ?
?
??
?
??? 2
m1 11 R
ruu 7/1
2m2 1 ??
??
?
? ??
R
ruu
上式中,um1,um2分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。
?? AQ (1 ?? ???????? ?????????? ? RR rRrrurrRru 0 230 1m221m d2d21 ??v·n )dA =
2
1m
0
2
42
1m 5.0422 RuR
rru R ?? ?
???
?
???
? ??
1 / 7指数分布的流量为
?? AQ (2 ? ?? R rrRru0 7/12m d2)1( ?v·n )dA
? ? RRrRrRu
0
7/87/15
2
2m 7/8
)/1(
7/15
/12 ?
?
??
?
? ???? ?
22m22m2m2 8 1 6 7.012098815 772 RuRuuR ??? ?????
（ 2）平均速度由（ B2.2.4）式计算，抛物线分布和 1 / 7指数分布的平
均速度分别为
1m2
1
11 5.0 u
R
QV ??
?
2m2
2
22 8167.0 uRQV ?? ?
讨论,由上可见，速度为抛物线分布的截面上的平均速度为最大速度的一
半，而 1/7指数分布的截面上的平均速度为最大速度的 0.8167倍，
这是由于后者的速度廓线中部更平坦，速度分布更均匀的缘故。
B2.2.2 一维，二维与三维流动
B2 流动分析基础
1,流动维数的确定：
三维流动, 速度场必须表示为三个方向坐标的函数
v=v ( x,y,z,t)
二维流动, 速度场简化为二个空间坐标的函数
v=v ( x,y,t) 或 v=v ( r,z,t)
一维流动, 速度场可表示为一个方向坐标的函数
v=v( x ) 或 v=v ( s )
2,常用的流动简化形式：
(1) 二维流动：平面流动
轴对称流动
(2) 一维流动：
质点沿曲线的流动 v=v ( s )
流体沿管道的平均速度 v=v ( s )
B2 流动分析基础
用平均速度描述圆管一维流动简化了流量和压强计算。但对截面上
动能和动量计算造成偏差，引入动能修正因子和动量修正因子。
mVαmuA ?? )21(d)21( 22 ?? ? ?A mβVmu ??d
表 B2.2.1 圆管粘性一维定常流动修正因子
3,直圆管一维流动修正因子
m/uV ?
速度分布类型 平均速度 /中心速度 动能修正因子 动量修正因子
β
抛物线分布 0.5 2.0 1.333
1/7指数分布 0.8167 1.058 1.020
[例 B2.2.2]直圆管粘性定常流动：动能修正系数与动量修正系数
(1) 按单位质量流体的动能计算，动能修正系数定义为解：
已知,粘性流体在半径为 R的直圆管内作定常流动。设圆管截面（指垂直管轴
的平面截面）上有两种速度分布（参见图 B2.2.1），一种是抛物线分
布,另一种是 1/7指数分布：
???
?
???
? ?
?
??
?
??? 2
m1 11 R
ruu
上式中，分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。
7/1
2m2 1 ??
??
?
? ??
R
ruu
?求,两种速度分布的（ 1）关于平均速度的动能修正系数
（ 2）关于平均速度的动量修正系数 β 。
mVmuA ?? )21(d)21( 22? ? ?
，
rruAurQrm d2d)(d)(d ???? ????
rrA d2d ?? VAQm ?? ???
上式中 V为平均速度，设 ρ =常数,截面积 A=π R2，微元圆环面积
。由（ B2.2.7)式,。
rrVuRAVuA A R d)(2d)(1 0 323? ????
对抛物线分布，由（ B2.2.8a）和（ B2.2.9a）式可得
? ? ????????? ????????????????? ????????????????? R R
R
R
rrr
R
r
RrrV
u
R 0 0
0
4232
2
3
1
1
21 212d1
16d2?
对 1/7指数分布，由（ B2.2.8b）和 (B2.2.9b)式可得
0 5 8 3 8.1d1981202d2 0
7/33
20
3
2
2
22 ???
??
?
? ??
?
??
?
????
?
?
???
?? ?? rr
R
r
RrrV
u
R
RR?
（ 2）按单位质量流体的动量计算，动量修正系数 β 定义为
mVmuA ?? ??? d
可得 ?? ?????????????? R
A rrV
u
RAV
u
A 0
2
2
2
d2d1?
对抛物线分布 333.134d18d2
0
22
20
2
1
1
21 ?????
?
???
? ?
?
??
?
?????
?
?
???
?? ?? RR rr
R
r
RrrV
u
R?
对 1/7指数分布 020.14950d1)98120(2d2 0
7/2
2
20
2
2
2
22 ????
??
?
? ????
?
?
???
?? ?? RR rr
R
r
RrrV
u
R?
讨论：将例 B2.2.1和本例的结果合在一起列表如下：
由上可见，在直圆管粘性定常流动中，与抛物线分布相比,1/7指数分布
比较接近平均速度廓线，用一维流动近似计算动能和动量时，可取
α=β=1,即不必修正。
表 B2.2.1 圆管粘性一维定常流动修正系数
m/uV ?
动能修正系数
1.0201.0580.81671/7指数分布
1.3332.00.5抛物线分布
动量修正系数
β速度分布类型
平均速度 /中心速度
B2 流动分析基础
B2.2.3 定常与不定常流动
a,定常流动
b,准定常流动
c.周期性谐波脉动流
d,周期性非谐波脉动流（生理波）
e.非周期性脉动流 (衰减波）
f.随机流动（湍流）
? 不定常流与定常流的转换
B2 流动分析基础
B2.3 流体运动的几何描述
迹线 流线
定义
拉格朗日法 )( a,b,c,trr ?
欧拉法
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
z
w
t
y
v
t
x
u
d
d
d
d
d
d
（ t为自变量，
x,y,z 为 t
的函数 ）
),,,(
d
),,,(
d
),,,(
d
tzyxw
z
tzyxv
y
tzyxu
x ??
(x,y,z为 t的函数,t为参数）
质点的运动轨迹 切线与速度方向一致的假想曲线
[例 B2.3.2A]不定常流场的迹线 与 流线
求,（ 1）质点 A的迹线方程；
解,此流场属无周期性的不定常流场。
1
d
d
1
d
d
?
??
t
y
t
t
x
由上两式分别积分可得
2
1
2
2
1
cty
cttx
??
???
已知,设速度场为 u = t+1,v = 1,t = 0时刻流体质点 A位于原点。
(1)由 (B2.3.3a)式，迹线方程组为
（ 2） t = 0时刻过原点的流线方程；
（ 3） t = 1时刻质点 A的运动方向。
t=0时质点 A位于 x=y=0，得 c1=c2=0。质点 A迹线方程为
消去参数 t 可得
2
1)1(
2
1
2
1 22 ????? yyyx
上式表明质点 A的迹线是一条以（ -1/2,-1）为顶点，且通过原点的抛
物线（图 BE2.3.2A）。
（ 2）由 (B2.3.5b)式，流线方程为
1
d
1
d y
t
x ?
?
积分可得
??
???
?
??
ty
ttx 221
(a)
cyt x ??? 1 (b)
在 t = 0时刻，流线通过原点 x = y = 0，可得 c = 0，相应的流线方程为
c??? 111 2/3
可得 c = -1/4 。
（ c）x = y
这是过原点的，一三象限角平分线，与质点 A的迹线在原点相切（见图）。
(3)为确定 t = 1时刻质点 A的运动方向，需求此时刻过质点 A所在位置的
流线方程。由迹线的参数式方程 (a)可确定,t=1时刻质点 A位于 x=3/2,y=1
位置，代入流线方程 (b)
讨论,以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；不同时刻通过某固
定点的流线可以不同（见 b式），通过某流体质点所在位置的流线
也可以不同（见 c和 d式）。
t = 1时刻过流体质点 A所在位置的流线
方程为
x = 2 y－ 1/2 (d)
上式是一条与流体质点 A的迹线相切于
（ 3/2,1）点的斜直线，运动方向为
沿该直线朝 x,y值增大方向。
B2 流动分析基础
B2.2.3－ 4 脉线与流体线
流体线
又称 染色线、烟线或条纹线
脉线
定义 相继通过某空间点的
质点连线
时间线
某时刻标记的一串相连的
质点连线
B2 流动分析基础
B2.3.5 流管，流束与总流
流管,流线围成的管子
流束,流管内的流体
缓变流流束：流线平行或接近平行
微元流束：有限截面无限小的流束
总流,微元流束的总和
在有效截面上取平均值，按一维流动处理
B2 流动分析基础
B2.4 流体质点的随体导数
流体质点（随体）导数是质点物理量在运动中随时间的变化率。
右图中质点 p的位置不进行变化，位置
也是 t的函数，物理量 B(t) 可表示为
Bp = Bp [ xp ( t ),yp ( t ),zp ( t ),t ]
(1) 用求全导数方法得质点导数欧拉表达式
z
Bw
y
Bv
x
Bu
t
B
t
B
?
??
?
??
?
??
?
??
D
D
(2)从物理上解释质点导数：
tB?? 为当地（固定点）物理量 B随时间变化率，称为当地变
化率，反映流场的不定常性。
xBu?? 为不同位置（迁移）上物理量的差异引起的变化率，称为
迁移变化率，反映流场的不均匀性。
B2 流动分析基础
B2.4.2 加速度场
s
vv
t
va
s ?
??
?
??
1,三维流动
取,速度的质点导数为加速度()B ? v x,y,z,t
vvvvvvva )( ??????????????????? tzwyvxutDtD
2,一维流动
(1)沿流线 s,v=v(s,t)
(2)沿总流 s,v=v(s,t)
s
vv
t
va
s ?
??
?
??
[例 B2.4.2]收缩喷管流动：迁移加速度
已知,图 BE2.4.2示一圆锥形收缩喷管。长为 36 cm，底部与顶部直径分
别为 d0= 9 cm,d3 = 3 cm，恒定流量 Q = 0.02 m 3 / s。
按一维流动处理
解,取轴向流动方向为 x轴，原点在圆锥底部。
喷管内为定常流动，当地加速度为零，只有迁
移加速度。按一维流动 (B2.4.6)式计算
x
VVa
?
??
2
2
0 2 18.00 2 35.00 0 63 6.012045.0 xxxA ????????? ?? ?
求,图示四个截面 A0, A1, A2,A3上的加速度。
V为管截面上的平均速度。设任意管截面与底部
的距离为 x，面积 A与 x的关系为
任一截面上的平均速度和加速度为
2
3
0436.00235.0 Q
A
x
x
VV
A
QV
??
?
?
?
计算结果如下表
1-s/xV??
8834.00312.2528.290.000710.36A 3
682.0067.1810.150.001970.24A 2
128.0024.655.1900.003850.12A 1
36.5011.603.1440.006360.00A 0
a/ms-2V /ms-1A /m2x /m截面
讨论,计算结果表明喷管进出口的直径比为 1:3，速度比为 1:9，加速度
比为 1:242。按牛顿第二定律流体有加速度必产生对喷管的冲击力，
而且该冲击力在不同截面上数值不同。例 B4.4.2将计算流体对喷
管的冲击力合力。
速度与加速度的变化曲线如图所示
B2 流动分析基础
B2.5 一点邻域内相对运动分析
B2.5.1亥姆霍兹速度分解定理
在 xy平面流场中,M0点邻近 M点的
速度在 x方向的分量可分解为
yxvyuxxuyxvyuMuMu d)(21dd)(21)()( 0 ????????????????
旋转速率 线变形速率 角变形速率
M0 平移速度 M 相对 M0的速度
B2 流动分析基础
B2.5.2 流体的变形
1.线变形（以平面流动为例）
(1)线应变率
流体面元的线尺度在 x方向的局部瞬时相对伸长速率
x
u
tx
txxu
xx ?
???
?
? ??
??
?
)(
(2)面积扩张率
流体面元的面积在平面内的局部瞬时相对扩张速率
y
v
x
uv
?
??
?
????
(3)体积膨胀率
流体体元的体积在空间的局部瞬时相对膨胀速率
z
w
y
v
x
uv
?
??
?
??
?
????
y
v
yy ?
???同理
[例 B2.5.2]膨胀流动：线应变率与面积扩张率
解,(1)按（ B2.3.5a）式，因 v=0,流线微分
方程为 dy = 0，积分可得流线方程为
已知,设平面流场为
（ k > 0，为常数）
??
?
?
?
0v
kxu
说明流线是平行于 x轴的直线族。线应变率为
kxuxx ????? 0???? yvyy?
求,（ 1）流线、线应变率和面积扩张率表达式；
y = c ( c为常数 )
（ 2） 设 k=1,t=0时刻边长为 1的正方形流体面 abcd位于图 BE2.5.2
所示位置,求 t=t‘时刻点 a(1,3)到达点 a’(3,3)时流体面 a‘b’c‘d’的
位置和形状。
说明 x方向的线元以恒速率 k伸长,y方向的线元长度保持不变。
面积扩张率为
kyvxuv ?????????
说明流场中每一点的瞬时面积相对扩张率为常数，任何单位面积的流
体面均以恒速率 k扩张，通常将这种流动称为膨胀流（当 k < 0时为收
缩流）。
（ 2）设 t = 0时，质点位于 M（ x,y）,t = t ‘ 时位于 M ’ (x‘ y’ )。
按（ B2.3.3a）式求质点轨迹方程
?
?
?
??
?
?
?
?
0
d
d
d
d
t
y
kx
t
x
??
?
?
?
?
? ??
cy
tk
x
x tx
x
'
0
'
dd
??
?
?
?
?
?
'
''ln
yy
kt
x
x
(a)
(b)
对流体面 abcd和 a'b'c'd '内所有质点均满足 (a),(b)式。现
t'相同,x'/x也相同。设 k =1，由点 a和 a',x'/x = 3，即 x'=3x，
y'=y，因此 M '(x',y') = M '(3x,y)。
abcd和 a‘b’c‘d’四角点的坐标分别为 a(1,3), b(2,3),c(2,4)，
d(1,4),a‘(3,3),b’(6,3),c‘(6,4) d’(3,4),a‘b’c‘d’的位置
和形状如图 B2.5.2中虚线所示，说明从 t=0到 t=t‘，流体面在 x方向
扩张了 3倍,
（此流场纯属假想，很难找到与之相符的实际例子）。
B2 流动分析基础
B2.5.2 流体的变形 (续）
2.角变形速率
两正交线元的夹角在 xy平面内的局部
瞬时变化速率
y
u
x
v
xy ?
??
?
????
B2.5.3 流体的旋转
? 旋转角速度 两正交线元在 xy面内绕一点的旋转角速度平均值
???????? ?????? yuxvz 21?
（规定逆时针方向为正）
? 涡量 （三维流场）
wvu
zyx ?
?
?
?
?
?
??????
kji
v
???
???
?2
B2 流动分析基础
B2.6 流动分类
B2.6.1 层流与湍流
2,雷诺数
μ
Vd??Re
1,经典实验
雷诺实验 (1883)
哈根实验 (1839)
林格伦实验 (1957)
V 流速,d 特征长度,ρ,μ 流体密度、粘度
圆管临界雷诺数 2 3 0 0Re ?
cr
流场显示
阻力测量
热线测速
B2 流动分析基础
B2.6.2 内流与外流
管道流（不可压缩流体）
喷管流（可压缩流体）
明渠流
流体机械
内流
粘性边界层
外部势流
外流
按流场是否被固体边界包围分类
B2 流动分析基础
B2.7 常用的流动分析方法
质量守恒定律
动量定律（牛顿第二定律）
能量守恒定律（热力学第一定律）
基本的物理定律
系统与控制体分析法
微分与积分分析法
量纲分析法
基本的分析方法
