第十四章 位移法
位移法的
基本概念
位移法的
基本未知量数目
位移法
计算举例
位移法的
典型方程
小结
第一节
第二节
第三节
第四节
返回
第一节 位移法的基本概念
一、位移法的基本思路
力法求解超静定结构，以多余约束力为基本未知量，取与
原结构受力等效、位移协调的静定结构为基本结构，由位移协
调条件建立基本方程求解基本未知力。对于超静定次数较高、
但结点位移个数较少的问题，也可与力法类似取结点位移为基
本未知量求解，这种方法称为位移法。
位移法是解超静定结构的基本方法之一，也是力矩分配法、
矩阵位移法的基础。
由结构形式及荷载作用引起的变形情况,①确定结点位移
为基本未知量 ；将原超静定结构分解为单元杆件 ；②求 各杆端
内力与杆端位移及杆间荷载之间的关系式 (杆端内力的转角位移
方程 )；由结点或杆件处各杆端内力的平衡条件 ③建立位移法的
基本方程，求结点位移 ；将已求出的结点位移代入杆端内力表
达式,④求各杆端内力 ； ⑤绘内力图 。
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以图示刚架为例：忽略轴力引
起的变形，结点 A仅有转角 θA=Z1
（基本未知量）；将刚结点作为有
结点转角的固定端支座，则刚架可
分解为两个单跨超静定梁（基本结
构）；查表 5-1得：;0,3;2,
8
4
1
11
??
???
CAAC
BAAB
MZ
l
EIM
Z
l
EIMPlZ
l
EIM;56:;087;0,0
2
11 EI
PlZPlZ
l
EI
MMM ACAB
???
????
解得即
由;0;
56
3;
56
3;
56
9
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????
CAAC
ABBA
M
EI
PlM
EI
PlM
EI
PlM
由此可绘出弯矩图。
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若结点 A还有线位移，还应考虑线位移杆件的力投影方程。如
图示刚架，应再列出杆端剪力 QAB的转角位移方程（可查表或由杆
件的平衡条件），建立 AC杆力
的平衡方程。
联解方程求得 Z1,Z2，再
求各杆端内力，绘内力图。;0,0 ??? ABQX
二、位移法的基本原理
1,叠加原理,由此利用变形
一致的条件，将结构分解为单
元杆；
2,平衡原理,由此利用受力等效
的条件，将单元杆拼装成整体结构。
位移法取独立的结点位移为基本未知量，对结构超静定次数
无要求。因而 位移法也可求解静定结构 。但显然，用位移法解静
定结构要比静力法麻烦得多。
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三、等截面直杆的转角位移方程
2,位移法中各量的符号规定：
杆端内力（ M,Q）、杆端位移（ θ,Δ）、外力偶等都是
顺时针为正 ；仅 杆端弯矩对结点是逆时针为正 。
3,固端弯矩和固端剪力,各种杆间荷载作用下的杆端弯矩和
杆端剪力。
G
ABABBABA
G
ABABBAAB
M
L
i
iiM
M
L
i
iiM
?????
?????
6
42
6
24
??
??
1,转角位移方程,杆端内力与杆端位移及杆间荷载之间的关系。
4,等截面直杆的转角位移方程：
①两端固定单跨梁：
等。、、、记为,GBAGABGBAGAB QQMM
返回 下一张 上一张 小结
0
33
?
????
BA
G
ABABAAB
M
M
L
iiM ?
G
BAABA
G
ABAAB
MiM
MiM
???
??
?
?
② 一端固定、一端铰支梁：
③ 一端固定、一端滑动梁：
位移法解题的关键是：
将结构分解成单个杆件,分
别列出各杆端内力的转角位
移方程； 由结点或杆件的平
衡条件,建立位移法的基本
方程 。
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第二节 位移法的基本未知量数目
一、结点转角,独立的结点角位移 —— 一个刚结点一个结点转角 。
??
? 独立结点线位移 结点转角结点位移—位移法的基本未知量
分解位移法单元杆时，刚结点作为
固定端支座，其杆端转角与结点转角相
同（杆端是固定端支座的转角为零）；
铰结点作为铰支座，其转角不独立（铰
支座转角也可由其它位移表示）。
二、独立的结点线位移, — 不能由其它位移决定的线位移。
刚架变形后各杆长度变化，平面结
构各 结点一般都有两个线位移 。但假定
弯曲变形微小，并忽略轴向变形和剪切
变形；则刚架各杆变形前后杆端连线长
度不变，有些梁和刚架无结点线位移。
无侧向约束的刚架，一层一个独立
结点线位移。
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较复杂刚架可用 铰化结点方法判断独立结点线位移 。
— 将刚架所有的 刚结点都化为
铰结点, 固定端支座都化为铰支座 ；
分析铰化结构的几何组成，用添加
链杆的方法使其成为几何不变体系；
所加链杆数目即结构的独立结点线
位移数。
结构的位移法基本未知量总数
等于结点转角（刚结点）数加独立
结点线位移数。
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第三节 位移法计算步骤和示例
用位移法计算超静定结构的步骤：
1,确定位移法基本未知量；
2,列各杆端内力的转角位移方程；
3,建立位移法基本方程；求基本未知量；
4,求各杆端弯矩；
5,绘内力图；
6,校核。
位移法的基本方程是平衡方程。无侧移结构没有独立
结点线位移，只需考虑 刚结点处力矩的平衡条件 ；有侧移
结构还要考虑随 结点移动杆件力的平衡条件 ；由此建立位
移法基本方程。
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例 13-1 用位移法绘制图示刚架的弯矩图。;12012640
12
134;1206640
12
132
1
2
1
1
2
1
???????
???????
ZZM
ZZM
BA
AB;0 ;623 11? ???EBBEM ZZM;1 2 0126640
12
13432;1 2 0612640
12
13234
21
2
21
21
2
21
??????????
??????????
ZZZZM
ZZZZM
CB
BC;80240
2
1;0;623
2
22
??????
?
???
CD
FC
CF
M
M
ZZM
解,1.确定基本未知量,Z1,Z2
2.写出各杆端转角位移方程：
返回 下一张 上一张 小结;0:0;0:0
????
??????
CDCFCBC
BEBCBAB MMMM MMMM;040186 ;0630 21 21 ??? ?? ZZ ZZ;38.2;476.0 21 ??? ZZ解得：;3.14;9.2;3.94;6.1 2 8;7.1 2 5;1.1 1 7
??
?
?
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CF
BE
CB
BC
BA
AB
M
M
M
M
M
M
3,建立位移法基本方程：
4,求各杆端弯矩：
6.683.94128
2
1640
8
1
6.587.1251.117
2
1640
8
1
2
2
????????
????????
H
G
M
M
5,绘弯矩图：
返回 下一张 上一张 小结
例 13-2 试绘图示刚架的内力图。
解,1.确定基本未知量,Z1(θB)和 Z2（ Δ）
2.写出各杆端转角位移方程：
45.144
12
3
4
64
45.124
12
3
4
62
2
2
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iiiiM
iiiiM
BBBA
BBAB
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??;0;623 ???? CBBBBC MiiM ??;75.043;0 ??????? iiMM DCCD;1 8 7 5.0
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4
1;675.05.1
)(
4
1
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?????
???
i
MMQQ
ii
MMQQ
DCCD
G
CDCD
B
BAAB
G
BABA
?
因有结点线位移，还应列出立柱
上端截面的剪力转角位移方程。可查
表，也可由杆 AB和杆 CD的平衡条件
求解。
返回 下一张 上一张 小结
74.26
68.29
??
?
DC
BC
M
M
95.24832 68.2958.47 2 ??????EM
4,求各杆端弯矩：
5,绘弯矩图：；045.110;0:0 ???????? iiMMM BBCBAB ?;0:0 ????? PQQX CDBA;0269 3 7 5.05.1 ????? ii B?
iiB
65.35;947.4 ????解得：;68.29 ;58.47?? ??BAABMM
3,建立位移法基本方程：
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第四节 位移法的典型方程
— 用附加约束的方法建立位移法基本方程。
1,取位移法基本结构，确定基本未知量；（附加约束，将
原结构化作各单跨超静定梁。一般在刚结点处附加刚臂，有线
位移杆件处附加链杆。）
2,考虑各结点位移和荷载分别单独产生时，引起的杆端内
力 Rij和附加约束反力 RiP；（一般考虑 Zj＝ 1引起的约束反力
Rij=rijZj)
3,由附加约束反力为零的平衡条件建立位移法典型方程；
N个结点位移应有 N个方程，为：
.0;0;0
221121
221121
112121111112111
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nPnnnnnnPnnnnn
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??
??
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分析步骤：
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小结
一、位移法的基本思路和分析步骤：由结构形式及荷载作用引
起的变形情况,①确定结点位移为基本未知量 ；将原超静定结构
分解为单元杆件（基本结构为各单跨超静定梁的组合体）； ②列
各杆端内力与杆端位移及杆间荷载之间的关系式 (杆端内力的转
角位移方程 )；由结点或杆件处各杆端内力的平衡条件 ③建立位
移法的基本方程，求结点位移 ；将已求出的结点位移代入杆端内
力表达式,④求各杆端内力 ； ⑤绘内力图 。
二、位移法与力法的比较：
位移法 力法
基本结构 单跨超静定梁的组合体 静定结构
基本未知量 结点位移 多余未知力
基本方程 平衡方程 位移方程
适用范围 结点位移较少的结构 超静定次数较少的结构
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位移法的
基本概念
位移法的
基本未知量数目
位移法
计算举例
位移法的
典型方程
小结
第一节
第二节
第三节
第四节
返回
第一节 位移法的基本概念
一、位移法的基本思路
力法求解超静定结构，以多余约束力为基本未知量，取与
原结构受力等效、位移协调的静定结构为基本结构，由位移协
调条件建立基本方程求解基本未知力。对于超静定次数较高、
但结点位移个数较少的问题，也可与力法类似取结点位移为基
本未知量求解，这种方法称为位移法。
位移法是解超静定结构的基本方法之一，也是力矩分配法、
矩阵位移法的基础。
由结构形式及荷载作用引起的变形情况,①确定结点位移
为基本未知量 ；将原超静定结构分解为单元杆件 ；②求 各杆端
内力与杆端位移及杆间荷载之间的关系式 (杆端内力的转角位移
方程 )；由结点或杆件处各杆端内力的平衡条件 ③建立位移法的
基本方程，求结点位移 ；将已求出的结点位移代入杆端内力表
达式,④求各杆端内力 ； ⑤绘内力图 。
返回 下一张 上一张 小结
以图示刚架为例：忽略轴力引
起的变形，结点 A仅有转角 θA=Z1
（基本未知量）；将刚结点作为有
结点转角的固定端支座，则刚架可
分解为两个单跨超静定梁（基本结
构）；查表 5-1得：;0,3;2,
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由此可绘出弯矩图。
返回 下一张 上一张 小结
若结点 A还有线位移，还应考虑线位移杆件的力投影方程。如
图示刚架，应再列出杆端剪力 QAB的转角位移方程（可查表或由杆
件的平衡条件），建立 AC杆力
的平衡方程。
联解方程求得 Z1,Z2，再
求各杆端内力，绘内力图。;0,0 ??? ABQX
二、位移法的基本原理
1,叠加原理,由此利用变形
一致的条件，将结构分解为单
元杆；
2,平衡原理,由此利用受力等效
的条件，将单元杆拼装成整体结构。
位移法取独立的结点位移为基本未知量，对结构超静定次数
无要求。因而 位移法也可求解静定结构 。但显然，用位移法解静
定结构要比静力法麻烦得多。
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三、等截面直杆的转角位移方程
2,位移法中各量的符号规定：
杆端内力（ M,Q）、杆端位移（ θ,Δ）、外力偶等都是
顺时针为正 ；仅 杆端弯矩对结点是逆时针为正 。
3,固端弯矩和固端剪力,各种杆间荷载作用下的杆端弯矩和
杆端剪力。
G
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1,转角位移方程,杆端内力与杆端位移及杆间荷载之间的关系。
4,等截面直杆的转角位移方程：
①两端固定单跨梁：
等。、、、记为,GBAGABGBAGAB QQMM
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② 一端固定、一端铰支梁：
③ 一端固定、一端滑动梁：
位移法解题的关键是：
将结构分解成单个杆件,分
别列出各杆端内力的转角位
移方程； 由结点或杆件的平
衡条件,建立位移法的基本
方程 。
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第二节 位移法的基本未知量数目
一、结点转角,独立的结点角位移 —— 一个刚结点一个结点转角 。
??
? 独立结点线位移 结点转角结点位移—位移法的基本未知量
分解位移法单元杆时，刚结点作为
固定端支座，其杆端转角与结点转角相
同（杆端是固定端支座的转角为零）；
铰结点作为铰支座，其转角不独立（铰
支座转角也可由其它位移表示）。
二、独立的结点线位移, — 不能由其它位移决定的线位移。
刚架变形后各杆长度变化，平面结
构各 结点一般都有两个线位移 。但假定
弯曲变形微小，并忽略轴向变形和剪切
变形；则刚架各杆变形前后杆端连线长
度不变，有些梁和刚架无结点线位移。
无侧向约束的刚架，一层一个独立
结点线位移。
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较复杂刚架可用 铰化结点方法判断独立结点线位移 。
— 将刚架所有的 刚结点都化为
铰结点, 固定端支座都化为铰支座 ；
分析铰化结构的几何组成，用添加
链杆的方法使其成为几何不变体系；
所加链杆数目即结构的独立结点线
位移数。
结构的位移法基本未知量总数
等于结点转角（刚结点）数加独立
结点线位移数。
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第三节 位移法计算步骤和示例
用位移法计算超静定结构的步骤：
1,确定位移法基本未知量；
2,列各杆端内力的转角位移方程；
3,建立位移法基本方程；求基本未知量；
4,求各杆端弯矩；
5,绘内力图；
6,校核。
位移法的基本方程是平衡方程。无侧移结构没有独立
结点线位移，只需考虑 刚结点处力矩的平衡条件 ；有侧移
结构还要考虑随 结点移动杆件力的平衡条件 ；由此建立位
移法基本方程。
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例 13-1 用位移法绘制图示刚架的弯矩图。;12012640
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12
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解,1.确定基本未知量,Z1,Z2
2.写出各杆端转角位移方程：
返回 下一张 上一张 小结;0:0;0:0
????
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BEBCBAB MMMM MMMM;040186 ;0630 21 21 ??? ?? ZZ ZZ;38.2;476.0 21 ??? ZZ解得：;3.14;9.2;3.94;6.1 2 8;7.1 2 5;1.1 1 7
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3,建立位移法基本方程：
4,求各杆端弯矩：
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5,绘弯矩图：
返回 下一张 上一张 小结
例 13-2 试绘图示刚架的内力图。
解,1.确定基本未知量,Z1(θB)和 Z2（ Δ）
2.写出各杆端转角位移方程：
45.144
12
3
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12
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4
62
2
2
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)(
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1;675.05.1
)(
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i
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DCCD
G
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B
BAAB
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?
因有结点线位移，还应列出立柱
上端截面的剪力转角位移方程。可查
表，也可由杆 AB和杆 CD的平衡条件
求解。
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74.26
68.29
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4,求各杆端弯矩：
5,绘弯矩图：；045.110;0:0 ???????? iiMMM BBCBAB ?;0:0 ????? PQQX CDBA;0269 3 7 5.05.1 ????? ii B?
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3,建立位移法基本方程：
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第四节 位移法的典型方程
— 用附加约束的方法建立位移法基本方程。
1,取位移法基本结构，确定基本未知量；（附加约束，将
原结构化作各单跨超静定梁。一般在刚结点处附加刚臂，有线
位移杆件处附加链杆。）
2,考虑各结点位移和荷载分别单独产生时，引起的杆端内
力 Rij和附加约束反力 RiP；（一般考虑 Zj＝ 1引起的约束反力
Rij=rijZj)
3,由附加约束反力为零的平衡条件建立位移法典型方程；
N个结点位移应有 N个方程，为：
.0;0;0
221121
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分析步骤：
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小结
一、位移法的基本思路和分析步骤：由结构形式及荷载作用引
起的变形情况,①确定结点位移为基本未知量 ；将原超静定结构
分解为单元杆件（基本结构为各单跨超静定梁的组合体）； ②列
各杆端内力与杆端位移及杆间荷载之间的关系式 (杆端内力的转
角位移方程 )；由结点或杆件处各杆端内力的平衡条件 ③建立位
移法的基本方程，求结点位移 ；将已求出的结点位移代入杆端内
力表达式,④求各杆端内力 ； ⑤绘内力图 。
二、位移法与力法的比较：
位移法 力法
基本结构 单跨超静定梁的组合体 静定结构
基本未知量 结点位移 多余未知力
基本方程 平衡方程 位移方程
适用范围 结点位移较少的结构 超静定次数较少的结构
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