B3 微分形式的基本方程
B3.1 微分形式的质量守恒方程
B3.1.1 流体运动的连续性原理
? 根据质量守恒定律，不可压缩流体流进
控制体的质量应等于流出控制体的质量，
称其为流体运动的连续性原理。
? 由哈维发现的人体血液循环理论是流体
连续性原理的例证：
动脉系统
毛细管系统
静脉系统
心脏
B3.1 微分形式的连续性方程
B3.1.2 微分形式的连续性方程
? 微分形式的流体连续性方程化为
? ? ? ? ? ?
t
ρ
z
wρ
y
vρ
x
uρ
?
???
?
??
?
??
?
?
对长方形控制体元，在单位体积内三个坐标方向净流出的质
流量应等于密度的减少率
Dt
D ρ
ρ
1???? v
上式表明：一点邻域内流体体积的相对膨胀率等于流体密
度的相对减少率。
方程的限制条件：同种流体。
? 对不可压缩流体，相对膨胀率处处为零：
0??? v
B3 微分形式的基本方程
B3.2 作用在流体微元上的力
流场中的分布力
表面力
As d/dF 切向应力 ?
? 重力场,)( gzg ????? kf
? 重力势,gzπ?
法向应力 p
单位质量流体 f体积力
?d/d bF
重力、惯性力
单位体积流体 fρ 电磁力
B3.2 作用在流体微元上的力
B3.2.3 流体应力场
1.一点的表面应力矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzτzyτzxτ
yzτyypyxτ
xzτxyτxxp
?P
该矩阵是对称矩阵，只有 6个分量是独立的。
2.应力矩阵的常用表达式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zσzyτzxτ
yzτyσyxτ
xzτxyτxσ
p00
0p0
00p
P
在运动粘性流体中压强 ? ?zzpyypxxp31p ????
压强项 偏应力项
B3.3 微分形式的动量方程
B3 微分形式的基本方程
牛顿第二定律用于
单位体积流体元，
并运用质点导数公式，可得
)zuwyuvxuutu(ρzxzτyxyτxxxpxfρ ?????????????????????
)zvwyvvxvutv(ρzyzτyyypxyxτyfρ ?????????????????????
)zwwywvxwutw(ρzzzpyzyτxzxτzfρ ?????????????????????
体积力 表面力梯度 质量密度 加速度
B3.4 纳维－斯托克斯方程
B3 微分形式的基本方程
对均质不可压缩（ 常数）牛顿流体 ( 常数）,N－ S方程为?ρ ??
??
?
?
?
??
?
?
?
???
?
???
?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
??
?
??
?
?
2z
u2
2y
u2
2x
u2μ
x
pxfρ
z
uw
y
uv
x
uu
t
uρ
??
?
?
?
??
?
?
?
???
?
???
?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
??
?
??
?
?
2z
v2
2y
v2
2x
v2μ
y
pyfρ
z
vw
y
vv
x
vu
t
vρ
??
?
?
?
??
?
?
?
???
?
???
?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
??
?
??
?
?
2z
w2
2y
w2
2x
w2μ
z
pzfρ
z
ww
y
wv
x
wu
t
wρ
矢量式 vfvvv 2????????
?
? ??? p])([
t
质量密度 加速度＝体积力＋压差力＋粘性力?
B3 微分形式的基本方程
B3.5 边界条件与初始条件
1.常见边界条件
(1)固体壁面
粘性流体不滑移条件 v = v固
流体法向速度连续 vn = v n固
(2)外流无穷远条件, v = v∞,p = p∞
(3)内流出入口条件, v = vin (out),p = p in (out)
(4)自由面条件,,pp a? 0τs ?
(5)两种粘性流体交界面：速度、压强、切应力连续
? 初始条件,时刻的条件0tt? （例 3.5.1）
B3.6 压强场
B3.6.1 静止重力流体中的压强分布
,0?? yfxf gzf ??在重力场中
gzp ?????
由 N－ S方程可得
cgzp ??? ?
说明：在静止重力流体中，铅垂方向的压强梯度是由单位体积
流体的重力决定的，
积分上式可得
积分常数 c由边界条件决定。
B3.6.1 静止重力流体中的压强分布
对具有自由液面的液体，压强分布为
ρ g hpp 0 ??
0p 为自由面上的压强,h为淹深。
上式称为均质静止流体液体压强公式。
(1) 在垂直方向，压强与淹深成线性关系
(2) 水平方向压强保持常数
均质静止液体中压强分布特征：
? 静压强分布图
? 等压面概念
B3.6 压强场
B3.6.2 压强计算方法与单位
1,压强计算方法
ρg hpp 0 ??
习惯上 gpp?
压强基准
真空度 vp
完全真空 绝对压强 abp
表压强 gp
大气压强 ap
B3.6.2 压强计算方法与单位
2.压强单位
21P a = 1 N m
?标准大气压 atm(标准国际大气模型 )
?液柱高：
a 21 a tm 1 0 1, 3 k p 1 0, 3 3 m H O 7 6 0 m m H g? ? ?
?国际单位制（ SI）：帕斯卡 Pa
毫米汞柱 mmHg（血压计）
米汞柱 mH2O （水头高）
B3.6 压强场
B3.6.3 运动流场中的压强分布
压强系数
2
0
0
2
1C v
pp
p
?
??
0p 0v为参考压强,为参考速度。
1,惯性力对压强分布的影响
2,粘性力对压强分布的影响
B3.6 压强场
B3.6.3 运动流场中的压强分布
? 汽车与飞机绕流：
复杂物面的压强分布
B3.1 微分形式的质量守恒方程
B3.1.1 流体运动的连续性原理
? 根据质量守恒定律，不可压缩流体流进
控制体的质量应等于流出控制体的质量，
称其为流体运动的连续性原理。
? 由哈维发现的人体血液循环理论是流体
连续性原理的例证：
动脉系统
毛细管系统
静脉系统
心脏
B3.1 微分形式的连续性方程
B3.1.2 微分形式的连续性方程
? 微分形式的流体连续性方程化为
? ? ? ? ? ?
t
ρ
z
wρ
y
vρ
x
uρ
?
???
?
??
?
??
?
?
对长方形控制体元，在单位体积内三个坐标方向净流出的质
流量应等于密度的减少率
Dt
D ρ
ρ
1???? v
上式表明：一点邻域内流体体积的相对膨胀率等于流体密
度的相对减少率。
方程的限制条件：同种流体。
? 对不可压缩流体，相对膨胀率处处为零：
0??? v
B3 微分形式的基本方程
B3.2 作用在流体微元上的力
流场中的分布力
表面力
As d/dF 切向应力 ?
? 重力场,)( gzg ????? kf
? 重力势,gzπ?
法向应力 p
单位质量流体 f体积力
?d/d bF
重力、惯性力
单位体积流体 fρ 电磁力
B3.2 作用在流体微元上的力
B3.2.3 流体应力场
1.一点的表面应力矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzτzyτzxτ
yzτyypyxτ
xzτxyτxxp
?P
该矩阵是对称矩阵，只有 6个分量是独立的。
2.应力矩阵的常用表达式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zσzyτzxτ
yzτyσyxτ
xzτxyτxσ
p00
0p0
00p
P
在运动粘性流体中压强 ? ?zzpyypxxp31p ????
压强项 偏应力项
B3.3 微分形式的动量方程
B3 微分形式的基本方程
牛顿第二定律用于
单位体积流体元，
并运用质点导数公式，可得
)zuwyuvxuutu(ρzxzτyxyτxxxpxfρ ?????????????????????
)zvwyvvxvutv(ρzyzτyyypxyxτyfρ ?????????????????????
)zwwywvxwutw(ρzzzpyzyτxzxτzfρ ?????????????????????
体积力 表面力梯度 质量密度 加速度
B3.4 纳维－斯托克斯方程
B3 微分形式的基本方程
对均质不可压缩（ 常数）牛顿流体 ( 常数）,N－ S方程为?ρ ??
??
?
?
?
??
?
?
?
???
?
???
?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
??
?
??
?
?
2z
u2
2y
u2
2x
u2μ
x
pxfρ
z
uw
y
uv
x
uu
t
uρ
??
?
?
?
??
?
?
?
???
?
???
?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
??
?
??
?
?
2z
v2
2y
v2
2x
v2μ
y
pyfρ
z
vw
y
vv
x
vu
t
vρ
??
?
?
?
??
?
?
?
???
?
???
?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
??
?
??
?
?
2z
w2
2y
w2
2x
w2μ
z
pzfρ
z
ww
y
wv
x
wu
t
wρ
矢量式 vfvvv 2????????
?
? ??? p])([
t
质量密度 加速度＝体积力＋压差力＋粘性力?
B3 微分形式的基本方程
B3.5 边界条件与初始条件
1.常见边界条件
(1)固体壁面
粘性流体不滑移条件 v = v固
流体法向速度连续 vn = v n固
(2)外流无穷远条件, v = v∞,p = p∞
(3)内流出入口条件, v = vin (out),p = p in (out)
(4)自由面条件,,pp a? 0τs ?
(5)两种粘性流体交界面：速度、压强、切应力连续
? 初始条件,时刻的条件0tt? （例 3.5.1）
B3.6 压强场
B3.6.1 静止重力流体中的压强分布
,0?? yfxf gzf ??在重力场中
gzp ?????
由 N－ S方程可得
cgzp ??? ?
说明：在静止重力流体中，铅垂方向的压强梯度是由单位体积
流体的重力决定的，
积分上式可得
积分常数 c由边界条件决定。
B3.6.1 静止重力流体中的压强分布
对具有自由液面的液体，压强分布为
ρ g hpp 0 ??
0p 为自由面上的压强,h为淹深。
上式称为均质静止流体液体压强公式。
(1) 在垂直方向，压强与淹深成线性关系
(2) 水平方向压强保持常数
均质静止液体中压强分布特征：
? 静压强分布图
? 等压面概念
B3.6 压强场
B3.6.2 压强计算方法与单位
1,压强计算方法
ρg hpp 0 ??
习惯上 gpp?
压强基准
真空度 vp
完全真空 绝对压强 abp
表压强 gp
大气压强 ap
B3.6.2 压强计算方法与单位
2.压强单位
21P a = 1 N m
?标准大气压 atm(标准国际大气模型 )
?液柱高：
a 21 a tm 1 0 1, 3 k p 1 0, 3 3 m H O 7 6 0 m m H g? ? ?
?国际单位制（ SI）：帕斯卡 Pa
毫米汞柱 mmHg（血压计）
米汞柱 mH2O （水头高）
B3.6 压强场
B3.6.3 运动流场中的压强分布
压强系数
2
0
0
2
1C v
pp
p
?
??
0p 0v为参考压强,为参考速度。
1,惯性力对压强分布的影响
2,粘性力对压强分布的影响
B3.6 压强场
B3.6.3 运动流场中的压强分布
? 汽车与飞机绕流：
复杂物面的压强分布
