C5.1 引言
C5 可压缩流体流动基础
超声速流动
激波
可压缩流体
连续性方程
基本方程 动量方程
能量方程
状态方程
物体绕流
摩擦管和热交换管
喷管流应用
C5 可压缩流动基础
扩张管加速 壅塞
C5.1.1 热力学基础知识
C5 可压缩流动基础
1,完全气体状态方程
p=RρT
R 为气体常数，空气 R=287J/kg·K。
当容积保持不变时称为比定容热容 c v(T)
当压强保持不变时称为比定压热容 c p(T)
p
v
c
c? ?比热比 （空气 γ=1.4）
1pcR
?
?? ?
1
1vcR?? ?
2,比热容：单位质量流体温度升高一度所需要的热量。
C5.1.1 热力学基础知识
比内能 e(T):单位质量气体分子热运动所具有的动能
ve c T?
? ?d d d 1q e p ???
d s d 0qT??
比焓 h(T):单位质量气体所具有的内能与压能之和
4,热力学第一定律：对气体所加的热能等于气体内能的增加
和气体对外所作功之和。
5,热力学第二定律：气体在绝热的可逆过程中熵值保持不变；
在不可逆过程中熵值必定增加。
6,完全气体等熵流动
3,内能与焓
ph e p c T?? ? ?
常数p?? ?
C5.2.1声速
C5.2 声速, 马赫锥与激波
d
d s
pKc
??
????
????
在连续介质中微弱扰动传播特点：
（ 2）将声波视作绝热等熵过程。对完全气体
c R T??
C5.2 声速、马赫锥与激波
（ 1）传播速度与介质的体积弹性模量（ K）和密度（ ρ）有关,
而与扰动的频率、振幅和周期无关。
说明声速也是一个状态参数。
C5.2.2马赫锥
C5.2 声速, 马赫锥与激波
在无界可压缩流场中，某处设一间隙性声源，每隔 1秒法一次声，
声速为 c。设来流速度为 V，观察者与声源距离为 r.
听到声音的频率流场名称 流速 马赫数 是否有寂静区
亚声速 0<V<c 0<Ma<1 无 不同
静 止 V=0 Ma=0 无 相同
C5.2 声速, 马赫锥与激波
超声速 V>c Ma>1 马赫锥外 不同
声 速 V=c Ma=1 声源上游 不同
? ?a r c s i n 1 Ma? ?
? 超声速流场中：马赫波 /马赫锥 /马赫线 /马赫角 α
听到声音的频率流场名称 流速 马赫数 是否有寂静区
C5.2.3 激波
C5.2 声速, 马赫锥与激波
2,形成机理：
3,形成条件：
1,定义,流动参数的强间断面。
激波后 p↑,ρ↑,T↑;V↓
无数微弱压缩波叠加而成。
后面的微弱压缩波波速大于前面的,ci > ci-1 > … > c2 > c1。
(1) 管内有强压缩扰动；
(2) 无界流场除强压缩扰动外，必须是超声速流场。
C5.3.1 绝能流能量方程
C5 可压缩流动基础
C5.3 一维定常可压缩流能量方程
绝能流,与外界无能量交换的流动（无热量交换，无轴功，无
摩擦功等）。
由（ B4.6.12）式可得（忽略重力）
上式中 h0为总焓。完全气体的一维定场流动常用形式为
1
2
0
11
2
T Ma
T
? ????????
??
（绝能流）
12
2
0
11
2
c Ma
c
? ????????
??（绝能流）
? 总温 (T0)和总声速 (c0)在绝能流中保持常数，但总压 (p0）和总密
度 (ρ0)不一定保持相等。
22
0
V p Ve h h
?? ? ? ? ? ? 常 数（绝能流）
C5.3.2 等熵流伯努利方程
C5 可压缩流动基础
当气体在绝热短管中作高速流动（无激波）时，边界层的影响可
以忽略不计，流动简化为等熵流。
22
0
V p Ve h h
?? ? ? ? ? = 常 数
（等熵流）
完全气体的常用形式为
2
2p
VcT ?? （ 等 熵 流 ）常 数
2
1 1 1
pcRT??
? ? ? ?? ? ?? ? ?
能量方程为推广的伯努利方程
[例 C5.3.2] 流动压缩性对伯努利方程的影响
已知, 设完全气体从滞止状态开始流动。
求, 分别按不可压缩流体伯努利方程和等熵流动方程计算压强与马赫数
的关系式，并作比较。
解,含滞止状态参数的不可压缩流体伯努利方程按例 B4.3.1中 (b)式可
写为（忽略重力）
20 12p p V??? (a)
按完全气体关系式 p=RρT,, M=V/c,(a)式可改写为压强相对
变化形式
c RT??
22220
21 1 1 11 2 2 2 2p VVV M app RT c? ? ? ??? ? ? ? ?(b)
从等熵流伯努利方程（ C5.3.8）式及等熵流状态参数关系式（ C5.1.19）
式可推导得（参见 C5.3.3节）
-120 1( 1 )2p Map ??? ??? (c)
[例 C5.3.2] 流动压缩性对伯努利方程的影响
按二项式公式展开
2 2 20
2 2 4
1111 ( ) ( 1 ) ( )
1 2 2 ! 1 1 2
211 ( 1 )
2 4 2 4
p M a M a
p
M a M a M a
? ? ? ? ?
? ? ?
??
?? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
- -
--
-
(d)
写成压强相对变化形式
2 2 40 2111 ( 12 4 24p M a M a M ap ??? ? ? ? ?-(e)
讨论,按 (b)式和 (e)式画的 （ p0/p-1） ～ Ma曲线如图 CE5.3.2所示 。 两
者的差异由 （ e） 括号中的关于 Ma的幂级数决定, 当 Ma很小时两
者差异很小 。 如 Ma=0.3时两者相差 2.25℅, 说明将 Ma≤ 0.3的流
动按不可压缩流体 （ Ma=0） 处理是合理的 。 当马赫数更高时,
则要用等熵流方程计算 。
C5 可压缩流体流动基础
C5.3.3 等熵流气动函数
滞止状态参数
1
2
0
11
2
T Ma
T
? ????????
??
12
0
11
2
p Ma
p
?
?? ? ??????
????
1
12
0
11
2 Ma
???
?
? ????
????
??
1
22
0
11
2
c Ma
c
? ??????
????
空气（ γ=1.4）
0
0 9 1 3c,c
?
?
0
0 833T,T
?
?
0
0 5 2 8p,p
?
?
0
0 6 3 4.??
?
?
临界状态参数
0
2
1
T
T ?
?
? ?
1
0
2
1
p
p
?
?
?
?? ???
? ???
??
1
1
0
2
1
??
??
?? ???
? ???
??
1
2
0
2
1
c
c ?
? ??
? ???
??
0
2
1m axV RT
?
?? ?
? 最大速度状态 ? 查表 FG1（附录 G)
[例 C5.3.3A] 一维定常等熵状态参数
已知, 空气在一喷管内作定常 等熵流动 。 设截面 1的状态参数为;001.0),(600,300,4.0 21111 mAkPpKTM a ???? 绝
222 0 0 0 6 3.0,9.0 mAM ??设截面 2的状态参数为
求,截面 1和 2上的其他状态参数与流速 。
解,截面 1的其他参数为
)/(97.63 0 02 8 7 1 0 0 06 0 0 3
1
11 mkgRTp ??????
)/(19.3473002874.111 smRTc ????? ?
)/(9.1 3 84.019.3 4 7111 smMcV ????
由 M1＝ 0.4及 M2＝ 0.9 查等熵流动气动函数表可得
1 0 1 1 0 1 1
2 0 2 2 0 2 2
0 9 6 8 9 9 0 8 9 5 6 2 1 5 9 0 1
0 8 6 0 5 8 0 5 9 1 2 6 1 0 0 8 8 6
T / T, p / p, A / A,,
T / T, p / p, A / A,
?
?
? ? ?
? ? ?
利用等熵流 T01＝ T02,p01＝ p02，可得
0222
2
1 0 2 1
0222
2
1 0 2 0 1
0 8 6 0 5 8
0 8 8 8 1 0 8 8 8 1 3 0 0 2 6 0 4
0 9 6 8 9 9
0 5 9 1 2 6
0 6 6 0 2 0 6 6 0 2 6 0 0 3 0 9 6 1
0 8 9 5 6 2
TTT,
,T,, ( K )
T T T,
ppp,
,p,, ( k P a )
p p p,
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
由状态方程
)/(3.54.260287 10001.396 3
2
22 mkgRTp ?? ????
)/(46.3234.2602874.122 smRTc ????? ?
)/(1.2919.046.323222 smMcV ????
验算
? ?skgAVm /97.0001.09.13897.61111 ????? ??
? ? 12222 /97.000063.01.2913.5 mskgAVm ?? ?????? ?
讨论, 计算表明在这个收缩喷管中流速增大，温度、压强、密度均下降。
C 5.4.1 截面变化对流动的影响
1,截面变化引起流速变化
dd
dd
VpV
xx? ??
和欧拉运动方程
由连续性方程 常数?VA?
C5 可压缩流体流动基础
C5.4 一维变截面管定常等熵流
? ?2dd 1AVMa??可推导得
收缩管 ? ?d0A ? 扩张管 ? ?d0A ?
Ma<1 dV>0 dV<0
Ma>1 dV<0 dV>0
? 拉伐尔喷管：收缩段加速 →喉部声速 →扩张段超声速
C5.4.1 截面变化对流动的影响
? ? 321 1 0 21 7 2 8A, M aA, M a? ??
2,截面积与 Ma的关系
? 一个 A/A*对应两个 Ma值, Ma<1,Ma>1
3,流量与 Ma的关系
? ?
1
2120
0
11
2
pm M a M a A
R T
?
???
??
????
?? ??
??
? 当 Ma=1时，质流量达最大值 maxm
? A/A*～ Ma的对应关系查表 FG1(附录 G)
C5.4 一维变截面管变长等熵流动
C5,4.2 喷管内等熵流动
2
1
1
0
e
2
0
e
0
0
0 p
p
p
pp
1
2
Am
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
? ?
?
?
??
?
?
＋
－
－
－
＝?
10b0,p p m，＝ ＝
对空气 e00m a x Ap6847.0m ?＝?
0e T3.18V ＝?
3 be,p p A A??＝ ＝
maxmm＝
2 b0,p p p? ??,
增大m
?? pp4,b 流量不变
（壅塞现象）
C5.4 一维变截面管变长等熵流动
2.收缩 –扩张管
1 c b 0,p p p??
亚声速等熵流
3 j b f,p p p??
超声速等熵流
2 f b c,p p p??
出现激波
4 bj,0 p < p?
口外膨胀
[例 C5.4.4]收缩－扩张管内的流动
? ?skgATpm e /07.70035.0400 100010000404.00404.0
0
0m a x ???????
求,（ 1） 设计工况的出口参数和质量流量； （ 2）若背压
时出口处出现激波，试求 时的流动状况。
3317 bdpp.kPa ??
99090030030 b pkPa ?、、、
解,（ 1）, 查等熵流动气动函数表得：00035000135
etA/A./.,??
1201728 eeM.M,??，。 代表喉部为临界截面，扩张段为亚声速流
1017 e M.? 0098 e p/p,?，
0 980099396 ecee ppkPaT/T.TK ???? ；，。
代表扩张段为超声速流，
228 e M.? 000440 eeg p/p.ppkPa ???,；
0039156 eeT/T.TK ??，。
两种工况的质流量相等，均为最大流量。由例 C5.4.3中质流量公
式可得
已知,收缩－扩张管的喉部面积为,出口面积,
贮气罐中滞止参数 （绝）,0400 TK＝。
2 0001 t A.m ? 2 00035 e A.m ?
01000 pkPa ＝
[例 C5.4.4]收缩－扩张管内的流动
（ 2） 时，,喷管内为亚声速等熵流动；990
b pkPa ? 980 bcppkPa ??
时，,在扩张管内某处出
现激波；
900 b pkPa ?3317 cbd ppp.kPa ???
时，,扩张管内为超声速等
熵流；
300 b pkPa ?40 dbg pppkPa ???
时，,扩张管内仍为超声速流，但在出
口处形成膨胀波。
30 b pkPa ? gbpp?
C 5.5.1 绝热摩擦管流（范诺流）
C5 可压缩流体流动基础
C5.5 摩擦与热交换等截面管流
1,范诺线：
绝能流能量方程 2
02
p
VTT
c?? = 常 数
由 (a)(b)式可得范诺曲线，性质为
(1) 摩擦作用使熵增加；
由上两式可得 ? ?
? ?
22
022
p
VT
TT
c p R
?
??(a)
1
11
l n l np Tps s c RTp? ? ?熵增公式 (b)
V? ? 常 数连续性方程
(2) 使亚声速流加速，但最大达声速；
(3) 使超声速流减速，但最小达声速。
C5.5.1 绝热摩擦管流（范诺流）
? ? 2
1
21
T
T M a
?
??
??
?? ? ?
12
2
11
21
p
p M a M a
?
??
??
??
??
????
? ?
12
2
1
21
V Ma
V M a
??
??
???
??
??
????
? ?
2
22
1 1 1ln
2 2 1
m a x
h
L Ma
d M a M a
? ??
? ? ?
? ? ???
??
??
????
2,范诺气动函数（以临界参数为参考，查附录 G )
上式中 dh为水力直径,Lmax为最大管长,为平均摩擦因子。?
3,摩擦造成雍塞现象：在 Lmax达到声速，流量最大。当管长
L> Lmax时，摩擦作用使气流总压强下降，原来的流量此时
不能通过。
[例 C5.5.1]绝热摩擦管流
17.013.2983004.0 2112
2/12/1
1
0
1 ???
??
?
? ?
?
??
?
? ????
?
??
?
?
???
?
???
? ?
?? T
TM
?
? ?3
1
11 /14.13.298287 100098 mkgRTp ??????
)/(9.583.2982894.117.011111 smRTMcMV ??????? ?
已知,空气从 的贮气罐进入一根直径为 的绝热光滑管入
口处 经过有摩擦的流动到达截面 2时,
d10mm ?300 0 TK＝
298398 11T.K,pkPa(ab); ? ＝ 042 M.＝
求,1）入口处 （ 2）截面 2处 （ 3）入口处到截面 2的长度 L,1 M; 222 2 T,p,,V; ?
解,（ 1）利用等熵流动公式 (C5.3.12a)求 1 M
? ?smRTMcMV /7.1367.2902874.14.022212 ??????? ?
? ? ? ?KMTT 7.2904.02.013002 11 1212202 ??????????? ??? ???
（ 2）截面 2的状态参数不能用等熵公式而要用绝热公式 (C5.3.4a)式,002 TT ?
? ?
? ?
22
11
22
111
11 1 ln
2 2 1
m a x ML M
d M M
?? ?
? ? ?
????? ? ??? ??
?? ???? ??
? ?k P aTRp 0.417.29049.0287222 ????? ?
? ?3
2
112 /49.0
7.136
9.5814.1 mkg
V
V ???? ??
（ 3） 用 (C5.5.8)式计算管长 L前先用 (C5.5.6e)式
22
2
1 0 4 2 4 2 4 0 4l n 3 7 5 1 4 4 2 3 1
1 4 0 4 2 8 2 0 4 0 4
m a xL,,,,,,,
d,,,,,
? ???? ??? ? ? ? ??? ??
? ? ??? ??
? ?
? ?
22
22
1 4 1 0 1 71 0 1 7 1 4 1 l n 2 4 2 8 8 6 2 1 1 1
1 4 0 1 7 2 1 4 2 1 4 1 0 1 7
....,.
.,,,,
?? ????? ? ? ? ???
? ? ? ? ???
上式表明截面 2已接近临界截面 (M=1),再计算平均摩擦因子 ?
,3.253.2 9 8 01 CKT ?? smv /1056.1 251 ???入口处, 查表 B1.2,
4
5
1
1 103.41056.1
01.09.5814.1Re ??
?
????
?
??
?
??
??
? Vd
4
5
2
2 105.41049.1
01.07.13649.0Re ??
?
????
?
??
?
??
??
? Vd
0212.01 ??查穆迪图光滑管,
,7.177.290 02 CKT ?? smv /1049.1 252 ???截面 2,查表 B1.2,
021.02 ??查穆迪图光滑管,
临界截面,由 (C5.4.3a)式,1?M
? ? ? ? smvCKTT crcr /102.1232502.013002 11 250110 ??? ?????????????? ??? ?
)/(9.3162502874.1 smRTV crcr ????? ?
? ?311 /21.09.316/9.5814.1/ mkgVV crcr ???? ??
4
5 105.5102.1
01.09.31621.0Re ??
?
????
?
??
?
??
?
cr
cr v
Vd?
0 2 0 8.0.0 2 0 2.0 ?? ?? cr查穆迪图光滑管,
由 (C5.5.8)式,
8.1831.211.21 ???d L?
)(04.90208.0/01.08.18/8.18 mdL ???? ?
C5 可压缩流体流动基础
C5.5.2 无摩擦热交换管流（瑞利流）
1,瑞利线：
动量方程 22 1mp V p
A? ?
??? ? ? ???
?? 常 数
由 (a)(b)式可得瑞利曲线，性质为
(1) a点为最大熵增值,b点为最高温度点；
由上两式可得 2m R Tp
Ap
??????
?? 常 数
(a)
及熵增公式
1
11
l n l np Tps s c RTp? ? ?(b)
m V
A ??? 常 数连续性方程
(2) 对亚声速流加热，使其加速，但最大达声速；
(3) 对超声速流加热，使其减速，但最小达声速。
C5.5.2 无摩擦热交换管流（瑞利流）
2
2
2
1
1
T
T MaMa
?
?? ?
???
?????
? ? 2
2
1
1
V
V
Ma
Ma
?
?
?
?????
?
?
2,瑞利流气动函数（以临界参数为参考，查附录 G )
3,加热造成雍塞现象：气流达临界态时流量最大，继续加热使
总压强下降，原来的流量此时不能通过。
2
1
1
p
p M a
?
?? ?
?
?
C5.6正激波
C5,6.1 基本方程
连续性方程 2211 VV ?? ?
动量方程 12211222 ppVV ??? ??
能量方程
1
2
1
2
12 p
pnR
T
Tncss
p ?? ???
??
2
2
2
2
1
2
1
1 22
pVepVe ?????
状态方程 RTp ??
完全气体 4.1,?? ?Tci p
C5,6正激波
C5.6正激波
激波前后参数比与来流马赫数关系
? ?
? ?
? ? ? ?11
1
121 2
22
1
2
1
2
1
2 ??
?
??? M
M
M
T
T ?
?
?
? ?1121 21
1
2 ?
??? Mp
p
?
?
? ?
? ? 21
2
1
1
2
12
1
M
M
??
??
?
?
?
?
? ?
? ? 21
2
1
1
2
1
12
M
M
V
V
?
???
?
?
C5,6.2 正激波气动函数
计算时查正激波气动函数表
[例 C5.6.1] 收缩 -膨胀喷管内激波前后参数
,19.26/15.13/,6 1121 ??? ?? AAcmA
解,（ 1）在扩张段内出现激波说明喉部成为临界截面
? ?KTT 2435004 8 5 9 1.04 8 5 9 1.0 011 ?????
已知,贮气罐的滞止参数 收缩 -扩张喷管喉部
截面积为 扩张段内截面积 处出现激波,62 cm,
00500500 TK,pkPa(ab),??
13152 A.cm ?
求,1）激波前后的状态参数 1212121202 M,M,p,p,T,T,,,p; ??
2)激波后的临界截面积
2 A;
?
查等熵流气动函数表得激波前 3.2
1 ?M
(另一值 0.275不合题意 ).
其他参数为,
? ?k P app 4050007997.007997.0 011 ?????
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1M p / p / T / T A / A?? ?
1 9 3 1.24 8 5 9 1.01 6 4 5 8.00 7 9 9 7.03.2
)/(48.3)500287/(1000500)/( 3010101 mkgRTp ??????
)/(57.048.30 1 6 4 5 81 6 4 5 8.0 3011 mkg????? ??
查超声波气动函数表,激波前后参数比
(2)查等熵流气动函数表
010212121221 //// ppTTppMM ??
58331.09408.10846.30050.653441.03.2
? ?KTT 4732439408.19408.1 12 ?????
? ?k P app 240400050.60050.6 12 ?????
)/(77.157.00 8 4 6.30 8 4 6.3 312 mkg????? ??
0 5 3 4 4 12 ?M
)(7.2915005 8 3 3 1.05 8 3 3 1.0 0102 k P app ?????
28.1/,053441 *222 ?? AAM
)(27.1028.1/15.1328.1/28.1/ 32*2 cmAAA ????
讨论, 以上结果表明激波后的临界截面积比激波前增大,.*1*2 AA ?
C5.6.3正激波前后参数变化
1.激波前后压强比 2
21
21
1
1
1
1
1
1
p
p
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
? ?
1
2/1
1
2
1 2
12 ccV
s ???
?
??
? ????
?
??
?
?
2.激波行进速度
激波行进速度总是大于当地声速
将上式与等熵关系比较如图示
3.激波前后的熵增 在超声速流中 1 2 100M,s s? ? ?
C5.6.3正激波前后参数变化
C5.7二维超声速流动简介
C5.7.1.斜激波
气流经过压缩马赫波后,流动方向向内偏射
(与斜壁 OO’平行 ),流速略微降低,
弯折点 O对气流产生一微弱压缩扰动,OA线
称为压缩马赫波,马赫角 ?为
1
1a r c s in
M??
2.当超声速流流经一凹曲面 OO’时,无数个
这样的马赫波,叠加起来形成一斜激波,
1.当 OO’的内折角是有限值 ?时,可将其看作
有无数个微小角度 d?组成,无数个马赫波叠
加起来,形成斜激波,夹角为 ?,称为斜激波角,
C5.7二维超声速流动简介
3.当超声速流流经一尖壁时,在尖端将
产生两条斜激波,若尖劈的半角 ?增大,
斜激波角 ?随之增大,当 ?增至一极限值
时,附着于尖端的斜激波,将发生
脱体现象, max
?
C5.7二维超声速流动简介
C5.7.2.膨胀波
当超声速气流流经一有微小外折角 d?的壁面时,弯折点 O对气流
产生一微弱膨胀扰动,形成一道膨胀马赫波,气流经过膨胀马赫波
后,方向向外偏射 (与斜壁 OO’平行 ),流速略微增大,
1.当 OO’的外折角为有限值 ?时,可将其看作
有无数个微小角度 d ?叠加,无数条膨胀马赫
波,形成一张角为 φ的扇形区域,称为普朗特 —
迈 耶波,
2.当超声速流流经一凸曲面时,所有马赫
波组成一发散的波系,
C5 可压缩流体流动基础
超声速流动
激波
可压缩流体
连续性方程
基本方程 动量方程
能量方程
状态方程
物体绕流
摩擦管和热交换管
喷管流应用
C5 可压缩流动基础
扩张管加速 壅塞
C5.1.1 热力学基础知识
C5 可压缩流动基础
1,完全气体状态方程
p=RρT
R 为气体常数，空气 R=287J/kg·K。
当容积保持不变时称为比定容热容 c v(T)
当压强保持不变时称为比定压热容 c p(T)
p
v
c
c? ?比热比 （空气 γ=1.4）
1pcR
?
?? ?
1
1vcR?? ?
2,比热容：单位质量流体温度升高一度所需要的热量。
C5.1.1 热力学基础知识
比内能 e(T):单位质量气体分子热运动所具有的动能
ve c T?
? ?d d d 1q e p ???
d s d 0qT??
比焓 h(T):单位质量气体所具有的内能与压能之和
4,热力学第一定律：对气体所加的热能等于气体内能的增加
和气体对外所作功之和。
5,热力学第二定律：气体在绝热的可逆过程中熵值保持不变；
在不可逆过程中熵值必定增加。
6,完全气体等熵流动
3,内能与焓
ph e p c T?? ? ?
常数p?? ?
C5.2.1声速
C5.2 声速, 马赫锥与激波
d
d s
pKc
??
????
????
在连续介质中微弱扰动传播特点：
（ 2）将声波视作绝热等熵过程。对完全气体
c R T??
C5.2 声速、马赫锥与激波
（ 1）传播速度与介质的体积弹性模量（ K）和密度（ ρ）有关,
而与扰动的频率、振幅和周期无关。
说明声速也是一个状态参数。
C5.2.2马赫锥
C5.2 声速, 马赫锥与激波
在无界可压缩流场中，某处设一间隙性声源，每隔 1秒法一次声，
声速为 c。设来流速度为 V，观察者与声源距离为 r.
听到声音的频率流场名称 流速 马赫数 是否有寂静区
亚声速 0<V<c 0<Ma<1 无 不同
静 止 V=0 Ma=0 无 相同
C5.2 声速, 马赫锥与激波
超声速 V>c Ma>1 马赫锥外 不同
声 速 V=c Ma=1 声源上游 不同
? ?a r c s i n 1 Ma? ?
? 超声速流场中：马赫波 /马赫锥 /马赫线 /马赫角 α
听到声音的频率流场名称 流速 马赫数 是否有寂静区
C5.2.3 激波
C5.2 声速, 马赫锥与激波
2,形成机理：
3,形成条件：
1,定义,流动参数的强间断面。
激波后 p↑,ρ↑,T↑;V↓
无数微弱压缩波叠加而成。
后面的微弱压缩波波速大于前面的,ci > ci-1 > … > c2 > c1。
(1) 管内有强压缩扰动；
(2) 无界流场除强压缩扰动外，必须是超声速流场。
C5.3.1 绝能流能量方程
C5 可压缩流动基础
C5.3 一维定常可压缩流能量方程
绝能流,与外界无能量交换的流动（无热量交换，无轴功，无
摩擦功等）。
由（ B4.6.12）式可得（忽略重力）
上式中 h0为总焓。完全气体的一维定场流动常用形式为
1
2
0
11
2
T Ma
T
? ????????
??
（绝能流）
12
2
0
11
2
c Ma
c
? ????????
??（绝能流）
? 总温 (T0)和总声速 (c0)在绝能流中保持常数，但总压 (p0）和总密
度 (ρ0)不一定保持相等。
22
0
V p Ve h h
?? ? ? ? ? ? 常 数（绝能流）
C5.3.2 等熵流伯努利方程
C5 可压缩流动基础
当气体在绝热短管中作高速流动（无激波）时，边界层的影响可
以忽略不计，流动简化为等熵流。
22
0
V p Ve h h
?? ? ? ? ? = 常 数
（等熵流）
完全气体的常用形式为
2
2p
VcT ?? （ 等 熵 流 ）常 数
2
1 1 1
pcRT??
? ? ? ?? ? ?? ? ?
能量方程为推广的伯努利方程
[例 C5.3.2] 流动压缩性对伯努利方程的影响
已知, 设完全气体从滞止状态开始流动。
求, 分别按不可压缩流体伯努利方程和等熵流动方程计算压强与马赫数
的关系式，并作比较。
解,含滞止状态参数的不可压缩流体伯努利方程按例 B4.3.1中 (b)式可
写为（忽略重力）
20 12p p V??? (a)
按完全气体关系式 p=RρT,, M=V/c,(a)式可改写为压强相对
变化形式
c RT??
22220
21 1 1 11 2 2 2 2p VVV M app RT c? ? ? ??? ? ? ? ?(b)
从等熵流伯努利方程（ C5.3.8）式及等熵流状态参数关系式（ C5.1.19）
式可推导得（参见 C5.3.3节）
-120 1( 1 )2p Map ??? ??? (c)
[例 C5.3.2] 流动压缩性对伯努利方程的影响
按二项式公式展开
2 2 20
2 2 4
1111 ( ) ( 1 ) ( )
1 2 2 ! 1 1 2
211 ( 1 )
2 4 2 4
p M a M a
p
M a M a M a
? ? ? ? ?
? ? ?
??
?? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
- -
--
-
(d)
写成压强相对变化形式
2 2 40 2111 ( 12 4 24p M a M a M ap ??? ? ? ? ?-(e)
讨论,按 (b)式和 (e)式画的 （ p0/p-1） ～ Ma曲线如图 CE5.3.2所示 。 两
者的差异由 （ e） 括号中的关于 Ma的幂级数决定, 当 Ma很小时两
者差异很小 。 如 Ma=0.3时两者相差 2.25℅, 说明将 Ma≤ 0.3的流
动按不可压缩流体 （ Ma=0） 处理是合理的 。 当马赫数更高时,
则要用等熵流方程计算 。
C5 可压缩流体流动基础
C5.3.3 等熵流气动函数
滞止状态参数
1
2
0
11
2
T Ma
T
? ????????
??
12
0
11
2
p Ma
p
?
?? ? ??????
????
1
12
0
11
2 Ma
???
?
? ????
????
??
1
22
0
11
2
c Ma
c
? ??????
????
空气（ γ=1.4）
0
0 9 1 3c,c
?
?
0
0 833T,T
?
?
0
0 5 2 8p,p
?
?
0
0 6 3 4.??
?
?
临界状态参数
0
2
1
T
T ?
?
? ?
1
0
2
1
p
p
?
?
?
?? ???
? ???
??
1
1
0
2
1
??
??
?? ???
? ???
??
1
2
0
2
1
c
c ?
? ??
? ???
??
0
2
1m axV RT
?
?? ?
? 最大速度状态 ? 查表 FG1（附录 G)
[例 C5.3.3A] 一维定常等熵状态参数
已知, 空气在一喷管内作定常 等熵流动 。 设截面 1的状态参数为;001.0),(600,300,4.0 21111 mAkPpKTM a ???? 绝
222 0 0 0 6 3.0,9.0 mAM ??设截面 2的状态参数为
求,截面 1和 2上的其他状态参数与流速 。
解,截面 1的其他参数为
)/(97.63 0 02 8 7 1 0 0 06 0 0 3
1
11 mkgRTp ??????
)/(19.3473002874.111 smRTc ????? ?
)/(9.1 3 84.019.3 4 7111 smMcV ????
由 M1＝ 0.4及 M2＝ 0.9 查等熵流动气动函数表可得
1 0 1 1 0 1 1
2 0 2 2 0 2 2
0 9 6 8 9 9 0 8 9 5 6 2 1 5 9 0 1
0 8 6 0 5 8 0 5 9 1 2 6 1 0 0 8 8 6
T / T, p / p, A / A,,
T / T, p / p, A / A,
?
?
? ? ?
? ? ?
利用等熵流 T01＝ T02,p01＝ p02，可得
0222
2
1 0 2 1
0222
2
1 0 2 0 1
0 8 6 0 5 8
0 8 8 8 1 0 8 8 8 1 3 0 0 2 6 0 4
0 9 6 8 9 9
0 5 9 1 2 6
0 6 6 0 2 0 6 6 0 2 6 0 0 3 0 9 6 1
0 8 9 5 6 2
TTT,
,T,, ( K )
T T T,
ppp,
,p,, ( k P a )
p p p,
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
由状态方程
)/(3.54.260287 10001.396 3
2
22 mkgRTp ?? ????
)/(46.3234.2602874.122 smRTc ????? ?
)/(1.2919.046.323222 smMcV ????
验算
? ?skgAVm /97.0001.09.13897.61111 ????? ??
? ? 12222 /97.000063.01.2913.5 mskgAVm ?? ?????? ?
讨论, 计算表明在这个收缩喷管中流速增大，温度、压强、密度均下降。
C 5.4.1 截面变化对流动的影响
1,截面变化引起流速变化
dd
dd
VpV
xx? ??
和欧拉运动方程
由连续性方程 常数?VA?
C5 可压缩流体流动基础
C5.4 一维变截面管定常等熵流
? ?2dd 1AVMa??可推导得
收缩管 ? ?d0A ? 扩张管 ? ?d0A ?
Ma<1 dV>0 dV<0
Ma>1 dV<0 dV>0
? 拉伐尔喷管：收缩段加速 →喉部声速 →扩张段超声速
C5.4.1 截面变化对流动的影响
? ? 321 1 0 21 7 2 8A, M aA, M a? ??
2,截面积与 Ma的关系
? 一个 A/A*对应两个 Ma值, Ma<1,Ma>1
3,流量与 Ma的关系
? ?
1
2120
0
11
2
pm M a M a A
R T
?
???
??
????
?? ??
??
? 当 Ma=1时，质流量达最大值 maxm
? A/A*～ Ma的对应关系查表 FG1(附录 G)
C5.4 一维变截面管变长等熵流动
C5,4.2 喷管内等熵流动
2
1
1
0
e
2
0
e
0
0
0 p
p
p
pp
1
2
Am
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
? ?
?
?
??
?
?
＋
－
－
－
＝?
10b0,p p m，＝ ＝
对空气 e00m a x Ap6847.0m ?＝?
0e T3.18V ＝?
3 be,p p A A??＝ ＝
maxmm＝
2 b0,p p p? ??,
增大m
?? pp4,b 流量不变
（壅塞现象）
C5.4 一维变截面管变长等熵流动
2.收缩 –扩张管
1 c b 0,p p p??
亚声速等熵流
3 j b f,p p p??
超声速等熵流
2 f b c,p p p??
出现激波
4 bj,0 p < p?
口外膨胀
[例 C5.4.4]收缩－扩张管内的流动
? ?skgATpm e /07.70035.0400 100010000404.00404.0
0
0m a x ???????
求,（ 1） 设计工况的出口参数和质量流量； （ 2）若背压
时出口处出现激波，试求 时的流动状况。
3317 bdpp.kPa ??
99090030030 b pkPa ?、、、
解,（ 1）, 查等熵流动气动函数表得：00035000135
etA/A./.,??
1201728 eeM.M,??，。 代表喉部为临界截面，扩张段为亚声速流
1017 e M.? 0098 e p/p,?，
0 980099396 ecee ppkPaT/T.TK ???? ；，。
代表扩张段为超声速流，
228 e M.? 000440 eeg p/p.ppkPa ???,；
0039156 eeT/T.TK ??，。
两种工况的质流量相等，均为最大流量。由例 C5.4.3中质流量公
式可得
已知,收缩－扩张管的喉部面积为,出口面积,
贮气罐中滞止参数 （绝）,0400 TK＝。
2 0001 t A.m ? 2 00035 e A.m ?
01000 pkPa ＝
[例 C5.4.4]收缩－扩张管内的流动
（ 2） 时，,喷管内为亚声速等熵流动；990
b pkPa ? 980 bcppkPa ??
时，,在扩张管内某处出
现激波；
900 b pkPa ?3317 cbd ppp.kPa ???
时，,扩张管内为超声速等
熵流；
300 b pkPa ?40 dbg pppkPa ???
时，,扩张管内仍为超声速流，但在出
口处形成膨胀波。
30 b pkPa ? gbpp?
C 5.5.1 绝热摩擦管流（范诺流）
C5 可压缩流体流动基础
C5.5 摩擦与热交换等截面管流
1,范诺线：
绝能流能量方程 2
02
p
VTT
c?? = 常 数
由 (a)(b)式可得范诺曲线，性质为
(1) 摩擦作用使熵增加；
由上两式可得 ? ?
? ?
22
022
p
VT
TT
c p R
?
??(a)
1
11
l n l np Tps s c RTp? ? ?熵增公式 (b)
V? ? 常 数连续性方程
(2) 使亚声速流加速，但最大达声速；
(3) 使超声速流减速，但最小达声速。
C5.5.1 绝热摩擦管流（范诺流）
? ? 2
1
21
T
T M a
?
??
??
?? ? ?
12
2
11
21
p
p M a M a
?
??
??
??
??
????
? ?
12
2
1
21
V Ma
V M a
??
??
???
??
??
????
? ?
2
22
1 1 1ln
2 2 1
m a x
h
L Ma
d M a M a
? ??
? ? ?
? ? ???
??
??
????
2,范诺气动函数（以临界参数为参考，查附录 G )
上式中 dh为水力直径,Lmax为最大管长,为平均摩擦因子。?
3,摩擦造成雍塞现象：在 Lmax达到声速，流量最大。当管长
L> Lmax时，摩擦作用使气流总压强下降，原来的流量此时
不能通过。
[例 C5.5.1]绝热摩擦管流
17.013.2983004.0 2112
2/12/1
1
0
1 ???
??
?
? ?
?
??
?
? ????
?
??
?
?
???
?
???
? ?
?? T
TM
?
? ?3
1
11 /14.13.298287 100098 mkgRTp ??????
)/(9.583.2982894.117.011111 smRTMcMV ??????? ?
已知,空气从 的贮气罐进入一根直径为 的绝热光滑管入
口处 经过有摩擦的流动到达截面 2时,
d10mm ?300 0 TK＝
298398 11T.K,pkPa(ab); ? ＝ 042 M.＝
求,1）入口处 （ 2）截面 2处 （ 3）入口处到截面 2的长度 L,1 M; 222 2 T,p,,V; ?
解,（ 1）利用等熵流动公式 (C5.3.12a)求 1 M
? ?smRTMcMV /7.1367.2902874.14.022212 ??????? ?
? ? ? ?KMTT 7.2904.02.013002 11 1212202 ??????????? ??? ???
（ 2）截面 2的状态参数不能用等熵公式而要用绝热公式 (C5.3.4a)式,002 TT ?
? ?
? ?
22
11
22
111
11 1 ln
2 2 1
m a x ML M
d M M
?? ?
? ? ?
????? ? ??? ??
?? ???? ??
? ?k P aTRp 0.417.29049.0287222 ????? ?
? ?3
2
112 /49.0
7.136
9.5814.1 mkg
V
V ???? ??
（ 3） 用 (C5.5.8)式计算管长 L前先用 (C5.5.6e)式
22
2
1 0 4 2 4 2 4 0 4l n 3 7 5 1 4 4 2 3 1
1 4 0 4 2 8 2 0 4 0 4
m a xL,,,,,,,
d,,,,,
? ???? ??? ? ? ? ??? ??
? ? ??? ??
? ?
? ?
22
22
1 4 1 0 1 71 0 1 7 1 4 1 l n 2 4 2 8 8 6 2 1 1 1
1 4 0 1 7 2 1 4 2 1 4 1 0 1 7
....,.
.,,,,
?? ????? ? ? ? ???
? ? ? ? ???
上式表明截面 2已接近临界截面 (M=1),再计算平均摩擦因子 ?
,3.253.2 9 8 01 CKT ?? smv /1056.1 251 ???入口处, 查表 B1.2,
4
5
1
1 103.41056.1
01.09.5814.1Re ??
?
????
?
??
?
??
??
? Vd
4
5
2
2 105.41049.1
01.07.13649.0Re ??
?
????
?
??
?
??
??
? Vd
0212.01 ??查穆迪图光滑管,
,7.177.290 02 CKT ?? smv /1049.1 252 ???截面 2,查表 B1.2,
021.02 ??查穆迪图光滑管,
临界截面,由 (C5.4.3a)式,1?M
? ? ? ? smvCKTT crcr /102.1232502.013002 11 250110 ??? ?????????????? ??? ?
)/(9.3162502874.1 smRTV crcr ????? ?
? ?311 /21.09.316/9.5814.1/ mkgVV crcr ???? ??
4
5 105.5102.1
01.09.31621.0Re ??
?
????
?
??
?
??
?
cr
cr v
Vd?
0 2 0 8.0.0 2 0 2.0 ?? ?? cr查穆迪图光滑管,
由 (C5.5.8)式,
8.1831.211.21 ???d L?
)(04.90208.0/01.08.18/8.18 mdL ???? ?
C5 可压缩流体流动基础
C5.5.2 无摩擦热交换管流（瑞利流）
1,瑞利线：
动量方程 22 1mp V p
A? ?
??? ? ? ???
?? 常 数
由 (a)(b)式可得瑞利曲线，性质为
(1) a点为最大熵增值,b点为最高温度点；
由上两式可得 2m R Tp
Ap
??????
?? 常 数
(a)
及熵增公式
1
11
l n l np Tps s c RTp? ? ?(b)
m V
A ??? 常 数连续性方程
(2) 对亚声速流加热，使其加速，但最大达声速；
(3) 对超声速流加热，使其减速，但最小达声速。
C5.5.2 无摩擦热交换管流（瑞利流）
2
2
2
1
1
T
T MaMa
?
?? ?
???
?????
? ? 2
2
1
1
V
V
Ma
Ma
?
?
?
?????
?
?
2,瑞利流气动函数（以临界参数为参考，查附录 G )
3,加热造成雍塞现象：气流达临界态时流量最大，继续加热使
总压强下降，原来的流量此时不能通过。
2
1
1
p
p M a
?
?? ?
?
?
C5.6正激波
C5,6.1 基本方程
连续性方程 2211 VV ?? ?
动量方程 12211222 ppVV ??? ??
能量方程
1
2
1
2
12 p
pnR
T
Tncss
p ?? ???
??
2
2
2
2
1
2
1
1 22
pVepVe ?????
状态方程 RTp ??
完全气体 4.1,?? ?Tci p
C5,6正激波
C5.6正激波
激波前后参数比与来流马赫数关系
? ?
? ?
? ? ? ?11
1
121 2
22
1
2
1
2
1
2 ??
?
??? M
M
M
T
T ?
?
?
? ?1121 21
1
2 ?
??? Mp
p
?
?
? ?
? ? 21
2
1
1
2
12
1
M
M
??
??
?
?
?
?
? ?
? ? 21
2
1
1
2
1
12
M
M
V
V
?
???
?
?
C5,6.2 正激波气动函数
计算时查正激波气动函数表
[例 C5.6.1] 收缩 -膨胀喷管内激波前后参数
,19.26/15.13/,6 1121 ??? ?? AAcmA
解,（ 1）在扩张段内出现激波说明喉部成为临界截面
? ?KTT 2435004 8 5 9 1.04 8 5 9 1.0 011 ?????
已知,贮气罐的滞止参数 收缩 -扩张喷管喉部
截面积为 扩张段内截面积 处出现激波,62 cm,
00500500 TK,pkPa(ab),??
13152 A.cm ?
求,1）激波前后的状态参数 1212121202 M,M,p,p,T,T,,,p; ??
2)激波后的临界截面积
2 A;
?
查等熵流气动函数表得激波前 3.2
1 ?M
(另一值 0.275不合题意 ).
其他参数为,
? ?k P app 4050007997.007997.0 011 ?????
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1M p / p / T / T A / A?? ?
1 9 3 1.24 8 5 9 1.01 6 4 5 8.00 7 9 9 7.03.2
)/(48.3)500287/(1000500)/( 3010101 mkgRTp ??????
)/(57.048.30 1 6 4 5 81 6 4 5 8.0 3011 mkg????? ??
查超声波气动函数表,激波前后参数比
(2)查等熵流气动函数表
010212121221 //// ppTTppMM ??
58331.09408.10846.30050.653441.03.2
? ?KTT 4732439408.19408.1 12 ?????
? ?k P app 240400050.60050.6 12 ?????
)/(77.157.00 8 4 6.30 8 4 6.3 312 mkg????? ??
0 5 3 4 4 12 ?M
)(7.2915005 8 3 3 1.05 8 3 3 1.0 0102 k P app ?????
28.1/,053441 *222 ?? AAM
)(27.1028.1/15.1328.1/28.1/ 32*2 cmAAA ????
讨论, 以上结果表明激波后的临界截面积比激波前增大,.*1*2 AA ?
C5.6.3正激波前后参数变化
1.激波前后压强比 2
21
21
1
1
1
1
1
1
p
p
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
? ?
1
2/1
1
2
1 2
12 ccV
s ???
?
??
? ????
?
??
?
?
2.激波行进速度
激波行进速度总是大于当地声速
将上式与等熵关系比较如图示
3.激波前后的熵增 在超声速流中 1 2 100M,s s? ? ?
C5.6.3正激波前后参数变化
C5.7二维超声速流动简介
C5.7.1.斜激波
气流经过压缩马赫波后,流动方向向内偏射
(与斜壁 OO’平行 ),流速略微降低,
弯折点 O对气流产生一微弱压缩扰动,OA线
称为压缩马赫波,马赫角 ?为
1
1a r c s in
M??
2.当超声速流流经一凹曲面 OO’时,无数个
这样的马赫波,叠加起来形成一斜激波,
1.当 OO’的内折角是有限值 ?时,可将其看作
有无数个微小角度 d?组成,无数个马赫波叠
加起来,形成斜激波,夹角为 ?,称为斜激波角,
C5.7二维超声速流动简介
3.当超声速流流经一尖壁时,在尖端将
产生两条斜激波,若尖劈的半角 ?增大,
斜激波角 ?随之增大,当 ?增至一极限值
时,附着于尖端的斜激波,将发生
脱体现象, max
?
C5.7二维超声速流动简介
C5.7.2.膨胀波
当超声速气流流经一有微小外折角 d?的壁面时,弯折点 O对气流
产生一微弱膨胀扰动,形成一道膨胀马赫波,气流经过膨胀马赫波
后,方向向外偏射 (与斜壁 OO’平行 ),流速略微增大,
1.当 OO’的外折角为有限值 ?时,可将其看作
有无数个微小角度 d ?叠加,无数条膨胀马赫
波,形成一张角为 φ的扇形区域,称为普朗特 —
迈 耶波,
2.当超声速流流经一凸曲面时,所有马赫
波组成一发散的波系,
