第十六章 影响线和内力包络图
? 影响线的一般概念
? 用静力法作简支梁的影响线
? 利用影响线求反力和内力
? 最不利荷载位置
? 简支梁的内力包络图
? 连续梁的内力包络图
? 小结
第一节
第二节
第三节
第四节
第五节
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第六节
? 第一节 影响线的一般概念
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一、活荷载
定义：大小、方向不变，作用位置、时间改变的荷载。
分类,1） 移动荷载 — 大小和方向不变，但作用位置可移动。
2） 暂时荷载 — 时有时无，可按一定方式任意布置。
二、量值（以 S表示）
反力、内力（ M,Q,N）及位移、变形等力学量的统称。
三,影响线
定义：在 竖向单位移动荷载 P=1作用下，表示结构的某一量值 S
变 化规律的函数图形，称为该 量值的影响线 。
本章介绍：绘制单跨静定梁影响线的基本方法（ 静力法 ）； 量
值最不利荷载位置 的确定以及简支梁和连续梁的 内力包络图 。
? 第二节 用静力法作简支梁的影响线
? 静力法作影响线原理,由 静力平衡条件 建立量值 S与单位移动荷
载位置坐标 x之间的关系（ 影响线方程 ）；由方程作函数曲线 — 量值 S
影响线 。
,0?? BM
,0? ?AM )0(; lxlxR B ???
步骤,1）选取坐标糸，
将竖向力 P=1置于梁上任意点。
2）取研究对象，列 S的影
响线方程，并注明 x范围。
3）计算控制点竖标
值，绘量值 S 影响线。
4）规定正值量值画基线上
侧，负值画下侧。
一、支座反力的影响线
)0(; lxl xlR A ????
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? 二、内力影响线
? 1.取 BC段为脱离体
)0(;
ax
blxbRM
l
xRQ
BC
BC
??
???
????
)(;
lxa
a
l
xlaRM
l
xlRQ
AC
AC
??
????
???2.取 AC为隔离体
3.绘 S影响线图
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? 注,1）影响线中，竖标量纲是无因次的。
? 2） QC影响线中，竖标量纲是 [长度 ]。
? 3）每一条影响线只反映一个指定量值的变化规律。
三,影响线与内力图区别
弯矩影响线 弯矩图
荷载 单位移动荷载 P=1 固定荷载
横坐标 荷载作用位置 求弯矩的截面位置
纵坐标 荷载作用处指定截面弯矩 任意截面弯矩值
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)(;; elxdlxRl xlR BA ???????
? ?
例 9-1
作
图示外
伸梁的
影响线。
解：
取坐标
系；
1,支
座反力
影响线
影响线方程：
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?
)(;
axd
l
xRQ
blxbRM
BC
BC
???
????
???
)(;
elxa
l
xlRQ
al xlaRM
AC
AC
???
???
????
2,内力影响线
①简支梁段：
② 外伸梁段：
)( 0;0 elxdc QM DD ???? ? ；＝
)(;1);( cxdQxdcM DD ??????????
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? 第三节 利用影响线求反力和内力
? 一,利用影响线求量值
? 1,集中荷载作用 ?
??????
n
i iinn yPyPyPyPS 12211 ??
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? 2,均布荷载作用
??? ni iiqS 1 ?
?
?
q — 均布荷
载集度。
ω— 均布荷
载所对
应影响
线面积 。
注：基线以
上为正，
基线以
下为负。
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? 第四节 最不利荷载位置
22m a xm a xm a x yPyPS ??
定义,使 梁上某个量
值产生最大值或最小值时
，移动荷载在梁上的作用
位置，称为该量值的最不
利荷载位置。
一、一个或两个集
中荷载作用
布置方式,把较大集
中荷载放在影响线顶点处
，另一个集中荷载布置在
坡度较缓侧。
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? 二,一组移动荷载作用
? 由 推断，最不利荷载位置必然发生在荷
载密集于影响线竖标最大处。可以证明，必有一集中荷载位于影
响线顶点，通常将位于影响线顶点的集中荷载称为 临界荷载,记
为 Pk。 用 试算法 确定。
? 布置方式,把 Pk放在影响线顶点处，其它荷载依次布置。
??? ni ii yPS 1m a x
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? 例 9-2
? 某公路
? 桥承受
? 公路桥
? 设计规
? 范中汽
? — 15级
? 车队荷
? 载如图
? 所示，
? 试求截
? 面 C最
? 大弯矩。
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? 解,在汽 — 15级车队荷载中，排列密集且数值较 大的为重车后轮
? 压力 130KN，可将它设为临界荷载 Pk。
? 1） 车队向左行驶时，把 PK=130KN置于梁的 C截面上（即影响
? 线的顶点），相应的整个荷载队位置，如图所示。
? 车队行驶中相应截面 C弯矩 MC为
mkN
yPM i
i
iC
??????
??????? ?
?
269438.05000.6100
50.75038.913088.6705
1
2）车队向右行驶的情况，把 PK=130KN置于影响线的顶 C上，整个
荷载队位置，各荷载相应的影响线竖标值如图所示。
于是 截面 C弯矩 MC为：
比较可知,Mcmax=2720kN.m对应荷载的最不利位置。
mkNM C ?????? ???????? 27 2075.05025.210 0 88.77038.913 025.65075.310 0
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? 三,可任
意布置的活
荷载最不利
位置
? 布置原则：
? Smax_q 应
布置在正值
影响线范围；
? Smin— q 应
布置在负值
影响线范围。
??? ni iiqS 1m a x ?
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例 9-3 吊车荷载作用下的两
跨静定梁，试求其支座 B的最
大反力。
解,该梁实为两根简支梁。
故作 RB影响线如图。其最不利
荷载位置有两种情况，分别计
算。 P2＝ PK时：
kNR B 22.699758.03.289 )1125.0(6.426 ??? ???
P3＝ PK时：
kNR B 52.670 )2.01(3.289758.06.426? ?????
二者比较知,P2＝ PK为最不利
荷载，相应有
kNR B 22.699m a x ?
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? 第五节 简支梁的内力包络图
一、简支梁的内
力包络图
1,定义,反映全
梁各截面发生内力
最大值范围的图形
。
2,作法：
1）将梁等分
10～ 20等分段；
2）求每一等
分截面上内力的
最大值。（用试
算法）
3）按比例绘
内力包络图。
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梁的内力包络图有弯矩包络图
和剪力包络图。弯矩包络图中可
看出绝对最大弯矩及其位置，剪
力包络图可看出剪力最大和最小
值的变化范围。
因实际设计时，剪力最大
值主要在支座附近，故可画
近似的剪力包络图。
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? 二、简支梁的绝对最大弯矩
KMlaLRM ??? 4 )(
2
m a x
R— 梁上实有移动荷截的合力；
L— 杆的长度；
MK— PK以左的各荷载对 PK所在截面力矩的代数和；
a— R至 PK距离。 (R在 PK右侧 a取正值,R在 PK左侧 a取负值 )
— 梁上实有荷载对 PK力矩的代数和，顺时针为正。
绝对最大弯矩 — 各截面弯矩最大值中的最大值。
?? iPR;R dPa ii? ??;2alx ??
? iidP
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? 例 9-4求图示吊车梁
的绝对最大弯矩
,3 28482 KNR ???
解,1,求梁跨中截
面 C产生的最大弯矩并
判断临界荷载 Pk。
P2=Pk，
2,求梁的绝对
最大弯矩
计算梁上实有荷
载的合力 R及其与
PK的间距 a。
a为正值,R作用在 PK右侧,.a=0.75如图示。
mkNM C ??? ???? 574)5.0 25.2325.1(82m a x
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? 3）求 的截面位置 x和计算 值，
?
? 4）若以 P3=PK,
? 则合力 R在 Pk左侧，
? a取负值,a=-0.75m
? 如图所示。
maxM
maxM
malx 625.5)75.012(2122 ?????
mKNMLaLRM K,8.5775.382124 )75.012(3284 )( 22m a x ?????????
mx 375.62 )75.0(21 ????
mKNML aLRM K,8.577)5.182582(124 )75.012(3284 )( 22m a x ???????????
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? ＊ 机动法作梁影响线
? 一、原理：虚功原理
? 二、步骤：
? 1,撤除与所求量值 S
? 相应的约束。
?
? 2,撤除约束处沿该量值
? S正方向单位位移
?
? 3,规定位移在基线上方
? 取正值，下方取负值。
1??
LXPBR ???
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? 三、静定梁影响线：
? 1,外伸梁影响线
2,悬臂梁影响线
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? 3,多跨静定梁影响线
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? 四,超静定梁影响线
? 机动法作连续梁影响线与静定梁类似,
?
?2 ?¨áo 3? ?2 ?¨áo?? Dí ?? ?? μˉ D? ?ú ??
D? ?ê ?¨á? ?¨D?
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第六节 连续梁的内力包络图
在水利工程中，作用在连续梁上的活荷载主要有楼板和工作桥
上的人群、临时设备等荷载；水闸上的闸门吊重（启门力 )建筑工程
中的板、次梁和主梁，一般都按连续梁计算。
求出连续梁在恒载和活载共同作用下，各截面的最大、最小内
力，并将各截面最大、最小内力的纵坐标连成光滑曲线，即 连续梁
的内力包络图 。
内力包络图表明连续梁在恒载和活载共同作用下，可能产生的
内力（弯矩和剪力）极限值的范围。包络图上的内最大值称为绝对
最大内力。
作图步骤为：
1,将连续梁每一跨度等分若干段，用力矩分配法（或力法、位移
法、查表法等 )算出恒载作用下各等分截面内力，作内力图；
2,将均布活荷载轮流单独布满每一跨，分别计算各等分截面
上的内力并作内力图；
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3,分别在各等分
截面上，将恒载内力
图中该截面纵标值与
所有各活载内力图中
该截面对应正（负）
纵标叠加，得该截面
最大（小）内力值；
4,将各截面最大
（小）内力值纵标顶点
分别连成两条光滑曲线，
既为内力包络图（近似
的）。
一、作弯矩包络图
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二、作剪力包络图
计算第一跨跨中附
近某截面的最大正弯矩
时，只考虑了图 c,e两
种情况；计算支座 B处
的最大负弯矩时，只考
虑了 c,d两种情况。这
些活载布置也即相应量
值的最不利荷载位置。
由此不难计算出活载作
用下相应的最大（小）
内力，进而求得恒载活
载共同作用下相应的最
大（小）内力。
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以五跨连续梁有关
弯矩的最不利活载布置
为例，分析其规律性。
1,求某跨垮中附
近的最大正弯矩时，
应在该跨布满活载，
其余每隔一跨布满活
载。
2,求某支座处最大负弯矩时，应在该支座相邻两跨布满活
载，其余每隔一跨布满活载。
掌握上述规律后，对于多跨连续梁，当计算活载作用下相应
量值时，可查阅有关计算手册。
如下图所示。
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? 小结
? 本章讨论了移动荷载作用下梁的计算问题，影响线是研究移
动荷载作用的基本工具。利用量值影响线可确定活荷载最不利位
置，从而为绘制梁的内力包络图创造条件。
? 重点掌握, 1,静力法作影响线原理依据静力平衡条件；
? 2,机动法作影响线原理依据虚功原理；
? 3,活荷载最不利位置的布置；
? 4,绘制弯矩包络图方法及求简支梁 Mmax。
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? 影响线的一般概念
? 用静力法作简支梁的影响线
? 利用影响线求反力和内力
? 最不利荷载位置
? 简支梁的内力包络图
? 连续梁的内力包络图
? 小结
第一节
第二节
第三节
第四节
第五节
返回
第六节
? 第一节 影响线的一般概念
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一、活荷载
定义：大小、方向不变，作用位置、时间改变的荷载。
分类,1） 移动荷载 — 大小和方向不变，但作用位置可移动。
2） 暂时荷载 — 时有时无，可按一定方式任意布置。
二、量值（以 S表示）
反力、内力（ M,Q,N）及位移、变形等力学量的统称。
三,影响线
定义：在 竖向单位移动荷载 P=1作用下，表示结构的某一量值 S
变 化规律的函数图形，称为该 量值的影响线 。
本章介绍：绘制单跨静定梁影响线的基本方法（ 静力法 ）； 量
值最不利荷载位置 的确定以及简支梁和连续梁的 内力包络图 。
? 第二节 用静力法作简支梁的影响线
? 静力法作影响线原理,由 静力平衡条件 建立量值 S与单位移动荷
载位置坐标 x之间的关系（ 影响线方程 ）；由方程作函数曲线 — 量值 S
影响线 。
,0?? BM
,0? ?AM )0(; lxlxR B ???
步骤,1）选取坐标糸，
将竖向力 P=1置于梁上任意点。
2）取研究对象，列 S的影
响线方程，并注明 x范围。
3）计算控制点竖标
值，绘量值 S 影响线。
4）规定正值量值画基线上
侧，负值画下侧。
一、支座反力的影响线
)0(; lxl xlR A ????
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? 二、内力影响线
? 1.取 BC段为脱离体
)0(;
ax
blxbRM
l
xRQ
BC
BC
??
???
????
)(;
lxa
a
l
xlaRM
l
xlRQ
AC
AC
??
????
???2.取 AC为隔离体
3.绘 S影响线图
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? 注,1）影响线中，竖标量纲是无因次的。
? 2） QC影响线中，竖标量纲是 [长度 ]。
? 3）每一条影响线只反映一个指定量值的变化规律。
三,影响线与内力图区别
弯矩影响线 弯矩图
荷载 单位移动荷载 P=1 固定荷载
横坐标 荷载作用位置 求弯矩的截面位置
纵坐标 荷载作用处指定截面弯矩 任意截面弯矩值
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)(;; elxdlxRl xlR BA ???????
? ?
例 9-1
作
图示外
伸梁的
影响线。
解：
取坐标
系；
1,支
座反力
影响线
影响线方程：
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?
)(;
axd
l
xRQ
blxbRM
BC
BC
???
????
???
)(;
elxa
l
xlRQ
al xlaRM
AC
AC
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???
????
2,内力影响线
①简支梁段：
② 外伸梁段：
)( 0;0 elxdc QM DD ???? ? ；＝
)(;1);( cxdQxdcM DD ??????????
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? 第三节 利用影响线求反力和内力
? 一,利用影响线求量值
? 1,集中荷载作用 ?
??????
n
i iinn yPyPyPyPS 12211 ??
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? 2,均布荷载作用
??? ni iiqS 1 ?
?
?
q — 均布荷
载集度。
ω— 均布荷
载所对
应影响
线面积 。
注：基线以
上为正，
基线以
下为负。
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? 第四节 最不利荷载位置
22m a xm a xm a x yPyPS ??
定义,使 梁上某个量
值产生最大值或最小值时
，移动荷载在梁上的作用
位置，称为该量值的最不
利荷载位置。
一、一个或两个集
中荷载作用
布置方式,把较大集
中荷载放在影响线顶点处
，另一个集中荷载布置在
坡度较缓侧。
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? 二,一组移动荷载作用
? 由 推断，最不利荷载位置必然发生在荷
载密集于影响线竖标最大处。可以证明，必有一集中荷载位于影
响线顶点，通常将位于影响线顶点的集中荷载称为 临界荷载,记
为 Pk。 用 试算法 确定。
? 布置方式,把 Pk放在影响线顶点处，其它荷载依次布置。
??? ni ii yPS 1m a x
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? 例 9-2
? 某公路
? 桥承受
? 公路桥
? 设计规
? 范中汽
? — 15级
? 车队荷
? 载如图
? 所示，
? 试求截
? 面 C最
? 大弯矩。
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? 解,在汽 — 15级车队荷载中，排列密集且数值较 大的为重车后轮
? 压力 130KN，可将它设为临界荷载 Pk。
? 1） 车队向左行驶时，把 PK=130KN置于梁的 C截面上（即影响
? 线的顶点），相应的整个荷载队位置，如图所示。
? 车队行驶中相应截面 C弯矩 MC为
mkN
yPM i
i
iC
??????
??????? ?
?
269438.05000.6100
50.75038.913088.6705
1
2）车队向右行驶的情况，把 PK=130KN置于影响线的顶 C上，整个
荷载队位置，各荷载相应的影响线竖标值如图所示。
于是 截面 C弯矩 MC为：
比较可知,Mcmax=2720kN.m对应荷载的最不利位置。
mkNM C ?????? ???????? 27 2075.05025.210 0 88.77038.913 025.65075.310 0
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? 三,可任
意布置的活
荷载最不利
位置
? 布置原则：
? Smax_q 应
布置在正值
影响线范围；
? Smin— q 应
布置在负值
影响线范围。
??? ni iiqS 1m a x ?
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例 9-3 吊车荷载作用下的两
跨静定梁，试求其支座 B的最
大反力。
解,该梁实为两根简支梁。
故作 RB影响线如图。其最不利
荷载位置有两种情况，分别计
算。 P2＝ PK时：
kNR B 22.699758.03.289 )1125.0(6.426 ??? ???
P3＝ PK时：
kNR B 52.670 )2.01(3.289758.06.426? ?????
二者比较知,P2＝ PK为最不利
荷载，相应有
kNR B 22.699m a x ?
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? 第五节 简支梁的内力包络图
一、简支梁的内
力包络图
1,定义,反映全
梁各截面发生内力
最大值范围的图形
。
2,作法：
1）将梁等分
10～ 20等分段；
2）求每一等
分截面上内力的
最大值。（用试
算法）
3）按比例绘
内力包络图。
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梁的内力包络图有弯矩包络图
和剪力包络图。弯矩包络图中可
看出绝对最大弯矩及其位置，剪
力包络图可看出剪力最大和最小
值的变化范围。
因实际设计时，剪力最大
值主要在支座附近，故可画
近似的剪力包络图。
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? 二、简支梁的绝对最大弯矩
KMlaLRM ??? 4 )(
2
m a x
R— 梁上实有移动荷截的合力；
L— 杆的长度；
MK— PK以左的各荷载对 PK所在截面力矩的代数和；
a— R至 PK距离。 (R在 PK右侧 a取正值,R在 PK左侧 a取负值 )
— 梁上实有荷载对 PK力矩的代数和，顺时针为正。
绝对最大弯矩 — 各截面弯矩最大值中的最大值。
?? iPR;R dPa ii? ??;2alx ??
? iidP
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? 例 9-4求图示吊车梁
的绝对最大弯矩
,3 28482 KNR ???
解,1,求梁跨中截
面 C产生的最大弯矩并
判断临界荷载 Pk。
P2=Pk，
2,求梁的绝对
最大弯矩
计算梁上实有荷
载的合力 R及其与
PK的间距 a。
a为正值,R作用在 PK右侧,.a=0.75如图示。
mkNM C ??? ???? 574)5.0 25.2325.1(82m a x
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? 3）求 的截面位置 x和计算 值，
?
? 4）若以 P3=PK,
? 则合力 R在 Pk左侧，
? a取负值,a=-0.75m
? 如图所示。
maxM
maxM
malx 625.5)75.012(2122 ?????
mKNMLaLRM K,8.5775.382124 )75.012(3284 )( 22m a x ?????????
mx 375.62 )75.0(21 ????
mKNML aLRM K,8.577)5.182582(124 )75.012(3284 )( 22m a x ???????????
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? ＊ 机动法作梁影响线
? 一、原理：虚功原理
? 二、步骤：
? 1,撤除与所求量值 S
? 相应的约束。
?
? 2,撤除约束处沿该量值
? S正方向单位位移
?
? 3,规定位移在基线上方
? 取正值，下方取负值。
1??
LXPBR ???
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? 三、静定梁影响线：
? 1,外伸梁影响线
2,悬臂梁影响线
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? 3,多跨静定梁影响线
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? 四,超静定梁影响线
? 机动法作连续梁影响线与静定梁类似,
?
?2 ?¨áo 3? ?2 ?¨áo?? Dí ?? ?? μˉ D? ?ú ??
D? ?ê ?¨á? ?¨D?
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第六节 连续梁的内力包络图
在水利工程中，作用在连续梁上的活荷载主要有楼板和工作桥
上的人群、临时设备等荷载；水闸上的闸门吊重（启门力 )建筑工程
中的板、次梁和主梁，一般都按连续梁计算。
求出连续梁在恒载和活载共同作用下，各截面的最大、最小内
力，并将各截面最大、最小内力的纵坐标连成光滑曲线，即 连续梁
的内力包络图 。
内力包络图表明连续梁在恒载和活载共同作用下，可能产生的
内力（弯矩和剪力）极限值的范围。包络图上的内最大值称为绝对
最大内力。
作图步骤为：
1,将连续梁每一跨度等分若干段，用力矩分配法（或力法、位移
法、查表法等 )算出恒载作用下各等分截面内力，作内力图；
2,将均布活荷载轮流单独布满每一跨，分别计算各等分截面
上的内力并作内力图；
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3,分别在各等分
截面上，将恒载内力
图中该截面纵标值与
所有各活载内力图中
该截面对应正（负）
纵标叠加，得该截面
最大（小）内力值；
4,将各截面最大
（小）内力值纵标顶点
分别连成两条光滑曲线，
既为内力包络图（近似
的）。
一、作弯矩包络图
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二、作剪力包络图
计算第一跨跨中附
近某截面的最大正弯矩
时，只考虑了图 c,e两
种情况；计算支座 B处
的最大负弯矩时，只考
虑了 c,d两种情况。这
些活载布置也即相应量
值的最不利荷载位置。
由此不难计算出活载作
用下相应的最大（小）
内力，进而求得恒载活
载共同作用下相应的最
大（小）内力。
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以五跨连续梁有关
弯矩的最不利活载布置
为例，分析其规律性。
1,求某跨垮中附
近的最大正弯矩时，
应在该跨布满活载，
其余每隔一跨布满活
载。
2,求某支座处最大负弯矩时，应在该支座相邻两跨布满活
载，其余每隔一跨布满活载。
掌握上述规律后，对于多跨连续梁，当计算活载作用下相应
量值时，可查阅有关计算手册。
如下图所示。
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? 小结
? 本章讨论了移动荷载作用下梁的计算问题，影响线是研究移
动荷载作用的基本工具。利用量值影响线可确定活荷载最不利位
置，从而为绘制梁的内力包络图创造条件。
? 重点掌握, 1,静力法作影响线原理依据静力平衡条件；
? 2,机动法作影响线原理依据虚功原理；
? 3,活荷载最不利位置的布置；
? 4,绘制弯矩包络图方法及求简支梁 Mmax。
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