3 单位荷载法
一、位移计算的一般公式
(General Formula of Displacements)
将虚功原理用于 实际协调位移 和 虚设平
衡力状态间 已介绍过 —— 单位荷载法。
下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位
移计算的一般公式。杆系结构虚功方程为
δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
+Σ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i
=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ
+Mδθ]ds = δWi
设待求的实际广义 位移为 Δ
设仅在广义力 P作用下，与之平衡的轴
力、剪力、扭矩和弯矩分别为 FN, FQ、
Mx和 M。
实际位移状态 FP
?Bx?
A
B C
虚设的力状态
P
A
B C
FN, FQ、
Mx和 M
,与 Δ对应
的 广义力为 P。
又设与内力 FN, FQ,Mx和 M对应的微
段实际变形分别为 δε,δγ,δφ和 δθ。
若结构有已知支座位移为 ci
实际位移状态 FP
?Bx?
A
B C
虚设的力状态
P
A
B C
FN, FQ、
Mx和 M δε,δγ,δφ和δθ
FR c
, 与其对应
的由广义力 P 引起的支座反力为 FRi
则杆系结构虚功方程为
δWe =ΣFRi ci+PΔ
=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ
+Mδθ]ds = δWi
虚功方程等式两边同除广义力 P,并记
单位广义力 (P/P=1)作用下，与之平衡的轴
力、剪力、扭矩和弯矩分别为 FN, FQ、
Mx和 M。 单位广义力 引起的，与已知位移
对应的反力为 FRi 。
则杆系结构虚功方程改写为
Δ =-ΣFRi ci+Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ
+Mδθ]ds
位移计算的一般公式
一般公式的普遍性表现在,
2,结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结
构；静定和超静定结构；
1,位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；
3,材料性质：线性、非线性；
4,变形类型：弯曲变形、拉 (压 )变形、剪切
变形；
5,位移种类：线位移、角位移；相对线位移
和相对角位移。
B
A
?? AB
(b)
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
?A?
(a) P=1
P=1
P=1
A B
C
d
?BC?
(c)
dP
1?
dP
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A B
C
2d
1d
(d)
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1
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1
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2
1
d2
1
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试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
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(e)
P=1
P=1
C
(f)
C? 左右 =？
P=1 P=1
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1
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(g) A
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(h)
A
B P=1
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试确定指定广义位移对应的单位广义力。
二,荷载作用下位移计算的一般公式
? ?
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sMFF
R
QN
d
d
??
???????在仅荷载作用时的位移计算一般公式
对于由 线弹性 直杆 组成的结构，有,
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P
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M
EI
M
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EA
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P
P
P
P
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sM
sMFF
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d
P
PPQPNP
??
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扭转项
式中,
E 弹性模量； G 剪切模量；
A 横截面积； I 截面惯性矩；
k 截面形状系数。如：对矩形截
面 k=6/5;圆形截面 k=10/9。
??
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s
GI
MM
s
EI
MM
GA
FFk
EA
FF
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PPP
d
d
P
QQNN
P
?
IP 截面极惯性矩；
轴向
剪切 弯曲
扭转
例 1：求刚架 A点的竖向位移。
解：构造虚设状态
（实际状态）
分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力
方程（或画出内力图），如,
（虚拟状态）
qx x
PFQ
ql
ql
PFN
x 2
2
1qx
PM
2
2
1ql
荷载内力图
x x
l
M
x
1
PFQ
1
PFN
单位内力图
内力的正负号规定如下,
轴力 以拉力为正； NN,FF P
剪力 使微段顺时针转动
者为正；
QQ,FF P
弯矩 只规定乘积的正负
号。使杆件同侧纤维受拉时，
其乘积取为正。
MM P,
将内力方程代入公式
讨论,
22 5
4~)(,
5
8~)(,1~)(
G A l
k E I
Al
I
QAyNAyMAy ???
轴向 剪切 弯曲
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k E I
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,有,
引入符号
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12
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3
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25
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问题,的取值范围是什么？ GE
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EG
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设杆件 截面 为 b?h 的矩形截面杆，有,
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MAy
NAy
MAy
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因此,对受弯细长杆件,通常略去 FN,FQ的影响 。
取：,,有,101?lh 5.2?GE
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1
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EI
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Ay?即,
三、几点讨论（只有荷载作用）,
? ?? ? ?? ? ?? GA sFFkEA sFFEI sMM PPPP ddd QQNN?
一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。
1,对梁和刚架,? ?? EI sMM PP d ?
2,对桁架,?? ? ?? EA
lFF
EA
sFF PP
P
NNNN d?
3,对组合结构,?? ? ?? EA
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P
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例 2：求曲梁 B点的竖向位移 和水
平位移 。 (EI,EA,GA已知 ) Bx?
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R
O
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A
FP
解：构造虚设的力状态如图示
FP=1
R
θ
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FP =1
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θ
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同理有,
将内力方程代入位移计算公式,可得
三铰拱的分析 同此类似，但一般 要考
虑轴力对位移的贡献,也即
? ?? ? ?? EA sFFEI sMM PPP dd NN?
例 3：求对称桁架 D点的竖向位移 。图中
右半部各括号内数值为杆件的截面积 A
,设 E=210GPa。 )m10( 21?
Dy?
FN
解,构造虚拟状态并求出实际和虚拟状
态中各杆的内力
代入公式得,)(mm 8NN ???? EA lFFDy?
返
章
菜
单
FN
一、位移计算的一般公式
(General Formula of Displacements)
将虚功原理用于 实际协调位移 和 虚设平
衡力状态间 已介绍过 —— 单位荷载法。
下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位
移计算的一般公式。杆系结构虚功方程为
δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
+Σ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i
=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ
+Mδθ]ds = δWi
设待求的实际广义 位移为 Δ
设仅在广义力 P作用下，与之平衡的轴
力、剪力、扭矩和弯矩分别为 FN, FQ、
Mx和 M。
实际位移状态 FP
?Bx?
A
B C
虚设的力状态
P
A
B C
FN, FQ、
Mx和 M
,与 Δ对应
的 广义力为 P。
又设与内力 FN, FQ,Mx和 M对应的微
段实际变形分别为 δε,δγ,δφ和 δθ。
若结构有已知支座位移为 ci
实际位移状态 FP
?Bx?
A
B C
虚设的力状态
P
A
B C
FN, FQ、
Mx和 M δε,δγ,δφ和δθ
FR c
, 与其对应
的由广义力 P 引起的支座反力为 FRi
则杆系结构虚功方程为
δWe =ΣFRi ci+PΔ
=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ
+Mδθ]ds = δWi
虚功方程等式两边同除广义力 P,并记
单位广义力 (P/P=1)作用下，与之平衡的轴
力、剪力、扭矩和弯矩分别为 FN, FQ、
Mx和 M。 单位广义力 引起的，与已知位移
对应的反力为 FRi 。
则杆系结构虚功方程改写为
Δ =-ΣFRi ci+Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ
+Mδθ]ds
位移计算的一般公式
一般公式的普遍性表现在,
2,结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结
构；静定和超静定结构；
1,位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；
3,材料性质：线性、非线性；
4,变形类型：弯曲变形、拉 (压 )变形、剪切
变形；
5,位移种类：线位移、角位移；相对线位移
和相对角位移。
B
A
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试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
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(a) P=1
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试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
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P=1 P=1
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试确定指定广义位移对应的单位广义力。
二,荷载作用下位移计算的一般公式
? ?
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???????在仅荷载作用时的位移计算一般公式
对于由 线弹性 直杆 组成的结构，有,
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扭转项
式中,
E 弹性模量； G 剪切模量；
A 横截面积； I 截面惯性矩；
k 截面形状系数。如：对矩形截
面 k=6/5;圆形截面 k=10/9。
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轴向
剪切 弯曲
扭转
例 1：求刚架 A点的竖向位移。
解：构造虚设状态
（实际状态）
分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力
方程（或画出内力图），如,
（虚拟状态）
qx x
PFQ
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荷载内力图
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单位内力图
内力的正负号规定如下,
轴力 以拉力为正； NN,FF P
剪力 使微段顺时针转动
者为正；
QQ,FF P
弯矩 只规定乘积的正负
号。使杆件同侧纤维受拉时，
其乘积取为正。
MM P,
将内力方程代入公式
讨论,
22 5
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轴向 剪切 弯曲
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问题,的取值范围是什么？ GE
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设杆件 截面 为 b?h 的矩形截面杆，有,
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因此,对受弯细长杆件,通常略去 FN,FQ的影响 。
取：,,有,101?lh 5.2?GE
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三、几点讨论（只有荷载作用）,
? ?? ? ?? ? ?? GA sFFkEA sFFEI sMM PPPP ddd QQNN?
一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。
1,对梁和刚架,? ?? EI sMM PP d ?
2,对桁架,?? ? ?? EA
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3,对组合结构,?? ? ?? EA
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例 2：求曲梁 B点的竖向位移 和水
平位移 。 (EI,EA,GA已知 ) Bx?
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解：构造虚设的力状态如图示
FP=1
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三铰拱的分析 同此类似，但一般 要考
虑轴力对位移的贡献,也即
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例 3：求对称桁架 D点的竖向位移 。图中
右半部各括号内数值为杆件的截面积 A
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解,构造虚拟状态并求出实际和虚拟状
态中各杆的内力
代入公式得,)(mm 8NN ???? EA lFFDy?
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