C2 不可压缩无粘性流体平面势流
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
C2.1 引言
伯努利积分
解 法
基本解拉普拉斯方程
平面势流
概 念
无粘流
应 用
理 论
无旋流
绕圆柱流动
绕机翼流动
水波运动
机翼升力、诱导阻力
复 势 理 论
平面不可压缩
叶栅理论
实 际
欧拉运动方程
速度势函数
流函数
速度场
压强场
C2.2 一般概念
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
1,欧拉运动方程
（无粘） ? ? pt??
?
? ? ? ? ? ?
?
????
??
v
v v f
? ?
2
2
p
t
v
??
?
? ? ? ? ? ? ?
?
??????????
????
v
v v f
? ?ddlA A? ? ? ???v r n? ?
兰姆 —葛罗米柯方程
（无粘 )
2,欧拉积分（无粘、无旋
正压、重力,定常）
伯努利积分（无粘、无旋
不可压、重力、定常）
2 d
2
vpgz
?
?? ?? 常数 (全流场）
2
2
v gz p
?
?? ?常数 （全流场）
3,斯托克斯定理
（封闭曲线、涡束）
4,开尔文定理（无粘
正压、有势力） d 0dt ?? （沿封闭流体线）
C2.3 速度势与流函数
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
名称, 势函数 流函数
条件, 无旋流 平面不可压缩流
引入, 0z vu
xy?
??? ? ?
?? 0
uv
xy
??? ? ? ?
???v
定义, u,v =
xy
?????
??
u,v =yx????????
等值线, Φ=C (等势线 ) Ψ=C (流线）
性质, 等势线与速度垂直 流线与等势线正交
[例 C2.3.2] 90° 角域流的速度势和流函数
已知, 90° 角域流的速度分布式为,u=kx,v=-ky（ k为常数）。
求,（ 1）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图；
（ 2）判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图；
解,（ 1）先计算速度旋度
上式中 C为常数。速度势函数为
0vuxy????
说明流场是无旋的，存在速度势 φ (x,y)，由（ C2.3.2）式
212u k x,k x f ( y )x? ?? ? ? ? ??
212f '( y ) v k y,f ( y ) k y Cy?? ? ? ? ? ? ? ??
2212 k ( x y ) C? ? ? ? (a)
等势线方程为 x2-y2=常数，在 xy平面上是分别以第一、三象限角平分线和
第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如图 CE2.3.2中的虚线所示。
（ 2）再计算速度散度
0uv kkxy??? ? ? ? ? ? ?v
说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数 Ψ (x,y)，由（ C2.3.11）式
u k x,k x y g ( x )y? ?? ? ? ? ??
0k y g '( x ) v k y,g '( x ),g( x ) Cx?? ? ? ? ? ? ? ??
上式中 C为常数，流函数为
流线方程为 xy=常数，在 xy平面上是分别以 x,y轴为渐近线的双曲线族，如
图 CE2.3.2中的实线所示。 x,y轴也是流线，称其为零流线。流线族与等势
线族正交。
kxy C? ?? (b)
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
平面势流 平面流
存在速度势 Φ无旋流
不可压缩 存在流函数 Ψuv0xy????
u,vxy?????? u,vxy??????
vu0xy????
C2.4 平面势流与基本解 ? ?
i????2 0
? ?i????2 0???2 0
? 挑选一些基本解 φi(ψi)，叠加后若满足边界条件即是所求之解。
???2 0
C2.4.1 均流
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
物理背景 全流场以等速 (U)做平行直线流动
? ?c o s s i nU x y? ? ???
? ?y c o s s i nUx? ? ???
c o sU x U r????
s inU y U r????
速度分布 0u U,v?? c o s s inu U,v U????
势函数
流函数
C2.4.2 点源与点汇
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
物理背景 点源（ Q > 0）：流体从一点均匀地流向各方向；
点汇（ Q < 0）：流体从各方向均匀地流入一点。
2r
Qv
rr
?
?
???
?
ln2Q r? ??
2
Q??
??
当源汇位于原点 O，势函数和流函数为
1 0v
r?
?
?
???
?
速度分布式为
C2.4.3 点涡
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
物理背景 与平面垂直的直涡线（强度为 Γ）诱导的流场。
0rv r?????
2
???
??
ln2 r?? ???
1
2v rr?
??
??
???
?
当点涡位于原点 O，势函数和流函数为
速度分布式为
C2.4.4 偶极子
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
当偶极子位于原点
2
c o s
2r
Mv
r
?
???
2
sin
2
Mv
r?
?
???
22
c o s
22
M M x
r x y
??
???? ?
22
s in
22
M M y
r x y
??
??? ? ? ? ?
等势线 Φ=C
2
2
2
11
24xyCC
??? ? ???
??
2
2
2
11
24xy CC
??? ? ???
??
流线 Ψ=C
物理背景 点源点汇无限接近 (δ→ 0)形成的流场。
（偶极矩 M = Qδ= 常数，源 → 汇）
[例 C2.4.4] 兰金半体绕流：均流 +点源
已知, 位于原点的强度为 Q（ Q＞ 0）的点源与沿 x方向速度为 U的均流叠
加成一平面流场。
求,（ 1）流函数与速度势函数；（ 2）速度分布式；（ 3）流线方程；
（ 4）画出零流线及部分流线图。
解,（ 1）流函数与速度势函数的极坐标形式分别为
（ 2）速度分布式为
（ 3）流线方程为
常数 C取不同值代表不同的流线，其中零流线的一部分为该流场绕流
物体的轮廓线。
sin 2QUr? ? ???? (a)
1 s invUr? ? ???? ? ?? (d)
c o s 2r QvUrr? ? ??? ? ?? (c)
c o s 2QU r l n r?? ??? (b)
s in 2QU r C? ? ??? ? ?(e)
通过驻点 A（ -b,0）的右半部分零流线由 A点的流函数值决定
（ 4）零流线的左半支是负 x轴的一部分（ θ =π ），驻点 A（ -b,0）由
（ c）式决定
c os 02 2r,QQv ( U ) Ur b? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?
22A,QQU r s i n ??? ? ?? ?? ? ?
零流线方程为
零流线及部分流线如图 CE2.4.4所示，右半部分所围区域称为兰金
(Rankine)半体，在无穷远处 θ →0 和 2π,零流线的两支趋于平行。
由（ g）式可确定两支距 x轴的距离分别为
0 0 2 0 2( s i n ) [ ( ) ],,y r b b? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?
2Qb U?? (f)
2 s in s inQ b ( )r U ????? ?? ???? (g)
C2.5 绕圆柱的平面势流
C2.5.1 无环量圆柱绕流
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
一、求解流场
均 流
求流函数
偶极子
a rrU ?? ????
????
2
21 c o s同理
基本解叠加 边界条件
Ur???1 sin M r??? ??2 sin2
? ? ??? 12
sinMUrr??????????? 22
圆柱面为零流线
r a,???0
UM a?? 22
a rrU ?? ????
??
?? 221 si n
C2.5.1 无环量圆柱绕流
二、流场分析
2
21 c o sr
avU
r ?
????
????
2
21 s in
avU
r? ?
??? ? ?
????
0rsv ?
2 s insvU? ???
1,速度分布
在圆柱面 (S)上
2
2
1 4 si n1
2
s
p
ppC
U
?
?
??? ? ?
? ?221 1 4 sin2sp p U???? ? ?2,圆柱面上压强分布
表面压强系数
3,压强合力 Fx=0（达朗贝尔佯缪）,Fy=0
C2.5.2 有环量圆柱绕流
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
在无环量圆柱绕流流场中再叠加一个点涡（顺时针）
一、求解流场
2
21 s in
aUr
r??
????
????
2
21 c o s
aUr
r??
????
????
二、流场分析
1,速度分布 2
21 c o sr
avU
r ?
????
????
2
21 s in
avU
r? ?
??? ? ?
????
在圆柱面 (S)上 0rsv ? 2 s insvU? ???
ln2 r???
2
? ?
??
2 r
?
??
2 a
?
??
C2.5.2 有环量圆柱绕流
2 sin 02crU a?? ?? ? ?
2
2
2 2 2
2 s in1 4 s in
4pC a U a U
? ? ??
??
??? ? ? ?
????
2,求解驻点位置 (θcr)
3,表面压强系数
1sin
4cr aU
??
?
? ???? ??
??
|Γ|<4πaU
有两个驻点
|Γ|=4πaU
有一个驻点
|Γ|>4πaU
无驻点 (自由驻点 )
4,压强合力 Fy=ρUΓ 升力公式Fx=0,
C2.6 绕机翼的平面势流
C2.6.1 儒可夫斯基升力定理
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
FL=ρUΓ
式中 U为来流速度矢量,Γ为环量矢量（按右手法则确定方向）
C2.6.2 库塔条件
绕翼型产生环量的四个阶段
1) 运动前（ Γ=0）
2) 运动后（开尔文定理）
3) 环量大小（库塔条件）
4),起动涡”和“附着
涡”
将有环量圆柱绕流的升力公式推广到对任意形状截面的绕流
C2.6.3 机翼升力
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
1,机翼升力
2,压强分布
3,翼型
C2.6.3 机翼升力
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
4,升力系数
5,有限翼展
C2.7 叶栅中的升力定理
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
1,叶栅概念
? ?1 2 1 212x x x y y yV V V,V V V? ? ? ?平均速度
yxFV????y方向分力
环量 ? ?
21D C B A y yV V t? ? ?? ? ? ? ?
伯努利方程 ? ? ? ?221 2 1 2 1 21
2 y y y y yp p V V V V V??? ? ? ? ? ? ?
x方向分力 ? ?12xyF p p t V??? ? ?
动量方程 ? ?
21x y y yV t V V F? ? ? ? ?
合力 2 2 2 2x y x yF F F V V V? ? ? ?? ? ? ? ?
2,计算叶片升力
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
C2.1 引言
伯努利积分
解 法
基本解拉普拉斯方程
平面势流
概 念
无粘流
应 用
理 论
无旋流
绕圆柱流动
绕机翼流动
水波运动
机翼升力、诱导阻力
复 势 理 论
平面不可压缩
叶栅理论
实 际
欧拉运动方程
速度势函数
流函数
速度场
压强场
C2.2 一般概念
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
1,欧拉运动方程
（无粘） ? ? pt??
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v
v v f
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2
2
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v
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兰姆 —葛罗米柯方程
（无粘 )
2,欧拉积分（无粘、无旋
正压、重力,定常）
伯努利积分（无粘、无旋
不可压、重力、定常）
2 d
2
vpgz
?
?? ?? 常数 (全流场）
2
2
v gz p
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3,斯托克斯定理
（封闭曲线、涡束）
4,开尔文定理（无粘
正压、有势力） d 0dt ?? （沿封闭流体线）
C2.3 速度势与流函数
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
名称, 势函数 流函数
条件, 无旋流 平面不可压缩流
引入, 0z vu
xy?
??? ? ?
?? 0
uv
xy
??? ? ? ?
???v
定义, u,v =
xy
?????
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u,v =yx????????
等值线, Φ=C (等势线 ) Ψ=C (流线）
性质, 等势线与速度垂直 流线与等势线正交
[例 C2.3.2] 90° 角域流的速度势和流函数
已知, 90° 角域流的速度分布式为,u=kx,v=-ky（ k为常数）。
求,（ 1）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图；
（ 2）判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图；
解,（ 1）先计算速度旋度
上式中 C为常数。速度势函数为
0vuxy????
说明流场是无旋的，存在速度势 φ (x,y)，由（ C2.3.2）式
212u k x,k x f ( y )x? ?? ? ? ? ??
212f '( y ) v k y,f ( y ) k y Cy?? ? ? ? ? ? ? ??
2212 k ( x y ) C? ? ? ? (a)
等势线方程为 x2-y2=常数，在 xy平面上是分别以第一、三象限角平分线和
第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如图 CE2.3.2中的虚线所示。
（ 2）再计算速度散度
0uv kkxy??? ? ? ? ? ? ?v
说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数 Ψ (x,y)，由（ C2.3.11）式
u k x,k x y g ( x )y? ?? ? ? ? ??
0k y g '( x ) v k y,g '( x ),g( x ) Cx?? ? ? ? ? ? ? ??
上式中 C为常数，流函数为
流线方程为 xy=常数，在 xy平面上是分别以 x,y轴为渐近线的双曲线族，如
图 CE2.3.2中的实线所示。 x,y轴也是流线，称其为零流线。流线族与等势
线族正交。
kxy C? ?? (b)
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
平面势流 平面流
存在速度势 Φ无旋流
不可压缩 存在流函数 Ψuv0xy????
u,vxy?????? u,vxy??????
vu0xy????
C2.4 平面势流与基本解 ? ?
i????2 0
? ?i????2 0???2 0
? 挑选一些基本解 φi(ψi)，叠加后若满足边界条件即是所求之解。
???2 0
C2.4.1 均流
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
物理背景 全流场以等速 (U)做平行直线流动
? ?c o s s i nU x y? ? ???
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c o sU x U r????
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速度分布 0u U,v?? c o s s inu U,v U????
势函数
流函数
C2.4.2 点源与点汇
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
物理背景 点源（ Q > 0）：流体从一点均匀地流向各方向；
点汇（ Q < 0）：流体从各方向均匀地流入一点。
2r
Qv
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2
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当源汇位于原点 O，势函数和流函数为
1 0v
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速度分布式为
C2.4.3 点涡
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
物理背景 与平面垂直的直涡线（强度为 Γ）诱导的流场。
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2
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1
2v rr?
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???
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当点涡位于原点 O，势函数和流函数为
速度分布式为
C2.4.4 偶极子
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
当偶极子位于原点
2
c o s
2r
Mv
r
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???
2
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2
Mv
r?
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等势线 Φ=C
2
2
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11
24xyCC
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2
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11
24xy CC
??? ? ???
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流线 Ψ=C
物理背景 点源点汇无限接近 (δ→ 0)形成的流场。
（偶极矩 M = Qδ= 常数，源 → 汇）
[例 C2.4.4] 兰金半体绕流：均流 +点源
已知, 位于原点的强度为 Q（ Q＞ 0）的点源与沿 x方向速度为 U的均流叠
加成一平面流场。
求,（ 1）流函数与速度势函数；（ 2）速度分布式；（ 3）流线方程；
（ 4）画出零流线及部分流线图。
解,（ 1）流函数与速度势函数的极坐标形式分别为
（ 2）速度分布式为
（ 3）流线方程为
常数 C取不同值代表不同的流线，其中零流线的一部分为该流场绕流
物体的轮廓线。
sin 2QUr? ? ???? (a)
1 s invUr? ? ???? ? ?? (d)
c o s 2r QvUrr? ? ??? ? ?? (c)
c o s 2QU r l n r?? ??? (b)
s in 2QU r C? ? ??? ? ?(e)
通过驻点 A（ -b,0）的右半部分零流线由 A点的流函数值决定
（ 4）零流线的左半支是负 x轴的一部分（ θ =π ），驻点 A（ -b,0）由
（ c）式决定
c os 02 2r,QQv ( U ) Ur b? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?
22A,QQU r s i n ??? ? ?? ?? ? ?
零流线方程为
零流线及部分流线如图 CE2.4.4所示，右半部分所围区域称为兰金
(Rankine)半体，在无穷远处 θ →0 和 2π,零流线的两支趋于平行。
由（ g）式可确定两支距 x轴的距离分别为
0 0 2 0 2( s i n ) [ ( ) ],,y r b b? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?
2Qb U?? (f)
2 s in s inQ b ( )r U ????? ?? ???? (g)
C2.5 绕圆柱的平面势流
C2.5.1 无环量圆柱绕流
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
一、求解流场
均 流
求流函数
偶极子
a rrU ?? ????
????
2
21 c o s同理
基本解叠加 边界条件
Ur???1 sin M r??? ??2 sin2
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圆柱面为零流线
r a,???0
UM a?? 22
a rrU ?? ????
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C2.5.1 无环量圆柱绕流
二、流场分析
2
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avU
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2
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1,速度分布
在圆柱面 (S)上
2
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1 4 si n1
2
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ppC
U
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? ?221 1 4 sin2sp p U???? ? ?2,圆柱面上压强分布
表面压强系数
3,压强合力 Fx=0（达朗贝尔佯缪）,Fy=0
C2.5.2 有环量圆柱绕流
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
在无环量圆柱绕流流场中再叠加一个点涡（顺时针）
一、求解流场
2
21 s in
aUr
r??
????
????
2
21 c o s
aUr
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????
????
二、流场分析
1,速度分布 2
21 c o sr
avU
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在圆柱面 (S)上 0rsv ? 2 s insvU? ???
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2
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C2.5.2 有环量圆柱绕流
2 sin 02crU a?? ?? ? ?
2
2
2 2 2
2 s in1 4 s in
4pC a U a U
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2,求解驻点位置 (θcr)
3,表面压强系数
1sin
4cr aU
??
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|Γ|<4πaU
有两个驻点
|Γ|=4πaU
有一个驻点
|Γ|>4πaU
无驻点 (自由驻点 )
4,压强合力 Fy=ρUΓ 升力公式Fx=0,
C2.6 绕机翼的平面势流
C2.6.1 儒可夫斯基升力定理
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
FL=ρUΓ
式中 U为来流速度矢量,Γ为环量矢量（按右手法则确定方向）
C2.6.2 库塔条件
绕翼型产生环量的四个阶段
1) 运动前（ Γ=0）
2) 运动后（开尔文定理）
3) 环量大小（库塔条件）
4),起动涡”和“附着
涡”
将有环量圆柱绕流的升力公式推广到对任意形状截面的绕流
C2.6.3 机翼升力
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
1,机翼升力
2,压强分布
3,翼型
C2.6.3 机翼升力
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
4,升力系数
5,有限翼展
C2.7 叶栅中的升力定理
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
1,叶栅概念
? ?1 2 1 212x x x y y yV V V,V V V? ? ? ?平均速度
yxFV????y方向分力
环量 ? ?
21D C B A y yV V t? ? ?? ? ? ? ?
伯努利方程 ? ? ? ?221 2 1 2 1 21
2 y y y y yp p V V V V V??? ? ? ? ? ? ?
x方向分力 ? ?12xyF p p t V??? ? ?
动量方程 ? ?
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合力 2 2 2 2x y x yF F F V V V? ? ? ?? ? ? ? ?
2,计算叶片升力
