杆件的内力及其求法
梁的内力图及其绘制
弯矩、剪力、荷载集度
间的关系
叠加法作剪力图和弯矩图
其它杆件的内力计算方法
小结
第一节
第二节
第三节
第四节
第五节
返回
第一节 杆件的内力及其求法
一、杆件的外力与变形特点
平面弯曲 — 荷载与反力均作用
在梁的纵向对称平面内，梁轴线也
在该平面内弯成一条曲线。
1.弯曲 — 梁（ 横向力 作用）
受力特点, 垂直杆轴方向作用外力，
或杆轴平面内作用外力偶；
变形特点, 杆轴由直变弯 。
单跨静定梁的基本形式：
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2,轴向拉伸与压缩 — 杆（ 纵向力 作用）
受力特点,外力与杆轴线方向重合；
变形特点,杆轴沿外力方向伸长或缩短。
3,扭转 — 轴（ 外力偶 作用）
受力特点,外力偶作用在垂直杆轴平面内；
变形特点,截面绕杆轴相对旋转。
4,组合变形 — 两种或两种以上基本变形的组合。
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二、梁的内力及其求法
1、剪力和弯矩的概念
图示简支梁在荷载及支座反
力共同作用下处于平衡状态。
求距支座 A为 x的横截面 m-m.
上的内力。用 截面法 求内力。
步骤, 1)截开
2)代替
内力 — 外力引起的受力构件内相邻部分之间相互作用力的改变量。
杆件横截面上的内力有,轴力，剪力，弯矩，扭矩 等。
剪力 Q—— 限制梁段上下移动的内力 ;
弯矩 M—— 限制梁段转动的内力偶。
单位,剪力 Q KN,N； 弯矩 M KN.m, N.m
3)平衡 ? ? 0Y 0?? QR A ARQ?
? ? 0oM 0?? xRM Ao xRM Ao ?
若取右半段梁为研究对象,可得,QQ ?' oo MM ?'
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1）剪力 Q：截面上的剪力 Q使
所取脱离体产生 顺时针 转动趋势
时（ 或者左上右下）为正,反之
为负。
2）弯矩 M：截面上的弯矩 M使
所取脱离体产生 下边凸出 的变形
时（或者 左顺右逆）为正,反之
为负。
为避免符号出错,要求：
未知 内力 均按 符号规定的 正向
假设 。
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2、剪力和弯矩的 符号规定
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例 3-1,悬臂梁如图所示。求 1-1截面和 2-2截
面上的剪力和弯矩。
解,1）求 1-1截面上的内力
? ?0Y qlPQ 211 ???
00 ??M
21 8121 qlPlM ???
021 1 ???? QqlP
04)21(2 1 ????? MlqllP
求得的 Q1, M1 均为负值,说明内力实际方
向与假设方向相反。 矩心 O 是 1-1截面的形心 。
2）求 2-2截面上的内力
? ?0Y qlPQ ???2
00 ??M 22 21 qlPlM ???
02 ???? QqlP
02)( ????? MlqllP
求得的 Q2, M2 均为负值,说明内力实际方向与假设
方向相反。 矩心 O1是 2-2截面的形心。
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例 3-2 外伸梁如图，试求 1-1,2-2截面上的剪力和弯矩。
解,1、求支座反力：由整体平衡
? ??????? 0638,0 21 AB YPPM kNY A 14?
0632,0 21 ???????? BA YPPM kNYB 9?
校核,反力无误。? ????????? 0203914
21 PPYYY BA
2、求 1-1截面上的内力：取左半段研究
0,0 11 ????? QPYY A kNPYQ A 1131411 ?????
? ?????? 013,0 11 MYPM Ao 矩心 o—1-1截面形心
3、求 2-2截面上的内力：取右半段研究
? ??? 0,0 2 BYQY kNYQ B 92 ????
? ???? 05.1,0 2' MYM Bo
mkNPYM A ?????? 531 11
mkNYM B ??? 5.135.12
若取左半段梁研究，则
? ????? 0',0 221 QPPYY A kNPPYQ A 920314' 212 ????????
? ???????? 0'5.15.65.4,0 221' MPPYM Ao
mkNPPYM A ???????? 5.135.15.65.4' 212
矩心 o’—2-2截面形心
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3,直接法 求梁的内力,（由外力直接求梁横截面上的内力）
（ 1）梁任一横截面上的 剪力 在 数值上等于该 截面一侧 （左侧或
右侧） 所有外力沿截面 方向 投影 的代数和 ；
?? iQPQ
符号规定：外力使截面产生 顺时针转
动趋势时（或左上右下）该截面 剪力为正,
否则为负；
（ 2）梁任一横截面上的 弯矩 在 数值上等于该 截面一侧 （左侧或
右侧） 所有外力对截面形心力矩 的代数和 ；
?? )( iQo PMM
符号规定：外力使梁段产生 上凹下凸
变形时（或左顺右逆）该截面 弯矩为正,
否则为负；
计算时可按 二看一定 的顺序进行：一看截面一侧有几个力，
二看各力使梁段产生的变形，最后确定该截面内力的数值。
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例 3-3,简支梁如图所示。试计算 1-1,2-2、
3-3,4-4 截面上的剪力和弯矩。
解, 1）求支座反力
0?? AM 0322 ?????? LVLPpL B
0M B ??
06P7P6PVPVY BA ??????????
61
PVQ A ????
)(
6
0
32
??
??????
PV
LVLPPL
A
A
2）计算截面内力
1-1截面：
)(67 ?? PV B
反力无误。校核
1831 PLLVM A ?????
2-2截面：
62
PVQ
A ???? 9423632 PLPLLpmLVM A ?????????
3-3截面：
63
PVQ
A ???? 1872326)33(3 PLPLLPmLLVM A ??????????
4-4截面,
6
7
4
PVQ
B ???? 18
73673
4
PLLPLVM
B ?????
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第二节 梁的内力图及其绘制
梁各截面的内力随截面位置而变化，其函数关系式
Qx=Q(x),Mx=M(x)
称作 剪力方程和弯矩方程 。
列 内力方程 即求任意截面的内力 。
qxPxQ ???)(
221)( qxPxxM ???
反映 剪力（弯矩）随截面位置变化
规律的曲线,称作 剪力（弯矩）图 。
二、剪力图和弯矩图的作法：
取平行梁轴的轴线表示截面位置, 规定
正值的剪力画轴上侧，正值的弯矩画轴下侧；
可先列内力方程再作其函数曲线图。
)0( lx ??
)0( lx ??
如悬臂梁：当 x=o,Q(x)=-P,M(x)=0;
x=l,Q(x)=-P-ql,M(x)=-Pl-ql2/2.
其剪力图和弯矩图如图示。
221qlPl??
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一、剪力图和弯矩图的概念
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例 3-4 作图示悬臂梁的内力图。
解,1.列内力方程,（先确定 x坐标，
再由直接法求 x截面的内力。）
)0(,)( lxPxQ ????
)0(,)( lxPxxM ????
2.作内力图,（先取坐标系确
定端点坐标，再按内力方程特征绘图。）
Q(x)等于常数，为水平线图形；由;)(,,)0(,0 PlQlxPQx ??????
作剪力图
M(x)等于 x的一次函数，为斜直线图形；由;)(,;0)0(,0 PllMlxMx ?????
作弯矩图
结论：当梁段上 没有荷载 q作用时,剪力图为水平线,
弯矩图为斜直线 。
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例 3-5 作图示简支梁的内力图。
解,1.列内力方程：先求支座反力
)0(,21)( lxqxqlqxVxQ A ??????
)0(),(2121)( 22 lxxlxqqxxVxM A ??????
利用对称性,
)(21 ??? qlVV BA
2.作内力图：
Q(x)为 x的一次函数,Q图为斜直线；;21)(,;21)0(,0 qllQlxqlQx ?????
作
M(x)为 x的二次函数,M图为抛物线；;81)2(,2;0)(,;0)0(,0 2qllMlxlMlxMx ??????
结论：当 梁段上有均布荷载 q作用时,Q图为斜直线,
M图为二次抛物线 。
作
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例 3-6 作图示简支梁的内力图。
解,1.列内力方程,求支座反力：
由整体平衡
),(?? lPbV A );(?? lPaV B
校核无误。
因 P作用，内力方程应分 AC和 CB两段建立。
AC段, )0(;)(,)( axxlPbxVxMlPbVxQ AA ??????
CB段, );()()(,)(
1111 xll
PaxlVxM
l
PaVxQ
BB ????????
)( 1 lxa ??
2.作内力图：
)0(;)(,)( 2222 bxxlPaxMlPaxQ ?????;0)0(,)0(,0 ??? MlPaQx;0)(,)(,??? aMlPbaQax;)(,)(),(,21 lP a baMlPbaQbxax ????
.0)(,)(),0(,21 ????? lMlPalQxlx
AC段：
CB段：
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结论,在集中力 P作用截面,Q图发生
突变,突变值等于该集中力 P的大小； M图
有尖角,尖角的指向与集中力 P相同。
内力函数的不连续是由于 将集中力的
作用范围简化为一个点 的结果。若考虑集
中力为微梁段上的均布荷载，则 C截面的
Q图和 M图应为斜直线和抛物线。
因此，当谈到集中力作用出的剪力时，
必须指明 是集中力的 左侧截面（ C左） 还是
集中力的 右侧截面（ C右 ）。
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例 3-7 作图示简支梁的内力图。
解,1.列内力方程：求支座反力
)(???? lmVV BA 校核无误。
AC段,)0(;)(,)( axx
l
mxM
l
mxQ ????
CB段,)();()(,)(
1111 lxaxll
mxM
l
mxQ ??????
)0(;)(,)( 2222 bxxlmxMlmxQ ?????
2,作内力图：;0)0(,)0(:0 ??? MlmQx;)(,)(,lmaaMlmaQax ???;)(,)(:1 lmbaMlmaQax ????
.0)(,)(:1 ??? lMlmlQlx
AC段：
CB段：
结论,在集中力偶作用截面,Q图不受影响； M图有突变,
突变值等于该集中力偶的力偶矩。（谈弯矩时,必须指明 集中力
偶作用截面的左侧或者右侧。） 返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结
第三节 弯矩、剪力、荷载集度间的关系
一,弯矩、剪力、荷载集度间的关系
由梁微段的平衡条件：
0)()]()([)(,0 ?????? dxxqxdQxQxQY
)),,,,,, (()( axqdx xdQ ??;02)()()()]()([
,0
??????
??
dxdxxqdxxQxMxdMxM
M O(Mo—矩心 O取在右侧截面的形心。 )
)),,,,,, (()( bxQdx xdM ??
将 (b)代入 (a)，
)),,,,,, (()(22 cxqdx xMd ??
(a),(b),(c)三式即 Q,M,q间的关系。
力学意义, 微分形式的平衡方程 ；
几何意义, 反映内力图的凹凸性 ；（一阶导数反映切线斜率；
二阶导数反映曲线凹凸性。）
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二,M,Q,q三者间关系在内力图绘制中的应用（内力图特征）
q=0梁段 q=c梁段 P作用截面 m 作用梁段
梁上外力
剪力图
弯矩图
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例 3-8,用简捷法绘出图示简支梁的内力图。
解, 1）计算支座反力 )(KN6V
A ?? )(18 ?? KNV B
0461864 ?????????? qVVY BA
KNqVQKNQ ABC 184664,6 ?????????
KNVQQ AcA 6???
,0?AM 0,24122 ??????
BAC MmKNVM
0)( ???? qxVxQ B mqVx B 3618 ???
mKNqVM B ??????? 2723330
mKNVM AC ???? 122
在 Q=0处，弯矩有极值,数值为：由
BC 段：
AB 段：
BC 段：
AB 段：
3）画内力图,（先求控制截面内力值，再按
内力图特征画图。） 剪力图
校核无误 。
2) 梁分段：为 AC,CB两段。
弯矩图
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4）确定内力最大值：,18|| m a x kNQ ? 在 B支座处。
,.27|| m a x mkNM ? 在距 B支座 3m处。
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三、简捷法绘梁内力图的步骤：
1,求支座反力 ；（ 注意校核！ 悬臂梁可省略 。）
2,将梁分段 ；（ 以梁上荷载变化处为界，包括, P,m作用
点,q的起止点，梁的支座和端点等。）
3,绘内力图 ；（先确定控制截面内力值，再按
绘图，最后用内力图特征检验。 控制截面即梁分界截面。注意 P、
m作用处应取两侧截面。）
4,确定内力最大值及其位置 。 (从图上直接找 。 )m a xm a x ||,|| MQ
简捷法绘梁内力图的关键是：正确确定控制截面内力值
（一般用直接法）；熟记内力图的特征。
确定控制截面内力值的方法有三种：
1） 截面法 ；（三个步骤，两套符号规定。）
2） 直接法 ；（由外力定内力符号看梁的变形。）
3） 积分法 。（微分关系逆运算的应用。）
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内力图特征
＊ 3）积分法求指定截面的内力：
假定梁段上 从左向右 依次有 A,B两个点,A点的 QA,MA已知,可由此计算 B
点的 QB,MB.。 A B
由
),()( xqdx xdQ ? ;)()( dxxqxdQ ?
,)()( ?? ? BABA dxxqxdQ ;)(???? BAAB dxxqQQ
A,B两点间分布荷载图形的面积同理，由
),()( xQdx xdM ? ;)(????
B
AAB dxxQMM
A,B两点间剪力图形的面积
如此，可利用积分法从梁左端向右端依次确定各控制截面内力值；按内力图的
特征逐段绘图。 这样需知 梁端点上的内力值,
梁端点
荷载
剪力值
弯矩值
铰支座无
集中荷载
支反力值
零
固定端无
集中荷载
支反力值
支反力偶
矩
自 由 端
无集中荷载
零
零
集中力 P
P力值
零
集中力偶 m
零
m力偶矩
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例 3-9 试用简捷法绘制图示外伸梁的内力图。
解,1、求支座反力：
)(7)32108288(121 ????????? kNY A
)(5)152104248(121 ????????? kNY B
02281 ???????? BA YYY 校核无误；
2、梁分段：为 AC,CD,DB,BE四段；
3、绘图,从左向右逐段作 Q图和 M图；
检验 Q最后与右端 P2值相等,结果无误；
M极值点的确定,（由三角形的相似比）;434),134( ??? xxx ;3)31 43( mx ?????
mkNM F,5.20112120 ?????
mkNM
mkNM
r
D
l
D
.61016
.1633215.20
???
?????
4、确定内力最大值, |Q|max=7kN 在 A端；
|M|max=20.5kN.m 在距 A端 5m处（在 F端）。 返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结
第四节 叠加法作剪力图和弯矩图
一、叠加原理,分析图示悬臂梁。
,,,qLRPRqLPR BqBPB ????;2,,2 22 qLMpLMqLPLM BqBpB ????;)(;)(,)( qxxQPxQqLpxQ qP ???????;2)(,)(,2)( 22 qxxMPxxMqxPxxM qP ???????;BqBPB RRR ??;BPBPB MMM ??
);()()( xQxQxQ qP ??
).()()( xMxMxM qP ??
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叠加原理,
由几个荷载所引起的反力，内力或其它参数（应力、位移）
等于 各个荷载单独引起的 该参数值相叠加。
二,叠加法作剪力图和弯矩图
步骤：
1）先把作用在梁上的复杂 荷载分解 为几组简单荷载单独作用
情况；
2） 分别作 出各简单荷载单独作用下梁的剪力图和弯矩图。
（各图已知或容易画出，可查表 5— 1）
3） 叠加 各内力图上对应的 纵坐标 代数值，得原梁的内力图。
叠加原理适用条件,参数与荷载成线性关系。 即各种荷载
对结构产生的效应（即各参数）彼此独立。
对静定结构，小变形假设可保证这一点。
注意, 叠加不是图形的拼合，而是将同一截面上的内力值代
数相加；是各简单荷载下的内力图在对应点的 纵坐标相加 。
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例 3— 10 用叠加法作图所示外伸梁的 M 图。
解, 1）先分解荷载为 P1,P2单独作用情况；
2）分别作出各荷载单独作用下梁的弯矩图； [如图 a]
3）叠加各控制截面各弯矩图上的纵坐标得梁的弯矩图。 [如图 d]
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三、区段叠加法作梁弯矩图 (适用于复杂荷载作用下结构的弯矩图。 )
梁中取出的任意梁段都可看作
是 简支梁,用叠加法作简支梁的弯
矩图即梁段的弯矩图。
梁段中的极值的求法：
1.列剪力方程；
2.令剪力方程为零，确定 X坐标；
3.将 X截面各 M图的纵坐标叠加。;2
BD
CDBCBC
L
LPLMM ??
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因为 M极值未必是最大值，且
一般极值与跨中截面的弯矩值较接
近，故结构内力计算时多 求梁段中
点弯矩,而不求极值，以简化计算。
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第五节 其它杆件的内力分析
? 一、拉压杆 (沿轴线 纵向力 作用）
? 内力,轴力 N，
? 轴力的符号规定,拉为正，压为负 。;?? iNPN
二、扭转圆轴 （ 横截面内力偶 作用）
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1、扭矩, 用 截面法 求内力。
轴力图的规定,正 值的轴力图画在轴 上 侧,负 值在轴 下 侧。
1）截开； 2）代替； 3）平衡。
扭矩 — 限制轴段转动的内力偶。
扭矩单位,;,mkNmN ??
? ????,,0,0 knknx MMMMM
扭矩的符号规定：按 右手螺旋法则,
顺 时针为正,逆 时针为 负 。
二、功率、转速与扭矩之间的关系
作用在传动轮上的 外力偶矩 通常需 由轴的功率和转速换算 。
设皮带轮处的 力偶矩为 MK (单位,N·m)
轴转动 一分钟时力偶矩 MK所作的 功 为,
则皮带 轮每分钟 所作的功为,
机器的 功率为 T(单位：千瓦； 1KW
当于每秒钟作 1000N·m的功）； 或功率为
N(单位：马力； 1PS=735.5 N·m/s);
轴每分钟 转速为 n(单位,r/min)；
)(m i n )/( )(9 5 5 0.26 0 0 0 0 mNrn KWTn TM K ???? ?
)(60 0 00' mNTW ??
KMnW ??,2?
或：
)(m i n )/( )(7 0 2 07 0 2 4 mNrn PSNnNM K ???
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,'WW ??
例 3-11、试作图示机器传动轴的扭矩图。已知轴的转速,主
动轮 1 的功率,三个从动轮 2,3,4的功率 分别为
。
,'WW ??
PSN 5001 ? ;1502 PSN ?
PSNPSN 200;150 43 ??
解,（ 1） 求外力偶矩：
（ 2）计算扭矩,根据平衡条件：
? ?与轴转向一致mKNm,70.1130050002.71 ??
mKNmm,51.33 001 5002.732 ???
mKNm,406830020002.74 ??
021 ?? mM n mKNmM n,51.321 ????0322 ??? mmn
? ?0xM
mKNmmM n,02.7322 ?????
043 ?? mM n mKNmM n,68.443 ??
mKNM n,02.7m a x ?
（ 3）确定最大值,
在 31轴段。
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3,组合变形杆件的内力,（将外力向沿杆轴和垂直杆轴的
对称轴方向分解，再由平衡条件确定内力。）
（ 1）斜弯曲
（双向平面弯曲）：
两分力 Py,Pz分
别引起沿 铅垂面 和
水平面 的平面弯曲。
略去剪力作用，则 x
截面的弯矩方程为,.s i ns i n)( ?? MxPxPxM
zy ???????;c o sc o s)( ?? MxPxPxM yz ???????
例 3-12 作图示悬臂梁的弯矩图。,2,/5 kNPmkNq ??;10252121 22m a x mkNqlM z ?????????
.422m a x mkNPlM y ?????
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（ 2）拉伸（压缩）与弯曲的组合：
两分力 Px,Py产生沿轴线方向的 拉伸
（压缩）和 铅垂面 内的平面弯曲变形。
X截面的内力方程为：;s in)( ?PPxN x ??,co s)( xPxPxM yz ????? ?例 3-13 简易吊车如图，作横梁内力图。
解,1）作横梁内力图，求拉杆作用力：
2）求内力：;8.1285.2 5.15.2 kNY B ????;408.128.0 5.2 kNX B ???;12 kNXN Bx ????
.125.15.2 5.15.28.12 mkNM B ??? ???
3）作内力图：
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（ 3）偏心压缩（拉伸）：
偏心力 P平移后所得力 P和附加力
偶 M使杆件产生 轴向压缩 （拉伸）和
纯弯曲 的组合变形。;
yz PeM
PN
?
??
.zy PeM ??
例 3-14 厂房牛腿柱如图，已知横梁传来轴向力 P1=100kN,吊
车梁传来偏心力 P2=30kN,偏心距 e=0.2m。求作其内力图。
解：;130
)30100(
)( 21
kN
PPN
??
???
???
.62.0302 mkNePM ?????
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4）弯曲与扭转的组合：
皮带轮紧边受力 T大于松边 t,向轴线
平移所得 P和附加力偶 Mk使轴产生
铅垂面弯曲 和 扭转 的组合变形。;)()( xTtPxxM ?????;2)( DtTM k ???
例 3-15 卷扬机工作时受摇把上推力 P
和吊装勿重量 Q共同作用。设横轴匀
速转动，不考虑轴承摩擦，试作其内
力图。
解,铅垂面内重力 Q使轴产生弯曲变
形，跨中截面最大 弯矩 为 QL/4; 力 P,Q均
未通过轴线，分别产生力偶矩 MxA=Pa和
MxB=QL,AC轴段 扭矩 Mx=Pa=QL;分别作
弯矩图和扭矩图 。
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小 结
? 一、内力,1、
? 2、分类、性质、单位和符号规定：
? 1） 2） 3）
? 3、计算方法：
? 1） 2） 3）
?
? 二、梁的内力图,1、
2、绘图方法：
1） 2） 3）
三、其它杆件的内力图：
1,2,3、
概念
弯矩和剪力 轴力 扭矩
截面法 直接法 积分法
概念
列方程法 简捷法 叠加法
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轴力图； 扭矩图； 组合变形
一、内力,1、概念：
内力 — 外力引起的受力构件内相邻部分之间相互作用力的改变量。
2、分类：
1）剪力和弯矩,— 横向力 引起的内力。
剪力 Q—— 限制梁段上下移动的内力 ;
弯矩 M—— 限制梁段转动的内力偶。
单位,剪力 Q KN,N； 弯矩 M KN.m, N.m
Q,M符号规定：
2）轴力,— 沿轴线纵向力 引起的内力。
轴力 — 限制杆段轴向位移的内力。
单位,KN,N;
符号规定,拉为正，压为负 。
3）扭矩,— 横截面内力偶 引起的内力 。
扭矩 — 限制轴段转动的内力偶 。
单位：
扭矩符号规定：按 右手螺旋法则,
顺时针为正，逆时针为负。;,mkNmN ??
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3、计算方法：
1）截面法；步骤：（ 1）截开；（ 2）代替；（ 3）平衡。
2） 3）直接法,积分法：
二、梁的内力图：
1、概念,反映 剪力（弯矩）随截面位置变化规律的曲
线,称作 剪力（弯矩）图 。
画图规定, 取平行梁轴的轴线表示截面位置，按比
例确定控制截面内力值；规定 正 值的 剪力画轴上侧, 正
值的 弯矩画轴下侧 ；
2、绘图方法：
1）列方程法,先列内力方程，再由方程作曲线图。
2） 3）简捷法,叠加法：
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一、其它杆件的内力图：
1、轴力图：
1）直接法求轴力：
2）轴力图规定,取平行杆轴的轴线表示截面位置，按比
例画图； 正 值的 轴力画在轴上侧, 负 值 轴力在轴下侧 。
2、扭矩图：
1）直接法求扭矩：
2）扭矩图规定,取平行杆轴的轴线表示截面位置，按比
例画图； 正 值的 扭矩画在轴上侧, 负 值 扭矩在轴下侧 。
3、组合变形杆件的内力图：
先将 外力 向杆轴线和截面对称轴方向 分解,然后按各分
力引起的 内力分别作图 。
?? ;iNPN;)(?? ixk PmM
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梁的内力图及其绘制
弯矩、剪力、荷载集度
间的关系
叠加法作剪力图和弯矩图
其它杆件的内力计算方法
小结
第一节
第二节
第三节
第四节
第五节
返回
第一节 杆件的内力及其求法
一、杆件的外力与变形特点
平面弯曲 — 荷载与反力均作用
在梁的纵向对称平面内，梁轴线也
在该平面内弯成一条曲线。
1.弯曲 — 梁（ 横向力 作用）
受力特点, 垂直杆轴方向作用外力，
或杆轴平面内作用外力偶；
变形特点, 杆轴由直变弯 。
单跨静定梁的基本形式：
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2,轴向拉伸与压缩 — 杆（ 纵向力 作用）
受力特点,外力与杆轴线方向重合；
变形特点,杆轴沿外力方向伸长或缩短。
3,扭转 — 轴（ 外力偶 作用）
受力特点,外力偶作用在垂直杆轴平面内；
变形特点,截面绕杆轴相对旋转。
4,组合变形 — 两种或两种以上基本变形的组合。
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二、梁的内力及其求法
1、剪力和弯矩的概念
图示简支梁在荷载及支座反
力共同作用下处于平衡状态。
求距支座 A为 x的横截面 m-m.
上的内力。用 截面法 求内力。
步骤, 1)截开
2)代替
内力 — 外力引起的受力构件内相邻部分之间相互作用力的改变量。
杆件横截面上的内力有,轴力，剪力，弯矩，扭矩 等。
剪力 Q—— 限制梁段上下移动的内力 ;
弯矩 M—— 限制梁段转动的内力偶。
单位,剪力 Q KN,N； 弯矩 M KN.m, N.m
3)平衡 ? ? 0Y 0?? QR A ARQ?
? ? 0oM 0?? xRM Ao xRM Ao ?
若取右半段梁为研究对象,可得,QQ ?' oo MM ?'
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1）剪力 Q：截面上的剪力 Q使
所取脱离体产生 顺时针 转动趋势
时（ 或者左上右下）为正,反之
为负。
2）弯矩 M：截面上的弯矩 M使
所取脱离体产生 下边凸出 的变形
时（或者 左顺右逆）为正,反之
为负。
为避免符号出错,要求：
未知 内力 均按 符号规定的 正向
假设 。
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2、剪力和弯矩的 符号规定
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例 3-1,悬臂梁如图所示。求 1-1截面和 2-2截
面上的剪力和弯矩。
解,1）求 1-1截面上的内力
? ?0Y qlPQ 211 ???
00 ??M
21 8121 qlPlM ???
021 1 ???? QqlP
04)21(2 1 ????? MlqllP
求得的 Q1, M1 均为负值,说明内力实际方
向与假设方向相反。 矩心 O 是 1-1截面的形心 。
2）求 2-2截面上的内力
? ?0Y qlPQ ???2
00 ??M 22 21 qlPlM ???
02 ???? QqlP
02)( ????? MlqllP
求得的 Q2, M2 均为负值,说明内力实际方向与假设
方向相反。 矩心 O1是 2-2截面的形心。
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例 3-2 外伸梁如图，试求 1-1,2-2截面上的剪力和弯矩。
解,1、求支座反力：由整体平衡
? ??????? 0638,0 21 AB YPPM kNY A 14?
0632,0 21 ???????? BA YPPM kNYB 9?
校核,反力无误。? ????????? 0203914
21 PPYYY BA
2、求 1-1截面上的内力：取左半段研究
0,0 11 ????? QPYY A kNPYQ A 1131411 ?????
? ?????? 013,0 11 MYPM Ao 矩心 o—1-1截面形心
3、求 2-2截面上的内力：取右半段研究
? ??? 0,0 2 BYQY kNYQ B 92 ????
? ???? 05.1,0 2' MYM Bo
mkNPYM A ?????? 531 11
mkNYM B ??? 5.135.12
若取左半段梁研究，则
? ????? 0',0 221 QPPYY A kNPPYQ A 920314' 212 ????????
? ???????? 0'5.15.65.4,0 221' MPPYM Ao
mkNPPYM A ???????? 5.135.15.65.4' 212
矩心 o’—2-2截面形心
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3,直接法 求梁的内力,（由外力直接求梁横截面上的内力）
（ 1）梁任一横截面上的 剪力 在 数值上等于该 截面一侧 （左侧或
右侧） 所有外力沿截面 方向 投影 的代数和 ；
?? iQPQ
符号规定：外力使截面产生 顺时针转
动趋势时（或左上右下）该截面 剪力为正,
否则为负；
（ 2）梁任一横截面上的 弯矩 在 数值上等于该 截面一侧 （左侧或
右侧） 所有外力对截面形心力矩 的代数和 ；
?? )( iQo PMM
符号规定：外力使梁段产生 上凹下凸
变形时（或左顺右逆）该截面 弯矩为正,
否则为负；
计算时可按 二看一定 的顺序进行：一看截面一侧有几个力，
二看各力使梁段产生的变形，最后确定该截面内力的数值。
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例 3-3,简支梁如图所示。试计算 1-1,2-2、
3-3,4-4 截面上的剪力和弯矩。
解, 1）求支座反力
0?? AM 0322 ?????? LVLPpL B
0M B ??
06P7P6PVPVY BA ??????????
61
PVQ A ????
)(
6
0
32
??
??????
PV
LVLPPL
A
A
2）计算截面内力
1-1截面：
)(67 ?? PV B
反力无误。校核
1831 PLLVM A ?????
2-2截面：
62
PVQ
A ???? 9423632 PLPLLpmLVM A ?????????
3-3截面：
63
PVQ
A ???? 1872326)33(3 PLPLLPmLLVM A ??????????
4-4截面,
6
7
4
PVQ
B ???? 18
73673
4
PLLPLVM
B ?????
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第二节 梁的内力图及其绘制
梁各截面的内力随截面位置而变化，其函数关系式
Qx=Q(x),Mx=M(x)
称作 剪力方程和弯矩方程 。
列 内力方程 即求任意截面的内力 。
qxPxQ ???)(
221)( qxPxxM ???
反映 剪力（弯矩）随截面位置变化
规律的曲线,称作 剪力（弯矩）图 。
二、剪力图和弯矩图的作法：
取平行梁轴的轴线表示截面位置, 规定
正值的剪力画轴上侧，正值的弯矩画轴下侧；
可先列内力方程再作其函数曲线图。
)0( lx ??
)0( lx ??
如悬臂梁：当 x=o,Q(x)=-P,M(x)=0;
x=l,Q(x)=-P-ql,M(x)=-Pl-ql2/2.
其剪力图和弯矩图如图示。
221qlPl??
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一、剪力图和弯矩图的概念
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例 3-4 作图示悬臂梁的内力图。
解,1.列内力方程,（先确定 x坐标，
再由直接法求 x截面的内力。）
)0(,)( lxPxQ ????
)0(,)( lxPxxM ????
2.作内力图,（先取坐标系确
定端点坐标，再按内力方程特征绘图。）
Q(x)等于常数，为水平线图形；由;)(,,)0(,0 PlQlxPQx ??????
作剪力图
M(x)等于 x的一次函数，为斜直线图形；由;)(,;0)0(,0 PllMlxMx ?????
作弯矩图
结论：当梁段上 没有荷载 q作用时,剪力图为水平线,
弯矩图为斜直线 。
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例 3-5 作图示简支梁的内力图。
解,1.列内力方程：先求支座反力
)0(,21)( lxqxqlqxVxQ A ??????
)0(),(2121)( 22 lxxlxqqxxVxM A ??????
利用对称性,
)(21 ??? qlVV BA
2.作内力图：
Q(x)为 x的一次函数,Q图为斜直线；;21)(,;21)0(,0 qllQlxqlQx ?????
作
M(x)为 x的二次函数,M图为抛物线；;81)2(,2;0)(,;0)0(,0 2qllMlxlMlxMx ??????
结论：当 梁段上有均布荷载 q作用时,Q图为斜直线,
M图为二次抛物线 。
作
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例 3-6 作图示简支梁的内力图。
解,1.列内力方程,求支座反力：
由整体平衡
),(?? lPbV A );(?? lPaV B
校核无误。
因 P作用，内力方程应分 AC和 CB两段建立。
AC段, )0(;)(,)( axxlPbxVxMlPbVxQ AA ??????
CB段, );()()(,)(
1111 xll
PaxlVxM
l
PaVxQ
BB ????????
)( 1 lxa ??
2.作内力图：
)0(;)(,)( 2222 bxxlPaxMlPaxQ ?????;0)0(,)0(,0 ??? MlPaQx;0)(,)(,??? aMlPbaQax;)(,)(),(,21 lP a baMlPbaQbxax ????
.0)(,)(),0(,21 ????? lMlPalQxlx
AC段：
CB段：
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结论,在集中力 P作用截面,Q图发生
突变,突变值等于该集中力 P的大小； M图
有尖角,尖角的指向与集中力 P相同。
内力函数的不连续是由于 将集中力的
作用范围简化为一个点 的结果。若考虑集
中力为微梁段上的均布荷载，则 C截面的
Q图和 M图应为斜直线和抛物线。
因此，当谈到集中力作用出的剪力时，
必须指明 是集中力的 左侧截面（ C左） 还是
集中力的 右侧截面（ C右 ）。
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例 3-7 作图示简支梁的内力图。
解,1.列内力方程：求支座反力
)(???? lmVV BA 校核无误。
AC段,)0(;)(,)( axx
l
mxM
l
mxQ ????
CB段,)();()(,)(
1111 lxaxll
mxM
l
mxQ ??????
)0(;)(,)( 2222 bxxlmxMlmxQ ?????
2,作内力图：;0)0(,)0(:0 ??? MlmQx;)(,)(,lmaaMlmaQax ???;)(,)(:1 lmbaMlmaQax ????
.0)(,)(:1 ??? lMlmlQlx
AC段：
CB段：
结论,在集中力偶作用截面,Q图不受影响； M图有突变,
突变值等于该集中力偶的力偶矩。（谈弯矩时,必须指明 集中力
偶作用截面的左侧或者右侧。） 返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结
第三节 弯矩、剪力、荷载集度间的关系
一,弯矩、剪力、荷载集度间的关系
由梁微段的平衡条件：
0)()]()([)(,0 ?????? dxxqxdQxQxQY
)),,,,,, (()( axqdx xdQ ??;02)()()()]()([
,0
??????
??
dxdxxqdxxQxMxdMxM
M O(Mo—矩心 O取在右侧截面的形心。 )
)),,,,,, (()( bxQdx xdM ??
将 (b)代入 (a)，
)),,,,,, (()(22 cxqdx xMd ??
(a),(b),(c)三式即 Q,M,q间的关系。
力学意义, 微分形式的平衡方程 ；
几何意义, 反映内力图的凹凸性 ；（一阶导数反映切线斜率；
二阶导数反映曲线凹凸性。）
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二,M,Q,q三者间关系在内力图绘制中的应用（内力图特征）
q=0梁段 q=c梁段 P作用截面 m 作用梁段
梁上外力
剪力图
弯矩图
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例 3-8,用简捷法绘出图示简支梁的内力图。
解, 1）计算支座反力 )(KN6V
A ?? )(18 ?? KNV B
0461864 ?????????? qVVY BA
KNqVQKNQ ABC 184664,6 ?????????
KNVQQ AcA 6???
,0?AM 0,24122 ??????
BAC MmKNVM
0)( ???? qxVxQ B mqVx B 3618 ???
mKNqVM B ??????? 2723330
mKNVM AC ???? 122
在 Q=0处，弯矩有极值,数值为：由
BC 段：
AB 段：
BC 段：
AB 段：
3）画内力图,（先求控制截面内力值，再按
内力图特征画图。） 剪力图
校核无误 。
2) 梁分段：为 AC,CB两段。
弯矩图
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4）确定内力最大值：,18|| m a x kNQ ? 在 B支座处。
,.27|| m a x mkNM ? 在距 B支座 3m处。
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三、简捷法绘梁内力图的步骤：
1,求支座反力 ；（ 注意校核！ 悬臂梁可省略 。）
2,将梁分段 ；（ 以梁上荷载变化处为界，包括, P,m作用
点,q的起止点，梁的支座和端点等。）
3,绘内力图 ；（先确定控制截面内力值，再按
绘图，最后用内力图特征检验。 控制截面即梁分界截面。注意 P、
m作用处应取两侧截面。）
4,确定内力最大值及其位置 。 (从图上直接找 。 )m a xm a x ||,|| MQ
简捷法绘梁内力图的关键是：正确确定控制截面内力值
（一般用直接法）；熟记内力图的特征。
确定控制截面内力值的方法有三种：
1） 截面法 ；（三个步骤，两套符号规定。）
2） 直接法 ；（由外力定内力符号看梁的变形。）
3） 积分法 。（微分关系逆运算的应用。）
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内力图特征
＊ 3）积分法求指定截面的内力：
假定梁段上 从左向右 依次有 A,B两个点,A点的 QA,MA已知,可由此计算 B
点的 QB,MB.。 A B
由
),()( xqdx xdQ ? ;)()( dxxqxdQ ?
,)()( ?? ? BABA dxxqxdQ ;)(???? BAAB dxxqQQ
A,B两点间分布荷载图形的面积同理，由
),()( xQdx xdM ? ;)(????
B
AAB dxxQMM
A,B两点间剪力图形的面积
如此，可利用积分法从梁左端向右端依次确定各控制截面内力值；按内力图的
特征逐段绘图。 这样需知 梁端点上的内力值,
梁端点
荷载
剪力值
弯矩值
铰支座无
集中荷载
支反力值
零
固定端无
集中荷载
支反力值
支反力偶
矩
自 由 端
无集中荷载
零
零
集中力 P
P力值
零
集中力偶 m
零
m力偶矩
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例 3-9 试用简捷法绘制图示外伸梁的内力图。
解,1、求支座反力：
)(7)32108288(121 ????????? kNY A
)(5)152104248(121 ????????? kNY B
02281 ???????? BA YYY 校核无误；
2、梁分段：为 AC,CD,DB,BE四段；
3、绘图,从左向右逐段作 Q图和 M图；
检验 Q最后与右端 P2值相等,结果无误；
M极值点的确定,（由三角形的相似比）;434),134( ??? xxx ;3)31 43( mx ?????
mkNM F,5.20112120 ?????
mkNM
mkNM
r
D
l
D
.61016
.1633215.20
???
?????
4、确定内力最大值, |Q|max=7kN 在 A端；
|M|max=20.5kN.m 在距 A端 5m处（在 F端）。 返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结
第四节 叠加法作剪力图和弯矩图
一、叠加原理,分析图示悬臂梁。
,,,qLRPRqLPR BqBPB ????;2,,2 22 qLMpLMqLPLM BqBpB ????;)(;)(,)( qxxQPxQqLpxQ qP ???????;2)(,)(,2)( 22 qxxMPxxMqxPxxM qP ???????;BqBPB RRR ??;BPBPB MMM ??
);()()( xQxQxQ qP ??
).()()( xMxMxM qP ??
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叠加原理,
由几个荷载所引起的反力，内力或其它参数（应力、位移）
等于 各个荷载单独引起的 该参数值相叠加。
二,叠加法作剪力图和弯矩图
步骤：
1）先把作用在梁上的复杂 荷载分解 为几组简单荷载单独作用
情况；
2） 分别作 出各简单荷载单独作用下梁的剪力图和弯矩图。
（各图已知或容易画出，可查表 5— 1）
3） 叠加 各内力图上对应的 纵坐标 代数值，得原梁的内力图。
叠加原理适用条件,参数与荷载成线性关系。 即各种荷载
对结构产生的效应（即各参数）彼此独立。
对静定结构，小变形假设可保证这一点。
注意, 叠加不是图形的拼合，而是将同一截面上的内力值代
数相加；是各简单荷载下的内力图在对应点的 纵坐标相加 。
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例 3— 10 用叠加法作图所示外伸梁的 M 图。
解, 1）先分解荷载为 P1,P2单独作用情况；
2）分别作出各荷载单独作用下梁的弯矩图； [如图 a]
3）叠加各控制截面各弯矩图上的纵坐标得梁的弯矩图。 [如图 d]
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三、区段叠加法作梁弯矩图 (适用于复杂荷载作用下结构的弯矩图。 )
梁中取出的任意梁段都可看作
是 简支梁,用叠加法作简支梁的弯
矩图即梁段的弯矩图。
梁段中的极值的求法：
1.列剪力方程；
2.令剪力方程为零，确定 X坐标；
3.将 X截面各 M图的纵坐标叠加。;2
BD
CDBCBC
L
LPLMM ??
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因为 M极值未必是最大值，且
一般极值与跨中截面的弯矩值较接
近，故结构内力计算时多 求梁段中
点弯矩,而不求极值，以简化计算。
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第五节 其它杆件的内力分析
? 一、拉压杆 (沿轴线 纵向力 作用）
? 内力,轴力 N，
? 轴力的符号规定,拉为正，压为负 。;?? iNPN
二、扭转圆轴 （ 横截面内力偶 作用）
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1、扭矩, 用 截面法 求内力。
轴力图的规定,正 值的轴力图画在轴 上 侧,负 值在轴 下 侧。
1）截开； 2）代替； 3）平衡。
扭矩 — 限制轴段转动的内力偶。
扭矩单位,;,mkNmN ??
? ????,,0,0 knknx MMMMM
扭矩的符号规定：按 右手螺旋法则,
顺 时针为正,逆 时针为 负 。
二、功率、转速与扭矩之间的关系
作用在传动轮上的 外力偶矩 通常需 由轴的功率和转速换算 。
设皮带轮处的 力偶矩为 MK (单位,N·m)
轴转动 一分钟时力偶矩 MK所作的 功 为,
则皮带 轮每分钟 所作的功为,
机器的 功率为 T(单位：千瓦； 1KW
当于每秒钟作 1000N·m的功）； 或功率为
N(单位：马力； 1PS=735.5 N·m/s);
轴每分钟 转速为 n(单位,r/min)；
)(m i n )/( )(9 5 5 0.26 0 0 0 0 mNrn KWTn TM K ???? ?
)(60 0 00' mNTW ??
KMnW ??,2?
或：
)(m i n )/( )(7 0 2 07 0 2 4 mNrn PSNnNM K ???
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,'WW ??
例 3-11、试作图示机器传动轴的扭矩图。已知轴的转速,主
动轮 1 的功率,三个从动轮 2,3,4的功率 分别为
。
,'WW ??
PSN 5001 ? ;1502 PSN ?
PSNPSN 200;150 43 ??
解,（ 1） 求外力偶矩：
（ 2）计算扭矩,根据平衡条件：
? ?与轴转向一致mKNm,70.1130050002.71 ??
mKNmm,51.33 001 5002.732 ???
mKNm,406830020002.74 ??
021 ?? mM n mKNmM n,51.321 ????0322 ??? mmn
? ?0xM
mKNmmM n,02.7322 ?????
043 ?? mM n mKNmM n,68.443 ??
mKNM n,02.7m a x ?
（ 3）确定最大值,
在 31轴段。
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3,组合变形杆件的内力,（将外力向沿杆轴和垂直杆轴的
对称轴方向分解，再由平衡条件确定内力。）
（ 1）斜弯曲
（双向平面弯曲）：
两分力 Py,Pz分
别引起沿 铅垂面 和
水平面 的平面弯曲。
略去剪力作用，则 x
截面的弯矩方程为,.s i ns i n)( ?? MxPxPxM
zy ???????;c o sc o s)( ?? MxPxPxM yz ???????
例 3-12 作图示悬臂梁的弯矩图。,2,/5 kNPmkNq ??;10252121 22m a x mkNqlM z ?????????
.422m a x mkNPlM y ?????
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（ 2）拉伸（压缩）与弯曲的组合：
两分力 Px,Py产生沿轴线方向的 拉伸
（压缩）和 铅垂面 内的平面弯曲变形。
X截面的内力方程为：;s in)( ?PPxN x ??,co s)( xPxPxM yz ????? ?例 3-13 简易吊车如图，作横梁内力图。
解,1）作横梁内力图，求拉杆作用力：
2）求内力：;8.1285.2 5.15.2 kNY B ????;408.128.0 5.2 kNX B ???;12 kNXN Bx ????
.125.15.2 5.15.28.12 mkNM B ??? ???
3）作内力图：
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（ 3）偏心压缩（拉伸）：
偏心力 P平移后所得力 P和附加力
偶 M使杆件产生 轴向压缩 （拉伸）和
纯弯曲 的组合变形。;
yz PeM
PN
?
??
.zy PeM ??
例 3-14 厂房牛腿柱如图，已知横梁传来轴向力 P1=100kN,吊
车梁传来偏心力 P2=30kN,偏心距 e=0.2m。求作其内力图。
解：;130
)30100(
)( 21
kN
PPN
??
???
???
.62.0302 mkNePM ?????
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4）弯曲与扭转的组合：
皮带轮紧边受力 T大于松边 t,向轴线
平移所得 P和附加力偶 Mk使轴产生
铅垂面弯曲 和 扭转 的组合变形。;)()( xTtPxxM ?????;2)( DtTM k ???
例 3-15 卷扬机工作时受摇把上推力 P
和吊装勿重量 Q共同作用。设横轴匀
速转动，不考虑轴承摩擦，试作其内
力图。
解,铅垂面内重力 Q使轴产生弯曲变
形，跨中截面最大 弯矩 为 QL/4; 力 P,Q均
未通过轴线，分别产生力偶矩 MxA=Pa和
MxB=QL,AC轴段 扭矩 Mx=Pa=QL;分别作
弯矩图和扭矩图 。
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小 结
? 一、内力,1、
? 2、分类、性质、单位和符号规定：
? 1） 2） 3）
? 3、计算方法：
? 1） 2） 3）
?
? 二、梁的内力图,1、
2、绘图方法：
1） 2） 3）
三、其它杆件的内力图：
1,2,3、
概念
弯矩和剪力 轴力 扭矩
截面法 直接法 积分法
概念
列方程法 简捷法 叠加法
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轴力图； 扭矩图； 组合变形
一、内力,1、概念：
内力 — 外力引起的受力构件内相邻部分之间相互作用力的改变量。
2、分类：
1）剪力和弯矩,— 横向力 引起的内力。
剪力 Q—— 限制梁段上下移动的内力 ;
弯矩 M—— 限制梁段转动的内力偶。
单位,剪力 Q KN,N； 弯矩 M KN.m, N.m
Q,M符号规定：
2）轴力,— 沿轴线纵向力 引起的内力。
轴力 — 限制杆段轴向位移的内力。
单位,KN,N;
符号规定,拉为正，压为负 。
3）扭矩,— 横截面内力偶 引起的内力 。
扭矩 — 限制轴段转动的内力偶 。
单位：
扭矩符号规定：按 右手螺旋法则,
顺时针为正，逆时针为负。;,mkNmN ??
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3、计算方法：
1）截面法；步骤：（ 1）截开；（ 2）代替；（ 3）平衡。
2） 3）直接法,积分法：
二、梁的内力图：
1、概念,反映 剪力（弯矩）随截面位置变化规律的曲
线,称作 剪力（弯矩）图 。
画图规定, 取平行梁轴的轴线表示截面位置，按比
例确定控制截面内力值；规定 正 值的 剪力画轴上侧, 正
值的 弯矩画轴下侧 ；
2、绘图方法：
1）列方程法,先列内力方程，再由方程作曲线图。
2） 3）简捷法,叠加法：
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一、其它杆件的内力图：
1、轴力图：
1）直接法求轴力：
2）轴力图规定,取平行杆轴的轴线表示截面位置，按比
例画图； 正 值的 轴力画在轴上侧, 负 值 轴力在轴下侧 。
2、扭矩图：
1）直接法求扭矩：
2）扭矩图规定,取平行杆轴的轴线表示截面位置，按比
例画图； 正 值的 扭矩画在轴上侧, 负 值 扭矩在轴下侧 。
3、组合变形杆件的内力图：
先将 外力 向杆轴线和截面对称轴方向 分解,然后按各分
力引起的 内力分别作图 。
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