B5 量纲分析与相似原理
SI制中的基本量纲：
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
1,物理量的量纲
导出量纲：用基本量纲的幂次表示。
dim m = M,dim l = L,dim t = T
物理量
大小
类别
导出量纲
工程单位制
国际单位制
英 制
单位制
量纲
基本量纲
量纲幂次式
B5 量纲分析与相似原理
应变率
角速度，角加速度
其他量
1d imd im ??? Txx ?? ?
2d im ?? T??1d im ?? T?
粘度系数
压强，压力，弹性模量
力，力矩
密度，重度
体积流量，质量流量
速度，加速度
常用量
13d im ?? TLQ
3d im ?? ML?
2d im ?? M L TF
21d imd imd im ????? TMLKp ?
11d im ??? TML?
1d im ?? MTm?
22d im ??? TML?
22d im ?? TMLL
12d im ?? TLv
1d im ?? LTv 2d im ?? LTg
B5 量纲分析与相似原理
注,为温度量纲
（比）焓，内能
（比） 熵
导热系数
比热
表面张力系数
功率
能量，功，热
动量，动量矩
惯性矩，惯性积 4d imd im LII
xyx ??
1d im ?? M L TI
22d imd imd im ???? TMLQWE
32d im ?? TMLP
122d imd im ?? ??? TLcc vp
12d im ?? TMLL
13d im ?? ?? M L Tk
2d im ?? MT?
122d im ?? ?? TMLs
12d imd im ???? TLei
?
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时，
每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。
2,量纲齐次性原理
??? pzgv ?? 221 常数 （沿流线）
? ? ? ? LLTLT
g
v 1221 ??
???
?
???
? ???
2
d i m
2
L? z d im
? ?? ? ? ? LLTMLTMLp 1221- ????
?
?
???
? ????? 13 d i m
?
L?常数d im
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
忽略重力的伯努利方程
3,物理方程的无量纲化
（沿流线）
0
2
02
1
2
1 pvpv 2 ??? ??
2
02
0
0
p )v
v(1
vρ
2
1
ppC ???? （沿流线）无量纲化伯努利方程
? 在无粘性圆柱绕流中
1C,0v p ??前后驻点
30 ??? pC,v2v上下侧点
θ4 s in1C 2p ??其他点
? 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
柱面上：
,s in0θ ?vv ??
柱面外,pC Rr流场中 还与无量纲半径 有关
·
C·
D
A Ba ?
0,0vp
B5 量纲分析与相似原理
B5.2 量纲分析与 П 定理
量纲分析概念
一个方程中多项量纲必须齐次；
一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以
按 量纲齐次性原理 作分析。
类比：角色分析
量纲分析法 主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的
物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用
无量纲参数 之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物
理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分
析和实验研究。
x1 =φ(x 2,x 3,……,x n )
П1 = f (П2,П3,……,П n-r )
提议用量纲分析的是瑞利（ L.Reyleigh,1877),奠定理论基础
的是布金汉（ E.Buckingham,1914),
B5.2.1 П 定理
B5 量纲分析与相似原理
Π定理
方 法
充要条件
n个物理量
r个独立
基本量
n-r个导出量
选 r个独立
基本量
组成 n-r个
独立 Π 数
量纲分析方法等
B5 量纲分析与 П 定理
B5.2.2 量纲分析法
1,一般步骤：以圆柱绕流为例
第 1步, 列举所有相关的物理量。
第 2步, 选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（或称为
重复量，取 3个）。
第 3步,将其余的物理量作为导出量,即, μ分别与基本
量的幂次式组成 П 表达式 (参见例 B5.2.2)。
),,,( ??? dVF D ?
阻力 密度 速度 直径 粘度系数
选 ρ, V, d
DF
B5.2.2 量纲分析法
2,量纲分析的优点
次）4D ( 1 0 ),,,( ??? dv?F
DC
eR
? ? R fC eD ?
?
DF
v
DF
d
DF
?
DF
不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流动，分析压强降低与
相关物理量的关系。
[例 B5.2.2] 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤
解：
1．列举物理量。 Δp,V,d,ε,ρ,μ,l，共 7个
),,,,,( ldVp ??????
2．选择基本量,ρ,V,d
3,列 П 表达式求解 П 数
① П1=ρa V bd cΔp
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T – 1 )b L c (M L –1 T – 2 )
[例 B5.2.2] 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤
??
?
?
?
???
?????
??
02,
013,
01,
bT
cbaL
aM
解得,a = -1,b = -2,c = 0
1
2
1
2
pΠ Eu
ρ V
???（欧拉数,1/2是人为加上去的）
② П2 =ρa b b c cμ
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
[例 B5.2.2] 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤
?
?
?
?
?
???
?????
??
01,
013,
01,
bT
cbaL
aM
解得,a = b = c = -1
Re
1
2 ??? Vd?
? (雷诺数 )
③ П3 =ρa V bd cε
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c L
解得,a = b = 0,c = -1
[例 B5.2.2] 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤
d
???
3
（相对粗糙度）
④ П4 =ρa V bd c l (同上 )
d
l??
4
（几何比数）
4,列 П 数方程
),( 4,321 ????? f
),( R e,
2
1 2 d
l
dfV
p ?
?
??即
),( R e,21 2 dldfVp ????或
不可压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。
[例 B5.2.2A] 三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较
2．选择基本量,ρ,g,h
3,列 П 表达式求解 П 数
解：
1．列举物理量。 Q,ρ,g, h, 共 5个?
),,,( ??? hgQ ?
① Qhg cba??? 1
M 0 L 0 T 0 = ( M L – 3 ) a ( L T – 2 ) b L c ( L 3 T – 1 )
[例 B5.2.2A] 三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较
?
?
?
?
?
???
?????
?
012:
033:
0:
bT
cbaL
aM
解得,a = 0,b = - 1 / 2,c = - 5 / 2
2/12/51 gh
Q??
4,列 П数方程
П1= f (П2)
)(2/12/5 ?fgh Q ?
② （弧度，无量纲）??? 2
[例 B5.2.2A] 三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较
或
讨论,① 结果表明 Q与 ρ无关，与 h成 5/2次方关系。与例 B4.3.3中的解
析式一致，解析式为
2/5)(2
15
8 hfgQ ??
② 对一孔口角已确定的三角堰,(c )式已明确地表达了 Q与 h的理论关
系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。
由实验确定)(?f
2/5)( hgfQ ?? ( c)
B5 量纲分析与相似原理
B5.3 流动相似与相似准则
几何相似
同类现象
相似现象
B5.3.1 流动相似性
流动相似
形状相似 尺度成比例
遵循同一方程
物理量成比例
尺度成比例
时间成比例
速度成比例
力成比例
几何相似
时间相似
运动相似
动力相似
B5 量纲分析与相似原理
B5.3.2 相似准则
1,矩形相似
lkh
h
l
l ??
'' *'
' l
h
l
h
l ??
*l 称为相似准则数或无量纲边长。
2,流动相似
① 几何相似准则数,*l
b
l ?
② 运动相似准则数,*v
U
v ?
*FFF
i
?③ 动力相似准则数：
（ 为惯性力）
iF
*F当 F 为粘性力,为粘性流动动力相似准则数
*F当 F 为重力,为重力流动动力相似准则数
B5 量纲分析与相似原理
B5.4 相似准则数的确定
1,量纲分析法
对不可压缩粘性流体的流动, ρ,V,l,μ,g,Δp,ω
Re1 ??? ?? Vl 雷诺数
2
2
2
V Fr
lg? ??
佛鲁德数
EuVp ???? 23 ? 欧拉数
StV l ??? ?4 斯特哈尔数
优点：适用未知物理方程的流动。
缺点：选准物理量较难，物理意义不明确。
2,方程分析法
以 N-S 方程 x 方向的投影式为例
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
pf
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
x ?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
(B5.4.2)
B5.4 相似准则数的确定
令 * * *u v wu,v,w,V V V? ? ?* * *x y zx,y,z,l l l? ? ?* * *xx
0
f pf,p,t t
gp ?? ? ?
代入 ( B5.4.2 )式得
粘性力
惯性力??
?
? VlRe
重力
惯性力?? 22
gl
VFr
惯性力
压力??
2
0
V
pEu
? 迁移惯性力
不定常惯性力??
V
lSr ?
( ) ( ) ( ) ( )** * * * 2 * 2 * 2 ** * * * 0x22* * * * * * 2 * 2 * 2pl g pl u u u u u u uu v w fV VlVVt x y z x x y z?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
根据物理法则或物理定律用特征物理量表示各种力的量级，用
这些力的量级比值构成相似准则数。
B5.4 相似准则数的确定
与流体微元尺度相应的特征物理量 l
与流体微元速度相应的特征速度 V
与流体微元质量相应的特征质量 3l?
与流体微元粘性相应的粘度系数 ?
与流体微元压强相应的压强差 p?
与流体微元不定常运动相应的特征角速度 ? ?s1 ?
3,物理法则分析法
优点：导出的相似准则数物理意义明确；
缺点：不能用于未知物理方程的流动。
无量纲方程既适用于模型也适用于原型。
B5.4 相似准则数的确定
迁移惯性力 2223 / )( lVlVl
s
vvmF
I ??? ???
??
粘性力
VllVlAdndvF v ???? ??? 2
重力 glgmF
g 3 )( ?? ??
?Re ??V
?2Fr lgV2
3,物理法则分析法
迁移惯性力 22 lVF I ??
压差力 2 plApF
p ???? ?
不定常惯性力 ??? vlmF
It
2
t
v)( ?
?
??
?Eu 2vp ??
?Sr vl?
优点：导出的相似准则数物理意义明确；
缺点：当无法判定控制流动的物理定律时不能运用。
适用于未知物理方程的流动 。
B5 量纲分析与相似原理
B5.5 常用的相似准则数
1,Re 数 (雷诺数 )
?
? Vl?Re
低雷诺数粘性流动
平板边界层 外流速度 距前缘距离
钝体绕流 来流速度 截面宽度
圆管流动 平均流速 管直径
V l
1Re ??
2300R er ? 区分粘性流动层流与湍流态
1Re ??
边界层外无粘流
边界层内以 为界区分
层流与湍流态
5er 1050R ??
B5.5 常用的相似准则数
2,Fr 数 (弗鲁德 数 )
gr
V?Fr
明渠流 平均流速 水深
水面船舶 船舶速度 船长
V l
Fr 数是描述具有自由液面的液体流动时最重要的无量
纲参数。如水面船舶的运动和明渠流中的水流。
B5.5 常用的相似准则数
3,Eu 数 (欧拉数 )
Eu 2pV??
p 可以是某一点的特征压强，也可以是两点的压强差； V 为
特征速度,ρ为流体密度。在描述压强差时,Eu数常称为压
强系数
2V
2
1
pC
p
?
??
当在液体流动中局部压强低于当地蒸汽压强 pv 时,Eu 数又
称为空泡数或空蚀系数
2V
2
1
pp v
?
? ??
B5.5 常用的相似准则数
4,Sr数（斯特哈尔数）
V
lSr ??
l 为特征长度,V 为特征速度,ω为脉动圆频率。
Wo数（沃默斯利数）
?
?lWo ?
v 为流体的运动粘度系数,Wo 数也称为频率参数表示不定常
惯性力与粘性力之量级比,用于描述粘性流体脉动流特征。
B5.5 常用的相似准则数
5,Ma数（马赫数）
Ma = V / c
V 为特征速度,c 为当地声速。
6,We 数（韦伯数）
?
? lVWe 2?
σ为液体的表面张力系数。
We数表示惯性力与表面张力之量级比，研究气液，液液
及液固交界面上的表面张力作用。
B5.5 常用的相似准则数
7,Ne 数（牛顿数）
F 为外力,Ne 数表示外力与流体惯性力之量级比，用于描述
运动物体在流体中产生的阻力、升力、力矩和（动力机械的）
功率等等影响。分别称为
22 lV
FNe
??
22 lV
2
1
DC
D
?
?阻力系数
升力系数
22 lV
2
1
LC
L
?
?
力矩系数 32 lV
2
1
MC
M
?
?
动力系数
3523 nD
P
lV
PC
P ?? ??
（ D 为动力机械旋转部件的直径,n为转速。）
B5 量纲分析与相似原理
1,什么是模型实验？
B5.6 模型实验与相似原理
B5.6.1 模型实验
模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物
理现象的实验。实际发生的现象被称为原型现象，模型实验的
侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保证模型实验和原型
中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。
2．为什么要进行模型实验？
? 科学研究和生产设计需要做模型实验 ；
? 并不是所有的流动现象都需要做模型实验。做理论分析或数
值模拟的流动现象都不必模拟实验。
? 并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对其流动现
象有充分的认识，并了解支配其现象的主要物理法则，但
还不能对其作理论分析或数值模拟的原型最适合做模型实验。
B5.6.1 模型实验
B5.6.2 相似原理
原型现象的 Π数方程,Π1 = f (Π2,Π3,……Π n )
模型现象的 Π数方程,Π1m = f (Π2 m,Π3 m,……Π n m )
Π2 m=Π2,Π3 m= Π3,……, Πn m= Πn相似条件：
相似结果,Π1= Π1 m
由支配流动现象的主要物理法则导出的相似准则数，称为
主相似准则数，或简称为主 Π数。
相似理论和实践经验表明：在几何相似的条件下，保证
模型和原型现象中的主 Π数相等，就能保证模型和原型现
象相似，并使除主 Π数外的其他相关 Π数也相等。
B5 量纲分析与相似原理
B5.6.3 关于相似原理的讨论
1．尼古拉兹图与穆迪图比较
B5.6.3 关于相似原理的讨论
若要保证 2个主 Π数均相等，如
为保证两 主 Π数 同时相等，应有
2．关于主 Π数
由 Fr数相等
由 Re数相等
kllVV mm ??
kl
l
V
V m
m
mm 1
?
?
?
? ??
2/3k
V
Vk mm ??
?
?
设 k = 0.1,ν= 0.1 cm2/s，应有 νm= = 0.00032 cm2/s。
无法找到运动粘度系数如此低的实验流体来实现完全相似。
造船业上的惯常方法是：保证 F数为主 Π数 作模型实验，然后
根据经验对粘性阻力影响作修正处理，称为近似相似。
B5.6.3 关于相似原理的讨论
3．自模性
从穆迪图上可看到，当 Re
数达到足够大后，管道流动进
入完全粗糙区时，阻力系数保
持常数，与 Re无关，而仅与粗
糙度有关。这种与主 Π数无关的
流动称为自模性。
穆迪利用自模性引入商用
管道等效粗糙度概念。
SI制中的基本量纲：
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
1,物理量的量纲
导出量纲：用基本量纲的幂次表示。
dim m = M,dim l = L,dim t = T
物理量
大小
类别
导出量纲
工程单位制
国际单位制
英 制
单位制
量纲
基本量纲
量纲幂次式
B5 量纲分析与相似原理
应变率
角速度，角加速度
其他量
1d imd im ??? Txx ?? ?
2d im ?? T??1d im ?? T?
粘度系数
压强，压力，弹性模量
力，力矩
密度，重度
体积流量，质量流量
速度，加速度
常用量
13d im ?? TLQ
3d im ?? ML?
2d im ?? M L TF
21d imd imd im ????? TMLKp ?
11d im ??? TML?
1d im ?? MTm?
22d im ??? TML?
22d im ?? TMLL
12d im ?? TLv
1d im ?? LTv 2d im ?? LTg
B5 量纲分析与相似原理
注,为温度量纲
（比）焓，内能
（比） 熵
导热系数
比热
表面张力系数
功率
能量，功，热
动量，动量矩
惯性矩，惯性积 4d imd im LII
xyx ??
1d im ?? M L TI
22d imd imd im ???? TMLQWE
32d im ?? TMLP
122d imd im ?? ??? TLcc vp
12d im ?? TMLL
13d im ?? ?? M L Tk
2d im ?? MT?
122d im ?? ?? TMLs
12d imd im ???? TLei
?
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时，
每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。
2,量纲齐次性原理
??? pzgv ?? 221 常数 （沿流线）
? ? ? ? LLTLT
g
v 1221 ??
???
?
???
? ???
2
d i m
2
L? z d im
? ?? ? ? ? LLTMLTMLp 1221- ????
?
?
???
? ????? 13 d i m
?
L?常数d im
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
忽略重力的伯努利方程
3,物理方程的无量纲化
（沿流线）
0
2
02
1
2
1 pvpv 2 ??? ??
2
02
0
0
p )v
v(1
vρ
2
1
ppC ???? （沿流线）无量纲化伯努利方程
? 在无粘性圆柱绕流中
1C,0v p ??前后驻点
30 ??? pC,v2v上下侧点
θ4 s in1C 2p ??其他点
? 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
柱面上：
,s in0θ ?vv ??
柱面外,pC Rr流场中 还与无量纲半径 有关
·
C·
D
A Ba ?
0,0vp
B5 量纲分析与相似原理
B5.2 量纲分析与 П 定理
量纲分析概念
一个方程中多项量纲必须齐次；
一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以
按 量纲齐次性原理 作分析。
类比：角色分析
量纲分析法 主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的
物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用
无量纲参数 之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物
理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分
析和实验研究。
x1 =φ(x 2,x 3,……,x n )
П1 = f (П2,П3,……,П n-r )
提议用量纲分析的是瑞利（ L.Reyleigh,1877),奠定理论基础
的是布金汉（ E.Buckingham,1914),
B5.2.1 П 定理
B5 量纲分析与相似原理
Π定理
方 法
充要条件
n个物理量
r个独立
基本量
n-r个导出量
选 r个独立
基本量
组成 n-r个
独立 Π 数
量纲分析方法等
B5 量纲分析与 П 定理
B5.2.2 量纲分析法
1,一般步骤：以圆柱绕流为例
第 1步, 列举所有相关的物理量。
第 2步, 选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（或称为
重复量，取 3个）。
第 3步,将其余的物理量作为导出量,即, μ分别与基本
量的幂次式组成 П 表达式 (参见例 B5.2.2)。
),,,( ??? dVF D ?
阻力 密度 速度 直径 粘度系数
选 ρ, V, d
DF
B5.2.2 量纲分析法
2,量纲分析的优点
次）4D ( 1 0 ),,,( ??? dv?F
DC
eR
? ? R fC eD ?
?
DF
v
DF
d
DF
?
DF
不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流动，分析压强降低与
相关物理量的关系。
[例 B5.2.2] 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤
解：
1．列举物理量。 Δp,V,d,ε,ρ,μ,l，共 7个
),,,,,( ldVp ??????
2．选择基本量,ρ,V,d
3,列 П 表达式求解 П 数
① П1=ρa V bd cΔp
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T – 1 )b L c (M L –1 T – 2 )
[例 B5.2.2] 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤
??
?
?
?
???
?????
??
02,
013,
01,
bT
cbaL
aM
解得,a = -1,b = -2,c = 0
1
2
1
2
pΠ Eu
ρ V
???（欧拉数,1/2是人为加上去的）
② П2 =ρa b b c cμ
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
[例 B5.2.2] 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤
?
?
?
?
?
???
?????
??
01,
013,
01,
bT
cbaL
aM
解得,a = b = c = -1
Re
1
2 ??? Vd?
? (雷诺数 )
③ П3 =ρa V bd cε
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c L
解得,a = b = 0,c = -1
[例 B5.2.2] 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤
d
???
3
（相对粗糙度）
④ П4 =ρa V bd c l (同上 )
d
l??
4
（几何比数）
4,列 П 数方程
),( 4,321 ????? f
),( R e,
2
1 2 d
l
dfV
p ?
?
??即
),( R e,21 2 dldfVp ????或
不可压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。
[例 B5.2.2A] 三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较
2．选择基本量,ρ,g,h
3,列 П 表达式求解 П 数
解：
1．列举物理量。 Q,ρ,g, h, 共 5个?
),,,( ??? hgQ ?
① Qhg cba??? 1
M 0 L 0 T 0 = ( M L – 3 ) a ( L T – 2 ) b L c ( L 3 T – 1 )
[例 B5.2.2A] 三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较
?
?
?
?
?
???
?????
?
012:
033:
0:
bT
cbaL
aM
解得,a = 0,b = - 1 / 2,c = - 5 / 2
2/12/51 gh
Q??
4,列 П数方程
П1= f (П2)
)(2/12/5 ?fgh Q ?
② （弧度，无量纲）??? 2
[例 B5.2.2A] 三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较
或
讨论,① 结果表明 Q与 ρ无关，与 h成 5/2次方关系。与例 B4.3.3中的解
析式一致，解析式为
2/5)(2
15
8 hfgQ ??
② 对一孔口角已确定的三角堰,(c )式已明确地表达了 Q与 h的理论关
系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。
由实验确定)(?f
2/5)( hgfQ ?? ( c)
B5 量纲分析与相似原理
B5.3 流动相似与相似准则
几何相似
同类现象
相似现象
B5.3.1 流动相似性
流动相似
形状相似 尺度成比例
遵循同一方程
物理量成比例
尺度成比例
时间成比例
速度成比例
力成比例
几何相似
时间相似
运动相似
动力相似
B5 量纲分析与相似原理
B5.3.2 相似准则
1,矩形相似
lkh
h
l
l ??
'' *'
' l
h
l
h
l ??
*l 称为相似准则数或无量纲边长。
2,流动相似
① 几何相似准则数,*l
b
l ?
② 运动相似准则数,*v
U
v ?
*FFF
i
?③ 动力相似准则数：
（ 为惯性力）
iF
*F当 F 为粘性力,为粘性流动动力相似准则数
*F当 F 为重力,为重力流动动力相似准则数
B5 量纲分析与相似原理
B5.4 相似准则数的确定
1,量纲分析法
对不可压缩粘性流体的流动, ρ,V,l,μ,g,Δp,ω
Re1 ??? ?? Vl 雷诺数
2
2
2
V Fr
lg? ??
佛鲁德数
EuVp ???? 23 ? 欧拉数
StV l ??? ?4 斯特哈尔数
优点：适用未知物理方程的流动。
缺点：选准物理量较难，物理意义不明确。
2,方程分析法
以 N-S 方程 x 方向的投影式为例
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
pf
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
x ?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
(B5.4.2)
B5.4 相似准则数的确定
令 * * *u v wu,v,w,V V V? ? ?* * *x y zx,y,z,l l l? ? ?* * *xx
0
f pf,p,t t
gp ?? ? ?
代入 ( B5.4.2 )式得
粘性力
惯性力??
?
? VlRe
重力
惯性力?? 22
gl
VFr
惯性力
压力??
2
0
V
pEu
? 迁移惯性力
不定常惯性力??
V
lSr ?
( ) ( ) ( ) ( )** * * * 2 * 2 * 2 ** * * * 0x22* * * * * * 2 * 2 * 2pl g pl u u u u u u uu v w fV VlVVt x y z x x y z?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
根据物理法则或物理定律用特征物理量表示各种力的量级，用
这些力的量级比值构成相似准则数。
B5.4 相似准则数的确定
与流体微元尺度相应的特征物理量 l
与流体微元速度相应的特征速度 V
与流体微元质量相应的特征质量 3l?
与流体微元粘性相应的粘度系数 ?
与流体微元压强相应的压强差 p?
与流体微元不定常运动相应的特征角速度 ? ?s1 ?
3,物理法则分析法
优点：导出的相似准则数物理意义明确；
缺点：不能用于未知物理方程的流动。
无量纲方程既适用于模型也适用于原型。
B5.4 相似准则数的确定
迁移惯性力 2223 / )( lVlVl
s
vvmF
I ??? ???
??
粘性力
VllVlAdndvF v ???? ??? 2
重力 glgmF
g 3 )( ?? ??
?Re ??V
?2Fr lgV2
3,物理法则分析法
迁移惯性力 22 lVF I ??
压差力 2 plApF
p ???? ?
不定常惯性力 ??? vlmF
It
2
t
v)( ?
?
??
?Eu 2vp ??
?Sr vl?
优点：导出的相似准则数物理意义明确；
缺点：当无法判定控制流动的物理定律时不能运用。
适用于未知物理方程的流动 。
B5 量纲分析与相似原理
B5.5 常用的相似准则数
1,Re 数 (雷诺数 )
?
? Vl?Re
低雷诺数粘性流动
平板边界层 外流速度 距前缘距离
钝体绕流 来流速度 截面宽度
圆管流动 平均流速 管直径
V l
1Re ??
2300R er ? 区分粘性流动层流与湍流态
1Re ??
边界层外无粘流
边界层内以 为界区分
层流与湍流态
5er 1050R ??
B5.5 常用的相似准则数
2,Fr 数 (弗鲁德 数 )
gr
V?Fr
明渠流 平均流速 水深
水面船舶 船舶速度 船长
V l
Fr 数是描述具有自由液面的液体流动时最重要的无量
纲参数。如水面船舶的运动和明渠流中的水流。
B5.5 常用的相似准则数
3,Eu 数 (欧拉数 )
Eu 2pV??
p 可以是某一点的特征压强，也可以是两点的压强差； V 为
特征速度,ρ为流体密度。在描述压强差时,Eu数常称为压
强系数
2V
2
1
pC
p
?
??
当在液体流动中局部压强低于当地蒸汽压强 pv 时,Eu 数又
称为空泡数或空蚀系数
2V
2
1
pp v
?
? ??
B5.5 常用的相似准则数
4,Sr数（斯特哈尔数）
V
lSr ??
l 为特征长度,V 为特征速度,ω为脉动圆频率。
Wo数（沃默斯利数）
?
?lWo ?
v 为流体的运动粘度系数,Wo 数也称为频率参数表示不定常
惯性力与粘性力之量级比,用于描述粘性流体脉动流特征。
B5.5 常用的相似准则数
5,Ma数（马赫数）
Ma = V / c
V 为特征速度,c 为当地声速。
6,We 数（韦伯数）
?
? lVWe 2?
σ为液体的表面张力系数。
We数表示惯性力与表面张力之量级比，研究气液，液液
及液固交界面上的表面张力作用。
B5.5 常用的相似准则数
7,Ne 数（牛顿数）
F 为外力,Ne 数表示外力与流体惯性力之量级比，用于描述
运动物体在流体中产生的阻力、升力、力矩和（动力机械的）
功率等等影响。分别称为
22 lV
FNe
??
22 lV
2
1
DC
D
?
?阻力系数
升力系数
22 lV
2
1
LC
L
?
?
力矩系数 32 lV
2
1
MC
M
?
?
动力系数
3523 nD
P
lV
PC
P ?? ??
（ D 为动力机械旋转部件的直径,n为转速。）
B5 量纲分析与相似原理
1,什么是模型实验？
B5.6 模型实验与相似原理
B5.6.1 模型实验
模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物
理现象的实验。实际发生的现象被称为原型现象，模型实验的
侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保证模型实验和原型
中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。
2．为什么要进行模型实验？
? 科学研究和生产设计需要做模型实验 ；
? 并不是所有的流动现象都需要做模型实验。做理论分析或数
值模拟的流动现象都不必模拟实验。
? 并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对其流动现
象有充分的认识，并了解支配其现象的主要物理法则，但
还不能对其作理论分析或数值模拟的原型最适合做模型实验。
B5.6.1 模型实验
B5.6.2 相似原理
原型现象的 Π数方程,Π1 = f (Π2,Π3,……Π n )
模型现象的 Π数方程,Π1m = f (Π2 m,Π3 m,……Π n m )
Π2 m=Π2,Π3 m= Π3,……, Πn m= Πn相似条件：
相似结果,Π1= Π1 m
由支配流动现象的主要物理法则导出的相似准则数，称为
主相似准则数，或简称为主 Π数。
相似理论和实践经验表明：在几何相似的条件下，保证
模型和原型现象中的主 Π数相等，就能保证模型和原型现
象相似，并使除主 Π数外的其他相关 Π数也相等。
B5 量纲分析与相似原理
B5.6.3 关于相似原理的讨论
1．尼古拉兹图与穆迪图比较
B5.6.3 关于相似原理的讨论
若要保证 2个主 Π数均相等，如
为保证两 主 Π数 同时相等，应有
2．关于主 Π数
由 Fr数相等
由 Re数相等
kllVV mm ??
kl
l
V
V m
m
mm 1
?
?
?
? ??
2/3k
V
Vk mm ??
?
?
设 k = 0.1,ν= 0.1 cm2/s，应有 νm= = 0.00032 cm2/s。
无法找到运动粘度系数如此低的实验流体来实现完全相似。
造船业上的惯常方法是：保证 F数为主 Π数 作模型实验，然后
根据经验对粘性阻力影响作修正处理，称为近似相似。
B5.6.3 关于相似原理的讨论
3．自模性
从穆迪图上可看到，当 Re
数达到足够大后，管道流动进
入完全粗糙区时，阻力系数保
持常数，与 Re无关，而仅与粗
糙度有关。这种与主 Π数无关的
流动称为自模性。
穆迪利用自模性引入商用
管道等效粗糙度概念。
