1 结构位移计算概述
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
x?
y?
A
A?
?
FP
线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称 广义位移
线位移
角位移
DC ?? ?
相对线位移
C D
D?C?
? FP ?
相对角位移 ?? ?
制造误差 ? 等
铁路工程技术规范规定,
二,计算位移的目的
引起结构位移的原因
(1) 刚度要求 如,
荷载,温度 改变 ?T,支座移动 ?c,
在工程上,吊车梁允许的挠度 < 1/600 跨度；
桥梁在竖向活载下,
钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和 1/900跨度
高层建筑的最大位移 < 1/1000 高度。
最大层间位移 < 1/800 层高。
（ 3）理想联结 (Ideal Constraint)。
三,本章位移计算的假定
(2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
叠加原理适用 （ principle of superposition)
(1) 线弹性 (Linear Elastic),
(2) 小变形 (Small Deformation),
返
首
2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功 (Work)、实功 (Real Work)和虚功
(Virtual Work)
两种状态
力状态
位移状态
FP
FP /2 FP /2
（虚） 力状态
（虚力状态）
（虚位移状态）
无关
（虚） 位移状态
q
注意,
（ 3）位移状态与力状态 完全无关 ；
（ 2）均为可能状态。即位移应满足 变
形协调条件 ；力状态应满足 平衡
条件 。
（ 1）属 同一 体系；
一些基本概念,
实功,广义力在自身所产生的位移上所作的功
功,力 × 力方向位移之总和
广义力,功的表达式中，与广义位移对应的项
功,广义力 × 广义位移之总和
虚功,广义力与广义位移无关时所作的功
W=FP× Δ/2
W=FP1× Δ11 /2
or
W=FP2× Δ22 /2
W=FP1× Δ12
W=FP2× Δ21
变力功
（ 1）质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，在
某一位置处于平衡的必要和
充分条件是,
1PF
2NF
1NF
2PF
1m
2m
二、变形杆件的虚功原理
Σfi δri=0 → →,
对于任何 可能 的虚位移，
作用于质点系的主动力所
做虚功之和为零。也即
（ 2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的
反力，该反力便可看成外
力。则有：刚体系处于平
衡的必要和充分条件是,
对于任何 可能 的
虚位移，作用于刚
体系的所有外力所
做虚功之和为零。
FP
AxF
BF
AyF
ΔP
ΔB
-FP ΔP +FB ΔB=0
原理的表述,
任何一个处于平衡状态的变形体，当
发生任意一个虚位移时，变形体所受外力
在虚位移时所作的总虚功 δ We，恒等于变
形体所接受的总虚变形功 δ Wi。也即恒有
如下虚功方程成立
δ We =δ Wi
（ 3）变形体的虚功原理
变形体虚功原理的证明
虚位移是光滑、连续的，相邻分割面虚
位移相同。
将变形体分割成若干 (有限或无限 )部分,
计算各部分外力总虚功有两种方案
方案一,
各部分上的外力区分为：外荷载和分割
面内力两类，相邻分割面内力互为作用与
反作用关系。
各部分外力总虚功 =外荷载总虚功
δ W =δ We
变形体虚功原理的证明
变形体是平衡的，其各部分也必然平衡。
因此，各部分上的外力是平衡力系。
方案二,
各部分的虚位移区分为：刚体虚位移和变
形虚位移两类。但 必须注意,虚位移是光滑
连续的，可刚体和变形虚位移在分割面处一
般是不光滑、连续的。
δ W =δ Wi
根据刚体虚位移原理，外力在刚体虚位移
上的总虚功等于零。因此 各部分外力总虚功 =
外力在变形虚位移上的总虚功
两方案计算同一内容，因此 δ We =δ Wi
需要强调的几个问题
原理的证明表明，原理适用于 任何力学行
为 (线性和非线性 )的变形体,适用于 任何结
构 。
虚功原理里存在两个状态,
力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满
足协调条件。因此原理仅是 必要性命题 。
由于外力在变形虚位移上所作的功相对分
割面内力的虚变形功为高阶小量，因此许多
文献上 称 δ Wi为内力总虚功 。
原理可有两种应用,
实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位
移状态，将 平衡问题化为几何问题来求解 。
需要强调的几个问题
实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡
力状态，将 位移分析化为平衡问题来求解 。
第一种应用一些文献称为,虚位移原理”,
而将第二种应用称为,虚力原理” 。更确切
的说法为,两种应用的依据是上述两原理的
必要性命题 。上述两原理都是充分、必要性
命题,它们和虚功原理是有区别的 。
质点系是一个离散化体系，变形体是一个
连续体。我们认为，所谓将质点系虚位移原
理 ( )“应用于变形体”是不妥当
的。
Σfi δri=0 → →,
当变形体为杆件体系时，如,
A
B
C D q(s)
i j
p(s)
m(s) *
jM
*QjF
取任一单元
*NjF
*QiF
*iM
*NiF
δWe 的计算,
当无结点荷载时,δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
当有结点荷载时
δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
+Σ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i
结点荷载
结点位移
δWi 的计算,
微段拉伸
微段剪切 微段扭转 微段弯曲
δWi =Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds
取微段,其受力如下
对于直杆体系，由于变形互不耦连，所以
变形可看成有如下几部分
微段受力
杆系结构虚功方程
根据上述推证，可得杆系结构虚功方程如下
δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
+Σ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i
=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ
+Mδθ]ds = δWi
以上结论与材料物理性质及具体结构无关，
因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结
构，也适用于一切非线性结构 。
希望能很好理解，尽可能达到掌握！
三、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于 虚设的 协调位移状态 与
实际的 平衡力状态 之间。
例, 求 A 端的支座反力 (Reaction at Support)。
FP
A B
a
C (a)
b
解：去掉 A端约束并代以反力 X，构造相
应的虚位移状态如图 (b),(c)
0P ???? CX FX ??
0???? XX
a
bPX ??
P
a
bX ??
待分析平衡的力状态
X
(b) FP
由外力虚功总和为零，即,
X?
C?
(c) 直线
虚设协调的位移状态
通常取 xX ?? ?? 1
单位位移法 (Unit-Displacement Method)
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚
位移原理，实质上是 实际受力状态的平衡
方程,即 0??
BM
几点说明,
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位
移关系。
(2)虚位移与实际力状态无关,故可设 1?x?
特点, 用几何法来解静力平衡问题 。
例, 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起 C点
的竖向位移 ?,
(a)
A
B
a
C
b
A?
C? ?
c
2）虚功原理用于 虚设的 平衡力状态 与 实
际的 协调位移状态 之间。
解：首先构造出相应的虚设力状态。即，
在拟求位移之点（ C点）沿拟求位移方向
（竖向）设置 单位荷载 。
1
A B
C (b)
AF
由 求得,? ? 0BM
a
bF
A ??
虚功方程为,
01 ???? cF A?
c
a
b??
这便是 单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
它是 Maxwell,1864和 Mohr,1874提出，
故也称为 Maxwell-Mohr Method
几点说明,
(1)所建立的 虚功方程,实质上是 几何方程 。
(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力
平衡关系。
(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故
可设单位广义力 P=1
总的来讲，必须非常清楚的是,
单位位移法 的虚功方程 平衡方程
特点, 是用静力平衡法来解几何问题。
单位荷载法 的虚功方程 几何方程
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一、结构的位移 (Displacement of Structures)
x?
y?
A
A?
?
FP
线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称 广义位移
线位移
角位移
DC ?? ?
相对线位移
C D
D?C?
? FP ?
相对角位移 ?? ?
制造误差 ? 等
铁路工程技术规范规定,
二,计算位移的目的
引起结构位移的原因
(1) 刚度要求 如,
荷载,温度 改变 ?T,支座移动 ?c,
在工程上,吊车梁允许的挠度 < 1/600 跨度；
桥梁在竖向活载下,
钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和 1/900跨度
高层建筑的最大位移 < 1/1000 高度。
最大层间位移 < 1/800 层高。
（ 3）理想联结 (Ideal Constraint)。
三,本章位移计算的假定
(2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
叠加原理适用 （ principle of superposition)
(1) 线弹性 (Linear Elastic),
(2) 小变形 (Small Deformation),
返
首
2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功 (Work)、实功 (Real Work)和虚功
(Virtual Work)
两种状态
力状态
位移状态
FP
FP /2 FP /2
（虚） 力状态
（虚力状态）
（虚位移状态）
无关
（虚） 位移状态
q
注意,
（ 3）位移状态与力状态 完全无关 ；
（ 2）均为可能状态。即位移应满足 变
形协调条件 ；力状态应满足 平衡
条件 。
（ 1）属 同一 体系；
一些基本概念,
实功,广义力在自身所产生的位移上所作的功
功,力 × 力方向位移之总和
广义力,功的表达式中，与广义位移对应的项
功,广义力 × 广义位移之总和
虚功,广义力与广义位移无关时所作的功
W=FP× Δ/2
W=FP1× Δ11 /2
or
W=FP2× Δ22 /2
W=FP1× Δ12
W=FP2× Δ21
变力功
（ 1）质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，在
某一位置处于平衡的必要和
充分条件是,
1PF
2NF
1NF
2PF
1m
2m
二、变形杆件的虚功原理
Σfi δri=0 → →,
对于任何 可能 的虚位移，
作用于质点系的主动力所
做虚功之和为零。也即
（ 2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的
反力，该反力便可看成外
力。则有：刚体系处于平
衡的必要和充分条件是,
对于任何 可能 的
虚位移，作用于刚
体系的所有外力所
做虚功之和为零。
FP
AxF
BF
AyF
ΔP
ΔB
-FP ΔP +FB ΔB=0
原理的表述,
任何一个处于平衡状态的变形体，当
发生任意一个虚位移时，变形体所受外力
在虚位移时所作的总虚功 δ We，恒等于变
形体所接受的总虚变形功 δ Wi。也即恒有
如下虚功方程成立
δ We =δ Wi
（ 3）变形体的虚功原理
变形体虚功原理的证明
虚位移是光滑、连续的，相邻分割面虚
位移相同。
将变形体分割成若干 (有限或无限 )部分,
计算各部分外力总虚功有两种方案
方案一,
各部分上的外力区分为：外荷载和分割
面内力两类，相邻分割面内力互为作用与
反作用关系。
各部分外力总虚功 =外荷载总虚功
δ W =δ We
变形体虚功原理的证明
变形体是平衡的，其各部分也必然平衡。
因此，各部分上的外力是平衡力系。
方案二,
各部分的虚位移区分为：刚体虚位移和变
形虚位移两类。但 必须注意,虚位移是光滑
连续的，可刚体和变形虚位移在分割面处一
般是不光滑、连续的。
δ W =δ Wi
根据刚体虚位移原理，外力在刚体虚位移
上的总虚功等于零。因此 各部分外力总虚功 =
外力在变形虚位移上的总虚功
两方案计算同一内容，因此 δ We =δ Wi
需要强调的几个问题
原理的证明表明，原理适用于 任何力学行
为 (线性和非线性 )的变形体,适用于 任何结
构 。
虚功原理里存在两个状态,
力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满
足协调条件。因此原理仅是 必要性命题 。
由于外力在变形虚位移上所作的功相对分
割面内力的虚变形功为高阶小量，因此许多
文献上 称 δ Wi为内力总虚功 。
原理可有两种应用,
实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位
移状态，将 平衡问题化为几何问题来求解 。
需要强调的几个问题
实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡
力状态，将 位移分析化为平衡问题来求解 。
第一种应用一些文献称为,虚位移原理”,
而将第二种应用称为,虚力原理” 。更确切
的说法为,两种应用的依据是上述两原理的
必要性命题 。上述两原理都是充分、必要性
命题,它们和虚功原理是有区别的 。
质点系是一个离散化体系，变形体是一个
连续体。我们认为，所谓将质点系虚位移原
理 ( )“应用于变形体”是不妥当
的。
Σfi δri=0 → →,
当变形体为杆件体系时，如,
A
B
C D q(s)
i j
p(s)
m(s) *
jM
*QjF
取任一单元
*NjF
*QiF
*iM
*NiF
δWe 的计算,
当无结点荷载时,δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
当有结点荷载时
δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
+Σ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i
结点荷载
结点位移
δWi 的计算,
微段拉伸
微段剪切 微段扭转 微段弯曲
δWi =Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds
取微段,其受力如下
对于直杆体系，由于变形互不耦连，所以
变形可看成有如下几部分
微段受力
杆系结构虚功方程
根据上述推证，可得杆系结构虚功方程如下
δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
+Σ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i
=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ
+Mδθ]ds = δWi
以上结论与材料物理性质及具体结构无关，
因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结
构，也适用于一切非线性结构 。
希望能很好理解，尽可能达到掌握！
三、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于 虚设的 协调位移状态 与
实际的 平衡力状态 之间。
例, 求 A 端的支座反力 (Reaction at Support)。
FP
A B
a
C (a)
b
解：去掉 A端约束并代以反力 X，构造相
应的虚位移状态如图 (b),(c)
0P ???? CX FX ??
0???? XX
a
bPX ??
P
a
bX ??
待分析平衡的力状态
X
(b) FP
由外力虚功总和为零，即,
X?
C?
(c) 直线
虚设协调的位移状态
通常取 xX ?? ?? 1
单位位移法 (Unit-Displacement Method)
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚
位移原理，实质上是 实际受力状态的平衡
方程,即 0??
BM
几点说明,
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位
移关系。
(2)虚位移与实际力状态无关,故可设 1?x?
特点, 用几何法来解静力平衡问题 。
例, 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起 C点
的竖向位移 ?,
(a)
A
B
a
C
b
A?
C? ?
c
2）虚功原理用于 虚设的 平衡力状态 与 实
际的 协调位移状态 之间。
解：首先构造出相应的虚设力状态。即，
在拟求位移之点（ C点）沿拟求位移方向
（竖向）设置 单位荷载 。
1
A B
C (b)
AF
由 求得,? ? 0BM
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虚功方程为,
01 ???? cF A?
c
a
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这便是 单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
它是 Maxwell,1864和 Mohr,1874提出，
故也称为 Maxwell-Mohr Method
几点说明,
(1)所建立的 虚功方程,实质上是 几何方程 。
(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力
平衡关系。
(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故
可设单位广义力 P=1
总的来讲，必须非常清楚的是,
单位位移法 的虚功方程 平衡方程
特点, 是用静力平衡法来解几何问题。
单位荷载法 的虚功方程 几何方程
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