第一节 概述
第二节 斜弯曲
第三节 拉伸（压缩）与弯曲
的组合作用
第四节 偏心压缩（拉伸） 截面核心
返 回
第十章 杆件在组合变形时的强度计算
小 结
第五节 杆在弯曲与扭转共同作用下的
强度计算
四种基本变形计算：
变形 轴向拉伸 (压缩 ) 剪切 扭转 平面弯曲
外力 轴向力 横向力 外力偶 横向力或外力偶
内力 轴力 (Ｎ ) 剪力 (Q) 扭矩 (Ｍ ｎ ) 剪力 (Q) 弯矩 (M)
符号 拉为正 ＋ 右手螺旋法则 ＋ +
应力 正应力 剪应力 剪应力 剪应力 正应力? ? ? ? ?
计算
公式 AN?? AQ??
p
x
I
M ?? ??
bI
QS
z
*
??
z
z
I
yM??
强度
条件 ][m a xm a x ?? ?? AN ][m a xm a x ?? ?? AQ ][m a xm a x ?? ?? AQk][m a xm a x ?? ??
p
x
W
M ][m a xm a x ?? ??
z
z
W
M
分布规律 均匀分布 均匀分布 线性分布 抛物线分布 线性分布
变形 绝对伸长 挤压变形 扭转角 转角 挠度
刚度
条件
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][ LEANLL ???? ][ c
c
c
c A
F ?? ?? ][?? ??
GA
LM x
z
n
EI
Ly
?
??
系数
荷载
?
第一节 概述
小结返回 上一张下一张
一、概念：
1,组合变形：受力构件产生的变形是由两种或两种以上的
基本变形组合而成的。
2,组合变形实例,
二、计算方法,
组合变形若忽略变形过程中各基本变形间的互相影
响，则可依据叠加原理计算。
3,常见组合变形的类型,
（ 1） 斜弯曲
（ 2） 拉伸（压缩）与弯曲组合
（ 3） 偏心拉伸（压缩）
（ 4） 弯扭组合
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1,叠加原理,弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独
作用所产生的应力、变形等互不影响，可叠加计算。
2,计算方法：, 先分解，后叠加 。”
先分解 -------应先分解为各种基本变形，分别计算各基本
变形。
后叠加 -------将基本变形计算某量的结果叠加即得组合变
形的结果。
第二节 斜弯曲
受力特点,外力垂直杆轴且通过形心但未作用在纵向对称面内；
变形特点,杆轴弯曲平面与外力作用平面不重合。
斜弯曲也称为双向平面弯曲。
一、强度计算：
外力分解,?co sPP y ?
?s inPP z ?内力计算：;zzz I yM??? ;
y
y
y I zM???
z
z
y
y
I
yM
I
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??
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MxPxPM
MxPxPM
zy
yz
??????
??????
应力计算：;0)s i nco s( ????? zIyIM zzyz ?????由中性轴方程：
。时得,???? ?????,; yzyz IItgIIzytg
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? 二、挠度计算：
? 梁在斜弯曲情况下的挠度，也用叠加原理求得。
? 如上例中 P集中力的分量在
? 各自弯曲平面内产生的挠度为
yy
z
z
zz
y
y
EI
Pl
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f
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Pl
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f
3
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3
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最大应力：;m a xm a xm a x
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M
W
Mz
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I
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强度条件：
];[m a x ?? ???? ??
y
y
z
z
I
M
W
M
的两个角点上。在截面距离中性轴最远?m a x?
总挠度为：
设挠度 f与轴的夹角为 α,则可用下式求得：
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? 例：悬臂梁如图示。全梁纵向对称平面内承受均布荷载 q=5KN/m，在
自由端的水平对称平面内受集中力 P=2KN的作用。已知截面为 25a工字
钢，材料的 E= MPa，试求：
? （ 1）梁的最大拉、压应力。
? （ 2）梁的自由端的挠度。
5102?
mKNqlM
mKNPlM
z
y
??????
?????
10252121
422
22
m a x
m a x;108
48283
104
401882
1010 66
m a xm a x
m a x
M P a
W
M
W
M
y
y
z
z
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?????
mmEIPlEIqlfff
yz
zy 57.9)3()8(
2
3
2
4
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（ 3）求自由端的挠度：
解：（ 1）固定端截面为危险截面。
（ 2）由于截面对称，
最大拉压应力相等。;54.5023,046.280;883.401,283.48
44
33
cmIcmI
cmWcmW
zy
zy
??
??查表：
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一、概念：
在实际工程中，杆件受横
向力和轴向力的作用，则杆件
将产生拉（压）弯组合变形。
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合作用
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如斜梁，将其所受力 P分解
为两个分量 Px,Py 。则垂直于梁
轴的横向力 PY使梁 产生弯曲变形，
轴向力 Px使 AB梁段产生轴向压
缩变形，所以在 P的作用下，该
梁段产生压弯组合变形。
再如重力坝，自重使坝底
受压力，水压力使坝体产生弯
曲变形，该坝为压弯组合变形
构件。
二、计算,以挡土墙为例。
自重作用使任意截面产生轴向
压力 N(x)； 对应各点产生 压应力：;)(A xNN ???
土压力作用使截面产生弯矩
M(x)；对应点产生正应力：;)(
zM I
yxM???
X截面任意点 应力：;)()(
z
k I
yxM
A
xN ?????
挡土墙底部截面轴力和弯矩最大，
为危险截面，其最大和最小应力为：
zW
M
A
N m a xm a xm a x
m i n ????;)()(m a xm i n
zW
xM
A
xN ????
强度条件：
][|| m a xm a xm a x ?? ???? ??
zW
M
A
N
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例 9-2 简易起重机如图。最大吊重 P=8KN，若 AB杆为工字钢,A3钢的
[σ]＝ 100Mpa，试选择工字钢的型号。
解：（ 1） AB杆受力如图，设 CD杆的拉
力为 T，由,;0s i n5.2)5.15.2( ??? ?TP
kNT 42??
（ 4）强度计算：
因此，可选 16号工字钢。;1,26,1 4 116;1 2 0
][
23
3m a x
cmAcmW
cmMW
z
z
??
??
号工字钢，查表选
设计：
?
];[1054.100|| 00m a xm a x ?? ?????? MPaWMAN
z
校核：
（ 2）内力计算：由内力图知
梁段。在
截面；在
ACKNN
CmKNM
,40
,12
m a x
m a x
?
??
（ 3）应力计算：
截面上边缘。在
截面下边缘；在
右
左
C
W
M
C
W
M
A
N
z
z
|;|;
m a x
m a x
m a x
m a x
m a x
??
?
??
???
??
?
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第四节 偏心拉伸（压缩） 截面核心
一、概念,
受力特点,外力与杆轴线平行但不重合；
变形特点,杆件产生轴向拉伸（压缩）与纯弯曲组合的变形。
偏心拉伸（压缩）可分为单向和双向偏心拉伸（压缩）。
二、偏心压缩的应力计算：
内力,N=P,M=P.e；;
z
MN I
yM
A
N ????? ??? ＝应力：
];[
m i nm a x
????? ??
zW
Pe
A
P强度条件：
];[)6(m a x ?? ??? ?? h eAP ?矩形截面：
小结返回 上一张下一张
? 三、截面核心：
? （ 1）概念：使截面上只产生压应力而无拉应力时，外力作用的范围，
? 称为该截面的截面核心。
? （ 2）计算：以矩形截面为例，使截面边缘最大正应力小于或等于零，
? 则有：;0)61(m a x ???? h ebhN? 6he ??
即将矩形截面对称轴等分三段，外力作用在三分段中间段内时截面上
无拉应力。此时，中性轴由截面边缘移出。
类似可确定其它截面的截面核心。
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例 9-3：图示为一厂房的牛腿柱，设由房顶传来的压力
P1=100KN，由吊车梁传来压力 P2=30KN，已知 e=0.2m，
b=0.18m，问截面边 h为多少时，截面不出现拉应力。并求
出这时的最大压应力。
解,1,求内力：
N=P1+P2=100+30=130KN
M=P2 e=6KN.m
.280,9.276;0
618.0
106
18.0
10130
2
63
m a x
mmhmmh
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M
A
P
z
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取
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M P aWMAP
z
13.5628.018.0 10628.018.0 1013 0 2
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??
?
??????
2,求应力：
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第五节 杆在弯曲与扭转共同作用下的强度计算
受力特点：外力垂直杆轴但不通过杆轴；
变形特点：杆件产生平面弯曲与扭转组合的变形。
一、内力计算：;2; DPMPxM n ??
二、应力计算：;;
p
nn
z
w I
M
I
My ??? ??
三、强度计算：;; m a xm a x
p
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M
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2
m a x
2
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2
m a x
2
m a x3,
????
????
???
???
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xd;)2(2 22
31 n
ww ???? ???
小结返回 上一张下一张
小结
? 一、组合变形的计算方法：“先分解，后叠
加”。
小结返回 上一张下一张
?1,将荷载沿杆轴的相应方向分解，将组合变形分解为几种
基本变形。
? 2,分别计算各基本变形时内力、应力和变形的结果，然
后叠加。
?应当注意的是叠加时，若对应各量方位相同则代数相加，
否则应几何相加。
? 综合各种基本变形截面的内力，判断危险截面，并建
立相应的强度条件来进行强度计算。
二、各种组合变形杆件的强度条件：
1,斜弯曲,];[
m a x
?? ???? ??
y
y
z
z
I
M
W
M
危险点在危险截面的角点处。圆截面不产生斜弯曲。
2,轴向拉伸（压缩）与弯曲组合：
][|| m a xm a xm a x ?? ???? ??
zW
M
A
N
3,偏心压缩（拉伸）：
];[
m i nm a x
????? ??
zW
Pe
A
P
4,弯曲与扭转组合：
];[3
];[4
2
m a x
2
m a x4,
2
m a x
2
m a x3,
????
????
???
???
xd
xd
三、截面核心：
使截面上只产生压应力而无拉应力时，外力作用的范围，
称为该截面的截面核心。 小结返回 上一张下一张
第二节 斜弯曲
第三节 拉伸（压缩）与弯曲
的组合作用
第四节 偏心压缩（拉伸） 截面核心
返 回
第十章 杆件在组合变形时的强度计算
小 结
第五节 杆在弯曲与扭转共同作用下的
强度计算
四种基本变形计算：
变形 轴向拉伸 (压缩 ) 剪切 扭转 平面弯曲
外力 轴向力 横向力 外力偶 横向力或外力偶
内力 轴力 (Ｎ ) 剪力 (Q) 扭矩 (Ｍ ｎ ) 剪力 (Q) 弯矩 (M)
符号 拉为正 ＋ 右手螺旋法则 ＋ +
应力 正应力 剪应力 剪应力 剪应力 正应力? ? ? ? ?
计算
公式 AN?? AQ??
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强度
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分布规律 均匀分布 均匀分布 线性分布 抛物线分布 线性分布
变形 绝对伸长 挤压变形 扭转角 转角 挠度
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条件
小结返回 上一张下一张
][ LEANLL ???? ][ c
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GA
LM x
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系数
荷载
?
第一节 概述
小结返回 上一张下一张
一、概念：
1,组合变形：受力构件产生的变形是由两种或两种以上的
基本变形组合而成的。
2,组合变形实例,
二、计算方法,
组合变形若忽略变形过程中各基本变形间的互相影
响，则可依据叠加原理计算。
3,常见组合变形的类型,
（ 1） 斜弯曲
（ 2） 拉伸（压缩）与弯曲组合
（ 3） 偏心拉伸（压缩）
（ 4） 弯扭组合
小结返回 上一张下一张
1,叠加原理,弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独
作用所产生的应力、变形等互不影响，可叠加计算。
2,计算方法：, 先分解，后叠加 。”
先分解 -------应先分解为各种基本变形，分别计算各基本
变形。
后叠加 -------将基本变形计算某量的结果叠加即得组合变
形的结果。
第二节 斜弯曲
受力特点,外力垂直杆轴且通过形心但未作用在纵向对称面内；
变形特点,杆轴弯曲平面与外力作用平面不重合。
斜弯曲也称为双向平面弯曲。
一、强度计算：
外力分解,?co sPP y ?
?s inPP z ?内力计算：;zzz I yM??? ;
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小结返回 上一张下一张
? 二、挠度计算：
? 梁在斜弯曲情况下的挠度，也用叠加原理求得。
? 如上例中 P集中力的分量在
? 各自弯曲平面内产生的挠度为
yy
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总挠度为：
设挠度 f与轴的夹角为 α,则可用下式求得：
小结返回 上一张下一张
? 例：悬臂梁如图示。全梁纵向对称平面内承受均布荷载 q=5KN/m，在
自由端的水平对称平面内受集中力 P=2KN的作用。已知截面为 25a工字
钢，材料的 E= MPa，试求：
? （ 1）梁的最大拉、压应力。
? （ 2）梁的自由端的挠度。
5102?
mKNqlM
mKNPlM
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y
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?????
10252121
422
22
m a x
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（ 3）求自由端的挠度：
解：（ 1）固定端截面为危险截面。
（ 2）由于截面对称，
最大拉压应力相等。;54.5023,046.280;883.401,283.48
44
33
cmIcmI
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??查表：
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一、概念：
在实际工程中，杆件受横
向力和轴向力的作用，则杆件
将产生拉（压）弯组合变形。
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合作用
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如斜梁，将其所受力 P分解
为两个分量 Px,Py 。则垂直于梁
轴的横向力 PY使梁 产生弯曲变形，
轴向力 Px使 AB梁段产生轴向压
缩变形，所以在 P的作用下，该
梁段产生压弯组合变形。
再如重力坝，自重使坝底
受压力，水压力使坝体产生弯
曲变形，该坝为压弯组合变形
构件。
二、计算,以挡土墙为例。
自重作用使任意截面产生轴向
压力 N(x)； 对应各点产生 压应力：;)(A xNN ???
土压力作用使截面产生弯矩
M(x)；对应点产生正应力：;)(
zM I
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X截面任意点 应力：;)()(
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挡土墙底部截面轴力和弯矩最大，
为危险截面，其最大和最小应力为：
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强度条件：
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例 9-2 简易起重机如图。最大吊重 P=8KN，若 AB杆为工字钢,A3钢的
[σ]＝ 100Mpa，试选择工字钢的型号。
解：（ 1） AB杆受力如图，设 CD杆的拉
力为 T，由,;0s i n5.2)5.15.2( ??? ?TP
kNT 42??
（ 4）强度计算：
因此，可选 16号工字钢。;1,26,1 4 116;1 2 0
][
23
3m a x
cmAcmW
cmMW
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号工字钢，查表选
设计：
?
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校核：
（ 2）内力计算：由内力图知
梁段。在
截面；在
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,12
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（ 3）应力计算：
截面上边缘。在
截面下边缘；在
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第四节 偏心拉伸（压缩） 截面核心
一、概念,
受力特点,外力与杆轴线平行但不重合；
变形特点,杆件产生轴向拉伸（压缩）与纯弯曲组合的变形。
偏心拉伸（压缩）可分为单向和双向偏心拉伸（压缩）。
二、偏心压缩的应力计算：
内力,N=P,M=P.e；;
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P强度条件：
];[)6(m a x ?? ??? ?? h eAP ?矩形截面：
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? 三、截面核心：
? （ 1）概念：使截面上只产生压应力而无拉应力时，外力作用的范围，
? 称为该截面的截面核心。
? （ 2）计算：以矩形截面为例，使截面边缘最大正应力小于或等于零，
? 则有：;0)61(m a x ???? h ebhN? 6he ??
即将矩形截面对称轴等分三段，外力作用在三分段中间段内时截面上
无拉应力。此时，中性轴由截面边缘移出。
类似可确定其它截面的截面核心。
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例 9-3：图示为一厂房的牛腿柱，设由房顶传来的压力
P1=100KN，由吊车梁传来压力 P2=30KN，已知 e=0.2m，
b=0.18m，问截面边 h为多少时，截面不出现拉应力。并求
出这时的最大压应力。
解,1,求内力：
N=P1+P2=100+30=130KN
M=P2 e=6KN.m
.280,9.276;0
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2,求应力：
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第五节 杆在弯曲与扭转共同作用下的强度计算
受力特点：外力垂直杆轴但不通过杆轴；
变形特点：杆件产生平面弯曲与扭转组合的变形。
一、内力计算：;2; DPMPxM n ??
二、应力计算：;;
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三、强度计算：;; m a xm a x
p
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小结
? 一、组合变形的计算方法：“先分解，后叠
加”。
小结返回 上一张下一张
?1,将荷载沿杆轴的相应方向分解，将组合变形分解为几种
基本变形。
? 2,分别计算各基本变形时内力、应力和变形的结果，然
后叠加。
?应当注意的是叠加时，若对应各量方位相同则代数相加，
否则应几何相加。
? 综合各种基本变形截面的内力，判断危险截面，并建
立相应的强度条件来进行强度计算。
二、各种组合变形杆件的强度条件：
1,斜弯曲,];[
m a x
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危险点在危险截面的角点处。圆截面不产生斜弯曲。
2,轴向拉伸（压缩）与弯曲组合：
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3,偏心压缩（拉伸）：
];[
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4,弯曲与扭转组合：
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三、截面核心：
使截面上只产生压应力而无拉应力时，外力作用的范围，
称为该截面的截面核心。 小结返回 上一张下一张
