B4 积分形式的基本方程
B4 积分形式的基本方程
输运公式伯努利方程
连续性方程 动量方程 能量方程动量矩方程
固
定
控
制
体
运
动
控
制
体
固
定
控
制
体
匀
速
运
动
控
制
体
固
定
控
制
体
旋
转
控
制
体
系统导数
固
定
控
制
体
B4 积分形式的基本方程
系统广延量
控制体广延量
? ? ??? dtN s ys ??
? ? ?? dtN CVCV ??
B4.1 流体方程的随体导数
? 输运公式
? ??? ????? CSCVs y s dAdtDtDN nv???
① ③②
① 系统广延量的导数，称为系统导数。
② 控制体广延量随时间变化率,
称为当地变化率 ；当流场定常时为零。
③ 通过控制面净流出的广延量流量,
称为迁移变化率 ；当流场均匀时为零。
?输运公式计算取决于控制体 (面 )的选择
B4 积分形式的基本方程
B4.2 积分形式的连续性方程
? ?
CV CS
ρ d τ ρ dA 0t ???? ??? vn
B4.2.1 固体的控制体
上式表明：通过控制面净流出的质流量等于控制体内流体质量
随时间的减少率。
输运公式可用于任何分布函数,如密度分布、动量分布、能
量分布等。
η
令,由系统的质量不变可得连续性方程ρη?
对固定的 CV，积分形式的连续性方程可化为
C S C V
ρ ( ) d A dt? ?????? ??vn
B4.2 积分形式的连续性方程
设出入口截面上的质流量大小为
? ??
?
inVAoutVA
QQ inout
)()(
B4.2.1 固体的控制体（续）
1.沿流管的定常流动
AVm ???
? 一般式
nio u t mm ?? ?
? 有多个出入口 ? ?? inout VAVA )()( ??
2.沿流管的不可压缩流动
设出入口截面上的体积流量大小为 VAQ ?
? 一般式
? 有多个出入口
[例 B4.2.1] 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程
已知, 所有管截面均为圆形,d1=2.5cm,d2=1.1cm,d3=0.7cm,d4=0.8cm,
d5=2.0cm,平均流量分别为 Q1=6 l/min,Q 3= 0.07Q1,Q4 = 0.04Q1,
Q 5= 0.78Q1
求,Q2 及各管的平均速度
解,取图中虚线所示控制体，有多个出入口。
血液按不可压缩流体处理
ino u t QQ ???
可得
Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5
Q2 = Q 1－ (Q 3 + Q 4 + Q 5） = Q 1－ (0.07+0.04+0.78)Q
= 0.11Q1= 0.66 l / min
各管的平均速度为
[例 B4.2.1] 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程
2 0,4 c m / s602,5π 1 0 0 0644 2 ??? ???? 2
1
11
dπ
QV
c m / s8, 0600, 8π 1 0 0 060, 0 444 2 ??? ????? 2
4
44 dπ QV
2 4, 8 c m / s602, 0π 100060, 7 844 2 ??? ????? 2
5
55 dπ QV
1 8, 2 c m / s600, 7π 1 0 0 060, 0 744 2 ??? ????? 2
3
33 dπ QV
1 1,6 c m / s601,1π 10000,6 644 2 ??? ???? 2
2
22 dπ QV
B4 积分形式的连续性方程
B4.2.2 运动的控制体
将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度
改成相对速度 vr
对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时
? ? ????? CV CS 0dAdt )nv r(???
inout AV(AV( rr )) ?? ?
上式中, vr 分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度。ρ
[例 B4.2.2] 圆管入口段流动：速度廓线变化
已知, 不可压缩粘性流体以速度 U流入半径 R的圆管,圆截面上的速度廓
线,不断发展至指数形式分布 (湍流 )并不再变化称为充分发展流动。
求,充分发展流动的速度廓线表达式
解,设 充分发展流动的速度廓线为
指数形式
式中 um为管轴上的最大速度，在定常流动中为常数，通常取 n=1/7-1/10.
由连续性方程,
(b)式左端 =πR 2U,(b)式右端 = rRrrRuπ nR0n nm d)(1)(2 ???
? ??? R0 nmA rr2 π)Rr(1uAU dd (b)
)(n 21,???n)Rr(1uu m ?? (a)
U
R
[例 B4.2.2] 圆管入口段流动：速度廓线变化
由积分公式可得
取 n=1/7时
? ?? ?????? ????????? ???R0 R0 1nR01n1nR0n rRrRrr1n 1Rrr1n 1rRrr d)()()d(d)(
2)1 ) ((
1)()(
2)1 ) ((
1
??
???
???
???
nn
RRr
nn
2n2nR
0
2n
由 (b)式可得
2)1 ) ((
1)(2
??
?? ?
nn
RuπURπ 222nm2
UUUu m 1,2 2 4772 1582
2)711 ) (71(
??? ???
??
或 U = 0.8167 u m
Unnu m 2 2)1 ) (( ???
B4 积分形式的基本方程
B4.3 伯努利方程及其应用
伯努利方程的推导：
由一维欧拉运动方程沿流线积分
伯努利方程的限制条件：
(3) 定常流动
伯努利（ D.Bernouli 1700－ 1782）方程的提出和意义
(2) 不可压缩流体
(1) 无粘性流体
(4) 沿流线成立
B4.3 伯努利方程及其应用
B4.3.2 沿总流的伯努利方程
1,单位质量流体沿流线法线方向的机械能守恒
? ???? ρpgzdnRv 2 常数 (沿流线法线方向 )
惯性离心力做功 重力势能 压强势能
当流线曲率半径,变为 常数，符合静力学规律。??R ?? ?pgz
2,沿总流的伯努利方程
沿流线的伯努利方程在沿总流的缓变流截面上按质量流量积分，
??? ?? pgzV2
2 常数 (沿流束 )
上式中 V为总流截面上的平均速度,为动能修正因子（通常取 ）? 1??
限制条件,(1) 无粘性流体 (2) 不可压缩流体 (3) 定常流 (4) 截面上为缓变流。
[例 B4.3.1] 毕托测速管
已知, 设毕托管正前方的流速保持为 v,静压强为 p,流体密度为 ρ,U 形管中
液体密度 ρm,
求,用液位差 Δh表示流速 v
??
0
0
2
0
2
22
pzgvpgzv
A ????? (a)
AOB线是一条流线 (常称为零流线 ),沿
流线 AO段列伯努利方程
设流动符合不可压缩无粘性流体
定常流动条件。
解：
20
2
1 pvpp ?? (b)
端点 O,v0 = 0,称为驻点 (或滞止点 ),p0称为驻点压强,由于 zA = z0,可得
[例 B4.3.1] 毕托测速管
称为动压强,p0称为总压强221 v?
AB的位置差可忽略 ?? BB pvpv ??? 221 22
ppv ?? 0221 ? (c)
因 vB=v,由上式 pB = p.在 U形管内列静力学关系式
由 (c),(d)式可得
k 称为毕托管系数。由 (e)式可得
(d) 2
2
1)( vkhg
m ??? ???
hgpp m ???? )(0 ?? (e)
hgkv m ??? 2)1( ??
B4.3 伯努利方程及其应用
2,沿流束的水头形式
???? Hρgpz2gv
2 常数 (沿流线 )
1,沿流线的水头形式
ρg
pz
2g
Vα
ρg
pz
2g
Vα 2
2
2
221
1
2
11 ????? (沿流束 )
B4.3.3 伯努利方程的水力学意义
测压管水头
速度水头
2g
v2
z 位置水头
?
p 压强水头
H 总水头
[例 B4.3.2] 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
已知, 图示一敞口贮水箱,孔与液面的垂直距离为 h(淹深 ).设水位保持不变,
求,(1)出流速度 v
(1)设流动符合不可压缩无粘性
流体定常流动条件,
解：
(2)出流流量 Q
从自由液面上任选一点 1画一条
流线到小孔 2，并列伯努利方程
(a)
??
2
2
2
21
1
2
1
22
pgzvpgzv ?????
[例 B4.3.2] 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
讨论 1,(b)式称为托里拆里 (E,Tomcelli,1644)公式,形式上与初始速度为
零的自由落体运动一样,(b)式也适用于水箱侧壁平行于液面的狭
缝出流。
液面的速度可近似取为零 v1= 0,液面和孔口外均为大气压强
p1= p2= 0(表压 ),由 (a)式可得
ghzzgvv 2)(2 212 ???? (b)
(2)在小孔出口,发生缩颈效应,设缩颈处的截面积为 A e,缩颈系数 ε
A
Ae?? (c)
小孔出流量
ghAAvvAQ e 2?? ??? (d)
[例 B4.3.2] 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
讨论 2,上述各式均只适用于小孔情况 (孔直径 d≤0.1h),对大孔口 (d >0.1h)
应考虑速度不均匀分布的影响。
收缩系数 ε 与孔口边缘状况有关：
实际孔口出流应乘上一修正系数 k < 1
(e) ghAghAkQ 22 ?? ??
上式中 μ= kε,称为流量修正系数，由实验测定。
内伸管 ε= 0.5,
流线型圆弧边 ε=1.0.
锐角边 ε= 0.61,
B4.3 伯努利方程及其应用
沿流束的水头形式
??????? ?pgzvdstv 2
2常数
沿流线的不可压缩流体不定常流欧拉运动方程
dltVgρgpz2g Vαρgpz2gVα 22
2
221
1
2
11 ?
?
??????? 2
1
1(沿流束 )
B4.3.4 不定常伯努利方程
沿流线从位置 1积分到位置 2
? ???????? 2122221121 22 dstvpgzvpgzv ?? (沿流束 )
不定常惯性力作功
[例 B4.3.4] 文德利流量计：一维平均流动伯努利方程
已知, 文德利管如图所示
求,管内流量 Q
设流动符合不可压缩无粘性流体定常
流动条件，截面为 A1,A2，平均速度为 V 1、
V 2，流体密度为 ρ.设
解：
121 ????
由一维平均流动伯努利方程
移项可得
)()(2 2211
2
1
2
2
??
pgzpgzVV ????? (b)
??
2
2
2
21
1
2
1
22
pgzVpgzV ????? (a)
[例 B4.3.4] 文德利流量计：一维平均流动伯努利方程
A1,A2截面上为缓变流，压强分布规律与 U 形管内静止流体一样，可得
(3),(5)位于等压面上,p3= p5，由压强公式
hgphgpp mm ?????? ?? 354
及 hzhzz ?????? 354
??
3
3
1
1
pgzpgz ??? (c)
??
4
4
2
2
pgzpgz ??? (d)
将上两式代入 (d)式可得
(e)
?
?
?
hgphzgpgz m ??????? 3
3
2
2 )(
[例 B4.3.4] 文德利流量计：一维平均流动伯努利方程
将 (c),(e)式代入 (b)式，整理后可得
讨论,当 ρ,ρm确定后,Q与 Δh的关系仅取决于文德利管的面积比 A1/A2，
且与管子的倾斜角 θ无关,A1,A2截面之间存在收缩段急变流并不
影响应用伯努利方程。
(f) hgVV m ???? )1(
2
2
1
2
2
?
?
由连续性方程 1
2
12 V
A
AV ?
代入 (f)式,整理后可得大管的平均速度为 hgV ?? 21 ?
上式中 2
2
21 1)/(
1)/( ?
?
??
?
?
?
??
AA
gm ???
μ称为流速系数，文德利管的流量公式为
hgAQ ?? 21?
B4 积分形式的基本方程
固定不变形的控制体 CV,控制面为 CS
设 η=ρv,流体系统动量
B4.4 积分形式的动量方程及其应用
由牛顿第二定律
∑F为作用在流体系统上的所有外力之合力
?? s yss ys d τρ vI
? ??? s y ss y s d τρdtddtd FvI
B4.4.1 固定的控制体
由输运公式可得
B4.4 积分形式的动量方程及其应用
对固定控制体的流体动量方程为
v为绝对速度。 定常流动时
上式表明,作用在固定控制体上的合外力＝
从控制面上净流出的动量流量
? ???CS dA Fnvv )(?
dA(d CSCV ?? ?? )nvvv ???
?? F
B4.4 积分形式的动量方程及其应用
1,沿流管的定常流动
通常取 β1=β2=1。由一维定常流动连续性方程
可得 一维定常流动 动量方程
CS = 流管侧面 + A1 + A2
??? FVV 12 )(m?
mmm 12 ?? ??
dACS )( nvv ?? ?
dAAA )()(
12
nvv ??? ?? ?
mdAA ?)v?? ??
12
(
12 mm 12 ?? 12 VV ?? ??
B4.4 积分形式的动量方程及其应用
2,具有多个一维出入口的控制体
注意, (1) 控制体的选取
??? ?? FVV ii iniouti mm )()( ??
(2) 或 代表流出平均速度 矢量2V outV
或 代表流入平均速度 矢量1V inV
(3) 动量方程中的 负号 是方程本身具有的,
和 在坐标轴上投影式的正负与
坐标系选择有关
outV inV
(4) 包含所有外力 (大气压强见例 B4.4.1).?F
[例 B4.4.1A] 主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程
已知, 图示人主动脉弓,条件及所取控制体 CV均与例 B4.2.1相同,设血液
的密度为 ρ=1055 kg/m3
解,建立坐标系 oxy 如图所示
求,从控制体净流出的动量流量 )Vm( ??
?? ??? inioutiiouti mmm )()()( iVVV?
1155443322 )( VVVVV mmmmm ????? ?????
1155443322 VρQ-)VQVQVQV(Qρ ????
)V0, 7 8 V0, 0 4 V0, 0 7 V( 0, 1 1 VρQ 154321 ?????
[例 B4.4.1A] 主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程
讨论,计算结果表明从控制体净流出的动量流量很小，这说明血流对主
动脉弓壁的冲击力很小。
Δ(mV)y=ρQ1 (0.11V2 cos16° + 0.07V3 cos6° + 0.04 V4 cos23° -0.78V5-V1 )
= 0.1055(0.11× 11.6× 0.9613+0.07× 18.2× 0.9945
+0.04× 8× 0.9205 -0.78× 24.8-20.4)× 10 - 2
= - 0.039 N
Δ(mV)x=ρQ1 (－ 0.11V2 sin16° + 0.07V3 sin6° + 0.04V4 sin23° )
=0.1055(-0.11× 11.6× 0.2756+0.07× 18.2× 0.1045
+0.04× 8× 0.3907)× 10-2
净流出控制体的动量流量的 x,y坐标分量为
= -1× 10–4 N
[例 B4.4.1B] 弯曲喷管受力分析：压强合力的影响
已知, 设固定的收缩管的前半部向下弯曲,偏转角为 θ,A0=0.00636m2,
Q=0.02m3/s,d0=9cm,d3=2cm。出口端水喷入大气，忽略重力作用，
求,(1)水流对喷管的作用力 F 的表达式
(2)若 θ =30°,求水流对喷管的作用力
解,1,只包含水流的控制体
2.建立如图所示坐标系 oxy。
3.由一维不可压缩流体连续性方程
smm smdQAQV /14.3)09.0(14.3 )/02.0(44 2
3
2
00
0 ???? ?
smsmddVV /29.28481)/144.3(2
3
2
0
03 ???
Qm ???
4.由伯努利方程
??
3
2
30
2
0
22
pvpv ???
因 p3=0,p0=395332.85pa
5.由一维定常流动动量方程 ??? FVV )(
ino u tm?
设水对喷管的作用力 F如图所示。
本例中对控制体的合外力包括喷管对水流的反作用力 － F 和压强合力。
作用在控制面上的压强用表压强表示，本例中入口截面压强为 p0,方向
沿 x轴正向；出口截面压强为零：
iFF 00 Ap????
(1)F的表达式为 )(
0300 VViF ??? QAp ?
(2)设 θ=30°,F在 x,y 方向的分量式为
? ? s i n θρ Q Vs i n θVρQF 33y ????
31 0 0 0 2 2 8 2 9 3 0 2 8 2 9 N,, s i n,? ? ? ? ? ?
? ?0300x Vc o s θVρθApF ???
? ?33 9 5 2 3 2 3 0 0 0 6 3 6 1 0 0 0 2 2 8 2 9 c o s 3 0 3 1 4.,,,,? ? ? ? ? ?
2 5 1 4 3 4 2 7 2 2 2 0 8 1 7 N,,, ? ? ?
压强合力 动量变化
讨论,(1) 一般可不必考虑大气压强作用，控制面上压强用表压强即可。
(2)力 F的方向可任意设定，计算出的数值为正说明假设方向正确。
若欲求固定喷管的力，该力通过喷管直接作用在水流上，与本例 F
大小相等，方向相反。
(3)从计算结果来看,喷管受力中压强占主要成分,流体加速造成的
动量变化引起的力只占次要成分,当 θ 角改变时,压强合力保持不变,
仅动量变化引起力的改变,且占的比例始终很小,如在 Fx中动量变化
占的比例在 θ= 83.62° 时为零,在 θ=180° 时为最大值,占 25%,
B4.4 积分形式的动量方程及其应用
定常时
B4.4.2 匀速运动控制体
坐标系固定在匀速运动的控制体上
rr vv (?? ?
是相对速度 ),输运公式为
有多个一维出入口时
Fnvvv rrr ?????? ?? dA(dt CSCV )???
Fvmvm ????? inrroutrr )()( ????
为作用在控制体上的合外力F?
Fnvv rr ???? dA(CS )?
B4.4 积分形式的动量方程及其应用
B4.5 积分形式的动量矩方程
B4.5.1 固定的控制体
按动量矩定律和输运公式，设 为绝对速度,为合外力矩，有v ?M
Mnvv)rv)r ???????? ?? dA(dt CSCV )(( ???
1．对定轴定常旋转流 场，外力矩仅考虑轴距,动量矩方程为
sT
sTnvv)r ???? dA(CS )(?
2,欧拉涡轮机方程 (转子平面投影式）
sθ11θ22 T)Vr-V(rm ??
? 对定类机械,对涡轮机类机械0?sT 0?sT
? 轴功率 表达式?sTW ?s?
sWVUVUm ?? ?? )( 1222 ??
求,(1)输入 轴矩 Ts
[例 B4.5.1] 混流式离心泵：固定控制体动量矩方程
已知, 一小型混流离心泵如图 。 d1=30mm,d2= 100 mm,b = 10 mm,
n = 4000转 /分, = 3 m/s。r2v
(2)输入轴功率 )(WWs?
解,取包围整个叶轮的固定控制
体 CV，忽略体积力和表面力。
设流动是定常的，由连续性方程可得
)9, 4 2 5 (30, 0 110 321 k g / sbVdmm 2r2 ??????? ?????
CV
[例 B4.5.1] 混流式离心泵：固定控制体动量矩方程
Vθ1= 0,由欧拉涡轮机方程
)(9, 8 69, 4 2 52 0, 9 420, 12)( 2112 N - mmVdmVrVrT 12s ??????? ?? ???
输入功率为
( k w )TωmVrVrW s 4, 1 39, 8 64 1 8, 8 8)( 2122s ?????? ?? ???
叶轮旋转角速度为
ω= 2πn / 60 = 2π× 4000 / 60 = 418.88 (1/s )
出口切向速度为
Vθ2 = ωR2 =ωd 2 /2= 418.88× 0.1/ 2= 20.94 (m / s)
B4.5 动量矩方程及其应用
当控制体固结于匀速旋转的转子上时 (忽略重力和表面力 )，动量
矩方程为
式中 为相对速度rv
向心加速度 )( rωωa ???c
B4.5.2 旋转的控制体
rc Vωa ?? 2柯氏加速度
惯性力
dACS ???? ))(( nvvr rr? ? ??????? CV d ?? )]2()([ rs vrrT ωωω
已知, 洒水器示意图。 R = 0.15m,喷口 A = 40mm2,θ=30°,Q =1200 ml / s,
不计阻力。
求,(1) Ts= 0时, 旋转角速度 ω(1/s） ；
[例 B4.5.2] 洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程
(2) n=400转 /分的轴矩 Ts 和轴功率 )(WWs?
解,取包围整个洒水器的控制体 CV，就整个
控制体而言，从平均的意义上可认为是定常的
对圆心取动量矩，当地变化率为零
不同位置上的动量矩流量迁移项中的作用是相同的，作为具有两个一维出
口的定常流动处理。
( ) drv ρ τ d L k? ? ?
dCV ρ ( r v ) τ 0t? ??? ?
设喷口流体的绝对速度为 V，牵连速度为 U 及相对速度为 Vr
c o s θVUV rθ ??
(1)设 Ts＝ 0,Vθ1 = 0,由 多出口动量矩方程,
[例 B4.5.2] 洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程
RU ??
m / s152AQVVV r2r1r ????
0, 6 k g / s101 2 0 0100, 5ρQ21mm 6-321 ??????? ??
? ? 0Qc o s θVUR r ?? ?
0c o s θVRωc o s θVU rr ????
( 1 / s )8 6,6c o s 3 00,1 515c o s θRVω r ????
(2)当 n=400转 /分时
[例 B4.5.2] 洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程
ω=400× 2π/60 = 41.89 (1/s)
QVRR)( r VT routs ???? )c o s( ??? ?
= 0.15× (41.89× 0.15-15× cos30° )× 1.2 = -1.21 (N – m )
( W )5 0, 54 1, 8 91, 2 1ωTW ss ???????
( 1 / s )8 6,6c o s 3 00,1 515c o s θRVω r ????
讨论,无摩擦轴矩时洒水器的转速是有限值，
与喷管内相对速度成正比，与臂长成反比。
角速度与喷口偏转角 ω-θ的关系如图示。
B4.6 能量方程
按热力学第二定律和输运公式，能量方程为
B4.6.1 固定控制体
? ? ?????? CV CS ss WQdAedet ??)( nv???
? ???? CS sv WWdApW ??? )( nv
压强功率 轴功率 粘性力功率
B4.6 能量方程
se 为单位质量流体储存能 gzvee s ??? 2/2
Q? 为外界输入控制体的传热率；
W? 为控制体内流体对外所做功率
一维定常流形式（ ）1??
vsinout WWQ
pgzVepgzVem ???? ????
?
?
??
? ??????? )
2()2(
22
??
B4 积分形式的基本方程
B4.6.2 能量方程 与伯努利方程的比较
单位质量流体一维定常流动能量方程
loutin hg
pz
g
V
g
pz
g
V ?????? )
2()2(
22
??
有用功
vsinout wwq
pgzVepgzVe ?????????? )
2()2(
22
??
比热能率 比轴功率 比摩擦功率
1,不可压缩粘性流体 水头形式 )0( ?? vs WW
gqeeh ino u tl /)( ??? 称为水头损失，与粘性耗散有关。
2,有轴功输入 的不可压缩粘性流体水头形式（包括流体
机械）
)0( ?sW
sloutin hhg
pz
g
V
g
pz
g
V ??????? )
2()2(
22
??
gWh ss /? 称为输入功率水头高，泵类 和涡轮机类0?sh 0?sh
3,可压缩流体绝热流动（ 忽略重力）,0,0 ??? vs WWq
inout
pVepVe )
2()2(
22
?? ?????
求,(1) 有用功的增量 Δw ；
解,能量方程适用于整个风道
[例 B4.6.2] 轴流式风扇的效率
(2) 能头损失 。wh
已知, 图为一轴流式风扇,d2=1m,V2= 10m/s ； 为大气压强, 0.65 kw，
空气密度 ρ=1.23 kg/m3
?SW?1p
(3) 风扇效率。
wins ew
pgzVpgzVw ?????????
?)2()2(
1
1
2
12
2
2
2
??
)/(502 10102 22 kgmNVw ??????
由于 z1= z2,p1= p2= patm,V1 = 0
有用功增加 轴功 能量损失
质流量
能头损失为
[例 B4.6.2] 轴流式风扇的效率
风扇效率为
skgdVAVm /66.9141023.14 22222 ??????? ?????
)/(29.6766.9 1065.0
3
,kgmNm
ww s
ins ??
??? ?
?
?
)(76.181.9 5029.67,mg wwgeh insww ???????
%3.7429.67 50
,
????
insw
w?
B4 积分形式的基本方程
输运公式伯努利方程
连续性方程 动量方程 能量方程动量矩方程
固
定
控
制
体
运
动
控
制
体
固
定
控
制
体
匀
速
运
动
控
制
体
固
定
控
制
体
旋
转
控
制
体
系统导数
固
定
控
制
体
B4 积分形式的基本方程
系统广延量
控制体广延量
? ? ??? dtN s ys ??
? ? ?? dtN CVCV ??
B4.1 流体方程的随体导数
? 输运公式
? ??? ????? CSCVs y s dAdtDtDN nv???
① ③②
① 系统广延量的导数，称为系统导数。
② 控制体广延量随时间变化率,
称为当地变化率 ；当流场定常时为零。
③ 通过控制面净流出的广延量流量,
称为迁移变化率 ；当流场均匀时为零。
?输运公式计算取决于控制体 (面 )的选择
B4 积分形式的基本方程
B4.2 积分形式的连续性方程
? ?
CV CS
ρ d τ ρ dA 0t ???? ??? vn
B4.2.1 固体的控制体
上式表明：通过控制面净流出的质流量等于控制体内流体质量
随时间的减少率。
输运公式可用于任何分布函数,如密度分布、动量分布、能
量分布等。
η
令,由系统的质量不变可得连续性方程ρη?
对固定的 CV，积分形式的连续性方程可化为
C S C V
ρ ( ) d A dt? ?????? ??vn
B4.2 积分形式的连续性方程
设出入口截面上的质流量大小为
? ??
?
inVAoutVA
QQ inout
)()(
B4.2.1 固体的控制体（续）
1.沿流管的定常流动
AVm ???
? 一般式
nio u t mm ?? ?
? 有多个出入口 ? ?? inout VAVA )()( ??
2.沿流管的不可压缩流动
设出入口截面上的体积流量大小为 VAQ ?
? 一般式
? 有多个出入口
[例 B4.2.1] 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程
已知, 所有管截面均为圆形,d1=2.5cm,d2=1.1cm,d3=0.7cm,d4=0.8cm,
d5=2.0cm,平均流量分别为 Q1=6 l/min,Q 3= 0.07Q1,Q4 = 0.04Q1,
Q 5= 0.78Q1
求,Q2 及各管的平均速度
解,取图中虚线所示控制体，有多个出入口。
血液按不可压缩流体处理
ino u t QQ ???
可得
Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5
Q2 = Q 1－ (Q 3 + Q 4 + Q 5） = Q 1－ (0.07+0.04+0.78)Q
= 0.11Q1= 0.66 l / min
各管的平均速度为
[例 B4.2.1] 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程
2 0,4 c m / s602,5π 1 0 0 0644 2 ??? ???? 2
1
11
dπ
QV
c m / s8, 0600, 8π 1 0 0 060, 0 444 2 ??? ????? 2
4
44 dπ QV
2 4, 8 c m / s602, 0π 100060, 7 844 2 ??? ????? 2
5
55 dπ QV
1 8, 2 c m / s600, 7π 1 0 0 060, 0 744 2 ??? ????? 2
3
33 dπ QV
1 1,6 c m / s601,1π 10000,6 644 2 ??? ???? 2
2
22 dπ QV
B4 积分形式的连续性方程
B4.2.2 运动的控制体
将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度
改成相对速度 vr
对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时
? ? ????? CV CS 0dAdt )nv r(???
inout AV(AV( rr )) ?? ?
上式中, vr 分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度。ρ
[例 B4.2.2] 圆管入口段流动：速度廓线变化
已知, 不可压缩粘性流体以速度 U流入半径 R的圆管,圆截面上的速度廓
线,不断发展至指数形式分布 (湍流 )并不再变化称为充分发展流动。
求,充分发展流动的速度廓线表达式
解,设 充分发展流动的速度廓线为
指数形式
式中 um为管轴上的最大速度，在定常流动中为常数，通常取 n=1/7-1/10.
由连续性方程,
(b)式左端 =πR 2U,(b)式右端 = rRrrRuπ nR0n nm d)(1)(2 ???
? ??? R0 nmA rr2 π)Rr(1uAU dd (b)
)(n 21,???n)Rr(1uu m ?? (a)
U
R
[例 B4.2.2] 圆管入口段流动：速度廓线变化
由积分公式可得
取 n=1/7时
? ?? ?????? ????????? ???R0 R0 1nR01n1nR0n rRrRrr1n 1Rrr1n 1rRrr d)()()d(d)(
2)1 ) ((
1)()(
2)1 ) ((
1
??
???
???
???
nn
RRr
nn
2n2nR
0
2n
由 (b)式可得
2)1 ) ((
1)(2
??
?? ?
nn
RuπURπ 222nm2
UUUu m 1,2 2 4772 1582
2)711 ) (71(
??? ???
??
或 U = 0.8167 u m
Unnu m 2 2)1 ) (( ???
B4 积分形式的基本方程
B4.3 伯努利方程及其应用
伯努利方程的推导：
由一维欧拉运动方程沿流线积分
伯努利方程的限制条件：
(3) 定常流动
伯努利（ D.Bernouli 1700－ 1782）方程的提出和意义
(2) 不可压缩流体
(1) 无粘性流体
(4) 沿流线成立
B4.3 伯努利方程及其应用
B4.3.2 沿总流的伯努利方程
1,单位质量流体沿流线法线方向的机械能守恒
? ???? ρpgzdnRv 2 常数 (沿流线法线方向 )
惯性离心力做功 重力势能 压强势能
当流线曲率半径,变为 常数，符合静力学规律。??R ?? ?pgz
2,沿总流的伯努利方程
沿流线的伯努利方程在沿总流的缓变流截面上按质量流量积分，
??? ?? pgzV2
2 常数 (沿流束 )
上式中 V为总流截面上的平均速度,为动能修正因子（通常取 ）? 1??
限制条件,(1) 无粘性流体 (2) 不可压缩流体 (3) 定常流 (4) 截面上为缓变流。
[例 B4.3.1] 毕托测速管
已知, 设毕托管正前方的流速保持为 v,静压强为 p,流体密度为 ρ,U 形管中
液体密度 ρm,
求,用液位差 Δh表示流速 v
??
0
0
2
0
2
22
pzgvpgzv
A ????? (a)
AOB线是一条流线 (常称为零流线 ),沿
流线 AO段列伯努利方程
设流动符合不可压缩无粘性流体
定常流动条件。
解：
20
2
1 pvpp ?? (b)
端点 O,v0 = 0,称为驻点 (或滞止点 ),p0称为驻点压强,由于 zA = z0,可得
[例 B4.3.1] 毕托测速管
称为动压强,p0称为总压强221 v?
AB的位置差可忽略 ?? BB pvpv ??? 221 22
ppv ?? 0221 ? (c)
因 vB=v,由上式 pB = p.在 U形管内列静力学关系式
由 (c),(d)式可得
k 称为毕托管系数。由 (e)式可得
(d) 2
2
1)( vkhg
m ??? ???
hgpp m ???? )(0 ?? (e)
hgkv m ??? 2)1( ??
B4.3 伯努利方程及其应用
2,沿流束的水头形式
???? Hρgpz2gv
2 常数 (沿流线 )
1,沿流线的水头形式
ρg
pz
2g
Vα
ρg
pz
2g
Vα 2
2
2
221
1
2
11 ????? (沿流束 )
B4.3.3 伯努利方程的水力学意义
测压管水头
速度水头
2g
v2
z 位置水头
?
p 压强水头
H 总水头
[例 B4.3.2] 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
已知, 图示一敞口贮水箱,孔与液面的垂直距离为 h(淹深 ).设水位保持不变,
求,(1)出流速度 v
(1)设流动符合不可压缩无粘性
流体定常流动条件,
解：
(2)出流流量 Q
从自由液面上任选一点 1画一条
流线到小孔 2，并列伯努利方程
(a)
??
2
2
2
21
1
2
1
22
pgzvpgzv ?????
[例 B4.3.2] 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
讨论 1,(b)式称为托里拆里 (E,Tomcelli,1644)公式,形式上与初始速度为
零的自由落体运动一样,(b)式也适用于水箱侧壁平行于液面的狭
缝出流。
液面的速度可近似取为零 v1= 0,液面和孔口外均为大气压强
p1= p2= 0(表压 ),由 (a)式可得
ghzzgvv 2)(2 212 ???? (b)
(2)在小孔出口,发生缩颈效应,设缩颈处的截面积为 A e,缩颈系数 ε
A
Ae?? (c)
小孔出流量
ghAAvvAQ e 2?? ??? (d)
[例 B4.3.2] 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
讨论 2,上述各式均只适用于小孔情况 (孔直径 d≤0.1h),对大孔口 (d >0.1h)
应考虑速度不均匀分布的影响。
收缩系数 ε 与孔口边缘状况有关：
实际孔口出流应乘上一修正系数 k < 1
(e) ghAghAkQ 22 ?? ??
上式中 μ= kε,称为流量修正系数，由实验测定。
内伸管 ε= 0.5,
流线型圆弧边 ε=1.0.
锐角边 ε= 0.61,
B4.3 伯努利方程及其应用
沿流束的水头形式
??????? ?pgzvdstv 2
2常数
沿流线的不可压缩流体不定常流欧拉运动方程
dltVgρgpz2g Vαρgpz2gVα 22
2
221
1
2
11 ?
?
??????? 2
1
1(沿流束 )
B4.3.4 不定常伯努利方程
沿流线从位置 1积分到位置 2
? ???????? 2122221121 22 dstvpgzvpgzv ?? (沿流束 )
不定常惯性力作功
[例 B4.3.4] 文德利流量计：一维平均流动伯努利方程
已知, 文德利管如图所示
求,管内流量 Q
设流动符合不可压缩无粘性流体定常
流动条件，截面为 A1,A2，平均速度为 V 1、
V 2，流体密度为 ρ.设
解：
121 ????
由一维平均流动伯努利方程
移项可得
)()(2 2211
2
1
2
2
??
pgzpgzVV ????? (b)
??
2
2
2
21
1
2
1
22
pgzVpgzV ????? (a)
[例 B4.3.4] 文德利流量计：一维平均流动伯努利方程
A1,A2截面上为缓变流，压强分布规律与 U 形管内静止流体一样，可得
(3),(5)位于等压面上,p3= p5，由压强公式
hgphgpp mm ?????? ?? 354
及 hzhzz ?????? 354
??
3
3
1
1
pgzpgz ??? (c)
??
4
4
2
2
pgzpgz ??? (d)
将上两式代入 (d)式可得
(e)
?
?
?
hgphzgpgz m ??????? 3
3
2
2 )(
[例 B4.3.4] 文德利流量计：一维平均流动伯努利方程
将 (c),(e)式代入 (b)式，整理后可得
讨论,当 ρ,ρm确定后,Q与 Δh的关系仅取决于文德利管的面积比 A1/A2，
且与管子的倾斜角 θ无关,A1,A2截面之间存在收缩段急变流并不
影响应用伯努利方程。
(f) hgVV m ???? )1(
2
2
1
2
2
?
?
由连续性方程 1
2
12 V
A
AV ?
代入 (f)式,整理后可得大管的平均速度为 hgV ?? 21 ?
上式中 2
2
21 1)/(
1)/( ?
?
??
?
?
?
??
AA
gm ???
μ称为流速系数，文德利管的流量公式为
hgAQ ?? 21?
B4 积分形式的基本方程
固定不变形的控制体 CV,控制面为 CS
设 η=ρv,流体系统动量
B4.4 积分形式的动量方程及其应用
由牛顿第二定律
∑F为作用在流体系统上的所有外力之合力
?? s yss ys d τρ vI
? ??? s y ss y s d τρdtddtd FvI
B4.4.1 固定的控制体
由输运公式可得
B4.4 积分形式的动量方程及其应用
对固定控制体的流体动量方程为
v为绝对速度。 定常流动时
上式表明,作用在固定控制体上的合外力＝
从控制面上净流出的动量流量
? ???CS dA Fnvv )(?
dA(d CSCV ?? ?? )nvvv ???
?? F
B4.4 积分形式的动量方程及其应用
1,沿流管的定常流动
通常取 β1=β2=1。由一维定常流动连续性方程
可得 一维定常流动 动量方程
CS = 流管侧面 + A1 + A2
??? FVV 12 )(m?
mmm 12 ?? ??
dACS )( nvv ?? ?
dAAA )()(
12
nvv ??? ?? ?
mdAA ?)v?? ??
12
(
12 mm 12 ?? 12 VV ?? ??
B4.4 积分形式的动量方程及其应用
2,具有多个一维出入口的控制体
注意, (1) 控制体的选取
??? ?? FVV ii iniouti mm )()( ??
(2) 或 代表流出平均速度 矢量2V outV
或 代表流入平均速度 矢量1V inV
(3) 动量方程中的 负号 是方程本身具有的,
和 在坐标轴上投影式的正负与
坐标系选择有关
outV inV
(4) 包含所有外力 (大气压强见例 B4.4.1).?F
[例 B4.4.1A] 主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程
已知, 图示人主动脉弓,条件及所取控制体 CV均与例 B4.2.1相同,设血液
的密度为 ρ=1055 kg/m3
解,建立坐标系 oxy 如图所示
求,从控制体净流出的动量流量 )Vm( ??
?? ??? inioutiiouti mmm )()()( iVVV?
1155443322 )( VVVVV mmmmm ????? ?????
1155443322 VρQ-)VQVQVQV(Qρ ????
)V0, 7 8 V0, 0 4 V0, 0 7 V( 0, 1 1 VρQ 154321 ?????
[例 B4.4.1A] 主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程
讨论,计算结果表明从控制体净流出的动量流量很小，这说明血流对主
动脉弓壁的冲击力很小。
Δ(mV)y=ρQ1 (0.11V2 cos16° + 0.07V3 cos6° + 0.04 V4 cos23° -0.78V5-V1 )
= 0.1055(0.11× 11.6× 0.9613+0.07× 18.2× 0.9945
+0.04× 8× 0.9205 -0.78× 24.8-20.4)× 10 - 2
= - 0.039 N
Δ(mV)x=ρQ1 (－ 0.11V2 sin16° + 0.07V3 sin6° + 0.04V4 sin23° )
=0.1055(-0.11× 11.6× 0.2756+0.07× 18.2× 0.1045
+0.04× 8× 0.3907)× 10-2
净流出控制体的动量流量的 x,y坐标分量为
= -1× 10–4 N
[例 B4.4.1B] 弯曲喷管受力分析：压强合力的影响
已知, 设固定的收缩管的前半部向下弯曲,偏转角为 θ,A0=0.00636m2,
Q=0.02m3/s,d0=9cm,d3=2cm。出口端水喷入大气，忽略重力作用，
求,(1)水流对喷管的作用力 F 的表达式
(2)若 θ =30°,求水流对喷管的作用力
解,1,只包含水流的控制体
2.建立如图所示坐标系 oxy。
3.由一维不可压缩流体连续性方程
smm smdQAQV /14.3)09.0(14.3 )/02.0(44 2
3
2
00
0 ???? ?
smsmddVV /29.28481)/144.3(2
3
2
0
03 ???
Qm ???
4.由伯努利方程
??
3
2
30
2
0
22
pvpv ???
因 p3=0,p0=395332.85pa
5.由一维定常流动动量方程 ??? FVV )(
ino u tm?
设水对喷管的作用力 F如图所示。
本例中对控制体的合外力包括喷管对水流的反作用力 － F 和压强合力。
作用在控制面上的压强用表压强表示，本例中入口截面压强为 p0,方向
沿 x轴正向；出口截面压强为零：
iFF 00 Ap????
(1)F的表达式为 )(
0300 VViF ??? QAp ?
(2)设 θ=30°,F在 x,y 方向的分量式为
? ? s i n θρ Q Vs i n θVρQF 33y ????
31 0 0 0 2 2 8 2 9 3 0 2 8 2 9 N,, s i n,? ? ? ? ? ?
? ?0300x Vc o s θVρθApF ???
? ?33 9 5 2 3 2 3 0 0 0 6 3 6 1 0 0 0 2 2 8 2 9 c o s 3 0 3 1 4.,,,,? ? ? ? ? ?
2 5 1 4 3 4 2 7 2 2 2 0 8 1 7 N,,, ? ? ?
压强合力 动量变化
讨论,(1) 一般可不必考虑大气压强作用，控制面上压强用表压强即可。
(2)力 F的方向可任意设定，计算出的数值为正说明假设方向正确。
若欲求固定喷管的力，该力通过喷管直接作用在水流上，与本例 F
大小相等，方向相反。
(3)从计算结果来看,喷管受力中压强占主要成分,流体加速造成的
动量变化引起的力只占次要成分,当 θ 角改变时,压强合力保持不变,
仅动量变化引起力的改变,且占的比例始终很小,如在 Fx中动量变化
占的比例在 θ= 83.62° 时为零,在 θ=180° 时为最大值,占 25%,
B4.4 积分形式的动量方程及其应用
定常时
B4.4.2 匀速运动控制体
坐标系固定在匀速运动的控制体上
rr vv (?? ?
是相对速度 ),输运公式为
有多个一维出入口时
Fnvvv rrr ?????? ?? dA(dt CSCV )???
Fvmvm ????? inrroutrr )()( ????
为作用在控制体上的合外力F?
Fnvv rr ???? dA(CS )?
B4.4 积分形式的动量方程及其应用
B4.5 积分形式的动量矩方程
B4.5.1 固定的控制体
按动量矩定律和输运公式，设 为绝对速度,为合外力矩，有v ?M
Mnvv)rv)r ???????? ?? dA(dt CSCV )(( ???
1．对定轴定常旋转流 场，外力矩仅考虑轴距,动量矩方程为
sT
sTnvv)r ???? dA(CS )(?
2,欧拉涡轮机方程 (转子平面投影式）
sθ11θ22 T)Vr-V(rm ??
? 对定类机械,对涡轮机类机械0?sT 0?sT
? 轴功率 表达式?sTW ?s?
sWVUVUm ?? ?? )( 1222 ??
求,(1)输入 轴矩 Ts
[例 B4.5.1] 混流式离心泵：固定控制体动量矩方程
已知, 一小型混流离心泵如图 。 d1=30mm,d2= 100 mm,b = 10 mm,
n = 4000转 /分, = 3 m/s。r2v
(2)输入轴功率 )(WWs?
解,取包围整个叶轮的固定控制
体 CV，忽略体积力和表面力。
设流动是定常的，由连续性方程可得
)9, 4 2 5 (30, 0 110 321 k g / sbVdmm 2r2 ??????? ?????
CV
[例 B4.5.1] 混流式离心泵：固定控制体动量矩方程
Vθ1= 0,由欧拉涡轮机方程
)(9, 8 69, 4 2 52 0, 9 420, 12)( 2112 N - mmVdmVrVrT 12s ??????? ?? ???
输入功率为
( k w )TωmVrVrW s 4, 1 39, 8 64 1 8, 8 8)( 2122s ?????? ?? ???
叶轮旋转角速度为
ω= 2πn / 60 = 2π× 4000 / 60 = 418.88 (1/s )
出口切向速度为
Vθ2 = ωR2 =ωd 2 /2= 418.88× 0.1/ 2= 20.94 (m / s)
B4.5 动量矩方程及其应用
当控制体固结于匀速旋转的转子上时 (忽略重力和表面力 )，动量
矩方程为
式中 为相对速度rv
向心加速度 )( rωωa ???c
B4.5.2 旋转的控制体
rc Vωa ?? 2柯氏加速度
惯性力
dACS ???? ))(( nvvr rr? ? ??????? CV d ?? )]2()([ rs vrrT ωωω
已知, 洒水器示意图。 R = 0.15m,喷口 A = 40mm2,θ=30°,Q =1200 ml / s,
不计阻力。
求,(1) Ts= 0时, 旋转角速度 ω(1/s） ；
[例 B4.5.2] 洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程
(2) n=400转 /分的轴矩 Ts 和轴功率 )(WWs?
解,取包围整个洒水器的控制体 CV，就整个
控制体而言，从平均的意义上可认为是定常的
对圆心取动量矩，当地变化率为零
不同位置上的动量矩流量迁移项中的作用是相同的，作为具有两个一维出
口的定常流动处理。
( ) drv ρ τ d L k? ? ?
dCV ρ ( r v ) τ 0t? ??? ?
设喷口流体的绝对速度为 V，牵连速度为 U 及相对速度为 Vr
c o s θVUV rθ ??
(1)设 Ts＝ 0,Vθ1 = 0,由 多出口动量矩方程,
[例 B4.5.2] 洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程
RU ??
m / s152AQVVV r2r1r ????
0, 6 k g / s101 2 0 0100, 5ρQ21mm 6-321 ??????? ??
? ? 0Qc o s θVUR r ?? ?
0c o s θVRωc o s θVU rr ????
( 1 / s )8 6,6c o s 3 00,1 515c o s θRVω r ????
(2)当 n=400转 /分时
[例 B4.5.2] 洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程
ω=400× 2π/60 = 41.89 (1/s)
QVRR)( r VT routs ???? )c o s( ??? ?
= 0.15× (41.89× 0.15-15× cos30° )× 1.2 = -1.21 (N – m )
( W )5 0, 54 1, 8 91, 2 1ωTW ss ???????
( 1 / s )8 6,6c o s 3 00,1 515c o s θRVω r ????
讨论,无摩擦轴矩时洒水器的转速是有限值，
与喷管内相对速度成正比，与臂长成反比。
角速度与喷口偏转角 ω-θ的关系如图示。
B4.6 能量方程
按热力学第二定律和输运公式，能量方程为
B4.6.1 固定控制体
? ? ?????? CV CS ss WQdAedet ??)( nv???
? ???? CS sv WWdApW ??? )( nv
压强功率 轴功率 粘性力功率
B4.6 能量方程
se 为单位质量流体储存能 gzvee s ??? 2/2
Q? 为外界输入控制体的传热率；
W? 为控制体内流体对外所做功率
一维定常流形式（ ）1??
vsinout WWQ
pgzVepgzVem ???? ????
?
?
??
? ??????? )
2()2(
22
??
B4 积分形式的基本方程
B4.6.2 能量方程 与伯努利方程的比较
单位质量流体一维定常流动能量方程
loutin hg
pz
g
V
g
pz
g
V ?????? )
2()2(
22
??
有用功
vsinout wwq
pgzVepgzVe ?????????? )
2()2(
22
??
比热能率 比轴功率 比摩擦功率
1,不可压缩粘性流体 水头形式 )0( ?? vs WW
gqeeh ino u tl /)( ??? 称为水头损失，与粘性耗散有关。
2,有轴功输入 的不可压缩粘性流体水头形式（包括流体
机械）
)0( ?sW
sloutin hhg
pz
g
V
g
pz
g
V ??????? )
2()2(
22
??
gWh ss /? 称为输入功率水头高，泵类 和涡轮机类0?sh 0?sh
3,可压缩流体绝热流动（ 忽略重力）,0,0 ??? vs WWq
inout
pVepVe )
2()2(
22
?? ?????
求,(1) 有用功的增量 Δw ；
解,能量方程适用于整个风道
[例 B4.6.2] 轴流式风扇的效率
(2) 能头损失 。wh
已知, 图为一轴流式风扇,d2=1m,V2= 10m/s ； 为大气压强, 0.65 kw，
空气密度 ρ=1.23 kg/m3
?SW?1p
(3) 风扇效率。
wins ew
pgzVpgzVw ?????????
?)2()2(
1
1
2
12
2
2
2
??
)/(502 10102 22 kgmNVw ??????
由于 z1= z2,p1= p2= patm,V1 = 0
有用功增加 轴功 能量损失
质流量
能头损失为
[例 B4.6.2] 轴流式风扇的效率
风扇效率为
skgdVAVm /66.9141023.14 22222 ??????? ?????
)/(29.6766.9 1065.0
3
,kgmNm
ww s
ins ??
??? ?
?
?
)(76.181.9 5029.67,mg wwgeh insww ???????
%3.7429.67 50
,
????
insw
w?
