已有基础,
1,静定结构的内力计算；
2,利用位移计算公式求静定结构的位移；
3,杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即,
? ?? ? ?? ? ?? GA sFFkEA sFFEI sMM PP ddd QQNN?
4,图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
这部分主要内容,
2,几种常见图形的面积和形心
位置的确定方法；
3,注意事项；
4,应用举例。
1,图乘法； ? sEIMM P d
EI
ys
EI
MM cP ??? d
? C
Cy
PM
M
一、图乘法
? sEIMM P d
?? sMMEI P d1
? ?? xMxEI P dt a n1 ?
?? xxMEI P dt a n ?
cc yEIxEI ??
? 1t a n ???? 必须注意
适用条件
图乘法是 Vereshagin于 1925年提出的，他
当时为莫斯科铁路运输学院的学生。
二、几种常见图形的面积和形心位置的
确定方法
顶点 指曲
线切线与
杆轴重合
或平行
C
2?n
l
2
)1(
?
?
n
ln
1?? n
hl?
h
三、注意事项,
1,图乘法的应用条件,
（ 1）等截面直杆,EI为常数；
（ 2）两个 M图中应有一个是直线；
（ 3） 应取自直线图中。 cy
2,若 与 在杆件的同侧,取正值；
反之，取负值。
cy?? cy
3,如图形较复杂，可分解为简单图形,
(1) 曲 -折组合
????? ? jjKi yyyyxMM ???? 332211d
例如
(2) 梯 -梯同侧组合
1?
2?
2211d yyxMM Ki ?? ?? ??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
3
)2(
3
)2(
2
1
dc
y
dc
y
(3) 梯 -梯异侧组合
1?
1y
2?
2y
A
B
C
D
a
b
c
d
KM 图
M图
b
c
取
负
值
2211d yyxMM Ki ?? ?? ??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
3
)2(
3
)2(
2
1
dc
y
dc
y
(4) 阶梯形截面杆
????? ?
jj
jjKi
IE
y
IE
y
IE
y
IE
y
x
EI
MM ????
33
33
22
22
11
11d
四、应用举例
例 1,设 EI 为常数，求 和 。 Cy? B?
2l 2l
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
B A
q
2
8
1ql
PM 图
C A B
FP=1
M 图 4
l
)(
38 4
5
2)]
48
5
()
8
1
23
2
[(
1
4
2
??
??????
EI
ql
l
ql
l
EI
Cy
? 对吗？
应分段！
C A B
M 图
1 2
1
EI
ql
qll
EI
B
3
2
24
1
]
2
1
)
8
1
3
2
[(
1
??
??????
（ ）
B A
q
2
8
1ql
PM 图
例 2,已知 EI 为常数，求刚架 C,D两点
距离的改变 。 CD?
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
)(
12
83
21
3
2
???
? ??????
EI
qh l
hl
ql
EIEI
y c
CD
?
?
hyc ?2
p117
例 3,已知 EI 为常数，求刚架 A点的竖向位
移,并绘出刚架的变形曲线。 Ay?
FP
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
在 图求面积，在 图取竖标，有,M PM
)(
16
42
3
2
1
22
1
3
P
PP
??
????? ?????
EI
lF
lFl
l
EI
lF
l
l
EIEI
y c
Ay
?
?
M 图
EI
2EI
PM 图
FPl/2 FPl/2 FPl/2
FPl/4
FP
FPl/4
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的
凹凸方向，注意反弯点的利用。如,
PM 图
FPl/2 FPl/2 FPl/2
FPl/4
FP
FPl/4
FP
例 4,已知,E,I,A为常数，求 。 Cy?
A B C
FP
2l 2l
a
D
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
EA
aF
EI
lF
a
F
EA
llFl
EI
s
EA
FF
s
EI
MMl a PP
Cy
44822
11
]
43
2
)
422
1
[(
2
dd
P
3
PPP
0 0
NN
???????????
? ????
请对计算结果
进行适当讨论！
A B C FP
2l
a
D
4P
lFPM
2PN
FF P ?
2l
A B C 1
2l
a
D
4lM
2
1
N ?F
2l
)121(48 3
3
P
Al
aI
EI
lF
Cy ???
讨论,如果 B支座处为刚度 k的弹簧，该如何
计算？
4P
lFPM 2
P
P
FF
B ?
4lM
A B C
2l k
2
1?
BF
2l
FP=1 A
B C
FP
2l k 2l
显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为
k
F
2
P 。因此，弹簧对位移的贡献为 。
k
F
k
FF
B 42
PP ?
由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为
? ? ??? kFFsEIMM kk PP d?
例 5,已知 EI 为常数，求 。 Cy?
A B C
q
2l 2l
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
A
2
2ql
8
2ql
B
C
PM 图
A
1 2
l
M 图
一种算法,
)(
128
5
)
128
3
64
(
1
)
24
3
8
3
23
1
2
1
282
(
1
444
22
????
?????????
EI
qlqlql
EI
lqlllqll
EI
Cy?
A
2
2ql
8
2ql
B
C 结果正确否？
解法一,
A
q 2Q
qlF ?
8
2ql
M ?
A 8
2ql8
2ql
4
2ql
)(
384
17
)]
24
3
823
1
(
)
3422
1
(
)
482
[(
1
42
2
2
???????
????
???
EI
qllqll
lqll
lqll
EI
Cy
?
A
2
2ql
8
2ql
B
C
PM 图
q
A B C 2l 2l
解法二,
A
1 2
l
M 图
A 8
2ql2
2ql
32
2ql
)(
384
17
)]
43223
2
(
)
6822
1
(
)
3222
1
[(
1
42
2
2
??????
????
????
EI
qllqll
lqll
lqll
EI
Cy
?
2
2ql 8
2ql
例 6,已知 CD,BD杆的 和 AC杆的
为常数，求 。 Dy? 11
AE 22IE
FP
A
B
C
D
11AE
11AE
22IE
a
a
a
)(
3
4)221(
)
3
2
2
(
1
2)2)(2(1
22
3
P
11
P2
P
2
P
22
11
PP
2211
NN
??
?
?????
?????
?????
IE
aF
AE
aF
aaF
aaF
IE
AE
aFaF
IE
y
AE
lFF cP
Dy
?
? 2?
+1 1
a
FP + F
P
P2F?
FP a
解：作荷载和单位荷载的内力图
例 7,已知 EI 为常数，求 。 Cy?
解：作荷载和单位荷载的内力图
)(
128
]
4
)
83
2
(
3
)
82
1
(
8
3
)
283
1
[(
1
42
22
??????
????????
EI
qll
l
ql
l
l
qlllql
EI
Cy?
温
度
MP
M
分解
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