C4 不可压缩粘性流体外流
C4.1 引言
C4 不可压缩粘性流体外流
流动特点
N-S方程
研究方法
解析法
自由湍流射流
大气边界层
交通工具
应 用
动量积分方程
壁面流动
实 验
数值法
分 离
贴 壁
外 层
分 区 内 层
建筑物绕流
阻力问题
动力响应
生态环境
边界层分离 形状阻力
势 流
边界层
速度分布 摩擦阻力
尾流区 形状阻力
边界层方程 摩擦阻力
C4.2 边界层概念
例 1：空气运动粘度 51 4 1 0 2,m s? ???
6
5
2 2 1 5 2 4 1 0
1 4 1 0
V h,R e,
.? ?
?? ? ? ?
?
大 Re数流动是常见现象,
1,边界层很薄
C4 不可压缩粘性流体外流
设汽车 1 5 8 0 2 2h, m,V k m h m s? ? ?
例 2：水运动粘度 61 1 0 2 m s? ???
7
6 108.2101
108.2Re ??
?
???
??
Vl
设船 1 0 1 0 2 8l m,V k m h, m s? ? ?
C4.2.1 边界层特点
普朗特理论：边界层内惯性力与粘性力量级相等。
C4.2.1 边界层特点
当 61 0,0 0 0 1R e l,???
2
2
~ y uxuu ???? ?? 2
2 ~
?
?? U
l
U
Ull ?
?? ~
2
2
Re
1 ~
l
?
2,边界层厚度增长
Uxx
x
?
?? ~)(
2
2
3,边界层内流态
实验测量表明边界层内层流
态向湍流态转 捩 的雷诺数为
53 2 1 0xcrR e,??
x( x ) ~
U
??
1,名义厚度 δ
C4.2.2 边界层厚度
定义为速度达到外流速度 99%的厚度。
C4.2 边界层概念
2,位移厚度
δ *
U
x
?
?? 0.5?
对平板层流边界层
将由于不滑移条件造成的质量亏损折算成
无粘性流体的流量相应的厚度 δ * 。 又称为
质量流量亏损厚度
0 1d
* u( ) y
U?
????
C4.2.2 边界层厚度
将由于不滑移条件造成的动量流量
亏损折算成无粘性流体的动量流量
相应的厚度 θ 。
3,动量厚度 θ
? 动量厚度 <位移厚度
1d0 uu( ) yUU? ????
[例 C4.2.2] 边界层位移厚度与动量厚度
上式中 y为垂直坐标,δ 为边界层名义厚度。
已知, 设边界层内速度分布为
??
???
?
??
?
???
yU
yyU s i nyu 2)(
求,(1)位移厚度 δ * ;(2)动量厚度 θ,(均用 δ 表示 )
2
0 0 0
2( 1 ) d s in 1 s in ) d ( s in s in ) d ( )
2 2 2 2
u u y y y y yy ( y
U U 2
??? ? ? ? ? ??
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00
2 2 1 1 2 2 2 1( - c o s ( s i n ) ( ) 0, 1 3 6 6
2 2 2 4 4 2
y y y) ??? ? ? ? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
(2) 按动量厚度的定义
(1) 按位移厚度的定义
000
2 y 2( 1 ) d ( 1 ) d ( c o s 0 3 6 322* uyy s in y y ),U ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? --
解,按速度分布式,u(0) = 0,u(δ)=U,符合边界层流动特点。
用 B5.4中的方程分析法可得一般二维流动无量纲方程组
C4.3 平板层流边界层精确解
忽略第二方程最后一项、第三方程除压强项的其他项 。
C4 不可压缩粘性流体外流
0*
*
*
*
?????? yvxu
)(Re1 2* *22* *2******** y ux uxpEuyuvxuu ???????????????
)(Re1 2* *22* *2******** y vx vypEuyvvxvu ???????????????
设,* * *y v ~ ?* l???,在边界层内 * 2 2,,1 1,E u 1* * *x u,p ~,R e ~ ~?
0
,,,.* * * * *u v x y pu,v x y pU U l l p? ? ? ? ?式中
1 1
2*1?11?
11? 1** 1?? ? 2*?
1*??*1?? *11 ?? *? *1?2*?
可得普朗特边界层方程组
C4.3 平板层流边界层精确解
① 第三式表明边界层内 y方向压强梯度为零，说明外部压强可穿
透边界层直接作用在平板上。外部压强由势流决定
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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0
1
0
2
2
y
p
y
u
x
p
y
u
v
x
u
u
y
v
x
u
?
?
② 第二式右边得到简化（ x方向二阶偏导数消失），有利于数值
计算。利用该方程就可计算壁切应力和流动阻力，具有里程碑
式意义。
说明,
ddpUU
xx???
C4.3.2 布拉修斯平板边界层精确解
边界条件
普朗特边界层方程可化为布拉修斯方程：
? ?' uf U? ?
用无量纲流函数 表示速度分量 u,v,如???f
布拉修斯利用相似性解法，引入无量纲坐标：
x
Uyy
??? ??
02 ''''' ?? fff
0,0 ' ??? ff?
1',f? ? ? ?
由数值解绘制的无量纲速度廓线
与尼古拉兹实验测量结果吻合。
对布拉修斯方程较精确的求解结果列于附录 E表 FE1中
并按速度分布式可分别求得：
U
x
?
?? 0.5?边界层名义厚度
理论结果与实验
测量结果一致
0 99',f ?按边界层名义厚度 定义，取? 得 50.? ?
壁面切应力
xUUw ??? 332.0?
壁面摩擦系数
2
0 664
1
2
w
f
x
.
U
c Re
?
???
C4.3.2 布拉修斯平板边界层精确解
C4.4边界层动量积分方程
对平板边界层前部取控制
体 OABC,AB为一条流线，
压强梯度为零，壁面上粘
性切应力合力为 FD
θ为动量厚度，对 FD求导可得
由动量方程
由连续性方程
00dd
uu y U h,h y
U
??????
0 0 0d d d
hx
D wu u y U U y F x
? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?
2 2 2
00d 1 dD
uuF U h u u y U y U
UU
??? ? ? ? ???? ? ? ? ???
????
2d d
ddD w
F U
xx
?????
称为卡门动量积分方程，适用于无压强梯度的平板定常层流和湍
流边界层流动
用壁面摩擦系数表示
d2
dfC x
??
当有压强梯度存在时，方程形式为
? ?2d d
dd
*
w
U UU
xx
?? ? ? ???
为位移厚度*?
动量积分方程的特点是建立了阻力与动量厚度（及位移厚度）
的关系。由于动量厚度是速度的二次表达式 的积分，对速度
廓线形状不很敏感，可用近似的速度廓线代替准确的速度廓
线，使计算大为简化。
C4.4边界层动量积分方程
C4.5.1 平板层流边界层
C4.5 无压强梯度平板边界层近似计算
设边界层纵向坐标 ? ?10/ ??? ??? y
速度分布式为 ? ??g
U
u ?
速度分布满足条件 ? ? ? ? 11,00 ?? gg
? ?1001 d 1 duu y g gUU?? ? ? ????? ? ? ? ???????
? ?10 1dgg?????
壁面切应力
? ?
? ?00
dd
ddwy
UguU||
y ?
?? ? ? ?
?? ???? ? ?
? ?0'g??
代入动量方程后可得
C4.5.1 平板层流边界层
x
fC Re
2???
l
D
D
lbU
FC
Re
8
2
1 2
??
?
??
上式中 FD是平板总阻力,l Ul R e ?? 。
表达式中比例因子不同。,??上述几式表明不同速度分布具有不同的
值，使 fD,C,C?
dd xU???? ???
xx Re
12
?
?? ?积分可得
C4.5.2 平板湍流边界层
C4.5 无压强梯度平板边界层近似计算
将光滑圆管湍流的结果移植到光滑平板上，速度分布用 1/7指
数式，壁面切应力采用布拉修斯公式。取 δ=R=d/2,由无压强
梯度平板边界层动量积分方程可得（与层流边界层对照）
5
0 382
x
.
x Re
? ? 50
x
.
x Re
? ?
? ?45x? ? ? ?12x? ?
5
0 0 5 9 3
f
x
.C
Re?
0 6 6 4
f
x
.C
Re?
5
0 07 4
Df
l
.C
Re?
1 3 2 8
Df
l
.C
Re?
湍流边界层 层流边界层
边界层厚度
壁面摩擦系数
摩擦阻力系数
边界层分离：边界层脱离壁面
C4.6 边界层分离
2.分离的原因 — 粘性
圆柱后部：猫眼
1.分离现象
在顺压梯度区（ BC)：流体加速
? 在逆压梯度区（ CE),CS段减速 ? S点停止 SE段倒流。
3.分离的条件 — 逆压梯度
4.分离的实际发生 — 微团滞止和倒流
2.分离实例
从静止开始边界层发展情况 扩张管
（上壁有抽吸）
C4.6 边界层分离
C4.7 绕流物体的阻力
C4.7 绕流物体的阻力
C4.7.1 摩擦阻力与形状阻力
CD=CDf+CDp
1,摩擦阻力特点
1) 阻力系数强烈地依赖于雷诺数；
2,形状阻力
物体形状 → 后部逆压梯度 → 压强分布 → 压强合力
用实验方法确定形状阻力 → 阻力曲线
2) 对相同雷诺数，层流态的阻力明显低于湍流态；
4) 摩擦阻力与壁面面积成正比。
3) 对湍流边界层，光滑壁面的阻力最小，粗糙度增加使阻力系
数增大；
C4.7 绕流物体的阻力
C4.7.2 圆柱绕流与卡门涡街
1,圆柱表面压强系数分布
2,阻力系数随 Re数的变化
? ?DC f R e?
C4.7.2 圆柱绕流与卡门涡街
5） 565 1 0 3 1 0Re? ? ? ?
6） 63 1 0Re ??
1） 1Re??
（图 (a)）
2） 1 5 0 0Re??
（图 (b)(c)）
3） 55 0 0 2 1 0Re? ? ?
（图 (d)）
4） 552 1 0 5 1 0Re? ? ? ?
（图 (e)）
C4.7.2 圆柱绕流与卡门涡街
3,卡门涡街
1）定义：在圆柱绕流中，
涡旋从圆柱上交替脱
落，在下游形成有一
定规则，交叉排列的
涡列。
2） Re范围,60-5000
3） Sr（斯特劳哈尔）数,1 9 70 1 9 8 1fd,S r,
U R e
??? ? ???
??
C4.7 绕流物体的阻力
C4.7.3 不同形状物体的阻力系数
1,二维钝体
（ 1）光滑圆球阻力曲线
Re<<1时 24DC R e,? 3DF d U???
（ 2）粗糙圆球阻力曲线
4,钝体绕体阻力特点,(1) 头部形状
5,流线型体
2,三维钝体
3,圆球：
(2) 后部形状
(3) 物体长度
(4) 表面粗糙度
C4.7 绕流物体的阻力
C4.7.3 不同形状物体的阻力系数
光滑圆球阻力曲线 粗糙圆球阻力曲线
C4.1 引言
C4 不可压缩粘性流体外流
流动特点
N-S方程
研究方法
解析法
自由湍流射流
大气边界层
交通工具
应 用
动量积分方程
壁面流动
实 验
数值法
分 离
贴 壁
外 层
分 区 内 层
建筑物绕流
阻力问题
动力响应
生态环境
边界层分离 形状阻力
势 流
边界层
速度分布 摩擦阻力
尾流区 形状阻力
边界层方程 摩擦阻力
C4.2 边界层概念
例 1：空气运动粘度 51 4 1 0 2,m s? ???
6
5
2 2 1 5 2 4 1 0
1 4 1 0
V h,R e,
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大 Re数流动是常见现象,
1,边界层很薄
C4 不可压缩粘性流体外流
设汽车 1 5 8 0 2 2h, m,V k m h m s? ? ?
例 2：水运动粘度 61 1 0 2 m s? ???
7
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设船 1 0 1 0 2 8l m,V k m h, m s? ? ?
C4.2.1 边界层特点
普朗特理论：边界层内惯性力与粘性力量级相等。
C4.2.1 边界层特点
当 61 0,0 0 0 1R e l,???
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2,边界层厚度增长
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3,边界层内流态
实验测量表明边界层内层流
态向湍流态转 捩 的雷诺数为
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x( x ) ~
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1,名义厚度 δ
C4.2.2 边界层厚度
定义为速度达到外流速度 99%的厚度。
C4.2 边界层概念
2,位移厚度
δ *
U
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?? 0.5?
对平板层流边界层
将由于不滑移条件造成的质量亏损折算成
无粘性流体的流量相应的厚度 δ * 。 又称为
质量流量亏损厚度
0 1d
* u( ) y
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C4.2.2 边界层厚度
将由于不滑移条件造成的动量流量
亏损折算成无粘性流体的动量流量
相应的厚度 θ 。
3,动量厚度 θ
? 动量厚度 <位移厚度
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[例 C4.2.2] 边界层位移厚度与动量厚度
上式中 y为垂直坐标,δ 为边界层名义厚度。
已知, 设边界层内速度分布为
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求,(1)位移厚度 δ * ;(2)动量厚度 θ,(均用 δ 表示 )
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2 2 2 4 4 2
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(2) 按动量厚度的定义
(1) 按位移厚度的定义
000
2 y 2( 1 ) d ( 1 ) d ( c o s 0 3 6 322* uyy s in y y ),U ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? --
解,按速度分布式,u(0) = 0,u(δ)=U,符合边界层流动特点。
用 B5.4中的方程分析法可得一般二维流动无量纲方程组
C4.3 平板层流边界层精确解
忽略第二方程最后一项、第三方程除压强项的其他项 。
C4 不可压缩粘性流体外流
0*
*
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1 1
2*1?11?
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可得普朗特边界层方程组
C4.3 平板层流边界层精确解
① 第三式表明边界层内 y方向压强梯度为零，说明外部压强可穿
透边界层直接作用在平板上。外部压强由势流决定
?
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② 第二式右边得到简化（ x方向二阶偏导数消失），有利于数值
计算。利用该方程就可计算壁切应力和流动阻力，具有里程碑
式意义。
说明,
ddpUU
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C4.3.2 布拉修斯平板边界层精确解
边界条件
普朗特边界层方程可化为布拉修斯方程：
? ?' uf U? ?
用无量纲流函数 表示速度分量 u,v,如???f
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x
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1',f? ? ? ?
由数值解绘制的无量纲速度廓线
与尼古拉兹实验测量结果吻合。
对布拉修斯方程较精确的求解结果列于附录 E表 FE1中
并按速度分布式可分别求得：
U
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理论结果与实验
测量结果一致
0 99',f ?按边界层名义厚度 定义，取? 得 50.? ?
壁面切应力
xUUw ??? 332.0?
壁面摩擦系数
2
0 664
1
2
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.
U
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???
C4.3.2 布拉修斯平板边界层精确解
C4.4边界层动量积分方程
对平板边界层前部取控制
体 OABC,AB为一条流线，
压强梯度为零，壁面上粘
性切应力合力为 FD
θ为动量厚度，对 FD求导可得
由动量方程
由连续性方程
00dd
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称为卡门动量积分方程，适用于无压强梯度的平板定常层流和湍
流边界层流动
用壁面摩擦系数表示
d2
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当有压强梯度存在时，方程形式为
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为位移厚度*?
动量积分方程的特点是建立了阻力与动量厚度（及位移厚度）
的关系。由于动量厚度是速度的二次表达式 的积分，对速度
廓线形状不很敏感，可用近似的速度廓线代替准确的速度廓
线，使计算大为简化。
C4.4边界层动量积分方程
C4.5.1 平板层流边界层
C4.5 无压强梯度平板边界层近似计算
设边界层纵向坐标 ? ?10/ ??? ??? y
速度分布式为 ? ??g
U
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速度分布满足条件 ? ? ? ? 11,00 ?? gg
? ?1001 d 1 duu y g gUU?? ? ? ????? ? ? ? ???????
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壁面切应力
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代入动量方程后可得
C4.5.1 平板层流边界层
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上式中 FD是平板总阻力,l Ul R e ?? 。
表达式中比例因子不同。,??上述几式表明不同速度分布具有不同的
值，使 fD,C,C?
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xx Re
12
?
?? ?积分可得
C4.5.2 平板湍流边界层
C4.5 无压强梯度平板边界层近似计算
将光滑圆管湍流的结果移植到光滑平板上，速度分布用 1/7指
数式，壁面切应力采用布拉修斯公式。取 δ=R=d/2,由无压强
梯度平板边界层动量积分方程可得（与层流边界层对照）
5
0 382
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1 3 2 8
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Re?
湍流边界层 层流边界层
边界层厚度
壁面摩擦系数
摩擦阻力系数
边界层分离：边界层脱离壁面
C4.6 边界层分离
2.分离的原因 — 粘性
圆柱后部：猫眼
1.分离现象
在顺压梯度区（ BC)：流体加速
? 在逆压梯度区（ CE),CS段减速 ? S点停止 SE段倒流。
3.分离的条件 — 逆压梯度
4.分离的实际发生 — 微团滞止和倒流
2.分离实例
从静止开始边界层发展情况 扩张管
（上壁有抽吸）
C4.6 边界层分离
C4.7 绕流物体的阻力
C4.7 绕流物体的阻力
C4.7.1 摩擦阻力与形状阻力
CD=CDf+CDp
1,摩擦阻力特点
1) 阻力系数强烈地依赖于雷诺数；
2,形状阻力
物体形状 → 后部逆压梯度 → 压强分布 → 压强合力
用实验方法确定形状阻力 → 阻力曲线
2) 对相同雷诺数，层流态的阻力明显低于湍流态；
4) 摩擦阻力与壁面面积成正比。
3) 对湍流边界层，光滑壁面的阻力最小，粗糙度增加使阻力系
数增大；
C4.7 绕流物体的阻力
C4.7.2 圆柱绕流与卡门涡街
1,圆柱表面压强系数分布
2,阻力系数随 Re数的变化
? ?DC f R e?
C4.7.2 圆柱绕流与卡门涡街
5） 565 1 0 3 1 0Re? ? ? ?
6） 63 1 0Re ??
1） 1Re??
（图 (a)）
2） 1 5 0 0Re??
（图 (b)(c)）
3） 55 0 0 2 1 0Re? ? ?
（图 (d)）
4） 552 1 0 5 1 0Re? ? ? ?
（图 (e)）
C4.7.2 圆柱绕流与卡门涡街
3,卡门涡街
1）定义：在圆柱绕流中，
涡旋从圆柱上交替脱
落，在下游形成有一
定规则，交叉排列的
涡列。
2） Re范围,60-5000
3） Sr（斯特劳哈尔）数,1 9 70 1 9 8 1fd,S r,
U R e
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C4.7 绕流物体的阻力
C4.7.3 不同形状物体的阻力系数
1,二维钝体
（ 1）光滑圆球阻力曲线
Re<<1时 24DC R e,? 3DF d U???
（ 2）粗糙圆球阻力曲线
4,钝体绕体阻力特点,(1) 头部形状
5,流线型体
2,三维钝体
3,圆球：
(2) 后部形状
(3) 物体长度
(4) 表面粗糙度
C4.7 绕流物体的阻力
C4.7.3 不同形状物体的阻力系数
光滑圆球阻力曲线 粗糙圆球阻力曲线
