? 静定梁
? 静定平面刚架
? 三铰拱
? 静定平面桁架
? 静定结构小结
?
第一节
第二节
第三节
第四节
第五节
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第四章 静定结构的内力分析 （结 P21—P50）
? 第一节 静定梁
一、单跨静定梁：
1、基本形式，截面内力的性质和计算方法，内力图的
绘制方法：（各三种）
2、斜简支梁：
1）内力表达式：;212 02 KK MqxxqlM ???
?c o s)2( qxqlQ K ??
.s in)2( ?qxqlN K ???
.;co s0 ?KQ?
.;s in0 ?KQ??
2) 内力图绘制,以梁轴为曲线，
内力图竖标垂直梁轴。 返回 下一张 上一张 小结
二、多跨静定梁：
— 由若干 单跨梁 用 铰 及 链杆 联结而成的静定结构,
多跨静定梁能跨越几个连续的跨度，受力性能优于相应的一
连串简支梁，故广泛应用于房屋建筑和公路桥梁中，是使短梁跨
越大跨度的一种较合理的结构形式。
多跨静定梁的 特点,
结构组成,组成整个结构的各单
跨梁可分为基本部分和附属部分。
基本部分,结构中凡本身能独立
维持几何不变的部分。如图,ab cd
附属部分,需依赖其它部分支承
才能保持几何不变的部分。 如图,bc
多跨静定梁的 结构简图,由
外伸梁和简支短梁铰结组成。
多跨静定梁的 基本形式,有两种。
返回 下一张 上一张 小结
层次图,反映多跨静定梁组成顺序的
图形。（ 基本部分在下，附属部分在上 。）
组成顺序,先基本 部分,后附属 部分；
受力传递,先附属 部分,后基本 部分；
计算方法、顺序,拆成单跨梁，先
附属部分，后基本部分；（ 先上后下 ）
计算步骤,1,画出层次图,拆成
单跨梁；
2、由上而下，依次绘制各 单梁内力图 ；
3、拼接成 全梁内力图 。
注意,1、由上而下画层次图、受力传递图时，各梁上除作用
有荷载外，还有上层传来的支反力；（多跨静定梁拆成单梁后，从
附属部分到基本部分，依次由静力平衡方程求出 各支反力反向作用
于下层也为荷载 。）
2、内力图画在原 结构简图 上。 返回 下一张 上一张 小结
多跨静定梁与简支梁的比较：
优点,受力均匀 ；
缺点,中间铰的构造复杂 。
中间铰的位置直接影响到梁的
内力分布均匀，按需要设计伸臂长
度可使弯矩均匀分布。跨中最大弯
矩与支座处相同。
多跨静定梁内力图的绘制：
1、叠加法绘图,可将单梁上
的荷载分解后分别作图再叠加；
（或用区段叠加法作图，先确定两
端面内力再叠加简支梁作用杆间荷
载时的内力图。）
2、简捷法校核,按内力图特征校核。
注意：铰结点处,M=0。 返回 下一张 上一张 小结
例 4-1:绘 图示多跨静定梁内力图。
解,1.画层次图,把多跨梁拆成单跨梁计算：
);(67.1166)3630820( ???????? kNY C
);(33.836)2203630( ???????? KNY E
);(11.1 5 16)2 4 0833.83( ?????? kNY B
);(78.676)240233.83( ?????? kNY D
);(78.274078.67 ???? kNY A
mkNM A,56.552)4078.67( ????
,0206304078.2766.15167.116 ????????? Y
校核无误。2.绘内力图：
分段绘图，再拼在原来的结构图上。
用区段叠加法作图时，只求 EC段
中点的弯矩值。从结果可知，与极值
点 x的弯矩值非常接近。
返回 下一张 上一张 小结
第二节 静定平面刚架
一、刚架的特点及分类：
1、定义,由 不同方向直杆 用全部或部分 刚结点 组成的结构。
平面刚架,外力和各杆轴线在同一平面内时称平面刚架。
静定平面刚架,由静力平衡条件即可确定全部未知力的平面
刚架称为静定平面刚架。（无多余约束的几何不变体系。）
2、特点,静定平面刚架是由 梁和柱 组成的平面结构。
1） 刚度大,刚结点处各杆端不发
生相对位移； 刚结点可承受弯矩 ；
2） 整体性能好，内力分布均匀,
3） 内部净空间大，便于利用：
3、分类,刚架按几何组成分为 静定 刚架和 超静定 刚架。
静定刚架按支座形式分为,悬臂刚架,简支刚架,三铰刚架 。
返回 下一张 上一张 小结
二、刚架的内力分析：
刚架是由若干单个杆件刚结而成，其内力分析仍用单跨梁内
力分析的基本方法进行。刚架中杆件多为梁式杆,截面上内力有
弯矩、剪力、轴力 。内力图应绘 M图,Q图,N图。 一般取各杆段
两端面为 控制截面,先求其内力再按 区段叠加法 绘图。
内力图绘制规定,M图画在受拉侧，不标正负号 ； Q图,N图
各分别画在杆轴两侧，必须标明正负号。 Q,N的符号规定与梁相
同,剪力顺时针转向为正；轴力拉为正。
杆端内力的表示方法：内力符号右下角两个脚标表示杆件，
第一个脚标表示求内力的截面 。
静定刚架计算步骤：
1、求支座反力：（由 整体力矩平衡 方程）
2、求各杆端内力：（取 半边结构 研究）
3、分段绘各杆内力图：（按 内力图特征 ）
4、校核内力图：（由 杆件、结点 处平衡条件）
返回 下一张 上一张 小结
例 4-2:作图示悬 臂刚架的内力图。
解,对悬臂 刚架可不计算支座反力,直接从刚架
的 自由端开始计算各控制截面的内力,并绘内力图 。
1.计算各杆控制截面（两端面）的内力值：
DE 杆：;00(80 ???? DEDEDE NQmkNM,内侧受拉），;00(80 ???? EDEDED NQmkNM,内侧受拉），
DB杆,;0,40,(80 ????? DBDBDB NkNQmkNM 内侧受拉）;0,100,(200 ????? BDBDBD NkNQmkNM 外侧受拉）
BA杆：;100,0
,(200
kNNQ
mkNM
BABA
BA
???
?? 外侧受拉）;1 0 0;04 4602 2 0 080 kNQM CC ??????? 右
.100,120
(560
kNNkNQ
mkNM
ABAB
AB
????
??? 外侧受拉），
2.绘制内力图：（区段叠加法）
3.校核内力图：（ 由结点、杆件
或局部结构的平衡条件 ）
返回 下一张 上一张 小结
例 4-3:作图示刚架的内力图。
解,1.求支座反力：由整体平衡得,
2.绘内力图：
);(4 ?? kNH B;(1644;0 右侧受拉）mkNMM EBBE ???????;(824;0 左侧受拉）mkNMMM DACAD ??????;(2847;0 上侧受拉）mkNMM EFFE ???????
上侧受拉）；(8 mkNM DE ???
);(654 243614);(194 241614 ?????????????? kNYkNY BA
DE杆,
BE 杆,
EF杆,
上侧受拉）；(.44441214 mkNM ED ????????
下侧受拉）；＋中 (.22 8448 414 2 mkNM ????
3.校核内力图：由内力图特征和结点、
杆件平衡。
AD杆,
返回 下一张 上一张
作弯矩图；再作剪力图、轴力图。
小结
例 4-4,作图 示三铰刚架的内力图。
解,1.求支座反力：由整体平衡：;,0
);(80,0
);(80,0
BA
BA
AB
HHX
kNVM
kNVM
??
???
???
?
?
?
);(20;20,0
?????
???
kNHH
kNHM
BA
AC
由左半边刚架平衡：
2.绘弯矩图,
AD 杆,
);(120620
,0
mkNM
M
DA
AD
????
?;0
,(120
?
???
CD
DC
M
mkNM 上侧受拉）
左侧受拉）；(201682060 mkNM G ????????
DC 杆,
DC杆中点：
右半边计算,,0(120 ????? BECEEBEC MMmkNMM 外侧受拉）；
由 M图可知,对称结构作用正对称荷载，弯矩图正对称。
返回 下一张 上一张 小结
3.绘剪力图：;20 kNQQ DAAD ???;9.847.4)820120(;6.6247.4)247.4894.0420120(
kNQ
kNQ
CD
DC
??????
???????
AD杆：
DC杆：
右半边计算,.; ADBEEBCDECCE QQQQQQ ??????
由 Q图可知：
对称结构作用正对称荷载，剪力图反对称。;80 EBBEDAAD NNkNNN ?????
.1 7 84 4 7.0806.53
s i n420;6.538 9 4.0204 4 7.080
c o s20s i n80
CE
DCCD
EC
DC
NkN
NN
NkN
N
???????
???
????????
???
?
??
4.绘轴力图,求各杆端轴力：;8 9 4.047.44c o s;4 4 7.047.42s i n ?????? ??
5.校核内力图,返回 下一张 上一张
由 N图可知：
对称结构作用正对称荷载，轴
力图正对称。
小结
第三节 三铰拱
一、概述
定义, 拱 — 杆轴为曲线, 而且在 竖
向荷载 作用下支座将产生 水平反 (推 )力
的结构。
静定拱 — 三铰拱、拉杆拱；
超静定拱 — 两铰拱、无铰拱。
按拱脚高度分为,平拱 和 斜拱 。
拱的重要参数,高跨比 ;
10
1~
2
1?
L
f
返回 下一张 上一张
拱式结构各部分的名称：
拱轴线 — 拱各截面形心联线；
拱脚 (趾 )— 拱两端与支座联结处；
跨度 L— 两拱脚间水平距离；
起拱线 — 连接两拱脚的直线；
拱顶 — 拱轴上的最高点；
拱 (矢 )高 — 拱顶至起拱线间的竖向距离。
小结
二、三铰拱的计算：
（一） 支座反力 的计算公式,（与三铰刚架求法相同 )
比较 代梁 （ 与拱同跨度、同荷载的水平简支梁）：;:0 2211 l bPl bPbPbPVM iinnAB ?? ?????????;:0 HHHX BA ????;:0 2211 l aPl aPaPaPVM iinnBA ?? ?????????
) ] ;2()2(2[1:0 2211 alPalPlVfHM AC ???????
.;; 000 fMHHVVVV CBABBAA ?????
此时拱为瞬变体系）
当
(;,0;,????? HfHf
支座反力特点：
1.竖向反力与拱高无关 ；
2.水平反力与 f 成反比；
3.所有反力与拱轴无关,只取
决于荷载与三个铰的位置。 返回 下一张 上一张 小结
（二）内力的计算公式,(内力符号规定与梁相同）
取任意截面 K左半边拱为研究对象 。截面 K的形心坐标为,该处拱轴
切线的倾角 。截面内力可分解为 。
KK YX,
K?
KKK NQM,、
1,弯矩的计算公式：;)]([ 11 KKKAK HyaxPxVM ????
KoKK HyMM ??;s i nc o s)( 1 KKAK HPVQ ?? ???
oKK MM ?
2,剪力的计算公式：（左半拱 ）
KKoKK HQQ ?? s inc o s ??
0?K?
3,轴力的计算公式：;c o ss i n)( 1 KKAK HPVN ?? ???
kKoKK HQN ?? co ss in ??
三铰拱的特点,1)拱要比梁有更坚固的
支承； 2)拱可跨越较梁更大的跨度； 3)拱宜
用脆性材料。
由以上三式可知：因推力关系,拱内弯
矩、剪力较之相应的简支梁都小 。因此拱结
构可比梁跨越更大的跨度；但拱结构支承不
及梁的经济。 拱内以轴力 (压力 )为主要内力。
返回 下一张 上一张 小结
(三）内力图的绘制：（ 规定内力图画在 水平基线 上,M图画在受拉侧；正值
剪力画在轴上侧； 受压的轴力画在轴上侧 。）
绘图步骤,
1,将拱跨度 L(或拱轴 )等分为 8～ 12段，取每一等分截面为控制截面；
2,由公式计算各控制截面弯矩、剪力、轴力值；
3,绘内力图；（用简捷法或叠加法；内力图特征与梁相仿，但均为曲线。）
例 4-5 试绘三铰拱内力图。（ P39例 3-3）
解,1）求支座反力, VA=VAo=105KN; VB=VBo=115KN; H=MCo/f =82.5kN.
2）将梁分为 8段：
3）分别求各等分截面的内力值, 例截面 2(距左支座 3.0m处 ),x2=3.0m,;0.3)0.312(0.312 44)(4 22222 mxlxl fy ????????;66 7.0)3212(12 44)2(4)( 22222 ???????? xll fdxdytg ?;55 5.02.1 66 7.01s i n
22
22 ??
?? ?
??
tg
tg;832.02.1 11 1c os
22
2 ???? ?? tg;5.6735.823105222 mkNHyMM o ????????;6.41555.05.82832.0105s i nco s 2222 kNHQQ o ?????? ??左左 ＝;6.415 5 5.05.828 3 2.00.5s i nc o s 2222 kNHQQ o ??????? ??右右 ＝;9.126832.05.82555.0105co ss i n 2222 kNHQN o ?????? ??左左 ＝
.4.71832.05.82555.00.5co ss i n 2222 kNHQN o ?????? ??右右 ＝
4）绘内力图 (P39图 3-26）
5）校核内力图,（按内力图特征） 返回 下一张 上一张 小结
三,拱的合理轴线,
一般来讲，拱内任一截面内力有 M,Q,N，处于压弯组合状态。各截
面弯矩值较代梁小，适于跨越大跨度；截面轴力大，宜于用 脆性材料建造，
这就 要求截面上不出现拉应力 。压弯组合变形中产生拉应力的因素是弯矩，
故应减少截面弯矩值。
— 使 的轴线称为拱的合理轴线。0?M
由 可得三铰拱的合理拱轴线方程为,;0??? HyMM o ;
H
My o?
例 4-6 试证明静水压力作用下三铰拱的合理拱轴为圆弧。
解：由对称性：
由左半拱：;0;0 ?? CC MQ;0)s i n ()c o s1(:0 0 ?????? ?? ? ???? rq r drNM CA;qrN C ???
求任意截面 K的内力：
? ???????? ? ???? 0 ;0)s i n ()c o s1( rq r drNM CK;0)c o s (s i n 0 ???? ? ? ???? q r dNQ CK
。qrq r dNN CK ????? ? ? ???? 0 )s i n (c o s
此时合理拱轴线为圆弧。外压力作用时,NC<0；
内压力作用时,NC>0。故引水隧洞、输水管道、拱
坝等多用圆管。 返回 下一张 上一张 小结
第四节 静定平面桁架
一、概述：
桁架 — 由若干 直杆铰结 而成的
杆系结构。
1）所有的结点都是无磨擦的
理想铰 结点；
2）各杆轴线都是在同一平面
内的 直线, 并 通过铰 的中心；
3）仅作用结点力（荷载与支
反力），并位于桁架平面内。
符合以上条件的桁架中各杆都
是 只受轴力 的二力杆，这样的桁架
称为 理想桁架 。（是本书研究范围，由
此计算结果的误差在工程允许范围内。）
平面桁架计算简图的三点假设：
静定平面桁架的组成方式：
简单桁架、联合桁架、复杂桁架。
桁架各部位名称,弦杆,腹杆,结点,节间 。 返回 下一张 上一张 小结
二、解算桁架内力的方法：
（一） 结点法,（取 单个结点 为研究对象,未知轴力不要超过两个 。）
例 4-7 用结点法求 简单桁架各杆轴力 。
解,1,求支座反力,V1=V8=40kN(?)
2,求各杆轴力,按构造顺序逆向依次取
结点分析。 1,2,3,4,5,6,7,8。;67,0511040,0 1212 KNNNY ???????;60,0;0,0 133532 KNNNXNY ????? ??
? ? ;606752,052,0 131213 KNNNNX ?????????
结点 1：
结点 3：
?称条件得出右半部分各杆内力由对
结点
：结点;20,0
5
1
5
1
20,0;744,0
5
2
5
2
,0:4;7.44,4.22
,020
5
1
5
1
5
1
,0
,0
5
2
5
2
5
2
,02
45462445
24462446
2425
24251232
242512
??????????????
????????????
????????
????????????
??????
?
?
?
?
?
?
kk
NNX
3,校核,结点 5,.0;0 ?? ?? YX 返回 下一张 上一张 小结
桁架各杆轴力的简化计算：
1）利用对称性, 对称结构，对称荷载，各杆轴力对称；
2）判断零杆,零杆 — 轴力等于零的杆。
零杆只是在 某种荷载作用下轴力为零 的杆，
不能从结构中去掉。当结构上的荷载变化时，
零杆的位置也随着改变。
（二）截面法：
— 截取两个结点以上的部分桁架为研究对象，由平衡条件求杆件轴力。
为避免求解联立方程，用
截面法时，截断的未知轴力杆
不应超过三根。但也有特殊情
况，如,仅一根杆不汇交或仅
一根杆不平行。
返回 下一张 上一张 小结
例 4-8 试求图示桁架各杆轴力。
解,1、求支座反力：
);(15);(15);(30 ?????? kNVkNVkNH BAA
2、判断零杆和已知轴力杆：
3、求其余各杆轴力：
结点 H:(为避免解联立方程，可将斜杆轴
力滑移、分解后用力矩方程求解。 )
? ???? ;14.142;10:0 kNXNkNXM HCHCHCF;18.112 5;10:0 kNXNkNXM HFHFHFC ???????
结点 F,;8.11:0 kNNNX FDFH ?????;10512:0 kNNNY FHFC ?????
结点 D,;28.282;201030:0 kNXNkNXX
DCDCDC ??????????
4、校核：结点 C(仍考虑各斜杆轴力分力）,
.0201010;0302010
????
????
?
?
Y
X
返回 下一张 上一张 小结
第五节 静定结构小结
一、静定结构的基本特征：
1,几何组成方面：是 没有多余约束的几何不变体系 ；静力学方面：其
全部未知力均可由静力平衡条件求得 唯一解答。
2,静定结构不须考虑结构的变形条件，其 反力和内力只与荷载以及结构
的几何形状和尺寸有关,而与构件所用的材料以及截面的形状、尺寸无关。
3,静定结构无多余约束,因此它在支座位移、温度改变、制造误差
等因素影响下,不产生反力和内力，但能产生结构位移。
4,静定结构受 平衡力系作用时,其影响范围只限于受该力系作用的最小
几何不变部分，此外范围不受影响； 静力等效的两力系作用 在静定结构上，
只使两力系共同占有的几何不变部分发生不同内力和变形，结构中其它部分
受力情况则相同。
二、静定结构的受力分析：
静定结构受力分析的基本方法仍是 截面法,
1,截开 （暴露未知力）；
2,代替 （确定脱离体上的力系）；
3,平衡 （求解未知力）。
当作用在脱离体上的力系为 平面汇交力系 时，利用两个独立的平衡
方程,可求解两个未知力 ；若为 平面一般力系,则有三个独立的平衡方
程,可求解三个未知力 。 返回 下一张 上一张 小结
三、常用的几类静定结构的内力特点,
1,静定梁, — 受弯构件。
横向力作用下,截面上内力有弯矩、剪力 。
单跨静定梁有,悬臂梁、简支梁、外伸梁 ；
多跨静定梁有,基本部分、附属部分 。
2,静定平面桁架, — 二力杆 截面上仅有轴力 。
可用 结点法和截面法 计算。
3,三铰拱, — 横向荷载作用下产生水平推力的曲杆 。
截面上内力主要是轴向压力。
4,静定平面刚架, — 梁、柱组合结构。
截面上内力有弯矩、剪力和轴力。
静定平面刚架的基本形式,悬臂刚架、简支刚架、三铰刚架 。
5,组合结构, — 多为桁梁组合结构，由 二力杆和梁式杆 组成。
返回 下一张 上一张 小结
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? 三铰拱
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第一节
第二节
第三节
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第五节
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第四章 静定结构的内力分析 （结 P21—P50）
? 第一节 静定梁
一、单跨静定梁：
1、基本形式，截面内力的性质和计算方法，内力图的
绘制方法：（各三种）
2、斜简支梁：
1）内力表达式：;212 02 KK MqxxqlM ???
?c o s)2( qxqlQ K ??
.s in)2( ?qxqlN K ???
.;co s0 ?KQ?
.;s in0 ?KQ??
2) 内力图绘制,以梁轴为曲线，
内力图竖标垂直梁轴。 返回 下一张 上一张 小结
二、多跨静定梁：
— 由若干 单跨梁 用 铰 及 链杆 联结而成的静定结构,
多跨静定梁能跨越几个连续的跨度，受力性能优于相应的一
连串简支梁，故广泛应用于房屋建筑和公路桥梁中，是使短梁跨
越大跨度的一种较合理的结构形式。
多跨静定梁的 特点,
结构组成,组成整个结构的各单
跨梁可分为基本部分和附属部分。
基本部分,结构中凡本身能独立
维持几何不变的部分。如图,ab cd
附属部分,需依赖其它部分支承
才能保持几何不变的部分。 如图,bc
多跨静定梁的 结构简图,由
外伸梁和简支短梁铰结组成。
多跨静定梁的 基本形式,有两种。
返回 下一张 上一张 小结
层次图,反映多跨静定梁组成顺序的
图形。（ 基本部分在下，附属部分在上 。）
组成顺序,先基本 部分,后附属 部分；
受力传递,先附属 部分,后基本 部分；
计算方法、顺序,拆成单跨梁，先
附属部分，后基本部分；（ 先上后下 ）
计算步骤,1,画出层次图,拆成
单跨梁；
2、由上而下，依次绘制各 单梁内力图 ；
3、拼接成 全梁内力图 。
注意,1、由上而下画层次图、受力传递图时，各梁上除作用
有荷载外，还有上层传来的支反力；（多跨静定梁拆成单梁后，从
附属部分到基本部分，依次由静力平衡方程求出 各支反力反向作用
于下层也为荷载 。）
2、内力图画在原 结构简图 上。 返回 下一张 上一张 小结
多跨静定梁与简支梁的比较：
优点,受力均匀 ；
缺点,中间铰的构造复杂 。
中间铰的位置直接影响到梁的
内力分布均匀，按需要设计伸臂长
度可使弯矩均匀分布。跨中最大弯
矩与支座处相同。
多跨静定梁内力图的绘制：
1、叠加法绘图,可将单梁上
的荷载分解后分别作图再叠加；
（或用区段叠加法作图，先确定两
端面内力再叠加简支梁作用杆间荷
载时的内力图。）
2、简捷法校核,按内力图特征校核。
注意：铰结点处,M=0。 返回 下一张 上一张 小结
例 4-1:绘 图示多跨静定梁内力图。
解,1.画层次图,把多跨梁拆成单跨梁计算：
);(67.1166)3630820( ???????? kNY C
);(33.836)2203630( ???????? KNY E
);(11.1 5 16)2 4 0833.83( ?????? kNY B
);(78.676)240233.83( ?????? kNY D
);(78.274078.67 ???? kNY A
mkNM A,56.552)4078.67( ????
,0206304078.2766.15167.116 ????????? Y
校核无误。2.绘内力图：
分段绘图，再拼在原来的结构图上。
用区段叠加法作图时，只求 EC段
中点的弯矩值。从结果可知，与极值
点 x的弯矩值非常接近。
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第二节 静定平面刚架
一、刚架的特点及分类：
1、定义,由 不同方向直杆 用全部或部分 刚结点 组成的结构。
平面刚架,外力和各杆轴线在同一平面内时称平面刚架。
静定平面刚架,由静力平衡条件即可确定全部未知力的平面
刚架称为静定平面刚架。（无多余约束的几何不变体系。）
2、特点,静定平面刚架是由 梁和柱 组成的平面结构。
1） 刚度大,刚结点处各杆端不发
生相对位移； 刚结点可承受弯矩 ；
2） 整体性能好，内力分布均匀,
3） 内部净空间大，便于利用：
3、分类,刚架按几何组成分为 静定 刚架和 超静定 刚架。
静定刚架按支座形式分为,悬臂刚架,简支刚架,三铰刚架 。
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二、刚架的内力分析：
刚架是由若干单个杆件刚结而成，其内力分析仍用单跨梁内
力分析的基本方法进行。刚架中杆件多为梁式杆,截面上内力有
弯矩、剪力、轴力 。内力图应绘 M图,Q图,N图。 一般取各杆段
两端面为 控制截面,先求其内力再按 区段叠加法 绘图。
内力图绘制规定,M图画在受拉侧，不标正负号 ； Q图,N图
各分别画在杆轴两侧，必须标明正负号。 Q,N的符号规定与梁相
同,剪力顺时针转向为正；轴力拉为正。
杆端内力的表示方法：内力符号右下角两个脚标表示杆件，
第一个脚标表示求内力的截面 。
静定刚架计算步骤：
1、求支座反力：（由 整体力矩平衡 方程）
2、求各杆端内力：（取 半边结构 研究）
3、分段绘各杆内力图：（按 内力图特征 ）
4、校核内力图：（由 杆件、结点 处平衡条件）
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例 4-2:作图示悬 臂刚架的内力图。
解,对悬臂 刚架可不计算支座反力,直接从刚架
的 自由端开始计算各控制截面的内力,并绘内力图 。
1.计算各杆控制截面（两端面）的内力值：
DE 杆：;00(80 ???? DEDEDE NQmkNM,内侧受拉），;00(80 ???? EDEDED NQmkNM,内侧受拉），
DB杆,;0,40,(80 ????? DBDBDB NkNQmkNM 内侧受拉）;0,100,(200 ????? BDBDBD NkNQmkNM 外侧受拉）
BA杆：;100,0
,(200
kNNQ
mkNM
BABA
BA
???
?? 外侧受拉）;1 0 0;04 4602 2 0 080 kNQM CC ??????? 右
.100,120
(560
kNNkNQ
mkNM
ABAB
AB
????
??? 外侧受拉），
2.绘制内力图：（区段叠加法）
3.校核内力图：（ 由结点、杆件
或局部结构的平衡条件 ）
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例 4-3:作图示刚架的内力图。
解,1.求支座反力：由整体平衡得,
2.绘内力图：
);(4 ?? kNH B;(1644;0 右侧受拉）mkNMM EBBE ???????;(824;0 左侧受拉）mkNMMM DACAD ??????;(2847;0 上侧受拉）mkNMM EFFE ???????
上侧受拉）；(8 mkNM DE ???
);(654 243614);(194 241614 ?????????????? kNYkNY BA
DE杆,
BE 杆,
EF杆,
上侧受拉）；(.44441214 mkNM ED ????????
下侧受拉）；＋中 (.22 8448 414 2 mkNM ????
3.校核内力图：由内力图特征和结点、
杆件平衡。
AD杆,
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作弯矩图；再作剪力图、轴力图。
小结
例 4-4,作图 示三铰刚架的内力图。
解,1.求支座反力：由整体平衡：;,0
);(80,0
);(80,0
BA
BA
AB
HHX
kNVM
kNVM
??
???
???
?
?
?
);(20;20,0
?????
???
kNHH
kNHM
BA
AC
由左半边刚架平衡：
2.绘弯矩图,
AD 杆,
);(120620
,0
mkNM
M
DA
AD
????
?;0
,(120
?
???
CD
DC
M
mkNM 上侧受拉）
左侧受拉）；(201682060 mkNM G ????????
DC 杆,
DC杆中点：
右半边计算,,0(120 ????? BECEEBEC MMmkNMM 外侧受拉）；
由 M图可知,对称结构作用正对称荷载，弯矩图正对称。
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3.绘剪力图：;20 kNQQ DAAD ???;9.847.4)820120(;6.6247.4)247.4894.0420120(
kNQ
kNQ
CD
DC
??????
???????
AD杆：
DC杆：
右半边计算,.; ADBEEBCDECCE QQQQQQ ??????
由 Q图可知：
对称结构作用正对称荷载，剪力图反对称。;80 EBBEDAAD NNkNNN ?????
.1 7 84 4 7.0806.53
s i n420;6.538 9 4.0204 4 7.080
c o s20s i n80
CE
DCCD
EC
DC
NkN
NN
NkN
N
???????
???
????????
???
?
??
4.绘轴力图,求各杆端轴力：;8 9 4.047.44c o s;4 4 7.047.42s i n ?????? ??
5.校核内力图,返回 下一张 上一张
由 N图可知：
对称结构作用正对称荷载，轴
力图正对称。
小结
第三节 三铰拱
一、概述
定义, 拱 — 杆轴为曲线, 而且在 竖
向荷载 作用下支座将产生 水平反 (推 )力
的结构。
静定拱 — 三铰拱、拉杆拱；
超静定拱 — 两铰拱、无铰拱。
按拱脚高度分为,平拱 和 斜拱 。
拱的重要参数,高跨比 ;
10
1~
2
1?
L
f
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拱式结构各部分的名称：
拱轴线 — 拱各截面形心联线；
拱脚 (趾 )— 拱两端与支座联结处；
跨度 L— 两拱脚间水平距离；
起拱线 — 连接两拱脚的直线；
拱顶 — 拱轴上的最高点；
拱 (矢 )高 — 拱顶至起拱线间的竖向距离。
小结
二、三铰拱的计算：
（一） 支座反力 的计算公式,（与三铰刚架求法相同 )
比较 代梁 （ 与拱同跨度、同荷载的水平简支梁）：;:0 2211 l bPl bPbPbPVM iinnAB ?? ?????????;:0 HHHX BA ????;:0 2211 l aPl aPaPaPVM iinnBA ?? ?????????
) ] ;2()2(2[1:0 2211 alPalPlVfHM AC ???????
.;; 000 fMHHVVVV CBABBAA ?????
此时拱为瞬变体系）
当
(;,0;,????? HfHf
支座反力特点：
1.竖向反力与拱高无关 ；
2.水平反力与 f 成反比；
3.所有反力与拱轴无关,只取
决于荷载与三个铰的位置。 返回 下一张 上一张 小结
（二）内力的计算公式,(内力符号规定与梁相同）
取任意截面 K左半边拱为研究对象 。截面 K的形心坐标为,该处拱轴
切线的倾角 。截面内力可分解为 。
KK YX,
K?
KKK NQM,、
1,弯矩的计算公式：;)]([ 11 KKKAK HyaxPxVM ????
KoKK HyMM ??;s i nc o s)( 1 KKAK HPVQ ?? ???
oKK MM ?
2,剪力的计算公式：（左半拱 ）
KKoKK HQQ ?? s inc o s ??
0?K?
3,轴力的计算公式：;c o ss i n)( 1 KKAK HPVN ?? ???
kKoKK HQN ?? co ss in ??
三铰拱的特点,1)拱要比梁有更坚固的
支承； 2)拱可跨越较梁更大的跨度； 3)拱宜
用脆性材料。
由以上三式可知：因推力关系,拱内弯
矩、剪力较之相应的简支梁都小 。因此拱结
构可比梁跨越更大的跨度；但拱结构支承不
及梁的经济。 拱内以轴力 (压力 )为主要内力。
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(三）内力图的绘制：（ 规定内力图画在 水平基线 上,M图画在受拉侧；正值
剪力画在轴上侧； 受压的轴力画在轴上侧 。）
绘图步骤,
1,将拱跨度 L(或拱轴 )等分为 8～ 12段，取每一等分截面为控制截面；
2,由公式计算各控制截面弯矩、剪力、轴力值；
3,绘内力图；（用简捷法或叠加法；内力图特征与梁相仿，但均为曲线。）
例 4-5 试绘三铰拱内力图。（ P39例 3-3）
解,1）求支座反力, VA=VAo=105KN; VB=VBo=115KN; H=MCo/f =82.5kN.
2）将梁分为 8段：
3）分别求各等分截面的内力值, 例截面 2(距左支座 3.0m处 ),x2=3.0m,;0.3)0.312(0.312 44)(4 22222 mxlxl fy ????????;66 7.0)3212(12 44)2(4)( 22222 ???????? xll fdxdytg ?;55 5.02.1 66 7.01s i n
22
22 ??
?? ?
??
tg
tg;832.02.1 11 1c os
22
2 ???? ?? tg;5.6735.823105222 mkNHyMM o ????????;6.41555.05.82832.0105s i nco s 2222 kNHQQ o ?????? ??左左 ＝;6.415 5 5.05.828 3 2.00.5s i nc o s 2222 kNHQQ o ??????? ??右右 ＝;9.126832.05.82555.0105co ss i n 2222 kNHQN o ?????? ??左左 ＝
.4.71832.05.82555.00.5co ss i n 2222 kNHQN o ?????? ??右右 ＝
4）绘内力图 (P39图 3-26）
5）校核内力图,（按内力图特征） 返回 下一张 上一张 小结
三,拱的合理轴线,
一般来讲，拱内任一截面内力有 M,Q,N，处于压弯组合状态。各截
面弯矩值较代梁小，适于跨越大跨度；截面轴力大，宜于用 脆性材料建造，
这就 要求截面上不出现拉应力 。压弯组合变形中产生拉应力的因素是弯矩，
故应减少截面弯矩值。
— 使 的轴线称为拱的合理轴线。0?M
由 可得三铰拱的合理拱轴线方程为,;0??? HyMM o ;
H
My o?
例 4-6 试证明静水压力作用下三铰拱的合理拱轴为圆弧。
解：由对称性：
由左半拱：;0;0 ?? CC MQ;0)s i n ()c o s1(:0 0 ?????? ?? ? ???? rq r drNM CA;qrN C ???
求任意截面 K的内力：
? ???????? ? ???? 0 ;0)s i n ()c o s1( rq r drNM CK;0)c o s (s i n 0 ???? ? ? ???? q r dNQ CK
。qrq r dNN CK ????? ? ? ???? 0 )s i n (c o s
此时合理拱轴线为圆弧。外压力作用时,NC<0；
内压力作用时,NC>0。故引水隧洞、输水管道、拱
坝等多用圆管。 返回 下一张 上一张 小结
第四节 静定平面桁架
一、概述：
桁架 — 由若干 直杆铰结 而成的
杆系结构。
1）所有的结点都是无磨擦的
理想铰 结点；
2）各杆轴线都是在同一平面
内的 直线, 并 通过铰 的中心；
3）仅作用结点力（荷载与支
反力），并位于桁架平面内。
符合以上条件的桁架中各杆都
是 只受轴力 的二力杆，这样的桁架
称为 理想桁架 。（是本书研究范围，由
此计算结果的误差在工程允许范围内。）
平面桁架计算简图的三点假设：
静定平面桁架的组成方式：
简单桁架、联合桁架、复杂桁架。
桁架各部位名称,弦杆,腹杆,结点,节间 。 返回 下一张 上一张 小结
二、解算桁架内力的方法：
（一） 结点法,（取 单个结点 为研究对象,未知轴力不要超过两个 。）
例 4-7 用结点法求 简单桁架各杆轴力 。
解,1,求支座反力,V1=V8=40kN(?)
2,求各杆轴力,按构造顺序逆向依次取
结点分析。 1,2,3,4,5,6,7,8。;67,0511040,0 1212 KNNNY ???????;60,0;0,0 133532 KNNNXNY ????? ??
? ? ;606752,052,0 131213 KNNNNX ?????????
结点 1：
结点 3：
?称条件得出右半部分各杆内力由对
结点
：结点;20,0
5
1
5
1
20,0;744,0
5
2
5
2
,0:4;7.44,4.22
,020
5
1
5
1
5
1
,0
,0
5
2
5
2
5
2
,02
45462445
24462446
2425
24251232
242512
??????????????
????????????
????????
????????????
??????
?
?
?
?
?
?
kk
NNX
3,校核,结点 5,.0;0 ?? ?? YX 返回 下一张 上一张 小结
桁架各杆轴力的简化计算：
1）利用对称性, 对称结构，对称荷载，各杆轴力对称；
2）判断零杆,零杆 — 轴力等于零的杆。
零杆只是在 某种荷载作用下轴力为零 的杆，
不能从结构中去掉。当结构上的荷载变化时，
零杆的位置也随着改变。
（二）截面法：
— 截取两个结点以上的部分桁架为研究对象，由平衡条件求杆件轴力。
为避免求解联立方程，用
截面法时，截断的未知轴力杆
不应超过三根。但也有特殊情
况，如,仅一根杆不汇交或仅
一根杆不平行。
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例 4-8 试求图示桁架各杆轴力。
解,1、求支座反力：
);(15);(15);(30 ?????? kNVkNVkNH BAA
2、判断零杆和已知轴力杆：
3、求其余各杆轴力：
结点 H:(为避免解联立方程，可将斜杆轴
力滑移、分解后用力矩方程求解。 )
? ???? ;14.142;10:0 kNXNkNXM HCHCHCF;18.112 5;10:0 kNXNkNXM HFHFHFC ???????
结点 F,;8.11:0 kNNNX FDFH ?????;10512:0 kNNNY FHFC ?????
结点 D,;28.282;201030:0 kNXNkNXX
DCDCDC ??????????
4、校核：结点 C(仍考虑各斜杆轴力分力）,
.0201010;0302010
????
????
?
?
Y
X
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第五节 静定结构小结
一、静定结构的基本特征：
1,几何组成方面：是 没有多余约束的几何不变体系 ；静力学方面：其
全部未知力均可由静力平衡条件求得 唯一解答。
2,静定结构不须考虑结构的变形条件，其 反力和内力只与荷载以及结构
的几何形状和尺寸有关,而与构件所用的材料以及截面的形状、尺寸无关。
3,静定结构无多余约束,因此它在支座位移、温度改变、制造误差
等因素影响下,不产生反力和内力，但能产生结构位移。
4,静定结构受 平衡力系作用时,其影响范围只限于受该力系作用的最小
几何不变部分，此外范围不受影响； 静力等效的两力系作用 在静定结构上，
只使两力系共同占有的几何不变部分发生不同内力和变形，结构中其它部分
受力情况则相同。
二、静定结构的受力分析：
静定结构受力分析的基本方法仍是 截面法,
1,截开 （暴露未知力）；
2,代替 （确定脱离体上的力系）；
3,平衡 （求解未知力）。
当作用在脱离体上的力系为 平面汇交力系 时，利用两个独立的平衡
方程,可求解两个未知力 ；若为 平面一般力系,则有三个独立的平衡方
程,可求解三个未知力 。 返回 下一张 上一张 小结
三、常用的几类静定结构的内力特点,
1,静定梁, — 受弯构件。
横向力作用下,截面上内力有弯矩、剪力 。
单跨静定梁有,悬臂梁、简支梁、外伸梁 ；
多跨静定梁有,基本部分、附属部分 。
2,静定平面桁架, — 二力杆 截面上仅有轴力 。
可用 结点法和截面法 计算。
3,三铰拱, — 横向荷载作用下产生水平推力的曲杆 。
截面上内力主要是轴向压力。
4,静定平面刚架, — 梁、柱组合结构。
截面上内力有弯矩、剪力和轴力。
静定平面刚架的基本形式,悬臂刚架、简支刚架、三铰刚架 。
5,组合结构, — 多为桁梁组合结构，由 二力杆和梁式杆 组成。
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