4,位移法的基本原理
(Fundamentals of Displacement Method)
已有的知识,
（ 2）静定结构的内力分析和位移计算；
（ 1）结构组成分析；
（ 3）超静定结构的内力分析和位移计算
力法；已解得如下单跨梁
结果。
A B
A B
位
移
法
中
的
基
本
单
跨
梁
表示要熟记！！！
超静定单跨梁的力法结果 (1)
形
形
载
形 =形常数 载 =载常数
超静定单跨梁的力法结果 (2)
载
载
载
超静定单跨梁的力法结果 (3)
载
载
载
1
超静定单跨梁的力法结果 (4)
形
载
形
载
超静定单跨梁的力法结果 (5)
载
载
载
超静定单跨梁的力法结果 (6)
载
载
载
载
超静定单跨梁的力法结果 (7)
载
载
载
形
超静定单跨梁的力法结果 (8)
载
载
载
载
超静定单跨梁的力法结果 (9)
载
载
载
载
2
超静定单跨梁的力法结果 (10)
载
载
载
回顾力法的思路,
（ 1）解除多余约束代以基本未知力，确
定基本结构、基本体系；
（ 2）分析基本结构在未知力和“荷载”
共同作用下的变形，消除与原结构
的差别，建立力法典型方程；
（ 3）求解未知力，将超静定结构化为
静定结构。
核心是化未知为已知
在线性小变形条件下，由叠加原理可得
单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动
共同作用下
FP
x
y
?
?
?
??
?
?
????
????
F
BAABABBA
F
ABABBAAB
M
l
i
iiM
M
l
i
iiM
???
???
6
24
6
24
其中,lEIi ? 称杆件的 线刚度 。
F
BA
F
AB MM,
为由荷载和温度变化引起的
杆端弯矩，称为 固端弯矩 。
转角位移方程 (刚度方程 )
Slope-Deflection (Stiffness) Equation
F
ABABAAB Ml
iiM ??? ?? 33
同理，另两类杆的转角位移方程为
A端固定 B端铰支
F
BAABA
F
ABAAB
MiM
MiM
???
??
?
?
A端固定 B端定向
位移法第一种基本思路
图示各杆长度为 l,EI 等于常数,分布集度 q,
集中力 FP,力偶 M,如何求解?
q
FP
FP
M 力法未知数
个数为 3,但
独立位移
未知数只
有一 (A 点
转角,设为
? ),
Δ FP
FP
位移法第一种基本思路
在此基础上,由图示结点平衡得 0?? M
MM AD ??
83
2ql
iM AC ??? ?
84
P lFiM
AB ??? ?
2
P lFiM
AE ??? ?
利用转角位移
方程可得,
第一种基本思路
位移法思路 (平衡方程法 )
以某些结点的位移为基本未知量
将结构拆成若干具有已知力 -位移 (转角 -位移 )
关系的单跨梁集合
分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下
的受力
将单跨梁拼装成整体
用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立
和位移个数相等的方程
求出基本未知量后,由单跨梁力 -位移关系可
得原结构受力
第二种基本思路
图示各杆长度为 l,EI 等于常数,分布集度 q,
集中力 FP,力偶 M,如何求解?
q
FP
FP
M
Δ FP
FP
以 A 点转角做
基本未知量,设
为 ?,在 A 施
加限制转动的
约束,以如图所
示体系为基本
体系 (基本结构
的定义和力法
相仿 ),
第二种基本思路
利用“载常数”可作
图示荷载弯矩图
利用“形常数”可作
图示单位弯矩图
根据两图结点平衡
可得附加约束反力
第二种基本思路
位移法思路 (典型方程法 )
以位移为基本未知量,先“固定”（不产
生任何位移）
考虑外因作用，由“载常数”得各杆受
力,作弯矩图。
令结点产生单位位移（无其他外因），
由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。
两者联合原结构无约束，应无附加约束
反力（平衡）,
列方程可求位移。
基本思路
典型方程法,仿力法，按确定基本未知量、
基本结构，研究基本体系在位移和外因下的
“反应”，通过消除基本体系和原结构差别来
建立位移法基本方程（平衡）的上述方法。
平衡方程法,利用等直杆在外因和杆端位移
下由迭加所建立杆端位移与杆端力关系（转角
位移）方程
由结点、隔离体的杆端力平衡建立求解位移
未知量的方法。
? ? ? ?? ? ? ?FFKF ?? ?
? ?? ? ? ? ? ?0?? RK ?
基本思路
两种解法对比,
典型方程法和力法一样，直接对结构按统
一格式处理。最终结果由迭加得到。
平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具
体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚，
杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可
得。
位移法方程,
两法最终方程都是 平衡方程 。整理后形式
均为,
? ?? ? ? ? ? ?0?? RK ?
典型方程法基本概念
? 位移未知量 (一些特殊情况以后结合例题讨
论 )
结点位移包括角位移和线位移
独立角位移 na =刚结点数；
独立线位移 nl =?
不考虑轴向变形时,
nl =‘刚结点’变成铰，为使铰结体系几
何不变所需加的支杆数。
考虑轴向变形时,
nl =结点数 ?2–约束数
总未知量 n = na+ nl 。
手算时
电算时
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
2
2
?
?
l
a
n
n
2
5
?
?
l
a
n
n
位移未知数确定练习
1
0
?
?
l
a
n
n
4
3
?
?
l
a
n
n
位移未知数确定练习
0
3
?
?
l
a
n
n
1
3
?
?
l
a
n
n
位移未知数确定练习
32 ?? la nn
位移未知数确定练习
典型方程法基本概念
? 基本结构,加约束“无位移”,能拆成
已知杆端力 -杆端位移关系“单跨梁”
的超静定结构。
? 基本体系,受外因和未知位移的基本
结构。
①
②
③
④
⑤
典型方程法基本概念
? 基本方程,
外因和未知位移共同作用时,附加约
束没有反力 ——实质为平衡方程。
? ?? ? ? ? ? ?0?? RK ?
外因 附加反力
为零
未知位移
典型方程法步骤
? 确定独立位移未知量数目（隐含建立基
本体系，支杆只限制线位移，限制转动
的约束不能阻止线位移）
? 作基本未知量分别等于单位时的单位弯
矩图
? 作外因（主要是荷载）下的弯矩图
? 由上述弯矩图取结点、隔离体求反力系
数
iij Rk,
典型方程法步骤
? 建立位移法典型方程并且求解,
),,1(0 niRk ijij ???? ???
? ?? PMMM jj ?
? 按迭加法作最终弯矩图
? 取任意部分用平衡条件进行校核
例一,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,
E=常数,
0
2
?
?
l
a
n
n
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下,
熟记了“形、载
常数”吗？
iPij Rk,如何求？
1M
图
4i
4i
8i
2i
11 ?Z
单位弯矩图为
2M
图
12 ?Z
8i
8i 4i
4i 4i
2i
11k
4i
8i
21k
4i
ik 1211 ? ik 421 ?
12k
4i
ik 412 ?
22k
4i
8i 8i
ik 2022 ?
取结点考虑平衡
荷载弯矩图
P2R
12
2ql
P1R
0P1 ?R
12
2
P2
ql
R ??
12
2ql
PM
图
取结点考虑平衡
?
?
?
???
???
0
0
P2222121
P1212111
Rkk
Rkk
??
??
位移法典型方程,
?
?
?
?
?
???
???
0
12
204
00412
2
21
21
ql
ii
ii
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
i
ql
i
ql
2 2 4
6 7 2
2
2
2
1
?
?
P2211 MMMM ??? ??
最终内力,
请自行作出
最终 M图
例二,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,
E=常数,
1
1
?
?
l
a
n
n
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下,
熟记了“形、载
常数”吗？
iPij Rk,如何求？
4i
6i 6i
k11
6i/l
k12 = k21 k21 = k12
6i/l k22
3i/l2 3i/l2 12i/l2 R1P
由形、载常数可得单位和荷载弯矩图如下,
6i
6i 4i
2i 3i/l 3i/l
6i/l
ql2/8
R2P
3ql/8
取结点和横梁为隔离体，即可求得全部系数
请自行列方程、
求解并叠加作弯
矩图
例三,图示等截面连续梁,B支座下沉 ?,C支
座下沉 0.6?,EI等于常数,作弯矩图,
0
2
?
?
l
a
n
n
单位弯矩和支座位移弯矩图的示意图如下,
熟记了“形常数”
吗？
iCij Rk,如何求？
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下,
例四,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,
E=常数,
1
0
?
?
l
a
n
n
熟记了“形常数”
吗？
40
iPij Rk,如何求？
3EI/16
P
1 F
s j???
特殊情况讨论（剪力分配法）
如何求解工作量最少?
例五,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,
E=常数,
3 m
3I 对称时
1?? nn a
3 m
3I
反对称时
1
1
?
?
l
a
n
n
对称荷载组
用位移法求解
反对称荷载组
用力法求解
1?n
1?n
联合法
例六,用位移法计算图示刚架,并作弯
矩图, E=常数,
利用对称性 C处什麽
支座?怎样才能拆成
有力 -位移关系的单跨
梁? n等于多少?
利用对称性
1?? nn l
BC杆属于哪类, 单元,?
它的单位和荷载弯矩图怎麽作?
取
半
计
算
简
图
C
例七,刚架温度变化如图,试作其弯矩图,
EI =常数,截面为矩形,高为 h,
线胀系数 ?
??? 400 ?? ADAV lt
??? 600 ?? ABAH lt
B
利用对称性后,B点有没有位移?
A点线位移已知否?
取半结构位移未知数等于几?
请自行求解！
例八,试作图示结构弯矩图,
请自行列方程、
求解并叠加作弯
矩图
例九,试作图示结构弯矩图,
请自行列方程、
求解并叠加作弯
矩图
已知楼层第 j个柱子的抗侧移刚度为 12EIj/h3,
那么图示层侧移刚度 ki等于多少？
ki=Σ 12EIj/h3,kii,kii+1 =多少？
n层刚架结构刚度矩阵 [K]什么样？
例十,试作图示结构弯矩图,
135o
7.071i/l
5.657i/l ql
2/8
9i/l2 7.071i/l
请自行求系数、
列方程、求解并
叠加作弯矩图
从上述例子
可以得到
一些什麽结论?
力法、位移法对比
? 力法
基本未知量：多余力
基本结构：一般为静定结
构，能求 M 的超静定结构
也可。
作单位和外因内力图
由内力图自乘、互乘求系
数，主系数恒正。
建立力法方程（协调）
? 位移法
基本未知量：结点独立位
移
基本结构：无位移超静定
次数更高的结构
作单位和外因内力图
由内力图的结点、隔离体
平衡求系数，主系数恒正。
建立位移法方程（平衡）
? ?? ? ? ? ? ?0?? FK ?? ?? ? ? ? ? ?0??? ??X 解方程求独立结点位移
迭加作内力图
用变形条件进行校核
解方程求独立结点位移
迭加作内力图
用平衡条件进行校核
混合法
? 基本思路
联合法 是一个计算简图用同一种方法，
联合应用力法、位移法。
混合法 则是同一个计算简图一部分用
力法、另一部分用位移法。超静定次数
少，独立位移多的部分取力为未知量。
超静定次数多，独立位移少的部分取位
移作未知量。
用混合法计算图示刚架,并作弯矩图, EI=常数,
这样做系数如何计算？
系数间有什麽关系,
依据是什麽？
如何建立方程,
其物理意义是什麽？
请自行求系数、
列方程、求解并
叠加作弯矩图
原则上与未知
力对应的系数
用图乘求，与
位移对应的系
数用平衡求。
系数间有
位移和反
力互等的
关系。 按典型方程法建
立，力法部分协
调方程，位移法
部分平衡方程。
弯
分
(Fundamentals of Displacement Method)
已有的知识,
（ 2）静定结构的内力分析和位移计算；
（ 1）结构组成分析；
（ 3）超静定结构的内力分析和位移计算
力法；已解得如下单跨梁
结果。
A B
A B
位
移
法
中
的
基
本
单
跨
梁
表示要熟记！！！
超静定单跨梁的力法结果 (1)
形
形
载
形 =形常数 载 =载常数
超静定单跨梁的力法结果 (2)
载
载
载
超静定单跨梁的力法结果 (3)
载
载
载
1
超静定单跨梁的力法结果 (4)
形
载
形
载
超静定单跨梁的力法结果 (5)
载
载
载
超静定单跨梁的力法结果 (6)
载
载
载
载
超静定单跨梁的力法结果 (7)
载
载
载
形
超静定单跨梁的力法结果 (8)
载
载
载
载
超静定单跨梁的力法结果 (9)
载
载
载
载
2
超静定单跨梁的力法结果 (10)
载
载
载
回顾力法的思路,
（ 1）解除多余约束代以基本未知力，确
定基本结构、基本体系；
（ 2）分析基本结构在未知力和“荷载”
共同作用下的变形，消除与原结构
的差别，建立力法典型方程；
（ 3）求解未知力，将超静定结构化为
静定结构。
核心是化未知为已知
在线性小变形条件下，由叠加原理可得
单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动
共同作用下
FP
x
y
?
?
?
??
?
?
????
????
F
BAABABBA
F
ABABBAAB
M
l
i
iiM
M
l
i
iiM
???
???
6
24
6
24
其中,lEIi ? 称杆件的 线刚度 。
F
BA
F
AB MM,
为由荷载和温度变化引起的
杆端弯矩，称为 固端弯矩 。
转角位移方程 (刚度方程 )
Slope-Deflection (Stiffness) Equation
F
ABABAAB Ml
iiM ??? ?? 33
同理，另两类杆的转角位移方程为
A端固定 B端铰支
F
BAABA
F
ABAAB
MiM
MiM
???
??
?
?
A端固定 B端定向
位移法第一种基本思路
图示各杆长度为 l,EI 等于常数,分布集度 q,
集中力 FP,力偶 M,如何求解?
q
FP
FP
M 力法未知数
个数为 3,但
独立位移
未知数只
有一 (A 点
转角,设为
? ),
Δ FP
FP
位移法第一种基本思路
在此基础上,由图示结点平衡得 0?? M
MM AD ??
83
2ql
iM AC ??? ?
84
P lFiM
AB ??? ?
2
P lFiM
AE ??? ?
利用转角位移
方程可得,
第一种基本思路
位移法思路 (平衡方程法 )
以某些结点的位移为基本未知量
将结构拆成若干具有已知力 -位移 (转角 -位移 )
关系的单跨梁集合
分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下
的受力
将单跨梁拼装成整体
用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立
和位移个数相等的方程
求出基本未知量后,由单跨梁力 -位移关系可
得原结构受力
第二种基本思路
图示各杆长度为 l,EI 等于常数,分布集度 q,
集中力 FP,力偶 M,如何求解?
q
FP
FP
M
Δ FP
FP
以 A 点转角做
基本未知量,设
为 ?,在 A 施
加限制转动的
约束,以如图所
示体系为基本
体系 (基本结构
的定义和力法
相仿 ),
第二种基本思路
利用“载常数”可作
图示荷载弯矩图
利用“形常数”可作
图示单位弯矩图
根据两图结点平衡
可得附加约束反力
第二种基本思路
位移法思路 (典型方程法 )
以位移为基本未知量,先“固定”（不产
生任何位移）
考虑外因作用，由“载常数”得各杆受
力,作弯矩图。
令结点产生单位位移（无其他外因），
由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。
两者联合原结构无约束，应无附加约束
反力（平衡）,
列方程可求位移。
基本思路
典型方程法,仿力法，按确定基本未知量、
基本结构，研究基本体系在位移和外因下的
“反应”，通过消除基本体系和原结构差别来
建立位移法基本方程（平衡）的上述方法。
平衡方程法,利用等直杆在外因和杆端位移
下由迭加所建立杆端位移与杆端力关系（转角
位移）方程
由结点、隔离体的杆端力平衡建立求解位移
未知量的方法。
? ? ? ?? ? ? ?FFKF ?? ?
? ?? ? ? ? ? ?0?? RK ?
基本思路
两种解法对比,
典型方程法和力法一样，直接对结构按统
一格式处理。最终结果由迭加得到。
平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具
体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚，
杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可
得。
位移法方程,
两法最终方程都是 平衡方程 。整理后形式
均为,
? ?? ? ? ? ? ?0?? RK ?
典型方程法基本概念
? 位移未知量 (一些特殊情况以后结合例题讨
论 )
结点位移包括角位移和线位移
独立角位移 na =刚结点数；
独立线位移 nl =?
不考虑轴向变形时,
nl =‘刚结点’变成铰，为使铰结体系几
何不变所需加的支杆数。
考虑轴向变形时,
nl =结点数 ?2–约束数
总未知量 n = na+ nl 。
手算时
电算时
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
2
2
?
?
l
a
n
n
2
5
?
?
l
a
n
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位移未知数确定练习
1
0
?
?
l
a
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4
3
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l
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位移未知数确定练习
0
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1
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n
位移未知数确定练习
32 ?? la nn
位移未知数确定练习
典型方程法基本概念
? 基本结构,加约束“无位移”,能拆成
已知杆端力 -杆端位移关系“单跨梁”
的超静定结构。
? 基本体系,受外因和未知位移的基本
结构。
①
②
③
④
⑤
典型方程法基本概念
? 基本方程,
外因和未知位移共同作用时,附加约
束没有反力 ——实质为平衡方程。
? ?? ? ? ? ? ?0?? RK ?
外因 附加反力
为零
未知位移
典型方程法步骤
? 确定独立位移未知量数目（隐含建立基
本体系，支杆只限制线位移，限制转动
的约束不能阻止线位移）
? 作基本未知量分别等于单位时的单位弯
矩图
? 作外因（主要是荷载）下的弯矩图
? 由上述弯矩图取结点、隔离体求反力系
数
iij Rk,
典型方程法步骤
? 建立位移法典型方程并且求解,
),,1(0 niRk ijij ???? ???
? ?? PMMM jj ?
? 按迭加法作最终弯矩图
? 取任意部分用平衡条件进行校核
例一,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,
E=常数,
0
2
?
?
l
a
n
n
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下,
熟记了“形、载
常数”吗？
iPij Rk,如何求？
1M
图
4i
4i
8i
2i
11 ?Z
单位弯矩图为
2M
图
12 ?Z
8i
8i 4i
4i 4i
2i
11k
4i
8i
21k
4i
ik 1211 ? ik 421 ?
12k
4i
ik 412 ?
22k
4i
8i 8i
ik 2022 ?
取结点考虑平衡
荷载弯矩图
P2R
12
2ql
P1R
0P1 ?R
12
2
P2
ql
R ??
12
2ql
PM
图
取结点考虑平衡
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0
0
P2222121
P1212111
Rkk
Rkk
??
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位移法典型方程,
?
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???
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0
12
204
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2
21
21
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2 2 4
6 7 2
2
2
2
1
?
?
P2211 MMMM ??? ??
最终内力,
请自行作出
最终 M图
例二,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,
E=常数,
1
1
?
?
l
a
n
n
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下,
熟记了“形、载
常数”吗？
iPij Rk,如何求？
4i
6i 6i
k11
6i/l
k12 = k21 k21 = k12
6i/l k22
3i/l2 3i/l2 12i/l2 R1P
由形、载常数可得单位和荷载弯矩图如下,
6i
6i 4i
2i 3i/l 3i/l
6i/l
ql2/8
R2P
3ql/8
取结点和横梁为隔离体，即可求得全部系数
请自行列方程、
求解并叠加作弯
矩图
例三,图示等截面连续梁,B支座下沉 ?,C支
座下沉 0.6?,EI等于常数,作弯矩图,
0
2
?
?
l
a
n
n
单位弯矩和支座位移弯矩图的示意图如下,
熟记了“形常数”
吗？
iCij Rk,如何求？
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下,
例四,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,
E=常数,
1
0
?
?
l
a
n
n
熟记了“形常数”
吗？
40
iPij Rk,如何求？
3EI/16
P
1 F
s j???
特殊情况讨论（剪力分配法）
如何求解工作量最少?
例五,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,
E=常数,
3 m
3I 对称时
1?? nn a
3 m
3I
反对称时
1
1
?
?
l
a
n
n
对称荷载组
用位移法求解
反对称荷载组
用力法求解
1?n
1?n
联合法
例六,用位移法计算图示刚架,并作弯
矩图, E=常数,
利用对称性 C处什麽
支座?怎样才能拆成
有力 -位移关系的单跨
梁? n等于多少?
利用对称性
1?? nn l
BC杆属于哪类, 单元,?
它的单位和荷载弯矩图怎麽作?
取
半
计
算
简
图
C
例七,刚架温度变化如图,试作其弯矩图,
EI =常数,截面为矩形,高为 h,
线胀系数 ?
??? 400 ?? ADAV lt
??? 600 ?? ABAH lt
B
利用对称性后,B点有没有位移?
A点线位移已知否?
取半结构位移未知数等于几?
请自行求解！
例八,试作图示结构弯矩图,
请自行列方程、
求解并叠加作弯
矩图
例九,试作图示结构弯矩图,
请自行列方程、
求解并叠加作弯
矩图
已知楼层第 j个柱子的抗侧移刚度为 12EIj/h3,
那么图示层侧移刚度 ki等于多少？
ki=Σ 12EIj/h3,kii,kii+1 =多少？
n层刚架结构刚度矩阵 [K]什么样？
例十,试作图示结构弯矩图,
135o
7.071i/l
5.657i/l ql
2/8
9i/l2 7.071i/l
请自行求系数、
列方程、求解并
叠加作弯矩图
从上述例子
可以得到
一些什麽结论?
力法、位移法对比
? 力法
基本未知量：多余力
基本结构：一般为静定结
构，能求 M 的超静定结构
也可。
作单位和外因内力图
由内力图自乘、互乘求系
数，主系数恒正。
建立力法方程（协调）
? 位移法
基本未知量：结点独立位
移
基本结构：无位移超静定
次数更高的结构
作单位和外因内力图
由内力图的结点、隔离体
平衡求系数，主系数恒正。
建立位移法方程（平衡）
? ?? ? ? ? ? ?0?? FK ?? ?? ? ? ? ? ?0??? ??X 解方程求独立结点位移
迭加作内力图
用变形条件进行校核
解方程求独立结点位移
迭加作内力图
用平衡条件进行校核
混合法
? 基本思路
联合法 是一个计算简图用同一种方法，
联合应用力法、位移法。
混合法 则是同一个计算简图一部分用
力法、另一部分用位移法。超静定次数
少，独立位移多的部分取力为未知量。
超静定次数多，独立位移少的部分取位
移作未知量。
用混合法计算图示刚架,并作弯矩图, EI=常数,
这样做系数如何计算？
系数间有什麽关系,
依据是什麽？
如何建立方程,
其物理意义是什麽？
请自行求系数、
列方程、求解并
叠加作弯矩图
原则上与未知
力对应的系数
用图乘求，与
位移对应的系
数用平衡求。
系数间有
位移和反
力互等的
关系。 按典型方程法建
立，力法部分协
调方程，位移法
部分平衡方程。
弯
分
