第八章 扭转
? 第一节 扭转的概念和实例
? 第二节 扭矩和扭矩图
? 第三节 圆杆扭转时的应力和变形
? 第四节 圆杆扭转的强度和刚度计算
? 本章小结
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第一节 扭转的概念和实例
? 受力特点：一对力偶矩相等,转向相反，作用在垂直于杆
? 轴线的平面内的外力偶。
? 变形特点：使相邻截面绕杆轴线发生相对旋转变形。
? 扭转实例：机器传动轴，钻杆，水电站机组中机动轴。
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第二节 扭矩和扭矩图
? 一、外力偶矩：
?
n
N
m p? ? ?? ? ? ?mknrn KNp,m i n/55.9?
? ?
? ? MKNrn
N,
m i n/02.7
马力?
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? 二,内力 ------扭矩
? 1.截开：
? 2.代替：
? 扭矩 Mn-----当杆受到外
? 力偶矩作用而发生扭转变形
? 时，在杆横截面上将同时产
? 生相应内力矩，称为扭矩。
? 记为,Mn
? 扭矩符号规定：
? 右手螺旋定则。
? 3.平衡,mMmMm nn ?????? 0:0
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? 三、扭矩计算与扭矩图作法：
? 例 1,试作如图示机器传动轴的扭矩图，已知轴的转速
?,
? 主动轮 1 的功率
? 三个 从动轮 2,3,4的
? 功率 分别为
m in/300?n
PSN 5 0 01 ?
PSN
PSN
PSN
2 0 0;1 5 0;1 5 0
4
3
2
?
?
?
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解, 1,求外力偶：
? ?转向与轴的转向一致
mKNm,70.11
3 0 0
5 0 002.71 ??
mKNmm,51.33 001 5002.732 ???
mKNm,406830020002.74 ??
如图 d，根据平衡条件：
? （ 3）从扭矩图（ e）可以看出，最大扭矩发生于 3,1 段内，且
mKNmmM n,02.7322 ?????
mKNmM n,68.443 ??
mKNM n,02.7m a x ?
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?（ 2）根据外力偶矩，计算扭矩：
? 如图 b所示，根据平衡条件：
?
? 同理：如图 c,根据平衡条件：
021 ?? mM n
mKNmM n,51.321 ????
0322 ??? mmM n
043 ?? mM n
? 第三节 圆杆扭转时的应力和变形 一
实心圆杆的扭转
? 1 观察变形现象：
?
? 2 变形现象：
? （ 1）纵线在变形后近似为直线，
? 但相对于原位置转了一个 角。
? （ 2）环线变形后仍相互平行，产生了剪应变。
? 3 推论：
? （ 1）圆杆在扭转后横截面保持为垂直杆轴线的平面，
? 且大小、形状不变，半径为直线。
? （ 2）用纵线和环线截取的单元体处于纯剪切状态。
? （ 3）圆杆的横截面上只有剪应力作用，方向垂直于半径。
?
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? 二 剪应力计算：
? 1 几何关系：
?
? 2 物理关系：
?
? 3 静力关系：
? 扭转 剪应力公式：
?? ??
???
G
P
?
?
?
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d
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GI
M
p
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p
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n
p
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W
M
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M
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?
?
m a x
?
?
?
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? 三 截面极惯性矩 ；抗扭截面模量
? 对圆截面：
?
? 对圆环截面：
4
4
1.032 DDI p ?? ? 3
3
2.016 DDW p ?? ?
? ?44
44
11.01
32
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?
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??? D
D
dDI
p
? ? ? ?4343 12.0116 ??? ???? DDW p
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? 第四节 圆杆扭转的强度和刚度计算
? 一 强度计算：
? 1 强度条件：
? 塑性材料：
? 脆性材料：
? 2 强度计算的三个方面：
? a 强度校核
? b 截面选择
? c 许可荷载确定
? ??? ??
P
n
W
M
m a x
? ? ? ?? ??? 6.05.0 ??
? ? ? ?? ??? 0.18.0 ??
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? 例 1 如图为一钢圆轴，两端受外力偶 m的作用，已知 m=2.5
? KN.m,直径 d=60m，许用应力为 60MPa。试校核该轴的强度。
? 解,（ 1 ）计算扭矩,
? 由平衡条件，得
? （ 2） 校核强度
? 由公式,得
? 所以，满足强度要求。
nM
mKNmM n,5.2??
? ??? ??
P
n
W
M
m a x
?
? ? ? ? M P aM P ad
M
W
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p
n 6059
106
16105.2
16
2
3
2m a x ????
?????
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? 例 2 如图为某汽车传动轴简图，传递的最大力矩 m=1.5KN.m,
? 轴为无缝钢管，外径 D=90mm，厚 T=2.5mm,已知许用剪应
? 力,试校核该轴的强度。? ? M P a60??
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解,1,求扭矩 Mn,取脱离体如图 (b).
由平衡条件 得,mkNMM nx,5.10 ???
?2,强度校核 由公式
?式中 是空心圆截面的抗扭截面模量
?将,代入上式，
得
? 所以 该轴满足强度条件。
? ??? ??
p
n
W
M
m a x
pW
? ?43 116 ?? ?? DW p 9 4 4.090 5.2290 ????? Dd?
? ? 343 2 9 4 0 09 4 4.0116 90 mmW p ???? ?
9
3
m a x 1029 40 0
105.1
??
???
p
n
W
M? ? ? M P aM P a 6051 ??? ?
? 二 刚度计算：
? （ 1）刚度条件：
? 一般规定
? 精密机器的轴
? 一般传动轴
? 精度要求不高的轴
?
? （ 2）刚度计算的三方面：
? a刚度校核
? b荷载确定
? c截面选择
? ? ? ?????? ?????? 180
p
n
p
n
GI
M
GI
M
? ? m/)50.025.0( 0???
? ? m/)0.150.0( 0???
? ? m/)50.20.1( 0???
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? 例 1 如图示其机器传动轴。已知轮 B的输入功率
? 轮 A,C,D的输出功率为
? 轴的转速 n=500r/min，许用剪应力
? 剪切弹性模量 G=80Gpa.试设计轴的直径。
? 解 （ 1）计算外力偶矩：
?
KwN B 30?
,5,10,10 kwNkwNkwN DcA ???
? ? ? ?,/1,40 0 mM pa ?? ??
mNnNm BB ???? 94.5725003095509550
mNnNm AA ??? 74.286500159 5 509 5 50
mNnNm cc ???? 89.1 905 00109 55 09 55 0
mNnNm DD ???? 49.955 0059 55 09 55 0
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? (2)作扭矩图 用截面法，计算各段扭矩
? AB段扭矩
? BC段扭矩
? CD段扭矩
其最大扭矩的绝对值为
mNM n ?? 47.2861
mNmmM BAn ??????? 47.28694.57247.2862
mNmM Dn ????? 49.953
mNM N ?? 47.2 8 6m a x
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?（ 3）由强度条件，得
? 故求得直径为
? ???? ??? 3m a xm a xm a x 16 DMWM npn
? ?
3
63
m a x
1040
47.28 61616
??
???
???
nMD
mmm 2.330 3 3 2.0 ??
? （ 4） 由刚度条件，得
? 故求得直径为
? 按刚度要求取轴的直径为
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???
? ????? 1 8 0
32
1 8 0
4
m a xm a x
m a x
DG
M
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M n
p
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18047.2863218032
264 2
m a x
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?????
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MD n
mmm 380 3 8.0 ??
mmD 38?
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本章小结
? （一）扭转是杆件四种基本变形之一，本章主要计论圆截面等
? 直 杆的扭转。
? （二）扭转时杆所受的外力是作用在垂直于杆轴线平面内的外
? 力 偶。变形的特征是杆件的横截面绕杆轴线作相对运
? 动。
? （三） 扭转时杆件横截面上的内力，可用截面法求得。它是
? 作用 在横截面所在平面的内力偶，称为扭矩。
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? （四） 圆轴扭转时，变形符合平面假设。由此可得变形的几
? 何关系，再用剪切胡克定律和静力关系，便可以导出
? 圆轴扭转时横载面上的剪应力公式
?
? 和变形公式
?
? 应用这两个公式进一步可得出圆轴扭转时的强度，刚
? 度条件为
p
n
p I
pM??
p
n
GI
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p
n
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m a x
? ???? ??? 180m a x
p
n
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? （五）用强度，刚度条件解决实际部题的步骤
? 1）求出轴上外力偶矩；
? 2）计算扭矩和作出扭矩图；
? 3）分析危险截面；
? 4）列出危险截面的强度、刚度条件并进行计算。
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? 第一节 扭转的概念和实例
? 第二节 扭矩和扭矩图
? 第三节 圆杆扭转时的应力和变形
? 第四节 圆杆扭转的强度和刚度计算
? 本章小结
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第一节 扭转的概念和实例
? 受力特点：一对力偶矩相等,转向相反，作用在垂直于杆
? 轴线的平面内的外力偶。
? 变形特点：使相邻截面绕杆轴线发生相对旋转变形。
? 扭转实例：机器传动轴，钻杆，水电站机组中机动轴。
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第二节 扭矩和扭矩图
? 一、外力偶矩：
?
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N,
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? 二,内力 ------扭矩
? 1.截开：
? 2.代替：
? 扭矩 Mn-----当杆受到外
? 力偶矩作用而发生扭转变形
? 时，在杆横截面上将同时产
? 生相应内力矩，称为扭矩。
? 记为,Mn
? 扭矩符号规定：
? 右手螺旋定则。
? 3.平衡,mMmMm nn ?????? 0:0
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? 三、扭矩计算与扭矩图作法：
? 例 1,试作如图示机器传动轴的扭矩图，已知轴的转速
?,
? 主动轮 1 的功率
? 三个 从动轮 2,3,4的
? 功率 分别为
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PSN
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2 0 0;1 5 0;1 5 0
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解, 1,求外力偶：
? ?转向与轴的转向一致
mKNm,70.11
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mKNmm,51.33 001 5002.732 ???
mKNm,406830020002.74 ??
如图 d，根据平衡条件：
? （ 3）从扭矩图（ e）可以看出，最大扭矩发生于 3,1 段内，且
mKNmmM n,02.7322 ?????
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?（ 2）根据外力偶矩，计算扭矩：
? 如图 b所示，根据平衡条件：
?
? 同理：如图 c,根据平衡条件：
021 ?? mM n
mKNmM n,51.321 ????
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043 ?? mM n
? 第三节 圆杆扭转时的应力和变形 一
实心圆杆的扭转
? 1 观察变形现象：
?
? 2 变形现象：
? （ 1）纵线在变形后近似为直线，
? 但相对于原位置转了一个 角。
? （ 2）环线变形后仍相互平行，产生了剪应变。
? 3 推论：
? （ 1）圆杆在扭转后横截面保持为垂直杆轴线的平面，
? 且大小、形状不变，半径为直线。
? （ 2）用纵线和环线截取的单元体处于纯剪切状态。
? （ 3）圆杆的横截面上只有剪应力作用，方向垂直于半径。
?
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? 二 剪应力计算：
? 1 几何关系：
?
? 2 物理关系：
?
? 3 静力关系：
? 扭转 剪应力公式：
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? 三 截面极惯性矩 ；抗扭截面模量
? 对圆截面：
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? 第四节 圆杆扭转的强度和刚度计算
? 一 强度计算：
? 1 强度条件：
? 塑性材料：
? 脆性材料：
? 2 强度计算的三个方面：
? a 强度校核
? b 截面选择
? c 许可荷载确定
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? ? ? ?? ??? 6.05.0 ??
? ? ? ?? ??? 0.18.0 ??
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? 例 1 如图为一钢圆轴，两端受外力偶 m的作用，已知 m=2.5
? KN.m,直径 d=60m，许用应力为 60MPa。试校核该轴的强度。
? 解,（ 1 ）计算扭矩,
? 由平衡条件，得
? （ 2） 校核强度
? 由公式,得
? 所以，满足强度要求。
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? 例 2 如图为某汽车传动轴简图，传递的最大力矩 m=1.5KN.m,
? 轴为无缝钢管，外径 D=90mm，厚 T=2.5mm,已知许用剪应
? 力,试校核该轴的强度。? ? M P a60??
返回 下一张 上一张 小结
解,1,求扭矩 Mn,取脱离体如图 (b).
由平衡条件 得,mkNMM nx,5.10 ???
?2,强度校核 由公式
?式中 是空心圆截面的抗扭截面模量
?将,代入上式，
得
? 所以 该轴满足强度条件。
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? 二 刚度计算：
? （ 1）刚度条件：
? 一般规定
? 精密机器的轴
? 一般传动轴
? 精度要求不高的轴
?
? （ 2）刚度计算的三方面：
? a刚度校核
? b荷载确定
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? ? m/)50.025.0( 0???
? ? m/)0.150.0( 0???
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? 例 1 如图示其机器传动轴。已知轮 B的输入功率
? 轮 A,C,D的输出功率为
? 轴的转速 n=500r/min，许用剪应力
? 剪切弹性模量 G=80Gpa.试设计轴的直径。
? 解 （ 1）计算外力偶矩：
?
KwN B 30?
,5,10,10 kwNkwNkwN DcA ???
? ? ? ?,/1,40 0 mM pa ?? ??
mNnNm BB ???? 94.5725003095509550
mNnNm AA ??? 74.286500159 5 509 5 50
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? (2)作扭矩图 用截面法，计算各段扭矩
? AB段扭矩
? BC段扭矩
? CD段扭矩
其最大扭矩的绝对值为
mNM n ?? 47.2861
mNmmM BAn ??????? 47.28694.57247.2862
mNmM Dn ????? 49.953
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?（ 3）由强度条件，得
? 故求得直径为
? ???? ??? 3m a xm a xm a x 16 DMWM npn
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47.28 61616
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? （ 4） 由刚度条件，得
? 故求得直径为
? 按刚度要求取轴的直径为
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mmD 38?
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本章小结
? （一）扭转是杆件四种基本变形之一，本章主要计论圆截面等
? 直 杆的扭转。
? （二）扭转时杆所受的外力是作用在垂直于杆轴线平面内的外
? 力 偶。变形的特征是杆件的横截面绕杆轴线作相对运
? 动。
? （三） 扭转时杆件横截面上的内力，可用截面法求得。它是
? 作用 在横截面所在平面的内力偶，称为扭矩。
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? （四） 圆轴扭转时，变形符合平面假设。由此可得变形的几
? 何关系，再用剪切胡克定律和静力关系，便可以导出
? 圆轴扭转时横载面上的剪应力公式
?
? 和变形公式
?
? 应用这两个公式进一步可得出圆轴扭转时的强度，刚
? 度条件为
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? （五）用强度，刚度条件解决实际部题的步骤
? 1）求出轴上外力偶矩；
? 2）计算扭矩和作出扭矩图；
? 3）分析危险截面；
? 4）列出危险截面的强度、刚度条件并进行计算。
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