第 九 章
渐 进 法
及超静定力的影响线
渐进法的提出
? 计算超静定刚架或连续梁,无论采用力法或位
移法,均需建立和求解线性代数方程组。当未知量
较多时，计算工作非常繁重。有时几乎不可能完成。
为此，提出了渐进法，以避免解算联立方程组。
? 本章介绍：
? 1、力矩分配法。
? 2、无剪力分配法
? 3、力矩分配法与位移法的联合应用
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
? 力矩分配法是渐进法的一种，是位移法
的变体。适用范围是：连续梁和无结点线
位移的刚架。
? 以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩。
其结果的精度随计算轮次的增加而提高,最
终收敛于精确解。物理概念生动形象，计
算方法单一重复。
力矩分配法的基本概念：
? 1、等截面直杆的转动刚度
? 转动刚度 S。（ 等截面直杆的转动刚度系
数，劲度系数）
? 转动刚度表示杆端（件）对转动的抵抗能
力，即：使杆端产生单位转角所需力矩。
? 在此,
? A端 —— 转动端，施力端，近端。
? B端 —— 远端。
一、名词解释
? 刚度系数 远端支承情况
? S=3i (9-2) 铰支
? S=i (9-3) 滑动
? S=0 (9-4) 自由
SAB=MAB=4EI/l=4i
EI,l
EI,l
SAB=MAB=3EI/l=3i
EI,l
SAB=MAB=EI/l=i
SAB=MAB=0
S=4i (9-1) 固定 (刚结 )
注,
? (1),远端支承情况不同，转动刚度 SAB的
数值不同。
? （ 2）,转动刚度 SAB是施力端无线位移条
件下的刚度。（ A端只能转动，不能有线位移）
2、分配系数 μ
D A B
C
M
θA
A
M
MAB
MAC
MAD
? 以右图所示为例：
? 转角位移 θA。
? MAB=SAB θA =4iAB θA
? MAC=SAC θA = iAC θA (a)
? MAD=SAD θA =3iAD θA
? ∑M=0
? M= SAB θA +SAC θA + SAD θA
A
?∑S—— 各杆 A端转动刚度之和。
A
A B A C A D
A
MM
S S S S
? ??
?? ?
? 代入 （ a） 式，可得：
? MAB=(SAB / ∑ S)·M
? MAC=(SAC / ∑ S)·M (b)
? MAD=(SAD/ ∑ S)·M
? MμAj= μ Aj · M (9-5)
? μ Aj =S Aj / ∑ S (9-6)
? μ Aj —— 分配系数。 Aj杆 A端的（力矩）分
配系数。
? 即：相当于把结点外力偶按各杆的杆端分
配系数分配到各个杆端。
? 注意，同一结点各杆杆端分配系数之
和应等于 1,即：
? ∑μAj = μAB + μ AC + μ AD=1
? 各杆 A端（施力端）的弯矩与该杆端
的转动刚度成正比。转动刚度愈大，所
担负的弯矩愈大。
3、传递系数 C
? 力偶 M加于结点 A,使结点所联结的各杆
近端产生弯矩，同时，也使各杆远端产生弯
矩。
?
? 近端弯矩 远端（传递）弯矩 传递系数
远端固定 MAB=SABθA MBA=2iAB θA CAB=1/2
远端定向 MAB=SAB θA MBA= -iABθA CAB=-1
远端铰支 MAB=SAB θA MBA=0 CAB=0
?
? CBA = MBA /MAB 远端弯矩 /近端弯矩（ 9-10）
? MμAj = μAj · M
? 称为分配弯矩。
? MCBA=CBA ·MAB
? 称为传递弯矩。
二、基本运算（单结点的力矩分配）
FP
B A CθA
MBA
MAB
MAC
FP
MFBA MFAB
阻止转动的约束
A
1B C
MA
MFAB
MFAC
AB C
放松约束
M μAB M μACM CBA
+
=
二、基本运算（单结点的力矩分配）
? 1、锁住结点转角
? 把结构分为 AB,AC两段，各杆端产生固端
弯矩。
? ∑MA=0 MAF = MFAB + MFAC
? 在此，不平衡力矩 =固端弯矩之和，也称约
束力矩，顺时针为正。
? 2、放松结点
? 放松 A处的约束，梁的 1处转角即恢复到原
状态。
? 相当于在结点原有约束力矩的基础上，
加上反向的一个力偶荷载 (- MAF)，也称为
旋转力矩 。使梁产生新的变形。各杆端产
生相应的弯矩，即为分配弯矩。各杆远端
产生传递弯矩。
? 3、两种情况叠加，得出最后的杆端弯矩。
例：用力矩分配法计算图示连续梁，作弯
矩图。并求中间支座的支座反力。
?分配系数 0.571 0.429
?固端弯矩 -150 150 -90 0
分配传递 -34.3 -25.7
? 最后弯矩 -167.2 115.7 -115.7 0
-17.2 0
? 解,1、计算由荷载产生的固端弯矩。
? 2、计算分配系数。 3、叠加得出最后弯矩。
? 4、求支座反力。
FQAB F
QBA= -91.42kN
FQBA=79.28kN F
QCBF
yB=170.7kN
最后弯矩 -167.2 115.7 -115.7 0
例：用力矩分配法计算图示刚架，作弯 矩图。
? 解,
? 计算各杆固
端弯矩。
? 计算 A点各杆
端的分配系数。
? 列表进行力
矩分配法计算。
? 作弯矩图。
100 kN30kN/m
iAD=1.5iAB=2
iAC=2
4m 3m 2m
4m
100 kN30kN/m
iAD=1.5iAB=2
iAC=2
4m 3m 2m
4m
结 点 B A D C
杆 端 BA AB AC AD DA CA
分配系数 0.3 0.4 0.3
固端弯矩
分、传
最后弯矩
0 60.0 0 - 48.0 72.0 0
- 3.6 -4.8 - 3.6 -1.8 -2.4 0
0 56.4 - 4.8 - 51.6 70.2 - 2.4
( 弯矩单位,kN ·m )
56.4
60.0
51.6 70.2
120.0
4.8
2.4
M 图 （ kN ·m ）
最后弯矩
杆 端 BA AB AC AD DA CA
0 56.4 - 4.8 - 51.6 70.2 - 2.4
§ 9-2、多结点的力矩分配
? 对于多结点梁或刚架，逐次对每个结点应用基
本运算，即可求出各杆端弯矩。
? 以三跨梁为例：
? 1,B,C处加约束，分成三根单杆。加荷载，
求出约束力矩 MBF,MCF。
? 2,放松结点 B,结点 C仍夹紧。累加总变形如
图,B结点暂时平衡。
? 3、放松结点 C,重新夹紧结点 B。 （在已有变
形状态下夹紧） 。从图上可见，变形已较接近实际
变形。
? 以此类推，重复第 2、第 3步，连续
梁的变形和内力很快达到实际状态。
? 4、叠加以上各步，计算最后弯矩。
? 综上所述，多结点力矩分配即为：
每次只放松一个结点，相当于单结点分
配传递。最后将各步骤所得的杆端弯矩
（增量）叠加。
FP
MAB MBA
MBC
MCD MDC
FP
MFBC MFCB
MBF M
CF
MBF
M μBA M μBCMCAB MCCB
MFC’
MFC’’
M μCD MCDC
MFB’
+
+
+…
=
M μCBMCBC
MCB
φB φc
例,用力矩分配法计算图示刚架，作弯矩图。
? 解：
? 计算各杆杆端弯矩。
? 计算汇交于结点 B,C各杆端的分配系
数。
? 列表计算各杆端弯矩。
80kN 160kN30kN/m
3m 3m 10m 3m 5mi=2
i=1 i=1
80kN 160kN30kN/m
3m 3m 10m 3m 5mi=2
i=1 i=1
分配系数 0.6 0.4 0.5 0.5
固端弯矩 0 90.0 - 250.0 250.0 -187.5 112.5
B 分、传
96.0 64.0 32.0
C 分、传 -47.2 -47.3 -23.6-23.6
B 分、传 14.2 9.4 4.7
C 分、传 -2.4 -2.3-1.2 -1.2
B 分、传
0.7 0.5 0.3
C 分、传 -0,1 -0.2
最后弯矩 0 200.9 -200.9 237.3-237.3 87.7
80kN 160kN30kN/m
200.9kN·m
120kN·m
237.3kN·m
375kN·m 87.7kN·m
300kN·m
M 图
结 点 A B C D
杆 端 AB BA BC CB CD DC
最后弯矩 0 200.9 -200.9 237.3 -237.3 87.7
例：用力矩分配法计算图示连续梁
? 图 (a)所示连续梁的悬臂端可转化为图 (b),进行计算。
分配系数 0.600 0.400 0.500 0.500 0.471 0.529
固端弯矩 0 0 - 80.0 +40.0 -60.0 +60.0 -25.0 +40.0 - 40
48.00 32.00 -16.49 -18.5124.0 16.00 -8.24
6.12 6.12 3.06 3.06
-1.84 –1.22 -1.44 -1.62-0.61 -0.72
0.66 0.670.33 0.33
-0.20 -0.13 -0.16 -0.17-0.07 -0.08
0.07 0.080.04 0.04
-0.02 -0.02-0.01
-0.92
-0.10
-0.01 -0.02 -0.02-0.01
0.01 0.01
杆端弯矩 22.97 45.94 -45.94 62.17 -62.17 45.32 -45.32 40.0 -40
弯矩图：
杆端弯矩 22.97 45.94 -45.94 62.17 -62.17 45.32 -45.32 40.0 -40
讨论：处理悬臂端的另两种方法
? 4/7 3/7 1.0 0
? -60 +60 -40
? -10 -20 0
? +40 +30
? +40 - 40 +40 -40
? 0.500 0.500 1.00 0
? -60 +60 -40
? +30 +30 +15
? -18 -35 0
? +9 +9 +4
? -2 -4 0
? +1 +1
? +40 - 40 +40 - 40
思考：
? 1,（ a），（ b） 两种不同的处理方
法，计算结果为何完全相同？
? 2,B点的分配系数不一样，为什么？
在计算中，我们应该注意些什么？
例：用力矩分配法计算图示对称刚架，作 M图。各杆 EI=常数。
6m
A
B C
D
E F
20kN 20kN
15kN/m
3m 3m 6m 3m 3m
解：
由于此对称刚架承受正对称荷载作用，可利用对称性取半刚架
进行计算。计算过程如下：
A
B
E
20kN
3m 3m 3m
O
15kN/m
A
B
E
20kN
3m 3m 3m
O
结 点 A E B O
杆 端 AB EB BE BA BO OB
分配系数 0.445 0.333 0.222
固端弯矩
分、传
最后弯矩
0.0 0.0 0.0 22.5 -45.0 -22.5
10.0 7.5 5.0 -5.0 0.0
0.0 5.0 10.0 30.0 -40.0 -27.5
( 弯矩单位,kN ·m )
15kN/m
5.0
6m
A
B C
D
E F
20kN 20kN
15kN/m
3m 3m 6m 3m 3m
杆 端 AB EB BE BA BO OB
最后弯矩 0.0 5.0 10.0 30.0 -40.0 -27.5
5
30
30
40
27.5
10
5
30
30
40
10
§ 9-6 超静定力的影响线
? 如图,超静定
次数为 2,可用力
法方程求出未知
量,X1,X2的影
响线。 X1,X2是
单位荷载 FP=1位
置 x的的函数。据
此，再求其他量
值的影响线。
FP=1
X1 X2
l1 l2
FP=1x
K
K
x
?,机动法”的概念,
? 设有一两次超静定结构，欲绘制其上
某指定量值 Z1 的影响线，可先去掉与 Z1
相应约束，并以 Z1 代替其作用。
基本未知量,Z1
基本体系, ( n-1 )次超静定结构。
力法基本方程：
δ11 Z1 + δ1P=0
FP=1
FP=1
Z1
Z1=1
δ11
δP1
δ1P
原结构：
基本体系：
B
B
δ11 Z1 + δ1P=0
Z1 =
δ1P
δ11
Z1 =
δP1
δ11
x
x Z1
FP=1
B
x
x
力法方程,δ11 Z1 + δ1P=0
解得,Z1 =
δ11
δ1P
由位移互等定理,δ1P = δP1
Z1 =
δ11
δP1
Z1( x )= δ
11
δP1 ( x )1
x 变化时：
函数 Z1(x)的变化图形就是 Z1的影响线。
函数 δ1P(x)的变化图形是荷载作用点的挠度图。
因此，位移图的轮廓即代表了 Z1影响线的轮廓。
例,MC影响线轮廓
MK影响线轮廓
K
K
MK MK
+
- -
+
-
δ11
FQK影响线轮廓
K
K
FQK FQK
δ11+
-
+
-
+
-
FQC右 影响线轮廓
FQC右 FQC右
δ11
+
-
+
-
+
连续梁各量值的影响线的具体数
值，可用教材介绍的方法进行计算。
同学们可自学。
§ 9-7 连续梁的最不利荷载分布及内力包络图
连续梁是工程上常见的一种结构。连续梁所受
荷载通常包括恒载和活载两部分。
设计时为了保证结构在各种荷载作用下都能安
全使用，必须求得各截面在各种荷载的作用下的
最大内力。
计算某截面在活荷载作用下的最大、最小内力
时，需事先知道相应的活荷载最不利分布情况，
可用影响线来判断。
连续梁在可动均布荷载作用下的最不利
荷载位置,K
+
- -
MK (min)荷载位置
MK (max)荷载位置
MK影响线轮廓
K
- -
+ +
MK (min)荷载位置
MK (max)荷载位置
MK影响线轮廓
在建筑工程中,连续梁将可能同时承受恒
载和活载的作用,设计时必须考虑两者的共同
作用，求出各个截面可能产生的最大和最小
内力作为设计工作的依据。
将梁上各截面的最大和最小内力按同一
比例绘在图上，连成曲线，这种曲线图形即
成为内力包络图。
梁的内力包络图有 弯矩包络图 和 剪力包
络图 。
连续梁弯矩包络图：
计算出连续梁每个截面的最大弯矩
（ M恒 +M max） 和最小弯矩（ M恒 +M min）
后，连成两条曲线（或折线），即为连续
梁的弯矩包络图。
作连续梁弯矩包络图的步骤：
1、绘出恒载作用下的弯矩图。
2、绘出每跨单独作用活载时的弯矩图。
3、根据以上弯矩图作弯矩包络图。
例见教材 P.478～ 480 。
渐进法习题课
? 重点：
? 用力矩分配法计算连续梁和无结点
线位移的刚架。
? 复习：
? 力矩分配法的几个概念：
? 转动刚度；分配系数；传递系数。
? 结点不平衡力矩；分配力矩；传递力
矩。
习题一：作弯矩图。各杆 EI=常数。
A CB
3m 6m3m
40kN 55kN·m
0.5 0.5
45.0 0.0
-50.0 –50.0
+5.0 –50.0
5kN·m60
50kN·m
M图
习题二：作弯矩图。各杆 EI=常数。
q=24kN/m
FP=16kN
2m
5m 4m
3m
2m
D
A B
C
q=24kN/m
FP=16kN
2m
5m 4m
3m
2m
D
A B
C
习题三：作弯矩图。各杆 E=常数。
1.5m 4m4m3m3m
3I II E A
B
C D
30kN 20kN/m80kN
§ 12-7 超静定结构的特性
特性 静定结构 超静定结构
几何组成 无多余约束的几何不变
体系
有多余约束的几何不变
体系
静力条件 由静力平衡条件可唯一
的确定结构的反力内力
只满足静力平衡条件的
内力解有无数多组
防护能力
荷载影响
范围
§ 12-7 超静定结构的特性
特性 静定结构 超静定结构
刚度比较
各杆刚度
对结构内
力分布的
影响
改变各杆刚度比值，
对结构内力分布无影
响。设计时可直接确
定截面尺寸。
改变各杆刚度比值，会使
结构内力重新分布。荷载
作用下的内力分布与各杆
刚度比值有关。设计时，
要进行试算，可人为调整
。
其他 没有荷载就没有内
力。（温度改变、
支座移动等因素不
引起结构内力）
温度改变、支座移动等因
素在超静定结构中引起内
力。内力分布与各杆刚度
的绝对值成正比。（刚度
愈大，内力愈大）
渐 进 法
及超静定力的影响线
渐进法的提出
? 计算超静定刚架或连续梁,无论采用力法或位
移法,均需建立和求解线性代数方程组。当未知量
较多时，计算工作非常繁重。有时几乎不可能完成。
为此，提出了渐进法，以避免解算联立方程组。
? 本章介绍：
? 1、力矩分配法。
? 2、无剪力分配法
? 3、力矩分配法与位移法的联合应用
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
? 力矩分配法是渐进法的一种，是位移法
的变体。适用范围是：连续梁和无结点线
位移的刚架。
? 以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩。
其结果的精度随计算轮次的增加而提高,最
终收敛于精确解。物理概念生动形象，计
算方法单一重复。
力矩分配法的基本概念：
? 1、等截面直杆的转动刚度
? 转动刚度 S。（ 等截面直杆的转动刚度系
数，劲度系数）
? 转动刚度表示杆端（件）对转动的抵抗能
力，即：使杆端产生单位转角所需力矩。
? 在此,
? A端 —— 转动端，施力端，近端。
? B端 —— 远端。
一、名词解释
? 刚度系数 远端支承情况
? S=3i (9-2) 铰支
? S=i (9-3) 滑动
? S=0 (9-4) 自由
SAB=MAB=4EI/l=4i
EI,l
EI,l
SAB=MAB=3EI/l=3i
EI,l
SAB=MAB=EI/l=i
SAB=MAB=0
S=4i (9-1) 固定 (刚结 )
注,
? (1),远端支承情况不同，转动刚度 SAB的
数值不同。
? （ 2）,转动刚度 SAB是施力端无线位移条
件下的刚度。（ A端只能转动，不能有线位移）
2、分配系数 μ
D A B
C
M
θA
A
M
MAB
MAC
MAD
? 以右图所示为例：
? 转角位移 θA。
? MAB=SAB θA =4iAB θA
? MAC=SAC θA = iAC θA (a)
? MAD=SAD θA =3iAD θA
? ∑M=0
? M= SAB θA +SAC θA + SAD θA
A
?∑S—— 各杆 A端转动刚度之和。
A
A B A C A D
A
MM
S S S S
? ??
?? ?
? 代入 （ a） 式，可得：
? MAB=(SAB / ∑ S)·M
? MAC=(SAC / ∑ S)·M (b)
? MAD=(SAD/ ∑ S)·M
? MμAj= μ Aj · M (9-5)
? μ Aj =S Aj / ∑ S (9-6)
? μ Aj —— 分配系数。 Aj杆 A端的（力矩）分
配系数。
? 即：相当于把结点外力偶按各杆的杆端分
配系数分配到各个杆端。
? 注意，同一结点各杆杆端分配系数之
和应等于 1,即：
? ∑μAj = μAB + μ AC + μ AD=1
? 各杆 A端（施力端）的弯矩与该杆端
的转动刚度成正比。转动刚度愈大，所
担负的弯矩愈大。
3、传递系数 C
? 力偶 M加于结点 A,使结点所联结的各杆
近端产生弯矩，同时，也使各杆远端产生弯
矩。
?
? 近端弯矩 远端（传递）弯矩 传递系数
远端固定 MAB=SABθA MBA=2iAB θA CAB=1/2
远端定向 MAB=SAB θA MBA= -iABθA CAB=-1
远端铰支 MAB=SAB θA MBA=0 CAB=0
?
? CBA = MBA /MAB 远端弯矩 /近端弯矩（ 9-10）
? MμAj = μAj · M
? 称为分配弯矩。
? MCBA=CBA ·MAB
? 称为传递弯矩。
二、基本运算（单结点的力矩分配）
FP
B A CθA
MBA
MAB
MAC
FP
MFBA MFAB
阻止转动的约束
A
1B C
MA
MFAB
MFAC
AB C
放松约束
M μAB M μACM CBA
+
=
二、基本运算（单结点的力矩分配）
? 1、锁住结点转角
? 把结构分为 AB,AC两段，各杆端产生固端
弯矩。
? ∑MA=0 MAF = MFAB + MFAC
? 在此，不平衡力矩 =固端弯矩之和，也称约
束力矩，顺时针为正。
? 2、放松结点
? 放松 A处的约束，梁的 1处转角即恢复到原
状态。
? 相当于在结点原有约束力矩的基础上，
加上反向的一个力偶荷载 (- MAF)，也称为
旋转力矩 。使梁产生新的变形。各杆端产
生相应的弯矩，即为分配弯矩。各杆远端
产生传递弯矩。
? 3、两种情况叠加，得出最后的杆端弯矩。
例：用力矩分配法计算图示连续梁，作弯
矩图。并求中间支座的支座反力。
?分配系数 0.571 0.429
?固端弯矩 -150 150 -90 0
分配传递 -34.3 -25.7
? 最后弯矩 -167.2 115.7 -115.7 0
-17.2 0
? 解,1、计算由荷载产生的固端弯矩。
? 2、计算分配系数。 3、叠加得出最后弯矩。
? 4、求支座反力。
FQAB F
QBA= -91.42kN
FQBA=79.28kN F
QCBF
yB=170.7kN
最后弯矩 -167.2 115.7 -115.7 0
例：用力矩分配法计算图示刚架，作弯 矩图。
? 解,
? 计算各杆固
端弯矩。
? 计算 A点各杆
端的分配系数。
? 列表进行力
矩分配法计算。
? 作弯矩图。
100 kN30kN/m
iAD=1.5iAB=2
iAC=2
4m 3m 2m
4m
100 kN30kN/m
iAD=1.5iAB=2
iAC=2
4m 3m 2m
4m
结 点 B A D C
杆 端 BA AB AC AD DA CA
分配系数 0.3 0.4 0.3
固端弯矩
分、传
最后弯矩
0 60.0 0 - 48.0 72.0 0
- 3.6 -4.8 - 3.6 -1.8 -2.4 0
0 56.4 - 4.8 - 51.6 70.2 - 2.4
( 弯矩单位,kN ·m )
56.4
60.0
51.6 70.2
120.0
4.8
2.4
M 图 （ kN ·m ）
最后弯矩
杆 端 BA AB AC AD DA CA
0 56.4 - 4.8 - 51.6 70.2 - 2.4
§ 9-2、多结点的力矩分配
? 对于多结点梁或刚架，逐次对每个结点应用基
本运算，即可求出各杆端弯矩。
? 以三跨梁为例：
? 1,B,C处加约束，分成三根单杆。加荷载，
求出约束力矩 MBF,MCF。
? 2,放松结点 B,结点 C仍夹紧。累加总变形如
图,B结点暂时平衡。
? 3、放松结点 C,重新夹紧结点 B。 （在已有变
形状态下夹紧） 。从图上可见，变形已较接近实际
变形。
? 以此类推，重复第 2、第 3步，连续
梁的变形和内力很快达到实际状态。
? 4、叠加以上各步，计算最后弯矩。
? 综上所述，多结点力矩分配即为：
每次只放松一个结点，相当于单结点分
配传递。最后将各步骤所得的杆端弯矩
（增量）叠加。
FP
MAB MBA
MBC
MCD MDC
FP
MFBC MFCB
MBF M
CF
MBF
M μBA M μBCMCAB MCCB
MFC’
MFC’’
M μCD MCDC
MFB’
+
+
+…
=
M μCBMCBC
MCB
φB φc
例,用力矩分配法计算图示刚架，作弯矩图。
? 解：
? 计算各杆杆端弯矩。
? 计算汇交于结点 B,C各杆端的分配系
数。
? 列表计算各杆端弯矩。
80kN 160kN30kN/m
3m 3m 10m 3m 5mi=2
i=1 i=1
80kN 160kN30kN/m
3m 3m 10m 3m 5mi=2
i=1 i=1
分配系数 0.6 0.4 0.5 0.5
固端弯矩 0 90.0 - 250.0 250.0 -187.5 112.5
B 分、传
96.0 64.0 32.0
C 分、传 -47.2 -47.3 -23.6-23.6
B 分、传 14.2 9.4 4.7
C 分、传 -2.4 -2.3-1.2 -1.2
B 分、传
0.7 0.5 0.3
C 分、传 -0,1 -0.2
最后弯矩 0 200.9 -200.9 237.3-237.3 87.7
80kN 160kN30kN/m
200.9kN·m
120kN·m
237.3kN·m
375kN·m 87.7kN·m
300kN·m
M 图
结 点 A B C D
杆 端 AB BA BC CB CD DC
最后弯矩 0 200.9 -200.9 237.3 -237.3 87.7
例：用力矩分配法计算图示连续梁
? 图 (a)所示连续梁的悬臂端可转化为图 (b),进行计算。
分配系数 0.600 0.400 0.500 0.500 0.471 0.529
固端弯矩 0 0 - 80.0 +40.0 -60.0 +60.0 -25.0 +40.0 - 40
48.00 32.00 -16.49 -18.5124.0 16.00 -8.24
6.12 6.12 3.06 3.06
-1.84 –1.22 -1.44 -1.62-0.61 -0.72
0.66 0.670.33 0.33
-0.20 -0.13 -0.16 -0.17-0.07 -0.08
0.07 0.080.04 0.04
-0.02 -0.02-0.01
-0.92
-0.10
-0.01 -0.02 -0.02-0.01
0.01 0.01
杆端弯矩 22.97 45.94 -45.94 62.17 -62.17 45.32 -45.32 40.0 -40
弯矩图：
杆端弯矩 22.97 45.94 -45.94 62.17 -62.17 45.32 -45.32 40.0 -40
讨论：处理悬臂端的另两种方法
? 4/7 3/7 1.0 0
? -60 +60 -40
? -10 -20 0
? +40 +30
? +40 - 40 +40 -40
? 0.500 0.500 1.00 0
? -60 +60 -40
? +30 +30 +15
? -18 -35 0
? +9 +9 +4
? -2 -4 0
? +1 +1
? +40 - 40 +40 - 40
思考：
? 1,（ a），（ b） 两种不同的处理方
法，计算结果为何完全相同？
? 2,B点的分配系数不一样，为什么？
在计算中，我们应该注意些什么？
例：用力矩分配法计算图示对称刚架，作 M图。各杆 EI=常数。
6m
A
B C
D
E F
20kN 20kN
15kN/m
3m 3m 6m 3m 3m
解：
由于此对称刚架承受正对称荷载作用，可利用对称性取半刚架
进行计算。计算过程如下：
A
B
E
20kN
3m 3m 3m
O
15kN/m
A
B
E
20kN
3m 3m 3m
O
结 点 A E B O
杆 端 AB EB BE BA BO OB
分配系数 0.445 0.333 0.222
固端弯矩
分、传
最后弯矩
0.0 0.0 0.0 22.5 -45.0 -22.5
10.0 7.5 5.0 -5.0 0.0
0.0 5.0 10.0 30.0 -40.0 -27.5
( 弯矩单位,kN ·m )
15kN/m
5.0
6m
A
B C
D
E F
20kN 20kN
15kN/m
3m 3m 6m 3m 3m
杆 端 AB EB BE BA BO OB
最后弯矩 0.0 5.0 10.0 30.0 -40.0 -27.5
5
30
30
40
27.5
10
5
30
30
40
10
§ 9-6 超静定力的影响线
? 如图,超静定
次数为 2,可用力
法方程求出未知
量,X1,X2的影
响线。 X1,X2是
单位荷载 FP=1位
置 x的的函数。据
此，再求其他量
值的影响线。
FP=1
X1 X2
l1 l2
FP=1x
K
K
x
?,机动法”的概念,
? 设有一两次超静定结构，欲绘制其上
某指定量值 Z1 的影响线，可先去掉与 Z1
相应约束，并以 Z1 代替其作用。
基本未知量,Z1
基本体系, ( n-1 )次超静定结构。
力法基本方程：
δ11 Z1 + δ1P=0
FP=1
FP=1
Z1
Z1=1
δ11
δP1
δ1P
原结构：
基本体系：
B
B
δ11 Z1 + δ1P=0
Z1 =
δ1P
δ11
Z1 =
δP1
δ11
x
x Z1
FP=1
B
x
x
力法方程,δ11 Z1 + δ1P=0
解得,Z1 =
δ11
δ1P
由位移互等定理,δ1P = δP1
Z1 =
δ11
δP1
Z1( x )= δ
11
δP1 ( x )1
x 变化时：
函数 Z1(x)的变化图形就是 Z1的影响线。
函数 δ1P(x)的变化图形是荷载作用点的挠度图。
因此，位移图的轮廓即代表了 Z1影响线的轮廓。
例,MC影响线轮廓
MK影响线轮廓
K
K
MK MK
+
- -
+
-
δ11
FQK影响线轮廓
K
K
FQK FQK
δ11+
-
+
-
+
-
FQC右 影响线轮廓
FQC右 FQC右
δ11
+
-
+
-
+
连续梁各量值的影响线的具体数
值，可用教材介绍的方法进行计算。
同学们可自学。
§ 9-7 连续梁的最不利荷载分布及内力包络图
连续梁是工程上常见的一种结构。连续梁所受
荷载通常包括恒载和活载两部分。
设计时为了保证结构在各种荷载作用下都能安
全使用，必须求得各截面在各种荷载的作用下的
最大内力。
计算某截面在活荷载作用下的最大、最小内力
时，需事先知道相应的活荷载最不利分布情况，
可用影响线来判断。
连续梁在可动均布荷载作用下的最不利
荷载位置,K
+
- -
MK (min)荷载位置
MK (max)荷载位置
MK影响线轮廓
K
- -
+ +
MK (min)荷载位置
MK (max)荷载位置
MK影响线轮廓
在建筑工程中,连续梁将可能同时承受恒
载和活载的作用,设计时必须考虑两者的共同
作用，求出各个截面可能产生的最大和最小
内力作为设计工作的依据。
将梁上各截面的最大和最小内力按同一
比例绘在图上，连成曲线，这种曲线图形即
成为内力包络图。
梁的内力包络图有 弯矩包络图 和 剪力包
络图 。
连续梁弯矩包络图：
计算出连续梁每个截面的最大弯矩
（ M恒 +M max） 和最小弯矩（ M恒 +M min）
后，连成两条曲线（或折线），即为连续
梁的弯矩包络图。
作连续梁弯矩包络图的步骤：
1、绘出恒载作用下的弯矩图。
2、绘出每跨单独作用活载时的弯矩图。
3、根据以上弯矩图作弯矩包络图。
例见教材 P.478～ 480 。
渐进法习题课
? 重点：
? 用力矩分配法计算连续梁和无结点
线位移的刚架。
? 复习：
? 力矩分配法的几个概念：
? 转动刚度；分配系数；传递系数。
? 结点不平衡力矩；分配力矩；传递力
矩。
习题一：作弯矩图。各杆 EI=常数。
A CB
3m 6m3m
40kN 55kN·m
0.5 0.5
45.0 0.0
-50.0 –50.0
+5.0 –50.0
5kN·m60
50kN·m
M图
习题二：作弯矩图。各杆 EI=常数。
q=24kN/m
FP=16kN
2m
5m 4m
3m
2m
D
A B
C
q=24kN/m
FP=16kN
2m
5m 4m
3m
2m
D
A B
C
习题三：作弯矩图。各杆 E=常数。
1.5m 4m4m3m3m
3I II E A
B
C D
30kN 20kN/m80kN
§ 12-7 超静定结构的特性
特性 静定结构 超静定结构
几何组成 无多余约束的几何不变
体系
有多余约束的几何不变
体系
静力条件 由静力平衡条件可唯一
的确定结构的反力内力
只满足静力平衡条件的
内力解有无数多组
防护能力
荷载影响
范围
§ 12-7 超静定结构的特性
特性 静定结构 超静定结构
刚度比较
各杆刚度
对结构内
力分布的
影响
改变各杆刚度比值，
对结构内力分布无影
响。设计时可直接确
定截面尺寸。
改变各杆刚度比值，会使
结构内力重新分布。荷载
作用下的内力分布与各杆
刚度比值有关。设计时，
要进行试算，可人为调整
。
其他 没有荷载就没有内
力。（温度改变、
支座移动等因素不
引起结构内力）
温度改变、支座移动等因
素在超静定结构中引起内
力。内力分布与各杆刚度
的绝对值成正比。（刚度
愈大，内力愈大）
