数学系一年级第二学期期末考试试卷 《数学分析》A参考答案 判断题： （8×2分=16分） （1）若为的极值点，则为的稳定点。（×） （2）若在二阶可导，则为曲线拐点的必要条件是（√） （3）设为有界无限点集，则在中至少有一个聚点。 （√） （4）。 （√） （5）若在上有无限个间断点，则在上必不可积。（×） （6）收敛收敛 （×） （7）设为幂级数在上和函数，若为奇函数，则幂级数仅出现奇次幂的项。（√） （8）边界点一定是聚点。（×） 二、填空题： （2×3分=6分） 1、闭区间套定理：若  是一个区间套，则存在唯一一点使得  2、当时绝对收敛。 三、计算题： （4×7分=28分） 求由两抛物线与围成的面积。 解： 如图一所示，(5分)  (7分) 2、求 解：原式， (2分) 其中的和式是函数在上的一个积分和 (4分) 所以原式== (7分) 3、求 解： (3分)  (7分) 4、要制作一个有盖的圆柱形罐头，其体积为不变， 问怎样选择其高与底面半径使得其表面积最小？ 解：设其高为半径为则有  于是:S=2 (2分) 故有: 令=0得为S(r)的最小值点 (5分) 此时求得，且。 故当，时其表面积最小。 (7分) 四、判断下列反常积分与级数的敛散性： （3×4分+6分=18分） 1、 解： (2分) 此时，所以收敛。 (4分) 2、 解： (3分) 收敛。 (4分) 3、 解：由积分判别法 知与具有相同的敛散性 (2分) 又当时收敛，当时发散 故当时收敛，当时发散 （4分） 4、（证明条件收敛） 解： 由发散知也发散， (2分) 但，时，数列单调递减，且 (4分) 由莱布尼兹判别法知收敛，且条件收敛。 (6分) 五、把在内展开成余弦级数。（8分） 解：对作偶式周期延拓，    （5分） 所以  = （8分） 六、求幂级数的和函数，并指出它们的定义域。 （8分） 解：因为幂级数 (2分) 且时与都是发散级数， 所以此幂级数的收敛域为 (4分) 设其和为，于是当时，逐项求导得：  (6分) 所以 (8分) 七、证明题：（6分+10分=16分）． 1、设级数收敛，则级数（>0）也收敛。 证明：由于 (2分) ，而已知与都收敛， 有收敛。 (4分) 由比较判别法知也收敛。 (6分) 2、设。 证明：，并求其值。 证：设， 它们都是上的连续函数，且有 。 显然为收敛级数。 (4分) 故由优级数判别法知为上一致收敛。 (6分) 从而该级数的和函数在上连续。 于是有 (8分) 且  (10分)