第九章 梁的强度和刚度计算
梁横截面上的正应力
梁横截面上的剪应力
梁的强度计算
弯曲中心的概念
梁的变形和刚度计算
应力状态和强度理论
小结
第一节
第二节
第三节
第四节
第五节
返回
第六节
第七章 梁的强度和刚度计算
本章研究梁的应力和变形计算，
解决梁的强度和刚度计算问题。
梁的一般情况是横截面上同时
存在剪力和弯矩两种内力，称作 剪
力（横力）弯曲 。与此相应的截面
上任一点处有剪应力 η和正应力 ζ。
且剪应力 η只与剪力 Q有关，正应力
ζ只与弯矩 M有关。
横截面上只有弯矩而没有剪力
的弯曲称作 纯弯曲 。
如图简支梁,AC,DB段为横
力弯曲； CD段为纯弯曲。
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第一节 梁横截面上的正应力
一、实验观察与分析：
为推导梁横截面上的正应力，考虑 纯弯曲 情况。
用 三关系法, 实验观察 → 平面假设；
几何关系 → 变形规律，
物理关系 → 应力规律，
静力学关系 → 应力公式。
① 横线仍为直线,但倾斜角度 d?；
②纵线由直变弯,仍与横线正交,
凸边伸长,凹边缩短；
③横截面相对于纵向伸长区域缩
短，纵向缩短区域伸长。
假设,① 平面假设 — 变形前 后横
截面保持平面不变；
中性层 — 长度不变的纤维层；
中性轴 — 中性层与横截面的交线。
② 单向受力假设 — 纵向纤维之间互不挤压仅伸长或缩短。
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二、正应力公式的推导：
（一）变形几何关系：;??? ?? ydyddx S ?????
取梁微段 dx考虑变形
几何关系，得应变规律：
当 M>0时,y>0,ε>0,为受拉区； y<0,ε<0,为受压区。
（二）物理关系：
???
yEE ??由假设 2及虎克定律，梁横截面上的正应力变化规律为：
此式表明：梁横截面上任一点的正应力，与该点距中性轴
（ z轴）的距离 y成正比，而与该点距 y轴的距离 z无关。正应
力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处 y=0,ζ＝ 0； 上下边
缘处有 ymax,故有 ζmax。 返回 下一张 上一张 小结
（三）静力学关系：
00 ????????
??
ydEdN ??;00 ??????
??
z y d AEdAzM y ??
??????? ?? MdAyEMdAyM z 2??
z
My
??? ?
— 中性轴 Z必通过形心。
— 中性轴是截面的形心主轴 。
纯弯曲梁上各点只有正应力，微面积 dA上法
向合力 dN=σdA。 截面上各微内力形成沿 X轴的空
间平行力系。可简化成三个内力分量,Nx,My,Mz。
式中, Iz— 截面对其中性轴的惯性矩； M— 截面上的弯矩；
y— 所求正应力点到中性轴的距离。
— 纯弯曲梁横截面上任一点正应力计算公式
为避免符号错误，计算中各量以绝对值代入,ζ符号依点
所处区域直接判断。（根据弯矩方向，中性轴将截面分为受
拉区和受压区； M>0,上压下拉； M<0，上拉下压。）;1
zE
M
???
— 纯弯曲梁的
变形计算公式
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正应力公式的使用范围：① 纯弯曲梁 ；② 弹性范围 （ ζ≤ζp） ；
③ 平面弯曲 （截面有对称轴，形状不限）；④ 细长梁的横力弯曲 。
（一般 l/h>5为细长梁，其计算误差满足工程精度要求 δ<5％。）
例 7-1 图示悬臂梁。试求 C截面上 a,b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。
解, （ 1）计算 C截面的弯矩 M
（ 2）确定中性轴位置，并计算惯性矩
（ 3）求 a,b两点的正应力
mKNPM c ???????? 35.122
433 5830
12
1812
12 cm
bh
z ?
????;09.31058 30 06.0103 8
3
M P ayM
z
ac
a ??
???
?? ??
.3;63218 cmycmy ba ????;54.1105830 03.0103 83 M P ayM
z
bcb ??
?
????
?? ??;92182m a x cmhy ???;63.4105 83 0 109103 m a x8 23m a xm a x ?? ?? ???? ?????? ?? M P ayM
z
c
(4)求 C截面最大拉应力 ?+max和最大压应力 ?-max
（在截面上下边缘。） 返回 下一张 上一张 小结
例 7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求 D截面上 a,b两
点处的正应力。
解,(1)求 D截面的弯矩：
MD=30kN.m;3.1 4 3;3.1 4 3
101 6 6 0
103.791030;3.797.10
2
1 8 0
8
33
M P a
M P a
yM
mmyy
b
z
aD
a
ba
?
??
?
????
?
?
?
????
?
?
?
?
(3)求 D截面 a,b两点的正应力：
(2)确定中性轴位置
和截面惯性矩：
查型钢表
IZ=1660cm4
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第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁：
矩形截面梁任意截面上剪力 Q
都与对称轴重合。对 狭长 横截面上
剪应力的分布规律可作 两个假设：
(1)横截面上各点 ?均与该面上 Q
同向且平行 ；
(2)剪应力沿截面宽度均匀分布。
从梁微段中取窄条 cdmn分析：;bIQS
z
z?? ?;,,;0,0
''
21
??? ???
?????
QdxdMbd x Id M S
dTNNx
z
z;';; 211 *
b d xdT
SI dMMNSIMdAN z
z
z
z
A
?
?
?
???? ?
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矩形截面剪应力计算公式：
bI
QS
z
z
*
??式中,Q— 横截面上的剪力；
Iz— 横截面对其中性轴的惯性矩；
b— 所求剪应力作用点处的截面宽度；
Sz ＊ — 所求剪应力作用点处的横线以
下 (或以上）的截面积 A*对中性轴的面积矩。
矩形截面,);
4(2,
222/
11* y
hbb d yydAySb d ydA h
yAz ????? ??
);4(6)4(2 22322 yhbh QyhIQ
z
????? ?
,123bhI z ?
η沿截面高度按
抛物线规律变化。;2346,0;0,2 32m a x bhQbhQhyhy ?????? ??;2323m a x ?? ??? AQ 平均剪应力）（ ??
由剪切虎克定律 η＝ Gγ，知剪应变
沿截面高度也按抛物线规律变化，引起
截面翘曲。但变形很小，可忽略不计。 返回 下一张 上一张 小结
二、其它形状截面的剪应力：
1,工字形截面梁：
工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。
1)腹板上的剪应力,腹板为狭长矩形,承担截面绝大部分剪应力。
式中,Q— 横截面上的剪力； h1— 腹板高度；
Iz— 截面对 z轴惯性矩； d— 腹板厚度；
Szmax— 中性轴一侧面积对中性轴的惯性矩；
（对于型钢,Szmax,Iz 的值可查型钢表确定）
oz
z
I
QS
?? ?水平
dh
Q
1
m a x ??或
故中性轴处有最大剪应力
2)翼缘上的剪应力,翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很
小且分布复杂，一般不考虑；水平分量认为沿翼缘厚度均匀分布，
计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间存在
,剪应力流,的规律。
d
QS
z
z
??
m a x
m a x?
Sz— 欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴惯性矩；
δo— 翼缘厚度。
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2,T字型截面：
T字型截面与工字型截面
相似，最大剪应力仍发生在截
面中性轴上。其腹板上应力为,dIQSz z
*
??
3,圆形及环形截面：
圆形与薄壁环形截面其最大竖向剪应力
也都发生在中性轴上，并沿中性
轴均匀分布，其值为,圆形截面
薄壁环形截面
1
m a x 3
4
A
Q??
2
m a x 2 A
Q??式中,Q— 截面上的剪力
A1,A2— 圆形、薄壁环形截面的面积
所有开口薄壁截面的剪应
力均符合“剪应力流”规
律。
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例 7-3：矩形截面简支梁如图,已
知,l=2m,h=15cm,b=10cm,h1=3cm,
q=3kN/m.试求 A支座截面上 K点
的剪应力及该截面的最大剪应力,
3*
4
33
23625.55.410
2810
12
1510
12
cmyS
cmbh
cz
z
??????
?????
M P abSQ
z
zA
k 252.010101028 10
10236103
14
33
???? ???????
M P aAQ 3.0101015 1035.15.1 23m a x ??? ?????
解,1、求剪力,QA=3kN
2、求 K点剪应力：
3、求最大剪应力：
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例 7-4 倒 T形截面外伸梁如图,已知：
l=600mm,b=30mm,P1=24kN,
P2=9kN,y1=72mm,Iz=573cm4,
试求 梁横截面上的最大剪应力。
解,1,求最大剪力：
Qmax＝ 15kN,在 CB梁段。;7 7 8 0 072302121 2221* mmbyyAS oz ???????
2,求最大剪应力：
M P abI SQ
z
z 79.6
3010573
778 001015
4
3
m a x ???
???
?
???
在中性轴上。
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第三节 梁的强度计算
一、梁的正应力强度条件：
为了保证梁在外力作用下能安全正常工作，必须限制梁内的
最大应力不超过材料的许用应力。由此建立梁的强度条件并进行
梁的强度计算。
危险截面 — 最大应力点所在截面 ;(等直梁为最大内力截面）
危险点 — 危险截面上的最大应力作用点。
等直梁的危险截面危险点为最大弯矩截面上下边缘处各点。;m a xm a xm a xm a x
zz W
M
I
yM ????
各种型钢查表。环形截面：圆形截面：矩形截面：
形的能力；单位：，反映截面抵抗弯曲变抗弯截面系数（模量）
);1(32;32;6
.,_ __
4
332
33
??? ???? DWDWbhW
mmmW
zzz
z
定。弯曲许用应力，查表确度条件：对称截面梁的正应力强 __m a xm a x ][ ?? ??
zW
M
定。弯曲许用应力，查表确强度条件：非对称截面梁的正应力 __m a xm a x ][ ??? ?? ??
zW
M;
m a xy
IW z
z ?令
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(1)强度校核,
(2)选择截面,
(3)确定梁的
许可荷载
? ?
? ? %105
%105
m a x
m a x
??
??
??
??
? ?
? ?
截面尺寸取整！）
0
0
m a x
m a x
105
(,
??
??
??
?
bdMW z
? ? ? ? ? ?
.][][]([][][;
m i nm a x
m a x
）为取 PPPkAQQ
PWMM
Q
Mz
???
????
?
?
二、剪应力强度条件,验确定。材料的许用剪应力，试__
m a x ][?? ?? A
Qk
。各种型钢查表或环形截面：圆形截面：矩形截面,)(1;2;34;23
1
m a xm a x dhQkkkk ????? ?
三、梁的强度计算：
一般情况下，细长梁多为横力弯曲，横截面上同时存在弯矩
和剪力，应同时满足正应力和剪应力强度条件。由此可进行三方
面的强度计算：
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例 7-5 图示为 T形截面的铸铁梁。已知：
y1=5.2cm,y2=8.8cm,P1=10.8kN,P2=4.8kN,
a=1m,铸铁许用拉应力 [?+]=30MPa,许用压
应力 [?-]=60MPa,试校核梁的正应力强度。
解,(1)作出梁的弯矩图,可知,
MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m
(2)梁的两个抗弯截面模量为,;7.868.8763;7.1462.5763 3
22
3
11
cmyWcmyW zz ????????
(3)C截面的正应力强度校核,
(4)D截面的正应力强度校核,
(5)最大拉应力发生在 C截面的下边缘处,最大压应力发生在 D
截面的下边缘处,其值分别为,
? ? ? ?;5.20107.1 46 103;7.34107.86 103 6
3
1
m a x6
3
2
m a x ?????? ???????????? ???? M P aWMM P aWM Dc
? ? ? ?;3.55107.86 108.4;7.32107.14 6 108.4 6
3
2
m a x6
3
1
m a x ?????? ???????????? ???? M P aWMM P aWM DD;3.55;7.34 m a xm a x M P aM P a ?? ?? ??
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例 7-6：试为图示的施工用钢轨枕木选择矩形截面。已知矩形截面尺寸的比例
为 b:h=3:4,枕木的弯曲许用正应力 [?]=15.6MPa,许用剪应力 [?]=1.7MPa,钢轨传
给枕木的压力 P=49KN。
解,(1)由正应力强度条件设计截面尺寸 mKNM ?? 8.9m a x
? ?
cmbcmhcmbcmh
cm
hh
hh
bh
W
cm
M
W
z
z
13,18;9.12,2.17
6 2 8
8;
84
3
6
1
6
6 2 8
106.15
108.9
3
33
2
2
3
6
3
m a x
??????
?????
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
(2)校核剪应力强度
(3)按剪应力强度条件重新设计截面
? ??? ???? ????? ? MPaA QkNQ 14.3101318 10495.15.1;49 4
3
m a xm a x
? ?
? ?
cmbcmhcmhhbhA
m
Q
A
A
Q
18,24;4 3 2
4
3;
4
3
104 3 2
107.1
10495.15.1;
5.1
222
24
6
3
m a x
m a x
m a x
???????
??
?
??
???
??
?
?
?? 返回 下一张 上一张 小结
例 7-7 一外伸梁 如图所示,梁上受集中力 P的作用,已知 a=25cm,l=100cm,梁由
2.6号工字钢制成,材料的弯曲许用正应力 [?]=170MPa,许用剪应力 [?]=100MPa,
试求此梁的许可荷载 [P].
解,
查表得,
(1)按正应力强度条件确定 [P]
(2)校核剪应力强度
此梁的许可荷载 [P]=52.7kN
PQPaM ?? m a xm a x,
cmScmWcmd zz 8.10,53.77,5.0 m a x3 ????
? ? ? ?
? ?
? ? kN
a
MP
MM
mkNWM z
7.52
25.0
18.13
18.131053.77101 7 0
m a x
86
???
?
???????
?
?
? ??? ??????? ????
??
?? m p APa
d
SQ
kNPQ
z
6.97106.97
105.0108.10
107.52
7.52
6
22
3
m a xm a x
m a x
m a x
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① A相同时，截面
高度尽量大；
四、梁的合理截面：
梁的设计应达到即安全又经济的要求。即要保证梁具有足够
的强度，安全工作；又要充分发挥材料的作用，节省材料。
由此可知：与强度有关的材料性质 [ζ]应尽量大 ；荷载及
结构确定的 Mmax应尽量小 ；而提高梁的弯曲强度，主要从提高
Wz着手，即选择合理截面形式，使 Wz/A的值尽量大 。
? ?? ?
?
??
?
?
2
1
y
y
② 把大部分面积布置在距中性轴
较远的截面边缘，提高 Wz/A的值；
Wz/A=(0.27-0.31)h>0.167h>0.125h;
(工字形 >矩形 >圆形 )
③ 使截面两边
同时达到许
用应力；
④ 综合考虑梁的有关刚度、稳定、使用要求及制造工艺等因素。
如：过分强调加大 h值，可能使截面侧向失稳；木梁不用工、
环形截面，以避免增加加工费等。 返回 下一张 上一张 小结
第四节 弯曲中心的概念
当外力作用在梁的纵向对称平面内时，梁产生平面弯曲。但
截面没有纵向对称轴时，沿形心主轴作用的荷载不产生平面弯曲。
如图槽形截面,P力使梁弯
曲；截面上的剪应力流形成扭矩
(腹板上的剪力 Q’和翼缘上的 T可
求其作用在 A点的合力 Q,Q与 P
形成扭矩 )使梁扭转；梁产生弯
扭组合变形。
若使梁仅产生平面弯曲,P必须作用在过弯曲中心的纵向平
面内。
任何形状的截面都存在弯曲中心。 弯曲中心的位置与梁所
受的荷载无关，只取决于截面的几何形状。
可以证明，弯曲中心位于①截面的对称轴上；②中线交点；
③与形心重合。型钢截面的弯曲中心可查有关图表。
弯曲中心 — 梁仅产生平面弯曲时，外力在截面上的作用位置。
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第五节 梁的变形和刚度计算
一、挠度和转角
1,梁的挠曲线 (弹性曲线 )— 梁弯曲后的轴线，为一条光滑的平
面曲线。
2,挠度 y— 梁横截面形心垂直杆轴方向的线位移,称为该截面的
挠度，用 y表示，向下为正。 (水平方向线位移略去不计 )
3,转角 θ— 梁横截面绕中性轴转过的角度,称为该截面的转角，
用 θ表示，顺时针为正。 单位：弧度。
梁的挠度方程（挠曲线方程）：
y=f（ x）
? ?xfdxdytg '??? ??梁的转角方程,
只要确定了梁的挠曲线方程，则任何横截面的挠度和转角
都可由此求出。所以,求梁变形的关键是求出其挠曲线方程。
单位,mm.
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二、梁的挠曲线的近似微分方程式;(11
zz EI
xM
xEI
M ）＝
）（推广为式可由纯弯曲梁的变形公 ?? ?
忽略剪力对梁变形的影响，则工程中常用的细长梁的变形;
)(
),)((;
])(1[
)(
1
2
2
2
2
2
2/32
2
2
z
EI
xM
dx
yd
dx
dy
dx
yd
dx
dy
dx
yd
x
??
??
?
??
可得：的影响研究弹性小变形，忽略
点的曲率公式考虑数学中曲线上任一
?
由所选坐标系和 M的符
号规定，取式中的负号。则
得梁的挠曲线近似微分方程：
zz EI
xMy
EI
xM
dx
yd )(")(
2
2
???? 或
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三、积分法计算梁的位移
Dcxd x d xxME I y ?????? )(
)(" xME I y ??
CdxxMEIE I y ????? )(' ?;0:;0:0 ???? BA ylxyx;0:0:)(0 ???? AAylxx ?
212121,; ?? ???? yyaxx
悬臂梁：
在计算梁的位移时，对挠曲线近似微分方程
积分一次得转角方程，积分两次得挠度方程，此法称为积分法。 z
EI
xMy )(" ??
对均质材料等截面直梁,EIz为常量。则由
积分一次得 转角方程：
积分两次得 挠度方程：
式中积分常数 C,D由边界条件 (梁中已知的截面位移 )确定：
简支梁：
弯矩方程分段时的积分常数由连续条件 (梁中已知的位移
关系 )确定：
积分常数确定后，即可由转角方程和挠度方程求梁任一
截面的转角和挠度。
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例 7-8, 求图示悬臂梁自由端的转角和挠度，梁的 EI为常数。
? ? ?? xlpxM ???
?? xlpE I y ??"
Cpxp l xEI ??? 221?
Dcxp l xp l xE I y ???? 32 6121
???? ????? lxEIpl x 22?
???? ????? lxEIp l xy 36
2
B? By
??? EIplB 2 2m a x?? ??? EIplfy B 3
3
解：（ 1）建弯矩方程，列挠曲线微分方程：
（ 2）将微分方程积分得：
（ 3）当 x=0时,θA＝ 0,得 C=0；
当 x=0时,yA=0,得 D=0;
所以转角方程为：
挠度方程为：
（ 4）求转角 挠度 得：
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四、叠加法计算梁的位移
1,叠加原理,在 弹性小变形范围 内所求物理量（反力、内力、
变形等）均与梁上 荷载成线性关系,在这种情况下，几项荷载同
时作用产生的效应与每一项荷载单独作用效应的代数和相等。
2,叠加法计算步骤,①分解荷载 (为每一荷载单独作用情况 )；
②分别计算各 荷载单独作用时梁的 变形 (对应截面的挠度和转
角可分别查梁的变形表确定，教材表 8-1)；
③叠加得最后结果 (同一平面内荷载产生的变形代数相加，否
则应该几何相加 )。
? ?
22
2
4
1
43
48
3 8 4
5
bl
EI
pb
ff
EI
ql
ff
p
q
????
??
? ?
324
32245
384
1 pbpblql
EI
fff pq
???
??
例 7-9 求图示简支梁的最大挠度和转角。梁的 EI=常数,a>b。
解：
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例 7-10 等截面外伸梁如图，试求 C截面的挠度，梁的 EI为常数。
解：分解梁为 AB,BC两段：
?? al
EI
qa
a
EI
lqa
EI
qa
y
EI
lqa
EI
ml
C
B
34
2468
63
324
2
????
???;ayyyy Bcqccqc B ????? ??
例 7-11 等截面悬臂梁如图，试求 C截面的挠度，梁的 EI为常数。
解：分解荷载为 1,2两种情况：;8
4
1
z
c EI
qly ?;3 8 47]6
)2(
28
)2(
[2
4
34
222
zzz
BBc EI
ql
EI
lq
l
EI
lq
lyy ??????????? ?
zzz
CCC EI
ql
EI
ql
EI
qlyyy
384
41
384
7
8
444
21 ??????
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五、梁的刚度校核
梁的刚度校核的目的是检查梁在荷载作用下产生的位移是否
超过设计规定的容许值。机械工程中，一般对挠度和转角都进行
校核；土建工程中，大多只校核挠度。
校核挠度时，通常是以挠度的容许值与跨度的比值 作为
校核的标准。
由此建立 梁的刚度条件,
??????lf
可查有关设计规范。__m a x ??????? lfly
强度条件和刚度条件都是梁必须满足的。土建工程中，一般
情况下梁的强度条件起控制作用。设计梁时，一般由强度条件选
择梁的截面，再校核刚度条件，不满足时再设法减少梁的变形。
提高梁的抗弯刚度的措施：由
①提高 Wz/A的值；（与强度问题不同，局部增加惯 性 矩对
梁整体变形的影响较小，应考虑加筋而不是加厚截面）②减少
梁跨度 l或在跨中增加支座；③增加材料的弹性模量 E；但作用不
大。因为高强度钢材的 E值与普通钢材相近。
z
n
EI
ly
?
??
系数
荷载
?
返回 下一张 上一张 小结
例 7-12 如图，平面钢闸门最底下一根主梁的计算简图，梁
上作用有水压力，其集度 q=29.6kN/m，已选择此梁为 25b工 字
钢,试校核此梁的刚度。
解：梁的许用挠度为：
? ? ;500;101.2 5 lfM P aE ???? ?
? ?fmmm
EI
ql
f
cmI
mm
l
f
z
Z
???
????
???
??
?
???
?
1.120 1 2 1.0
1096.5 2 8 3101.2384
32.4106.295
384
5
96.5 2 8 3
6.8
500
4 3 2 0
500
811
434
4
不满足刚度条件，应重新设计。选择 28b工字钢，查
表得,Iz=7480cm2。
? ?fmmmf ??????? ???? ? 54.800854.0107480101.2384 32.4106.295 811 43
所以应选 28b工字钢。 返回 下一张 上一张 小结
7-13 矩形截面悬臂梁如图,已知,,单位跨度内的许用
挠度,试校核该梁的强 `刚度,? ? MPaEMPa
l
f 5102,120;
250
1 ?????
?
??
?
? ?
解,1.强度校核 mkNPlM ????? 45315
m a x
322 667
6
2010
6 cm
bhW
z ?
???
? ??? ??????? M P aWM
z
5.6710667 1045 36m a xm a x
22010 cmhb ???
2.刚度校核
4
33
66 6712;3 cmbhIEIPlf z
z
???
????????????
????
? l
f
EI
Pl
l
f
z 294
1
10666 71023
3150 00
3 811
22
结论, 该梁满足强 `刚度要求,
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第六节 应力状态和强度理论
一、应力状态的概念
过受力构件内一点所有截面上的
应力情况总和，称为该点的应力状态。
如拉压杆斜截面应力：;2s i n2;c o s 22 ?????? ?? ??
研究方法：取 单元体 。
主平面 — 剪应力为零的面；
主应力 — 主平面上的正应力；
主单元体 — 三主平面组成的单元体；
三个主应力按代数值排列为,ζ1>ζ2>ζ3
应力状态的分类：
三向（空间）应力状态 — 三个主应力都不为零；
双向（平面）应力状态 — 两个主应力不为零； (为本节研究重点 )
单向 (简单 )应力状态 — 两个主应力为零。 此外为复杂应力状态。
纯剪切状态 — 各面只有剪应力而无正应力。
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如简支梁。
二、平面应力状态分析 — 解析法
)(2c o s2s in2 bxyx ?????? ? ???
1、平面应力状态任意截
面应力计算公式：
符号规定,σ— 拉为正； τ— 顺时针为正； α— 逆时针为正。
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用与横截面夹角为
的斜截面 (面积为 dA)截取
楔形体，由
?
)(2s i n2c o s22 axyxyx ???????? ? ?????
利用三角公式化
简整理可得：
同理，由 ∑Fy=0
可得：
0s i ns i ns i nc o s
c o sc o sc o ss i n:0
?????
???????
??????
??????? ?
dAdA
dAdAdAF
yy
xxn
2、主应力、主平面、主剪应力
由 (a),(b)式可确定应力的极值及其作用面方位。;90;
),(,
),(,
)(
2
)2(;)
2
(
2
:0
12
m i n1
m a x1
1
22
2
1
m i n
m a x
???
?
?
?
?
?
?
?
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?
? ?
xyx
xyx
yx
X
x
yxyx
tg
d
d;90;
2
)2(;)
2
(:0
12
22
m i n
m a x
???
?
?
?
?
??
?
?
?
?
???
?
??
?
??
?
?
??
?
?
?
?
x
yx
x
yx
tg
d
d；②关系：① ?45; 1
2
1
m i nm a x ????
???? ?
?
?????
?
?
yx;
222
31
m a x
2
2
m i nm a x ???????? ????
???
?
???
? ???
x
yx③
返回 下一张 上一张 小结
三、平面应力状态分析 — 图解法
2222 )
2()2( x
yxyx ???????
?? ?
?????
整理 (a),(b)式得应力圆方程：
)0,2( yx ?? ?圆心坐标,22)2( xyx ??? ??半径：
2,对应关系：
① 单元体面上应力值 ← → 应力圆上点的坐标；
② 单元体上 ?角 ← → 应力圆上同转向 2 ?角；
③单元体起算面 x面 ← → 应力圆起算点 C点。
1,应力圆的画法,①取坐标系 ζoη；
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④ 作圆,以 D为圆心,DC(DC’)为半径作圆。
③ 定圆心 D：连 C,C’交 ζ轴于 D点；
② 定特征点 C,C’：按比例量取 ζx,ζy,ηx,ηy；
3,用应力圆求解斜截面上的应力：
4,用应力圆求主应力和主平面：
从应力圆上按比例量取 B1,B2
点的坐标即主应力 ζ1,ζ2；量取
圆心角 2α1即可确定主平面（或
用作图法定）。
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从 C点按 α角转向量出 2α圆
心角定 E点，按比例量 E点坐标
（ OE’,E’E)即为 ζα,ηα。;90;
),(,
),(,
)(
2
)2(;)
2
(
2
:0
12
m i n1
m a x1
1
22
2
1
m i n
m a x
???
?
?
?
?
?
?
?
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?????
??
?
?
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?
?
?
?
? ?
xyx
xyx
yx
X
x
yxyx
tg
d
d
? ?),(,m a x1 ????? xyx ? ? ?),(,m i n1 ????? xyx ?
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5,用应力圆求主剪应力：
从应力圆上按比例量取
G1,G2点的纵坐标即 ηmax、
ηmin。且
由图上几
何关系知,;45;
2
1
2
1
m i nm a x
m i n
m a x
???
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
由图还知：主剪应力平面上的正应
力值不为零。 G1,G2点的横坐标与圆心相同，等于 。)(
2
1
yx ?? ?
应力圆上任一点都代表相应的应力情况。利用同弧圆周
角是圆心角的一半的几何关系，任意斜截面的方位、主平面、
主剪应力作用平面的方位等，均可由主点 K与相应点 E,B1、
B2,G1,G2等的连线方向直观表示。
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四,三向应力圆：
最大剪应力作用面与 ?3主平面
垂直,且与 ?1和 ?2 主平面成 450 角。
2
σστ 31
m a x
??
由空间应力状态的主单元体，
分别作三个主方向的平面应力圆，
可得三向应力圆。
三向应力圆中的最大剪应力对
应 B点的纵坐标：
三向应力状态中的最大正应
力是 ?1,最小正应力是 ?3。
m i n321m a x ????? ????
其中的等号为三向应力圆退化
为平面应力圆或点圆。
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五,双向和三向应力状态的虎克定律：
弹性范围内，材料处于单向应力状态时的虎克定律, ?
)]([
1
)]([
1
)]([
1
1233
3122
3211
?????
?????
?????
???
???
???
E
E
E
EE 1'1'21'1
??????? ????? 垂直该方向的线应变为
EE 2'2'12'2
??????? ????? 垂直该方向的线应变为同理：
双向应力状态的虎克定律：
主应变 -— 单元体在三个主应力作用下,沿着三个主 应力
方向产生的正应变,用 ?1,?2,?3表示。主应变也存在关系：
一般平面应力情况：
G
E
E
xyxy
xyy
yxx
/
/)(
/)(
??
????
????
?
??
??
E
E
E
/)(
/)(
/)(
123
122
211
????
????
????
???
??
??
三 向应力状态的虎克定律：
（各向同性材料的广义虎克定律）
m i n321m a x ????? ????
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六、复杂应力状态下的应变能：
应变能 — 由于弹性变形而积蓄的变形能，称为,弹性应变能,；
简称应变能。
比能 — 单位体积的应变能，也称为能密度。以 u表示。
)}(2{2 1 133221232221 ?????????? ?????? Eu
比能可分解为两部分,体积比能 — 相应于体积改变而形状不
变的部分,以 uv表示 ； 形状改变比能（歪形能密度） — 相应于
形状改变而体积不变的部分，以 uf表示。
2
321 )(6
21 ???? ????
Eu v
)(
3
1
133221
2
3
2
2
2
1 ?????????
? ???????
??
E
uuu vf
返回 下一张 上一张 小结
七、主应力迹线的概念：
?
?
?
?
??
?
?
??
2
2
)
2
(
2;;
1
22
3
1
??
???
?
?
?
??
tg
bI
QS
I
My
z
z
z
梁内任一点都
有两个主应力,
一为拉应力,二
为压应力,两
者的方向是互
相垂直的。
1,梁的主应力：
小结返回 下一张 上一张
2,梁的主应力迹线：
— 曲线上各点切线
方向既为该点主应力
方向的曲线。 (各点主
应力方向的轨迹线）
在钢筋混凝土梁中，
受拉钢筋的布置大致
与主拉应力迹线一致。
小结返回 下一张 上一张
八、强度理论
1,单向拉（压）强度条件,
σ o— 极限应力 ;可由试验确定。
塑性材料,σ o＝ σ s； 脆性材料,σ o＝ σ b；
K
0
m a x ][
??? ??
复杂应力状态下的材料实验不易做。
3,强度理论 — 关于材料破坏的主要因素的假说。
四种常见的强度理论：
（ 1）最大拉应力理论（第一强度理论）：
①破坏因素：最大拉应力
②破坏条件：
③强度条件：
④适用范围：脆性材料
b?? ?1
相当应力。—xdxd ???? ];[11,??
（ 2）最大拉应变理论（第二强度理论）：
①破坏因素：最大拉应变
②破坏条件：
③强度条件：
④适用范围：脆性材料
bo ??????? ???? )(; 32111
][)( 3212,?????? ????xd
返回 下一张 上一张 小结
2,材料的破坏形式, (1)脆性断裂； （ 2）塑性剪切；
（ 3）最大剪应力理论（第三强度理论）：
①破坏因素：最大剪应力
②破坏条件：
③强度条件：
④适用范围：塑性材料
22 31m a x
?? ????? ????
][313,???? ???xd
（ 4）形状改变比能理论（第四强度理论）：
①破坏因素：形状改变比能
②破坏条件：
③强度条件：
④适用范围：塑性材料
s??????? ?????? 2/])()()[( 213232221
][2/])()()[( 2132322214,???????? ???????xd
塑性材料梁的主应力强度计算：
][3
][4;0;)
2
(
2
22
4,
22
3,
2
2
3
1
????
????
??
??
?
?
???
???
????
?
?
?
xd
xd
返回 下一张 上一张 小结
例 7-14 20a工字钢制成简支梁如图所示,已知 [?]=150MPa,
[?]=95MPa,P=100KN,a=0.32m,l=2m,试对此梁进行强度校核 。
解, 作 M图,Q图。
Mmax=32KM.m Qmax=100KN
查表,Iz=2370cm4, W=237cm3,返回 下一张 上一张 小结
20a工字钢简支梁,校核强度。
已知,[?]=150MPa,[τ]=95MPa,Ｐ =100KN,a=0.32m,l=2m。
M=32KM.m Q=100KN 查表, Iz=2370cm4, W=237cm3，
(1) 校核正应力强度：
][13510237 1032 43m a xm a x ?? ?????? ? M PaWM
][1.831071072.1 10100 32 4m a xm a x ?? ????? ??? ?? ? M PadI SQ
z
z（ 2）校核剪应力强度,
(3)校核腹板与翼缘交界处的主应力强度
1)K点的主应力校核
M P a
dI
SQ
M P a
I
yM
z
z
x
z
x
8.64
5.119
m a x
m a x
?
?
?
??
?
?
2)加大截面改选 20b号工字钢 σ ＝ 113MPa τ = 48.8MPa
][1418.4834.1133 22224,???? ??????? M P axd
%2.9
150
1508.163
][
][
][8.1638.6435.1193
4,
2222
4,
???
?
???????
?
??
????
xd
xd M P a
返回 下一张 上一张 小结
小结
三、梁的应力：
一、梁的外力（平面弯曲受力特点和变形特点）：
二、梁横截面内力：弯矩 M、剪力 Q；
绘内力图：直接法求截面内力；
M=∑Mo(PiQ);Q=∑PiQ。
内力图特征,q=0； q=C；
P作用截面； M作用截面。;; m a x
zz W
M
I
yM ??? ??横截面正应力：
A
Qk
bI
SQ
z
z ??
m a x; ?? ＝横截面上的剪应力：
各种型钢查表。环形截面：圆形截面：矩形截面,;2;34;23 ??? kkk
返回 下一张 上一张 小结
1,第一类危险点：正应力强度条件：
2,第二类危险点：剪应力强度条件：
3,第三类危险点：主应力强度条件：
（塑性材料梁）
四、梁的强度计算：
五、梁的变形：
挠度 y（向下为正）；
转角 θ（ 顺时针为正） 。
叠加法求梁截面的变形。
][m a xm a x ??? ?? ??
zW
M
][m a x ?? ?? AQk
][3
][4
22
4,
22
3,
????
????
???
???
xd
xd
z
n
EI
ly
?
??
系数
荷载
?;?
?
?
??
??
?
??
??
?
??
y
EI
ly
z
n
系数
荷载
六、梁的刚度计算：
刚度条件：
返回 下一张 上一张 小结
梁横截面上的正应力
梁横截面上的剪应力
梁的强度计算
弯曲中心的概念
梁的变形和刚度计算
应力状态和强度理论
小结
第一节
第二节
第三节
第四节
第五节
返回
第六节
第七章 梁的强度和刚度计算
本章研究梁的应力和变形计算，
解决梁的强度和刚度计算问题。
梁的一般情况是横截面上同时
存在剪力和弯矩两种内力，称作 剪
力（横力）弯曲 。与此相应的截面
上任一点处有剪应力 η和正应力 ζ。
且剪应力 η只与剪力 Q有关，正应力
ζ只与弯矩 M有关。
横截面上只有弯矩而没有剪力
的弯曲称作 纯弯曲 。
如图简支梁,AC,DB段为横
力弯曲； CD段为纯弯曲。
返回 下一张 上一张 小结
第一节 梁横截面上的正应力
一、实验观察与分析：
为推导梁横截面上的正应力，考虑 纯弯曲 情况。
用 三关系法, 实验观察 → 平面假设；
几何关系 → 变形规律，
物理关系 → 应力规律，
静力学关系 → 应力公式。
① 横线仍为直线,但倾斜角度 d?；
②纵线由直变弯,仍与横线正交,
凸边伸长,凹边缩短；
③横截面相对于纵向伸长区域缩
短，纵向缩短区域伸长。
假设,① 平面假设 — 变形前 后横
截面保持平面不变；
中性层 — 长度不变的纤维层；
中性轴 — 中性层与横截面的交线。
② 单向受力假设 — 纵向纤维之间互不挤压仅伸长或缩短。
返回 下一张 上一张 小结
二、正应力公式的推导：
（一）变形几何关系：;??? ?? ydyddx S ?????
取梁微段 dx考虑变形
几何关系，得应变规律：
当 M>0时,y>0,ε>0,为受拉区； y<0,ε<0,为受压区。
（二）物理关系：
???
yEE ??由假设 2及虎克定律，梁横截面上的正应力变化规律为：
此式表明：梁横截面上任一点的正应力，与该点距中性轴
（ z轴）的距离 y成正比，而与该点距 y轴的距离 z无关。正应
力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处 y=0,ζ＝ 0； 上下边
缘处有 ymax,故有 ζmax。 返回 下一张 上一张 小结
（三）静力学关系：
00 ????????
??
ydEdN ??;00 ??????
??
z y d AEdAzM y ??
??????? ?? MdAyEMdAyM z 2??
z
My
??? ?
— 中性轴 Z必通过形心。
— 中性轴是截面的形心主轴 。
纯弯曲梁上各点只有正应力，微面积 dA上法
向合力 dN=σdA。 截面上各微内力形成沿 X轴的空
间平行力系。可简化成三个内力分量,Nx,My,Mz。
式中, Iz— 截面对其中性轴的惯性矩； M— 截面上的弯矩；
y— 所求正应力点到中性轴的距离。
— 纯弯曲梁横截面上任一点正应力计算公式
为避免符号错误，计算中各量以绝对值代入,ζ符号依点
所处区域直接判断。（根据弯矩方向，中性轴将截面分为受
拉区和受压区； M>0,上压下拉； M<0，上拉下压。）;1
zE
M
???
— 纯弯曲梁的
变形计算公式
返回 下一张 上一张 小结
正应力公式的使用范围：① 纯弯曲梁 ；② 弹性范围 （ ζ≤ζp） ；
③ 平面弯曲 （截面有对称轴，形状不限）；④ 细长梁的横力弯曲 。
（一般 l/h>5为细长梁，其计算误差满足工程精度要求 δ<5％。）
例 7-1 图示悬臂梁。试求 C截面上 a,b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。
解, （ 1）计算 C截面的弯矩 M
（ 2）确定中性轴位置，并计算惯性矩
（ 3）求 a,b两点的正应力
mKNPM c ???????? 35.122
433 5830
12
1812
12 cm
bh
z ?
????;09.31058 30 06.0103 8
3
M P ayM
z
ac
a ??
???
?? ??
.3;63218 cmycmy ba ????;54.1105830 03.0103 83 M P ayM
z
bcb ??
?
????
?? ??;92182m a x cmhy ???;63.4105 83 0 109103 m a x8 23m a xm a x ?? ?? ???? ?????? ?? M P ayM
z
c
(4)求 C截面最大拉应力 ?+max和最大压应力 ?-max
（在截面上下边缘。） 返回 下一张 上一张 小结
例 7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求 D截面上 a,b两
点处的正应力。
解,(1)求 D截面的弯矩：
MD=30kN.m;3.1 4 3;3.1 4 3
101 6 6 0
103.791030;3.797.10
2
1 8 0
8
33
M P a
M P a
yM
mmyy
b
z
aD
a
ba
?
??
?
????
?
?
?
????
?
?
?
?
(3)求 D截面 a,b两点的正应力：
(2)确定中性轴位置
和截面惯性矩：
查型钢表
IZ=1660cm4
返回 下一张 上一张 小结
第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁：
矩形截面梁任意截面上剪力 Q
都与对称轴重合。对 狭长 横截面上
剪应力的分布规律可作 两个假设：
(1)横截面上各点 ?均与该面上 Q
同向且平行 ；
(2)剪应力沿截面宽度均匀分布。
从梁微段中取窄条 cdmn分析：;bIQS
z
z?? ?;,,;0,0
''
21
??? ???
?????
QdxdMbd x Id M S
dTNNx
z
z;';; 211 *
b d xdT
SI dMMNSIMdAN z
z
z
z
A
?
?
?
???? ?
返回 下一张 上一张 小结
矩形截面剪应力计算公式：
bI
QS
z
z
*
??式中,Q— 横截面上的剪力；
Iz— 横截面对其中性轴的惯性矩；
b— 所求剪应力作用点处的截面宽度；
Sz ＊ — 所求剪应力作用点处的横线以
下 (或以上）的截面积 A*对中性轴的面积矩。
矩形截面,);
4(2,
222/
11* y
hbb d yydAySb d ydA h
yAz ????? ??
);4(6)4(2 22322 yhbh QyhIQ
z
????? ?
,123bhI z ?
η沿截面高度按
抛物线规律变化。;2346,0;0,2 32m a x bhQbhQhyhy ?????? ??;2323m a x ?? ??? AQ 平均剪应力）（ ??
由剪切虎克定律 η＝ Gγ，知剪应变
沿截面高度也按抛物线规律变化，引起
截面翘曲。但变形很小，可忽略不计。 返回 下一张 上一张 小结
二、其它形状截面的剪应力：
1,工字形截面梁：
工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。
1)腹板上的剪应力,腹板为狭长矩形,承担截面绝大部分剪应力。
式中,Q— 横截面上的剪力； h1— 腹板高度；
Iz— 截面对 z轴惯性矩； d— 腹板厚度；
Szmax— 中性轴一侧面积对中性轴的惯性矩；
（对于型钢,Szmax,Iz 的值可查型钢表确定）
oz
z
I
QS
?? ?水平
dh
Q
1
m a x ??或
故中性轴处有最大剪应力
2)翼缘上的剪应力,翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很
小且分布复杂，一般不考虑；水平分量认为沿翼缘厚度均匀分布，
计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间存在
,剪应力流,的规律。
d
QS
z
z
??
m a x
m a x?
Sz— 欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴惯性矩；
δo— 翼缘厚度。
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2,T字型截面：
T字型截面与工字型截面
相似，最大剪应力仍发生在截
面中性轴上。其腹板上应力为,dIQSz z
*
??
3,圆形及环形截面：
圆形与薄壁环形截面其最大竖向剪应力
也都发生在中性轴上，并沿中性
轴均匀分布，其值为,圆形截面
薄壁环形截面
1
m a x 3
4
A
Q??
2
m a x 2 A
Q??式中,Q— 截面上的剪力
A1,A2— 圆形、薄壁环形截面的面积
所有开口薄壁截面的剪应
力均符合“剪应力流”规
律。
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例 7-3：矩形截面简支梁如图,已
知,l=2m,h=15cm,b=10cm,h1=3cm,
q=3kN/m.试求 A支座截面上 K点
的剪应力及该截面的最大剪应力,
3*
4
33
23625.55.410
2810
12
1510
12
cmyS
cmbh
cz
z
??????
?????
M P abSQ
z
zA
k 252.010101028 10
10236103
14
33
???? ???????
M P aAQ 3.0101015 1035.15.1 23m a x ??? ?????
解,1、求剪力,QA=3kN
2、求 K点剪应力：
3、求最大剪应力：
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例 7-4 倒 T形截面外伸梁如图,已知：
l=600mm,b=30mm,P1=24kN,
P2=9kN,y1=72mm,Iz=573cm4,
试求 梁横截面上的最大剪应力。
解,1,求最大剪力：
Qmax＝ 15kN,在 CB梁段。;7 7 8 0 072302121 2221* mmbyyAS oz ???????
2,求最大剪应力：
M P abI SQ
z
z 79.6
3010573
778 001015
4
3
m a x ???
???
?
???
在中性轴上。
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第三节 梁的强度计算
一、梁的正应力强度条件：
为了保证梁在外力作用下能安全正常工作，必须限制梁内的
最大应力不超过材料的许用应力。由此建立梁的强度条件并进行
梁的强度计算。
危险截面 — 最大应力点所在截面 ;(等直梁为最大内力截面）
危险点 — 危险截面上的最大应力作用点。
等直梁的危险截面危险点为最大弯矩截面上下边缘处各点。;m a xm a xm a xm a x
zz W
M
I
yM ????
各种型钢查表。环形截面：圆形截面：矩形截面：
形的能力；单位：，反映截面抵抗弯曲变抗弯截面系数（模量）
);1(32;32;6
.,_ __
4
332
33
??? ???? DWDWbhW
mmmW
zzz
z
定。弯曲许用应力，查表确度条件：对称截面梁的正应力强 __m a xm a x ][ ?? ??
zW
M
定。弯曲许用应力，查表确强度条件：非对称截面梁的正应力 __m a xm a x ][ ??? ?? ??
zW
M;
m a xy
IW z
z ?令
返回 下一张 上一张 小结
(1)强度校核,
(2)选择截面,
(3)确定梁的
许可荷载
? ?
? ? %105
%105
m a x
m a x
??
??
??
??
? ?
? ?
截面尺寸取整！）
0
0
m a x
m a x
105
(,
??
??
??
?
bdMW z
? ? ? ? ? ?
.][][]([][][;
m i nm a x
m a x
）为取 PPPkAQQ
PWMM
Q
Mz
???
????
?
?
二、剪应力强度条件,验确定。材料的许用剪应力，试__
m a x ][?? ?? A
Qk
。各种型钢查表或环形截面：圆形截面：矩形截面,)(1;2;34;23
1
m a xm a x dhQkkkk ????? ?
三、梁的强度计算：
一般情况下，细长梁多为横力弯曲，横截面上同时存在弯矩
和剪力，应同时满足正应力和剪应力强度条件。由此可进行三方
面的强度计算：
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例 7-5 图示为 T形截面的铸铁梁。已知：
y1=5.2cm,y2=8.8cm,P1=10.8kN,P2=4.8kN,
a=1m,铸铁许用拉应力 [?+]=30MPa,许用压
应力 [?-]=60MPa,试校核梁的正应力强度。
解,(1)作出梁的弯矩图,可知,
MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m
(2)梁的两个抗弯截面模量为,;7.868.8763;7.1462.5763 3
22
3
11
cmyWcmyW zz ????????
(3)C截面的正应力强度校核,
(4)D截面的正应力强度校核,
(5)最大拉应力发生在 C截面的下边缘处,最大压应力发生在 D
截面的下边缘处,其值分别为,
? ? ? ?;5.20107.1 46 103;7.34107.86 103 6
3
1
m a x6
3
2
m a x ?????? ???????????? ???? M P aWMM P aWM Dc
? ? ? ?;3.55107.86 108.4;7.32107.14 6 108.4 6
3
2
m a x6
3
1
m a x ?????? ???????????? ???? M P aWMM P aWM DD;3.55;7.34 m a xm a x M P aM P a ?? ?? ??
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例 7-6：试为图示的施工用钢轨枕木选择矩形截面。已知矩形截面尺寸的比例
为 b:h=3:4,枕木的弯曲许用正应力 [?]=15.6MPa,许用剪应力 [?]=1.7MPa,钢轨传
给枕木的压力 P=49KN。
解,(1)由正应力强度条件设计截面尺寸 mKNM ?? 8.9m a x
? ?
cmbcmhcmbcmh
cm
hh
hh
bh
W
cm
M
W
z
z
13,18;9.12,2.17
6 2 8
8;
84
3
6
1
6
6 2 8
106.15
108.9
3
33
2
2
3
6
3
m a x
??????
?????
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
(2)校核剪应力强度
(3)按剪应力强度条件重新设计截面
? ??? ???? ????? ? MPaA QkNQ 14.3101318 10495.15.1;49 4
3
m a xm a x
? ?
? ?
cmbcmhcmhhbhA
m
Q
A
A
Q
18,24;4 3 2
4
3;
4
3
104 3 2
107.1
10495.15.1;
5.1
222
24
6
3
m a x
m a x
m a x
???????
??
?
??
???
??
?
?
?? 返回 下一张 上一张 小结
例 7-7 一外伸梁 如图所示,梁上受集中力 P的作用,已知 a=25cm,l=100cm,梁由
2.6号工字钢制成,材料的弯曲许用正应力 [?]=170MPa,许用剪应力 [?]=100MPa,
试求此梁的许可荷载 [P].
解,
查表得,
(1)按正应力强度条件确定 [P]
(2)校核剪应力强度
此梁的许可荷载 [P]=52.7kN
PQPaM ?? m a xm a x,
cmScmWcmd zz 8.10,53.77,5.0 m a x3 ????
? ? ? ?
? ?
? ? kN
a
MP
MM
mkNWM z
7.52
25.0
18.13
18.131053.77101 7 0
m a x
86
???
?
???????
?
?
? ??? ??????? ????
??
?? m p APa
d
SQ
kNPQ
z
6.97106.97
105.0108.10
107.52
7.52
6
22
3
m a xm a x
m a x
m a x
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① A相同时，截面
高度尽量大；
四、梁的合理截面：
梁的设计应达到即安全又经济的要求。即要保证梁具有足够
的强度，安全工作；又要充分发挥材料的作用，节省材料。
由此可知：与强度有关的材料性质 [ζ]应尽量大 ；荷载及
结构确定的 Mmax应尽量小 ；而提高梁的弯曲强度，主要从提高
Wz着手，即选择合理截面形式，使 Wz/A的值尽量大 。
? ?? ?
?
??
?
?
2
1
y
y
② 把大部分面积布置在距中性轴
较远的截面边缘，提高 Wz/A的值；
Wz/A=(0.27-0.31)h>0.167h>0.125h;
(工字形 >矩形 >圆形 )
③ 使截面两边
同时达到许
用应力；
④ 综合考虑梁的有关刚度、稳定、使用要求及制造工艺等因素。
如：过分强调加大 h值，可能使截面侧向失稳；木梁不用工、
环形截面，以避免增加加工费等。 返回 下一张 上一张 小结
第四节 弯曲中心的概念
当外力作用在梁的纵向对称平面内时，梁产生平面弯曲。但
截面没有纵向对称轴时，沿形心主轴作用的荷载不产生平面弯曲。
如图槽形截面,P力使梁弯
曲；截面上的剪应力流形成扭矩
(腹板上的剪力 Q’和翼缘上的 T可
求其作用在 A点的合力 Q,Q与 P
形成扭矩 )使梁扭转；梁产生弯
扭组合变形。
若使梁仅产生平面弯曲,P必须作用在过弯曲中心的纵向平
面内。
任何形状的截面都存在弯曲中心。 弯曲中心的位置与梁所
受的荷载无关，只取决于截面的几何形状。
可以证明，弯曲中心位于①截面的对称轴上；②中线交点；
③与形心重合。型钢截面的弯曲中心可查有关图表。
弯曲中心 — 梁仅产生平面弯曲时，外力在截面上的作用位置。
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第五节 梁的变形和刚度计算
一、挠度和转角
1,梁的挠曲线 (弹性曲线 )— 梁弯曲后的轴线，为一条光滑的平
面曲线。
2,挠度 y— 梁横截面形心垂直杆轴方向的线位移,称为该截面的
挠度，用 y表示，向下为正。 (水平方向线位移略去不计 )
3,转角 θ— 梁横截面绕中性轴转过的角度,称为该截面的转角，
用 θ表示，顺时针为正。 单位：弧度。
梁的挠度方程（挠曲线方程）：
y=f（ x）
? ?xfdxdytg '??? ??梁的转角方程,
只要确定了梁的挠曲线方程，则任何横截面的挠度和转角
都可由此求出。所以,求梁变形的关键是求出其挠曲线方程。
单位,mm.
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二、梁的挠曲线的近似微分方程式;(11
zz EI
xM
xEI
M ）＝
）（推广为式可由纯弯曲梁的变形公 ?? ?
忽略剪力对梁变形的影响，则工程中常用的细长梁的变形;
)(
),)((;
])(1[
)(
1
2
2
2
2
2
2/32
2
2
z
EI
xM
dx
yd
dx
dy
dx
yd
dx
dy
dx
yd
x
??
??
?
??
可得：的影响研究弹性小变形，忽略
点的曲率公式考虑数学中曲线上任一
?
由所选坐标系和 M的符
号规定，取式中的负号。则
得梁的挠曲线近似微分方程：
zz EI
xMy
EI
xM
dx
yd )(")(
2
2
???? 或
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三、积分法计算梁的位移
Dcxd x d xxME I y ?????? )(
)(" xME I y ??
CdxxMEIE I y ????? )(' ?;0:;0:0 ???? BA ylxyx;0:0:)(0 ???? AAylxx ?
212121,; ?? ???? yyaxx
悬臂梁：
在计算梁的位移时，对挠曲线近似微分方程
积分一次得转角方程，积分两次得挠度方程，此法称为积分法。 z
EI
xMy )(" ??
对均质材料等截面直梁,EIz为常量。则由
积分一次得 转角方程：
积分两次得 挠度方程：
式中积分常数 C,D由边界条件 (梁中已知的截面位移 )确定：
简支梁：
弯矩方程分段时的积分常数由连续条件 (梁中已知的位移
关系 )确定：
积分常数确定后，即可由转角方程和挠度方程求梁任一
截面的转角和挠度。
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例 7-8, 求图示悬臂梁自由端的转角和挠度，梁的 EI为常数。
? ? ?? xlpxM ???
?? xlpE I y ??"
Cpxp l xEI ??? 221?
Dcxp l xp l xE I y ???? 32 6121
???? ????? lxEIpl x 22?
???? ????? lxEIp l xy 36
2
B? By
??? EIplB 2 2m a x?? ??? EIplfy B 3
3
解：（ 1）建弯矩方程，列挠曲线微分方程：
（ 2）将微分方程积分得：
（ 3）当 x=0时,θA＝ 0,得 C=0；
当 x=0时,yA=0,得 D=0;
所以转角方程为：
挠度方程为：
（ 4）求转角 挠度 得：
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四、叠加法计算梁的位移
1,叠加原理,在 弹性小变形范围 内所求物理量（反力、内力、
变形等）均与梁上 荷载成线性关系,在这种情况下，几项荷载同
时作用产生的效应与每一项荷载单独作用效应的代数和相等。
2,叠加法计算步骤,①分解荷载 (为每一荷载单独作用情况 )；
②分别计算各 荷载单独作用时梁的 变形 (对应截面的挠度和转
角可分别查梁的变形表确定，教材表 8-1)；
③叠加得最后结果 (同一平面内荷载产生的变形代数相加，否
则应该几何相加 )。
? ?
22
2
4
1
43
48
3 8 4
5
bl
EI
pb
ff
EI
ql
ff
p
q
????
??
? ?
324
32245
384
1 pbpblql
EI
fff pq
???
??
例 7-9 求图示简支梁的最大挠度和转角。梁的 EI=常数,a>b。
解：
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例 7-10 等截面外伸梁如图，试求 C截面的挠度，梁的 EI为常数。
解：分解梁为 AB,BC两段：
?? al
EI
qa
a
EI
lqa
EI
qa
y
EI
lqa
EI
ml
C
B
34
2468
63
324
2
????
???;ayyyy Bcqccqc B ????? ??
例 7-11 等截面悬臂梁如图，试求 C截面的挠度，梁的 EI为常数。
解：分解荷载为 1,2两种情况：;8
4
1
z
c EI
qly ?;3 8 47]6
)2(
28
)2(
[2
4
34
222
zzz
BBc EI
ql
EI
lq
l
EI
lq
lyy ??????????? ?
zzz
CCC EI
ql
EI
ql
EI
qlyyy
384
41
384
7
8
444
21 ??????
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五、梁的刚度校核
梁的刚度校核的目的是检查梁在荷载作用下产生的位移是否
超过设计规定的容许值。机械工程中，一般对挠度和转角都进行
校核；土建工程中，大多只校核挠度。
校核挠度时，通常是以挠度的容许值与跨度的比值 作为
校核的标准。
由此建立 梁的刚度条件,
??????lf
可查有关设计规范。__m a x ??????? lfly
强度条件和刚度条件都是梁必须满足的。土建工程中，一般
情况下梁的强度条件起控制作用。设计梁时，一般由强度条件选
择梁的截面，再校核刚度条件，不满足时再设法减少梁的变形。
提高梁的抗弯刚度的措施：由
①提高 Wz/A的值；（与强度问题不同，局部增加惯 性 矩对
梁整体变形的影响较小，应考虑加筋而不是加厚截面）②减少
梁跨度 l或在跨中增加支座；③增加材料的弹性模量 E；但作用不
大。因为高强度钢材的 E值与普通钢材相近。
z
n
EI
ly
?
??
系数
荷载
?
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例 7-12 如图，平面钢闸门最底下一根主梁的计算简图，梁
上作用有水压力，其集度 q=29.6kN/m，已选择此梁为 25b工 字
钢,试校核此梁的刚度。
解：梁的许用挠度为：
? ? ;500;101.2 5 lfM P aE ???? ?
? ?fmmm
EI
ql
f
cmI
mm
l
f
z
Z
???
????
???
??
?
???
?
1.120 1 2 1.0
1096.5 2 8 3101.2384
32.4106.295
384
5
96.5 2 8 3
6.8
500
4 3 2 0
500
811
434
4
不满足刚度条件，应重新设计。选择 28b工字钢，查
表得,Iz=7480cm2。
? ?fmmmf ??????? ???? ? 54.800854.0107480101.2384 32.4106.295 811 43
所以应选 28b工字钢。 返回 下一张 上一张 小结
7-13 矩形截面悬臂梁如图,已知,,单位跨度内的许用
挠度,试校核该梁的强 `刚度,? ? MPaEMPa
l
f 5102,120;
250
1 ?????
?
??
?
? ?
解,1.强度校核 mkNPlM ????? 45315
m a x
322 667
6
2010
6 cm
bhW
z ?
???
? ??? ??????? M P aWM
z
5.6710667 1045 36m a xm a x
22010 cmhb ???
2.刚度校核
4
33
66 6712;3 cmbhIEIPlf z
z
???
????????????
????
? l
f
EI
Pl
l
f
z 294
1
10666 71023
3150 00
3 811
22
结论, 该梁满足强 `刚度要求,
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第六节 应力状态和强度理论
一、应力状态的概念
过受力构件内一点所有截面上的
应力情况总和，称为该点的应力状态。
如拉压杆斜截面应力：;2s i n2;c o s 22 ?????? ?? ??
研究方法：取 单元体 。
主平面 — 剪应力为零的面；
主应力 — 主平面上的正应力；
主单元体 — 三主平面组成的单元体；
三个主应力按代数值排列为,ζ1>ζ2>ζ3
应力状态的分类：
三向（空间）应力状态 — 三个主应力都不为零；
双向（平面）应力状态 — 两个主应力不为零； (为本节研究重点 )
单向 (简单 )应力状态 — 两个主应力为零。 此外为复杂应力状态。
纯剪切状态 — 各面只有剪应力而无正应力。
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如简支梁。
二、平面应力状态分析 — 解析法
)(2c o s2s in2 bxyx ?????? ? ???
1、平面应力状态任意截
面应力计算公式：
符号规定,σ— 拉为正； τ— 顺时针为正； α— 逆时针为正。
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用与横截面夹角为
的斜截面 (面积为 dA)截取
楔形体，由
?
)(2s i n2c o s22 axyxyx ???????? ? ?????
利用三角公式化
简整理可得：
同理，由 ∑Fy=0
可得：
0s i ns i ns i nc o s
c o sc o sc o ss i n:0
?????
???????
??????
??????? ?
dAdA
dAdAdAF
yy
xxn
2、主应力、主平面、主剪应力
由 (a),(b)式可确定应力的极值及其作用面方位。;90;
),(,
),(,
)(
2
)2(;)
2
(
2
:0
12
m i n1
m a x1
1
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2
1
m i n
m a x
???
?
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xyx
xyx
yx
X
x
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tg
d
d;90;
2
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2
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12
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m i n
m a x
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x
yx
x
yx
tg
d
d；②关系：① ?45; 1
2
1
m i nm a x ????
???? ?
?
?????
?
?
yx;
222
31
m a x
2
2
m i nm a x ???????? ????
???
?
???
? ???
x
yx③
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三、平面应力状态分析 — 图解法
2222 )
2()2( x
yxyx ???????
?? ?
?????
整理 (a),(b)式得应力圆方程：
)0,2( yx ?? ?圆心坐标,22)2( xyx ??? ??半径：
2,对应关系：
① 单元体面上应力值 ← → 应力圆上点的坐标；
② 单元体上 ?角 ← → 应力圆上同转向 2 ?角；
③单元体起算面 x面 ← → 应力圆起算点 C点。
1,应力圆的画法,①取坐标系 ζoη；
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④ 作圆,以 D为圆心,DC(DC’)为半径作圆。
③ 定圆心 D：连 C,C’交 ζ轴于 D点；
② 定特征点 C,C’：按比例量取 ζx,ζy,ηx,ηy；
3,用应力圆求解斜截面上的应力：
4,用应力圆求主应力和主平面：
从应力圆上按比例量取 B1,B2
点的坐标即主应力 ζ1,ζ2；量取
圆心角 2α1即可确定主平面（或
用作图法定）。
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从 C点按 α角转向量出 2α圆
心角定 E点，按比例量 E点坐标
（ OE’,E’E)即为 ζα,ηα。;90;
),(,
),(,
)(
2
)2(;)
2
(
2
:0
12
m i n1
m a x1
1
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2
1
m i n
m a x
???
?
?
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xyx
xyx
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X
x
yxyx
tg
d
d
? ?),(,m a x1 ????? xyx ? ? ?),(,m i n1 ????? xyx ?
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5,用应力圆求主剪应力：
从应力圆上按比例量取
G1,G2点的纵坐标即 ηmax、
ηmin。且
由图上几
何关系知,;45;
2
1
2
1
m i nm a x
m i n
m a x
???
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
由图还知：主剪应力平面上的正应
力值不为零。 G1,G2点的横坐标与圆心相同，等于 。)(
2
1
yx ?? ?
应力圆上任一点都代表相应的应力情况。利用同弧圆周
角是圆心角的一半的几何关系，任意斜截面的方位、主平面、
主剪应力作用平面的方位等，均可由主点 K与相应点 E,B1、
B2,G1,G2等的连线方向直观表示。
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四,三向应力圆：
最大剪应力作用面与 ?3主平面
垂直,且与 ?1和 ?2 主平面成 450 角。
2
σστ 31
m a x
??
由空间应力状态的主单元体，
分别作三个主方向的平面应力圆，
可得三向应力圆。
三向应力圆中的最大剪应力对
应 B点的纵坐标：
三向应力状态中的最大正应
力是 ?1,最小正应力是 ?3。
m i n321m a x ????? ????
其中的等号为三向应力圆退化
为平面应力圆或点圆。
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五,双向和三向应力状态的虎克定律：
弹性范围内，材料处于单向应力状态时的虎克定律, ?
)]([
1
)]([
1
)]([
1
1233
3122
3211
?????
?????
?????
???
???
???
E
E
E
EE 1'1'21'1
??????? ????? 垂直该方向的线应变为
EE 2'2'12'2
??????? ????? 垂直该方向的线应变为同理：
双向应力状态的虎克定律：
主应变 -— 单元体在三个主应力作用下,沿着三个主 应力
方向产生的正应变,用 ?1,?2,?3表示。主应变也存在关系：
一般平面应力情况：
G
E
E
xyxy
xyy
yxx
/
/)(
/)(
??
????
????
?
??
??
E
E
E
/)(
/)(
/)(
123
122
211
????
????
????
???
??
??
三 向应力状态的虎克定律：
（各向同性材料的广义虎克定律）
m i n321m a x ????? ????
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六、复杂应力状态下的应变能：
应变能 — 由于弹性变形而积蓄的变形能，称为,弹性应变能,；
简称应变能。
比能 — 单位体积的应变能，也称为能密度。以 u表示。
)}(2{2 1 133221232221 ?????????? ?????? Eu
比能可分解为两部分,体积比能 — 相应于体积改变而形状不
变的部分,以 uv表示 ； 形状改变比能（歪形能密度） — 相应于
形状改变而体积不变的部分，以 uf表示。
2
321 )(6
21 ???? ????
Eu v
)(
3
1
133221
2
3
2
2
2
1 ?????????
? ???????
??
E
uuu vf
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七、主应力迹线的概念：
?
?
?
?
??
?
?
??
2
2
)
2
(
2;;
1
22
3
1
??
???
?
?
?
??
tg
bI
QS
I
My
z
z
z
梁内任一点都
有两个主应力,
一为拉应力,二
为压应力,两
者的方向是互
相垂直的。
1,梁的主应力：
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2,梁的主应力迹线：
— 曲线上各点切线
方向既为该点主应力
方向的曲线。 (各点主
应力方向的轨迹线）
在钢筋混凝土梁中，
受拉钢筋的布置大致
与主拉应力迹线一致。
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八、强度理论
1,单向拉（压）强度条件,
σ o— 极限应力 ;可由试验确定。
塑性材料,σ o＝ σ s； 脆性材料,σ o＝ σ b；
K
0
m a x ][
??? ??
复杂应力状态下的材料实验不易做。
3,强度理论 — 关于材料破坏的主要因素的假说。
四种常见的强度理论：
（ 1）最大拉应力理论（第一强度理论）：
①破坏因素：最大拉应力
②破坏条件：
③强度条件：
④适用范围：脆性材料
b?? ?1
相当应力。—xdxd ???? ];[11,??
（ 2）最大拉应变理论（第二强度理论）：
①破坏因素：最大拉应变
②破坏条件：
③强度条件：
④适用范围：脆性材料
bo ??????? ???? )(; 32111
][)( 3212,?????? ????xd
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2,材料的破坏形式, (1)脆性断裂； （ 2）塑性剪切；
（ 3）最大剪应力理论（第三强度理论）：
①破坏因素：最大剪应力
②破坏条件：
③强度条件：
④适用范围：塑性材料
22 31m a x
?? ????? ????
][313,???? ???xd
（ 4）形状改变比能理论（第四强度理论）：
①破坏因素：形状改变比能
②破坏条件：
③强度条件：
④适用范围：塑性材料
s??????? ?????? 2/])()()[( 213232221
][2/])()()[( 2132322214,???????? ???????xd
塑性材料梁的主应力强度计算：
][3
][4;0;)
2
(
2
22
4,
22
3,
2
2
3
1
????
????
??
??
?
?
???
???
????
?
?
?
xd
xd
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例 7-14 20a工字钢制成简支梁如图所示,已知 [?]=150MPa,
[?]=95MPa,P=100KN,a=0.32m,l=2m,试对此梁进行强度校核 。
解, 作 M图,Q图。
Mmax=32KM.m Qmax=100KN
查表,Iz=2370cm4, W=237cm3,返回 下一张 上一张 小结
20a工字钢简支梁,校核强度。
已知,[?]=150MPa,[τ]=95MPa,Ｐ =100KN,a=0.32m,l=2m。
M=32KM.m Q=100KN 查表, Iz=2370cm4, W=237cm3，
(1) 校核正应力强度：
][13510237 1032 43m a xm a x ?? ?????? ? M PaWM
][1.831071072.1 10100 32 4m a xm a x ?? ????? ??? ?? ? M PadI SQ
z
z（ 2）校核剪应力强度,
(3)校核腹板与翼缘交界处的主应力强度
1)K点的主应力校核
M P a
dI
SQ
M P a
I
yM
z
z
x
z
x
8.64
5.119
m a x
m a x
?
?
?
??
?
?
2)加大截面改选 20b号工字钢 σ ＝ 113MPa τ = 48.8MPa
][1418.4834.1133 22224,???? ??????? M P axd
%2.9
150
1508.163
][
][
][8.1638.6435.1193
4,
2222
4,
???
?
???????
?
??
????
xd
xd M P a
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小结
三、梁的应力：
一、梁的外力（平面弯曲受力特点和变形特点）：
二、梁横截面内力：弯矩 M、剪力 Q；
绘内力图：直接法求截面内力；
M=∑Mo(PiQ);Q=∑PiQ。
内力图特征,q=0； q=C；
P作用截面； M作用截面。;; m a x
zz W
M
I
yM ??? ??横截面正应力：
A
Qk
bI
SQ
z
z ??
m a x; ?? ＝横截面上的剪应力：
各种型钢查表。环形截面：圆形截面：矩形截面,;2;34;23 ??? kkk
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1,第一类危险点：正应力强度条件：
2,第二类危险点：剪应力强度条件：
3,第三类危险点：主应力强度条件：
（塑性材料梁）
四、梁的强度计算：
五、梁的变形：
挠度 y（向下为正）；
转角 θ（ 顺时针为正） 。
叠加法求梁截面的变形。
][m a xm a x ??? ?? ??
zW
M
][m a x ?? ?? AQk
][3
][4
22
4,
22
3,
????
????
???
???
xd
xd
z
n
EI
ly
?
??
系数
荷载
?;?
?
?
??
??
?
??
??
?
??
y
EI
ly
z
n
系数
荷载
六、梁的刚度计算：
刚度条件：
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