第十二章 静定结构 的位移计算
计算结构位移的目的
功 广义力和广义位移
计算结构位移的一般公式
静定结构由于荷载所引起的位移
图乘法
静定结构由于支座位移、
温度改变所引起的位移
互等定理
小结
第一节
第二节
第三节
第四节
第五节
第六节
第七节
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第一节 计算结构位移的目的
一、概念, — 由荷载、温度变化、支座移动或制造误差等因
素产生结构变形,从而引起 截面位置的改变称为位移 。
线位移 — 截面位置的改变,即 截面形心的移动 。
角位移 — 截面方向的改变,即杆轴上一点切线方向的变化。
二、结构位移计算的目的：
1,校核刚度；
2,解超静定问题；
3,满足施工要求。
本章研究 线弹性变形体系的位移 计
算。（线弹性变形体系的位移与荷载成
正比，荷载的影响可以叠加；在弹性小
变形情况下，应力与应变关系符合虎克
定律。）
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第二节 功 广义力和广义位移
功的定义,一个不变的集中力所作的功等于该力的大小
与其作用点沿力作用的方向所发生的分位移的乘积。
SPT ?? ?c o s
其他形式的力或力系所作的功也用
两个因子的乘积表示为,功等于广义
力与广义位移的乘积。
??
?
?
?????
?
?
M
SPPT c os
式中的广义力可以是一个集中力、一
对集中力，也可以是一个力偶、一对力偶；
广义位移是相应的沿力方向的线位移和沿
力偶转向的角位移或相对位移。
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? 第三节 计算结构位移的一般公式
一、外力虚功和虚变形能
虚功 — 力在 其它因素 （其它荷载、温度改变、支座移动、变形、
制造误差等） 引起的位移 上所做的功 。 （力与位移互不相干）
外力虚功 — 作用在结构上的外
力 (荷载,支座反力 )所做的虚功。
虚变形能（内力虚功 ） — 内
力在相应变形上所做的虚功。
杆系结构，由微段 dx的内力
N,Q,M和变形 du,dv,dφ，
则 微段的虚变形能为,
φMdQ d vN dudU ???；φ? ? ? ? ? ???? MdQ d vN d uU
整个结构的虚变形能为：
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均质弹性变形体系在平衡状态时，外力在虚位移上所
做的外力虚功等于力状态内力在位移状态相应变形上所做
的内力虚功。 外力虚功 T＝内力虚功 U。
2,均质弹性体受外力 P作用平衡情况下的虚功原理：；φ? ? ? ? ? ???? MdQ d vN d uT
3,杆系结构的虚功原理：
虚功原理的两种用法：
1） 虚位移原理 — 虚设位移状态可求实际力状态的未知力；
2） 虚力原理 — 虚设力状态可求实际位移状态的未知位移。
三、利用虚功原理计算结构的位移 （单位荷载法）
— 欲求实际状态的未知位移，先建立相应的虚设单位力状态，
再利用虚功原理计算各虚功项，叠加即得所求位移。
二、虚功原理
1,质点的虚功原理：
02211 ?????? ???? PPPP nn??
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图示刚架，求 D点的水平位移。
沿 D点水平方向虚设一单位力 P=1,
求出力状态各支座反力和相应截面的
内力：；、、、、,NQMVRR B21
虚设力系的外力（包括反力）对实际状态的位移
所做的总虚功为：
CRCRCRT ????????? 22111
以 φ,ν、ｕ 表示实际状态中微段的变形，则结构
总虚变形能为：；? ? ? ??? ??? lll duNdvQdMU ?
??? ???????? lll dvQduNdMCR ?＋
：由杆件结构的虚功方程
?? ? ? ??? ????? CRduNdvQdM lll ?
结构位移计算的一般公式：
注意,该等式左端为位移，等式右端为功 ；
两边相差一个力的单位。
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单位荷载的设置：
1,求某截面线位移,沿位移方向加一个单位集中力；
2,求某截面角位移,沿位移方向加一个
单位集中力偶；
3,求某两个截面间的相对线位移,沿
两个截面连线方向加一对单位集中力；
4,求某两个截面间的相对角位移,沿两
个截面连线方向加一对单位集中力偶；
5,求桁架某杆件的角位移：
在杆件两端结点上加一对垂直
杆轴方向的集中力，二力构成
一个单位力偶；
6,求桁架某两个杆件的相对角位移,在
二杆件两端结点上各加一对垂直杆轴方向
的集中力，二力构成一个单位力偶；
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? 第四节 静定结构由于荷载所引起的位移
dsEIMdxEIMd Pp ???
dsGAQdxGAQdv PP ?? ??
dsEANdxEANdu PP ??
若结构仅受荷载作用，以 MP,QP,NP表示结构实际状态的内
力，则在实际状态下梁微段的变形为：
荷载作用下静定结构的位移计算公式：
? ? ? ??? ???? l Pl Pl P dsEANNdsGA QQdsEIMM ?
? ??? l P dxEIMM:力和轴力的影响，则对直梁和刚架，略去剪
??? EA lNN P杆长不变，则：对桁架，仅有轴力且沿
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例 11-1 试求图示桁架 C点的竖向位移。各杆 EA为常量。
解,1,建立虚设状态，如图：
2,分别求两种状态各杆轴力：
3,由公式计算位移：
)(
)22(2
2))(1(
]02
2
1
2)2)(
2
2
[(
2
?
?
?
???
????????
?? ?
EA
Pd
EA
dP
dPdP
EA
EA
lNN
P
cv
简单桁架，先求支反力，再用结点
法求各杆轴力。利用对称性判断零杆。
若求 DE杆转角，应设一对集中力。
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例 11-2 试求图示悬臂刚架 A截面的水平位移 ΔAH和转角 φA。
解,1,求 ΔAH：
① 建立虚设状态如图；
② 分别分段列各弯矩方程：
（忽略轴力、剪力影响）
)0(;0;2 1
2
1 axMqxM p ?????
)0(;;2 222 axxMqaM p ????
)0(;1 1 axM k ???? )0(;1 2 axM K ???
③ 由公式求位移：
)(82 2/
4
0 22
2
???? ? EIqadxxEIqaaAH
2,求 φA：
① 建立虚设状态如图；
② 分别分段列各弯矩方程：（实际状态不变）
③ 由公式求位移：
)(1252 2/2/
3
0 2
2
0 1
2
1 ???? ??
EI
qadx
EI
qadx
EI
qx aa
A?
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第五节 图乘法
一、适用条件,①直杆；② EI为常量；
③至少有一个直线弯矩图。
二、公式推导：
已知直杆 AB两种状态的弯矩图符合图乘
三条件。取坐标系如图。;; dxMdtgxM p ???? ??由几何关系：
??
??
????
??
B
A
B
A p
B
A p
B
A
p
dx
EI
tg
dxMx
EI
tg
dxMxt g
EI
dx
EI
MM
?
??
?
1
则：由合力矩定理,;cBA xdx ???? ?? EI yEI xtgdxEIMM ccBA p ?????? ???
? ?? ???? EI ydxEIMM cl p ?＝位移公式为：
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注意,①图乘必须满足三条件；
② yc坐标必须从直线图形中查找；
③ 二弯矩图在杆轴同侧，
ωyc为正值；否则为负值；
④ 复杂图形分解为简单图形，
查图表计算，图中顶点 Q=0。
);
3
2
3
1
(;
3
1
3
2
)
22
(
1
21
21
dcydcy
y
bl
y
al
EIEI
y c
????
????
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3
2
3
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3
1
3
2
)
22
(
1
21
21
dcydcy
y
bl
y
al
EIEI
y c
?????
????
?
?? ?
?
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? 例 11-4 图示外伸梁,EI=常数，
试求 c点的竖向位移 。cv?
解,1）画实际状态弯矩图：
2）建立虚设状态并作其
弯矩图：
)(
1
332211 YYYEI
EI
Y cp
cp
???
?
???
???
)(
128
]
4
)
83
2
(
3
)
82
1
(
8
3
)
283
1
[(
1
4
2
2
2
??
????
????
????
EI
ql
l
l
ql
l
l
ql
llql
EI
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? 例 11-5 试求图示三铰刚架 c铰处左右两截面的相对角位移,
EI=常数。
c?
解,1）作实际状态
的弯矩图：
2）建立虚设状态，
并作其弯矩图：
EI
y c
c
??? ??
]2
3
2
2
1
2
1
12
2
1
3
2
12
2
1
(
1
2
22
?????
????????
lqa
aqaaqa
EI
)(3
2
laEIqa ??
3）由公式求位移：
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第六节 静定结构由于支座位移、
温度改变所引起的位移
CRk ???? ?
一、支座移动的影响：
静定结构由于支座移动不产生应力和应变，故位移公式简化
为：
注意,①公式中有一不可缺少的负号 ；②虚设状态的反力与实
际状态的位移方向一致时,R,c乘积为正，否则为负。
如图悬臂刚架，由于固定端支座
移动 C1,C2,C3产生刚体转动。
为求其 K截面线位移 KK’,建立虚
设力状态并求出三个支座反力，
则：
332211
332211 )]()([
CRCRCR
CRCRCR
CR
???????
?????????
???? ?
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? 例 11-6 图示静定刚架，若支座为 A发生如
图所示 的移动，试求 C点 水平位移和竖向
位移,a=1cm,b=2cm。
解,1.建立虚设状态：并计算由
于水平单位力作用下移动支座
的反力。并由公式求位移：
)(1)2111( ???????
???? CRcH
2.建立虚设状态，计算由
于水平单位力作用下移动支
座的反力，并由公式求位移：
)(221 ??????
????
cm
CRcV
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二、温度改变的影响
静定结构由于温度改变而产生变形 （仅有轴向变形和弯曲变形，
二 无剪切变形 ），计算其位移仍用 单位荷载法 。
图示悬臂刚架，由于内外侧温度改变值不相
同而变形。假设其实际状态微段的变形沿截面高
度线性变化，则：;:
);(
2
1
:
2
1221
21
2121
h
htht
thh
ttt
h
hh
t
?
??
????
：形心轴的温度改变;0;)(;
)(
21 ?????? dvdx
h
t
h
dxttdt d xdu ????
? 材料线膨胀系数—生变形：杆件微段因温度改变产
? ?? ?
? ? ? ???
?????
????
ll
lllkt
tdxNdxh tM
dvQduNdM
??
?
?? ???????? NMkt th t ????
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例 11-7 图示刚架，各杆截面均为矩形，高度 h=50cm,杆长 a=5m，材
料线膨胀系数 α＝ 0.00001，求刚架 C点的竖向线位移 Δct。
解,1,C点加竖向单位力 Pk=1;
矩图：作虚设状态轴力图和弯,2
:.3 cv?由公式求;10;10
2;
2
3
2
1;1
21
21
222
cttt
c
tt
t
aaa
aa
k
k
M
N
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????
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???
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)(8.0
)
502
5 0 03
1(5 0 00 0 0 0 1.010
2
3
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2
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?
???????????
?
??? ? ?
cm
a
h
a
h
t
t
kk MNcv
?
?
????
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? 第七节 互等定理
2121212112 ; ??????? PPTT 或
2112 ?? ?
一,功的互等定理：
—— 第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功等于第二状
态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。
? ?? ?? ?
? ?? ? ? ?
???
???
GA
dxQQ
EA
dxNN
EI
dxMM
dvQduNdMT
2
1
2
1
2
1
21212112
?
?
? ?? ?? ?
? ?? ? ? ?
???
???
GA
dxQQ
EA
dxNN
EI
dxMM
dvQduNdMT
1
2
1
2
1
2
12121221
?
?
二,位移互等定理：
—— 在第一个单位力的方向上由于第二个单
位力的作用所引起位移，等于在第二个单位力
的方向上由于第一个单位力的作用所引起的位
移。
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? 三、反力互等定理：
? —— 支座 1由于支座 2的单位位移所引起的反力 r12,
等于支座 2由于支座 1的单位位移所引起的反力 r21。
2112 rr ?
位移互等定理证明：计算图示
简支梁位移 φ,δ。;1616162
1
42
1
222
?? ????
???
? EImlEIlEIPlEI
lPl
注意：两广义位移数值相等，单位
不同！
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? 小 结
2112 ?? ?
一、结构位移及变形的概念：
位移 — 是指结构某点（某截面）位置相对于原始位置的改变。
变形 — 两截面间的相对位移；
二、弹性变形体的虚功原理,外力虚功＝内力虚功；
五、弹性体的几个互等定理：
功的互等定理：
位移互等定理：
反力互等定理：
三、单位荷载法求结构位移,单位荷载的设置；
四、结构位移计算的一般公式：
2121212112 ; ?????? PPTT 或
2112 rr ?
?? ? ? ??? ????? cRdsEANNdsGA QQdsEIMM l Pl Pl P ?
?? ???????? NMkt th t ????
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计算结构位移的目的
功 广义力和广义位移
计算结构位移的一般公式
静定结构由于荷载所引起的位移
图乘法
静定结构由于支座位移、
温度改变所引起的位移
互等定理
小结
第一节
第二节
第三节
第四节
第五节
第六节
第七节
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第一节 计算结构位移的目的
一、概念, — 由荷载、温度变化、支座移动或制造误差等因
素产生结构变形,从而引起 截面位置的改变称为位移 。
线位移 — 截面位置的改变,即 截面形心的移动 。
角位移 — 截面方向的改变,即杆轴上一点切线方向的变化。
二、结构位移计算的目的：
1,校核刚度；
2,解超静定问题；
3,满足施工要求。
本章研究 线弹性变形体系的位移 计
算。（线弹性变形体系的位移与荷载成
正比，荷载的影响可以叠加；在弹性小
变形情况下，应力与应变关系符合虎克
定律。）
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第二节 功 广义力和广义位移
功的定义,一个不变的集中力所作的功等于该力的大小
与其作用点沿力作用的方向所发生的分位移的乘积。
SPT ?? ?c o s
其他形式的力或力系所作的功也用
两个因子的乘积表示为,功等于广义
力与广义位移的乘积。
??
?
?
?????
?
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SPPT c os
式中的广义力可以是一个集中力、一
对集中力，也可以是一个力偶、一对力偶；
广义位移是相应的沿力方向的线位移和沿
力偶转向的角位移或相对位移。
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? 第三节 计算结构位移的一般公式
一、外力虚功和虚变形能
虚功 — 力在 其它因素 （其它荷载、温度改变、支座移动、变形、
制造误差等） 引起的位移 上所做的功 。 （力与位移互不相干）
外力虚功 — 作用在结构上的外
力 (荷载,支座反力 )所做的虚功。
虚变形能（内力虚功 ） — 内
力在相应变形上所做的虚功。
杆系结构，由微段 dx的内力
N,Q,M和变形 du,dv,dφ，
则 微段的虚变形能为,
φMdQ d vN dudU ???；φ? ? ? ? ? ???? MdQ d vN d uU
整个结构的虚变形能为：
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均质弹性变形体系在平衡状态时，外力在虚位移上所
做的外力虚功等于力状态内力在位移状态相应变形上所做
的内力虚功。 外力虚功 T＝内力虚功 U。
2,均质弹性体受外力 P作用平衡情况下的虚功原理：；φ? ? ? ? ? ???? MdQ d vN d uT
3,杆系结构的虚功原理：
虚功原理的两种用法：
1） 虚位移原理 — 虚设位移状态可求实际力状态的未知力；
2） 虚力原理 — 虚设力状态可求实际位移状态的未知位移。
三、利用虚功原理计算结构的位移 （单位荷载法）
— 欲求实际状态的未知位移，先建立相应的虚设单位力状态，
再利用虚功原理计算各虚功项，叠加即得所求位移。
二、虚功原理
1,质点的虚功原理：
02211 ?????? ???? PPPP nn??
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图示刚架，求 D点的水平位移。
沿 D点水平方向虚设一单位力 P=1,
求出力状态各支座反力和相应截面的
内力：；、、、、,NQMVRR B21
虚设力系的外力（包括反力）对实际状态的位移
所做的总虚功为：
CRCRCRT ????????? 22111
以 φ,ν、ｕ 表示实际状态中微段的变形，则结构
总虚变形能为：；? ? ? ??? ??? lll duNdvQdMU ?
??? ???????? lll dvQduNdMCR ?＋
：由杆件结构的虚功方程
?? ? ? ??? ????? CRduNdvQdM lll ?
结构位移计算的一般公式：
注意,该等式左端为位移，等式右端为功 ；
两边相差一个力的单位。
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单位荷载的设置：
1,求某截面线位移,沿位移方向加一个单位集中力；
2,求某截面角位移,沿位移方向加一个
单位集中力偶；
3,求某两个截面间的相对线位移,沿
两个截面连线方向加一对单位集中力；
4,求某两个截面间的相对角位移,沿两
个截面连线方向加一对单位集中力偶；
5,求桁架某杆件的角位移：
在杆件两端结点上加一对垂直
杆轴方向的集中力，二力构成
一个单位力偶；
6,求桁架某两个杆件的相对角位移,在
二杆件两端结点上各加一对垂直杆轴方向
的集中力，二力构成一个单位力偶；
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? 第四节 静定结构由于荷载所引起的位移
dsEIMdxEIMd Pp ???
dsGAQdxGAQdv PP ?? ??
dsEANdxEANdu PP ??
若结构仅受荷载作用，以 MP,QP,NP表示结构实际状态的内
力，则在实际状态下梁微段的变形为：
荷载作用下静定结构的位移计算公式：
? ? ? ??? ???? l Pl Pl P dsEANNdsGA QQdsEIMM ?
? ??? l P dxEIMM:力和轴力的影响，则对直梁和刚架，略去剪
??? EA lNN P杆长不变，则：对桁架，仅有轴力且沿
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例 11-1 试求图示桁架 C点的竖向位移。各杆 EA为常量。
解,1,建立虚设状态，如图：
2,分别求两种状态各杆轴力：
3,由公式计算位移：
)(
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2))(1(
]02
2
1
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2
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简单桁架，先求支反力，再用结点
法求各杆轴力。利用对称性判断零杆。
若求 DE杆转角，应设一对集中力。
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例 11-2 试求图示悬臂刚架 A截面的水平位移 ΔAH和转角 φA。
解,1,求 ΔAH：
① 建立虚设状态如图；
② 分别分段列各弯矩方程：
（忽略轴力、剪力影响）
)0(;0;2 1
2
1 axMqxM p ?????
)0(;;2 222 axxMqaM p ????
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③ 由公式求位移：
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2,求 φA：
① 建立虚设状态如图；
② 分别分段列各弯矩方程：（实际状态不变）
③ 由公式求位移：
)(1252 2/2/
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A?
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第五节 图乘法
一、适用条件,①直杆；② EI为常量；
③至少有一个直线弯矩图。
二、公式推导：
已知直杆 AB两种状态的弯矩图符合图乘
三条件。取坐标系如图。;; dxMdtgxM p ???? ??由几何关系：
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则：由合力矩定理,;cBA xdx ???? ?? EI yEI xtgdxEIMM ccBA p ?????? ???
? ?? ???? EI ydxEIMM cl p ?＝位移公式为：
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注意,①图乘必须满足三条件；
② yc坐标必须从直线图形中查找；
③ 二弯矩图在杆轴同侧，
ωyc为正值；否则为负值；
④ 复杂图形分解为简单图形，
查图表计算，图中顶点 Q=0。
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? 例 11-4 图示外伸梁,EI=常数，
试求 c点的竖向位移 。cv?
解,1）画实际状态弯矩图：
2）建立虚设状态并作其
弯矩图：
)(
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? 例 11-5 试求图示三铰刚架 c铰处左右两截面的相对角位移,
EI=常数。
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解,1）作实际状态
的弯矩图：
2）建立虚设状态，
并作其弯矩图：
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3）由公式求位移：
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第六节 静定结构由于支座位移、
温度改变所引起的位移
CRk ???? ?
一、支座移动的影响：
静定结构由于支座移动不产生应力和应变，故位移公式简化
为：
注意,①公式中有一不可缺少的负号 ；②虚设状态的反力与实
际状态的位移方向一致时,R,c乘积为正，否则为负。
如图悬臂刚架，由于固定端支座
移动 C1,C2,C3产生刚体转动。
为求其 K截面线位移 KK’,建立虚
设力状态并求出三个支座反力，
则：
332211
332211 )]()([
CRCRCR
CRCRCR
CR
???????
?????????
???? ?
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? 例 11-6 图示静定刚架，若支座为 A发生如
图所示 的移动，试求 C点 水平位移和竖向
位移,a=1cm,b=2cm。
解,1.建立虚设状态：并计算由
于水平单位力作用下移动支座
的反力。并由公式求位移：
)(1)2111( ???????
???? CRcH
2.建立虚设状态，计算由
于水平单位力作用下移动支
座的反力，并由公式求位移：
)(221 ??????
????
cm
CRcV
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二、温度改变的影响
静定结构由于温度改变而产生变形 （仅有轴向变形和弯曲变形，
二 无剪切变形 ），计算其位移仍用 单位荷载法 。
图示悬臂刚架，由于内外侧温度改变值不相
同而变形。假设其实际状态微段的变形沿截面高
度线性变化，则：;:
);(
2
1
:
2
1221
21
2121
h
htht
thh
ttt
h
hh
t
?
??
????
：形心轴的温度改变;0;)(;
)(
21 ?????? dvdx
h
t
h
dxttdt d xdu ????
? 材料线膨胀系数—生变形：杆件微段因温度改变产
? ?? ?
? ? ? ???
?????
????
ll
lllkt
tdxNdxh tM
dvQduNdM
??
?
?? ???????? NMkt th t ????
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例 11-7 图示刚架，各杆截面均为矩形，高度 h=50cm,杆长 a=5m，材
料线膨胀系数 α＝ 0.00001，求刚架 C点的竖向线位移 Δct。
解,1,C点加竖向单位力 Pk=1;
矩图：作虚设状态轴力图和弯,2
:.3 cv?由公式求;10;10
2;
2
3
2
1;1
21
21
222
cttt
c
tt
t
aaa
aa
k
k
M
N
?
?
????
?
?
?
???
???
?
?
)(8.0
)
502
5 0 03
1(5 0 00 0 0 0 1.010
2
3
1010
2
???
?
?
???????????
?
??? ? ?
cm
a
h
a
h
t
t
kk MNcv
?
?
????
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? 第七节 互等定理
2121212112 ; ??????? PPTT 或
2112 ?? ?
一,功的互等定理：
—— 第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功等于第二状
态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。
? ?? ?? ?
? ?? ? ? ?
???
???
GA
dxQQ
EA
dxNN
EI
dxMM
dvQduNdMT
2
1
2
1
2
1
21212112
?
?
? ?? ?? ?
? ?? ? ? ?
???
???
GA
dxQQ
EA
dxNN
EI
dxMM
dvQduNdMT
1
2
1
2
1
2
12121221
?
?
二,位移互等定理：
—— 在第一个单位力的方向上由于第二个单
位力的作用所引起位移，等于在第二个单位力
的方向上由于第一个单位力的作用所引起的位
移。
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? 三、反力互等定理：
? —— 支座 1由于支座 2的单位位移所引起的反力 r12,
等于支座 2由于支座 1的单位位移所引起的反力 r21。
2112 rr ?
位移互等定理证明：计算图示
简支梁位移 φ,δ。;1616162
1
42
1
222
?? ????
???
? EImlEIlEIPlEI
lPl
注意：两广义位移数值相等，单位
不同！
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? 小 结
2112 ?? ?
一、结构位移及变形的概念：
位移 — 是指结构某点（某截面）位置相对于原始位置的改变。
变形 — 两截面间的相对位移；
二、弹性变形体的虚功原理,外力虚功＝内力虚功；
五、弹性体的几个互等定理：
功的互等定理：
位移互等定理：
反力互等定理：
三、单位荷载法求结构位移,单位荷载的设置；
四、结构位移计算的一般公式：
2121212112 ; ?????? PPTT 或
2112 rr ?
?? ? ? ??? ????? cRdsEANNdsGA QQdsEIMM l Pl Pl P ?
?? ???????? NMkt th t ????
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