2,力法解超静定 结构 举例
例 1,求解图示两端固支梁。
解：取简支梁为基本体系
力法典型方程为,
?
?
?
?
?
????
????
????
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
????
????
????
FP
基
本
体
系
FP
单位和荷载弯矩图 为,Pi MM,
EI
由于
?
?
?
???
??
0
0,0
NP2NN1
3Q3
FFF
FM
所以
0332233113 ????? P?????
又由于
? ???
? ???
0
d
dd
2
3Q
2
3N
2
3
33
EA
l
GA
sF
k
EA
sF
EI
sM
于是有
03 ?XlabFP
PM 图
FP
两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力
典型方程改写为
?
?
?
???
???
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
???
???
?
?
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?
?
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??
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??
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E I l
alabF
E I l
blabF
EI
l
P
P
6
)(
6
)(
3
2
P
2
P
1
122211
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
P
2
2
2
P
1
l
baF
X
l
abF
X
图乘求得位移系数为 代
入
并
求
解
可
得
FPab
l FPa
2b
l2
FPab2
l2
???? EA lFFEA lF P NPN11
2
N1
11,??
其中,
解得,
223
P
1 ??
FX （拉）
解,基本
体
系
FP FP
力法典型方程为,
01111 ?? PX ??
例 2,求超静定桁架的内力。
FP FP=P
FP=P FP
FNP 图
NF
EA为常数
各杆最后内力由
叠加法得到,
NP11NN FXFF ??
由计算知,在 荷载作用下，超静定桁架的内力与杆
件的绝对刚度 EA无关，只与各杆刚度比值有关。
基
本
体
系
FP FP 问题,若 用拆除 上
弦 杆的静定结构作
为基本结构,本题
应如何考虑？
FP=P FP
N1F
解,力法方程 的实质 为,, 3,4两结点的
相对位移 等于所拆除杆的拉（压
）变形,
34?
34l?
FP FP
FP=P FP
FNP 图 自乘求 δ
11
互乘求 Δ 1P
或互乘求 δ 11X1
]22
22
1
)22
2
1
2
1
42
2
2
2
2
[(
1
P
1
1P11134
????????
??????
a
F
Xa
a
EA
X ???
EA
Xal 1
34
2 ????
令,
3434 l?? ?
有,
223
P
1 ??
FX （拉）
基
本
体
系
解,典型方程,
kXX P /11111 ??? ??
最终解得,
)(32251 ?? qlX
例 3,求作图示连续梁的弯矩图。
M图由 作出,PMXMM ?? 11
(c)
)1( 11
1
1
k
X P
?
??
?
?
,310 lEIk ?当
,??k当 )(451 ?? qlX
取基本体系,
？
EI
解：取基本体系如图 (b)
典型方程,
01111 ?? PX ??
NP1NP1,,,FFMM 如图示,
例 4,求解图示加劲梁。
横梁 44 m101 ???I
0NP ?F
NPF
1N1 ?F
NF
EI
EAEI
P
3.533
,
2.1267.10
1
11
?
??
?
?
当 kN 9.44,m 101
123 ???? ? XA
内力
PN11NNP11,FXFFMXMM ????
有无下部链杆时梁内
最大弯矩之比,%3.191 9 2 5.080 4.15 ??
9.44N ??F
)kN(NF
梁的受力与两跨
连续梁相同。
（同例 3中 ） ??k
qlX
4
598.49
67.10
3.533
1 ??????
当,??A
23 m107.1 ???A
梁受力有利 令梁内正、负弯矩
值相等可得,
50N ??F
9.44N ??F
)kN(NF
如何求 A？
方程的物理意义是否明确？
例 5,求解图示刚架由
于支座移动所产生的
内力。
解：取图示基本结构
力法典型方程为,
?
?
?
?
?
?????
?????
????
aXXX
XXX
XXX
?
?
?
????
?????
????
3333232131
2323222121
1313212111
0
其中 为由于支座移动所产生的位移,
即
??? ??? 321,,
??? iii cF R??
EI
常
数
0,)(,)( 321 ????????? ??? ??? lblblblb
最后内力（ M图）,332211 XMXMXMM ???
这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？
??? ???? ?? iikkkk cFEI sMMEI sMM Rdd ???
支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关 吗？
单位基本未知力引起的弯矩图和反力
Δ1Δ,Δ2Δ,Δ3Δ等于多少？ δij与荷载作用时一样,由自乘、互乘求
?
?
? ???
EI
l
EI
h
32211
??
?
?
? ?
EI
l
612
?
EI
lh
EI
h 23
33 3
2
?
?
?
?
??
EI
hl
EI
h
22
2
2313 ?
?
?
?
?? ??
问题,如何建立如下基本结构的典型方程？
1X
3X
2X
基本体系 2
1X
3X
2X
基本体系 3
1X
3X
2X
基本体系 2
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
?????
????
????
?
?
?
3333232131
2323222121
1313212111
XXX
aXXX
bXXX
0 ? ? ? i i ?
?
?
?
?
?
????
????
????
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
?
?
?
????
????
????
XXX
XXX
XXX
1X
3X
2X
基本体系 3
b
a
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
??
?
?
?
3
2
1
a
bl
用几
何法
与公
式法
相对
比。
FP
A B EI
试求图示两端固定单跨梁在下属情况
下的 M图。
(a) A端逆时针转动单位转角。
(b) A端竖向向上移动了单位位移。
(c) A,B两端均逆时针转动单位转角。
(d) A,B两端相对转动单位转角。
(e) A端竖向向上,B端竖向向下移动了单
位位移。
解：选取基本体系
建立典型方程
01111 ?? PX ?? 基本体系二
例 6,求作弯矩图 (同例 3)。
)( 310 lEIk ? EI常数
(c)
? ? ? ?????? EI llklEI lkFEI sM k 15 16)22(3 2d
22
1
11?
?? ? ??????? EIqlkqllEIqlkFFEI sMM kkPP
33
P1
1 60
72
12
d?
64
7 2
1
qlX ? （下侧
受拉）
弯矩图为,
进一步求 D点竖向位移
)(
3072
181
)
32
25
2
1
(
]
128
7
42
1
2
48
5
283
2
[
1
d
4
22
????
??????????
?? ? ? ?
EI
ql
k
ql
qll
l
llql
EI
k
FF
EI
sMM
kkD
Dy
?
解：取基本体系如图
(b) 典型方程为,
01111 ?? tX ??
例 7,求图示刚架由于温度变
化引起的内力与 K点的 。
Ky?
温度变化引起的结构位移与内力的计算公式
为,
??
?
?
?
?
??
?
? ? ?
ii
iiit
XMM
sM
h
t
ltF d
0N
??
??
(a)
外侧 t1
内侧 t2
EI
常
数
t1=250C
t2=350C
设刚架杆件截面对称于形心轴，其高 10/lh ?
CtCt 0201 35,25 ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????????
??
?
? ? ?
ll
l
h
l
sM
h
t
ltF
EI
l
t
???
??
??
?
230)
2
2(
10
30
d
3
5
2
2
101N1
3
11
21 138 l
EIX ??
温度改变引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关。
10 300 ?? tt ?则 1N ??F
0N ?F
NF
M 图
????
??
? ?
? ? ?
lsM
h
t
ltF
EI
sMM
K
K
K
Ky
?
??
??
75.34d
d
0N
温度低的一侧受拉，此结论 同样 适用于温度
引起的超静定单跨梁。
0N ?KF
5.0N ??KF
KFN
简
化
返
章
首
下侧正弯矩为
设基本未知力为 X，则
2)05.04(5)05.04)(5.040( XXXX ????
跨中支座负弯矩为
80)5.040(4 ??? X
根据题意正弯矩等于负弯矩，可得
862915.46?X
有了基本未知力，由典型方程可得
23 m 1072.1 ???A
返回
例 1,求解图示两端固支梁。
解：取简支梁为基本体系
力法典型方程为,
?
?
?
?
?
????
????
????
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
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XXX
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基
本
体
系
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单位和荷载弯矩图 为,Pi MM,
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所以
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3Q
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k
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于是有
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PM 图
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两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力
典型方程改写为
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1212111
P
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XX
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入
并
求
解
可
得
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l FPa
2b
l2
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l2
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2
N1
11,??
其中,
解得,
223
P
1 ??
FX （拉）
解,基本
体
系
FP FP
力法典型方程为,
01111 ?? PX ??
例 2,求超静定桁架的内力。
FP FP=P
FP=P FP
FNP 图
NF
EA为常数
各杆最后内力由
叠加法得到,
NP11NN FXFF ??
由计算知,在 荷载作用下，超静定桁架的内力与杆
件的绝对刚度 EA无关，只与各杆刚度比值有关。
基
本
体
系
FP FP 问题,若 用拆除 上
弦 杆的静定结构作
为基本结构,本题
应如何考虑？
FP=P FP
N1F
解,力法方程 的实质 为,, 3,4两结点的
相对位移 等于所拆除杆的拉（压
）变形,
34?
34l?
FP FP
FP=P FP
FNP 图 自乘求 δ
11
互乘求 Δ 1P
或互乘求 δ 11X1
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1
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有,
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P
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FX （拉）
基
本
体
系
解,典型方程,
kXX P /11111 ??? ??
最终解得,
)(32251 ?? qlX
例 3,求作图示连续梁的弯矩图。
M图由 作出,PMXMM ?? 11
(c)
)1( 11
1
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,310 lEIk ?当
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取基本体系,
？
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解：取基本体系如图 (b)
典型方程,
01111 ?? PX ??
NP1NP1,,,FFMM 如图示,
例 4,求解图示加劲梁。
横梁 44 m101 ???I
0NP ?F
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NF
EI
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3.533
,
2.1267.10
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内力
PN11NNP11,FXFFMXMM ????
有无下部链杆时梁内
最大弯矩之比,%3.191 9 2 5.080 4.15 ??
9.44N ??F
)kN(NF
梁的受力与两跨
连续梁相同。
（同例 3中 ） ??k
qlX
4
598.49
67.10
3.533
1 ??????
当,??A
23 m107.1 ???A
梁受力有利 令梁内正、负弯矩
值相等可得,
50N ??F
9.44N ??F
)kN(NF
如何求 A？
方程的物理意义是否明确？
例 5,求解图示刚架由
于支座移动所产生的
内力。
解：取图示基本结构
力法典型方程为,
?
?
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1313212111
0
其中 为由于支座移动所产生的位移,
即
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??? iii cF R??
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常
数
0,)(,)( 321 ????????? ??? ??? lblblblb
最后内力（ M图）,332211 XMXMXMM ???
这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？
??? ???? ?? iikkkk cFEI sMMEI sMM Rdd ???
支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关 吗？
单位基本未知力引起的弯矩图和反力
Δ1Δ,Δ2Δ,Δ3Δ等于多少？ δij与荷载作用时一样,由自乘、互乘求
?
?
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问题,如何建立如下基本结构的典型方程？
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基本体系 2
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基本体系 3
1X
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相对
比。
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试求图示两端固定单跨梁在下属情况
下的 M图。
(a) A端逆时针转动单位转角。
(b) A端竖向向上移动了单位位移。
(c) A,B两端均逆时针转动单位转角。
(d) A,B两端相对转动单位转角。
(e) A端竖向向上,B端竖向向下移动了单
位位移。
解：选取基本体系
建立典型方程
01111 ?? PX ?? 基本体系二
例 6,求作弯矩图 (同例 3)。
)( 310 lEIk ? EI常数
(c)
? ? ? ?????? EI llklEI lkFEI sM k 15 16)22(3 2d
22
1
11?
?? ? ??????? EIqlkqllEIqlkFFEI sMM kkPP
33
P1
1 60
72
12
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64
7 2
1
qlX ? （下侧
受拉）
弯矩图为,
进一步求 D点竖向位移
)(
3072
181
)
32
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解：取基本体系如图
(b) 典型方程为,
01111 ?? tX ??
例 7,求图示刚架由于温度变
化引起的内力与 K点的 。
Ky?
温度变化引起的结构位移与内力的计算公式
为,
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(a)
外侧 t1
内侧 t2
EI
常
数
t1=250C
t2=350C
设刚架杆件截面对称于形心轴，其高 10/lh ?
CtCt 0201 35,25 ????
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温度改变引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关。
10 300 ?? tt ?则 1N ??F
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75.34d
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0N
温度低的一侧受拉，此结论 同样 适用于温度
引起的超静定单跨梁。
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KFN
简
化
返
章
首
下侧正弯矩为
设基本未知力为 X，则
2)05.04(5)05.04)(5.040( XXXX ????
跨中支座负弯矩为
80)5.040(4 ??? X
根据题意正弯矩等于负弯矩，可得
862915.46?X
有了基本未知力，由典型方程可得
23 m 1072.1 ???A
返回
