专 题 篇
C1,流体的平衡
C2,不可压缩无粘性流体平面势流
C3,不可压缩粘性流体内流
C4,不可压缩粘性流体外流
C5,可压缩流体流动基础
C1 流体的平衡
C1.1 引言
压强分布
总压力
固壁受力分析
浮体稳定性
平衡的条件
任 务
液压系统原理
压力仪器设计
浮体稳定性分析
C1 流体的平衡
应 用
流体静力学
相对平衡
液缸,水坝,闸门等
水压机,油压系统等
比重计,测高仪,分离器等
舰船,浮吊,气艇等
C1.2 流体平衡微分方程
C1.2.1 欧拉平衡方程
由 N-S 方程 D
D
2v f - v? ? ? ?p
t? ? ?
可得欧拉平衡方程
0??? pf?
0 0
C1 流体的平衡
说明作用在单位体积流体上的体积力与压强梯度平衡。
分量式为,
xfx
p ??
?
?,
yfy
p ??
?
?
zfz
p ??
?
?
d d d d? ? ?p p pp x y zx y z? ? ?? ? ?( d d d ) dfr? ? ? ? ?x y zf x f y f z??
压强全微分式为
说明体积力向任何方向的投影为该方向的压强增量
C1.2.2 等压面
C1 流体的平衡
d d d dfr? ? ? ? ?x y zf x f y f z 0
? 静止流体中等压面为水平面
旋转流体中等压面为旋转抛物面。
由,可得等压面方程：dp0?
? 等压面上的体积力特征：体积力处处与等压面垂直,
C1.2 流体平衡微分方程
C1.2.3 流体平衡的条件
? 为保证欧拉平衡方程 f= ? p?
?f ? ??
成立，均质流体（ ρ=常数）和正压流体（ ρ=ρ(p)）必须满足
体积力有势的条件：, π称为势函数。
? 重力是有势力。在重力场中
1,均质流体（如淡水）和正压流体（如等温的空气）可
以保持平衡，等压面、等势面、等密度面三者重合：
=,? ? ?p0? =? ? ? 0??
2,斜压流体（ ρ=ρ(p,T)，如大范围的大气、海水）不能
保持平衡，等压面、等密度面不重合，要引起对流。
设大气满足完全气体状态方程
[例 C1.2.3] 贸易风：流体平衡条件
p = RρT (B1.4.5)
差悬殊，由（ B1.4.5）式相应的密度不相同，因此大气密度除了沿高度
变化外还随地球纬度改变而改变，等压面与等密度面（虚线）不重合
(见右图），造成大气层的非正压性，不满足流体平衡条件。这样形成
在赤道处大气自下向上，然后在高空自赤道流向北极；在北极大气自
上向下，最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面自北向南
吹的风称为贸易风。
设在赤道和北极地区离地面相同高度处压强相
同，但由于太阳光照射强度不同，两处温度相
? 单位质量流体机械能守恒式
C1.3 流体静力学基本方程
C1 流体的平衡
??pgz 常? 数
重力势能 总势能
? ? ?1212ppzzgg??
? 水头形式
? 常用形式
常数?? gpz ?
位置水头 总水头
（测压管水头）
限制条件, （ 1）均质，（ 2）重力，（ 3）连通的同种流体。
压强势能
压强水头
C1.4 均质液体相对平衡
C1 流体的平衡
当液体以等加速度 a 作直线运动或以等角速度（向心加速度
)旋转并达到稳定时，液内象刚体一样运动,N-S方程
可化为
Ra 2??
p)( ??? a-ff g??
fg 为重力。上式与欧拉平衡方程形式相同,fg – a 也是有势力。
符合平衡条件，称为液体的相对平衡。
C1.4.1 等加速直线运动
设液体以等加速度 a 沿水平方向作直线运动
1,体积力分量 f x = -a,f y = 0,fz = -g
d d d d d dx y zp ( f x f y f z ) ( a x g z )??? ? ? ? ? ?
压强全微分式
C1.4.1 等加速直线运动
2,压强分布式
? ? ?
?
?
??
? ???? x
g
azzgρpp
00
在图示坐标系中
? 说明液内压强在 x,z方向均为线性分布。
?0p = p g h?用淹深表示
? 说明垂直方向压强分布与静止液体中一样。
? 等压面为一簇与自由液面平行的斜平面，处处与体积力合力
垂直
3,等压面方程
a x + g z = C
[例 C1.4.1] 匀加速直线运动液体的相对平衡
已知, 用汽车搬运一玻璃缸。缸长 × 宽 × 高 =l× b× h=0.6× 0.3× 0.5m3，
静止时缸内水位高 d=0.4m。设鱼缸沿汽车前进方向纵向放置。
求, (1)为不让水溢出，应控制的汽车最大加速度 am；
解,建立坐标系 oxz 如图示。设鱼缸加速度为 a，体积力分量为
等压面微分方程为
(2)若鱼缸横向放置时的最大加速度 am'。
fx= - a,fz= -g
a x + g z = c
液面中点的坐标为 （ 0,d）,c = g d 。液面方程为
a x+ g z = g d
[例 C1.4.1] 匀加速直线运动液体的相对平衡
加速度表达式为
(2)当鱼缸横向放置时, 与后壁最高液位 （ - b / 2,h） 相应的加速度为
gx zda ??
(1)当鱼缸纵向放置时，与后壁最高液位 （ -l / 2,h） 相应的加速度为
gggl hda m 313.0 5.04.02/ ?? ??? ??
gg2/b hda 'm 320,1 50,50,4 ?? ??? ??
可见,鱼缸横向放置水不易溢出。aa
m 2' ?
C1.4.1 等加速直线运动
设液体以等角速度 ω 绕中心轴 z 轴旋转
1,体积力分量
2,压强分布式
C1.4.2 等角速度旋转运动
fx=ω2x, fy=ω2y, fz= － g
22d d d dp ( x x y y g z )? ? ?? ? ?
??
?
??
? ???? )(
2 0
22
0 zzg
rgpp ??
压强全微分式
在图示坐标系中
? 说明液内压强在 z方向为线性分布，在 r方向为二次曲线分布。
C1.4.2 等角速度旋转运动
3,等压面
代入压强分布式，令 h = zs- z,可得
由 22d d d d 0p ( x x y y g z )? ? ?? ? ? ?
积分得 cgz
2
r ??22?
0
22
2 zzg
r
s ??
?
证明在垂直方向的压强分布规律仍与静止液体中一样。
? ? z)g ( zρp)z(zz)(zgρpp s0s000 ????????
hρgp 0 ??
c不同值时得一簇旋转抛物面。
自由液面上 c =－ g z0。设自由液面垂直坐标为 ｚ s,
方程为
[例 C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡
已知, 一封闭圆筒，高 H = 2m，半径 R=0.5m，注水高 H0 = 1.5 m，压强为
p0=1000 N /m2。圆筒开始旋转并逐渐加速
求, (1）当水面刚接触圆筒顶部时的 ω1,pc1 及 pw1；
(1)当边缘水位刚达顶部时，
由自由面方程式
g
rzz
s 2
22
0
???
(2 ) 当气体刚接触圆筒底部的 ω2,pc 2 及 pw 2。
解：
建立坐标系 oxyz,原点 o在底部中心，
静止时 z 0 = H 0 。
[例 C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡
pc1= p 0 + ρg z0 = 1000 + 9807× 1 = 10806 N/m2
p w1= p 0+ρg H =1000 + 9807× 2 = 20612 N/m2
(2)当气体接触圆筒底部时，设顶部液面线的半径为 r2，由空气容积不变
)( 21 0222 H - HRHr ?? ?
02 ( ) 2 2 1, 50, 5 0, 3 5 4
22
H - H ( - )r R m
H? ? ? ?
取 r = 0.5 m,zs = 2 m,z0 =1 m
2 2 9, 8 1 2 1 8, 8 6
0, 5
s0
1
g ( z z ) ( - )ω 1 / s
r
? ??? ? ?
[例 C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡
讨论,在第二种情况中,若没有顶盖限制, 边缘水位将上升至
mgRh w 42
22
2
2 ??
?
在自由面方程中 z0 = 0,z s = 2 m,r = 0.354 m
1 / sr zg s 1 7, 7 10, 3 5 4 29, 8 12)(z2 02 ???????
221 7, 7 1 0, 5
0 1 0 0 9 8 0 7 2 9, 8 0 6
22
2
w 2 0
ω Rpp ρ g ( )
2g
?? ? ? ? ? ?
?
1 0 0 0 9 8 0 7 4 4 0 2 2 7 2N ( )m? ? ? ?
2 1000 2c0 Np p m??
C1.5 均质液体对平壁的总压力
C1 流体的平衡
?s inyh ?
1,工程 背景：压力容器，水坝，潜艇，活塞等；
结构强度，安全性能，运动规律计算等。
2,条件：均质流体，体积力为重力。
图示斜平壁和坐标系 oxy,o点在
自由液面上,y轴沿斜平壁向下。
在面积 A上取面元 dA,纵坐标 y,
淹深为
C1.5.1 平壁总压力大小
作用在 dA 和 A上的总压力
C1.5 均质流体对平壁的压力
在几何上面积 A 对 x 轴的面积矩
d d s i n dF g h A g y A? ? ???
d s i n dAAF = F = ρ g θ yA??
d cA y A y A??
ApAghAgyF ccc ??? ??? s in
pc 为形心的压强。表明作用在面积 A上 的总压力大小等于形
心压强乘以面积 。
cF p A?
yc 为面积 A形心的纵坐标,
?s incc yh ? 为形心的 淹深 。
用力矩合成法
C1.5 均质流体对平壁的压力
C1.5.2 平壁总压力作用点
1、积分法
d s i n dD 2AAF y y F g y A??????
可得 D x cy I y A?
2 2 2 2dx c c
AI y A y A I y A r A??? ? ? ? ??
可得, （纵向偏心距）Dcy y e?? 2 ce r y??
fxx cD ??同理, （横向偏心距）cf I y A???
Ix为面积对 x轴惯性矩。用平行移轴定理
rξ为面积 A对 ξ轴的回转半径。
[例 C1.5.2A] 圆形平壁总压力
已知, 封闭油柜侧壁上有一圆形封盖,d = 0.8m
h = 1.2 m,ρ= 800 kg/m3,
求, p0 分别为 (1) 5 kPa ; (2) 2 kPa时总压力
F 和偏心距 e 。
解,(1) 当 p01 = 5kPa时，在封盖中心的压强为
p c1 = p 01+ρgh = 5 + 0.8× 9.81× 1.2
= 5 + 9.42 = 14.42 (kPa)
o1 点位于油面上方 p 0 1 / ρ 处
h c 1 = 0.5 l sin30° = l / 4 = 1 m
)(25.7503.042.144 2111 kNdpApF cc ?????? ?
)1, 8 3 7 (9, 8 10, 81 4, 4 2g 1011 mgphpy cc ?????? ??
[例 C1.5.2A] 圆形平壁总压力
o2 点位于油面上方 | p 0 2 | / ρ处
(2)当 p0 2 = -2 kPa 时
p c2 = p 0 2+ρg h = -2 + 9.42 = 7.42 (kPa)
F2=pc 2 A= 7.42× 0.503 = 3.73 (kPa)
7,4 2 0,9 4 5 ( )
0 8 9,8 1
c2
c2
py m
ρ g.? ? ??
圆板 rξ2 = d 2 /16 =0.82/16=0.04 m2，偏心距为
? ?211 0 0 4 1 8 3 7 0 0 2 2ce r / y, /,, m?? ? ?
? ?2 2 0 0 4 0 9 4 5 0 0 4 22ce r / y, /,, m?? ? ?
C1.5.2 平壁总压力作用点
2.几何法
当一矩形平壁的一边平行于液面时,
作用在平壁上的压强构成平面线性平
行力系, 得用几何合成法求解 。
? ? ? ?sin12 1F F F g h lb g h l lb2? ? ?? ? ? ?
总压力
矩形面积 三角形面积
向 A点取矩求压强中心
sin
sin
212
12
12F l+ F l
3 h l+ 2 l θ23A D = =
F + F 6 h + 3 l θ
sin
sin
21le A D l
2 6 ( 2 h l )
?
?? ? ? ?
可得
C1.6 均质液体对曲壁的总压力
C1 流体的平衡
二维曲壁 的母线垂直某一坐标面归
结为求端线 ab(单位宽度 )上的压强
合力。分为水平分力和垂直分力。
工程应用中以二维曲壁为主。
A B
C
O
三维曲壁 有三个投影面，三个投
影面上的三个分力不一定共点，
可化为一个合力，一个力偶，应
用较少。
C1.6 均质液体对曲壁的总压力
1,水平分力
以储液罐为例，曲壁 ab沿水平方向的投
影面积为 Ax，沿垂直方向的投影面积为
Ah。
C1.6.1 二维曲壁
h x c 为投影面积 A x形心的淹深。水平分力作用应按平壁计算。
当投影面积有重叠部分时，该部分的合力为零。
dFx
dFh
dF
ddx x x x c xA x A xF F g h A g h A??? ? ???
2,垂直分力
dd
hhh h h pAA
F F g h A g? ? ?? ? ???
τp称为压力体。压力体内液体重量构成
垂直分力，作用线通过压力体的重心。
C1.6.1 二维曲壁
3,总压力
水平分力作用线按平壁总压力方法确定。
垂直分力作用线通过压力体的重心。
22
hx FFF ??
4,压力体
压力体的虚实取决于大气压液面与壁面的相对位置，一种判别
方法为
当液体与压力体位于曲壁同侧，压力体为正 (方向向下）
当液体与压力体位于曲壁异侧, 压力体为负 (方向向上 ）
hpF ' g????
压力体是指曲壁与自由液面之间的垂直空
间的容积。当压力体内无水时（如图 C1.6.4
示）称为虚压力体，总压力的垂直分力
负号表示垂直分力方向向上。
[例 C1.6.1.A] 二维曲壁总压力 (二 )
已知, 图示封闭容器 α = 45° 方孔,边长 l = 0.4 m，盖有半圆柱形盖,
H = 0.5 m,压强为 p0 = 0.25 atm
求, 盖所受总压力大小与方向 。
解,基准面离液面 p0 / ρg，坐标系 oxyh
(1) 盖 ABE水平投影，实际面积 Ax = l 2 cos45
°,水平方向合力分量为
?c o s 4 5)( 20 lgHpAF xcxx ?? ???
I
)(9.3 4 1 91 1 3.05.3 0 2 2 8 N???
?45c o s4.0)5.09 8 0 7103.10125.0( 23 ???????
[例 C1.6.1.A] 二维曲壁总压力 (二 )
(3) 总压力大小与方向
( ) c os 45
88
0,4 98 07 34 19,9 24 6,5 34 19,9 31 73,4 ( )
8
2
h
33
0
3
l g p gH l l g F x
N
Fg
?? ?
? ? ?
?
?? ? ? ?
? ? ? ? ?
?? -
- - -
)4 6 6 5, 4 (23 1 7 3, 423 4 1 9, 922 NhFxFF ?????
3 1 7 3, 4 οa r c tg 4 2, 9
3 4 1 9, 9a r c tg
h
x
F
F? ???
ο22
313414 45s i n)(42
1)()( lH
gρ
pllπ 0 ?????????? -???????
???? 45c o s)(8 203 lHgpl ??
(2) 盖 ABE垂直投影,AB段的压力体为负,BE段的压力体为正,分别
与 组合3??
1?? 4??
C1.7.1 阿基米德浮力定律
? 第一浮力定律：沉体受到的浮力 等于排开的液体重量。
C1 流体的平衡
C1.7 浮力与稳定性
??gFb ??
设沉体体积为 τ
当 (物体重量 ) 沉体
bFW?
C1.7.1 阿基米德浮力定律
??设浮体浸没部分体积为
wg ????
当 (物体重量 ) 潜体
bFW?
当 (物体重量 ) 浮体
bFW?
? 浮心：浸没部分液体的形心 C
? 浮轴：通过浮心的垂直轴
? 第二浮力定律：浮体排开液体重量等于自身重量。
被测液体液面线将在基准线以下 Δh位置处
[例 C1.7.1] 液体比重计
液体比重计如图，比重计插入蒸馏水 (4℃ )中，液面基准线 (SG=1),
排水体积为 τ0 。
SG为被测液体的比重, k为常数 。 当 SG＞ 1时刻度线在基准线的下方,
当 SG＜ 1时刻度线在基准线的上方 。
0OH 2 ?? gW ?
)( 0 hAgW ??? ??
)11()1( OH0 2 SGkAh ????? ???
C1.7 浮力与稳定性
C1.7.2 潜体与浮体的稳定性
1、潜体 (浮心不变 )的稳定性
潜体举例：水下舰艇、水雷、气艇、气球等。
浮体举例：水面舰船、船坞、浮吊、浮标等。
? 平衡条件,(1) 浮力＝重力； (2) 浮轴＝重力线
(1) G( 重心 )在 C(浮心 )下方：稳定平衡
(2) G 在 C上方：不稳定平衡
(3) G 与 C重合：随遇平衡
(2) G 在 C下方：稳定平衡
(1) G 与 C重合：随遇平衡
2、浮体 (浮心改变 )的稳定性
(3) G 在 C上方：取决于稳心
高度
C1.8 大气中的压强分布
欧拉平衡方程适用于可压缩流体（正压流体），但需补充 ρ与 p
的关系式。
C1 流体的平衡
p R T? ?设大气满足状态方程
按国际标准大气模型规定 (海平面上
z＝ 0)：
T0 = 228.15 K p0 =101.3 kPa (ab)
ρ0=1.225 kg/m3 Μ 0 =1.789× 10-5 Pa·s
0～ 11km为对流层 0TT β z??
11～ 20km为同温层 T=T2≡216.5 K
C1.8 大气中的压强
2、在同温层 (11～ 20km)
)(
1
12 zzRT
g
epp ??
式中 p1,z1为对流层与同温
层交界面参数,T2 为同温
层内温度。
1、在对流层 (0～ 11km)
gRp p ( 1 z )
T
?? ???
0
0
由欧拉平衡方程得 dd p g pgz R T?? ? ? ?
已知, 上海市 Z0 = 0,T0 =288 K（ 15℃ ）,p0 =101.3 k Pa (ab)
ρ0 =1.225 kg/m3，拉萨市 Z = 3658 m,T=279K（ 6℃ ） 。
求, (1)按温度 -高度线性关系计算拉萨市平均气压 p；
解,(1)由温度 -高度关系 T = T0-βZ
[例 C1.8.1] 大气压强与密度变化
(2)按完全气体计算两地大气的密度比 ρ /ρ 0。
)/(1046.23 6 5 8279288 30 mKZ TT ????????
9.132 8 71046.2 81.9 3 ???? ?Rg?
[例 C1.8.1] 大气压强与密度变化
(2) 按完全气体状态方程
说明拉萨的大气压强约为上海的 64.3% 。
)(1.65643.03.101)
288
279
(3.101
)()1(
9.13
//
abk P a
T
T
pZ
T
pp Rg
0
0
Rg
0
0
????
??? ??
?
66.02762883.101 1.65/ 0
00
0
0
?????? TTppRT pRT p??
说明拉萨的大气压强约为上海的 66% 。
对流层压强与高度关系
C1,流体的平衡
C2,不可压缩无粘性流体平面势流
C3,不可压缩粘性流体内流
C4,不可压缩粘性流体外流
C5,可压缩流体流动基础
C1 流体的平衡
C1.1 引言
压强分布
总压力
固壁受力分析
浮体稳定性
平衡的条件
任 务
液压系统原理
压力仪器设计
浮体稳定性分析
C1 流体的平衡
应 用
流体静力学
相对平衡
液缸,水坝,闸门等
水压机,油压系统等
比重计,测高仪,分离器等
舰船,浮吊,气艇等
C1.2 流体平衡微分方程
C1.2.1 欧拉平衡方程
由 N-S 方程 D
D
2v f - v? ? ? ?p
t? ? ?
可得欧拉平衡方程
0??? pf?
0 0
C1 流体的平衡
说明作用在单位体积流体上的体积力与压强梯度平衡。
分量式为,
xfx
p ??
?
?,
yfy
p ??
?
?
zfz
p ??
?
?
d d d d? ? ?p p pp x y zx y z? ? ?? ? ?( d d d ) dfr? ? ? ? ?x y zf x f y f z??
压强全微分式为
说明体积力向任何方向的投影为该方向的压强增量
C1.2.2 等压面
C1 流体的平衡
d d d dfr? ? ? ? ?x y zf x f y f z 0
? 静止流体中等压面为水平面
旋转流体中等压面为旋转抛物面。
由,可得等压面方程：dp0?
? 等压面上的体积力特征：体积力处处与等压面垂直,
C1.2 流体平衡微分方程
C1.2.3 流体平衡的条件
? 为保证欧拉平衡方程 f= ? p?
?f ? ??
成立，均质流体（ ρ=常数）和正压流体（ ρ=ρ(p)）必须满足
体积力有势的条件：, π称为势函数。
? 重力是有势力。在重力场中
1,均质流体（如淡水）和正压流体（如等温的空气）可
以保持平衡，等压面、等势面、等密度面三者重合：
=,? ? ?p0? =? ? ? 0??
2,斜压流体（ ρ=ρ(p,T)，如大范围的大气、海水）不能
保持平衡，等压面、等密度面不重合，要引起对流。
设大气满足完全气体状态方程
[例 C1.2.3] 贸易风：流体平衡条件
p = RρT (B1.4.5)
差悬殊，由（ B1.4.5）式相应的密度不相同，因此大气密度除了沿高度
变化外还随地球纬度改变而改变，等压面与等密度面（虚线）不重合
(见右图），造成大气层的非正压性，不满足流体平衡条件。这样形成
在赤道处大气自下向上，然后在高空自赤道流向北极；在北极大气自
上向下，最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面自北向南
吹的风称为贸易风。
设在赤道和北极地区离地面相同高度处压强相
同，但由于太阳光照射强度不同，两处温度相
? 单位质量流体机械能守恒式
C1.3 流体静力学基本方程
C1 流体的平衡
??pgz 常? 数
重力势能 总势能
? ? ?1212ppzzgg??
? 水头形式
? 常用形式
常数?? gpz ?
位置水头 总水头
（测压管水头）
限制条件, （ 1）均质，（ 2）重力，（ 3）连通的同种流体。
压强势能
压强水头
C1.4 均质液体相对平衡
C1 流体的平衡
当液体以等加速度 a 作直线运动或以等角速度（向心加速度
)旋转并达到稳定时，液内象刚体一样运动,N-S方程
可化为
Ra 2??
p)( ??? a-ff g??
fg 为重力。上式与欧拉平衡方程形式相同,fg – a 也是有势力。
符合平衡条件，称为液体的相对平衡。
C1.4.1 等加速直线运动
设液体以等加速度 a 沿水平方向作直线运动
1,体积力分量 f x = -a,f y = 0,fz = -g
d d d d d dx y zp ( f x f y f z ) ( a x g z )??? ? ? ? ? ?
压强全微分式
C1.4.1 等加速直线运动
2,压强分布式
? ? ?
?
?
??
? ???? x
g
azzgρpp
00
在图示坐标系中
? 说明液内压强在 x,z方向均为线性分布。
?0p = p g h?用淹深表示
? 说明垂直方向压强分布与静止液体中一样。
? 等压面为一簇与自由液面平行的斜平面，处处与体积力合力
垂直
3,等压面方程
a x + g z = C
[例 C1.4.1] 匀加速直线运动液体的相对平衡
已知, 用汽车搬运一玻璃缸。缸长 × 宽 × 高 =l× b× h=0.6× 0.3× 0.5m3，
静止时缸内水位高 d=0.4m。设鱼缸沿汽车前进方向纵向放置。
求, (1)为不让水溢出，应控制的汽车最大加速度 am；
解,建立坐标系 oxz 如图示。设鱼缸加速度为 a，体积力分量为
等压面微分方程为
(2)若鱼缸横向放置时的最大加速度 am'。
fx= - a,fz= -g
a x + g z = c
液面中点的坐标为 （ 0,d）,c = g d 。液面方程为
a x+ g z = g d
[例 C1.4.1] 匀加速直线运动液体的相对平衡
加速度表达式为
(2)当鱼缸横向放置时, 与后壁最高液位 （ - b / 2,h） 相应的加速度为
gx zda ??
(1)当鱼缸纵向放置时，与后壁最高液位 （ -l / 2,h） 相应的加速度为
gggl hda m 313.0 5.04.02/ ?? ??? ??
gg2/b hda 'm 320,1 50,50,4 ?? ??? ??
可见,鱼缸横向放置水不易溢出。aa
m 2' ?
C1.4.1 等加速直线运动
设液体以等角速度 ω 绕中心轴 z 轴旋转
1,体积力分量
2,压强分布式
C1.4.2 等角速度旋转运动
fx=ω2x, fy=ω2y, fz= － g
22d d d dp ( x x y y g z )? ? ?? ? ?
??
?
??
? ???? )(
2 0
22
0 zzg
rgpp ??
压强全微分式
在图示坐标系中
? 说明液内压强在 z方向为线性分布，在 r方向为二次曲线分布。
C1.4.2 等角速度旋转运动
3,等压面
代入压强分布式，令 h = zs- z,可得
由 22d d d d 0p ( x x y y g z )? ? ?? ? ? ?
积分得 cgz
2
r ??22?
0
22
2 zzg
r
s ??
?
证明在垂直方向的压强分布规律仍与静止液体中一样。
? ? z)g ( zρp)z(zz)(zgρpp s0s000 ????????
hρgp 0 ??
c不同值时得一簇旋转抛物面。
自由液面上 c =－ g z0。设自由液面垂直坐标为 ｚ s,
方程为
[例 C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡
已知, 一封闭圆筒，高 H = 2m，半径 R=0.5m，注水高 H0 = 1.5 m，压强为
p0=1000 N /m2。圆筒开始旋转并逐渐加速
求, (1）当水面刚接触圆筒顶部时的 ω1,pc1 及 pw1；
(1)当边缘水位刚达顶部时，
由自由面方程式
g
rzz
s 2
22
0
???
(2 ) 当气体刚接触圆筒底部的 ω2,pc 2 及 pw 2。
解：
建立坐标系 oxyz,原点 o在底部中心，
静止时 z 0 = H 0 。
[例 C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡
pc1= p 0 + ρg z0 = 1000 + 9807× 1 = 10806 N/m2
p w1= p 0+ρg H =1000 + 9807× 2 = 20612 N/m2
(2)当气体接触圆筒底部时，设顶部液面线的半径为 r2，由空气容积不变
)( 21 0222 H - HRHr ?? ?
02 ( ) 2 2 1, 50, 5 0, 3 5 4
22
H - H ( - )r R m
H? ? ? ?
取 r = 0.5 m,zs = 2 m,z0 =1 m
2 2 9, 8 1 2 1 8, 8 6
0, 5
s0
1
g ( z z ) ( - )ω 1 / s
r
? ??? ? ?
[例 C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡
讨论,在第二种情况中,若没有顶盖限制, 边缘水位将上升至
mgRh w 42
22
2
2 ??
?
在自由面方程中 z0 = 0,z s = 2 m,r = 0.354 m
1 / sr zg s 1 7, 7 10, 3 5 4 29, 8 12)(z2 02 ???????
221 7, 7 1 0, 5
0 1 0 0 9 8 0 7 2 9, 8 0 6
22
2
w 2 0
ω Rpp ρ g ( )
2g
?? ? ? ? ? ?
?
1 0 0 0 9 8 0 7 4 4 0 2 2 7 2N ( )m? ? ? ?
2 1000 2c0 Np p m??
C1.5 均质液体对平壁的总压力
C1 流体的平衡
?s inyh ?
1,工程 背景：压力容器，水坝，潜艇，活塞等；
结构强度，安全性能，运动规律计算等。
2,条件：均质流体，体积力为重力。
图示斜平壁和坐标系 oxy,o点在
自由液面上,y轴沿斜平壁向下。
在面积 A上取面元 dA,纵坐标 y,
淹深为
C1.5.1 平壁总压力大小
作用在 dA 和 A上的总压力
C1.5 均质流体对平壁的压力
在几何上面积 A 对 x 轴的面积矩
d d s i n dF g h A g y A? ? ???
d s i n dAAF = F = ρ g θ yA??
d cA y A y A??
ApAghAgyF ccc ??? ??? s in
pc 为形心的压强。表明作用在面积 A上 的总压力大小等于形
心压强乘以面积 。
cF p A?
yc 为面积 A形心的纵坐标,
?s incc yh ? 为形心的 淹深 。
用力矩合成法
C1.5 均质流体对平壁的压力
C1.5.2 平壁总压力作用点
1、积分法
d s i n dD 2AAF y y F g y A??????
可得 D x cy I y A?
2 2 2 2dx c c
AI y A y A I y A r A??? ? ? ? ??
可得, （纵向偏心距）Dcy y e?? 2 ce r y??
fxx cD ??同理, （横向偏心距）cf I y A???
Ix为面积对 x轴惯性矩。用平行移轴定理
rξ为面积 A对 ξ轴的回转半径。
[例 C1.5.2A] 圆形平壁总压力
已知, 封闭油柜侧壁上有一圆形封盖,d = 0.8m
h = 1.2 m,ρ= 800 kg/m3,
求, p0 分别为 (1) 5 kPa ; (2) 2 kPa时总压力
F 和偏心距 e 。
解,(1) 当 p01 = 5kPa时，在封盖中心的压强为
p c1 = p 01+ρgh = 5 + 0.8× 9.81× 1.2
= 5 + 9.42 = 14.42 (kPa)
o1 点位于油面上方 p 0 1 / ρ 处
h c 1 = 0.5 l sin30° = l / 4 = 1 m
)(25.7503.042.144 2111 kNdpApF cc ?????? ?
)1, 8 3 7 (9, 8 10, 81 4, 4 2g 1011 mgphpy cc ?????? ??
[例 C1.5.2A] 圆形平壁总压力
o2 点位于油面上方 | p 0 2 | / ρ处
(2)当 p0 2 = -2 kPa 时
p c2 = p 0 2+ρg h = -2 + 9.42 = 7.42 (kPa)
F2=pc 2 A= 7.42× 0.503 = 3.73 (kPa)
7,4 2 0,9 4 5 ( )
0 8 9,8 1
c2
c2
py m
ρ g.? ? ??
圆板 rξ2 = d 2 /16 =0.82/16=0.04 m2，偏心距为
? ?211 0 0 4 1 8 3 7 0 0 2 2ce r / y, /,, m?? ? ?
? ?2 2 0 0 4 0 9 4 5 0 0 4 22ce r / y, /,, m?? ? ?
C1.5.2 平壁总压力作用点
2.几何法
当一矩形平壁的一边平行于液面时,
作用在平壁上的压强构成平面线性平
行力系, 得用几何合成法求解 。
? ? ? ?sin12 1F F F g h lb g h l lb2? ? ?? ? ? ?
总压力
矩形面积 三角形面积
向 A点取矩求压强中心
sin
sin
212
12
12F l+ F l
3 h l+ 2 l θ23A D = =
F + F 6 h + 3 l θ
sin
sin
21le A D l
2 6 ( 2 h l )
?
?? ? ? ?
可得
C1.6 均质液体对曲壁的总压力
C1 流体的平衡
二维曲壁 的母线垂直某一坐标面归
结为求端线 ab(单位宽度 )上的压强
合力。分为水平分力和垂直分力。
工程应用中以二维曲壁为主。
A B
C
O
三维曲壁 有三个投影面，三个投
影面上的三个分力不一定共点，
可化为一个合力，一个力偶，应
用较少。
C1.6 均质液体对曲壁的总压力
1,水平分力
以储液罐为例，曲壁 ab沿水平方向的投
影面积为 Ax，沿垂直方向的投影面积为
Ah。
C1.6.1 二维曲壁
h x c 为投影面积 A x形心的淹深。水平分力作用应按平壁计算。
当投影面积有重叠部分时，该部分的合力为零。
dFx
dFh
dF
ddx x x x c xA x A xF F g h A g h A??? ? ???
2,垂直分力
dd
hhh h h pAA
F F g h A g? ? ?? ? ???
τp称为压力体。压力体内液体重量构成
垂直分力，作用线通过压力体的重心。
C1.6.1 二维曲壁
3,总压力
水平分力作用线按平壁总压力方法确定。
垂直分力作用线通过压力体的重心。
22
hx FFF ??
4,压力体
压力体的虚实取决于大气压液面与壁面的相对位置，一种判别
方法为
当液体与压力体位于曲壁同侧，压力体为正 (方向向下）
当液体与压力体位于曲壁异侧, 压力体为负 (方向向上 ）
hpF ' g????
压力体是指曲壁与自由液面之间的垂直空
间的容积。当压力体内无水时（如图 C1.6.4
示）称为虚压力体，总压力的垂直分力
负号表示垂直分力方向向上。
[例 C1.6.1.A] 二维曲壁总压力 (二 )
已知, 图示封闭容器 α = 45° 方孔,边长 l = 0.4 m，盖有半圆柱形盖,
H = 0.5 m,压强为 p0 = 0.25 atm
求, 盖所受总压力大小与方向 。
解,基准面离液面 p0 / ρg，坐标系 oxyh
(1) 盖 ABE水平投影，实际面积 Ax = l 2 cos45
°,水平方向合力分量为
?c o s 4 5)( 20 lgHpAF xcxx ?? ???
I
)(9.3 4 1 91 1 3.05.3 0 2 2 8 N???
?45c o s4.0)5.09 8 0 7103.10125.0( 23 ???????
[例 C1.6.1.A] 二维曲壁总压力 (二 )
(3) 总压力大小与方向
( ) c os 45
88
0,4 98 07 34 19,9 24 6,5 34 19,9 31 73,4 ( )
8
2
h
33
0
3
l g p gH l l g F x
N
Fg
?? ?
? ? ?
?
?? ? ? ?
? ? ? ? ?
?? -
- - -
)4 6 6 5, 4 (23 1 7 3, 423 4 1 9, 922 NhFxFF ?????
3 1 7 3, 4 οa r c tg 4 2, 9
3 4 1 9, 9a r c tg
h
x
F
F? ???
ο22
313414 45s i n)(42
1)()( lH
gρ
pllπ 0 ?????????? -???????
???? 45c o s)(8 203 lHgpl ??
(2) 盖 ABE垂直投影,AB段的压力体为负,BE段的压力体为正,分别
与 组合3??
1?? 4??
C1.7.1 阿基米德浮力定律
? 第一浮力定律：沉体受到的浮力 等于排开的液体重量。
C1 流体的平衡
C1.7 浮力与稳定性
??gFb ??
设沉体体积为 τ
当 (物体重量 ) 沉体
bFW?
C1.7.1 阿基米德浮力定律
??设浮体浸没部分体积为
wg ????
当 (物体重量 ) 潜体
bFW?
当 (物体重量 ) 浮体
bFW?
? 浮心：浸没部分液体的形心 C
? 浮轴：通过浮心的垂直轴
? 第二浮力定律：浮体排开液体重量等于自身重量。
被测液体液面线将在基准线以下 Δh位置处
[例 C1.7.1] 液体比重计
液体比重计如图，比重计插入蒸馏水 (4℃ )中，液面基准线 (SG=1),
排水体积为 τ0 。
SG为被测液体的比重, k为常数 。 当 SG＞ 1时刻度线在基准线的下方,
当 SG＜ 1时刻度线在基准线的上方 。
0OH 2 ?? gW ?
)( 0 hAgW ??? ??
)11()1( OH0 2 SGkAh ????? ???
C1.7 浮力与稳定性
C1.7.2 潜体与浮体的稳定性
1、潜体 (浮心不变 )的稳定性
潜体举例：水下舰艇、水雷、气艇、气球等。
浮体举例：水面舰船、船坞、浮吊、浮标等。
? 平衡条件,(1) 浮力＝重力； (2) 浮轴＝重力线
(1) G( 重心 )在 C(浮心 )下方：稳定平衡
(2) G 在 C上方：不稳定平衡
(3) G 与 C重合：随遇平衡
(2) G 在 C下方：稳定平衡
(1) G 与 C重合：随遇平衡
2、浮体 (浮心改变 )的稳定性
(3) G 在 C上方：取决于稳心
高度
C1.8 大气中的压强分布
欧拉平衡方程适用于可压缩流体（正压流体），但需补充 ρ与 p
的关系式。
C1 流体的平衡
p R T? ?设大气满足状态方程
按国际标准大气模型规定 (海平面上
z＝ 0)：
T0 = 228.15 K p0 =101.3 kPa (ab)
ρ0=1.225 kg/m3 Μ 0 =1.789× 10-5 Pa·s
0～ 11km为对流层 0TT β z??
11～ 20km为同温层 T=T2≡216.5 K
C1.8 大气中的压强
2、在同温层 (11～ 20km)
)(
1
12 zzRT
g
epp ??
式中 p1,z1为对流层与同温
层交界面参数,T2 为同温
层内温度。
1、在对流层 (0～ 11km)
gRp p ( 1 z )
T
?? ???
0
0
由欧拉平衡方程得 dd p g pgz R T?? ? ? ?
已知, 上海市 Z0 = 0,T0 =288 K（ 15℃ ）,p0 =101.3 k Pa (ab)
ρ0 =1.225 kg/m3，拉萨市 Z = 3658 m,T=279K（ 6℃ ） 。
求, (1)按温度 -高度线性关系计算拉萨市平均气压 p；
解,(1)由温度 -高度关系 T = T0-βZ
[例 C1.8.1] 大气压强与密度变化
(2)按完全气体计算两地大气的密度比 ρ /ρ 0。
)/(1046.23 6 5 8279288 30 mKZ TT ????????
9.132 8 71046.2 81.9 3 ???? ?Rg?
[例 C1.8.1] 大气压强与密度变化
(2) 按完全气体状态方程
说明拉萨的大气压强约为上海的 64.3% 。
)(1.65643.03.101)
288
279
(3.101
)()1(
9.13
//
abk P a
T
T
pZ
T
pp Rg
0
0
Rg
0
0
????
??? ??
?
66.02762883.101 1.65/ 0
00
0
0
?????? TTppRT pRT p??
说明拉萨的大气压强约为上海的 66% 。
对流层压强与高度关系
