数学系一年级第二学期期末考试试卷 《数学分析》B参考答案 一 判断题： （7×2分=14分） （1）幂级数在收敛区间内每一点绝对收敛。（√） （2）若为点集的聚点的任意邻域内均含有中异于的点。（√） （3 ）在[a，b]上有界，则在[a，b]上可积. （×） （4）若收敛，则也收敛 （×） （5）闭集必为闭域。(×) （6）设级数收敛，则将的项任意重排后所得的级数也收敛。（×） （7）必发散。 （√） 二、填空题： （4×3分=12分） 1、 2、当 , 时，点为曲线的拐点。 3、瑕积分在时收敛，在时发散。 4、幂级数的收敛域为 三、计算题： （5×7分=35分） 求椭圆所围的面积 解：化椭圆为参数方程 (2分)  (5分)   (7分) 2、 解：原式= (3分) = =  (7分) 3、 解：原式 (3分) = (5分) = (7分) 4、要制作一个有盖的圆柱形罐头，其体积为V不变， 问怎样选择其高与底面半径使得其表面积最小？ 解：设其高为h,半径为r,则有  于是:S=2 (2分) 故有: 令=0得为S(r)的最小值点 (5分) 此时求得，且。 故当，时其表面积最小。 (7分) 5、设求 解：记， 它们均在上连续，且， 故由优级数判别法在上一致收敛。 (4分) 从而根据函数项级数的可积性定理有  (7分) 四、判断下列级数的敛散性： （2×4分+7分=15分） (4分) 1、 解： 由于收敛 (2分) 故由比较判别法知 收敛 (4分) 2、 解：由积分判别法 知与具有相同的敛散性 (2分) 又当时收敛，当时发散 故当时收敛，当时发散 (4分) 3、（证明条件收敛） 解：（1）， 而发散，所以 (3分) （2）由于 所以当时单调递减 且 由牛顿—莱布尼兹公式判别法知：条件收敛。 (7分) 五、把在内展开成正弦级数。（8分） 解：对作奇式周期延拓，    （4分） 所以  当时右边级数收敛于 （8分） 六、证明题（6分+10分=16分） 1应用凸函数的概念证明对任意实数 有； 证明：设，由于， 可知在上为严格凸函数 (3分) 令， 由凸函数定义有 从而 (6分) 2 证明：在内收敛，但不一致收敛，而和函数在内无穷次可微。 证明：（1）、，因为： 所以收敛。 …………2分 （2）、因为 所以在上级数通项不一致收敛于 从而在上不一致收敛。 …………5分 （3）、，使得，此时有，而收敛，故在上一致收敛，因级数在上收敛，连续，于是在内一次可微，特别在点可微，由的任意性知在内一次可微。 …………7分 同理可证， 在内可微。 事实上，，使得，此时有，而收敛，故在上一致收敛，故在内可微，特别在点可微，由的任意性知：在内可微。 综上，在内收敛，但不一致收敛，而和函数在 内无穷次可微。 …………10分