第 十 章
矩 阵 位 移 法
§ 10-1、概述
? 一、结构矩阵分析方法要点
? 结构矩阵分析方法是电子计算机计
算技术进入结构分析领域后，产生的一
种结构计算方法。
? 结构矩阵分析方法与传统的结构分
析方法原理上完全一致。但由于计算工
具不同，作法上有所差异。
? 传统人工手算,速度低，精度差。
? 忌繁重的计算工作量。
? 电子计算机计算,速度快，精度高。
? 忌无规律可循。
? 学习结构矩阵分析，先修课为：
? 1、结构力学 （理论基础）
? 2、线性代数矩阵运算 （建模工具）
? 3、电算语言 （机算方法）
? 矩阵分析方法的理论基础是传统结
构力学，说明结构矩阵方法与传统结构
力学同源。由于形成的年代和条件不同，
引来了方法上的差异。因此，学习中我
们应该注意，两种方法的共同点和结构
矩阵方法新的着眼点（矩阵符号的运用、
坐标的引入、未知量的判断与单元类型
的关系、刚度集成的概念等）。
? 矩阵运算用简洁的符号代替传统的
运算表达式，公式单一、紧凑、统一，
便于计算机计算程序的自动化运算。
? 结构矩阵分析方法又称为：杆件
有限单元法；计算结构力学。包括：
? 矩阵力法（柔度法），以力法为
基础。
? 矩阵位移法（刚度法），以位移
法为基础。
? 矩阵混合法，以混合法为基础。
矩阵位移法方法要点：
? （ 1）、离散化（单元分析）：先把
结构整体拆开，分成若干有限数目的单
元体，进行单元分析。找出单元杆端力
与杆端位移的关系，建立单元刚度方程。
? （ 2）、集合（整体分析）：利用静
力平衡条件和变形协调条件，将各离散
单元在结点上相互连接起来。使结点上
的受力变形情况与原结构完全相同，进
行整体分析。建立整体刚度方程。
计算过程示意：
? 由于位移法有其自身的优点,易于实现计
算过程的程序化,目前在工程界应用广泛。
故在此只介绍矩阵位移法。
? 矩阵位移法与传统位移法力学概念完全
一致。其中：
? 基本未知量：结构的独立结点位移。
? 基本体系：加上人为约束的动定结构。
? 基本方程：根据结点（或截面）平衡条
件和变形协调条件建立的刚度方程。
二、需讨论的问题：
? 1、单元分析，在矩阵位移法中取何
种单元，并找出各单元的杆端位移和杆
端力之间的关系。
? 2、整体分析，如何由单元分析直接
集成整体分析。
? 3、建立结构的刚度方程，求解并找
出各杆端内力。
§ 10-2、单元刚度矩阵（局部坐标系）
? 单元分析的主要任务：研究单元杆端
位移与杆端力之间的关系。
? 推导方法：根据变形与力之间的物理
关系，采用矩阵形式。
一、单元的划分
? 杆系结构中，任何相邻两个结点之间的杆段
都是一个杆件单元，一般采用等截面直杆单元。
? 结点：
? 构造结点,杆件折转点，交汇点，支承点，自由
端，截面突变处等。
? 非构造结点,集中荷载作用点；曲线杆件计算时，
可将一个曲杆视为由许多折杆组成，其人为设定折点
处。
LL
2、局部坐标系（单元坐标系、杆件坐标系）
? 根据单元分析（杆件）与整体（结构）分析
的不同需要，采用两种直角坐标系。
? 局部坐标系以杆轴为 x轴，,1”为始端，
,2,为终端。 1 2为正方向。
? 局部坐标系下所有量值的正负号规定：杆端
位移和杆端力分量与局部坐标方向一致为正。
x
y
EA,EI,l
e1
2
x
yEA
,E
I,le
1
2
x
y
1 2EA,EI
l
e
u1
v 1
θ1
u2
v 2
θ2Fx1
Fy1
M1
Fx2
Fy1
M2
用 {F}e代表单元 的杆端力列向量,e
? ?( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
1 1 1 2 2 2
{}
= ( )
eT
e
eT
x y x y
F F F F F F F
F F M F F M
?
用 {Δ}e代表单元 的杆端位移列向量,e
? ?
? ?
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
1 1 1 2 2 2
{}
eT
e
eT
u v u v??
? ? ? ? ? ? ? ?
?
( 10-1）
3、局部坐标中等截面直杆单元的单元刚度方程
? 推导过程如位移法，注意几点：
? ①、重新规定正负号；②、采用矩阵形式。
? 等截面直杆单元，在变形过程中，考虑弯曲变
形和轴向变形的影响。因此，在左右两端各有三
个独立的位移分量（两个线位移，一个角位移）。
杆件共有六个杆端位移分量，相应的有六个杆端
力分量。
单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端
力时所建立的方程 —— 记为,Δ → F,方程。
x
1
2e
u1
v 1
θ1
u2
v 2
θ2F
x1
Fy1
M1
Fx2
Fy1
M2
（１）、轴向位移与轴向力
EA e
1 2
l
u1e u2e
1’ 2’Fex1
F ex2
1 2
EA
l
1’
1
k e = EA/l11 k e = -EA/l21
1 2
EA
l 1
2’k e = EA/l22k e = - EA/l12
F e =x2 EAl +u e 1 u e 2
u e2F e =
x1
EA
l u
e 1
(10-2)
（ ）
（ ）
（ 2）、横向位移、转角位移与杆端力
12EI
l3
6EI
l2
v 1e
=1
-12EI
l3
6EI
l2
θ1e=1
4EI
l
2EI
l
6EI
l2
-6EI
l2
v 2e
=1
12EI
l3
-12EI
l3
-6EI
l2
-6EI
l2
4EI
l
2EI
l
-6EI
l2
6EI
l2
e
e
e
e
θ e 1F e =
y 1
12EI
l3 v
e +1 6EI
l2
θ e 212EI
l3 v
e +2 6EI
l2
θ e 1M e =
1
6EI
l2 v
e +1 4EI
l
θ e 26EI
l2 v
e +2 2EI
l
θ e +1F e =
y 2
12EI
l3 v
e 1 6EI
l2
θ e 212EI
l3 v
e2 6EI
l2
θ e 1M e =
2
6EI
l2 v
e +1 2EI
l
θ e 26EI
l2 v
e +2 4EI
l
( 10-3 )
由此可得：
u e2F e =
x1
EA
l u
e
1（ ）
F e =x2 EAl +u e 1 u e 2（ ）
θ e 1F e =
y 1
12EI
l3 v
e +
1
6EI
l2
θ e 212EI
l3 v
e +
2
6EI
l2
θ e 1M e =
1
6EI
l2 v
e +
1
4EI
l
θ e 26EI
l2 v
e +
2
2EI
l
θ e +1F e =
y 2
12EI
l3 v
e
1
6EI
l2
θ e 212EI
l3 v
e
2
6EI
l2
θ e 1M e =
2
6EI
l2 v
e +
1
2EI
l
θ e 26EI
l2 v
e +
2
4EI
l
1 1
3 2 3 2
1 1
22
1
1
2 2
2
2 3 2 3 2
22
0 0 0 0
12 6 12 6
00
6 4 6 2
00
0 0 0 0
12 6 12 6
00
6 2 6 4
00
e
e
x
y
x
y
E A E A
ll
E I E I E I E I
uF
l l l l
vF
E I E I E I E I
M
l l l l
E A E A
uF
ll
vF
E I E I E I E I
M
l l l l
E I E I E I E I
l l l l
?
??
?
??
??
??
?
??
??
??
?? ?
?? ??
?
??
??
???
??
??
??
?? ? ? ?
??
??
?
??
??
2
2
e
?
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
（ 10-4 ）
令：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
k
e
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
][
22
2323
22
2323
式（ 12-4）可简写为,
{ F }e = [ k ]e { Δ}e ( 10-5)
3 2 3 2
22
3 2 3 2
22
0 0 0 0
12 6 12 6
00
6 4 6 2
00
[ ]
0 0 0 0
12 6 12 6
00
6 2 6 4
00
e
E A E A
ll
E I E I E I E I
l l l l
E I E I E I E I
l l l l
k
E A E A
ll
E I E I E I E I
l l l l
E I E I E I E I
l l l l
??
?
??
??
?
??
?
??
?
???
??
? ? ?
??
?
??
??
（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
1 1 1 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )u v u v??? ? ? ? ? ?
2、单元刚度矩阵的性质
? （ 1）、杆端位移一律用绝对位移。即：除
杆端相对位移外，还包含有刚体位移。（请比
较位移法）
? （ 2）、单元刚度矩阵中，各单元刚度 系数
的物理意义：
ke(i)(j)—第 j个杆端位移分量 Δ e(j)=1时，（其它位
移分量为零）所引起的第 i个杆端力分量 Fe(j)的值。
? j列的六个元素分别表示当某个杆端位移分量等
于 1时，所引起的六个杆端力分量。
? （ 3）,[ k ]e是对称矩阵。
? 由反力互等定理可知,单元刚度矩阵
是对称矩阵。
? （ 4）,[ k ]e6× 6中 所有元素 是（ E,A、
I,l） 的函数，正负号根据单元坐标系的
方向而定。
? （ 5）、一般 (自由 )单元的单刚 [ k ]e6× 6是
奇异矩阵。即,[ k ]e6× 6 =0
? [ k ]e6× 6不存在逆矩阵。
? 注意,根据单元刚度矩阵，可由
{ Δ }e求出 {F}e,且解是唯一的。但不可
由 {F}e求 {Δ}e,其结果可能无解或非唯一
解。这是正反两个问题，不可混淆。
? 解释,一般单元的单元刚度矩阵之
所以为奇异矩阵，是因为计算的单元是
两端无任何支承的自由单元。单元本身
除弹性变形外，还有任意的刚体位移。
{F}e完全一样，但 {Δ}e可以不同。对应于
一个平衡力系，可以有多种杆端位移情
况。
（ 6）、单元刚度矩阵可以分块
? 以平面刚架单元为例，单元 ij 两端点
i,j 的位移分量和力的分量可表示为：
{ Δ1}e=
φ e 1
u e 1
v e 1 { Δ2}e=
φ e 2
u e 2
v e 2
{ F1}e=
M e 1
F e x1
F e y1 { F2}e=
M e 2
F e x2
F e y2
则（ 12-10）式可写为：
F e 1
F e 2
=
k e 11 k e 12
k e 21 k e 22
δe 1
δe 2
式中 称为单元刚度矩阵的子
块，或简称为子矩阵。
[ k ] e ij
5、特殊单元 （包括某些支承的单元）
? 一般来说，特殊单元的单元刚度矩阵
无需另行推导，只需对一般单元的单元
刚度（矩阵）方程，做一些特殊处理，
便可自动得到。
? （ 1）、梁单元：只考虑杆件的弯曲变
形，忽略其轴向变形。
? v1,θ1,v2, θ2为任意指定值；
? u1= u2= 0。 （注,u1= u2= 0 在此是
指 1,2两点无相对轴向变形）
3 2 3 2
22
3 2 3 2
22
1 1
1 1
2 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
e
ee
y
y
E I E I E I E I
l l l l
E I E I E I E I
l l l l
E I E I E I E I
l l l l
E I E I E I E I
l l l l
Fv
M
Fv
M
?
?
?
? ? ?
?
??
??
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
?? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
??
??
梁单元的刚度方程
(2)、拉压杆（桁架）单元
1 1
2 2
e
ee
x
x
E A E A
Fu ll
E A E AFu
ll
??
?
??? ? ? ?? ? ? ?
????? ? ? ?
??? ? ? ?? ? ? ?
?
????
（ 3）、连梁单元
杆端竖向位移已知为零，忽略轴向变形。
为任意指定值，
1 1
2 2
42
( 1 0 9 )
24
e
ee
E I E I
M ll
E I E IM
ll
?
?
??
??? ? ? ?
? ? ? ?
????? ? ? ?
??? ? ? ?? ? ? ?
????
θ1,θ2 u1= u2= 0，
v1 = v2 = 0 。
注：
②、还有多种特殊单元的单元刚度矩阵。
在此不一一列举。
用矩阵位移法分析结构时，着重应注意
计算过程的程序化，标准化。因此，一般
情况下，单元计算分析只采用一种标准化
形式 —— 一般单元的单元刚度矩阵 [ k ]e6× 6 。
①、某些特殊单元的单元刚度矩阵是可
逆的，如连梁单元的单元刚度矩阵 [ k ]e2× 2。
是否存在，关键取决于力学模型。
§ 10-3 单元刚度矩阵 (整体坐标系 )
? 在实际结构中，杆件的杆轴方向不尽相
同。用局部坐标表示的单元刚度矩阵，整体
分析时不方便。
? 为进行整体分析，必须建立一个统一的
公用坐标系，称为整体坐标系。也称结构坐
标系、公共坐标系。用 x— y表示，从 x到 y顺
时针为正，坐标原点任取。
? 注意：这里 α—— 由 x轴到 轴 的夹角，
顺时针为正。
x
? 为了进行整体分
析，需将局部坐标系
下的单元刚度矩阵转
换为整体坐标系下的
单元刚度矩阵
[ k ]e6× 6 。
? 求 [ k ]e6× 6 的方法：
? ①、直接按定义
求。
? ②、通过坐标转
换，由 [ k ]e6× 6找出
[ k ]e6× 6 。
①
② ③
④
x ②x ① x ③
x ④
O
y
x
y
xO 1
2e
x
y
e
xF 1
e
yF 1
α
eM
1
e
xF 2
e
yF 2
eM
2
y
x
O
1
2
e
x
y
exF1
e
yF1
α
eM1
exF2
e
yF2 eM
2
e
e
e
y
e
x
e
y
e
y
e
x
e
x
e
e
e
y
e
x
e
y
e
y
e
x
e
x
MM
FFF
FFF
MM
FFF
FFF
2
2
22
2
22
2
1
1
11
1
11
1
c oss in
s inc os
c oss in
s inc os
?
???
??
?
???
??
??
??
??
??
(1)、单元坐标转换矩阵
(10-11)
e
y
x
y
x
e
e
y
x
y
x
M
F
F
M
F
F
M
F
F
M
F
F
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
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?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
100000
0c oss i n000
0s i nc os000
000100
0000c oss i n
0000s i nc os
??
??
??
??
写成矩阵形式：
(10-12)
或简写成：
? ? ? ? ? ? ee FTF ? (10-13)
式中 [ T ]称为单元坐标转换矩阵
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100000
0c oss i n000
0s i nc os000
000100
0000c oss i n
0000s i nc os
??
??
??
??
T
(10-14)
? 可以证明,
? [ T ]是正交矩阵，有：
? [ T ]-1= [ T ]T (10-15)
或 [ T ] [ T ]T = [ T ] T[ T ] = [ I ] (10-16)
? 正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵 。
式（ 10-13）的逆转换式为：
{F}e= [ T ]T { F}e （ 10-17）
同理可得出单元杆端位移在两种坐标系中
的转换关系。
{Δ }e = [ T ] { Δ }
{Δ }e = [ T ]T { Δ }
{ Δ }e—— 整体坐标系中单元杆端位移列阵。
{ Δ }e—— 局部坐标系中单元杆端位移列阵。
（ 2）、整体坐标系中的单元刚度矩阵
? {F}e=[ k ]e {Δ}e （ 10-20）
将 {F}e= [ T ]e {F}e,{Δ}e= [ T ]e {Δ}e
已知,{F}e=[ k ]e {Δ}e
代入，得,[ T ]e {F}e=[ k ]e [ T ]e {Δ}e
?上式前乘 [ T ]T
? [ T ]T [ T ]e {F}e=[ T ]T[ k ]e [ T ]e {Δ}e
? {F}e=[ T ]T[ k ]e [ T ]e {δ}e
?因此,[ k ]e =[ T ]T[ k ]e [ T ]e (10-21)
单元刚度矩阵 [ k ]e的性质：
? （ 1）、理解单元刚度矩阵中各元素 keij
的物理意义。
? （ 2）,[ k ]e是对称矩阵。 keij = keji
? （ 3）,keij是 E,A,I,L,α的函数,α
本身有正负。
? （ 4）、一般单元的单元刚度矩阵 [ k ]e
是奇异矩阵。
例,? 求图示刚架中各单元在整体坐标系中的单元
刚度矩阵，设各杆截面尺寸相同。
? E=3× 107kN/m2,A=b× h=0.5× 1.0=0.5m2,
I=b× h3/12=0.5× 1.03/12=1/24 m4 。
①
②
③ x
y
? （ 1）、局部坐标系中的单元刚度矩阵：
? 单元①：
? l=4m,EA/l=3750× 103kN/m,
? EI/l=312.5× 103kN·m,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
??
12508.46806258.4680
8.4684.23408.4684.2340
003750003750
6258.468012508.4680
8.4684.23408.4684.2340
003750003750
10][
31
k
? 单元②：
? l=3m,EA/l=5000× 103kN/m,
? EI/l=416.7× 103kN·m,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
??
7.16663.83303.8333.8330
3.8336.55503.8336.5550
005000005000
3.8333.83307.16663.8330
3.8336.55503.8336.5550
005000005000
10][
32
k
? 单元③：
? l=5m,EA/l=3000× 103kN/m,
? EI/l=250× 103kN·m,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
??
100030005003000
30012003001200
003000003000
500300010003000
30012003001200
003000003000
10][
33
k
(2),整体坐标系中的单元刚度矩阵：
? 单元①,α=0 o,[ T ] =[ I ],[ k ] =[ k ] 。
? 单元②, α=90o,
? [ k ] = [ T ]T [ k ] [ T ]
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100000
001000
010000
000100
000001
000010
][
2
T
1 1 1
2 2 2
①
②
③ x
y
?α=90o的单元的单元刚度矩阵：
3 2 3 2
22
3 2 3 2
22
12 6 12 6
00
0 0 0 0
6 4 6 2
00
[]
12 6 12 6
00
0 0 0 0
6 2 6 4
00
e
E I E I E I E I
l l l l
E A E A
ll
E I E I E I E I
l l l l
k
E I E I E I E I
l l l l
E A E A
ll
E I E I E I E I
l l l l
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???
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?
7.166603.8333.83303.833
050000050000
3.83306.5553.83306.555
3.83303.8337.166603.833
050000050000
3.83306.5553.83306.555
10
][][][][
3
22
TkTk
T
? 单元③,α 为负，其中：
? sin α = -3/5= -0.6
? cos α= 4/5 = 0.8
3
0.8 0.6 0 0 0 0
0.6 0.8 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
[]
0 0 0 0.8 0.6 0
0 0 0 0.6 0.8 0
0 0 0 0 0 1
T
???
??
??
?
?
??
??
??
①
②
③ x
y
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
??
??
??
?
1000240180500240180
2408.11564.13822408.11564.1382
1804.13822.19631804.13822.1963
5002401801000240180
2408.11564.13822408.11564.1382
1804.13822.19631804.13822.1963
10
][][][][
3
33
TkTk
T
§ 12-4 连续梁的整体刚度矩阵
矩阵位移法是在单元分析的基础上,利
用平衡条件和变形协调条件建立结构刚度
方程。同时，也就得出了结构的刚度矩阵。
下面以连续梁为例，研究结构整体刚
度矩阵的形成规律。以找出直接形成结
构刚度矩阵的方法。
? 建立整体刚度矩阵（方程）的作法一
般有两种：
? 一、传统位移法；
? 二、单元集成法。（也称刚度集成
法，直接刚度法）
整体刚度矩阵（方程）
[ K ]{ Δ}={ F }
一、传统作法
? 分别考虑每个结点位移单独发生，在各人
为约束上产生的结点力，叠加后得到各单元刚
度方程（矩阵）。
? 以下图为例，
? 结点位移,{⊿ }=[⊿ 1 ⊿ 2 ⊿ 3 ]T
? 结点力,{ F }=[ F1 F2 F3 ]T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
22
2211
11
3
2
1
420
2442
024
ii
iiii
ii
F
F
F
1 2i1 i2
Δ1
1F 2F 3F
21
i1 i2 Δ3Δ2
Δ1
114i? 112i?
021
i1 i2
Δ2122i? 1 2 2 244ii? ? ? 222i ?21
i1 i2
Δ3
0 232i ? 234i ?21
i1 i2
? 得整体刚度方程：
? { F }=[ K ]{⊿ }
? 其中：
? [ K ]—— 整体刚度矩阵。
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
22
2211
11
420
2442
024
ii
iiii
ii
K
二、单元集成法的力学模型及概念
? 单元集成法：分别考虑每个单元对 {F}
的单独贡献，然后叠加。
? 以下图为例，力学模型：
? （ 1）、首先考虑单元①的贡献。略去
其它单元的贡献，令 i2=0,此时单元②的刚
度为零。即：单元②虽有变形，但不产生
结点力。整个结构的结点力均由单元①单
独贡献。
? {F}1=[ F11 F21 F31 ]T表示单元对结构结
点力 {F}的贡献。 （注意此时三个转角同时发生）
? ? ?
?
?
??
??
11
111
42
24
ii
ii
k 故得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
2
1
11
11
1
2
1
1
42
24
ii
ii
F
F
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
11
11
1
3
1
2
1
1
000
042
024
ii
ii
F
F
F
:可写成
11F 1
2F
13 0F ?
Δ1
21
i1 i2=0 Δ3Δ2
由于 i2=0,所以 F31=0。
F11,F21可由单元①
的单刚 [ k ]1算出。
单元①的贡献
{F}1=[ K ]1{⊿ }
其中：
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000
042
024
11
11
1
ii
ii
K
[ K ]1—— 单元①对整体刚度矩阵的贡献。
称为单元①的贡献矩阵。
考虑单元②的贡献。略去其它单元的贡献，令
i1=0,此时单元①的刚度为零。 F12=0。 F22,F32可
由单元②的单刚 [ k ]2算出 。
? ? ?
?
?
?
?
??
22
222
42
24
ii
ii
k 故,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
22
22
2
3
2
2
42
24
ii
ii
F
F
Δ1
11 0F ?
12F 1
3F21
i2i1=0 Δ3Δ2
记为, {F} 2=[ K ]2{⊿ }
其中,
[ K ]2—— 单元②对整体刚度矩阵的贡献。
称为单元②的贡献矩阵 [ K ]1 和 [ K ]2为同阶矩阵。
[ K ]e由 [k]e的元素及零元素组成。
将上两式叠加：
? {F}={F}1+ {F}2=（ [ K ]1+ [ K ]2） {⊿ }
? 可见：
? [ K ]= [ K ]1+ [ K ]2 =∑ [ K ]e （ 13-34）
? 结构整体刚度矩阵（总刚）为各单元
贡献矩阵之和。单元集成法步骤：
? [k]e 分别 [ K ]e 叠加 [ K ]
? 用上述方法，第一步由 [k]e求 [ K ]e，
第二步由 [ K ]e叠加求 [ K ]。
三、按照单元定位向量由 [k]e直接求 [ K ]
? （ 1）、结点位移（或结点力）的两种
编码。
? 总码：整体分析中，结点位移分量在
结构中的统一编码。
? 局部码：单元分析中，每个单元两个
结点位移的各自编码。
21
i1 i2
31 2
1
i1
2
i2
（ 2）（ 1） （ 2）（ 1）
（ 2）、单元位移分量两种编码之间的关系。
单元定位向量 { λ }e— 单元换码向量。
单元①,（ 1）
总码 局部码
（ 2）
（ 1） → 1
（ 2） → 2 {λ}
1 = 12
（ 1）
（ 2）
（ 1） → 2
（ 2） → 3 {λ}
2 = 23单元②：
（ 3）单元 [ k ]e在 [ K ]e中的排列方式
? 单元刚度矩阵 [ k ]e中，元素按局部码排列。
? 单元贡献矩阵 [ K ]e中，元素按总码“对号入
座”。
? ke(i)(j)在整体刚度矩阵中的位置
? ke(i)(j) 在单元刚度矩阵中 在单元贡献矩阵中
? 换码 元素的原行码（ i） 换成新行码 λi
? 原列码（ j） 新列码 λj
? 重新排 原排在（ i） 行 改排在 λi行 λj列
? （ j） 列的元素 ke(i)(j) →
eK
λiλj
四、单元集成法的实施方案
? （ 1）,[ K ]置零：
[ K ]3× 3=
1 2 3
1
2
3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
21
i1 i2
31 2
（ 2）,[ k ]1在 [ K ]中按 {λ}1定位，并进
行累加。这时 [ K ]=[ K ]1。
4i1 2i1
2i1 4i1[ k ]
1 =
整体
局部 （ 1） （ 2）
（ 1）
（ 2）
1 2
1
2
?阶段结果
4i1 2i1 0
2i1 4i1 0
0 0 0
（ 3）,[ k ]2在 [ K ]中按 {λ}2定位，并进行累加。这
时 [ K ]=[ K ]1+ [ K ]2 。
4i2 2i2
2i2 4i2[ k ]
2 =
整体
局部 （ 1） （ 2）
（ 1）
（ 2）
2 3
2
3
?最终结果 4i1 2i1
2i1 4i1+
0
0
4i2 2i2
2i2 4i2
1 2 3
1
2
3
故,[ K ]=∑ [ K ]e 对号入座，同号叠加 。
例：求图示连续梁的总刚度矩阵 [ K ]
1
2 3
0
① ② ③
i1 i2 i3
1
2 3
0
① ② ③
i1 i2 i3
Δ1 Δ2 Δ3 Δ0
? 解,1、结点位移分量总码，分别编为 1,2,3。
? 注：固定端的结点位移为零，凡是已知的结
点位移分量，其总码编为零。
? 为了使所有单元均为连梁单元,1点的转角
位移作为基本未知量。
2、写出各单元的单元定位向量。
{ λ }1= 12
1
2 3
0
① ② ③
i1 i2 i3
Δ1 Δ2 Δ3 Δ0
{ λ }2= 23 { λ }3= 30
3,单元集成过程。 [ k ]e → [ K ]
4i1 2i1
2i1 4i1[ k ]
1 =
整体
局部 （ 1） （ 2）
（ 1）
（ 2）
1 2
1
2
4i1 2i1
2i1 4i1[ k ]
1 =
1 2
1
2
4i2 2i2
2i2 4i2[ k ]
2 =
2 3
2
3
4i3 2i3
2i3 4i3[ k ]
3 =
3 0
3
0
[ K ] =
1 2 3
1
2
3
4i1 2i1
2i1 4i1
2i2 4i2
+4i2 2i2
+ 4i30
0
1
2 3
0
① ② ③
i1 i2 i3
Δ1 Δ2 Δ3 Δ0
5、整体（总）刚度矩阵的性质
? （ 1）、整体刚度矩阵中刚度系数的意义；
? Kij— 第 j个结点位移分量 ⊿ j=1（ 其它
结点位移分量为零）时，所产生的第 i个
结点力 Fi。
? (2),[ K ]是对称正定矩阵。
? 对称性：由反力互等定理
? Kij = Kji
? 正定性：考虑结构边界条件的结构总刚度
矩阵是正定矩阵。
? 由矩阵理论：
? ①,n阶方阵的各阶（ 1,2,…,n阶）主子式都大
于零，此方阵为正定矩阵。如 [ A ]n× n。
0
0
0
21
22221
11211
2221
1211
11
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aa
aa
a
?
????
?
?
?
? ②,线性方程组：
? [ A ]{x}={B}
? 不论 {x}为何值，均有：
? {x}T[ A ]{x} ﹥ 0
? 则,[ A ]为正定矩阵。
? 经验证,[ K ]满足以上两条。是正定矩阵。
? （ 3）、按本节方法计算连续梁时,[ K ]是
可逆矩阵，即 [ K ]-1存在。
? 考虑结构边界条件所建立的总刚度矩阵
[ K ],是非奇异矩阵。
? （ 4）,[ K ]是稀疏矩阵和带状矩阵。
? ①、稀疏性：某结点位移单独发生
时，只有相关结点产生非零系数（结点
力），非相关结点，不产生刚度系数
（结点力）。
? 大型结构中，整体刚度矩阵里零元
素大大多于非零元素。
? ②、带状矩阵：整体刚度矩阵中非
零元素集中在以主对角线为中心的斜带
状区域内。（大量零元素远离主对角线）
? 称为“带状矩阵”。
? 结构计算时，若结点编号恰当（即，各相
关单元结点号尽量靠近），则 [ K ]呈带状。
7
1 23
45 6
§ 13-5、刚架的整体刚度矩阵
? 用单元集成法形成平面刚架的整体刚度矩
阵 [ K ],思路同连续梁，但情况较之连续梁复
杂。其复杂性包括如下几个方面：
? （ 1）、刚架中各杆方向不尽相同，要进行
坐标转换。
? （ 2）、在一般情况下，考虑杆件的轴向变
形，每个结点的结点位移分量增加为三个。忽
略轴向变形作为特殊情况处理。
? （ 3）、刚架中不仅有刚结点，还可能有铰
结点、组合结点、自由结点等。
1、结点位移分量的统一编码 —— 总码
? 本书采用先处理法。
? （ 1）一般情况：刚结点
有三个独立的结点位移未
知量。顺序依次编码：
? 水平线位移 —— 1方向
? 竖向线位移 —— 2方向
? 转角位移 —— 3方向
? （ 2）支座结点：对于已
知的结点位移分量，总码
均编为零码（先处理法）。
A
B
C
x
y
①
②
0
0
0
1
23
0
0
4
? 如图,{⊿ }=[⊿ 1 ⊿ 2 ⊿ 3 ⊿ 4 ]T
? =[ u A v A θ A θC ]T
? { F }=[ F1 F2 F3 F4 ]T
? (3),结点编号原则：
? 结点位移分量编码前，应先进
行结点编号，以便结点位移排序。
? 原则：各相关结点位移应尽量
接近，使总刚度矩阵各元素呈带
状分布。
? 相关结点：结点本身以及汇交
于该结点的各单元的另一端结点。
A
B
C x
y
①
②
0
0 0
1
23
0
04
? (4)、结点位移编码的方法 (计算机 )
? ①、直接法：根据各结点的可能位移情况，
直接写出各结点位移码。其中：
? 已知位移分量：一律编,0”码；
? 未知位移分量：依次编,1,2,3,…, n”
码。
? ②、间接法：先对结点编号，有结点编号
换算结点位移码。
? 对于结构的特殊结点（如铰结点、组合结
点、支座结点等）给出信息，进行换算。
（ 5）、铰结点（组合结点）的处理
? 由于计算中一律采用一
般单元进行分析，所以应
将铰结点视为半独立结点。
? 如左图中 C结点，可视
为两个半独立结点（ C1，
C2）。 线位移相同（同码，
不独立）；角位移不同
（异码，独立）。
? 铰结点联系几根受弯
杆，则可视为几个半独立
结点。
x
y
①
②
0
0
1
23
A
B
C1
C2
D
③
0
4
56
45
7
0
0 0
( 0,0,0 ) ( 0,0,0 )
( 4,5,7 )
( 4,5,6 )
( 1,2,3 )
A
B
C
x
y
①
②
0
0 0
1
23
0
0 4
( 0,0.0 )
( 0,0,4 )( 1,2,3 )
A
B
C①
②
0
0
0
1
2 3
0
0 4
1
2
3
(1)
(6)(5)
(4)
(3)
(2)
A(1)
(2) (3)
(4)
(5)
(6)
2、单元定位向量 { λ }e
结点位移与杆端位移之间的对应关系。
{ λ }1 = （ 1 2 3 0 0 4 ） T 整体
局部（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
B
②
0
0
0
1
2 3
A(1)
(2) (3)
(4)
(5)
(6)
结点位移与杆端位移之间的对应关系。
{ λ }1 = （ 1 2 3 0 0 4 ） T 整体
局部（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
A
B
C
x
y
①
②
0
0 0
1
23
0
0 4
( 0,0.0 )
( 0,0,4 )( 1,2,3 )
A C① 0
0 4
1
2
3
(1)
(6)(5)
(4)
(3)
(2)
{ λ }2 = （ 1 2 3 0 0 0 ） T 整体
局部（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
3,单元集成过程
??
s
e
e
jiji kK ????
m按单元顺序①、②,…, 集成。
整体刚度矩阵 [ K ]中元素：
s — ⊿ j 所在结点的相关单元总数。
任一结点位移相应的刚度系数 =汇交于该结
点的各相关单元刚度系数之和。
因此，以后集成 [ K ]时，阶段结果可不
写出，而直接对号入座，同号叠加形成 [ K ]。
注：
? （ 1）、采用单元集成法集成整体刚
度矩阵的过程为：
? 建立坐标（局部、整体）；单元编
号；结点编号，结点位移编码。
? ? ? ? ? ? ? ?ee ek k K??????? ????坐 标 转 换
?边定位边累加
? [ K ]e
? （ 2）、进行整体分析时，有“先处理”和
“后处理”两种方法。
? 先处理：形成整体刚度矩阵时，先根据结
构的边界支承条件进行处理，已知位移编码
,0”。形成的 [ K ]为正定非奇异矩阵。
? 后处理：集成整体刚度矩阵时，先不考虑
结构的边界支承条件，已知位移与未知结点位
移顺序编码。形成的整体刚度矩阵称为原始总
刚度矩阵 [ K ]0,为奇异矩阵。然后考虑支承条
件进行处理。
? （ 4）、以上推导整体刚度矩阵的方法为
单元集成法，也称“静力法”。也可用其他
方法推导整体刚度矩阵，如“能量法”等。
? 同学们可考虑，在计算连续梁，桁架，
组合结构时应如何处理？
（ 3）、矩阵位移法中，为运算的程序化
和通用化，在单元（杆件）分析时，一律
采用一般单元，即单刚采用 [ k ]e6× 6。 使杆
件分析整齐划一。
例：试求图示结构的整体刚度矩阵 [ K ]
? l=5m,A=b× h=0.5m2.
? I=1/24 m4.
? E=3× 107kN/m2.
? EA/l=300× 104,
? EI/l=25× 104.
? 解：
? （ 1）单元编号，结点位
移分量编码；建立坐标。
A
B
C
x
y
①
②
0
0 0
1
23
0
0 4
( 0,0.0 )
( 0,0,4 )( 1,2,3 )
? ? ? ?
12
4
30 0 0 0 30 0 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 10 0 0 30 50
10
30 0 0 0 30 0 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 10 0
kk
???
??
?
?? ?
? ? ?
?
??
? ? ?
??
???
（ 2）、局部坐标系中的单元刚度矩阵 [ k ]e6× 6 。
A
B
C
x
y
①
②
( 0,0.0 )
( 0,0,4 )( 1,2,3 )
（ 3）、写出整体坐标系中
的单元刚度矩阵 [ k ]e6× 6 。
单元 ①, α=0,[ k ]1= [ k ]1。
A
B
C
x
y
①
②
( 0,0.0 )
( 0,0,4 )( 1,2,3 )
14
30 0 0 0 30 0 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 10 0 0 30 50
[ ] 10
30 0 0 0 30 0 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 10 0
k
???
??
?
?? ?
??
?
??
? ? ?
??
???
局 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
总 1 2 3 0 0 4
1
2
3
0
0
4
①
x
y
1 CA
(6)(1) (2)(3)
(4)
(5)23
0
0 4
单元 ②, α = 90 o 。
A
B
C
x
y
①
②
( 0,0.0 )
( 0,0,4 )( 1,2,3 )
24
12 0 30 12 0 30
0 30 0 0 0 30 0 0
30 0 10 0 30 0 50
[ ] 10
12 0 30 12 0 30
0 30 0 0 0 30 0 0
30 0 50 30 0 10 0
k
? ? ???
??
?
???
??
?
??
?
??
???
局 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
总 1 2 3 0 0 0
1
2
3
0
0
0
?（ 4）、单元定位向量在（ 3）中已写出。
x
y 1
B
A
(6)
(1)
(2)(3)
(4)
(5)
23
0
04
②
??
??
??
??
??
??
14
30 0 0 0 30 0 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 10 0 0 30 50
[ ] 10
30 0 0 0 30 0 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 10 0
k
???
??
?
?
????
?
? ? ?
??
???
（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
1 2 3 0 0 4
1
2
3
0
0
4
（ 5）、对号入座，形成整体刚度矩阵
“对号入座
” [K]4× 4阶段结果
4
30 0 0 0 0
0 12 30 30
10
0 30 10 0 50
0 30 50 10 0
?
（ 1） （ 2） （ 3） （ 6）
1 2 3 4
1
2
3
4
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 6）
24
12 0 30 12 0 30
0 30 0 0 0 30 0 0
30 0 10 0 30 0 50
[ ] 10
12 0 30 12 0 30
0 30 0 0 0 30 0 0
30 0 50 30 0 10 0
k
? ? ???
??
?
?
????
?
?
??
???
（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
1 2 3 0 0 0
1
2
3
0
0
0
[ K ]4× 4=
1 2 3 4
1
2
3
4
4
30 0 0 0 0
0 12 30 30
10
0 30 10 0 50
0 30 50 10 0
??
??
?
??
??
4
3 0 0 1 2 0 0 0 ( 3 0 ) 0
0 0 1 2 3 0 0 3 0 0 3 0
10
0 ( 3 0 ) 3 0 0 1 0 0 1 0 0 5 0
0 3 0 5 0 1 0 0
? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ?
（ 1） （ 2） （ 3）
（ 1）
（ 2）
（ 3）
? 结构整体刚度矩阵：
? 312 0 -30 0
? [ K ]=104× 0 312 30 30
? -30 30 200 30
0 30 50 100 A
B
C
x
y
①
②
( 0,0.0 )
( 0,0,4 )( 1,2,3 )
例：, 试求图示结构的整体刚度矩阵 [ K ]
? l=5m,A=b× h=0.5m2.
? I=1/24 m4.
? E=3× 107kN/m2.
? EA/l=300× 104,
? EI/l=25× 104.
? 解：
? （ 1）单元编号，结
点位移分量编码；建
立坐标。
1
2 3 4
5(0,0,1)
(2,3,4)
(5,6,7)
(5,6,8)
(0,0,0)
①
② ③
x
y
（ 2）、单元刚度矩 [ k ]e6× 6
因为各杆 E,A,I,l相同，均有：
12EI/l3 =12× 104,6EI/l2=30× 104，
4EI/l =100× 104, 2EI/l =50× 104,
EA/l =300× 104 。
? ?
1 4
30 0 0 0 30 0 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 10 0 0 30 50
10
30 0 0 0 30 0 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 10 0
k
???
??
?
?? ?
??
?
??
? ? ?
??
???
局 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
总 2 3 4 5 6 7
2
3
4
5
6
7
1
2 3 4
5(0,0,1)
(2,3,4) (5,6,7)
(5,6,8)
(0,0,0)
①
② ③
x
y
①
x
y
2 32
(6)
(1)
(2)(3)
(4)
(5)34
5
6 7
1
2 3 4
5(0,0,1)
(2,3,4) (5,6,7)
(5,6,8)
(0,0,0)
①
② ③
x
y
2 3 4
12 0 30 12 0 30
0 30 0 0 0 30 0 0
30 0 10 0 30 0 50
[ ] [ ] 10
12 0 30 12 0 30
0 30 0 0 0 30 0 0
30 0 50 30 0 10 0
kk
? ? ???
??
?
???
? ? ?
?
??
?
??
???
局 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
② 2 3 4 0 0 1
2
3
4
0
0
1
③ 5 6 8 0 0 0
5
6
8
0
0
0
x
y 2
1
2
(6)
(1)
(2)(3)
(4)
(5)
34
0
64
②
x
y 5
5
4
(6)
(1)
(2)(3)
(4)
(5)
68
0
00
③
（ 3）、整体刚度矩阵 [ K ]
?
? 100 -30 0 50 0 0 0 0
? -30 300+12 0 -30 -300 0 0 0
? 0 0 12+300 30 0 -12 30 0
? [K] = 50 -30 30 100+100 0 -30 50 0 × 104
? 0 -300 0 0 300+12 0 0 -30
? 0 0 -12 -30 0 12+300 -30 0
? 0 0 30 50 0 -30 100 0
? 0 0 0 0 -30 0 0 100
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
§ 13-6、等效结点荷载
? 一、位移法基本方程
? （ 1）、设荷载单独作用（结点位移
设为零），在基本体系中引起结点约束
力，记为 {FP}。
? （ 2）,设结点位移 {⊿ }单独作用，
在基本体系中引起结点约束力，记为
? {F}=[ K ]{⊿ }
? 位移法基本方程,{F}+ {FP} ={0}
? 即,[ K ]{⊿ }+ {FP} ={0}
二、等效结点荷载的概念
? 结构上的荷载可以是结点荷载，也可
以是非结点荷载，或两种荷载的组合。
在矩阵位移法中，需将原结构上的荷载
均转换成为等效结点荷载 {P}。
? 等效原则：原荷载与等效荷载在基本
体系中产生相同的结点约束力。等效结
点荷载引起的结点位移与原荷载引起的
结点位移完全相等。
? 矩阵位移法中：
? {P}= - {FP} （ 10-48）
? 位移法基本方程：
? [ K ]n× n{⊿ }n× 1= {P} n× 1 （ 10-49）
? 即：
? 结点位移引起的结点力 =荷载
（或其他外因）引起的结点力。
三、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载
一般单元的固端约束力向量：
{FP}e=( FxP1 FyP1 MP1 FxP2 Fy P2 MP2 )T
（ 10-50）
可查表（ 10-1）。
1、单元等效结点
荷载 {P}e6× 1（ 由单元非
结点荷载引起，不包括
结点荷载）。 1 2eFxP1 F
yP1
MP1
FxP2
FyP3
MP2
q( x )
? 查表（ 10-1）时，应注意：
（ 1）注意局部坐标方向,q与 x,y方向一致时为正值。
（ 2）表（ 10-1）给出的均为一般单元的固端力，
为什么可以这样给？
将固端约束力矩阵 {FP}e反号，即得单元等效结
点荷载列阵 {P}e。
{P}e = - {FP}e （ 10-51）
2,单元等效结点荷载列阵（结构坐标下）
{P}e = [ T ]T{P}e （ 10-52）
? 3、整体结构的等效结点荷载矩阵 { P }n× 1
? 依次将每个单元 {P}e中的元素按单元定
位向量 {λ}e在 {P}n× 1中定位 (对号入座 ),并累加
成为 {P}n× 1 。
{P}n× 1
{λ}e
对号入座
{P}e
注：
? （ 1）、结构上有结点荷载：可直接
进入 {P}n× 1,按相应的结点编码写到
{P}n× 1中的相应位置上。
? 结点荷载不属于任何单元。
{P}8× 1 =
0
FP2
FP1
M1
0
FP3
0
M2
1
2 3 4
5(0,0,1)
(2,3,4)
(5,6,7)
(5,6,8)
(0,0,0)
①
② ③
x
y
FP1
FP2 M1 FP3
M2
1
2
3
4
5
6
7
8
? （ 2）、非结点荷载
? ①、斜杆
问：右图应如何计算？
1
2
FP sin α
1
2
FP cos α
1
2
FP
α
x
e
α
q
1
2
l
? ②、多种横向荷载 —— 分别查表，然后叠加。
? ③、表中未列，等效变换。
1 2e
q
l
a
1 2e
q
1 2e
q
例,求图示刚架在给定荷载作用下的等效结
点荷载矩阵 {P}
?解,
1、单元编码。建立
坐标；结点位移编码。
2、求局部坐标中
的固端力矩阵 {FP}e。
单元①：由表 10— 1
FxP1=0 FxP2=0
FyP1= - ql/2= -4.8× 5/2
= - 12 kN
FyP2= - 12 kN
1 2
3
4
1 2 3
2.5m
5m 5m
2.5m
x
y
5kN·m
8kN
10kN4.8kN/m
( 0,0,0 )
( 1,0,2 )
( 3,4,5 )
( 0,6,0 )
MP1 = - ql2 /12
= - 4.8× 5× 5/12
= - 10 kN·m
MP2 = + ql2 /12
= 10 kN·m
1
4.8kN/m
5m
FxP1
FyP1
MP1
FxP2
FyP2
MP2
{FP}1=
FxP1=0 FxP2=0
FyP1= - ql/2= -4.8× 5/2
= - 12 kN
FyP2= - 12 kN
0
- 12
- 10
0
- 12
10
单元③：由表 10-1
MP1 = ql /8
= 8× 5/8= 5 kN·m
MP2 = - ql /8
= -5 kN·m
FxP1=0 FxP2=0
FyP1= q/2= 8/2= 4 kN
FyP2= 4 kN
{FP}3=
0
38kN
FxP1
FyP1
MP1
FxP2
FyP2M
P2
0
4
4
- 5
5
3、求整体坐标中的等效结点荷载矩阵
{P}e,并写出单元定位矩阵 {λ}e
公式 {P}e = - {FP}e
{P}e = [ T ]T{P}e = - [ T ]T{FP}e
单元①：由图可见 α=0o
{P}1=
1
0
2
3
4
5
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
1 2
3
4
1 2 3
2.5m
5m 5m
2.5m
x
y
5kN·m
8kN
10kN4.8kN/m
( 0,0,0 )
( 1,0,2 )
( 3,4,5 )
( 0,6,0 )
1
4.8kN/m
5m
FxP1
FyP1
MP1
FxP2
FyP2
MP2
1
0
2
3
4
5
0
12
10
0
12
-10
{P}1 = - {FP}1=
（ 6）
单元③,α=900
{P}3 = - {FP}3
= - [ T ]T{FP}3=
0 1 0 0 0 0 0 4
1 0 0 0 0 0 4 0
0 0 1 0 0 0 5 5
0 0 0 0 1 0 0 4
0 0 0 1 0 0 4 0
0 0 0 0 0 1 5 5
?? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ? ??
?? ? ? ?
?
?? ? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
1 2
3
4
1 2 3
2.5m
5m 5m
2.5m
x
y
5kN·m
8kN
10kN4.8kN/m
( 0,0,0 )
( 1,0,2 )
( 3,4,5 )
( 0,6,0 ) 3
8kN
FxP1
FyP1
MP1
FxP2
FyP2M
P2
3
4
5
0
0
0
3
4
5
0
00
手算时，也可直接写：
{P}3 = - {FP}3
38kN
FxP1
FyP1
MP1
FxP2
FyP2M
P2
y
x
x
y
44
00
55
44
00
55
?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ?? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ?
3
4
5
0
0
0
4、求刚架的等效结点荷载矩阵 {P}6× 1
单
元
③
1 2
3
4
1 2 3
2.5m
5m 5m
2.5m
x
y
5kN·m
8kN
10kN4.8kN/m
( 0,0,0 )
( 1,0,2 )
( 3,4,5 )
( 0,6,0 )
结
点
荷
载
? ?
0 0 0
5 10 5
0 0 4 4
0 12 0 12
0 10 5 15
10 10
e
P
? ? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ??
??? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
单
元
①
1
2
3
4
5
6
§ 10-7 计算步骤及算例
? 一、用矩阵位移法计算平面刚架的步骤
? 1、整理原始数据。对单元和整体刚架
进行局部和总体编码（确定未知量矩阵
{⊿ }n× 1）。 建立坐标系。
? 2、形成局部坐标系下的单元刚度矩阵
[k]e,式（ 10-6）。
? 3、形成整体坐标系下的单元刚度矩阵
[k]e, [ k ]e =[ T ]T[ k ]e [ T ]e, 式（ 10-21）
并写出单元定位向量 {λ}e 。
? 4、用单元集成法形成整体刚度矩阵
[ K ]n× n。
? 5,求局部坐标中的单元等效结点荷
载矩阵 {P}e, 由
? {P}e = - {FP}e= - [ T ]T{FP}e
? 求整体坐标系的单元等效结点荷载矩阵
{P}e 。用单元集成法集成整体结构的等效
结点荷载矩阵 {P} n× 1。
? 6,解方程 [ K ]{⊿ }={P},求出 {⊿ }。
? ７、求各杆杆端内力｛ Ｆ }e。
二、解方程，求｛ ⊿ ｝ n× 1
? 手算,n≤4,用线性方程组的一般解法求结点
位移矩阵｛ ⊿ ｝ n× 1,如用逆矩阵法,{⊿ }= [ K ]
－ １ {P}。
? 电算,n＞ 4,可用直接法或迭代法，求解线
性代数方程组。
? 直接法 —— 高斯消去法；
? 对称分解法；
? 直接三角分解法；
? 变带一维存储的 LDLT分解法。等。
? 迭代法 —— 简化迭代法；
? 塞得尔迭代法。等。
? 杆端力（内力）：杆件坐标中的杆端
力用 {Ｆ }e表示。
? {Ｆ }e ＝ {Ｆ d}e ＋ {Ｆ P}e
?杆端位移引
起的杆端力
非结点荷载引起的
固端力
各杆的固端约束力
三、求单元杆端力矩阵 {Ｆ }e
41
2 3
FP1 FP2 M
1
41
2 3
FP1 FP2 M
1
1
2
3
(0,0,0)
(1,2,3)
(4,5,6)
(0,0,0)
? 已求出结点位移矩
阵 {⊿ }。
{⊿ }=[⊿ 1 ⊿ 2 ⊿ 3 ⊿ 4
⊿ 5 ⊿ 6 ]T
由此可求出各杆
端力矩阵 {F}e
{F}e=[ k ]e {⊿ }e+{FP }e
(10-53)
三、求单元杆端力矩阵 {Ｆ }e
FP1 FP2
41
2 3
FP1 FP2 M
1
1
2
3
(0,0,0)
(1,2,3)
(4,5,6)
(0,0,0)
2 22
Fx1
Fy1
M1
Fx2Fy2
M2
{F}e=[ k ]e {⊿ }e+{FP }e (10-53)
?本教材作法，先求出,?{F}e=[ k ]e {⊿ }e +{FP }e
?再由下式求出 {F}e {F}e= [ T ]e{F}e
2
①
0
00
1
2 3
1 (1)
(2) (3)
(4)
(5)(6)
y
x
41
2 3
FP1 FP2 M
1
1
2
3
(0,0,0)
(1,2,3)
(4,5,6)
(0,0,0)
⊿ 1
⊿ 2
{⊿ }1= ⊿ 3
0
0
0
⊿ 1
⊿ 2
{⊿ }2= ⊿ 3
⊿ 4
⊿ 5
⊿ 6
⊿ 4
⊿ 5
{⊿ }3= ⊿ 6
0
0
0
如图：
对于正交刚架（只
有水平和竖直杆件）竖
杆的杆端位移矩阵 {⊿ }e
很好找
? ⊿ 2
? - ⊿ 1
? {⊿ } 1= ⊿ 3
? 0
? 0
? 0
y
x
2
①
1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
x
y
41
2 3
FP1 FP2 M
1
1
2
3
(0,0,0)
(1,2,3)
(4,5,6)
(0,0,0)
（ -⊿ 1）
（ ⊿ 2 ）
（ ⊿ 3 ）
0
0
0
注：
? 用上述公式计算
出的杆端力，其正
负号与局部坐标轴
的正方向一致。其
中,F(1)e,F(2)e与传
统的轴力 FN1,剪力
FQ1的正负号相反。
因此，在作内力图
时，应修正。
1 2e
x
y
F(1)e F(2)e
F(3)e
F(4)eF
(5)e
F(6)e
算例,（书例 10-4） P.32
? 解：
? 1、原始数据整
理，建立坐标系；
单元编号；结点
编号；结点位移
编码。
? 柱,A1=0.5m
? I1=1/24 m4
? l1=6m
D
A B
C
A1 I1
A2 I2
12m
6m1kN
/m A
1 I1
D
A B
C
y
x
①
②
③
(1,2,3) (4,5,6)
(0,0,0) (0,0,0)
13
3
83,3 0 0 83,3 0 0
0 2,31 6,94 0 2,31 6,94
0 6,94 27,8 0 6,94 13,9
[ ] [ ] 10
83,3 0 0 83,3 0 0
0 2,31 6,94 0 2,31 6,94
0 6,94 13,9 0 6,94 27,8
kk
?
???
??
?
?
?? ??
?
? ? ?
??
???
梁,A2=0.63m, I2=1/12 m4, l2=12m。
2,形成 [ k ]e6× 6
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
8.2747.309.1347.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
9.1347.308.2747.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
10][
32
k
3、计算整体坐标下的单元刚度矩 [ k ]e6× 6
? 单元①、③ （ α=90o）
? 0 1 0 0 0 0
? -1 0 0 0 0 0
? [ T ] = 0 0 1 0 0 0
? 0 0 0 0 1 0
? 0 0 0 -1 0 0
? 0 0 0 0 0 1
? [k]1=[k]3=[ T ]T [ k ]1 [ T ]=
?
? 2.31 0 -6.94 -2.31 0 -6.94
? 0 83.3 0 0 -83.3 0
=10-3 -6.94 0 27.8 6.94 0 13.9
? -2.31 0 6.94 2.31 0 6.94
? 0 -83.3 0 0 83.3 0
? -6.94 0 13.9 6.94 0 27.8
1 2 3 0 0 0 ①
1
2
3
0
0
0
4 5 6 0 0 0 ③
4
5
6
0
0
0
? 单元 ②, （ α=0o） [k]2=[k]2
?
? 52.5 0 0 -52.5 0 0
? 0 0.58 3.47 0 -0.58 3.47
[k]2=10-3 0 3.47 27.8 0 -3.47 13.9
-52.5 0 0 52.5 0 0
0 -0.58 -3.47 0 0.58 -3.47
0 3.47 13.9 0 -3.47 27.8
1 2 3 4 5 6 ②
1
2
3
4
5
6
4、由单元集成法形成整体刚度矩阵 [ K ]
? 54.81 0 -6.94 -52.81 0 0
? 0 83.3 3.47 0 -0.58 3.47
? [ K ]= -6.94 3.47 55.6 0 -3.47 13.9 × 10-3
? -52.5 0 0 54.81 0 -6.94
? 0 -0.58 -3.74 0 83.88 -3.74
? 0 3.74 13.9 -6.94 -3.74 55.6
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
5、求结构的等效结点荷载列阵 {P}6× 6
? 本题只有单元①有非结点荷载：
0
3
{FP}1= 3
0
3
-3
{P}1= - [T]T{FP}1=
3
0
-3
3
0
3
1
2
3
0
0
0
1
2
3
00
0
1
FxP1
FyP1
MP1
FxP2
FyP2M
P2
6m1kN/m
? 3
? 0
? {P}= -3
? 0
? 0
? 0
1
2
3
4
5
6
6、解位移法方程，求 {⊿ }
[ K ]{⊿ }={ P } {⊿ }=[ K ]-1 { P }
结构的等效结点荷载列阵 {P}6× 6
? ⊿ 1 uA 847
? ⊿ 2 vA -5.13
? {⊿ } = ⊿ 3 = θA = 28.4
? ⊿ 4 uB 824
? ⊿ 5 vB 5.13
? ⊿ 6 θB 96.5
注：
水平位移 ⊿ 1≠⊿ 4 说明杆件有轴向变形，但数值
并不大。竖向位移 ⊿ 2=-5.13,⊿ 5=5.13比水平位移小
得多。
求得结点位移列阵 { Δ }：
7、求各杆端内力 {F}e6× 1
? 因我们已有了各杆局部坐标下的单
元刚度矩阵和单元固端力矩阵，可直接
计算 {F}e=[ k ]e {⊿ }e +{FP }e
其中：
{⊿ }1=
+ ⊿ 2
-⊿ 1
+⊿ 3 =
0
0
0
-5.13
-847
28.4
0
0
0
4
1 2 3
6m 3m
4m
10kN·m
5kN
7kN
1.2kN/m
3m
20kN 8kN
③
(1)
(2)(3) 0
02
(4)
(5)
（ 6）
0
00
③
1.2kN
/m
1.6kN?m
2.4kN
2.4kN
1.6kN?m
? ? ? ?
33
2.4 2.4
1.6 1.6
2.4 2.4
1.6 1.6
P
PF??
?? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?
0
2
0
0
{P}=
-10
0 +15 -1.6
8 +10
=
-10
13.4
18
4,解方程,求结点位移列阵 {⊿ }
? ⊿ 1 -0.204
? {⊿ }= ⊿ 2 = 0.241
? ⊿ 3 2.524
5、求各杆杆端力矩阵 {F}e
10 30 -10 30 0 1.110
{F}1= 30 120 -30 60 -0.204 = -10.02
-10 -30 10 -30 0 -1.110
30 60 -30 120 0.241 16.68
10 30 -10 30 0 -10 -28.00
{F}2= 30 120 -30 60 0.241 + -15 = -61.77
-10 -30 10 -30 2.523 -10 8.00
30 60 -30 120 0 15 -46.23
33.75 67.5 -33.75 67.5 0 2.4 18.67
{F}3= 67.5 180 -67.5 90 0.241 + 1.6 = 44.98
-33.75 -67.5 33.75 -67.5 0 2.4 -13.88
67.5 90 -67.5 180 0 -1.6 20.09
6、作结构内力图
§ 10-9 桁架及组合结构的整体分析
? 一、桁架
? 1、桁架的单元刚
度矩阵，刚度方程。
? 杆件坐标系：
1 1
2 2
()
ee
x
x
E A E A
Fu ll
a
E A E AFu
ll
??
?
??? ? ? ?? ? ? ?
? ??? ? ? ?
??? ? ? ?? ? ? ?
?
????
EA,l
e
1 21u 2u x
y
整体坐标系
EA,l
e
1
2
x
y
x
y
α
1exF
2exF
1exF
1eyF
2exF
2eyF
1
1
2
2
{}
e
x
ye
x
y
F
F
F
F
F
??
??
??
? ??
??
??
??
1
1
2
2
{}
e
e
u
v
u
v
??
??
??
?? ??
??
??
??
杆端力向量
杆端位移向量
1 1
1 1
2 2
2 2
1 0 1 0
0000
( 10 54 )
1 0 1 0
0000
ee
x
y
x
y
Fu
Fv EA
lFu
Fv
? ? ? ?
???
? ? ? ?
??
? ? ? ?
????
? ? ? ?
???
? ? ? ?
??
? ? ? ?
??
? ? ? ?
本教材采用矩阵扩阶法，即：将两阶矩阵
（局部坐标系下）扩展为四阶矩阵。
[ k ]e2× 2 [ k ]e4× 4
(10-54)与 (a )式等价。
桁架单元的坐标转换矩阵
? ?
c o s sin 0 0
sin c o s 0 0
( 10 55 )
0 0 c o s sin
0 0 sin c o s
T
??
??
??
??
??
??
?
??
??
???
? 2,结点位移编码
? 桁架单元的结点转角不是独立未知量。
? 理想桁架每个结点有两个独立的结点位移。
[ k ]e= [ T ]T [ k ]e [ T ]
(1,2)
l
l
1 2kN
3kN
2
3
①
② ③
(0,0)
(0,0)
二、计算全过程
例：
图示桁架，已知
EA=2.1× 104kN,
l=4m。
解：
1、原始数据整理
单元①，② EA / l= 2.1 / 4
③
/( 2 4 )EA ?
y
x
2、形成单元刚度矩阵 [ k ]e
12
1 0 1 0
0000
[ ] [ ]
1 0 1 0
0000
EA
kk
l
???
??
????
???
??
??
3
1 0 1 0
0000
[]
1 0 1 02
0000
EA
k
l
???
??
???
???
??
??
e
(1)
(2)
(3)
(4)
3、形成单元刚度矩阵 [ k ]e
(1)
(2)
(3)
(4)
①
(1)
(2)
(3)
(4)
②
1
1 0 1 0
0000
[]
1 0 1 0
0000
EA
k
l
???
??
???
???
??
??
总 0
0 2
10 0 1 2
0
0
1
2
2
0000
0 1 0 1
[]
0000
0 1 0 1
EA
k
l
??
??
?
???
??
??
??? 0
0
0
0
总0 0 0 0
0
0
0
0
③
(1)
(2)
(3)
(4)
0
0
1
2
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
222200
222200
002222
002222
2
2
s i n,
2
2
c os,
4
3
T
??
?
?
33
1 1 1 1
1 1 1 12
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 1 1 14
1 1 1 1
T EA
k T k T
l
????
??
??
??? ? ?
????
??
????
总0 0 1 2
2
0
0
1
4,集成结构整体刚度矩阵 [ K ]
? ?
22
1
44
22
44
EA
K
l
??
????
???
??
???
??
5、形成结点等效荷载列阵 { P }
l
l
1 2kN
3kN
2
3
2
{ }
3
P
??
? ??
??
6、解方程
1
2
0, 0 0 0 9 5 2 5
{}
0, 0 0 2 5 6 8 1 3, 4 8 5
l
EA
??? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ???
7,求单元杆端力矩阵 { F }e
{ } [ ] { }e e eFk??
1 1 1
1 0 1 0 0 5
0 0 0 0 0 0
{ } [ ] { }
1 0 1 0 5 5
0 0 0 0 1 3,4 8 5 0
E A l
Fk
l E A
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?? ? ? ?
???
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
3 3 3 3
{ } [ ] { } [ ] [ ] { }
1 1 0 0 1 1 1 1 0
1 1 0 0 1 1 1 1 022
0 0 1 1 1 1 1 1 524
0 0 1 1 1 1 1 1 13,4 85
4,24
0
4,24
0
F T F T k
E A l
l E A
? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?? ??
? ? ? ?
? ??
? ? ? ?? ? ?
??
? ? ? ?
????
? ? ? ? ? ?
??
??
??
? ??
?
??
??
??
{ F }2=[ k ]2 {⊿ }2 = [ 0 0 0 0 ]T
其中, {⊿ }2 = [ 0 0 0 0 ]T
桁架轴力图
- 4.24l
l
1 2kN
3kN
2
3
①
② ③
+5
0
二、组合结构
? 组合结构的计算特点：
? 计算中应区别梁式杆和桁架杆；
? 梁式杆采用一般单元；
? 桁架杆采用桁架单元。
例：
? 图示组合结构,
梁式杆只考虑弯
曲变形,
? EI=4× 105kN/m2,
? 桁架杆只考虑轴
向变形
? EA=EI/20
? =2× 104kN?m,
? 作内力图。
解：
利用对称性。
编码时应注意：因为桁架
杆的杆端转角不作为基本未知
量，故 B点可视为一个结点。
A B C
D
20m 20m 20m
15m q=10kN/m
EA=EI/20
EI
A B C
D
20m 10m
15m q=10kN/m
EA=EI/20
EI
?1、原始数据整理
?2、形成结构整体刚度矩阵 [ K ]。
A B C
D
20m 10m
15m q=10kN/m
EA=EI/20
EI
y
x
① ②
③
( 0,0,0) ( 0,1,2 ) ( 0,3,0)
( 0,0,0)
11
0,0 3 0,3 0,0 3 0,3
0,3 4,0 0,3 2,0
[ ] [ ]
0,0 3 0,3 0,0 3 0,320
0,3 2,0 0,3 4,0
EI
kk
???
??
?
??
??? ? ?
???
0 0 1 2
0
0
1
2
22
0,2 4 1,2 0,2 4 1,2
1,2 8,0 1,2 4,0
[ ] [ ]
0,2 4 1,2 0,2 4 1,220
1,2 4,0 1,2 8,0
EI
kk
???
??
?
??
??? ? ?
???
1 2 3 0
1
2
3
0
(1)
(2)
(3)
(4)②0
1 3
2
(5)
(6)
0
0
A B C
D
20m 10m
15m q=10kN/m
EA=EI/20
EI
y
x
① ②
③
( 0,0,0) ( 0,1,2 ) ( 0,3,0)
( 0,0,0)
③
(1)
(2)
(3)
(4)
0
0
1
0
l=25m
3
0,0 4 0 0,0 4 0
0000
[]
0,0 4 0 0,0 4 020
0000
EI
k
???
??
?
???
??
A B C
D
20m 10m
15m q=10kN/m
EA=EI/20
EI
y
x
① ②
③
( 0,0,0) ( 0,1,2 ) ( 0,3,0)
( 0,0,0)
单元③ cosα=0.8 sinα=0.6
33
0,0 2 5 6 0,0 1 9 2 0,0 2 5 6 0,0 1 9 2
0,0 1 9 2 0,0 1 4 4 0,0 1 9 2 0,0 1 4 4
[ ] [ ] [ ] [ ]
0,0 2 5 6 0,0 1 9 2 0,0 2 5 6 0,0 1 9 220
0,0 1 9 2 0,0 1 4 4 0,0 1 9 2 0,0 1 4 4
T EI
k T k T
????
??
?
??
??
??
???
0 0 0 1
0
0
0
1
集成结构整体刚度矩阵 [ K ]
集成结构整体刚度矩阵 [ K ]
1 2 3
1
2
3
0, 2 8 4 4 0, 9 0 0, 2 4
[ ] 0, 9 0 1 2, 0 1, 2
20
0, 2 4 0 1, 2 0, 2 4
EI
K
???
??
??
??????
（ 3）、集成等效荷载列阵 {P}
? 单元②,0
? -50
? {FP}2= {FP}2= -83.3
? 0
? -50
? 83.3
? 0
? 50
?{P}2= - {FP}2= 83.3
? 0
? 50
? -83.3
0
1
2
0
3
0
50
{P} = 83.8
50
（ 4）、解方程，求结点位移列阵 {⊿ }
? 4022.9
? {⊿ } = 20/EI 256.7
? 5514.7
? (5),求各杆杆端力列阵 {F}e
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
1.180
7.43
5.693
7.43
20
7.256
9.4022
0
0
43.023.0
3.003.03.003.0
23.043.0
3.003.03.003.0
20
111
EI
EI
kF
? ? ? ? ? ? ? ?
22 2 2
0,2 4 1,2 0,2 4 1,2 4 0 2 2,9 5 0 1 0 0
1,2 8 1,2 4 2 5 6,7 8 3,3 1 8 0,120
0,2 4 1,2 0,2 4 1,2 5 5 1 4,7 5 0 020
1,2 4 1,2 8 0 8 3,8 6 7 9,7
P
F k F
EI
EI
? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ?
??? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
0
5.96
0
5.96
20
9.4022
0
0
0
8.06.000
6.08.000
008.06.0
006.08.0
0000
004.0004.0
0000
004.0004.0
20
333
EI
EI
TkF
（ 6）,作内力图
使用结构力学求解器解题要求：
1、按教师要求每人独立完成指定习题。
2、由教师指定习题，确定后在教师处
登记造册。
3、习题要求：计算荷载作用下的内力，
作内力图。计算荷载作用下的位移。
无论是内力计算还是位移计算，均要
求计算两种变形情况，然后比较，给出
结论。
矩 阵 位 移 法
§ 10-1、概述
? 一、结构矩阵分析方法要点
? 结构矩阵分析方法是电子计算机计
算技术进入结构分析领域后，产生的一
种结构计算方法。
? 结构矩阵分析方法与传统的结构分
析方法原理上完全一致。但由于计算工
具不同，作法上有所差异。
? 传统人工手算,速度低，精度差。
? 忌繁重的计算工作量。
? 电子计算机计算,速度快，精度高。
? 忌无规律可循。
? 学习结构矩阵分析，先修课为：
? 1、结构力学 （理论基础）
? 2、线性代数矩阵运算 （建模工具）
? 3、电算语言 （机算方法）
? 矩阵分析方法的理论基础是传统结
构力学，说明结构矩阵方法与传统结构
力学同源。由于形成的年代和条件不同，
引来了方法上的差异。因此，学习中我
们应该注意，两种方法的共同点和结构
矩阵方法新的着眼点（矩阵符号的运用、
坐标的引入、未知量的判断与单元类型
的关系、刚度集成的概念等）。
? 矩阵运算用简洁的符号代替传统的
运算表达式，公式单一、紧凑、统一，
便于计算机计算程序的自动化运算。
? 结构矩阵分析方法又称为：杆件
有限单元法；计算结构力学。包括：
? 矩阵力法（柔度法），以力法为
基础。
? 矩阵位移法（刚度法），以位移
法为基础。
? 矩阵混合法，以混合法为基础。
矩阵位移法方法要点：
? （ 1）、离散化（单元分析）：先把
结构整体拆开，分成若干有限数目的单
元体，进行单元分析。找出单元杆端力
与杆端位移的关系，建立单元刚度方程。
? （ 2）、集合（整体分析）：利用静
力平衡条件和变形协调条件，将各离散
单元在结点上相互连接起来。使结点上
的受力变形情况与原结构完全相同，进
行整体分析。建立整体刚度方程。
计算过程示意：
? 由于位移法有其自身的优点,易于实现计
算过程的程序化,目前在工程界应用广泛。
故在此只介绍矩阵位移法。
? 矩阵位移法与传统位移法力学概念完全
一致。其中：
? 基本未知量：结构的独立结点位移。
? 基本体系：加上人为约束的动定结构。
? 基本方程：根据结点（或截面）平衡条
件和变形协调条件建立的刚度方程。
二、需讨论的问题：
? 1、单元分析，在矩阵位移法中取何
种单元，并找出各单元的杆端位移和杆
端力之间的关系。
? 2、整体分析，如何由单元分析直接
集成整体分析。
? 3、建立结构的刚度方程，求解并找
出各杆端内力。
§ 10-2、单元刚度矩阵（局部坐标系）
? 单元分析的主要任务：研究单元杆端
位移与杆端力之间的关系。
? 推导方法：根据变形与力之间的物理
关系，采用矩阵形式。
一、单元的划分
? 杆系结构中，任何相邻两个结点之间的杆段
都是一个杆件单元，一般采用等截面直杆单元。
? 结点：
? 构造结点,杆件折转点，交汇点，支承点，自由
端，截面突变处等。
? 非构造结点,集中荷载作用点；曲线杆件计算时，
可将一个曲杆视为由许多折杆组成，其人为设定折点
处。
LL
2、局部坐标系（单元坐标系、杆件坐标系）
? 根据单元分析（杆件）与整体（结构）分析
的不同需要，采用两种直角坐标系。
? 局部坐标系以杆轴为 x轴，,1”为始端，
,2,为终端。 1 2为正方向。
? 局部坐标系下所有量值的正负号规定：杆端
位移和杆端力分量与局部坐标方向一致为正。
x
y
EA,EI,l
e1
2
x
yEA
,E
I,le
1
2
x
y
1 2EA,EI
l
e
u1
v 1
θ1
u2
v 2
θ2Fx1
Fy1
M1
Fx2
Fy1
M2
用 {F}e代表单元 的杆端力列向量,e
? ?( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
1 1 1 2 2 2
{}
= ( )
eT
e
eT
x y x y
F F F F F F F
F F M F F M
?
用 {Δ}e代表单元 的杆端位移列向量,e
? ?
? ?
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
1 1 1 2 2 2
{}
eT
e
eT
u v u v??
? ? ? ? ? ? ? ?
?
( 10-1）
3、局部坐标中等截面直杆单元的单元刚度方程
? 推导过程如位移法，注意几点：
? ①、重新规定正负号；②、采用矩阵形式。
? 等截面直杆单元，在变形过程中，考虑弯曲变
形和轴向变形的影响。因此，在左右两端各有三
个独立的位移分量（两个线位移，一个角位移）。
杆件共有六个杆端位移分量，相应的有六个杆端
力分量。
单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端
力时所建立的方程 —— 记为,Δ → F,方程。
x
1
2e
u1
v 1
θ1
u2
v 2
θ2F
x1
Fy1
M1
Fx2
Fy1
M2
（１）、轴向位移与轴向力
EA e
1 2
l
u1e u2e
1’ 2’Fex1
F ex2
1 2
EA
l
1’
1
k e = EA/l11 k e = -EA/l21
1 2
EA
l 1
2’k e = EA/l22k e = - EA/l12
F e =x2 EAl +u e 1 u e 2
u e2F e =
x1
EA
l u
e 1
(10-2)
（ ）
（ ）
（ 2）、横向位移、转角位移与杆端力
12EI
l3
6EI
l2
v 1e
=1
-12EI
l3
6EI
l2
θ1e=1
4EI
l
2EI
l
6EI
l2
-6EI
l2
v 2e
=1
12EI
l3
-12EI
l3
-6EI
l2
-6EI
l2
4EI
l
2EI
l
-6EI
l2
6EI
l2
e
e
e
e
θ e 1F e =
y 1
12EI
l3 v
e +1 6EI
l2
θ e 212EI
l3 v
e +2 6EI
l2
θ e 1M e =
1
6EI
l2 v
e +1 4EI
l
θ e 26EI
l2 v
e +2 2EI
l
θ e +1F e =
y 2
12EI
l3 v
e 1 6EI
l2
θ e 212EI
l3 v
e2 6EI
l2
θ e 1M e =
2
6EI
l2 v
e +1 2EI
l
θ e 26EI
l2 v
e +2 4EI
l
( 10-3 )
由此可得：
u e2F e =
x1
EA
l u
e
1（ ）
F e =x2 EAl +u e 1 u e 2（ ）
θ e 1F e =
y 1
12EI
l3 v
e +
1
6EI
l2
θ e 212EI
l3 v
e +
2
6EI
l2
θ e 1M e =
1
6EI
l2 v
e +
1
4EI
l
θ e 26EI
l2 v
e +
2
2EI
l
θ e +1F e =
y 2
12EI
l3 v
e
1
6EI
l2
θ e 212EI
l3 v
e
2
6EI
l2
θ e 1M e =
2
6EI
l2 v
e +
1
2EI
l
θ e 26EI
l2 v
e +
2
4EI
l
1 1
3 2 3 2
1 1
22
1
1
2 2
2
2 3 2 3 2
22
0 0 0 0
12 6 12 6
00
6 4 6 2
00
0 0 0 0
12 6 12 6
00
6 2 6 4
00
e
e
x
y
x
y
E A E A
ll
E I E I E I E I
uF
l l l l
vF
E I E I E I E I
M
l l l l
E A E A
uF
ll
vF
E I E I E I E I
M
l l l l
E I E I E I E I
l l l l
?
??
?
??
??
??
?
??
??
??
?? ?
?? ??
?
??
??
???
??
??
??
?? ? ? ?
??
??
?
??
??
2
2
e
?
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
（ 10-4 ）
令：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
k
e
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
][
22
2323
22
2323
式（ 12-4）可简写为,
{ F }e = [ k ]e { Δ}e ( 10-5)
3 2 3 2
22
3 2 3 2
22
0 0 0 0
12 6 12 6
00
6 4 6 2
00
[ ]
0 0 0 0
12 6 12 6
00
6 2 6 4
00
e
E A E A
ll
E I E I E I E I
l l l l
E I E I E I E I
l l l l
k
E A E A
ll
E I E I E I E I
l l l l
E I E I E I E I
l l l l
??
?
??
??
?
??
?
??
?
???
??
? ? ?
??
?
??
??
（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
1 1 1 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )u v u v??? ? ? ? ? ?
2、单元刚度矩阵的性质
? （ 1）、杆端位移一律用绝对位移。即：除
杆端相对位移外，还包含有刚体位移。（请比
较位移法）
? （ 2）、单元刚度矩阵中，各单元刚度 系数
的物理意义：
ke(i)(j)—第 j个杆端位移分量 Δ e(j)=1时，（其它位
移分量为零）所引起的第 i个杆端力分量 Fe(j)的值。
? j列的六个元素分别表示当某个杆端位移分量等
于 1时，所引起的六个杆端力分量。
? （ 3）,[ k ]e是对称矩阵。
? 由反力互等定理可知,单元刚度矩阵
是对称矩阵。
? （ 4）,[ k ]e6× 6中 所有元素 是（ E,A、
I,l） 的函数，正负号根据单元坐标系的
方向而定。
? （ 5）、一般 (自由 )单元的单刚 [ k ]e6× 6是
奇异矩阵。即,[ k ]e6× 6 =0
? [ k ]e6× 6不存在逆矩阵。
? 注意,根据单元刚度矩阵，可由
{ Δ }e求出 {F}e,且解是唯一的。但不可
由 {F}e求 {Δ}e,其结果可能无解或非唯一
解。这是正反两个问题，不可混淆。
? 解释,一般单元的单元刚度矩阵之
所以为奇异矩阵，是因为计算的单元是
两端无任何支承的自由单元。单元本身
除弹性变形外，还有任意的刚体位移。
{F}e完全一样，但 {Δ}e可以不同。对应于
一个平衡力系，可以有多种杆端位移情
况。
（ 6）、单元刚度矩阵可以分块
? 以平面刚架单元为例，单元 ij 两端点
i,j 的位移分量和力的分量可表示为：
{ Δ1}e=
φ e 1
u e 1
v e 1 { Δ2}e=
φ e 2
u e 2
v e 2
{ F1}e=
M e 1
F e x1
F e y1 { F2}e=
M e 2
F e x2
F e y2
则（ 12-10）式可写为：
F e 1
F e 2
=
k e 11 k e 12
k e 21 k e 22
δe 1
δe 2
式中 称为单元刚度矩阵的子
块，或简称为子矩阵。
[ k ] e ij
5、特殊单元 （包括某些支承的单元）
? 一般来说，特殊单元的单元刚度矩阵
无需另行推导，只需对一般单元的单元
刚度（矩阵）方程，做一些特殊处理，
便可自动得到。
? （ 1）、梁单元：只考虑杆件的弯曲变
形，忽略其轴向变形。
? v1,θ1,v2, θ2为任意指定值；
? u1= u2= 0。 （注,u1= u2= 0 在此是
指 1,2两点无相对轴向变形）
3 2 3 2
22
3 2 3 2
22
1 1
1 1
2 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
e
ee
y
y
E I E I E I E I
l l l l
E I E I E I E I
l l l l
E I E I E I E I
l l l l
E I E I E I E I
l l l l
Fv
M
Fv
M
?
?
?
? ? ?
?
??
??
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
?? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
??
??
梁单元的刚度方程
(2)、拉压杆（桁架）单元
1 1
2 2
e
ee
x
x
E A E A
Fu ll
E A E AFu
ll
??
?
??? ? ? ?? ? ? ?
????? ? ? ?
??? ? ? ?? ? ? ?
?
????
（ 3）、连梁单元
杆端竖向位移已知为零，忽略轴向变形。
为任意指定值，
1 1
2 2
42
( 1 0 9 )
24
e
ee
E I E I
M ll
E I E IM
ll
?
?
??
??? ? ? ?
? ? ? ?
????? ? ? ?
??? ? ? ?? ? ? ?
????
θ1,θ2 u1= u2= 0，
v1 = v2 = 0 。
注：
②、还有多种特殊单元的单元刚度矩阵。
在此不一一列举。
用矩阵位移法分析结构时，着重应注意
计算过程的程序化，标准化。因此，一般
情况下，单元计算分析只采用一种标准化
形式 —— 一般单元的单元刚度矩阵 [ k ]e6× 6 。
①、某些特殊单元的单元刚度矩阵是可
逆的，如连梁单元的单元刚度矩阵 [ k ]e2× 2。
是否存在，关键取决于力学模型。
§ 10-3 单元刚度矩阵 (整体坐标系 )
? 在实际结构中，杆件的杆轴方向不尽相
同。用局部坐标表示的单元刚度矩阵，整体
分析时不方便。
? 为进行整体分析，必须建立一个统一的
公用坐标系，称为整体坐标系。也称结构坐
标系、公共坐标系。用 x— y表示，从 x到 y顺
时针为正，坐标原点任取。
? 注意：这里 α—— 由 x轴到 轴 的夹角，
顺时针为正。
x
? 为了进行整体分
析，需将局部坐标系
下的单元刚度矩阵转
换为整体坐标系下的
单元刚度矩阵
[ k ]e6× 6 。
? 求 [ k ]e6× 6 的方法：
? ①、直接按定义
求。
? ②、通过坐标转
换，由 [ k ]e6× 6找出
[ k ]e6× 6 。
①
② ③
④
x ②x ① x ③
x ④
O
y
x
y
xO 1
2e
x
y
e
xF 1
e
yF 1
α
eM
1
e
xF 2
e
yF 2
eM
2
y
x
O
1
2
e
x
y
exF1
e
yF1
α
eM1
exF2
e
yF2 eM
2
e
e
e
y
e
x
e
y
e
y
e
x
e
x
e
e
e
y
e
x
e
y
e
y
e
x
e
x
MM
FFF
FFF
MM
FFF
FFF
2
2
22
2
22
2
1
1
11
1
11
1
c oss in
s inc os
c oss in
s inc os
?
???
??
?
???
??
??
??
??
??
(1)、单元坐标转换矩阵
(10-11)
e
y
x
y
x
e
e
y
x
y
x
M
F
F
M
F
F
M
F
F
M
F
F
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
100000
0c oss i n000
0s i nc os000
000100
0000c oss i n
0000s i nc os
??
??
??
??
写成矩阵形式：
(10-12)
或简写成：
? ? ? ? ? ? ee FTF ? (10-13)
式中 [ T ]称为单元坐标转换矩阵
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100000
0c oss i n000
0s i nc os000
000100
0000c oss i n
0000s i nc os
??
??
??
??
T
(10-14)
? 可以证明,
? [ T ]是正交矩阵，有：
? [ T ]-1= [ T ]T (10-15)
或 [ T ] [ T ]T = [ T ] T[ T ] = [ I ] (10-16)
? 正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵 。
式（ 10-13）的逆转换式为：
{F}e= [ T ]T { F}e （ 10-17）
同理可得出单元杆端位移在两种坐标系中
的转换关系。
{Δ }e = [ T ] { Δ }
{Δ }e = [ T ]T { Δ }
{ Δ }e—— 整体坐标系中单元杆端位移列阵。
{ Δ }e—— 局部坐标系中单元杆端位移列阵。
（ 2）、整体坐标系中的单元刚度矩阵
? {F}e=[ k ]e {Δ}e （ 10-20）
将 {F}e= [ T ]e {F}e,{Δ}e= [ T ]e {Δ}e
已知,{F}e=[ k ]e {Δ}e
代入，得,[ T ]e {F}e=[ k ]e [ T ]e {Δ}e
?上式前乘 [ T ]T
? [ T ]T [ T ]e {F}e=[ T ]T[ k ]e [ T ]e {Δ}e
? {F}e=[ T ]T[ k ]e [ T ]e {δ}e
?因此,[ k ]e =[ T ]T[ k ]e [ T ]e (10-21)
单元刚度矩阵 [ k ]e的性质：
? （ 1）、理解单元刚度矩阵中各元素 keij
的物理意义。
? （ 2）,[ k ]e是对称矩阵。 keij = keji
? （ 3）,keij是 E,A,I,L,α的函数,α
本身有正负。
? （ 4）、一般单元的单元刚度矩阵 [ k ]e
是奇异矩阵。
例,? 求图示刚架中各单元在整体坐标系中的单元
刚度矩阵，设各杆截面尺寸相同。
? E=3× 107kN/m2,A=b× h=0.5× 1.0=0.5m2,
I=b× h3/12=0.5× 1.03/12=1/24 m4 。
①
②
③ x
y
? （ 1）、局部坐标系中的单元刚度矩阵：
? 单元①：
? l=4m,EA/l=3750× 103kN/m,
? EI/l=312.5× 103kN·m,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
??
12508.46806258.4680
8.4684.23408.4684.2340
003750003750
6258.468012508.4680
8.4684.23408.4684.2340
003750003750
10][
31
k
? 单元②：
? l=3m,EA/l=5000× 103kN/m,
? EI/l=416.7× 103kN·m,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
??
7.16663.83303.8333.8330
3.8336.55503.8336.5550
005000005000
3.8333.83307.16663.8330
3.8336.55503.8336.5550
005000005000
10][
32
k
? 单元③：
? l=5m,EA/l=3000× 103kN/m,
? EI/l=250× 103kN·m,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
??
100030005003000
30012003001200
003000003000
500300010003000
30012003001200
003000003000
10][
33
k
(2),整体坐标系中的单元刚度矩阵：
? 单元①,α=0 o,[ T ] =[ I ],[ k ] =[ k ] 。
? 单元②, α=90o,
? [ k ] = [ T ]T [ k ] [ T ]
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100000
001000
010000
000100
000001
000010
][
2
T
1 1 1
2 2 2
①
②
③ x
y
?α=90o的单元的单元刚度矩阵：
3 2 3 2
22
3 2 3 2
22
12 6 12 6
00
0 0 0 0
6 4 6 2
00
[]
12 6 12 6
00
0 0 0 0
6 2 6 4
00
e
E I E I E I E I
l l l l
E A E A
ll
E I E I E I E I
l l l l
k
E I E I E I E I
l l l l
E A E A
ll
E I E I E I E I
l l l l
??
? ? ?
??
??
?
??
?
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???
??
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
7.166603.8333.83303.833
050000050000
3.83306.5553.83306.555
3.83303.8337.166603.833
050000050000
3.83306.5553.83306.555
10
][][][][
3
22
TkTk
T
? 单元③,α 为负，其中：
? sin α = -3/5= -0.6
? cos α= 4/5 = 0.8
3
0.8 0.6 0 0 0 0
0.6 0.8 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
[]
0 0 0 0.8 0.6 0
0 0 0 0.6 0.8 0
0 0 0 0 0 1
T
???
??
??
?
?
??
??
??
①
②
③ x
y
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
??
??
??
?
1000240180500240180
2408.11564.13822408.11564.1382
1804.13822.19631804.13822.1963
5002401801000240180
2408.11564.13822408.11564.1382
1804.13822.19631804.13822.1963
10
][][][][
3
33
TkTk
T
§ 12-4 连续梁的整体刚度矩阵
矩阵位移法是在单元分析的基础上,利
用平衡条件和变形协调条件建立结构刚度
方程。同时，也就得出了结构的刚度矩阵。
下面以连续梁为例，研究结构整体刚
度矩阵的形成规律。以找出直接形成结
构刚度矩阵的方法。
? 建立整体刚度矩阵（方程）的作法一
般有两种：
? 一、传统位移法；
? 二、单元集成法。（也称刚度集成
法，直接刚度法）
整体刚度矩阵（方程）
[ K ]{ Δ}={ F }
一、传统作法
? 分别考虑每个结点位移单独发生，在各人
为约束上产生的结点力，叠加后得到各单元刚
度方程（矩阵）。
? 以下图为例，
? 结点位移,{⊿ }=[⊿ 1 ⊿ 2 ⊿ 3 ]T
? 结点力,{ F }=[ F1 F2 F3 ]T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
22
2211
11
3
2
1
420
2442
024
ii
iiii
ii
F
F
F
1 2i1 i2
Δ1
1F 2F 3F
21
i1 i2 Δ3Δ2
Δ1
114i? 112i?
021
i1 i2
Δ2122i? 1 2 2 244ii? ? ? 222i ?21
i1 i2
Δ3
0 232i ? 234i ?21
i1 i2
? 得整体刚度方程：
? { F }=[ K ]{⊿ }
? 其中：
? [ K ]—— 整体刚度矩阵。
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
22
2211
11
420
2442
024
ii
iiii
ii
K
二、单元集成法的力学模型及概念
? 单元集成法：分别考虑每个单元对 {F}
的单独贡献，然后叠加。
? 以下图为例，力学模型：
? （ 1）、首先考虑单元①的贡献。略去
其它单元的贡献，令 i2=0,此时单元②的刚
度为零。即：单元②虽有变形，但不产生
结点力。整个结构的结点力均由单元①单
独贡献。
? {F}1=[ F11 F21 F31 ]T表示单元对结构结
点力 {F}的贡献。 （注意此时三个转角同时发生）
? ? ?
?
?
??
??
11
111
42
24
ii
ii
k 故得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
2
1
11
11
1
2
1
1
42
24
ii
ii
F
F
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
11
11
1
3
1
2
1
1
000
042
024
ii
ii
F
F
F
:可写成
11F 1
2F
13 0F ?
Δ1
21
i1 i2=0 Δ3Δ2
由于 i2=0,所以 F31=0。
F11,F21可由单元①
的单刚 [ k ]1算出。
单元①的贡献
{F}1=[ K ]1{⊿ }
其中：
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000
042
024
11
11
1
ii
ii
K
[ K ]1—— 单元①对整体刚度矩阵的贡献。
称为单元①的贡献矩阵。
考虑单元②的贡献。略去其它单元的贡献，令
i1=0,此时单元①的刚度为零。 F12=0。 F22,F32可
由单元②的单刚 [ k ]2算出 。
? ? ?
?
?
?
?
??
22
222
42
24
ii
ii
k 故,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
22
22
2
3
2
2
42
24
ii
ii
F
F
Δ1
11 0F ?
12F 1
3F21
i2i1=0 Δ3Δ2
记为, {F} 2=[ K ]2{⊿ }
其中,
[ K ]2—— 单元②对整体刚度矩阵的贡献。
称为单元②的贡献矩阵 [ K ]1 和 [ K ]2为同阶矩阵。
[ K ]e由 [k]e的元素及零元素组成。
将上两式叠加：
? {F}={F}1+ {F}2=（ [ K ]1+ [ K ]2） {⊿ }
? 可见：
? [ K ]= [ K ]1+ [ K ]2 =∑ [ K ]e （ 13-34）
? 结构整体刚度矩阵（总刚）为各单元
贡献矩阵之和。单元集成法步骤：
? [k]e 分别 [ K ]e 叠加 [ K ]
? 用上述方法，第一步由 [k]e求 [ K ]e，
第二步由 [ K ]e叠加求 [ K ]。
三、按照单元定位向量由 [k]e直接求 [ K ]
? （ 1）、结点位移（或结点力）的两种
编码。
? 总码：整体分析中，结点位移分量在
结构中的统一编码。
? 局部码：单元分析中，每个单元两个
结点位移的各自编码。
21
i1 i2
31 2
1
i1
2
i2
（ 2）（ 1） （ 2）（ 1）
（ 2）、单元位移分量两种编码之间的关系。
单元定位向量 { λ }e— 单元换码向量。
单元①,（ 1）
总码 局部码
（ 2）
（ 1） → 1
（ 2） → 2 {λ}
1 = 12
（ 1）
（ 2）
（ 1） → 2
（ 2） → 3 {λ}
2 = 23单元②：
（ 3）单元 [ k ]e在 [ K ]e中的排列方式
? 单元刚度矩阵 [ k ]e中，元素按局部码排列。
? 单元贡献矩阵 [ K ]e中，元素按总码“对号入
座”。
? ke(i)(j)在整体刚度矩阵中的位置
? ke(i)(j) 在单元刚度矩阵中 在单元贡献矩阵中
? 换码 元素的原行码（ i） 换成新行码 λi
? 原列码（ j） 新列码 λj
? 重新排 原排在（ i） 行 改排在 λi行 λj列
? （ j） 列的元素 ke(i)(j) →
eK
λiλj
四、单元集成法的实施方案
? （ 1）,[ K ]置零：
[ K ]3× 3=
1 2 3
1
2
3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
21
i1 i2
31 2
（ 2）,[ k ]1在 [ K ]中按 {λ}1定位，并进
行累加。这时 [ K ]=[ K ]1。
4i1 2i1
2i1 4i1[ k ]
1 =
整体
局部 （ 1） （ 2）
（ 1）
（ 2）
1 2
1
2
?阶段结果
4i1 2i1 0
2i1 4i1 0
0 0 0
（ 3）,[ k ]2在 [ K ]中按 {λ}2定位，并进行累加。这
时 [ K ]=[ K ]1+ [ K ]2 。
4i2 2i2
2i2 4i2[ k ]
2 =
整体
局部 （ 1） （ 2）
（ 1）
（ 2）
2 3
2
3
?最终结果 4i1 2i1
2i1 4i1+
0
0
4i2 2i2
2i2 4i2
1 2 3
1
2
3
故,[ K ]=∑ [ K ]e 对号入座，同号叠加 。
例：求图示连续梁的总刚度矩阵 [ K ]
1
2 3
0
① ② ③
i1 i2 i3
1
2 3
0
① ② ③
i1 i2 i3
Δ1 Δ2 Δ3 Δ0
? 解,1、结点位移分量总码，分别编为 1,2,3。
? 注：固定端的结点位移为零，凡是已知的结
点位移分量，其总码编为零。
? 为了使所有单元均为连梁单元,1点的转角
位移作为基本未知量。
2、写出各单元的单元定位向量。
{ λ }1= 12
1
2 3
0
① ② ③
i1 i2 i3
Δ1 Δ2 Δ3 Δ0
{ λ }2= 23 { λ }3= 30
3,单元集成过程。 [ k ]e → [ K ]
4i1 2i1
2i1 4i1[ k ]
1 =
整体
局部 （ 1） （ 2）
（ 1）
（ 2）
1 2
1
2
4i1 2i1
2i1 4i1[ k ]
1 =
1 2
1
2
4i2 2i2
2i2 4i2[ k ]
2 =
2 3
2
3
4i3 2i3
2i3 4i3[ k ]
3 =
3 0
3
0
[ K ] =
1 2 3
1
2
3
4i1 2i1
2i1 4i1
2i2 4i2
+4i2 2i2
+ 4i30
0
1
2 3
0
① ② ③
i1 i2 i3
Δ1 Δ2 Δ3 Δ0
5、整体（总）刚度矩阵的性质
? （ 1）、整体刚度矩阵中刚度系数的意义；
? Kij— 第 j个结点位移分量 ⊿ j=1（ 其它
结点位移分量为零）时，所产生的第 i个
结点力 Fi。
? (2),[ K ]是对称正定矩阵。
? 对称性：由反力互等定理
? Kij = Kji
? 正定性：考虑结构边界条件的结构总刚度
矩阵是正定矩阵。
? 由矩阵理论：
? ①,n阶方阵的各阶（ 1,2,…,n阶）主子式都大
于零，此方阵为正定矩阵。如 [ A ]n× n。
0
0
0
21
22221
11211
2221
1211
11
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aa
aa
a
?
????
?
?
?
? ②,线性方程组：
? [ A ]{x}={B}
? 不论 {x}为何值，均有：
? {x}T[ A ]{x} ﹥ 0
? 则,[ A ]为正定矩阵。
? 经验证,[ K ]满足以上两条。是正定矩阵。
? （ 3）、按本节方法计算连续梁时,[ K ]是
可逆矩阵，即 [ K ]-1存在。
? 考虑结构边界条件所建立的总刚度矩阵
[ K ],是非奇异矩阵。
? （ 4）,[ K ]是稀疏矩阵和带状矩阵。
? ①、稀疏性：某结点位移单独发生
时，只有相关结点产生非零系数（结点
力），非相关结点，不产生刚度系数
（结点力）。
? 大型结构中，整体刚度矩阵里零元
素大大多于非零元素。
? ②、带状矩阵：整体刚度矩阵中非
零元素集中在以主对角线为中心的斜带
状区域内。（大量零元素远离主对角线）
? 称为“带状矩阵”。
? 结构计算时，若结点编号恰当（即，各相
关单元结点号尽量靠近），则 [ K ]呈带状。
7
1 23
45 6
§ 13-5、刚架的整体刚度矩阵
? 用单元集成法形成平面刚架的整体刚度矩
阵 [ K ],思路同连续梁，但情况较之连续梁复
杂。其复杂性包括如下几个方面：
? （ 1）、刚架中各杆方向不尽相同，要进行
坐标转换。
? （ 2）、在一般情况下，考虑杆件的轴向变
形，每个结点的结点位移分量增加为三个。忽
略轴向变形作为特殊情况处理。
? （ 3）、刚架中不仅有刚结点，还可能有铰
结点、组合结点、自由结点等。
1、结点位移分量的统一编码 —— 总码
? 本书采用先处理法。
? （ 1）一般情况：刚结点
有三个独立的结点位移未
知量。顺序依次编码：
? 水平线位移 —— 1方向
? 竖向线位移 —— 2方向
? 转角位移 —— 3方向
? （ 2）支座结点：对于已
知的结点位移分量，总码
均编为零码（先处理法）。
A
B
C
x
y
①
②
0
0
0
1
23
0
0
4
? 如图,{⊿ }=[⊿ 1 ⊿ 2 ⊿ 3 ⊿ 4 ]T
? =[ u A v A θ A θC ]T
? { F }=[ F1 F2 F3 F4 ]T
? (3),结点编号原则：
? 结点位移分量编码前，应先进
行结点编号，以便结点位移排序。
? 原则：各相关结点位移应尽量
接近，使总刚度矩阵各元素呈带
状分布。
? 相关结点：结点本身以及汇交
于该结点的各单元的另一端结点。
A
B
C x
y
①
②
0
0 0
1
23
0
04
? (4)、结点位移编码的方法 (计算机 )
? ①、直接法：根据各结点的可能位移情况，
直接写出各结点位移码。其中：
? 已知位移分量：一律编,0”码；
? 未知位移分量：依次编,1,2,3,…, n”
码。
? ②、间接法：先对结点编号，有结点编号
换算结点位移码。
? 对于结构的特殊结点（如铰结点、组合结
点、支座结点等）给出信息，进行换算。
（ 5）、铰结点（组合结点）的处理
? 由于计算中一律采用一
般单元进行分析，所以应
将铰结点视为半独立结点。
? 如左图中 C结点，可视
为两个半独立结点（ C1，
C2）。 线位移相同（同码，
不独立）；角位移不同
（异码，独立）。
? 铰结点联系几根受弯
杆，则可视为几个半独立
结点。
x
y
①
②
0
0
1
23
A
B
C1
C2
D
③
0
4
56
45
7
0
0 0
( 0,0,0 ) ( 0,0,0 )
( 4,5,7 )
( 4,5,6 )
( 1,2,3 )
A
B
C
x
y
①
②
0
0 0
1
23
0
0 4
( 0,0.0 )
( 0,0,4 )( 1,2,3 )
A
B
C①
②
0
0
0
1
2 3
0
0 4
1
2
3
(1)
(6)(5)
(4)
(3)
(2)
A(1)
(2) (3)
(4)
(5)
(6)
2、单元定位向量 { λ }e
结点位移与杆端位移之间的对应关系。
{ λ }1 = （ 1 2 3 0 0 4 ） T 整体
局部（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
B
②
0
0
0
1
2 3
A(1)
(2) (3)
(4)
(5)
(6)
结点位移与杆端位移之间的对应关系。
{ λ }1 = （ 1 2 3 0 0 4 ） T 整体
局部（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
A
B
C
x
y
①
②
0
0 0
1
23
0
0 4
( 0,0.0 )
( 0,0,4 )( 1,2,3 )
A C① 0
0 4
1
2
3
(1)
(6)(5)
(4)
(3)
(2)
{ λ }2 = （ 1 2 3 0 0 0 ） T 整体
局部（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
3,单元集成过程
??
s
e
e
jiji kK ????
m按单元顺序①、②,…, 集成。
整体刚度矩阵 [ K ]中元素：
s — ⊿ j 所在结点的相关单元总数。
任一结点位移相应的刚度系数 =汇交于该结
点的各相关单元刚度系数之和。
因此，以后集成 [ K ]时，阶段结果可不
写出，而直接对号入座，同号叠加形成 [ K ]。
注：
? （ 1）、采用单元集成法集成整体刚
度矩阵的过程为：
? 建立坐标（局部、整体）；单元编
号；结点编号，结点位移编码。
? ? ? ? ? ? ? ?ee ek k K??????? ????坐 标 转 换
?边定位边累加
? [ K ]e
? （ 2）、进行整体分析时，有“先处理”和
“后处理”两种方法。
? 先处理：形成整体刚度矩阵时，先根据结
构的边界支承条件进行处理，已知位移编码
,0”。形成的 [ K ]为正定非奇异矩阵。
? 后处理：集成整体刚度矩阵时，先不考虑
结构的边界支承条件，已知位移与未知结点位
移顺序编码。形成的整体刚度矩阵称为原始总
刚度矩阵 [ K ]0,为奇异矩阵。然后考虑支承条
件进行处理。
? （ 4）、以上推导整体刚度矩阵的方法为
单元集成法，也称“静力法”。也可用其他
方法推导整体刚度矩阵，如“能量法”等。
? 同学们可考虑，在计算连续梁，桁架，
组合结构时应如何处理？
（ 3）、矩阵位移法中，为运算的程序化
和通用化，在单元（杆件）分析时，一律
采用一般单元，即单刚采用 [ k ]e6× 6。 使杆
件分析整齐划一。
例：试求图示结构的整体刚度矩阵 [ K ]
? l=5m,A=b× h=0.5m2.
? I=1/24 m4.
? E=3× 107kN/m2.
? EA/l=300× 104,
? EI/l=25× 104.
? 解：
? （ 1）单元编号，结点位
移分量编码；建立坐标。
A
B
C
x
y
①
②
0
0 0
1
23
0
0 4
( 0,0.0 )
( 0,0,4 )( 1,2,3 )
? ? ? ?
12
4
30 0 0 0 30 0 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 10 0 0 30 50
10
30 0 0 0 30 0 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 10 0
kk
???
??
?
?? ?
? ? ?
?
??
? ? ?
??
???
（ 2）、局部坐标系中的单元刚度矩阵 [ k ]e6× 6 。
A
B
C
x
y
①
②
( 0,0.0 )
( 0,0,4 )( 1,2,3 )
（ 3）、写出整体坐标系中
的单元刚度矩阵 [ k ]e6× 6 。
单元 ①, α=0,[ k ]1= [ k ]1。
A
B
C
x
y
①
②
( 0,0.0 )
( 0,0,4 )( 1,2,3 )
14
30 0 0 0 30 0 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 10 0 0 30 50
[ ] 10
30 0 0 0 30 0 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 10 0
k
???
??
?
?? ?
??
?
??
? ? ?
??
???
局 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
总 1 2 3 0 0 4
1
2
3
0
0
4
①
x
y
1 CA
(6)(1) (2)(3)
(4)
(5)23
0
0 4
单元 ②, α = 90 o 。
A
B
C
x
y
①
②
( 0,0.0 )
( 0,0,4 )( 1,2,3 )
24
12 0 30 12 0 30
0 30 0 0 0 30 0 0
30 0 10 0 30 0 50
[ ] 10
12 0 30 12 0 30
0 30 0 0 0 30 0 0
30 0 50 30 0 10 0
k
? ? ???
??
?
???
??
?
??
?
??
???
局 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
总 1 2 3 0 0 0
1
2
3
0
0
0
?（ 4）、单元定位向量在（ 3）中已写出。
x
y 1
B
A
(6)
(1)
(2)(3)
(4)
(5)
23
0
04
②
??
??
??
??
??
??
14
30 0 0 0 30 0 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 10 0 0 30 50
[ ] 10
30 0 0 0 30 0 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 10 0
k
???
??
?
?
????
?
? ? ?
??
???
（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
1 2 3 0 0 4
1
2
3
0
0
4
（ 5）、对号入座，形成整体刚度矩阵
“对号入座
” [K]4× 4阶段结果
4
30 0 0 0 0
0 12 30 30
10
0 30 10 0 50
0 30 50 10 0
?
（ 1） （ 2） （ 3） （ 6）
1 2 3 4
1
2
3
4
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 6）
24
12 0 30 12 0 30
0 30 0 0 0 30 0 0
30 0 10 0 30 0 50
[ ] 10
12 0 30 12 0 30
0 30 0 0 0 30 0 0
30 0 50 30 0 10 0
k
? ? ???
??
?
?
????
?
?
??
???
（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
1 2 3 0 0 0
1
2
3
0
0
0
[ K ]4× 4=
1 2 3 4
1
2
3
4
4
30 0 0 0 0
0 12 30 30
10
0 30 10 0 50
0 30 50 10 0
??
??
?
??
??
4
3 0 0 1 2 0 0 0 ( 3 0 ) 0
0 0 1 2 3 0 0 3 0 0 3 0
10
0 ( 3 0 ) 3 0 0 1 0 0 1 0 0 5 0
0 3 0 5 0 1 0 0
? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ?
（ 1） （ 2） （ 3）
（ 1）
（ 2）
（ 3）
? 结构整体刚度矩阵：
? 312 0 -30 0
? [ K ]=104× 0 312 30 30
? -30 30 200 30
0 30 50 100 A
B
C
x
y
①
②
( 0,0.0 )
( 0,0,4 )( 1,2,3 )
例：, 试求图示结构的整体刚度矩阵 [ K ]
? l=5m,A=b× h=0.5m2.
? I=1/24 m4.
? E=3× 107kN/m2.
? EA/l=300× 104,
? EI/l=25× 104.
? 解：
? （ 1）单元编号，结
点位移分量编码；建
立坐标。
1
2 3 4
5(0,0,1)
(2,3,4)
(5,6,7)
(5,6,8)
(0,0,0)
①
② ③
x
y
（ 2）、单元刚度矩 [ k ]e6× 6
因为各杆 E,A,I,l相同，均有：
12EI/l3 =12× 104,6EI/l2=30× 104，
4EI/l =100× 104, 2EI/l =50× 104,
EA/l =300× 104 。
? ?
1 4
30 0 0 0 30 0 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 10 0 0 30 50
10
30 0 0 0 30 0 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 10 0
k
???
??
?
?? ?
??
?
??
? ? ?
??
???
局 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
总 2 3 4 5 6 7
2
3
4
5
6
7
1
2 3 4
5(0,0,1)
(2,3,4) (5,6,7)
(5,6,8)
(0,0,0)
①
② ③
x
y
①
x
y
2 32
(6)
(1)
(2)(3)
(4)
(5)34
5
6 7
1
2 3 4
5(0,0,1)
(2,3,4) (5,6,7)
(5,6,8)
(0,0,0)
①
② ③
x
y
2 3 4
12 0 30 12 0 30
0 30 0 0 0 30 0 0
30 0 10 0 30 0 50
[ ] [ ] 10
12 0 30 12 0 30
0 30 0 0 0 30 0 0
30 0 50 30 0 10 0
kk
? ? ???
??
?
???
? ? ?
?
??
?
??
???
局 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
② 2 3 4 0 0 1
2
3
4
0
0
1
③ 5 6 8 0 0 0
5
6
8
0
0
0
x
y 2
1
2
(6)
(1)
(2)(3)
(4)
(5)
34
0
64
②
x
y 5
5
4
(6)
(1)
(2)(3)
(4)
(5)
68
0
00
③
（ 3）、整体刚度矩阵 [ K ]
?
? 100 -30 0 50 0 0 0 0
? -30 300+12 0 -30 -300 0 0 0
? 0 0 12+300 30 0 -12 30 0
? [K] = 50 -30 30 100+100 0 -30 50 0 × 104
? 0 -300 0 0 300+12 0 0 -30
? 0 0 -12 -30 0 12+300 -30 0
? 0 0 30 50 0 -30 100 0
? 0 0 0 0 -30 0 0 100
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
§ 13-6、等效结点荷载
? 一、位移法基本方程
? （ 1）、设荷载单独作用（结点位移
设为零），在基本体系中引起结点约束
力，记为 {FP}。
? （ 2）,设结点位移 {⊿ }单独作用，
在基本体系中引起结点约束力，记为
? {F}=[ K ]{⊿ }
? 位移法基本方程,{F}+ {FP} ={0}
? 即,[ K ]{⊿ }+ {FP} ={0}
二、等效结点荷载的概念
? 结构上的荷载可以是结点荷载，也可
以是非结点荷载，或两种荷载的组合。
在矩阵位移法中，需将原结构上的荷载
均转换成为等效结点荷载 {P}。
? 等效原则：原荷载与等效荷载在基本
体系中产生相同的结点约束力。等效结
点荷载引起的结点位移与原荷载引起的
结点位移完全相等。
? 矩阵位移法中：
? {P}= - {FP} （ 10-48）
? 位移法基本方程：
? [ K ]n× n{⊿ }n× 1= {P} n× 1 （ 10-49）
? 即：
? 结点位移引起的结点力 =荷载
（或其他外因）引起的结点力。
三、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载
一般单元的固端约束力向量：
{FP}e=( FxP1 FyP1 MP1 FxP2 Fy P2 MP2 )T
（ 10-50）
可查表（ 10-1）。
1、单元等效结点
荷载 {P}e6× 1（ 由单元非
结点荷载引起，不包括
结点荷载）。 1 2eFxP1 F
yP1
MP1
FxP2
FyP3
MP2
q( x )
? 查表（ 10-1）时，应注意：
（ 1）注意局部坐标方向,q与 x,y方向一致时为正值。
（ 2）表（ 10-1）给出的均为一般单元的固端力，
为什么可以这样给？
将固端约束力矩阵 {FP}e反号，即得单元等效结
点荷载列阵 {P}e。
{P}e = - {FP}e （ 10-51）
2,单元等效结点荷载列阵（结构坐标下）
{P}e = [ T ]T{P}e （ 10-52）
? 3、整体结构的等效结点荷载矩阵 { P }n× 1
? 依次将每个单元 {P}e中的元素按单元定
位向量 {λ}e在 {P}n× 1中定位 (对号入座 ),并累加
成为 {P}n× 1 。
{P}n× 1
{λ}e
对号入座
{P}e
注：
? （ 1）、结构上有结点荷载：可直接
进入 {P}n× 1,按相应的结点编码写到
{P}n× 1中的相应位置上。
? 结点荷载不属于任何单元。
{P}8× 1 =
0
FP2
FP1
M1
0
FP3
0
M2
1
2 3 4
5(0,0,1)
(2,3,4)
(5,6,7)
(5,6,8)
(0,0,0)
①
② ③
x
y
FP1
FP2 M1 FP3
M2
1
2
3
4
5
6
7
8
? （ 2）、非结点荷载
? ①、斜杆
问：右图应如何计算？
1
2
FP sin α
1
2
FP cos α
1
2
FP
α
x
e
α
q
1
2
l
? ②、多种横向荷载 —— 分别查表，然后叠加。
? ③、表中未列，等效变换。
1 2e
q
l
a
1 2e
q
1 2e
q
例,求图示刚架在给定荷载作用下的等效结
点荷载矩阵 {P}
?解,
1、单元编码。建立
坐标；结点位移编码。
2、求局部坐标中
的固端力矩阵 {FP}e。
单元①：由表 10— 1
FxP1=0 FxP2=0
FyP1= - ql/2= -4.8× 5/2
= - 12 kN
FyP2= - 12 kN
1 2
3
4
1 2 3
2.5m
5m 5m
2.5m
x
y
5kN·m
8kN
10kN4.8kN/m
( 0,0,0 )
( 1,0,2 )
( 3,4,5 )
( 0,6,0 )
MP1 = - ql2 /12
= - 4.8× 5× 5/12
= - 10 kN·m
MP2 = + ql2 /12
= 10 kN·m
1
4.8kN/m
5m
FxP1
FyP1
MP1
FxP2
FyP2
MP2
{FP}1=
FxP1=0 FxP2=0
FyP1= - ql/2= -4.8× 5/2
= - 12 kN
FyP2= - 12 kN
0
- 12
- 10
0
- 12
10
单元③：由表 10-1
MP1 = ql /8
= 8× 5/8= 5 kN·m
MP2 = - ql /8
= -5 kN·m
FxP1=0 FxP2=0
FyP1= q/2= 8/2= 4 kN
FyP2= 4 kN
{FP}3=
0
38kN
FxP1
FyP1
MP1
FxP2
FyP2M
P2
0
4
4
- 5
5
3、求整体坐标中的等效结点荷载矩阵
{P}e,并写出单元定位矩阵 {λ}e
公式 {P}e = - {FP}e
{P}e = [ T ]T{P}e = - [ T ]T{FP}e
单元①：由图可见 α=0o
{P}1=
1
0
2
3
4
5
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
1 2
3
4
1 2 3
2.5m
5m 5m
2.5m
x
y
5kN·m
8kN
10kN4.8kN/m
( 0,0,0 )
( 1,0,2 )
( 3,4,5 )
( 0,6,0 )
1
4.8kN/m
5m
FxP1
FyP1
MP1
FxP2
FyP2
MP2
1
0
2
3
4
5
0
12
10
0
12
-10
{P}1 = - {FP}1=
（ 6）
单元③,α=900
{P}3 = - {FP}3
= - [ T ]T{FP}3=
0 1 0 0 0 0 0 4
1 0 0 0 0 0 4 0
0 0 1 0 0 0 5 5
0 0 0 0 1 0 0 4
0 0 0 1 0 0 4 0
0 0 0 0 0 1 5 5
?? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ? ??
?? ? ? ?
?
?? ? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
1 2
3
4
1 2 3
2.5m
5m 5m
2.5m
x
y
5kN·m
8kN
10kN4.8kN/m
( 0,0,0 )
( 1,0,2 )
( 3,4,5 )
( 0,6,0 ) 3
8kN
FxP1
FyP1
MP1
FxP2
FyP2M
P2
3
4
5
0
0
0
3
4
5
0
00
手算时，也可直接写：
{P}3 = - {FP}3
38kN
FxP1
FyP1
MP1
FxP2
FyP2M
P2
y
x
x
y
44
00
55
44
00
55
?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ?? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ?
3
4
5
0
0
0
4、求刚架的等效结点荷载矩阵 {P}6× 1
单
元
③
1 2
3
4
1 2 3
2.5m
5m 5m
2.5m
x
y
5kN·m
8kN
10kN4.8kN/m
( 0,0,0 )
( 1,0,2 )
( 3,4,5 )
( 0,6,0 )
结
点
荷
载
? ?
0 0 0
5 10 5
0 0 4 4
0 12 0 12
0 10 5 15
10 10
e
P
? ? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ??
??? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
单
元
①
1
2
3
4
5
6
§ 10-7 计算步骤及算例
? 一、用矩阵位移法计算平面刚架的步骤
? 1、整理原始数据。对单元和整体刚架
进行局部和总体编码（确定未知量矩阵
{⊿ }n× 1）。 建立坐标系。
? 2、形成局部坐标系下的单元刚度矩阵
[k]e,式（ 10-6）。
? 3、形成整体坐标系下的单元刚度矩阵
[k]e, [ k ]e =[ T ]T[ k ]e [ T ]e, 式（ 10-21）
并写出单元定位向量 {λ}e 。
? 4、用单元集成法形成整体刚度矩阵
[ K ]n× n。
? 5,求局部坐标中的单元等效结点荷
载矩阵 {P}e, 由
? {P}e = - {FP}e= - [ T ]T{FP}e
? 求整体坐标系的单元等效结点荷载矩阵
{P}e 。用单元集成法集成整体结构的等效
结点荷载矩阵 {P} n× 1。
? 6,解方程 [ K ]{⊿ }={P},求出 {⊿ }。
? ７、求各杆杆端内力｛ Ｆ }e。
二、解方程，求｛ ⊿ ｝ n× 1
? 手算,n≤4,用线性方程组的一般解法求结点
位移矩阵｛ ⊿ ｝ n× 1,如用逆矩阵法,{⊿ }= [ K ]
－ １ {P}。
? 电算,n＞ 4,可用直接法或迭代法，求解线
性代数方程组。
? 直接法 —— 高斯消去法；
? 对称分解法；
? 直接三角分解法；
? 变带一维存储的 LDLT分解法。等。
? 迭代法 —— 简化迭代法；
? 塞得尔迭代法。等。
? 杆端力（内力）：杆件坐标中的杆端
力用 {Ｆ }e表示。
? {Ｆ }e ＝ {Ｆ d}e ＋ {Ｆ P}e
?杆端位移引
起的杆端力
非结点荷载引起的
固端力
各杆的固端约束力
三、求单元杆端力矩阵 {Ｆ }e
41
2 3
FP1 FP2 M
1
41
2 3
FP1 FP2 M
1
1
2
3
(0,0,0)
(1,2,3)
(4,5,6)
(0,0,0)
? 已求出结点位移矩
阵 {⊿ }。
{⊿ }=[⊿ 1 ⊿ 2 ⊿ 3 ⊿ 4
⊿ 5 ⊿ 6 ]T
由此可求出各杆
端力矩阵 {F}e
{F}e=[ k ]e {⊿ }e+{FP }e
(10-53)
三、求单元杆端力矩阵 {Ｆ }e
FP1 FP2
41
2 3
FP1 FP2 M
1
1
2
3
(0,0,0)
(1,2,3)
(4,5,6)
(0,0,0)
2 22
Fx1
Fy1
M1
Fx2Fy2
M2
{F}e=[ k ]e {⊿ }e+{FP }e (10-53)
?本教材作法，先求出,?{F}e=[ k ]e {⊿ }e +{FP }e
?再由下式求出 {F}e {F}e= [ T ]e{F}e
2
①
0
00
1
2 3
1 (1)
(2) (3)
(4)
(5)(6)
y
x
41
2 3
FP1 FP2 M
1
1
2
3
(0,0,0)
(1,2,3)
(4,5,6)
(0,0,0)
⊿ 1
⊿ 2
{⊿ }1= ⊿ 3
0
0
0
⊿ 1
⊿ 2
{⊿ }2= ⊿ 3
⊿ 4
⊿ 5
⊿ 6
⊿ 4
⊿ 5
{⊿ }3= ⊿ 6
0
0
0
如图：
对于正交刚架（只
有水平和竖直杆件）竖
杆的杆端位移矩阵 {⊿ }e
很好找
? ⊿ 2
? - ⊿ 1
? {⊿ } 1= ⊿ 3
? 0
? 0
? 0
y
x
2
①
1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
x
y
41
2 3
FP1 FP2 M
1
1
2
3
(0,0,0)
(1,2,3)
(4,5,6)
(0,0,0)
（ -⊿ 1）
（ ⊿ 2 ）
（ ⊿ 3 ）
0
0
0
注：
? 用上述公式计算
出的杆端力，其正
负号与局部坐标轴
的正方向一致。其
中,F(1)e,F(2)e与传
统的轴力 FN1,剪力
FQ1的正负号相反。
因此，在作内力图
时，应修正。
1 2e
x
y
F(1)e F(2)e
F(3)e
F(4)eF
(5)e
F(6)e
算例,（书例 10-4） P.32
? 解：
? 1、原始数据整
理，建立坐标系；
单元编号；结点
编号；结点位移
编码。
? 柱,A1=0.5m
? I1=1/24 m4
? l1=6m
D
A B
C
A1 I1
A2 I2
12m
6m1kN
/m A
1 I1
D
A B
C
y
x
①
②
③
(1,2,3) (4,5,6)
(0,0,0) (0,0,0)
13
3
83,3 0 0 83,3 0 0
0 2,31 6,94 0 2,31 6,94
0 6,94 27,8 0 6,94 13,9
[ ] [ ] 10
83,3 0 0 83,3 0 0
0 2,31 6,94 0 2,31 6,94
0 6,94 13,9 0 6,94 27,8
kk
?
???
??
?
?
?? ??
?
? ? ?
??
???
梁,A2=0.63m, I2=1/12 m4, l2=12m。
2,形成 [ k ]e6× 6
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
8.2747.309.1347.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
9.1347.308.2747.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
10][
32
k
3、计算整体坐标下的单元刚度矩 [ k ]e6× 6
? 单元①、③ （ α=90o）
? 0 1 0 0 0 0
? -1 0 0 0 0 0
? [ T ] = 0 0 1 0 0 0
? 0 0 0 0 1 0
? 0 0 0 -1 0 0
? 0 0 0 0 0 1
? [k]1=[k]3=[ T ]T [ k ]1 [ T ]=
?
? 2.31 0 -6.94 -2.31 0 -6.94
? 0 83.3 0 0 -83.3 0
=10-3 -6.94 0 27.8 6.94 0 13.9
? -2.31 0 6.94 2.31 0 6.94
? 0 -83.3 0 0 83.3 0
? -6.94 0 13.9 6.94 0 27.8
1 2 3 0 0 0 ①
1
2
3
0
0
0
4 5 6 0 0 0 ③
4
5
6
0
0
0
? 单元 ②, （ α=0o） [k]2=[k]2
?
? 52.5 0 0 -52.5 0 0
? 0 0.58 3.47 0 -0.58 3.47
[k]2=10-3 0 3.47 27.8 0 -3.47 13.9
-52.5 0 0 52.5 0 0
0 -0.58 -3.47 0 0.58 -3.47
0 3.47 13.9 0 -3.47 27.8
1 2 3 4 5 6 ②
1
2
3
4
5
6
4、由单元集成法形成整体刚度矩阵 [ K ]
? 54.81 0 -6.94 -52.81 0 0
? 0 83.3 3.47 0 -0.58 3.47
? [ K ]= -6.94 3.47 55.6 0 -3.47 13.9 × 10-3
? -52.5 0 0 54.81 0 -6.94
? 0 -0.58 -3.74 0 83.88 -3.74
? 0 3.74 13.9 -6.94 -3.74 55.6
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
5、求结构的等效结点荷载列阵 {P}6× 6
? 本题只有单元①有非结点荷载：
0
3
{FP}1= 3
0
3
-3
{P}1= - [T]T{FP}1=
3
0
-3
3
0
3
1
2
3
0
0
0
1
2
3
00
0
1
FxP1
FyP1
MP1
FxP2
FyP2M
P2
6m1kN/m
? 3
? 0
? {P}= -3
? 0
? 0
? 0
1
2
3
4
5
6
6、解位移法方程，求 {⊿ }
[ K ]{⊿ }={ P } {⊿ }=[ K ]-1 { P }
结构的等效结点荷载列阵 {P}6× 6
? ⊿ 1 uA 847
? ⊿ 2 vA -5.13
? {⊿ } = ⊿ 3 = θA = 28.4
? ⊿ 4 uB 824
? ⊿ 5 vB 5.13
? ⊿ 6 θB 96.5
注：
水平位移 ⊿ 1≠⊿ 4 说明杆件有轴向变形，但数值
并不大。竖向位移 ⊿ 2=-5.13,⊿ 5=5.13比水平位移小
得多。
求得结点位移列阵 { Δ }：
7、求各杆端内力 {F}e6× 1
? 因我们已有了各杆局部坐标下的单
元刚度矩阵和单元固端力矩阵，可直接
计算 {F}e=[ k ]e {⊿ }e +{FP }e
其中：
{⊿ }1=
+ ⊿ 2
-⊿ 1
+⊿ 3 =
0
0
0
-5.13
-847
28.4
0
0
0
4
1 2 3
6m 3m
4m
10kN·m
5kN
7kN
1.2kN/m
3m
20kN 8kN
③
(1)
(2)(3) 0
02
(4)
(5)
（ 6）
0
00
③
1.2kN
/m
1.6kN?m
2.4kN
2.4kN
1.6kN?m
? ? ? ?
33
2.4 2.4
1.6 1.6
2.4 2.4
1.6 1.6
P
PF??
?? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?
0
2
0
0
{P}=
-10
0 +15 -1.6
8 +10
=
-10
13.4
18
4,解方程,求结点位移列阵 {⊿ }
? ⊿ 1 -0.204
? {⊿ }= ⊿ 2 = 0.241
? ⊿ 3 2.524
5、求各杆杆端力矩阵 {F}e
10 30 -10 30 0 1.110
{F}1= 30 120 -30 60 -0.204 = -10.02
-10 -30 10 -30 0 -1.110
30 60 -30 120 0.241 16.68
10 30 -10 30 0 -10 -28.00
{F}2= 30 120 -30 60 0.241 + -15 = -61.77
-10 -30 10 -30 2.523 -10 8.00
30 60 -30 120 0 15 -46.23
33.75 67.5 -33.75 67.5 0 2.4 18.67
{F}3= 67.5 180 -67.5 90 0.241 + 1.6 = 44.98
-33.75 -67.5 33.75 -67.5 0 2.4 -13.88
67.5 90 -67.5 180 0 -1.6 20.09
6、作结构内力图
§ 10-9 桁架及组合结构的整体分析
? 一、桁架
? 1、桁架的单元刚
度矩阵，刚度方程。
? 杆件坐标系：
1 1
2 2
()
ee
x
x
E A E A
Fu ll
a
E A E AFu
ll
??
?
??? ? ? ?? ? ? ?
? ??? ? ? ?
??? ? ? ?? ? ? ?
?
????
EA,l
e
1 21u 2u x
y
整体坐标系
EA,l
e
1
2
x
y
x
y
α
1exF
2exF
1exF
1eyF
2exF
2eyF
1
1
2
2
{}
e
x
ye
x
y
F
F
F
F
F
??
??
??
? ??
??
??
??
1
1
2
2
{}
e
e
u
v
u
v
??
??
??
?? ??
??
??
??
杆端力向量
杆端位移向量
1 1
1 1
2 2
2 2
1 0 1 0
0000
( 10 54 )
1 0 1 0
0000
ee
x
y
x
y
Fu
Fv EA
lFu
Fv
? ? ? ?
???
? ? ? ?
??
? ? ? ?
????
? ? ? ?
???
? ? ? ?
??
? ? ? ?
??
? ? ? ?
本教材采用矩阵扩阶法，即：将两阶矩阵
（局部坐标系下）扩展为四阶矩阵。
[ k ]e2× 2 [ k ]e4× 4
(10-54)与 (a )式等价。
桁架单元的坐标转换矩阵
? ?
c o s sin 0 0
sin c o s 0 0
( 10 55 )
0 0 c o s sin
0 0 sin c o s
T
??
??
??
??
??
??
?
??
??
???
? 2,结点位移编码
? 桁架单元的结点转角不是独立未知量。
? 理想桁架每个结点有两个独立的结点位移。
[ k ]e= [ T ]T [ k ]e [ T ]
(1,2)
l
l
1 2kN
3kN
2
3
①
② ③
(0,0)
(0,0)
二、计算全过程
例：
图示桁架，已知
EA=2.1× 104kN,
l=4m。
解：
1、原始数据整理
单元①，② EA / l= 2.1 / 4
③
/( 2 4 )EA ?
y
x
2、形成单元刚度矩阵 [ k ]e
12
1 0 1 0
0000
[ ] [ ]
1 0 1 0
0000
EA
kk
l
???
??
????
???
??
??
3
1 0 1 0
0000
[]
1 0 1 02
0000
EA
k
l
???
??
???
???
??
??
e
(1)
(2)
(3)
(4)
3、形成单元刚度矩阵 [ k ]e
(1)
(2)
(3)
(4)
①
(1)
(2)
(3)
(4)
②
1
1 0 1 0
0000
[]
1 0 1 0
0000
EA
k
l
???
??
???
???
??
??
总 0
0 2
10 0 1 2
0
0
1
2
2
0000
0 1 0 1
[]
0000
0 1 0 1
EA
k
l
??
??
?
???
??
??
??? 0
0
0
0
总0 0 0 0
0
0
0
0
③
(1)
(2)
(3)
(4)
0
0
1
2
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
222200
222200
002222
002222
2
2
s i n,
2
2
c os,
4
3
T
??
?
?
33
1 1 1 1
1 1 1 12
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 1 1 14
1 1 1 1
T EA
k T k T
l
????
??
??
??? ? ?
????
??
????
总0 0 1 2
2
0
0
1
4,集成结构整体刚度矩阵 [ K ]
? ?
22
1
44
22
44
EA
K
l
??
????
???
??
???
??
5、形成结点等效荷载列阵 { P }
l
l
1 2kN
3kN
2
3
2
{ }
3
P
??
? ??
??
6、解方程
1
2
0, 0 0 0 9 5 2 5
{}
0, 0 0 2 5 6 8 1 3, 4 8 5
l
EA
??? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ???
7,求单元杆端力矩阵 { F }e
{ } [ ] { }e e eFk??
1 1 1
1 0 1 0 0 5
0 0 0 0 0 0
{ } [ ] { }
1 0 1 0 5 5
0 0 0 0 1 3,4 8 5 0
E A l
Fk
l E A
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?? ? ? ?
???
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
3 3 3 3
{ } [ ] { } [ ] [ ] { }
1 1 0 0 1 1 1 1 0
1 1 0 0 1 1 1 1 022
0 0 1 1 1 1 1 1 524
0 0 1 1 1 1 1 1 13,4 85
4,24
0
4,24
0
F T F T k
E A l
l E A
? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?? ??
? ? ? ?
? ??
? ? ? ?? ? ?
??
? ? ? ?
????
? ? ? ? ? ?
??
??
??
? ??
?
??
??
??
{ F }2=[ k ]2 {⊿ }2 = [ 0 0 0 0 ]T
其中, {⊿ }2 = [ 0 0 0 0 ]T
桁架轴力图
- 4.24l
l
1 2kN
3kN
2
3
①
② ③
+5
0
二、组合结构
? 组合结构的计算特点：
? 计算中应区别梁式杆和桁架杆；
? 梁式杆采用一般单元；
? 桁架杆采用桁架单元。
例：
? 图示组合结构,
梁式杆只考虑弯
曲变形,
? EI=4× 105kN/m2,
? 桁架杆只考虑轴
向变形
? EA=EI/20
? =2× 104kN?m,
? 作内力图。
解：
利用对称性。
编码时应注意：因为桁架
杆的杆端转角不作为基本未知
量，故 B点可视为一个结点。
A B C
D
20m 20m 20m
15m q=10kN/m
EA=EI/20
EI
A B C
D
20m 10m
15m q=10kN/m
EA=EI/20
EI
?1、原始数据整理
?2、形成结构整体刚度矩阵 [ K ]。
A B C
D
20m 10m
15m q=10kN/m
EA=EI/20
EI
y
x
① ②
③
( 0,0,0) ( 0,1,2 ) ( 0,3,0)
( 0,0,0)
11
0,0 3 0,3 0,0 3 0,3
0,3 4,0 0,3 2,0
[ ] [ ]
0,0 3 0,3 0,0 3 0,320
0,3 2,0 0,3 4,0
EI
kk
???
??
?
??
??? ? ?
???
0 0 1 2
0
0
1
2
22
0,2 4 1,2 0,2 4 1,2
1,2 8,0 1,2 4,0
[ ] [ ]
0,2 4 1,2 0,2 4 1,220
1,2 4,0 1,2 8,0
EI
kk
???
??
?
??
??? ? ?
???
1 2 3 0
1
2
3
0
(1)
(2)
(3)
(4)②0
1 3
2
(5)
(6)
0
0
A B C
D
20m 10m
15m q=10kN/m
EA=EI/20
EI
y
x
① ②
③
( 0,0,0) ( 0,1,2 ) ( 0,3,0)
( 0,0,0)
③
(1)
(2)
(3)
(4)
0
0
1
0
l=25m
3
0,0 4 0 0,0 4 0
0000
[]
0,0 4 0 0,0 4 020
0000
EI
k
???
??
?
???
??
A B C
D
20m 10m
15m q=10kN/m
EA=EI/20
EI
y
x
① ②
③
( 0,0,0) ( 0,1,2 ) ( 0,3,0)
( 0,0,0)
单元③ cosα=0.8 sinα=0.6
33
0,0 2 5 6 0,0 1 9 2 0,0 2 5 6 0,0 1 9 2
0,0 1 9 2 0,0 1 4 4 0,0 1 9 2 0,0 1 4 4
[ ] [ ] [ ] [ ]
0,0 2 5 6 0,0 1 9 2 0,0 2 5 6 0,0 1 9 220
0,0 1 9 2 0,0 1 4 4 0,0 1 9 2 0,0 1 4 4
T EI
k T k T
????
??
?
??
??
??
???
0 0 0 1
0
0
0
1
集成结构整体刚度矩阵 [ K ]
集成结构整体刚度矩阵 [ K ]
1 2 3
1
2
3
0, 2 8 4 4 0, 9 0 0, 2 4
[ ] 0, 9 0 1 2, 0 1, 2
20
0, 2 4 0 1, 2 0, 2 4
EI
K
???
??
??
??????
（ 3）、集成等效荷载列阵 {P}
? 单元②,0
? -50
? {FP}2= {FP}2= -83.3
? 0
? -50
? 83.3
? 0
? 50
?{P}2= - {FP}2= 83.3
? 0
? 50
? -83.3
0
1
2
0
3
0
50
{P} = 83.8
50
（ 4）、解方程，求结点位移列阵 {⊿ }
? 4022.9
? {⊿ } = 20/EI 256.7
? 5514.7
? (5),求各杆杆端力列阵 {F}e
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
1.180
7.43
5.693
7.43
20
7.256
9.4022
0
0
43.023.0
3.003.03.003.0
23.043.0
3.003.03.003.0
20
111
EI
EI
kF
? ? ? ? ? ? ? ?
22 2 2
0,2 4 1,2 0,2 4 1,2 4 0 2 2,9 5 0 1 0 0
1,2 8 1,2 4 2 5 6,7 8 3,3 1 8 0,120
0,2 4 1,2 0,2 4 1,2 5 5 1 4,7 5 0 020
1,2 4 1,2 8 0 8 3,8 6 7 9,7
P
F k F
EI
EI
? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ?
??? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
0
5.96
0
5.96
20
9.4022
0
0
0
8.06.000
6.08.000
008.06.0
006.08.0
0000
004.0004.0
0000
004.0004.0
20
333
EI
EI
TkF
（ 6）,作内力图
使用结构力学求解器解题要求：
1、按教师要求每人独立完成指定习题。
2、由教师指定习题，确定后在教师处
登记造册。
3、习题要求：计算荷载作用下的内力，
作内力图。计算荷载作用下的位移。
无论是内力计算还是位移计算，均要
求计算两种变形情况，然后比较，给出
结论。
