第十五章 力矩分配法
? 力矩分配法的基本原理
?
? 力矩分配法计算无侧移结构
? 超静定结构小结
? 小结
第一节
第二节
第三节
第四节
返回
第一节 力矩分配法的基本原理
? 一、单结点力矩的分配
? (前提：单结点、无侧移、仅作用结点力矩 )
? AAB iM 14?
? AAC iM ?? 23
? AAD iM ?? 3
? ?0mA
mAiii ??? ?)34( 321 ??????
A
A S
mm
iii 321 34?
m
S
A
ABS ??
?
mAB???
mAB???m
S
A
ACS ??
?
mAD???
mS
A
ACS ??
?
ABABA MiM 2
12
1 ?? ?
ABABMC?
0?ACM ACAC MC?
ADADA MiM ???? ?3 ADAD MC?
用位移法计算图示刚架：
结点力矩可按各杆刚度直接分配到各杆近端，传递到
各杆远端。
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? 第二节 力矩分配法的基本概念
一、力矩分配法的基本要素
1,转动刚度 S,使杆端产生
单位转角,所需在杆端施加的
力矩。
产生转角的一端称为 近
端 (也称施力端，只转动不移
动,可为任意约束,不影响 S） ;
另一端称 远端 （为不同支承
，影响 S值）。
等截面直杆 AB杆端
的转动刚度 SAB与该杆线
刚度 i和远端的支承情况有
关,反映杆端抵抗转动的能
力 。（熟记表 7-1）
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? 注意：① ∑μ＝ 1； ②同一结点
各杆端分配系数分母都相同；③
各杆端的分配系数只与各杆转动刚度的相对值有关。
??
A
Aj
Aj S
S?
MMC AjjAAj ?
MCM AjAjjA ??
mAjAjM ?? ?
3,传递系数,表
示各杆远端弯矩与
近端弯矩的比值；
传递系数只与远端支承情况有关。
2,分配系数,
将结点力矩分配
到各杆端的比例
系数。表示为
分配弯矩,
传递弯矩,
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? 二,力矩分配法的基本原理：
? （非结点荷载的处理）;8 2qlM GAB ??
8
2ql
M GBA ?;12
2ql
M GBC ??;12
2ql
M GCB ?;?? GBiB MM
3,叠加,叠加以上两种状态的相应
结果，得原结构最终端弯矩。
2,放松状态,放松结点 B，即在 B
处加 -MB,可 按单结点力矩的分配计算
杆端弯矩。
结点 B产生 不平衡力矩
求 固端弯矩,
1,固定状态,在结点处加阻转刚臂。
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? 例 14-1：作图示连续梁的弯矩图;90163 mkNPlM GBA ??? ;6012
2 G
CBGBC MmkN
qlM ???????;0?GABM;306090 mkNM B ????;7343 3 ??? ii iBA?
7
4??
BC
1???
7
90
7
330' ?????
BAM 7120' ??
BCM
0' ?ABM
7
60
2
1
7
120 ?????
CBM
0?ABM
7540?BAM 7540??BCM 7360?CBM
75704 68027540 ??????M AB 中
7
1 8 0
8
620
27
3 6 05 4 0 2 ????
?
??M
BC 中
5)作弯矩图
4)叠加得杆端弯矩
3,分配传递（－Ｍ Ｂ ）
2,求分配传递系数
解, 1,求固端弯矩、约束力矩
0?BAC
2
1?
BCC
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第三节 力矩分配法计算无侧移结构
? 一、多结点的力矩分配,
? 仍考虑 先固定结点,求出不平衡力矩； 再逐个结点放松,
从不平衡力矩最大的结点开始,依次分配、传递，直至传递
弯矩趋近于零； 叠加 各杆端的固端弯矩和分配或传递弯矩得
最终杆端弯矩。
计算步骤, 1)固定刚结点，求固端弯矩和不平衡力矩；
2)计算分配、传递系数；
3)逐个结点进行反号不平衡力矩的分配与传递；
4)叠加求最终杆端弯矩；
5)绘内力图。
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? 解,1)计算固端弯矩
4.142 2 ???? lP a bM GAB
6.212 2 ?? l bPaM GBA
3012 2 ???? qlM GBC
3012 2 ?? qlM GCB
4.721 2 07 2 ????? MqlM GCD
30?DCM
4.8???? GBCGBAB MMM
6.22??? GCDGCBC MMM
例 14-2 用力矩分配法绘制图示连续梁弯矩图。（ EI=常数）
3)计算分配系数传递系
数
4)分配与传递结点力矩
5)叠加得杆端弯矩
6)绘弯矩图
2)计算结点不平衡力矩
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例 14-3 用力矩分配法计算
图示无侧移刚架。
? 解,1)计算固端弯矩
和结点不平衡力矩
mkNPlM GBA ??? 30163 1
mkNqlM GBC ????? 6012 22
mkNqlM GCB ??? 6012 22
mkN MMM
G
BC
G
BAB ??? ?? 30
mkN MMM
G
CE
G
CBC ?? ?? 60
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2)分配、传递系数计算
3)逐结点 进行力矩分配
、传递
4)叠加计算各杆端弯矩
5)绘弯矩图
? 例 14-4 绘图示刚架弯矩图。
mkNMM GBAGAB ????? 40
mkNM B ??? 5.17
mkNM GAG ?? 5.22
mkNM GGA ?? 25.11
二、简化计算
1,利用对称性
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解,1,取半结构如图
2,用力矩分配法计算
1)计算固端弯矩、
不平衡力矩
2)计算分配系数
3)分配与传递：
4)求最终杆端弯矩
5)绘弯矩图
2,外伸端简化
例 14-5 试绘图示刚架的内力图。
解,1,处理悬臂端
2,用力矩分配法计算
mkNmPlM GCD ?????? 402163
mkNMm C ?????? 104030
CACD EI
EI
EI
?? ??
?
?
2
1
4
4
6
23
作内力图：
3,校核
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第四节 超静定结构小结
一、除荷载外的 其他因素 （ 温度改变、支座移动、制造误
差等 ）影响 都引起超静定结构的内力 。 静定结构则不然。
二,超静定结构的求解须考虑变形协调条件 ；而静定结构
仅考虑静力平衡条件。超静定结构的内力，再荷载作用下只与
各杆刚度的相对值有关；在温度改变、支座移动下与各杆刚度
的绝对值有关。
三、超静定结构的多余约束被破坏后仍能保持几何不变性，
具有一定承载力； 而静定结构则成为几何可变体系。
四、超静定结构内力分布较静定结构均匀，内力峰值较小；
结构的刚度也比静定结构大。
五、超静定结构的计算方法：力法 — 超静定次数少的结构；
位移法 — 结点位移少的结构。（力矩分配法 — 手算无侧移结构；
矩阵位移法 — 机算各种结构。）
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小结
? 一,力矩分配法的基本要素,约束力矩（不平衡力矩）、
分配系数 （转动刚度的概念）和 传递系数 。
? 二,力矩分配法计算步骤：
? 1)（固定结点）计算 固端弯矩,不平衡力矩；
? 2)求分配、传递系数；
? 3)进行结点力矩的分配与传递；
? 4)叠加得最后杆端弯矩；
? 5)绘弯矩图。
? 三、注意：
? 力矩分配法只适用于无侧移结构 （连续梁和无侧移刚
架）。杆端弯矩和施加于结点的外力矩以顺时针为正。
? 结点力矩直接分配、传递；约束力矩反号分配传递。
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? 力矩分配法的基本原理
?
? 力矩分配法计算无侧移结构
? 超静定结构小结
? 小结
第一节
第二节
第三节
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第一节 力矩分配法的基本原理
? 一、单结点力矩的分配
? (前提：单结点、无侧移、仅作用结点力矩 )
? AAB iM 14?
? AAC iM ?? 23
? AAD iM ?? 3
? ?0mA
mAiii ??? ?)34( 321 ??????
A
A S
mm
iii 321 34?
m
S
A
ABS ??
?
mAB???
mAB???m
S
A
ACS ??
?
mAD???
mS
A
ACS ??
?
ABABA MiM 2
12
1 ?? ?
ABABMC?
0?ACM ACAC MC?
ADADA MiM ???? ?3 ADAD MC?
用位移法计算图示刚架：
结点力矩可按各杆刚度直接分配到各杆近端，传递到
各杆远端。
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? 第二节 力矩分配法的基本概念
一、力矩分配法的基本要素
1,转动刚度 S,使杆端产生
单位转角,所需在杆端施加的
力矩。
产生转角的一端称为 近
端 (也称施力端，只转动不移
动,可为任意约束,不影响 S） ;
另一端称 远端 （为不同支承
，影响 S值）。
等截面直杆 AB杆端
的转动刚度 SAB与该杆线
刚度 i和远端的支承情况有
关,反映杆端抵抗转动的能
力 。（熟记表 7-1）
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? 注意：① ∑μ＝ 1； ②同一结点
各杆端分配系数分母都相同；③
各杆端的分配系数只与各杆转动刚度的相对值有关。
??
A
Aj
Aj S
S?
MMC AjjAAj ?
MCM AjAjjA ??
mAjAjM ?? ?
3,传递系数,表
示各杆远端弯矩与
近端弯矩的比值；
传递系数只与远端支承情况有关。
2,分配系数,
将结点力矩分配
到各杆端的比例
系数。表示为
分配弯矩,
传递弯矩,
返回 下一张 上一张 小结
? 二,力矩分配法的基本原理：
? （非结点荷载的处理）;8 2qlM GAB ??
8
2ql
M GBA ?;12
2ql
M GBC ??;12
2ql
M GCB ?;?? GBiB MM
3,叠加,叠加以上两种状态的相应
结果，得原结构最终端弯矩。
2,放松状态,放松结点 B，即在 B
处加 -MB,可 按单结点力矩的分配计算
杆端弯矩。
结点 B产生 不平衡力矩
求 固端弯矩,
1,固定状态,在结点处加阻转刚臂。
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? 例 14-1：作图示连续梁的弯矩图;90163 mkNPlM GBA ??? ;6012
2 G
CBGBC MmkN
qlM ???????;0?GABM;306090 mkNM B ????;7343 3 ??? ii iBA?
7
4??
BC
1???
7
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BAM 7120' ??
BCM
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7
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CBM
0?ABM
7540?BAM 7540??BCM 7360?CBM
75704 68027540 ??????M AB 中
7
1 8 0
8
620
27
3 6 05 4 0 2 ????
?
??M
BC 中
5)作弯矩图
4)叠加得杆端弯矩
3,分配传递（－Ｍ Ｂ ）
2,求分配传递系数
解, 1,求固端弯矩、约束力矩
0?BAC
2
1?
BCC
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第三节 力矩分配法计算无侧移结构
? 一、多结点的力矩分配,
? 仍考虑 先固定结点,求出不平衡力矩； 再逐个结点放松,
从不平衡力矩最大的结点开始,依次分配、传递，直至传递
弯矩趋近于零； 叠加 各杆端的固端弯矩和分配或传递弯矩得
最终杆端弯矩。
计算步骤, 1)固定刚结点，求固端弯矩和不平衡力矩；
2)计算分配、传递系数；
3)逐个结点进行反号不平衡力矩的分配与传递；
4)叠加求最终杆端弯矩；
5)绘内力图。
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? 解,1)计算固端弯矩
4.142 2 ???? lP a bM GAB
6.212 2 ?? l bPaM GBA
3012 2 ???? qlM GBC
3012 2 ?? qlM GCB
4.721 2 07 2 ????? MqlM GCD
30?DCM
4.8???? GBCGBAB MMM
6.22??? GCDGCBC MMM
例 14-2 用力矩分配法绘制图示连续梁弯矩图。（ EI=常数）
3)计算分配系数传递系
数
4)分配与传递结点力矩
5)叠加得杆端弯矩
6)绘弯矩图
2)计算结点不平衡力矩
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例 14-3 用力矩分配法计算
图示无侧移刚架。
? 解,1)计算固端弯矩
和结点不平衡力矩
mkNPlM GBA ??? 30163 1
mkNqlM GBC ????? 6012 22
mkNqlM GCB ??? 6012 22
mkN MMM
G
BC
G
BAB ??? ?? 30
mkN MMM
G
CE
G
CBC ?? ?? 60
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2)分配、传递系数计算
3)逐结点 进行力矩分配
、传递
4)叠加计算各杆端弯矩
5)绘弯矩图
? 例 14-4 绘图示刚架弯矩图。
mkNMM GBAGAB ????? 40
mkNM B ??? 5.17
mkNM GAG ?? 5.22
mkNM GGA ?? 25.11
二、简化计算
1,利用对称性
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解,1,取半结构如图
2,用力矩分配法计算
1)计算固端弯矩、
不平衡力矩
2)计算分配系数
3)分配与传递：
4)求最终杆端弯矩
5)绘弯矩图
2,外伸端简化
例 14-5 试绘图示刚架的内力图。
解,1,处理悬臂端
2,用力矩分配法计算
mkNmPlM GCD ?????? 402163
mkNMm C ?????? 104030
CACD EI
EI
EI
?? ??
?
?
2
1
4
4
6
23
作内力图：
3,校核
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第四节 超静定结构小结
一、除荷载外的 其他因素 （ 温度改变、支座移动、制造误
差等 ）影响 都引起超静定结构的内力 。 静定结构则不然。
二,超静定结构的求解须考虑变形协调条件 ；而静定结构
仅考虑静力平衡条件。超静定结构的内力，再荷载作用下只与
各杆刚度的相对值有关；在温度改变、支座移动下与各杆刚度
的绝对值有关。
三、超静定结构的多余约束被破坏后仍能保持几何不变性，
具有一定承载力； 而静定结构则成为几何可变体系。
四、超静定结构内力分布较静定结构均匀，内力峰值较小；
结构的刚度也比静定结构大。
五、超静定结构的计算方法：力法 — 超静定次数少的结构；
位移法 — 结点位移少的结构。（力矩分配法 — 手算无侧移结构；
矩阵位移法 — 机算各种结构。）
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小结
? 一,力矩分配法的基本要素,约束力矩（不平衡力矩）、
分配系数 （转动刚度的概念）和 传递系数 。
? 二,力矩分配法计算步骤：
? 1)（固定结点）计算 固端弯矩,不平衡力矩；
? 2)求分配、传递系数；
? 3)进行结点力矩的分配与传递；
? 4)叠加得最后杆端弯矩；
? 5)绘弯矩图。
? 三、注意：
? 力矩分配法只适用于无侧移结构 （连续梁和无侧移刚
架）。杆端弯矩和施加于结点的外力矩以顺时针为正。
? 结点力矩直接分配、传递；约束力矩反号分配传递。
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