C3 不可压缩粘性流体内流
研究方法 数值法
实验
入口段与充分发展段
解析法 层流
C3 不可压缩粘性流体内流
C3.1 引言
管道流
渠道流
流动特点
分 类
湍流
速度分布
流动阻力
沿程损失
局部损失
不可压缩流
可压缩流 C5
流体机械 D2
内
流
湍流模型 混合长理论
N-S方程精确解
管道阻力
泊肃叶定律
抛物线与对数分布
穆迪图
管路系统 D1
谢齐公式
C3.2 管道入口段流动
1,入口段流动
C3 不可压缩粘性流体内流
2,入口段压强损失
p
LcK
d??? 均流加速
壁面切应力增大
充分发展段压强损失 附加压强损失
壁面滞止
x=0
0＜ x＜ L
边界层增长
x=L
边界层充满管腔
x＞ L
充分发展段
C3.2 管道入口段流动
3,入口段长度
层流入口段 L=(60 ~ 138)d (Re=1000~2300)
湍流入口段 L=(20 ~ 40)d (Re=104~106)
C3.3 平行平板间层流流动
工程背景：滑动轴承润滑油流动；滑块与导轨间隙流动：活塞
与缸壁间隙流动等。
C3.3.1 平板泊肃叶流动
(1) =常数； =常数? ?
(2)定常流动,0
t
? ?
?
(3)充分发展流动, 2
2 0,
uu u u ( y )
xx
??? ? ?
??
(4)体积力为重力, 0 xyf f g? ? ?
已知条件：
C3.3 平行平板间层流流动
基本方程：连续性方程与 N-S方程
0?????? yvxu 0 0 ??????? vyvxu
)()( 2
2
2
2
y
u
x
u
x
pf
y
uv
x
uu
t
u
x ?
??
?
??
?
???
?
??
?
??
?
? ???
)()( 2
2
2
2
y
v
x
v
y
pf
y
vv
x
vu
t
v
y ?
??
?
??
?
???
?
??
?
??
?
? ???
gfyp y ?? ?????
2
2
d
d
pu
xy?
? ?
?
简化得：
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
)( xfgyp ??? ?由第二式
第一式左边与 y无关，右边与 x无关，只能均为常数。
C3.3 平行平板间层流流动
1,速度分布
y = 0,u = 0,C2= 0
y = b,u = 0,1 1d
2d
pCb
x???
21d
2d
pu ( y b y )
x???
最大速度 2 d
8dm
bpu
x???
2
12
d
d
1pu y C y C
2x?? ? ?
积分得
边界条件：
2
2
dd
dd
u 1 p
yx???
常数取 p为截面平均压强
C3.3 平行平板间层流流动
3,流量 ? ? 32
00
1 d dd
2 d 1 2 d
bb p b pQ u d y y b y y
xx??? ? ? ? ???
4,平均速度 2 d2
1 2 d 3 m
Q b pVu
bx ?? ? ? ?
壁面切应力 d2dw bpx? ?
2,切应力分布 d
d2
pb( y )
x? ??
C3.3.2 一般库埃特流
C3.3 平行平板间层流流动
1,速度分布
? ?2d2d1 p Uu y b y yxb?? ? ?
已知条件：下板固定，上板以匀速
U沿 x方向运动，结合边界条件，求
解 N-S方程可得
2 d
2d
bpB
Ux???
u y y yB1
U b b b
??? ? ???
??无量纲形式
2,切应力分布 dd
d 2 d
p U b py ( )
x b x??? ? ?
3,流动类型比较
[例 C3.3.2] 圆柱环形缝隙中的流动：库埃特流
已知, 中轴的直径为 d = 80 mm,b = 0.06 mm,l = 30 mm,n = 3600转 /分
润滑油的粘度系数为 μ= 0.12 Pa·s
求, 空载运转时作用在轴上的 (1) 轴矩 Ts ；
解,(1)由于 b << d 可将轴承间隙内的周向流
动简化为无限大平行平板间的流动。
(2) 轴功率。
ybUu ?
轴承固定,而轴以线速度 U=ωd /2运动,带动润滑油作纯剪切流动,即简
单库埃特流动。间隙内速度分布为
[例 C3.3.2] 圆柱环形缝隙中的流动：库埃特流
作用在轴上的转矩为力 Fx
(1)作用在轴表面的粘性切应力为 Fh
32
3
d 2 1 0 0 1 2 3 6 0 0 0 0 8 6 1 0
d 6 0 2 6 0 6 0 0 0 3 1 0w
u U n d n d,, ( N / m )
y b b b,
? ? ? ?? ? ? ?
?
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
)(81.12/03.008.010622 23 mNddldAT wws ????????? ????
(2)转动轴所化的功率为
)(4.68230/360081.130/602 WnTnTTW ssss ???????? ?????
C3.4 圆管层流流动
1,切应力分布
由定常流动，控制体外力平衡
称为斯托克斯公式。式中比压降
C3 不可压缩粘性流体内流
C3.4.1 用动量方程求解
取图示同轴圆柱形控制体，侧面切应力为 τ,端面上取平均压强 p
d
d
ppG
lx
?? ? ? ? 常 数
1d
2 d 2
pGrr
x? ? ? ?
2d d 2 d
d
p x r r x 0
x ? ? ?? ? ?
可得切应力分布
2,速度分布
C3.4.1 用动量方程求解速度分布
)(4 22 rRGu ?? ?
2
4m a x
GuR
??
由牛顿粘性定律
d
d
u
r???? 2
Gr?
在轴线上 (r=0),速度为最大值
由壁面不滑移条件,r=R,u=0
可得圆管定常层流的速度分布式
1,泊肃叶定律
C3.4.2 泊肃叶定律
C3.4 圆管层流流动
4
8Q G R
?
??
2,平均速度 2 1
82 m a x
GV R u
???
3,沿程损失 V
gR
l
g
Gl
g
ph
f 2
8
?
?
?? ??
??
限制条件,（ 1）不可压缩（ 2）牛顿流体（ 3）定常流动
（ 4）圆管流动
22
002 2
RRQ u r d r G ( R r ) r d r??
?? ? ???
4,意义
C3.4.2 泊肃叶定律
4 8G R Q???
(1) 泊肃叶定律解析式由哈根巴赫（ 1858）和纽曼（ 1859）分
别用 N-S方程推出 (参见例 C3.4.2）；
(3) 理论与实验结果一致肯定了牛顿粘性假设,N-S方程的斯托
克斯假设和壁面不滑移假设。 (分别称为牛顿粘性定律、壁
面不滑移条件 )；
(4) 利用泊肃叶定律测量流体粘度
(2) 哈根（ 1839）和泊肃叶（ 1840）分别用实验测得 Q与 GR4
成正比关系；
[例 C3.4.2] 毛细管粘度计：泊肃叶流
已知, Ostwald毛细管粘度计如图，毛细管直径为 d = 0.5 mm，长 l = 20 cm。
设 Q = 3.97 mm3/s,Δp = 2070 Pa
求, (1) 被测液体的粘度系数；
解,(1)由泊肃叶公式
(2)设 ρ=1055 kg/m3，校核 Re数。
(2)校核 Re数
2 3 0 07.2104105.0 1097.31 0 5 544Re 33 9 ?????? ?????? ?? ???? ??? d QVd
)(1042.01097.3128 )105.0(20701688 39 4344 sPadl pQGRQ ?????? ????????? ?? ?????
C3.5 圆管湍流流动
特 性
随机性
掺混性
涡旋性
C3 不可压缩粘性流体内流
C3.5.1 湍流与湍流切应力
时均法
体均法
表达法
输运特性
湍流
结构特性
基本方程
大尺度涡旋场
小尺度随机运动
拟序结构
?u=u+u
雷诺方程 包含雷诺应力
?T01u = udtT
C3.5.1 湍流与湍流切应力
x x y y x
y x y y z
z x z y z
u u u v u wp 0 0
P 0 p 0 v u v v v w
0 0 p w u w v w w
? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?? ? ??????
??????
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
?? ??? ??? ? ? ? ? ?? ? ?
?? ?? ??
压强项 粘性应力项 雷诺应力项
2,圆管湍流切应力
tl ??? ??
d
d
u
r??
u' v'??
? 分层结构：
（ 1）粘性底层 t 0? ?
（ 2）过渡区 tl ?? ~
（ 3）核心区 l 0? ?
C3.5.1 湍流与湍流切应力
? 混合长度理论：
uu v l
y
????
?
dd
dd
2
2
tt
uuu v l
yy
? ? ? ?????? ? ? ???
??
湍流粘度 dd2t ul y???
湍流运动粘度 dd2tt uvl y????
2,湍流指数律
1,湍流对数律
C3.5.2 圆管湍流速度分布
C3.5 圆管湍流流动
根据尼古拉兹的实验结果和普朗特混合长度理论可推导出
圆管湍流的对数分布率：
5.5ln5.2 *
*
?? ?yuuu
?? w*u ?式中 称为壁面摩擦速度,y是离壁面的垂直距离,
71)1(
R
r
u
u
m
??
式中 为轴心最大速度。mu
根据 Re=105 前后的实验数据导出的
指数形式分布律为
C3.6 圆管流动沿程损失
C3.6.1 达西公式
水力光滑
粗糙过渡区
水力粗糙湍流
雷诺数 Re
相对粗糙度 ε/d
绝对粗糙度 ε
粗糙度
流 态
层流
商用管
人工管
达西摩擦因子
??????Reε,λ =f
达 西 公 式
2f lvh=λ 2gd
适用各种管道
粘性底层 δ
δ <ε
δ >ε
尼古拉兹图
等效粗糙度 穆迪图
C3.6 圆管流动沿程损失
C3.6.3 穆迪图
C3.6 圆管流动沿程损失
完全粗糙区
穆迪图
湍流光滑区
过渡区
层流区
粗糙过渡区
普朗特 —
史里希廷公式
布拉休斯公式
罗斯线
Re ?2300 / Re??64
Re??2 3 0 0 4 0 0 0无规律
.,R e? ? 0 250 316 4 Re?? 54 0 0 1 0
? ?1 Re= 2 l g,?? ? 08Re? ? ? 63 0 0 0 4 1 0
冯 ·卡门公式 d= 1.74 + 2lg( /2 )?? ??????? 2? ?,/dRe ?? 0 8 524160
等效粗糙度
科尔布鲁
克公式 1 = -2lg,d.Re ??????????2 5 1 37Re?? 84 0 0 0 1 0
C3.6 圆管流动沿程损失
C3.6 圆管流动沿程损失
水泥 0.3～ 3.0
铆钉钢 0.9～ 9.0
材料 (新 ) ε(mm)
木板 0.18～ 0.9
铸铁 0.26
镀锌铁 0.15
沥青铸铁 0.12
商用钢和锻铁 0.046
冷拔管 0.0015
塑料和玻璃 0.0
表 C3.6.1 商用管等效粗糙度
[例 C3.6.3] 沿程损失：已知管道和流量求沿程损失
求,冬天和夏天的沿程损失 hf
解,30 0 2 7 7 8
3600
mQ, m s
??? smd
QV 884.0
2.0
4278.04
22 ??
???
??
冬天 2 3 0 01 6 1 9
100 9 2.1
2.08 8 5.0Re
41 ???
???
??
Vd 层流
夏天 2 3 0 04 9 8 0
10355.0
2.0884.0Re
42 ???
???
??
Vd 湍流
冬天 (油柱 ) m
g
V
d
l
g
V
d
lh
f 6.2381.92
885.0
2.0
3 0 0 0
1 6 1 9
64
2Re
64
2
222
1
1
1 ??????? ?
夏天 mgVdlh f 0.2381.92 884.02.030000385.02 222
2 ?????? ?
(油柱 )
已知, d＝ 20cm,l＝ 3000m 的旧无缝钢管,ρ ＝ 900 kg/m3,Q＝ 90T/h.,在
冬天为 1.092× 10-4 m2/s,夏天为 0.355× 10-4 m2/s
?
在夏天，查旧无缝钢管等效粗糙度 ε=0.2mm,ε/d=0.001
查穆迪图 λ2=0.0385
[例 C3.6.3A] 沿程损失：已知管道和压降求流量
求,管内流量 Q
解,m
g
ph
f 61.909.09810
10800 3
1 ??
????
?
0 0 2.01 0 02.0 ??d?
穆迪图完全粗糙区的 λ＝ 0.025,设 λ1＝ 0.025,由达西公式
smlgdhV f 22.46667.0325.6)400 61.901.081.92(025.0 1)2(1 2
1
2
1
1
1 ???
?????
?
smV 06.46 6 6 7.00 2 7.0 12 ??? 41006.4Re 2 ??
查穆迪图得 λ2＝ 0.027,重新计算速度
查穆迪图得 λ2＝ 0.027
smVAQ 32 0 3 1 9.01.0406.4 ????? ?
已知, d＝ 10cm,l＝ 400m 的旧无缝钢管比重为 0.9,=10 -5 m2/s 的油
aKPp 8 0 0??
?
[例 C3.6.3B] 沿程损失：已知沿程损失和流量求管径
求,管径 d 应选多大
解：
22
04.040 3 1 8.0
ddA
QV ????
?
由达西公式
5
22
2
2 1
086.0)4(2 12 dlQdQgdlgVdlh f ???? ???
??? 42
2
5 1069.3
61.900318.04000826.00826.0
???????
fh
lQd
ddd
dVd 4 0 0 0
10
04.004.0Re
52 ???? ???
aKPp 8 0 0??已知, l＝ 400m 的旧无缝钢管输送比重 0.9,=10
-5 m2/s 的油
Q = 0.0319 m3/s
?
[例 C3.6.3B] 沿程损失：已知沿程损失和流量求管径
41 4 0 0 0 0 0 9 8 5 4 0 6 1 0R e /,,? ? ?
由 ε / d = 0.2 / 98.5 = 0.002，查 穆迪 图得 λ 2 = 0.027
d 2 = (3.71× 10–4 × 0.027)1 / 5 = 0.1 (m)
Re2 = 4000 / 0.1 = 4.01× 104
ε / d = 0.2 / 99.6 = 0.002，查 穆迪 图得 λ 3= 0.027
取 d =0.1m。
参照例 C3.6.3A,选 λ1=0.025
4 1 51 3 6 9 1 0 0 0 2 5 0 0 9 8 5 m/d (,, ),?? ? ? ?
C3.7 局部损失
C3 不可压缩粘性流体内流
产生原因 微团碰撞摩擦
产生涡旋
扩大收缩
弯 管
速度重新分布
阀 门
典型部件
计算公式
局部损失系数表
局部损失
2
2m
VhK
g?
C3.7 局部损失
1,入口与出口
(1)三种管入口
(2) 管出口（ K=1）
2,扩大与缩小
(1) 突然扩大
(2) 突然缩小
(3) 渐扩管
22
211
2
2
12m e eVdh K,K ( )gd? ? ?
22
211
2
2
0 4 2 12m c cVdh K,K, ( )gd? ? ?
时,K为极小值 。?5??
C3.7 局部损失
3,弯管和折管
(1) 弯管
(2) 折管
安装导流片后,K 减小 80% 。
4,阀门
关闭时,K→∞
全开时,K 值为 闸阀 <蝶阀 <球阀。
dr-K,90 ???图为 曲线。
K 随 θ增加而增大。
弯管中发生二次流和分离区
[例 C3.7.2] 管路损失计算：沿程损失 +局部损失
已知, 图 CE3.7.2示上下两个贮水池由直径 d=10cm，长 l=50m的铁管连接
（ ε = 0.046 mm）中间连有球形阀一个（全开时 Kv=5.7）,90° 弯管两个
（每个 Kb= 0.64），为保证管中流量 Q = 0.04m3/s,
求,两贮水池的水位差 H（ m）。
管内平均速度为解：
3
22
4 4 0 04 m s 5 09 m s
0 1 m
Q,/V, /
d,? ? ????
??
?? ? ?
?
管内流动损失由两部分组成：局部损失和沿程损失。局部损失除阀门和弯头
损失外，还有入口（ Kin= 0.5）和出口（ Kout=1.0）损失
22 2m outin V b Vh ( K K K K ) g? ? ? ?
沿程损失为 22f lVh gd??
[例 C3.7.2] 管路损失计算：沿程损失 +局部损失
λ 由穆迪图确定 。 设 ν =10– 6 m2/s
5
62
( 5 0 9 m s ) ( 0 1 m ) 5 0 9 1 0
1 0 m s
0 0 4 6 m m 0 0 0 0 4 6
1 0 0 m m
,/,VdR e,
/
.,
d
?
?
?? ? ? ?
??
查穆迪图可得 λ= 0.0173
对两贮水池液面（ 1）和（ 2）列伯努利方程的第一种推广形式,由
(B4.6.13b）式
22 12( ) ( )22 LppVVz z hgggg??? ? ? ? ? ?
对液面 V1=V2=0,p1=p2=0，由上式可得
212 2 2m v e outinL f lVH z z h h h ( K K K K ) gd?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
[例 C3.7.2] 管路损失计算：沿程损失 +局部损失
? ? ? ?
2
2
5 0 9 m s50
0 5 5 7 2 0 6 4 1 0 0 0 1 7 3 01
2 9 8 1 m s
1 1 2 m 1 1 4 m 2 2 6 m
.
.,,,,,
.
.,,
??
??
???? ??
??
? ? ? ? ?
? ? ?
讨论,（ 1） 本例中尽管在单管中嵌入了多个部件, 包括入口和出口,
有多个局部损失成分, 只要正确确定每个部件的局部损失因子,
将其累加起来, 按一个总的局部损失处理 。
（ 2）计算结果表明，本例中管路局部损失与沿程损失大小相当，
两者必须同时考虑 。
（ 3）本例若改为第三类问题：给定流量和水头损失计算管径，
由于许多部件的局部损失因子与管径有关，除了达西摩擦因子
需要迭代计算外，局部损失因子也要迭代，计算的复杂性比不
计局部损失时大大提高了。工程上通常将局部损失折算成等效
长度管子的沿程损失，使计算和迭代简化。
C3.8 非圆形管中的流动
C3 不可压缩粘性流体内流
C3.8.1 非圆形管流量公式
33
224
abQG
ab
?
?? ?
? ?
? ?
222
42
8 l n
Rr
Q G R r
Rr
?
?
?? ?
??? ? ?
??
43
320
GaQ
??
1,椭圆管
2,同心圆环管
3,等边三角形管
3,矩形管
C3 不可压缩粘性流体内流
C3.8.2 非圆形管流动沿程损失
1,水力半径与直径
?水力半径 P为湿周：壁面与流体接触周长hr A P?
A为过流截面面积
h
abr
ab? ?
? ?12
h
bhr
bh
?
?
3
12hra?
? ?12hr R r??
?水力直径 4hhdr?
椭圆
同心圆环
等边三角形
矩形
C3.8.2 非圆形管流动沿程损失
2,非圆形管水力计算
（ 1）雷诺数 用水力直径表示
h
h
d
VdRe
??
2300hd,c rRe ?
1
4hh
h
rd
VrR e R e
???
580hr,c rRe ?
2
2f h
lVh
dg??
用水力半径表示
?临界雷诺数
（ 2） 用水力直径表示的达西公式
适用范围,(1)管截面不特别扁长（矩形 l≤4h），
(2)液体与气体
λ为达西摩擦因子（查穆迪图），相对粗糙度为 ε/dh。
研究方法 数值法
实验
入口段与充分发展段
解析法 层流
C3 不可压缩粘性流体内流
C3.1 引言
管道流
渠道流
流动特点
分 类
湍流
速度分布
流动阻力
沿程损失
局部损失
不可压缩流
可压缩流 C5
流体机械 D2
内
流
湍流模型 混合长理论
N-S方程精确解
管道阻力
泊肃叶定律
抛物线与对数分布
穆迪图
管路系统 D1
谢齐公式
C3.2 管道入口段流动
1,入口段流动
C3 不可压缩粘性流体内流
2,入口段压强损失
p
LcK
d??? 均流加速
壁面切应力增大
充分发展段压强损失 附加压强损失
壁面滞止
x=0
0＜ x＜ L
边界层增长
x=L
边界层充满管腔
x＞ L
充分发展段
C3.2 管道入口段流动
3,入口段长度
层流入口段 L=(60 ~ 138)d (Re=1000~2300)
湍流入口段 L=(20 ~ 40)d (Re=104~106)
C3.3 平行平板间层流流动
工程背景：滑动轴承润滑油流动；滑块与导轨间隙流动：活塞
与缸壁间隙流动等。
C3.3.1 平板泊肃叶流动
(1) =常数； =常数? ?
(2)定常流动,0
t
? ?
?
(3)充分发展流动, 2
2 0,
uu u u ( y )
xx
??? ? ?
??
(4)体积力为重力, 0 xyf f g? ? ?
已知条件：
C3.3 平行平板间层流流动
基本方程：连续性方程与 N-S方程
0?????? yvxu 0 0 ??????? vyvxu
)()( 2
2
2
2
y
u
x
u
x
pf
y
uv
x
uu
t
u
x ?
??
?
??
?
???
?
??
?
??
?
? ???
)()( 2
2
2
2
y
v
x
v
y
pf
y
vv
x
vu
t
v
y ?
??
?
??
?
???
?
??
?
??
?
? ???
gfyp y ?? ?????
2
2
d
d
pu
xy?
? ?
?
简化得：
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
)( xfgyp ??? ?由第二式
第一式左边与 y无关，右边与 x无关，只能均为常数。
C3.3 平行平板间层流流动
1,速度分布
y = 0,u = 0,C2= 0
y = b,u = 0,1 1d
2d
pCb
x???
21d
2d
pu ( y b y )
x???
最大速度 2 d
8dm
bpu
x???
2
12
d
d
1pu y C y C
2x?? ? ?
积分得
边界条件：
2
2
dd
dd
u 1 p
yx???
常数取 p为截面平均压强
C3.3 平行平板间层流流动
3,流量 ? ? 32
00
1 d dd
2 d 1 2 d
bb p b pQ u d y y b y y
xx??? ? ? ? ???
4,平均速度 2 d2
1 2 d 3 m
Q b pVu
bx ?? ? ? ?
壁面切应力 d2dw bpx? ?
2,切应力分布 d
d2
pb( y )
x? ??
C3.3.2 一般库埃特流
C3.3 平行平板间层流流动
1,速度分布
? ?2d2d1 p Uu y b y yxb?? ? ?
已知条件：下板固定，上板以匀速
U沿 x方向运动，结合边界条件，求
解 N-S方程可得
2 d
2d
bpB
Ux???
u y y yB1
U b b b
??? ? ???
??无量纲形式
2,切应力分布 dd
d 2 d
p U b py ( )
x b x??? ? ?
3,流动类型比较
[例 C3.3.2] 圆柱环形缝隙中的流动：库埃特流
已知, 中轴的直径为 d = 80 mm,b = 0.06 mm,l = 30 mm,n = 3600转 /分
润滑油的粘度系数为 μ= 0.12 Pa·s
求, 空载运转时作用在轴上的 (1) 轴矩 Ts ；
解,(1)由于 b << d 可将轴承间隙内的周向流
动简化为无限大平行平板间的流动。
(2) 轴功率。
ybUu ?
轴承固定,而轴以线速度 U=ωd /2运动,带动润滑油作纯剪切流动,即简
单库埃特流动。间隙内速度分布为
[例 C3.3.2] 圆柱环形缝隙中的流动：库埃特流
作用在轴上的转矩为力 Fx
(1)作用在轴表面的粘性切应力为 Fh
32
3
d 2 1 0 0 1 2 3 6 0 0 0 0 8 6 1 0
d 6 0 2 6 0 6 0 0 0 3 1 0w
u U n d n d,, ( N / m )
y b b b,
? ? ? ?? ? ? ?
?
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
)(81.12/03.008.010622 23 mNddldAT wws ????????? ????
(2)转动轴所化的功率为
)(4.68230/360081.130/602 WnTnTTW ssss ???????? ?????
C3.4 圆管层流流动
1,切应力分布
由定常流动，控制体外力平衡
称为斯托克斯公式。式中比压降
C3 不可压缩粘性流体内流
C3.4.1 用动量方程求解
取图示同轴圆柱形控制体，侧面切应力为 τ,端面上取平均压强 p
d
d
ppG
lx
?? ? ? ? 常 数
1d
2 d 2
pGrr
x? ? ? ?
2d d 2 d
d
p x r r x 0
x ? ? ?? ? ?
可得切应力分布
2,速度分布
C3.4.1 用动量方程求解速度分布
)(4 22 rRGu ?? ?
2
4m a x
GuR
??
由牛顿粘性定律
d
d
u
r???? 2
Gr?
在轴线上 (r=0),速度为最大值
由壁面不滑移条件,r=R,u=0
可得圆管定常层流的速度分布式
1,泊肃叶定律
C3.4.2 泊肃叶定律
C3.4 圆管层流流动
4
8Q G R
?
??
2,平均速度 2 1
82 m a x
GV R u
???
3,沿程损失 V
gR
l
g
Gl
g
ph
f 2
8
?
?
?? ??
??
限制条件,（ 1）不可压缩（ 2）牛顿流体（ 3）定常流动
（ 4）圆管流动
22
002 2
RRQ u r d r G ( R r ) r d r??
?? ? ???
4,意义
C3.4.2 泊肃叶定律
4 8G R Q???
(1) 泊肃叶定律解析式由哈根巴赫（ 1858）和纽曼（ 1859）分
别用 N-S方程推出 (参见例 C3.4.2）；
(3) 理论与实验结果一致肯定了牛顿粘性假设,N-S方程的斯托
克斯假设和壁面不滑移假设。 (分别称为牛顿粘性定律、壁
面不滑移条件 )；
(4) 利用泊肃叶定律测量流体粘度
(2) 哈根（ 1839）和泊肃叶（ 1840）分别用实验测得 Q与 GR4
成正比关系；
[例 C3.4.2] 毛细管粘度计：泊肃叶流
已知, Ostwald毛细管粘度计如图，毛细管直径为 d = 0.5 mm，长 l = 20 cm。
设 Q = 3.97 mm3/s,Δp = 2070 Pa
求, (1) 被测液体的粘度系数；
解,(1)由泊肃叶公式
(2)设 ρ=1055 kg/m3，校核 Re数。
(2)校核 Re数
2 3 0 07.2104105.0 1097.31 0 5 544Re 33 9 ?????? ?????? ?? ???? ??? d QVd
)(1042.01097.3128 )105.0(20701688 39 4344 sPadl pQGRQ ?????? ????????? ?? ?????
C3.5 圆管湍流流动
特 性
随机性
掺混性
涡旋性
C3 不可压缩粘性流体内流
C3.5.1 湍流与湍流切应力
时均法
体均法
表达法
输运特性
湍流
结构特性
基本方程
大尺度涡旋场
小尺度随机运动
拟序结构
?u=u+u
雷诺方程 包含雷诺应力
?T01u = udtT
C3.5.1 湍流与湍流切应力
x x y y x
y x y y z
z x z y z
u u u v u wp 0 0
P 0 p 0 v u v v v w
0 0 p w u w v w w
? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?? ? ??????
??????
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
?? ??? ??? ? ? ? ? ?? ? ?
?? ?? ??
压强项 粘性应力项 雷诺应力项
2,圆管湍流切应力
tl ??? ??
d
d
u
r??
u' v'??
? 分层结构：
（ 1）粘性底层 t 0? ?
（ 2）过渡区 tl ?? ~
（ 3）核心区 l 0? ?
C3.5.1 湍流与湍流切应力
? 混合长度理论：
uu v l
y
????
?
dd
dd
2
2
tt
uuu v l
yy
? ? ? ?????? ? ? ???
??
湍流粘度 dd2t ul y???
湍流运动粘度 dd2tt uvl y????
2,湍流指数律
1,湍流对数律
C3.5.2 圆管湍流速度分布
C3.5 圆管湍流流动
根据尼古拉兹的实验结果和普朗特混合长度理论可推导出
圆管湍流的对数分布率：
5.5ln5.2 *
*
?? ?yuuu
?? w*u ?式中 称为壁面摩擦速度,y是离壁面的垂直距离,
71)1(
R
r
u
u
m
??
式中 为轴心最大速度。mu
根据 Re=105 前后的实验数据导出的
指数形式分布律为
C3.6 圆管流动沿程损失
C3.6.1 达西公式
水力光滑
粗糙过渡区
水力粗糙湍流
雷诺数 Re
相对粗糙度 ε/d
绝对粗糙度 ε
粗糙度
流 态
层流
商用管
人工管
达西摩擦因子
??????Reε,λ =f
达 西 公 式
2f lvh=λ 2gd
适用各种管道
粘性底层 δ
δ <ε
δ >ε
尼古拉兹图
等效粗糙度 穆迪图
C3.6 圆管流动沿程损失
C3.6.3 穆迪图
C3.6 圆管流动沿程损失
完全粗糙区
穆迪图
湍流光滑区
过渡区
层流区
粗糙过渡区
普朗特 —
史里希廷公式
布拉休斯公式
罗斯线
Re ?2300 / Re??64
Re??2 3 0 0 4 0 0 0无规律
.,R e? ? 0 250 316 4 Re?? 54 0 0 1 0
? ?1 Re= 2 l g,?? ? 08Re? ? ? 63 0 0 0 4 1 0
冯 ·卡门公式 d= 1.74 + 2lg( /2 )?? ??????? 2? ?,/dRe ?? 0 8 524160
等效粗糙度
科尔布鲁
克公式 1 = -2lg,d.Re ??????????2 5 1 37Re?? 84 0 0 0 1 0
C3.6 圆管流动沿程损失
C3.6 圆管流动沿程损失
水泥 0.3～ 3.0
铆钉钢 0.9～ 9.0
材料 (新 ) ε(mm)
木板 0.18～ 0.9
铸铁 0.26
镀锌铁 0.15
沥青铸铁 0.12
商用钢和锻铁 0.046
冷拔管 0.0015
塑料和玻璃 0.0
表 C3.6.1 商用管等效粗糙度
[例 C3.6.3] 沿程损失：已知管道和流量求沿程损失
求,冬天和夏天的沿程损失 hf
解,30 0 2 7 7 8
3600
mQ, m s
??? smd
QV 884.0
2.0
4278.04
22 ??
???
??
冬天 2 3 0 01 6 1 9
100 9 2.1
2.08 8 5.0Re
41 ???
???
??
Vd 层流
夏天 2 3 0 04 9 8 0
10355.0
2.0884.0Re
42 ???
???
??
Vd 湍流
冬天 (油柱 ) m
g
V
d
l
g
V
d
lh
f 6.2381.92
885.0
2.0
3 0 0 0
1 6 1 9
64
2Re
64
2
222
1
1
1 ??????? ?
夏天 mgVdlh f 0.2381.92 884.02.030000385.02 222
2 ?????? ?
(油柱 )
已知, d＝ 20cm,l＝ 3000m 的旧无缝钢管,ρ ＝ 900 kg/m3,Q＝ 90T/h.,在
冬天为 1.092× 10-4 m2/s,夏天为 0.355× 10-4 m2/s
?
在夏天，查旧无缝钢管等效粗糙度 ε=0.2mm,ε/d=0.001
查穆迪图 λ2=0.0385
[例 C3.6.3A] 沿程损失：已知管道和压降求流量
求,管内流量 Q
解,m
g
ph
f 61.909.09810
10800 3
1 ??
????
?
0 0 2.01 0 02.0 ??d?
穆迪图完全粗糙区的 λ＝ 0.025,设 λ1＝ 0.025,由达西公式
smlgdhV f 22.46667.0325.6)400 61.901.081.92(025.0 1)2(1 2
1
2
1
1
1 ???
?????
?
smV 06.46 6 6 7.00 2 7.0 12 ??? 41006.4Re 2 ??
查穆迪图得 λ2＝ 0.027,重新计算速度
查穆迪图得 λ2＝ 0.027
smVAQ 32 0 3 1 9.01.0406.4 ????? ?
已知, d＝ 10cm,l＝ 400m 的旧无缝钢管比重为 0.9,=10 -5 m2/s 的油
aKPp 8 0 0??
?
[例 C3.6.3B] 沿程损失：已知沿程损失和流量求管径
求,管径 d 应选多大
解：
22
04.040 3 1 8.0
ddA
QV ????
?
由达西公式
5
22
2
2 1
086.0)4(2 12 dlQdQgdlgVdlh f ???? ???
??? 42
2
5 1069.3
61.900318.04000826.00826.0
???????
fh
lQd
ddd
dVd 4 0 0 0
10
04.004.0Re
52 ???? ???
aKPp 8 0 0??已知, l＝ 400m 的旧无缝钢管输送比重 0.9,=10
-5 m2/s 的油
Q = 0.0319 m3/s
?
[例 C3.6.3B] 沿程损失：已知沿程损失和流量求管径
41 4 0 0 0 0 0 9 8 5 4 0 6 1 0R e /,,? ? ?
由 ε / d = 0.2 / 98.5 = 0.002，查 穆迪 图得 λ 2 = 0.027
d 2 = (3.71× 10–4 × 0.027)1 / 5 = 0.1 (m)
Re2 = 4000 / 0.1 = 4.01× 104
ε / d = 0.2 / 99.6 = 0.002，查 穆迪 图得 λ 3= 0.027
取 d =0.1m。
参照例 C3.6.3A,选 λ1=0.025
4 1 51 3 6 9 1 0 0 0 2 5 0 0 9 8 5 m/d (,, ),?? ? ? ?
C3.7 局部损失
C3 不可压缩粘性流体内流
产生原因 微团碰撞摩擦
产生涡旋
扩大收缩
弯 管
速度重新分布
阀 门
典型部件
计算公式
局部损失系数表
局部损失
2
2m
VhK
g?
C3.7 局部损失
1,入口与出口
(1)三种管入口
(2) 管出口（ K=1）
2,扩大与缩小
(1) 突然扩大
(2) 突然缩小
(3) 渐扩管
22
211
2
2
12m e eVdh K,K ( )gd? ? ?
22
211
2
2
0 4 2 12m c cVdh K,K, ( )gd? ? ?
时,K为极小值 。?5??
C3.7 局部损失
3,弯管和折管
(1) 弯管
(2) 折管
安装导流片后,K 减小 80% 。
4,阀门
关闭时,K→∞
全开时,K 值为 闸阀 <蝶阀 <球阀。
dr-K,90 ???图为 曲线。
K 随 θ增加而增大。
弯管中发生二次流和分离区
[例 C3.7.2] 管路损失计算：沿程损失 +局部损失
已知, 图 CE3.7.2示上下两个贮水池由直径 d=10cm，长 l=50m的铁管连接
（ ε = 0.046 mm）中间连有球形阀一个（全开时 Kv=5.7）,90° 弯管两个
（每个 Kb= 0.64），为保证管中流量 Q = 0.04m3/s,
求,两贮水池的水位差 H（ m）。
管内平均速度为解：
3
22
4 4 0 04 m s 5 09 m s
0 1 m
Q,/V, /
d,? ? ????
??
?? ? ?
?
管内流动损失由两部分组成：局部损失和沿程损失。局部损失除阀门和弯头
损失外，还有入口（ Kin= 0.5）和出口（ Kout=1.0）损失
22 2m outin V b Vh ( K K K K ) g? ? ? ?
沿程损失为 22f lVh gd??
[例 C3.7.2] 管路损失计算：沿程损失 +局部损失
λ 由穆迪图确定 。 设 ν =10– 6 m2/s
5
62
( 5 0 9 m s ) ( 0 1 m ) 5 0 9 1 0
1 0 m s
0 0 4 6 m m 0 0 0 0 4 6
1 0 0 m m
,/,VdR e,
/
.,
d
?
?
?? ? ? ?
??
查穆迪图可得 λ= 0.0173
对两贮水池液面（ 1）和（ 2）列伯努利方程的第一种推广形式,由
(B4.6.13b）式
22 12( ) ( )22 LppVVz z hgggg??? ? ? ? ? ?
对液面 V1=V2=0,p1=p2=0，由上式可得
212 2 2m v e outinL f lVH z z h h h ( K K K K ) gd?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
[例 C3.7.2] 管路损失计算：沿程损失 +局部损失
? ? ? ?
2
2
5 0 9 m s50
0 5 5 7 2 0 6 4 1 0 0 0 1 7 3 01
2 9 8 1 m s
1 1 2 m 1 1 4 m 2 2 6 m
.
.,,,,,
.
.,,
??
??
???? ??
??
? ? ? ? ?
? ? ?
讨论,（ 1） 本例中尽管在单管中嵌入了多个部件, 包括入口和出口,
有多个局部损失成分, 只要正确确定每个部件的局部损失因子,
将其累加起来, 按一个总的局部损失处理 。
（ 2）计算结果表明，本例中管路局部损失与沿程损失大小相当，
两者必须同时考虑 。
（ 3）本例若改为第三类问题：给定流量和水头损失计算管径，
由于许多部件的局部损失因子与管径有关，除了达西摩擦因子
需要迭代计算外，局部损失因子也要迭代，计算的复杂性比不
计局部损失时大大提高了。工程上通常将局部损失折算成等效
长度管子的沿程损失，使计算和迭代简化。
C3.8 非圆形管中的流动
C3 不可压缩粘性流体内流
C3.8.1 非圆形管流量公式
33
224
abQG
ab
?
?? ?
? ?
? ?
222
42
8 l n
Rr
Q G R r
Rr
?
?
?? ?
??? ? ?
??
43
320
GaQ
??
1,椭圆管
2,同心圆环管
3,等边三角形管
3,矩形管
C3 不可压缩粘性流体内流
C3.8.2 非圆形管流动沿程损失
1,水力半径与直径
?水力半径 P为湿周：壁面与流体接触周长hr A P?
A为过流截面面积
h
abr
ab? ?
? ?12
h
bhr
bh
?
?
3
12hra?
? ?12hr R r??
?水力直径 4hhdr?
椭圆
同心圆环
等边三角形
矩形
C3.8.2 非圆形管流动沿程损失
2,非圆形管水力计算
（ 1）雷诺数 用水力直径表示
h
h
d
VdRe
??
2300hd,c rRe ?
1
4hh
h
rd
VrR e R e
???
580hr,c rRe ?
2
2f h
lVh
dg??
用水力半径表示
?临界雷诺数
（ 2） 用水力直径表示的达西公式
适用范围,(1)管截面不特别扁长（矩形 l≤4h），
(2)液体与气体
λ为达西摩擦因子（查穆迪图），相对粗糙度为 ε/dh。
