1,力法的基本原理
(Fundamentals of the Force Method)
有一个多于约束
的超静定结构，
有四个反力，只
有三个方程。
只要满足
? ??
???
i
ByiiA
ByAy
lFaFM
FFFF
1
P
1
1
P2P1
1
ByF1 为任意值，均平衡。
因此必须设法补充方程
力法的基本思路
超静定计算简图 解除约束转
化成静定的
基本结构承受荷
载和多余未知力
基本体系受力、变形解法已知
力法的基本思路
用已掌握的方法，分析单个基本未
知力作用下的受力和变形
同样方法分析
“荷载”下的
受力、变形 位移包含基本未知力 Xi
为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件
2 P2 22 21
1 P1 12 11
????
????
???
??? 由此可解得基本未知力，从
而解决受力变形分析问题
基本原理举例
例 1,求解图示单跨梁
原结构
待解的未知问题
A B 基本结构
已掌握受力、变形
primary structure or fundamental structure
基本体系
fundamental system or primary ystem
转化
变形协调条件
力法典型方程
(The Compatibility Equation of Force Method )
未知力的位移,荷载”的位移
011 111 ???? ???? P
总位移等于已知位移
以掌握的问题
消除两者差别
叠加作弯矩图
或 0
1111 ?? PXδ ? 011 111 ???? ???? P
1X
系数求法 单位弯矩图
荷载弯矩图
— 位移系数 ij?
自
乘
系数和未知力等于多少？
— 广义荷载位移
互乘
Pi?
例 2,求解图示结构
原
结
构
FP 基
本
体
系
一
FP
解法 1,
有两个多于约束 解除约束代以未知力
基
本
未
知
力
P FP
?
?
?
????
????
0
0
222212
112111
p
p
????
????
或
?
?
?
???
???
0
0
2222121
1212111
p
p
XX
XX
???
???
基本未知力引起的位移 荷载引起的位移
变形协调条件
力法典型方程
?
?
?
??
?
?
???
???
0
166
5
4
0
96
5
46
P21
P21
FXX
FXX
?
?
?
??
?
?
??
?
88
3
11
4
P
2
P
1
F
X
F
X
FP
FPa
作单位和荷载弯矩图
求系数、建立力法方程并求解
仅与刚
度相对
值有关
?
?
?
??
?
?
??
?
88
3
11
4
P
2
P
1
F
X
F
X
FP
FPa
FP
（ × Fpa）
由叠加原理求得
PMXMXMM ??? 2211
力法基本思路小结
根据结构组成分析，正确判断多余约束个
数 ——超静定次数 。
解除多余约束，转化为静定的 基本结构 。
多余约束代以多余未知力 ——基本未知力 。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因
素作用下的位移，建立 位移协调条件 ——力
法典型方程 。
从典型方程解得基本未知力，由 叠加原理
获得结构内力。 超静定结构分析通过转化为
静定结构获得了解决。
将未知问题转化为
已知问题，通过消除已
知问题和原问题的差别,
使未知问题得以解决。
这是科学研究的
基本方法之一。
由于从超静定转化为静定，将什么
约束看成多余约束不是唯一的，因此
力法求解的基本结构也不是唯一的。
解法 2,原结
构
基
本
体
系
FP FP
解法 3,原
结
构
基
本
体
系
FP FP
原
结
构
FP 基本
体
系
FP
M1图 M2图 FPa FP
MP图
单位和荷载弯矩图
FPa F
P
由单位和荷载弯矩图可勾画出基本体系变形图
FP
FPa F
P
由单位和荷载 M 图可求得位移系数、建立方程
?
?
?
????
????
0
0
p222212
p112111
????
????
?
?
?
???
???
0
0
P2222121
P1212111
???
???
XX
XX
P2P1 11
4,
88
15 FXaFX ???
FP
（ × Fpa）
原
结
构
FP
基
本
体
系
FP
FPa F
P
单位和荷载弯矩图
aFXaFX P2P1
88
3,
88
15 ????
能否取基本体系为 F
P
小结,力法的解题步骤
问题,
超静定次数 = 基本未知力的个数
= 多余约束数
= 变成基本结构所需解除的约束数
(?)
(1) 确定结构的超静定次数和基本结构 (体系 )
（ 3 次）
或
（ 14 次） 或
(1 次）
(6 次 )
(4 次 )
(b) 一个超静定结构可能有多种形式的基本结
构，不同基本结构带来不同的计算工作量。
因此，要选取工作量较少的基本结构。
确定超静定次数时应注意,
(c) 可变体系不能作为基本结构
(a) 切断弯曲杆次数 3、链杆 1，刚结变单铰 1，
拆开单铰 2。总次数也可由 计算自由度 得到。
(2) 建立力法典型方程
?
?
?
?
?
???????
??????
???????
nnPnnnn
Pnn
XX
XX
????
????
11
111111
?? ?? P Xδ
或写作矩阵方程
(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果
有）作用下的弯矩（内力）图 Pi MM,
(4) 求基本结构的位移系数
ij?
(5) 求 基本结构的 广 义荷载 位移 iP ?
注意,用图乘法求 和 时应注意图乘条件 ij? iP ?
(6) 解方程求未知力 iX
图乘来求
(7)根据叠加原理作超静定结构 的 内力图
(8) 任 取 一基本结构，求超静定结构 的位移
P
i
ii MXMM ??? PNNN FXFF
i
ii ???
QPQQ FXFF
i
ii ???
例如求 K
截面竖向
位移,
FP
（ × Fpa）
K
FP
（ × Fpa）
K
)(
1 4 0 8
3
]
162
)
88
15
88
3
(
2
1
[
2
1
88
3
6
5
8
1
1
3
P
3
P
2
PP
1
P
2
1
?????
????????
EI
aFaFa
aFaF
EI
aF
a
EI
Ky?
)(
1 4 0 8
3
88
3
2
1
8
1
1
3
P
P
2
1
????????
EI
aFaFa
EIKy
?
（ 9）对计算结果进行校核
对结构上的任一部分，其
力的平衡条件均能满足。
0?? CM如,
问题：使结构上的任一部分都处于平 衡
的解答是否就是问题的正确解？
FP
（ × Fpa）
原
结
构
FP 基
本
体
系
FP 假如,
由
?
?
?
???
???
0
0
2222121
1212111
P
P
XXδ
XXδ
??
??
可证：平衡条件均能满足。
0,0 21 ???? PByPBx ????
求得,0,0
21 ?? XX (× )
但,
FP
FPa
M 图
结论,对计算结果除需进行力的校核外,
还必需进行位移的校核。
链
举
例
FP
（ × Fpa）
0]
16388
15
2
1
3
2
88
3
2
1
[
2
1
88
3
3
2
2
1
3
P2
P
2
P
1
P
2
1
?????
????????
aFa
aF
a
aF
EI
aF
a
EI
Ax?
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