第六章 截面的几何性质
? 静矩和形心
? 惯性矩和惯性积
? 惯性矩和惯性积的
? 平行移轴和转轴公式
? 主惯性轴和主惯性矩
? 组合截面惯性矩的计算
? 小结
第一节
第二节
第三节
第四节
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第五节
第六章 截面的几何性质
? 第一节 静矩和形心
一、静矩 (面积矩）定义,微面积 dA对
z轴和 y轴的静矩分别为 和dAy? dAz?
截面（面积 A)对 z轴和 y轴的静矩分
别为：;? ?? Ay dAzS;? ?? Az dAyS
静矩为代数值。 静矩单位,;; 33 mmm
不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同
一截面对不同坐标轴的静矩也不同。
若截面形心坐标为 zc,yc,将面积视为平行力（即看作等
厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得：;cAz yAdAyS ???? ? ;cAy zAdAzS ???? ?
当 Sz=0或 Sy=0时，必有 yc=0或 zc=0,可知 截面对某轴的
静矩为零时，该轴必通过截面形心； 反之,若某轴通过形心，
则截面对该轴的静矩为零。 返回 下一张 上一张 小结
二、形心公式：
.; ASzASy yczc ??
三、组合截面的静矩,n个简单图形组成的截面,其静矩为：;
1
?
?
?? n
i
ciiz yAS ;
1
?
?
?? n
i
ciiy zAS
四、组合截面形心公式：;
1
1
?
?
?
?
?
?
n
i
i
n
i
cii
c
A
yA
y ;
1
1
?
?
?
?
?
?
n
i
i
n
i
cii
c
A
zA
z
例 5-1 求图示 T形截面形心位置。
解：取参考坐标轴 y,z,由对称图形,zc=0。
分解图形为１、２两个矩形，则;2.1,48.0;46.2,072.0 222121 mymAmymA ????;36.148.00 7 2.0 2.148.046.20 7 2.0
21
2211 mAA yAyAy c ?? ???????
若分解为１、２、３三个矩形，则;16.04.22.0252.26.0 )2.126.1(52.26.0' my c ????? ????
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第二节 惯性矩和惯性积
一、极惯性矩：
定义：平面图形中任一微面积 dA与它到坐
标原点Ｏ的距离 ρ平方的乘积 ρ2dA,称为该面积
dA对于坐标原点 o的极惯性矩。
截面对坐标原点 o的极惯性矩为：
?? AP dAI ;2?
简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。
实心圆截面,;
322
4
2
0
2 DdAI
D
P
???? ??? ?
空心圆截面：
)();1(32 44 DdDI P ??? ???
二、惯性矩：
定义：平面图形中任一微面积 dA对 z轴,y轴的惯性矩分别为：
y2dA和 Z2dA； 则整个图形（面积为 A)对 z轴,y轴的惯性矩分别为：;2?? Az dAyI ;2?? Ay dAzI 返回 下一张 上一张 小结
定义,平面图形内，微面积 dA与其两个
坐标 z,y的乘积 zydA在整个图形内的积分称
为该图形对 z,y轴的惯性积。;? ??? Azy dAyzI
特点,① 惯性积是截面对某两个正交
坐标轴而言。 不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积
均不同。惯性积是代数值。
单位,;,44 mmm
② 若截面有一根为对称轴,则该 截面对包括此对称轴在
内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。
惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。
惯性矩单位,m4或 mm4； 惯性矩恒为正值。
简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。
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三、惯性积：
例 5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。
解：取 yoz坐标系。取微面积 dA=bdy,则：;12 32/ 2/ 22 bhb d yydAyI h hAz ??? ?? ?;12 32/ 2/ 22 hbhdzzdAzI b bAy ??? ?? ?
取微面积 dA=hdz,则：
例 5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。
解：取 yoz坐标系。取微面积 dA=2zdy,则：;6442 442222 DRdyyRydAyI R RAz ?? ?????? ?? ?;64 4DII zy ???由对称性：,222 zy ?＝由几何关系,?
.)( 222 yZAAP IIdAzydAI ????? ?? ?
取微面积 dA=dzdy,则,;0?
zyI
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第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式
一、平行移轴公式：
dAay d AadAy
dAaydAy
A
z
???
?
??????
????? ?
22
2
11
2
)(;21 Abyy ????;11 abAII zyyz ??;21 AaI zz ????
注意,y,z轴必须是形心轴。
二、转轴公式：;2s i n2c o s221 ?? ?????? zyyzyzz IIIIII;2s i n2c o s221 ?? ?????? zyyzyzy IIIIII;2c o s2s i n211 ?? ???? zyyzyz IIII;)s i nc os( 2211 ?? ??? AAz dAzydAyI ??
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第四节 主惯性轴和主惯性矩：
主惯性轴（主轴） — 使截面对 zo,yo轴的惯性积 的这对
正交坐标轴；
特点,①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩
中的 极大值和极小值 ；
②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直
的形心轴；
③有两根对称轴的截面,形心主轴是两根对称轴 ；
④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零
的 角，即 形心主惯性轴。
0?oo yzI
主惯性矩（主惯矩） — 截面对主惯性轴的惯性矩；
形心主惯性轴（形心主轴） — 通过形心的主惯性轴；
形心主惯性矩（形心主惯矩） — 截面对形心主轴的惯性矩。
o?
第五节 组合截面惯性矩的计算
工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形
心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
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例 5–4:试计算图示 T形截面的形心主惯性矩。
解,(1)确定形心坐标 yc.
? ?;20
5 0 05 0 0
25105 0 055 0 0
21
2211
cm
yy
y c
?
?
????
?
???
???
?
? ?
? ? ;1017.25002035
12
5010;1017.1500520
12
1050
452
3
2
2
222
452
3
1
2
111
cma
cma
zz
zz
?????
?
??????
?????
?
??????
? ? ;1034.310172171 45521 cmzzz ????????????
(2)计算形心主惯性矩：
(z,y轴即形心主轴）
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小 结
一、静矩,;
cAz yAdAyS ???? ? ;cAy zAdAzS ???? ?
性质,截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；
?? AP dAI ;2?;32 4DIP ?? )();1(32 4
4
D
dDI
P ??? ??
?
二、极惯性矩：
实心圆截面,空心圆截面：
三、惯性矩,;
2??
Az dAyI ;
2??
Ay dAzI;? ??? Azy dAyzI
四、惯性积：
矩形截面,圆形截面：;12 3bhIz ? ;12 3hbI y ? ;64
4DII
zy
???
.)( 222 yZAAP IIdAzydAI ????? ?? ?
几何关系：
五、平行移轴公式：;21 Abyy ???? ;11 abAII zyyz ??;21 AaI zz ????
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六、主惯性轴和主惯性矩：
形心主惯性轴（形心主轴） — 通过形心的主惯性轴；
形心主惯性矩（形心主惯矩） — 截面对形心主轴的惯性矩。
主惯性轴（主轴） — 使 的这对正交坐标轴；
主惯性矩（主惯矩） — 截面对主惯性轴的惯性矩；
0?oo yzI
七、平面图形几何性质的几何意义：
1,静矩,图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程度；
2,极惯性矩,图形的面积相对于指定坐标原点之间分布的集
中或分散程度；
3,惯性矩,图形的面积相对于指定坐标轴之间分布的集中或分
散程度；
4,惯性积,图形面积相对于指定的一对正交坐标轴之间分布的
集中或分散程度。
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