第 十七 章 矩 阵 位 移 法
? 矩阵位移法的概念
? 单元刚度矩阵
? 结构刚度矩阵
? 坐标转换矩阵
? 非结点荷载的处理
? 矩阵位移法的解题步骤
? 结构分析的计算机方法简介
? 小结
第一节
第二节
第三节
第四节
第五节
第六节
第七节
返回
第一节 矩阵位移法的概念
? 结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的方法。
杆系结构的有限单元法 矩阵力法
矩阵位移法
—— 柔度法
—— 刚度法 (直接刚度法 )*｛
矩阵位移法是以位移法为力学原理，应用矩阵理论，以电子
计算机为工具的结构分析方法。
有限单元法包含两个基本环节：一是单元分析；一是整体分析。
在矩阵位移法中,单元分析 的任务是建立单元刚度方程，形
成单元刚度矩阵 —— 讨论任意坐标系中单元刚度方程的通用形式；
整体分析 的任务是将单元及合成整体，由单元刚度矩阵按照
刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法基本方
程，从而求解。
直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则，是矩阵
位移法的核心内容。
返回 下一张 上一张 小结
? 以图示连续梁为例说明
矩阵位移法的概念。
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３,绘 M图。
?２．整体分析
? ①建立位移法基本方程；
?
? ②求杆端弯矩；
?1.单元分析
? ①确定基本未知量，
? ②划分单元杆；
? ③列各杆端转角位移方程
返回 下一张 上一张 小结
? 17.1.2 直接刚度法
? 对于连续梁的每一个结点都视为有一个角位移未知
? 数，并规定这些转角均以顺时针方向为正 。
? 17.1.3 转角位移方程
? 式中,Kij（ i=1,2,3;j=1,2,3）称为结点刚度系数。它表示当
θ j=1时，在结点 i处并在 θ i方向上所需加的结点力矩总和。
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MKKK
MKKK
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返回 下一张 上一张 小结
? 写成矩阵形式为：
? 简式为：
? 式中,[K]为结构总刚度矩阵
? {Q}为结点转角列阵
? {M}为结点力矩列阵
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返回 下一张 上一张 小结
? 17.1.4 形成单元刚度矩阵
? 例 17-3：写出图示结构的杆端力矩
? 解,据转角方程可得：
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? 式中
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? 上式写成矩阵形式为
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返回 下一张 上一张 小结
? 17.1.5 形成总刚度矩阵
? 例 7-4：写出图 7-4所示结构的刚度矩阵
? 解：图示结构的刚度矩阵：
? 图 17-4
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KKK
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返回 下一张 上一张 小结
? 17.1.6 引入支承条件，求结点位移
? 已知上例支承条件 =0，连同已获得的 [K]，以及各结点
荷载值（ M1,M2、及 M3=0）一起代入基本方程（ 7— 6）式中，得：
? 据矩阵运算的基本法则，则得：
? 解得：
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返回 下一张 上一张 小结
? 17.1.7 求单元杆端力
? 例 7-5：求图 7-5所示连续梁
? 的杆端力
? 解,由题可知 杆 1
? 杆 2
? 注：以上用连续梁说明直接刚度的方法步骤,
? 完全 适 用于其它类型结构。其中,[K]的组成
? 是直接刚度法的核心部分。
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ii
ii
M
M
返回 下一张 上一张 小结
? 第二节 单元刚度矩阵
? 17.2.1 结构离散化
? 将杆系结构分离有限个单元杆 — 离散化。
? 原则：以杆元汇交点、荷载作用点、载面突变点为结点，尽
量使相关结点，编码和差值最小。矩阵位移法讨论结点荷载问题，
非结点荷载需另外处理。
? 图 7-6
? 17.2.2 单元杆端力和杆端位移表示方法
? 以 i为原点，从 i到 j的方向为 轴的正向，并以 轴的正向
逆时针转 900为 轴的正向，这样的坐标系称为单元局部坐标系
单元杆端力和杆端位移符号的上方加一横, —,，表示局部坐标
的意思。
?x ?x
?y
下一张返回 上一张 小结
? 如图，结点的杆端位移列向量为：
? 结点的杆端力列向量为：
? 注：这些杆端位移和杆端力的正向均规定与坐标轴的正方向一致
为正；其中转角和弯矩以顺时针为正。
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返回 下一张 上一张 小结
? 17.2.3 单元杆端力与杆端位移之间的关系式
? 例 17-7：计算如图 17-8所示结构的各杆的杆端力
? 解：
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返回 下一张 上一张 小结
? 写成矩阵形式为：
? 简式为：
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返回 下一张 上一张 小结
? 17.2.4 单元刚度矩阵的特性
? 1） [K]e是对称方阵
? 单元刚度矩阵中的行数等于单元杆端力向量的分量数，列数
等于单元杆端位移向量的分量数。因为这两个向量的分量数相等，
所以 [K]e是一个方阵。又因 Kij=Kji,故单元刚度矩阵是对称矩
阵。
? 2） [K]e是奇异矩阵
? 矩阵 [K]e相应行列式的值为零，故知单元刚度矩阵是奇异矩
阵。其逆矩阵不存在。
? 17.2.5 单元刚度矩阵中各元素的物理意义
? 当 j位移分量为 1而其位移分量为零时，所引起的 i分量值。eijK
返回 下一张 上一张 小结
? 第四节 结构刚度矩阵
? 由（ 17— 14）式可知：
? 将（ 17— 21）及（ 17— 25）
? 式 代入上式得：
?
? 另 [T]T[ ]e[I]=[K]e 则 {F}e=[K]e{ }e
? 用结分点块式表示为：
? 注,1） 为结构坐标的杆端力和杆端位移。
? 2） 表示单元 的 j端三个位移分别产生单位位移时在 i 端各力
? 分量分别产生的力。
? 3） 分别为单元在结构整体坐标中刚度。
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返回 下一张 上一张 小结
? 17.3.1 结构总刚度矩阵
? 形成总刚的步骤：
? 1）确定结点数，对结点及单元杆进行编号。
? 2）计算结构坐标系中各单元的单元刚度矩阵。
? 3）将各单元刚度矩阵的各子块，按, 对号入座, 送入结构总刚
度矩阵中。
? 17.3.2 结构总刚度方程
? 方程 式中：
? {F} — 结构的结点力列向量；
? — 结构的结点位移列向量；
? [K] — 结构的总刚度矩阵或叫结构整体刚度矩阵 。
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返回 下一张 上一张 小结
?
? 17.3.3 支承条件的引入
? 结构总刚度方程（ D）又叫结构原始刚度方程。其中
[K]是奇异矩阵，不能求出确定的结点位移 { }。为此
求解结构的未知结点位移时，引入结构的实际位移边界
条件（即支承条件），修改 结构总刚度矩阵。具体步
骤如下：
? 1）利用已知的结点力 {F1}
? 2）求未知的结点位移 { }
? 3）划掉位移为零所对应的行和列。
?
?1
返回 下一张 上一张 小结
? 第四节 坐标变换矩阵
? 例 17-8：见图 17-9所示单元,写出单元 的杆端力向量。
? 解,由投影关系得
? 图 17-9
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返回 下一张 上一张 小结
? 写成矩阵形式为,
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返回 下一张 上一张 小结
? 缩写成 式中,[T]为坐标变换矩阵
? [T]为上交矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵。
? [T]=[T]T 式中：
? [T]-1—— 与 [T]相乘为 1的矩阵；
? [T]T—— 把 [T]中行和列各元素互换后形成的。
? 因此，上式的逆转换式为：
? 同理得：
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返回 下一张 上一张 小结
? 第五节 非结点荷载的处理
? 17.7.1 结间荷载转化为结点荷载的方法 （如图 7— 10）：
? 1）在 B,C 结点加附加约束，使 B、
? C 两点不能发生任何位移，然后施加
? 结间荷载，如图 7-10（ b）所示。
? 2）在 B,C 两点没有附加约束的情况
? 下，施加与上述固端剪力和固端弯矩
? 大小相等方向相反的力和力矩，如图
? 7-10（ c）所示。
? 3） （ a） =（ b） +（ c）
? 4）等效结点荷载为汇交在每一结点的
? 固端剪力的代数和以及固端弯矩代数
? 和，但方向相反。
? 图 7-10
返回 下一张 上一张 小结
? 17.7.2 例：试计算图 17-11（ a）所示刚架等效结点荷载。
? 解：
? 图 17-11
? 分别绘在结点上，如图 17— 11（ b）所示。
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返回 下一张 上一张 小结
? 17.7.3 例 17-10,求图 17-12 (a) 所示结构的等效结点荷载
? 解：
? 分别绘在结上，如图 b 所示。 图 17-12
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1
返回 下一张 上一张 小结
? 第六节 矩阵位移法解题步骤
? 具体步骤如下：
? 1） 将结构划分为若干个单元，并将各单元和结点进行编号。
? 2）选择结构坐标系及局部坐标系。
? 3）计算等效结点荷载，建立结点荷载列向量和结点位移列向
量。
? 4）计算结构坐标系中各单元刚度矩阵的四个子块。
? 5）将单元刚度矩阵的四个子块，按下标在结构总刚度矩阵中
“对号入座”，建立结构总刚度矩阵和刚度方程。
? 6）引入支承条件，划掉和已知位移为零所对应的行和列，计
算结点位移。
? 7）计算局部坐标中的杆端力。
? 8）利用式（ 17— 49）和（ 17— 50）。
返回 下一张 上一张 小结
? 第七节 结构分析的计算机方法简介
? 17.9.1 程序功能：
? 本程序只适用于各个杆件单元是等截面直杆，杆件之间是刚
性连续，支座是固定端；承受的荷载是结点荷载。
? 17.9.2 源程序说明：
? 1）结点编号，先编可动结点，后编固定结点。
? 2）局部坐标由小号结点码到大号结点码为 轴正向，逆时针
转 90为 轴正向。
?x
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? 本 章 小 结
? 直接刚度法的解题思路：
? 1）先将结构离散为有限个单元，通过单元分析，建
立局部坐标单元刚度矩阵，然后形成局部坐标系单元刚度
方程。
? 2）通过坐标变换矩阵，依次用结构坐标系表示单元
刚度矩阵。
? 3）再将各单元刚度矩阵中的元素“按对号入座”的
办法，叠加到结构刚度矩阵以形成总刚度矩阵。
? 4）然后再引入支承条件进行计算。
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? 矩阵位移法的概念
? 单元刚度矩阵
? 结构刚度矩阵
? 坐标转换矩阵
? 非结点荷载的处理
? 矩阵位移法的解题步骤
? 结构分析的计算机方法简介
? 小结
第一节
第二节
第三节
第四节
第五节
第六节
第七节
返回
第一节 矩阵位移法的概念
? 结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的方法。
杆系结构的有限单元法 矩阵力法
矩阵位移法
—— 柔度法
—— 刚度法 (直接刚度法 )*｛
矩阵位移法是以位移法为力学原理，应用矩阵理论，以电子
计算机为工具的结构分析方法。
有限单元法包含两个基本环节：一是单元分析；一是整体分析。
在矩阵位移法中,单元分析 的任务是建立单元刚度方程，形
成单元刚度矩阵 —— 讨论任意坐标系中单元刚度方程的通用形式；
整体分析 的任务是将单元及合成整体，由单元刚度矩阵按照
刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法基本方
程，从而求解。
直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则，是矩阵
位移法的核心内容。
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? 以图示连续梁为例说明
矩阵位移法的概念。
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３,绘 M图。
?２．整体分析
? ①建立位移法基本方程；
?
? ②求杆端弯矩；
?1.单元分析
? ①确定基本未知量，
? ②划分单元杆；
? ③列各杆端转角位移方程
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? 17.1.2 直接刚度法
? 对于连续梁的每一个结点都视为有一个角位移未知
? 数，并规定这些转角均以顺时针方向为正 。
? 17.1.3 转角位移方程
? 式中,Kij（ i=1,2,3;j=1,2,3）称为结点刚度系数。它表示当
θ j=1时，在结点 i处并在 θ i方向上所需加的结点力矩总和。
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MKKK
MKKK
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返回 下一张 上一张 小结
? 写成矩阵形式为：
? 简式为：
? 式中,[K]为结构总刚度矩阵
? {Q}为结点转角列阵
? {M}为结点力矩列阵
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返回 下一张 上一张 小结
? 17.1.4 形成单元刚度矩阵
? 例 17-3：写出图示结构的杆端力矩
? 解,据转角方程可得：
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? 式中
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? 上式写成矩阵形式为
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返回 下一张 上一张 小结
? 17.1.5 形成总刚度矩阵
? 例 7-4：写出图 7-4所示结构的刚度矩阵
? 解：图示结构的刚度矩阵：
? 图 17-4
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KKK
KKK
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? 17.1.6 引入支承条件，求结点位移
? 已知上例支承条件 =0，连同已获得的 [K]，以及各结点
荷载值（ M1,M2、及 M3=0）一起代入基本方程（ 7— 6）式中，得：
? 据矩阵运算的基本法则，则得：
? 解得：
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返回 下一张 上一张 小结
? 17.1.7 求单元杆端力
? 例 7-5：求图 7-5所示连续梁
? 的杆端力
? 解,由题可知 杆 1
? 杆 2
? 注：以上用连续梁说明直接刚度的方法步骤,
? 完全 适 用于其它类型结构。其中,[K]的组成
? 是直接刚度法的核心部分。
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ii
ii
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M
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? 第二节 单元刚度矩阵
? 17.2.1 结构离散化
? 将杆系结构分离有限个单元杆 — 离散化。
? 原则：以杆元汇交点、荷载作用点、载面突变点为结点，尽
量使相关结点，编码和差值最小。矩阵位移法讨论结点荷载问题，
非结点荷载需另外处理。
? 图 7-6
? 17.2.2 单元杆端力和杆端位移表示方法
? 以 i为原点，从 i到 j的方向为 轴的正向，并以 轴的正向
逆时针转 900为 轴的正向，这样的坐标系称为单元局部坐标系
单元杆端力和杆端位移符号的上方加一横, —,，表示局部坐标
的意思。
?x ?x
?y
下一张返回 上一张 小结
? 如图，结点的杆端位移列向量为：
? 结点的杆端力列向量为：
? 注：这些杆端位移和杆端力的正向均规定与坐标轴的正方向一致
为正；其中转角和弯矩以顺时针为正。
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? 17.2.3 单元杆端力与杆端位移之间的关系式
? 例 17-7：计算如图 17-8所示结构的各杆的杆端力
? 解：
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返回 下一张 上一张 小结
? 写成矩阵形式为：
? 简式为：
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返回 下一张 上一张 小结
? 17.2.4 单元刚度矩阵的特性
? 1） [K]e是对称方阵
? 单元刚度矩阵中的行数等于单元杆端力向量的分量数，列数
等于单元杆端位移向量的分量数。因为这两个向量的分量数相等，
所以 [K]e是一个方阵。又因 Kij=Kji,故单元刚度矩阵是对称矩
阵。
? 2） [K]e是奇异矩阵
? 矩阵 [K]e相应行列式的值为零，故知单元刚度矩阵是奇异矩
阵。其逆矩阵不存在。
? 17.2.5 单元刚度矩阵中各元素的物理意义
? 当 j位移分量为 1而其位移分量为零时，所引起的 i分量值。eijK
返回 下一张 上一张 小结
? 第四节 结构刚度矩阵
? 由（ 17— 14）式可知：
? 将（ 17— 21）及（ 17— 25）
? 式 代入上式得：
?
? 另 [T]T[ ]e[I]=[K]e 则 {F}e=[K]e{ }e
? 用结分点块式表示为：
? 注,1） 为结构坐标的杆端力和杆端位移。
? 2） 表示单元 的 j端三个位移分别产生单位位移时在 i 端各力
? 分量分别产生的力。
? 3） 分别为单元在结构整体坐标中刚度。
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返回 下一张 上一张 小结
? 17.3.1 结构总刚度矩阵
? 形成总刚的步骤：
? 1）确定结点数，对结点及单元杆进行编号。
? 2）计算结构坐标系中各单元的单元刚度矩阵。
? 3）将各单元刚度矩阵的各子块，按, 对号入座, 送入结构总刚
度矩阵中。
? 17.3.2 结构总刚度方程
? 方程 式中：
? {F} — 结构的结点力列向量；
? — 结构的结点位移列向量；
? [K] — 结构的总刚度矩阵或叫结构整体刚度矩阵 。
???
? ?? ? ? ?FK ??
返回 下一张 上一张 小结
?
? 17.3.3 支承条件的引入
? 结构总刚度方程（ D）又叫结构原始刚度方程。其中
[K]是奇异矩阵，不能求出确定的结点位移 { }。为此
求解结构的未知结点位移时，引入结构的实际位移边界
条件（即支承条件），修改 结构总刚度矩阵。具体步
骤如下：
? 1）利用已知的结点力 {F1}
? 2）求未知的结点位移 { }
? 3）划掉位移为零所对应的行和列。
?
?1
返回 下一张 上一张 小结
? 第四节 坐标变换矩阵
? 例 17-8：见图 17-9所示单元,写出单元 的杆端力向量。
? 解,由投影关系得
? 图 17-9
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返回 下一张 上一张 小结
? 写成矩阵形式为,
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返回 下一张 上一张 小结
? 缩写成 式中,[T]为坐标变换矩阵
? [T]为上交矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵。
? [T]=[T]T 式中：
? [T]-1—— 与 [T]相乘为 1的矩阵；
? [T]T—— 把 [T]中行和列各元素互换后形成的。
? 因此，上式的逆转换式为：
? 同理得：
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返回 下一张 上一张 小结
? 第五节 非结点荷载的处理
? 17.7.1 结间荷载转化为结点荷载的方法 （如图 7— 10）：
? 1）在 B,C 结点加附加约束，使 B、
? C 两点不能发生任何位移，然后施加
? 结间荷载，如图 7-10（ b）所示。
? 2）在 B,C 两点没有附加约束的情况
? 下，施加与上述固端剪力和固端弯矩
? 大小相等方向相反的力和力矩，如图
? 7-10（ c）所示。
? 3） （ a） =（ b） +（ c）
? 4）等效结点荷载为汇交在每一结点的
? 固端剪力的代数和以及固端弯矩代数
? 和，但方向相反。
? 图 7-10
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? 17.7.2 例：试计算图 17-11（ a）所示刚架等效结点荷载。
? 解：
? 图 17-11
? 分别绘在结点上，如图 17— 11（ b）所示。
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返回 下一张 上一张 小结
? 17.7.3 例 17-10,求图 17-12 (a) 所示结构的等效结点荷载
? 解：
? 分别绘在结上，如图 b 所示。 图 17-12
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1
返回 下一张 上一张 小结
? 第六节 矩阵位移法解题步骤
? 具体步骤如下：
? 1） 将结构划分为若干个单元，并将各单元和结点进行编号。
? 2）选择结构坐标系及局部坐标系。
? 3）计算等效结点荷载，建立结点荷载列向量和结点位移列向
量。
? 4）计算结构坐标系中各单元刚度矩阵的四个子块。
? 5）将单元刚度矩阵的四个子块，按下标在结构总刚度矩阵中
“对号入座”，建立结构总刚度矩阵和刚度方程。
? 6）引入支承条件，划掉和已知位移为零所对应的行和列，计
算结点位移。
? 7）计算局部坐标中的杆端力。
? 8）利用式（ 17— 49）和（ 17— 50）。
返回 下一张 上一张 小结
? 第七节 结构分析的计算机方法简介
? 17.9.1 程序功能：
? 本程序只适用于各个杆件单元是等截面直杆，杆件之间是刚
性连续，支座是固定端；承受的荷载是结点荷载。
? 17.9.2 源程序说明：
? 1）结点编号，先编可动结点，后编固定结点。
? 2）局部坐标由小号结点码到大号结点码为 轴正向，逆时针
转 90为 轴正向。
?x
?y
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? 本 章 小 结
? 直接刚度法的解题思路：
? 1）先将结构离散为有限个单元，通过单元分析，建
立局部坐标单元刚度矩阵，然后形成局部坐标系单元刚度
方程。
? 2）通过坐标变换矩阵，依次用结构坐标系表示单元
刚度矩阵。
? 3）再将各单元刚度矩阵中的元素“按对号入座”的
办法，叠加到结构刚度矩阵以形成总刚度矩阵。
? 4）然后再引入支承条件进行计算。
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