第一部分
静定结构
? 本部分讨论静定结构。
? 内容包括：静定结构的内力分析和位
移计算。
? 静定结构分析的要点：
? 1,如何选择, 好的, 隔离体；
? 2,怎样建立比较简单而又恰当的平衡方
程，计算最为简捷。
基本理论：隔离体、平衡方程。
对基本原理，困难不在于理解，而在于运
用；不在于知识，而在于能力。
提高在四个方面：
（ 1）从单杆分析（梁、简单桁架）到杆系
分析，即复杂的静定结构。
（ 2）从静力分析与构造分析的内在联系中，
找出结构静力分析的规律。
（ 3）在静力分析的基础上，找出结构的受
力性质与合理形式，（总结、优化和创新）。
（ 4）从固定（恒）荷载分析到移动（活）
荷载分析。
第三章 静定结构的受力分析
§ 3-1 梁的内力计算回顾
§ 3-2 静定多跨梁
§ 3-3 静定平面刚架
§ 3-5 静定平面桁架
§ 3-7 组合结构
§ 3-8 三铰拱
第 三 章
静定结构的受力分析
常见,简支梁、悬
臂梁、伸臂梁。
计算方法,取全梁
为隔离体，可用平面一
般力系，三个平衡方程。
组成,两刚片组成规
律。三个支座反力。
一,单跨静定梁的反力
§ 3-1 梁的内力计算回顾 （复习）
二、用截面法求指定截面上的内力
? 计算内力的方法,
截面法。
? 横截面上的内力：
FN,FQ,M。
? 正负号规定,轴力
和剪力如图所示。弯矩
在结构力学中，不规定
正负号，画弯矩图时，
弯矩画在受拉纤维一面，
不注明正负号。
dx
FN FN
FQ FQ
M M
（内力分量及正负号）
截面内力算式：
? 轴力 =截面一边所有外力沿杆轴切线
方向的投影代数和 。
? 剪力 =截面一边所有外力沿杆轴法线
方向的投影代数和。
? 弯矩 =截面一边所有外力对截面形心
的力矩代数和 。
三,内力图的特征
? 1、荷载与内力之间的微分关系，
由材力知：微元体平衡方程推导出：
Q
y
Q
x
N
F
dx
dM
q
dx
dF
q
dx
dF
?
???
??
)13(
qxFN
FQ
M FN+⊿ FN
FQ+⊿ FQ
M+⊿ M
y
dx
x
qy
? 2、荷载与内力之间的增量关系, Fx、
Fy,MO为集中荷载,
O
yQ
xN
MM
FF
FF
??
???
???
2)-(3
FN
FQ
M FN+⊿ FN
FQ+⊿ FQ
M+⊿ M
y
dx
xFxF
y
MO
由平衡方程得出增量关系：
3、荷载与内力之间的关系
??? BAxx xNANB dxqFF
??? BAxx yQAQB dxqFF
??? BAxx QAB dxFMM
积分的几何意义：
B 端轴力 =A 端轴力 -该段荷载 qx图的面积。
B 端剪力 =A 端剪力 -该段荷载 qy图的面积。
B 端弯矩 =A 端弯矩 +该段剪力图的面积。
4,剪力图与弯矩图的形状特征
（据上面的各种关系推出）
梁上情
况内力图
剪
力
图
弯
矩
图
无外力
区段
常数
(水平线 )
直线变化
(平直线或
斜直线 )
均布荷载 qy作
用区段
斜直线
(自左至右 )
抛物线
(凸出方向
向同 qy指向 )
零
极
值
集中荷载 Fy作
用处
有突变
(突变值为 Fy)
有尖角
(尖角突出方
向同 Fy指向 )
集中力偶
MO作用处
无变化
有突变
(突变值
为 MO)
铰
处
为
零
注：
? (１ )在铰结处一侧截面上如无集中力偶
作用,M＝ ０。
? 在铰结处一侧截面上如有集中力偶作用，
则该截面弯矩＝此外力偶值。
? (２ )自由端处如无集中力偶作用，则该
端弯矩为零。
? 自由端处如有集中力偶作用，则该端弯
矩 ＝ 此外力偶值 。
144
16
113.6
80
M图 (kN? m)
72
88
60 20
FQ图 ( kN )
x=5.6m
例：用内力图规律作梁的剪力图和弯矩图
解,1、求支座反力
2、绘剪力图
3、绘弯矩图
控制截面,集中力（包括反
力）作用点左右；分布荷载起、
终点，自由端等等。
本题,A右,C左,B左,B右,D
控制截面,集中力（包括反
力）作用截面；分布荷载起、终
点；集中力偶作用截面左右；自
由端；剪力零点处等等。
本题,A,C左,C右,B,D
FyA = 72kN（ ↑） FyB = 148kN （ ↑）
FyA FyB
A
B
2m
FP=20kNM=160kN?mq=20kN/m
8m
C D
2m
四,分段叠加法作弯矩图
?1.简支梁弯矩叠加,
?梁上荷载,跨间荷载 FP(或 q),
? 杆端力偶,MA,MB。
?分为两组,
(1) MA,MB 单独作用,M 图是直线,
(2) FP 单独作用,M0 图是折线。
在 M图的基础上加 MO,即为总的 M图。
a b
l=
MA
FPM
A MBA B
C
MA MBMA MB
FP
FP ab/l
MBFPab/l
+
M 图
M0 图
M 图
注：
（ 1） 弯矩图叠加,是纵坐标叠加,不是图形
的简单拼合,其关系为,
（ 2）同侧弯矩纵坐标相加，异侧弯矩纵坐标
相减。
MO的竖标 ⊥ 梁轴线。
M(x)＝ M（ x）＋ MO（ x）
2, 结构中任意直杆段弯矩的叠加法
?取 AB 段
? 跨中荷载 q
? 杆端力：
? 弯矩 MAB,MBA
? 剪力 FQAB,FQBA
? 轴力 FNAB,FNBA
不影响弯矩，可暂
不予考虑 。
? 比较相应简支梁
? 跨中荷载 q
? 杆端弯矩 MAB,MBA
? 支座反力 FYA,FYB
? 应用平衡条件
?分别可从 b）,c） 中得出,FQAB,FQBA
和 FYA0,FYB0
? 可知,FYA0=FQAB,FYB0=FQBA
? 故知,b）,c） 中,弯矩图完全相同。
?作任意直线段弯矩图 归结 作相应
简支梁弯矩图。
lAB
qF
P
A B
M0
(a)
BA
q
FQBAFQAB
FNBAFNAB
MBAMAB
(b)
qA
BMAB MBA
FYA0 FYB0
(c)
(d)
MAB
MBA
qlAB2/8
用分段叠加法作直杆 M 图的步骤
?(1),竖,用截面法求杆端弯矩 。
?(2),联,将杆两端弯矩纵标联以直
线
?(3),叠加,以联线为基础，叠加由
于杆跨上荷载所产生的简支梁弯矩
图。
3、梁弯矩图的一般作法
? (1)求控制截面（点）的弯矩值，
画在图上 。（控制点：集中力作用
处，分布 q的起、终点等）
? (2)分段作 M图，取, 无荷段连
直线，有荷段加简支, 。
五、示例：
? 作图示简支
梁的内力图。
q=20kN/m FP=40kN
FyA =70kN F
yB =50kN解：
1、求支座反力
2、作剪力图
+
-
70
10 50
FQ图 （ kN)
3、作弯矩图
120
40
100 40 100 M图
（ kN·m)
例：
? 作图示梁的内
力图。
FP= 40kN q=20kN/m M=20kN·m
1、求支座反力。
FyA =35kN FyB =45kN
2、作弯矩图。
3040× 2/4=20 35
20
20× 22/8=10
M图 (kN·m)
§ 3-2 静定多跨梁
? 由中间铰将若干根梁（简单梁）
联结在一起而构成的静定梁，称为静
定多跨梁。
?1、几何组成：
?基本部分 +附属部分。
? （ 1）,基本部分,不依赖其它部分，
本身能独立承受荷载并维持平衡。
? （ 2）,附属部分,依赖于其它部分而
存在 。
?2、层叠图和传力关系
? （ 1）、附属部分荷载 传 基本部分或
支撑它的附属部分。
? （ 2）、基本部分的荷载对附属部分无
影响，从层叠图上可清楚的看出来。
3、计算原则
?先计算附属部分，
?再计算基本部分 。
组成,先固定基本部分，再固定
附属部分（搭）。
计算,先计算附属部分，再计算
基本部分（拆）。
FP1
FP1
FP2
FP2
FP3
FP3
FP1
FP1
FP2
FP2
FP3
FP3
例：作图示梁的内力图 FP
A B
C D
E F
G
2a a a a a a/2
A B
FP
D
F
G
C
E
FP
D
F
GF
P/2
3FP/2
C
E FP/2
FP/
2 F
P
A B FP/2
FP/4 3FP/4
A
B
C
D
E F
G
A
B C DE
F
G
FP a/2
FP a/2
FP a/2
FP
FP /2
FP /2
FP /4
M 图
Q 图
FP
D
F
GF
P/2
3FP/2
C
E FP/2
FP/
2 F
P
A B FP/2
FP/4 3FP/4
例：
6kN
10kN 2kN2kN/m
3+2=5kN
2kN 4kN
12.5kN2.5kN 13kN 9kN
8kN·m
15kN·m
7.5kN·m10kN·m
2.5kN
12kN·m 4kN·m
16kN·m
2kN/m6kN3kN10kN
2kN
10kN·m
15kN·m
7.5kN·m 8kN·m
12kN·m
4kN·m
16kN·m
M 图
多跨静定梁的弯矩图
10kN 2kN2kN/m
3+2=5kN
2kN 4kN
12.5kN2.5kN 13kN 9kN
6kN
FQ图 ( kN )
+
2.5
7.5
5
-
+ 2
4
-
9
7
+
-
2
+
10kN·m
2.5kN
10kN·m
15kN·m
7.5kN·m 8kN·m
12kN·m
16kN·mM 图
21kN·m
14.25kN·m
21.25kN·m
4kN·m
16kN·m
4kN·m
一系列简支梁的 M图
2kN/m6kN3kN10kN
2kN
§ 3-3 静定平面刚架
? 一、刚架的特点（组成及类型）
? 1、刚架, 由梁柱相互刚结（或部分
铰接）组成，主要由刚结点维持的几何不
变的体系。
? 优点,刚度大，净空大，应用广。
? 变形特点,在
刚结点处各杆不能发
生相对转动，各杆件
可以产生弯曲、剪切、
轴向变形。
? 受力特点,内
力相应有 M,FQ,FN。
杆件可称为, 梁式
杆, 。
FP1
FP2
2,类型
二、静定 刚架支座反力：
? 求解静定刚架时,悬臂式 刚架
可先不求反力； 简支式 刚架,三铰
式 刚架和组合类型刚架，一般应先
求反力，再进行内力计算。
三,各杆的杆端内力
? 1,计算方法：隔离体，平衡方程，
截面法。
? 2,内力表示方法：内力符号双脚标，
两个字母表示两个杆端,第一个字母表示
杆端力是哪一端的，如 MAB为 AB杆 A端
的弯矩。
?3、内力正负号规定：
? 弯矩 M— 不规定正负方向，弯矩图
纵坐标画在杆件受拉纤维一边。
? 剪力 FQ— 规定同材力。
? 轴力 FN— 规定同材力。
4、计算步骤
?反力 → M图 → FQ图 → FN图 → 校核
四、例题
? 1、悬臂刚架
? 解,
? (1)、计算支座
反力。
? (2)、作弯矩图。
? 先求各杆杆端弯
矩，再用分段叠加法
作弯矩图。
FP1=1kN FP2=4kN
q=
0.4k
N/m
FxA=3kN
FyA =3kN
FP3=1kN
MA=15kN·m
C
B
FP1=1kN
MBC
B D E
FP2=4kN
FP3=1kN
MBE
A
B
MBA
FxA =3kN
FyA =3kN MA=15kN·m
B
FQBC
FQBE
FQBA
作隔离体图,如左图,
FP1=1kN
FP2=4kN
FP3=1kN
q=
0.4kN/
m
（ 2）、作弯矩图,
? 求各杆杆端弯矩,
? CB段, MCB=0
? MBC=1kN·m (左侧受拉 )
? BE段, MEB=0
? MBE= - 4kN·m(上侧受
拉 )
? BA段,
? MBA=5kN·m (左侧受拉 )
? MAB=15kN·m(左侧受拉 )
1
4 4
2
5
15
1.25
M 图
(kN·m)
C
B
FP1=1kN
MBC
B D E
FP2=4kN
FP3=1kN
MBE
A
B
MBA
MA=15kN·m
B
FQBC
FQBE
FQBA
（ 3）、作剪力图,
? 由杆件平衡计算杆端剪
力,再由规律作剪力图。
? CB杆, FQBC=+1kN
? FQCB=?
? BE杆, FQBE=+3kN
? FQEB=?
? BA杆, FQBA=+1kN
? FQBC=?
? 由杆件平衡计算杆
端剪力，再由规律作剪
力图。
? CB杆, FQBC=+1kN
? FQCB=?
? BE杆, FQBE=+3kN
? FQEB=?
? BA杆, FQBA=+1kN
? FQBC=?
+1 +
3
1
-
3
+ F
Q 图
( kN )
（ 4）、作轴力图,
? 由结点平衡计算杆端
轴力，再由规律作轴力
图。
B1
1
3
FNBC=0
FNBC= - 3kN
FNBC=0 -
3 FN 图
( kN )
（ 5）、校核：
? 由结点弯矩平
衡校核弯矩计算是
否正确。
? 用计算中未使
用过的隔离体平衡
条件校核结构内力
计算是否正确。
B
MBC=1kN·m
MBE= 4kN·m
MBA=5kN·m
FP1=1kN F
P2=4kN
FP3=1kN
1kN
3kN
5kN·m
2、简支刚架
? 解,
? （ 1）、求支座
? 反力
? ∑y=0
? FCy =80kN(↑)
40kN
40kN ·m 20kN/m
FCy=80kNFAx=120kN
FBx=80kN
O
? ∑m0=0
? FAx=120kN(←)
?∑x=0
?FBx=80kN(→)
?校核,∑mC=0
（ 2）、求杆端弯矩，作弯矩图
? 可利用特点，直
接作弯矩图。
? MAD=0
? MDA=120× 3
? =360kN·m
? （ 右侧受拉）
? MBE=0
? MEB=80× 4
? =320kN·m
? （ 左侧受拉）
40kN
40kN ·m 20kN/m
FCy=80kNFAx=120kN
FBx=80kN
?MGF=0
?MEB=40× 2=80kN·m（ 左边受拉）
? MFC=40× 2=80kN·m（ 上边受拉）
=MCF
? 求 MDE,MED和
MEC。
? MDE=120× 3+4
0
? =400 kN·m
? =MED
? （ 下侧受拉）
40kN
40kN ·m 20kN/m
FCy=80kNFAx=120kN
FBx=80kN
40kN ·m
FAx=120kN
MDE
40kN
20kN/m
FCy=80kN
MEC
? MEC=80× 4 -
20× 4× 2-20× 2
? =80kN·m
? （下侧受拉）
? 作弯矩图。
360
400
320
80
80
40? （ 3）、校核：
? 各刚结点弯矩
是否平衡。
D
M 图 （ kN ·m）
40kN ·m
MDA =360kN·m
MDE=400kN·m
EMED=400kN·m
MEB=320kN·m
MEC=80kN·m
3、三铰刚架
? （包括有斜杆的
静定刚架）
8kN/m
6 2
6.325m
解,
1、求支座反力。
36kN 12kN
11.077kN
11.077kN
∑MB=0
FAy =36kN(↑)
∑MA=0
FBy =12kN(↑)
∑x=0 FAx = FBx = Fx
∑MC=0 6.5FBx – 6 FBy =0
FBx = Fx =11.077kN(←)
? 2、作弯矩图。
? MAD=0
? MDA=MDC
? =11.077× 4.5
? =49.847kN·m
? （ 外侧受拉）
? MCD=0
? MBE=0
? MEB= MEC
? =49.847kN·m
? （ 外侧受拉）
8kN/m
12kN
11.077kN
36kN
11.077kN
49.487
8× 62/8=36
49.487
M 图 (kN·m)
? 3、作剪力图 8kN/m
12kN
11.077kN
36kN
11.077kN
36kN
11.077kN
49.847kN·m
FQDA
FNDA
= -11.077
8kN/m
α 6
26.32549.847kN·m
FQDC
FQCD
FNDC
FNCD
=30.648kN
= - 14.886kN
49.847kN·m
FQEC
FQCE
FNCE
FNEC
= - 7.881
11.077
-
30.648
14.886
+
7.811
-
11.077 +
FQ 图 (kN)
? 4、作轴力图 8kN/m
12kN36kN
11.077kN
11.077
11.077kN
30.648kN
36kN
FNDC= - 21.892kN
14.886kN 7.881k
N
FNCD= - 6.713kN FNCE= - 14.303
-
36
21.892
6.713-
14.303
- 12
-
FN 图 (kN)
小结：
? （ 1）、三铰刚架在竖向荷载作用下，
有水平反力。用整体三个平衡方程不能
求出所有反力，需用铰 C处弯矩为零的条
件。 （三刚片组成的体系，求反力的特点）
? （ 2）、注意斜杆的弯矩、剪力、轴力
的计算。
速绘弯矩图：
l/2 l/2
M M M
FP
FP
2M/l
2M/l
M/lM/l
M/l M/l
FP /2 FP /2
FP /2
FP /2
FP /2 FP /2
FP /2
FP /2
4、多层多跨刚架
? 多层多跨静定刚架一般有两种基本组
成形式：
? ①、基本部分 +附属部分组成形式。
? ②、三刚片组成形式。
? （ 1）、基本部分 +附属部分组成形式
? 计算原则：
? ①、进行组成分析，找出基本部分和附属
部分；
? ②、先计算附属部分，再计算基本部分。
举例说明：
? 解：
? 1、组成：
? 基本部分,AFGB
? 附属部分,FHJG
? 2,计算：
? 先计算 FHJG部分，
? 再计算 AFGB部分。
? 计算图示于下。
M=24kN ·m
FP=8kN
M=24kN ·m
FP=8kN
M=24kN ·m
33
3
3
FP=8k
N
3 333
71
11
M=24kN ·m
33
3
3
FP=8k
N
3 333
71
11
12 12
24
12 124 4
16 16
M 图
（ kN ·m）
M=24kN ·m
33
3
3
FP=8kN
3 333
71
11
3
-
3
- 3
+
3 3
1
-
1
+
4
+
-
4
FQ 图 (kN)
M=24kN ·m
33
3
3
FP=8kN
3 333
71
11
+
3
3
- 3
-
1-
7
-
2
+
FN 图 (kN)
（ 2）、三刚片组成的复杂刚架
? 解：
? 1、上部体系为
三刚片组成规律，
上部体系与基础两
刚片组成规律。
? 2、先计算支座
反力，再计算上部
体系。
FP=8kN
8kN
12kN12kN
FP=8kN
8kN
12kN12kN
8kN
12kN12kN
44
80
FP=8kN
44
8
8kN
12kN12kN
44
0
FP=8kN
44
8
32 32
32
M 图 (kN·m)
8kN
12kN12kN
44
0
FP=8kN
44
8
8
+
8
+
-
8
4
-
FQ 图 (kN)
8kN
12kN12kN
44
0
FP=8kN
44
8
12
12
+ -
4
+ -8
+
8
-
FN 图 (kN)
4
(3)、多层多跨刚架举例 （只讨论分析过程）
FP
FAy FBy FCy FDy
FAx
FDx
O1
FAR
O2
FDR
F1x
F1y
F2x
F2y
? 若荷载特殊，如上图，可不解联立方程。
? 若荷载任意，则必解联立方程组。
? 一、计算简图及受力特性
? 1、计算简图
实 际 结 构
计 算 简 图
§ 3-5 静定平面桁架
2、计算假定
? （ 1）、各杆两端用绝对光滑而无摩擦的理
想铰相互联结。
? （ 2）、各杆的轴线都是绝对平直，且在同
一平面内并通过铰结点的中心。
? （ 3）、荷载和支座反力都作用在结点上并
位于桁架平面内。
3,桁架的受力特点
? 桁架主要承受轴力，杆上的应力分布均
匀，材料可充分利用，用料节省，自重轻，
大跨度结构常常采用此种结构形式。
? 桁架的计算简图并不符合实际结构，
桁架中存在 主内力 和 次内力 。
? 由铰接计算简图计算出的轴力称为主
内力。
? 实际结构由于不满足计算假定而产生
的附加内力（主要为弯矩），称为次内力。
二、桁架介绍
上弦杆
下弦杆
竖杆
斜杆 d节间
三、桁架类型
? 桁架可以有许多种分类方法，如：
? 空间、平面。
? 静定、超静定。
? 外形、支座反力等。
? 从计算方法入手，一般应按桁架的几
何组成方式分类。
按照桁架的几何组成方式分类
? 1、简单桁架：
? 由基础或一个基本三角形开始，依次
增加二元体所组成的桁架。
? 2、联合桁架：
? 由几个简单桁架按照两刚片或三刚片
相联的组成规则联成的桁架。
? 3、复杂桁架：
? 不是按照上述两种方式组成的其它桁
架。
四,桁架的 计算方法
（结点法、截面法及其联合应用）
斜杆内力的常用算法：
注意,计算时，通常都先假定杆件内力为拉力，
若所得结果为负，则为压力。
l
lx
ly
A
B
FN
FN
FN
FN
x
FN
y
y
Ny
x
NxN
l
F
l
F
l
F ??
（ 3-4）
在求桁架的内力时，可截取桁架的结点为隔
离体，利用各结点的静力平衡条件计算各杆的内
力（轴力），此法称为 结点法 。
对于简单桁架，利用结点法可计算出全部各
杆的内力。注意计算按组成的相反顺序。
1、结点法
（ 1）示例
用结点法
求图示桁架
各杆的轴力。
8kN
20kN
解：
(1),求反力。
(2)、内力计算。
Fx1=8kN
Fy1=6kN F
y2=14kN
3
4
5 3
1 3
2
10
13
? 结点 1:
? ∑y =0 Fy13+Fy1=0
? Fy13= - 6kN
? Fx13= - 6× 4/3= - 8kN
? FN13= - 6× 5/3= - 10kN
? ∑x=0 FN12+Fx13 – 8=0
? FN12= - ( -8)+8=16kN
Fx1=8kN
Fy1=6kN
FN13
FN12
Fy13
Fx13 8kN
20kN
Fx1=8kN
Fy1=6kN F
y2=14kN
3
4
5 3
1 3
2
10 13
20kN
16kN
FN24
FN23
Fx23
Fy23
? 结点 2:
? ∑y =0 Fy23 – 20 =0
? Fy23= 20kN
? Fx23= 20× 1/3= 6.67kN
? FN23= 20× √10/3= 21.08kN
? ∑x=0 FN24+Fx23 – 16=0
? FN24=( -6.67)+16=9.33kN
8kN
20kN
Fx1=8kN
Fy1=6kN F
y2=14kN
3
4
5 3
1 3
2
10 13
8kN
10kN
21.08kN
FN34
? 结点 3:
? ∑y =0 -Fy34- 20+6=0
? Fy34= - 14kN
? Fx34= - 14× 2/3= - 9.33kN
? FN34= - 14× √13/3= - 16.83kN
8
6 206.67
8kN
20kN
Fx1=8kN
Fy1=6kN F
y2=14kN
3
4
5 3
1 3
2
10 13
校核,
结点 4，可作校核用。
Fy2=14kN
FN24=9.33kN
FN34=16.83kN
8kN
20kN
Fx1=8kN
Fy1=6kN F
y2=14kN
3
4
5 3
1 3
2
10 13
注：
? 1、简单桁架，可按不同的结点次序组成，
用结点法计算时，可按不同的顺序截取结点脱
离体进行计算。
? 2、利用分力与合力的几何关系，可用分力
代替合力，以简化计算。
? 3、选择适当的投影轴，一个轴垂直于一个
（或几个）未知力，避免解联立方程。
? 4、用结点法计算桁架轴力时，有时可利用
力的滑移原理，然后用力矩方程进行计算。
? 例如：
38kN
10kN
8
6
21.08kN
6.67
20 FN34
F34x
F34y
（ 2）、结点单杆
（结点汇交力系平衡的特殊情况）
如果在同一结点的所有内力为未知的各杆中，除某
一杆外，其余各杆都共线，则称该杆为此结点的单杆。
有如下两种情况：
① 结点只包含两个 未知 力杆，且此两杆不共线，
则每杆都是单杆。
② 结点只包含三个未知力杆，其中有两杆共线，
则第三杆都是单杆。
单杆 单杆
FP
FP
单杆
关于结点单杆的一些性质：
① 结点单杆的内力，可由该结点的平衡条件直接求
出。而非结点单杆的内力不能由该结点的平衡条件直接
求出。
② 当结点无荷载时，单杆的内力必为零。或者，
无载结点的单杆必为零杆。
FN1
FN2
FN1= FN2 =0
FN1 FN2
FN3=FN1 FN2
= 0FN3
通常将内力为零的杆称为“零杆”
③ 如果依靠拆结点单杆的方法可以将整个桁架拆完，
则此桁架即可应用结点法按照每次只解一个未知力的方
式将各杆内力求出。
a a
a
a
10kN
1
2 3
4
5
6
7
8 910
11
12
10kN
? 例：
? 应用以上结论，简化下列桁架的计算。
FP
0 00 0
0 00 0
0 00
0
0
0
0
0
? 例,判断图示桁架有几根零杆?
00
00
0
FP FP
2,截面法
取部分桁架为脱离体，利用平面一般力系
的平衡条件，求截断杆内力。
对于求联合桁架中的联系杆，简单桁架的指
定杆，复杂桁架的特殊杆件的轴力等问题，使
用截面法计算较简便。
（ 1）、一般情况，基本方法
? 求图示桁架杆 13,14,24的轴力。
? 解,（ 1）、求反力。
l= 6d
h1 h2
FP FP FP FP FP
FyA FyB
（ 2）、计算指定杆轴力，作截面 I-I 。
I
I
l= 6d
h1 h2
FP FP FP FP FP
FyA FyB
I
I
FyA
FN13
FN14
FN24 4
O
a
3
Fx13
Fy13
Fx14
Fy14
∑M1=0 求出 FN24
∑M4=0 求出 Fx13
∑MO=0 求出 Fy14
FP
（ 2）、截面单杆
（ 截面平衡的特殊情况）
①、截面上只截断三根
杆，且此三杆不交于一点
（或不彼此平行），则其
中每一杆都是截面单杆。
a
m
m
②、截面上截杆件数大
于 三 根，但除某一杆外，
其余各杆都交于一点（或
都彼此平行），则此杆也
是截面单杆。
a
m
m
关于截面单杆的性质：
截面单杆的内力可从本截面相应的隔离体的平衡条
件直接求出。
例：求图示桁架杆 1轴力。
? 解：
? 求反力。
? 取截面 I-I。
? 由 ∑MD=0
? FN1·2a+2FP(l+a)-FP
(2l-a)=0
? FN1= - 2FP / 3
a a
l 2l
FP
A
B C
D1
2FP
I I
FN1
例：求图示桁架杆 1轴力。
? 解：
? 取截面 I-I。
? 由 ∑MB=0
? FN1·d+FP·3d=0
? FN1= - 3FP
d d d
A
B
FP1
I
I
FN1
d
例：求图示桁架杆 1轴力。
? 解：
? 求反力。
? 取截面 I-I右部。
? 由 ∑x’=0
? - FN1·cos45o+FBy·
? cos45o=0
? FN1= FBy =0.75 FP
a/2 a/2 a/2 a/2
a/2
a
FP
A B
1
FAy= FP /4
FBy= 3FP /4
I
I
x’
FN1
（ 3）、用截面法计算联合桁架
? 求联合桁架的轴力，必须先用截面法求出
联接杆的内力。
? 联合桁架可分为两种类型。
? 一类是按两刚片相联规则组成的联合桁架。
另一类是按三刚片相联规则组成的联合桁架。
①、按两刚片规则组成的联合桁架
? 例：分析图示桁架。
A B
C
FP1 FP2
FxA
FAy
FyB
I
I
FyB
FN3
FN2
FN1
解：
求支座反力。
作截面 I—I
由 ∑MC=0
求出 FN1。
FP2
例：
? 分析图示桁架。
A B
C
D E
F
FP
FyA=FP /4 FyB=3FP /4
解：求支座反力。
作截面切断杆 AC、
DE,BF。
FyB
FN1
FN2
FN3
∑x=0 FN1=0
∑M0=0 FN3= - FBy O
∑y=0 FN2=0
再由结点法计算其
余杆轴力。
②、按三刚片规则组成的联合桁架
? 例：分析图示桁架。
A B
C
D
E
FP1FP2
解：求支座反力。
FxA
FyBF
yA
用双截面法求联接处内力。
Ⅰ Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
FP1FP2
FxA
FyA FyB
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
FyEFyD FEy
FxD
FyD
FxE
FxC
FyC
3,结点法与截面法的联合应用
? 在桁架计算中，对于某一杆件的内力，如
果只用一个的平衡条件或只作一次截面均无法
解决时，可把结点法和截面法联合起来应用，
往往能收到良好的结果。
? 实例说明。
例：截面隔离体与结点隔离体联合求解杆内力
? 求 a,b两杆轴力。
d d d
d
d
A
B
C
D
FP
a
b作截面 I - I Ⅰ
Ⅰ
FNa
FNb
∑y=0
FNcFNa cos45
o-FNc cos45o+FP=0 K
K
FNa
FNc
∑x=0 FNa = - FNc
取结点 K：
2FNa cos45o= - FP
FNa = - 0.707FP
Ⅱ
Ⅱ
例：多个截面隔离体与结点隔离体联合求解
? 求 a 杆轴力。
此桁架为复杂
桁架。
FP
A
B
C
D
abF
yA
FyB
FyC
Ⅰ
Ⅰ
FNa
FyB
FNaFNb
由结点 B
∑x=0 FNa=FNb
∑y=0
FNa sin450+ FNbsin450+ FyB=0
FyB = - √2 FNa ①
由截面 I-I右 ∑MD=0
FyC = Fna√2/3 ②
FP
A
B
C
D
abF
yA
FyB
FyC
Ⅰ
Ⅰ
FNa
由整体平衡,
∑MA=0
FyB+2FyC - FP=0 ③
①、② → ③
PNa FF 2
23??
附加：利用对称性计算桁架
? 条件：结构对称，荷载（包括反力）正对
称，或反对称。
? 利用对称性计算桁架时，关键是注意位于
对称轴上的杆件。
1、正对称荷载作用
? 桁架对称（非严
格），荷载正对称。
? 所以反力、内力
均为正对称。
FP FP
1 2
3
4 5
注意结点 C：
FN1 F
N2
FN1 = FN2 = 0
因为正对称,FN1 = FN2
因为结点平衡,FN1 = - FN2
故只能有：
2、反对称荷载作用
? 桁架对称（非严
格），荷载反对称。
? 所以反力、内力
均为反对称。
FP FP
1 2
3
4 5
注意对称轴上的单
杆 —— 杆 3。
在此，只能有：
FN3=0
2、一般荷载作用
d
d
d
d
FP
FP
FPFP
正对称荷载
反对称荷载
FP /2FP /2
FP /2
FP /2
0 00
0
0
0
0 0
0
+FP /2 +FP /2
FP /2FP /2
FP /2FP /2
FPFP
0
0 0+F
P -FP
+FP /2 -FP /2
√2FP
2
-√2FP
2
-√2FP
2
√2FP
2
(b)
(a)
各杆轴力 =(a)+(b)
0
0
0
+FP 0
4,各类梁式桁架比较
? 设计桁架结构时，应根据不同的情况和要
求，先选定适当的桁架形式。
? 因此就必须明确桁架的形式对其内力分布
和构造的影响，了解各类桁架的应用范围。
? 在建筑结构中常用的三种桁架为：
? 三角形桁架、平行弦桁架和抛物线形桁架。
10kN 10kN 10kN 10kN 10kN
10
75 75 60
10kN 10kN 10kN 10kN 10kN
-25 -40 -45
0 25 40
10kN 10kN 10kN 10kN 10kN
-45.3
45 45 45
? 目前常采用的钢筋混凝土屋架形式。
习题课：静定平面桁架
? 重点：用结点法，截面法求解静定
平面桁架的内力。
? 要求：
? 1、掌握静定平面桁架的内力分析方
法（结点法，截面法及其联合应用）。
会准确地使用结点、截面平衡的特殊情
况，会利用对称性求桁架内力。
? 2、了解平面桁架结构的组成和分类，
会根据桁架类型选择适当的分析方法。
? 3、会计算组合结构的内力。
习题 1：求 a,b,c三杆轴力，注意截面选择。
a a a/2 a/2 a a
a
a
a
a A
B
FP FP
a
bc
习题 2：求图示桁架各杆轴力。
注意结构的组成方式及解题顺序。
a a a a
FP
a
FP
FP
FP
FP
FPI
I
FPF
P
FP
-FP
FP
FP
FP
FP
FP
FP
习题 3：求图示桁架各杆轴力。
注意结构的组成方式及反力特点。
FP
4m 4m 4m 4m
3m
3m
A
B C
D
E
F
FP
4m 4m 4m 4m
3m
3m
A
B C
D
E
F
I
I
FNED
FNBF
FBx
FAy E
I
I
A
B
=0
习题 4：求 a,b,两杆轴力。
注意对称性利用和特殊截面选择。
3m 3m 3m 3m
4m
FP=40kN
b
a
特殊截面：
3m 3m 3m 3m
4m
FP=40kN
I
I
Ⅱ
Ⅱ
FNa
FNEA
FNBF
FCy
I
I
O
Ⅱ
Ⅱ
FNAD FNb
0
FBy
O1F
P=40kN
对称性利用：
20kN 20kN 20kN 20kN
a
b
20kN 20kN 20kN 20kN
§ 3-7 组合结构
? 一、组合结构：
? 由二力杆和梁式杆组成的结构。
三 铰 式 屋 架
下撑式五角形屋架
加劲式吊车梁
静定组合结构
? 二、组合结构的计算
? 用截面平衡条件计算组合结构时，应注意
被截断的杆是二力杆，还是梁式杆。二力杆只
有轴力，梁式杆一般应包括有弯矩、剪力、轴
力。
? 分析时一般应先分析体系的几何组成，以
便选择恰当的计算方法（顺序）。
? 计算时，一般先求出支座反力和各链杆
（二力杆）的轴力，然后计算梁式杆的内力，
并作弯矩、剪力和轴力图。
例：作图示组合结构的内力图
? 解：
? 1、反力计算。
1kN 1kN
FyA=1.25kN FyB=0.75kN
2、链杆内力计
算。
I
I
FyB=0.75kN
C
FNDE
∑MC=0
FNDE× 1.5- 0.75× 4=0
FNDE=2kN (拉力 )
2kN
FNDFF
NDA
FNDA=2.5kN （ 拉力）
FNDF= - 1.5kN （ 压力）
? 同理可得：
? FNEB=2.5kN （ 拉力） 1kN
1kN
FyA=1.25kN FyB=0.75kN
FNEG= -1.5kN （ 压力）
提问：
1、能否用图示结
点受力图计算杆 FD、
EG的轴力？
1kN
FNFD FNGE
2、图示 A结点受力
图是否正确?
FyA=1.25kN FNDA=2.5kN
FNAC
为
什
么
？
FQAC
各杆轴力,
+ 2.0
- 2.0 - 2.0
FN图 ( kN )
? 3、计算梁式杆的
内力,并作内力图。
? (1),用分段叠
加法作杆 AC,CB
的弯矩图。
1kN 1kN
FyA=1.25kN FyB=0.75kN
A C
1kN
1.5kN
C
B
1.5kN
M 图 (kN·m)
1.25kN 2.5kN
FQCA
2.5kN
0.75FQCB 2.5kN
（ 2）、作杆 AC,CB的剪力图
? AC杆,
? ∑y =0
? FQCA =0.25kN
? FQAC =?
? BC杆,
? ∑y=0
? FQCB =0.75kN
? FQCA =?
A C
1kN
1.5kN
C
B
1.5kN1.25kN2.5kN
FQCA
2.5kN
0.75FQCB
FQ图 (kN)
2.0
1.5
习题：作图示组合结构的内力图。
FP
a
a a a
FP
a
a a a
FP
0
FNHG =FP
H
D F G
FPF
NFE = -2FP A
EC
2FP
0
FNCD = 4FP
2FP
B D
4FP
FNDG
FQDG =FP
FNDC
FNDB=0
FQDB
FBy =3FP
MB =3FP a
作弯矩图，并标出各杆轴力
3FP a F
P a
2FP a +FP-2F
P
+4FP
00
0
0
弯矩 轴力
§ 3-8,三铰拱
? 一、拱的构成及其受力特点
? 组成：
? 杆件多为曲杆（也有折线杆），至少有两个
水平约束，支座不能自由移动。
? 受力特点：
? 在（向下的）竖向荷载作用下，支座产生
（向内的）水平推力。因为有水平推力的存在，
拱轴上各个截面上的弯矩通常比相应的曲梁
（或简支梁）小。
? 拱的优点：
? 拱轴截面中的弯矩较小，以承受轴向压力
为主。可以用抗拉性能差而抗压性能好的材料
（如砖、石材混凝土等）建造。经济、美观、
净空大、自重轻。
? 拱的缺点：
? 对支承部分的受力要求严格。制造较复杂。
C
l
f
拱轴线FP1
FP2 F
P3
FVA
FVB
FHA
FHB
跨度
矢高
拱顶
拱趾
CFP1
FP2 F
P3
FHA
FHB
FVA F
VB
FP1
FP2 FP3
0
FVA FVB
相应的曲梁
FP1
FP3
FVA R
B
FP2
FHA
? 二、拱的类型
? 1、基本类型：
? 静定,三铰拱
超静定,二铰拱
无铰拱
2,其他分类方法：
? 可按：
? 拱轴的曲线形式（如抛物线，圆，悬链线
等）；
? 拱轴的构造（实体式，桁架式，带拉杆式
等）；
? 拱趾的位置（平拱，斜拱）等分类方式。
实体三铰拱
平 拱 带拉杆的拱
斜 拱
三、三铰拱的数解法
? (一 )、支座反力的计算公式：
? （注：平拱，竖向荷载）
? 由 ∑MA =0,∑MB=0 可得：
)()( 2121111
f
alFalFlFF PPVA
H
?????
? FVA=∑FPi bi / l
? FVB=∑FPi ai / l
? 由 ∑x=0 FHA= FHB= FH
C
l
f
FP1
FP2
FP3
FVA FVB
FHA
FHBl
1 l2
x
y
a1
a2 a3
b1
b2 b3
C
FP1 FP2 FP3
相应简支梁0VAF 0
VBF
? 由 ∑MA =0,∑MB=0可得：
? FVA=∑FPi bi / l
? FVB=∑FPi ai / l
? 由 ∑x=0,FHA= FHB= FH
? 由 ∑MC=0,
)()( 2121111
f
alFalFlFF PPVA
H
?????
? 可以看出，与相应简支梁相比,三铰拱的
竖向反力恰等于相应简支梁的竖向反力。 三铰
拱的水平反力公式的分子部分相当于相应简支
梁截面 C处的弯矩 M0C。
? 因此，公式可写为：
? FAy= F0VA
? FBy= F0VB （ 3-7）
? FH= M0C / f （ 3-8）
水平反力只与三个铰的位置有关，与拱轴曲线的
形状无关。
水平反力与拱的高跨比成反比。
? 1、弯矩的计算公式
? 规定：使拱的内侧纤维受拉的弯矩为正，
反之为负。
? MK=[FVA xK –FP1 (xK –a1 )]-FH yK
? M= M0 -FH y （ 3-9）
? 由此可见，因为推力的存在，使得拱轴截
面上的弯矩比相应简支梁对应截面上的弯矩小。
（二）、内力的计算公式
C
l
f
FP1 FP2 F
P3
FVA FVB
FHA
FHB
x
y
a1
a2 a3
b1
b2 b3
C
FP1 FP2 FP3
K
xk
yk
φk
A
K
FVA
FHA
FP1
K
φk
MK
FQK
FNK
0VAF 0VBF
? 2、剪力的计算公式
? 规定：拱轴内的剪力正负号规定同材料力
学。
? 任一截面 K的剪力 FQK 等于该截面一侧所有
各力沿该截面方向投影的代数和。
? FQK = FVA cos φK –FP1 cos φK -FH sinφK
? =(FVA–FP1) cos φK -FH sinφK
? FQ= F0Qcos φ -FH sinφ ( 3-10 )
? 式中,φ为截面 K处拱轴切线的倾角,φ在左半拱为
正，在右半拱为负。
? 3、轴力的计算公式
? 规定：轴力使拱轴截面受拉为正。
? 任一截面 K的轴力 FNK 等于该截面一侧所有
各力沿该截面处拱轴切线方向投影的代数和。
? FNK = - FVA sinφK +FP1 sin φK - FH cosφK
? = - (FVA–FP1) sin φK - FH cosφK
? FN= -F0Qsin φ - FH cosφ ( 3 - 10 )
? 式中,φ为截面 K处拱轴切线的倾角,φ在左半拱为
正，在右半拱为负。
注：
? 以上公式只适用于竖向荷载作用下的平拱。
? 对于一般荷载作用下的三铰平拱，可由平
衡方程求反力，再求各截面内力。
C
f
FVA FVB
FHA
FHBl
1 l2
q
带拉杆的三铰平拱：
? 拉杆常采用钢拉杆，拉杆轴力 FN代替了三
铰拱的水平推力 FH,FN= M0C / f 。
A B
C
l1 l2
f
FP1 FP2
FVA FVB
FN
例, （书例 3-14,P.112）
? 作图示三铰拱的内
力图。拱轴为一抛物线。 xxll fy )(4 2 ??
C
FH= 6 kN FH= 6 kN
FVA= 7 kN FVB= 5kN
x
y
16m
4kN1 kN/m
f=4m
8m 4m 4m
D
? 因为无论拱上的荷载形式如何，拱的内力图均为曲线
图形，为此，将拱跨分成八等份，然后列表计算各个截面
上的内力，最后画出内力图。
1
2
3
4 5
6
7
C
FH= 6 kN FH= 6 kN
FVA= 7 kN FVB= 5kN
x
y
16m
4kN1 kN/m
f=4m
8m 4m 4m
D
0 8
? 具体计算过程见教材 P.112 – P.114。
? 在此，给出拱弯矩与相应简支梁弯矩的比
较图，以期同学们对三铰拱的受力特性有更深
刻的认识。
FP= 4 kNq= 1 kN/m
l=8× 1.5m=12m
FP= 4 kNq= 1kN/m
A B
C
0
1 2
3 4 5 6
7
8
12
20
24 24
20
24.5
四,三铰拱的合理轴线
? 合理拱轴：使拱轴各截面处于无弯矩（和剪力）
状态的轴线，称为拱的合理轴线。
? 拱在给定荷载作用下，当拱上各个截面不产生弯
矩和剪力，各截面都处于均匀受压的状态，此时，材
料能得到充分的利用，相应的拱截面尺寸将是最小的。
? 从上节的推导可知：拱轴上各截面的弯矩，不但
与荷载有关，还与拱的轴线有关。
? 对于竖向荷载作用下的三铰拱，可用数解
法来定出拱的合理轴线方程。
? 由,M= M0-FH y （ 3-9）
? 当拱轴为合理轴线时，拱中各个截面上的
弯矩均应为零，故有：
? M= M0 -FH y = 0
? 由此得出：
? y = M0K / FH (3-12)
? 例, 试求图示三铰拱在沿全跨长的水平荷
载作用下的合理拱轴线。
x
y
f
l
A B
C
q
q
解：
? 相应简支梁的弯矩方程为：
? M 0 =1/2·q·x· (l-x)
? FH= M0C / f =(1/8·q·l2)/f =q·l2 /8f
? 由公式（ 4-10）得拱的合理轴线方程：
? y =[1/2·q·x· (l-x)]/(q·l2 /8f )
? =(4f /l2) ·x(l-x)
? 由此可见，在沿全跨长的水平均布荷载作
用下，三铰拱的合理轴线是一根二次抛物线。
? 值得指出，合理拱轴的确定与拱所承受的
荷载有关。工程实际中，同一结构承受不同荷
载作用时，对应于不同的荷载有不同的合理轴
线形式。
? 由于荷载的多样性，一般情况下，很难达
到理想化的合理拱轴，因此，只能力求使所选
的拱轴线接近合理拱轴线。
静定结构
? 本部分讨论静定结构。
? 内容包括：静定结构的内力分析和位
移计算。
? 静定结构分析的要点：
? 1,如何选择, 好的, 隔离体；
? 2,怎样建立比较简单而又恰当的平衡方
程，计算最为简捷。
基本理论：隔离体、平衡方程。
对基本原理，困难不在于理解，而在于运
用；不在于知识，而在于能力。
提高在四个方面：
（ 1）从单杆分析（梁、简单桁架）到杆系
分析，即复杂的静定结构。
（ 2）从静力分析与构造分析的内在联系中，
找出结构静力分析的规律。
（ 3）在静力分析的基础上，找出结构的受
力性质与合理形式，（总结、优化和创新）。
（ 4）从固定（恒）荷载分析到移动（活）
荷载分析。
第三章 静定结构的受力分析
§ 3-1 梁的内力计算回顾
§ 3-2 静定多跨梁
§ 3-3 静定平面刚架
§ 3-5 静定平面桁架
§ 3-7 组合结构
§ 3-8 三铰拱
第 三 章
静定结构的受力分析
常见,简支梁、悬
臂梁、伸臂梁。
计算方法,取全梁
为隔离体，可用平面一
般力系，三个平衡方程。
组成,两刚片组成规
律。三个支座反力。
一,单跨静定梁的反力
§ 3-1 梁的内力计算回顾 （复习）
二、用截面法求指定截面上的内力
? 计算内力的方法,
截面法。
? 横截面上的内力：
FN,FQ,M。
? 正负号规定,轴力
和剪力如图所示。弯矩
在结构力学中，不规定
正负号，画弯矩图时，
弯矩画在受拉纤维一面，
不注明正负号。
dx
FN FN
FQ FQ
M M
（内力分量及正负号）
截面内力算式：
? 轴力 =截面一边所有外力沿杆轴切线
方向的投影代数和 。
? 剪力 =截面一边所有外力沿杆轴法线
方向的投影代数和。
? 弯矩 =截面一边所有外力对截面形心
的力矩代数和 。
三,内力图的特征
? 1、荷载与内力之间的微分关系，
由材力知：微元体平衡方程推导出：
Q
y
Q
x
N
F
dx
dM
q
dx
dF
q
dx
dF
?
???
??
)13(
qxFN
FQ
M FN+⊿ FN
FQ+⊿ FQ
M+⊿ M
y
dx
x
qy
? 2、荷载与内力之间的增量关系, Fx、
Fy,MO为集中荷载,
O
yQ
xN
MM
FF
FF
??
???
???
2)-(3
FN
FQ
M FN+⊿ FN
FQ+⊿ FQ
M+⊿ M
y
dx
xFxF
y
MO
由平衡方程得出增量关系：
3、荷载与内力之间的关系
??? BAxx xNANB dxqFF
??? BAxx yQAQB dxqFF
??? BAxx QAB dxFMM
积分的几何意义：
B 端轴力 =A 端轴力 -该段荷载 qx图的面积。
B 端剪力 =A 端剪力 -该段荷载 qy图的面积。
B 端弯矩 =A 端弯矩 +该段剪力图的面积。
4,剪力图与弯矩图的形状特征
（据上面的各种关系推出）
梁上情
况内力图
剪
力
图
弯
矩
图
无外力
区段
常数
(水平线 )
直线变化
(平直线或
斜直线 )
均布荷载 qy作
用区段
斜直线
(自左至右 )
抛物线
(凸出方向
向同 qy指向 )
零
极
值
集中荷载 Fy作
用处
有突变
(突变值为 Fy)
有尖角
(尖角突出方
向同 Fy指向 )
集中力偶
MO作用处
无变化
有突变
(突变值
为 MO)
铰
处
为
零
注：
? (１ )在铰结处一侧截面上如无集中力偶
作用,M＝ ０。
? 在铰结处一侧截面上如有集中力偶作用，
则该截面弯矩＝此外力偶值。
? (２ )自由端处如无集中力偶作用，则该
端弯矩为零。
? 自由端处如有集中力偶作用，则该端弯
矩 ＝ 此外力偶值 。
144
16
113.6
80
M图 (kN? m)
72
88
60 20
FQ图 ( kN )
x=5.6m
例：用内力图规律作梁的剪力图和弯矩图
解,1、求支座反力
2、绘剪力图
3、绘弯矩图
控制截面,集中力（包括反
力）作用点左右；分布荷载起、
终点，自由端等等。
本题,A右,C左,B左,B右,D
控制截面,集中力（包括反
力）作用截面；分布荷载起、终
点；集中力偶作用截面左右；自
由端；剪力零点处等等。
本题,A,C左,C右,B,D
FyA = 72kN（ ↑） FyB = 148kN （ ↑）
FyA FyB
A
B
2m
FP=20kNM=160kN?mq=20kN/m
8m
C D
2m
四,分段叠加法作弯矩图
?1.简支梁弯矩叠加,
?梁上荷载,跨间荷载 FP(或 q),
? 杆端力偶,MA,MB。
?分为两组,
(1) MA,MB 单独作用,M 图是直线,
(2) FP 单独作用,M0 图是折线。
在 M图的基础上加 MO,即为总的 M图。
a b
l=
MA
FPM
A MBA B
C
MA MBMA MB
FP
FP ab/l
MBFPab/l
+
M 图
M0 图
M 图
注：
（ 1） 弯矩图叠加,是纵坐标叠加,不是图形
的简单拼合,其关系为,
（ 2）同侧弯矩纵坐标相加，异侧弯矩纵坐标
相减。
MO的竖标 ⊥ 梁轴线。
M(x)＝ M（ x）＋ MO（ x）
2, 结构中任意直杆段弯矩的叠加法
?取 AB 段
? 跨中荷载 q
? 杆端力：
? 弯矩 MAB,MBA
? 剪力 FQAB,FQBA
? 轴力 FNAB,FNBA
不影响弯矩，可暂
不予考虑 。
? 比较相应简支梁
? 跨中荷载 q
? 杆端弯矩 MAB,MBA
? 支座反力 FYA,FYB
? 应用平衡条件
?分别可从 b）,c） 中得出,FQAB,FQBA
和 FYA0,FYB0
? 可知,FYA0=FQAB,FYB0=FQBA
? 故知,b）,c） 中,弯矩图完全相同。
?作任意直线段弯矩图 归结 作相应
简支梁弯矩图。
lAB
qF
P
A B
M0
(a)
BA
q
FQBAFQAB
FNBAFNAB
MBAMAB
(b)
qA
BMAB MBA
FYA0 FYB0
(c)
(d)
MAB
MBA
qlAB2/8
用分段叠加法作直杆 M 图的步骤
?(1),竖,用截面法求杆端弯矩 。
?(2),联,将杆两端弯矩纵标联以直
线
?(3),叠加,以联线为基础，叠加由
于杆跨上荷载所产生的简支梁弯矩
图。
3、梁弯矩图的一般作法
? (1)求控制截面（点）的弯矩值，
画在图上 。（控制点：集中力作用
处，分布 q的起、终点等）
? (2)分段作 M图，取, 无荷段连
直线，有荷段加简支, 。
五、示例：
? 作图示简支
梁的内力图。
q=20kN/m FP=40kN
FyA =70kN F
yB =50kN解：
1、求支座反力
2、作剪力图
+
-
70
10 50
FQ图 （ kN)
3、作弯矩图
120
40
100 40 100 M图
（ kN·m)
例：
? 作图示梁的内
力图。
FP= 40kN q=20kN/m M=20kN·m
1、求支座反力。
FyA =35kN FyB =45kN
2、作弯矩图。
3040× 2/4=20 35
20
20× 22/8=10
M图 (kN·m)
§ 3-2 静定多跨梁
? 由中间铰将若干根梁（简单梁）
联结在一起而构成的静定梁，称为静
定多跨梁。
?1、几何组成：
?基本部分 +附属部分。
? （ 1）,基本部分,不依赖其它部分，
本身能独立承受荷载并维持平衡。
? （ 2）,附属部分,依赖于其它部分而
存在 。
?2、层叠图和传力关系
? （ 1）、附属部分荷载 传 基本部分或
支撑它的附属部分。
? （ 2）、基本部分的荷载对附属部分无
影响，从层叠图上可清楚的看出来。
3、计算原则
?先计算附属部分，
?再计算基本部分 。
组成,先固定基本部分，再固定
附属部分（搭）。
计算,先计算附属部分，再计算
基本部分（拆）。
FP1
FP1
FP2
FP2
FP3
FP3
FP1
FP1
FP2
FP2
FP3
FP3
例：作图示梁的内力图 FP
A B
C D
E F
G
2a a a a a a/2
A B
FP
D
F
G
C
E
FP
D
F
GF
P/2
3FP/2
C
E FP/2
FP/
2 F
P
A B FP/2
FP/4 3FP/4
A
B
C
D
E F
G
A
B C DE
F
G
FP a/2
FP a/2
FP a/2
FP
FP /2
FP /2
FP /4
M 图
Q 图
FP
D
F
GF
P/2
3FP/2
C
E FP/2
FP/
2 F
P
A B FP/2
FP/4 3FP/4
例：
6kN
10kN 2kN2kN/m
3+2=5kN
2kN 4kN
12.5kN2.5kN 13kN 9kN
8kN·m
15kN·m
7.5kN·m10kN·m
2.5kN
12kN·m 4kN·m
16kN·m
2kN/m6kN3kN10kN
2kN
10kN·m
15kN·m
7.5kN·m 8kN·m
12kN·m
4kN·m
16kN·m
M 图
多跨静定梁的弯矩图
10kN 2kN2kN/m
3+2=5kN
2kN 4kN
12.5kN2.5kN 13kN 9kN
6kN
FQ图 ( kN )
+
2.5
7.5
5
-
+ 2
4
-
9
7
+
-
2
+
10kN·m
2.5kN
10kN·m
15kN·m
7.5kN·m 8kN·m
12kN·m
16kN·mM 图
21kN·m
14.25kN·m
21.25kN·m
4kN·m
16kN·m
4kN·m
一系列简支梁的 M图
2kN/m6kN3kN10kN
2kN
§ 3-3 静定平面刚架
? 一、刚架的特点（组成及类型）
? 1、刚架, 由梁柱相互刚结（或部分
铰接）组成，主要由刚结点维持的几何不
变的体系。
? 优点,刚度大，净空大，应用广。
? 变形特点,在
刚结点处各杆不能发
生相对转动，各杆件
可以产生弯曲、剪切、
轴向变形。
? 受力特点,内
力相应有 M,FQ,FN。
杆件可称为, 梁式
杆, 。
FP1
FP2
2,类型
二、静定 刚架支座反力：
? 求解静定刚架时,悬臂式 刚架
可先不求反力； 简支式 刚架,三铰
式 刚架和组合类型刚架，一般应先
求反力，再进行内力计算。
三,各杆的杆端内力
? 1,计算方法：隔离体，平衡方程，
截面法。
? 2,内力表示方法：内力符号双脚标，
两个字母表示两个杆端,第一个字母表示
杆端力是哪一端的，如 MAB为 AB杆 A端
的弯矩。
?3、内力正负号规定：
? 弯矩 M— 不规定正负方向，弯矩图
纵坐标画在杆件受拉纤维一边。
? 剪力 FQ— 规定同材力。
? 轴力 FN— 规定同材力。
4、计算步骤
?反力 → M图 → FQ图 → FN图 → 校核
四、例题
? 1、悬臂刚架
? 解,
? (1)、计算支座
反力。
? (2)、作弯矩图。
? 先求各杆杆端弯
矩，再用分段叠加法
作弯矩图。
FP1=1kN FP2=4kN
q=
0.4k
N/m
FxA=3kN
FyA =3kN
FP3=1kN
MA=15kN·m
C
B
FP1=1kN
MBC
B D E
FP2=4kN
FP3=1kN
MBE
A
B
MBA
FxA =3kN
FyA =3kN MA=15kN·m
B
FQBC
FQBE
FQBA
作隔离体图,如左图,
FP1=1kN
FP2=4kN
FP3=1kN
q=
0.4kN/
m
（ 2）、作弯矩图,
? 求各杆杆端弯矩,
? CB段, MCB=0
? MBC=1kN·m (左侧受拉 )
? BE段, MEB=0
? MBE= - 4kN·m(上侧受
拉 )
? BA段,
? MBA=5kN·m (左侧受拉 )
? MAB=15kN·m(左侧受拉 )
1
4 4
2
5
15
1.25
M 图
(kN·m)
C
B
FP1=1kN
MBC
B D E
FP2=4kN
FP3=1kN
MBE
A
B
MBA
MA=15kN·m
B
FQBC
FQBE
FQBA
（ 3）、作剪力图,
? 由杆件平衡计算杆端剪
力,再由规律作剪力图。
? CB杆, FQBC=+1kN
? FQCB=?
? BE杆, FQBE=+3kN
? FQEB=?
? BA杆, FQBA=+1kN
? FQBC=?
? 由杆件平衡计算杆
端剪力，再由规律作剪
力图。
? CB杆, FQBC=+1kN
? FQCB=?
? BE杆, FQBE=+3kN
? FQEB=?
? BA杆, FQBA=+1kN
? FQBC=?
+1 +
3
1
-
3
+ F
Q 图
( kN )
（ 4）、作轴力图,
? 由结点平衡计算杆端
轴力，再由规律作轴力
图。
B1
1
3
FNBC=0
FNBC= - 3kN
FNBC=0 -
3 FN 图
( kN )
（ 5）、校核：
? 由结点弯矩平
衡校核弯矩计算是
否正确。
? 用计算中未使
用过的隔离体平衡
条件校核结构内力
计算是否正确。
B
MBC=1kN·m
MBE= 4kN·m
MBA=5kN·m
FP1=1kN F
P2=4kN
FP3=1kN
1kN
3kN
5kN·m
2、简支刚架
? 解,
? （ 1）、求支座
? 反力
? ∑y=0
? FCy =80kN(↑)
40kN
40kN ·m 20kN/m
FCy=80kNFAx=120kN
FBx=80kN
O
? ∑m0=0
? FAx=120kN(←)
?∑x=0
?FBx=80kN(→)
?校核,∑mC=0
（ 2）、求杆端弯矩，作弯矩图
? 可利用特点，直
接作弯矩图。
? MAD=0
? MDA=120× 3
? =360kN·m
? （ 右侧受拉）
? MBE=0
? MEB=80× 4
? =320kN·m
? （ 左侧受拉）
40kN
40kN ·m 20kN/m
FCy=80kNFAx=120kN
FBx=80kN
?MGF=0
?MEB=40× 2=80kN·m（ 左边受拉）
? MFC=40× 2=80kN·m（ 上边受拉）
=MCF
? 求 MDE,MED和
MEC。
? MDE=120× 3+4
0
? =400 kN·m
? =MED
? （ 下侧受拉）
40kN
40kN ·m 20kN/m
FCy=80kNFAx=120kN
FBx=80kN
40kN ·m
FAx=120kN
MDE
40kN
20kN/m
FCy=80kN
MEC
? MEC=80× 4 -
20× 4× 2-20× 2
? =80kN·m
? （下侧受拉）
? 作弯矩图。
360
400
320
80
80
40? （ 3）、校核：
? 各刚结点弯矩
是否平衡。
D
M 图 （ kN ·m）
40kN ·m
MDA =360kN·m
MDE=400kN·m
EMED=400kN·m
MEB=320kN·m
MEC=80kN·m
3、三铰刚架
? （包括有斜杆的
静定刚架）
8kN/m
6 2
6.325m
解,
1、求支座反力。
36kN 12kN
11.077kN
11.077kN
∑MB=0
FAy =36kN(↑)
∑MA=0
FBy =12kN(↑)
∑x=0 FAx = FBx = Fx
∑MC=0 6.5FBx – 6 FBy =0
FBx = Fx =11.077kN(←)
? 2、作弯矩图。
? MAD=0
? MDA=MDC
? =11.077× 4.5
? =49.847kN·m
? （ 外侧受拉）
? MCD=0
? MBE=0
? MEB= MEC
? =49.847kN·m
? （ 外侧受拉）
8kN/m
12kN
11.077kN
36kN
11.077kN
49.487
8× 62/8=36
49.487
M 图 (kN·m)
? 3、作剪力图 8kN/m
12kN
11.077kN
36kN
11.077kN
36kN
11.077kN
49.847kN·m
FQDA
FNDA
= -11.077
8kN/m
α 6
26.32549.847kN·m
FQDC
FQCD
FNDC
FNCD
=30.648kN
= - 14.886kN
49.847kN·m
FQEC
FQCE
FNCE
FNEC
= - 7.881
11.077
-
30.648
14.886
+
7.811
-
11.077 +
FQ 图 (kN)
? 4、作轴力图 8kN/m
12kN36kN
11.077kN
11.077
11.077kN
30.648kN
36kN
FNDC= - 21.892kN
14.886kN 7.881k
N
FNCD= - 6.713kN FNCE= - 14.303
-
36
21.892
6.713-
14.303
- 12
-
FN 图 (kN)
小结：
? （ 1）、三铰刚架在竖向荷载作用下，
有水平反力。用整体三个平衡方程不能
求出所有反力，需用铰 C处弯矩为零的条
件。 （三刚片组成的体系，求反力的特点）
? （ 2）、注意斜杆的弯矩、剪力、轴力
的计算。
速绘弯矩图：
l/2 l/2
M M M
FP
FP
2M/l
2M/l
M/lM/l
M/l M/l
FP /2 FP /2
FP /2
FP /2
FP /2 FP /2
FP /2
FP /2
4、多层多跨刚架
? 多层多跨静定刚架一般有两种基本组
成形式：
? ①、基本部分 +附属部分组成形式。
? ②、三刚片组成形式。
? （ 1）、基本部分 +附属部分组成形式
? 计算原则：
? ①、进行组成分析，找出基本部分和附属
部分；
? ②、先计算附属部分，再计算基本部分。
举例说明：
? 解：
? 1、组成：
? 基本部分,AFGB
? 附属部分,FHJG
? 2,计算：
? 先计算 FHJG部分，
? 再计算 AFGB部分。
? 计算图示于下。
M=24kN ·m
FP=8kN
M=24kN ·m
FP=8kN
M=24kN ·m
33
3
3
FP=8k
N
3 333
71
11
M=24kN ·m
33
3
3
FP=8k
N
3 333
71
11
12 12
24
12 124 4
16 16
M 图
（ kN ·m）
M=24kN ·m
33
3
3
FP=8kN
3 333
71
11
3
-
3
- 3
+
3 3
1
-
1
+
4
+
-
4
FQ 图 (kN)
M=24kN ·m
33
3
3
FP=8kN
3 333
71
11
+
3
3
- 3
-
1-
7
-
2
+
FN 图 (kN)
（ 2）、三刚片组成的复杂刚架
? 解：
? 1、上部体系为
三刚片组成规律，
上部体系与基础两
刚片组成规律。
? 2、先计算支座
反力，再计算上部
体系。
FP=8kN
8kN
12kN12kN
FP=8kN
8kN
12kN12kN
8kN
12kN12kN
44
80
FP=8kN
44
8
8kN
12kN12kN
44
0
FP=8kN
44
8
32 32
32
M 图 (kN·m)
8kN
12kN12kN
44
0
FP=8kN
44
8
8
+
8
+
-
8
4
-
FQ 图 (kN)
8kN
12kN12kN
44
0
FP=8kN
44
8
12
12
+ -
4
+ -8
+
8
-
FN 图 (kN)
4
(3)、多层多跨刚架举例 （只讨论分析过程）
FP
FAy FBy FCy FDy
FAx
FDx
O1
FAR
O2
FDR
F1x
F1y
F2x
F2y
? 若荷载特殊，如上图，可不解联立方程。
? 若荷载任意，则必解联立方程组。
? 一、计算简图及受力特性
? 1、计算简图
实 际 结 构
计 算 简 图
§ 3-5 静定平面桁架
2、计算假定
? （ 1）、各杆两端用绝对光滑而无摩擦的理
想铰相互联结。
? （ 2）、各杆的轴线都是绝对平直，且在同
一平面内并通过铰结点的中心。
? （ 3）、荷载和支座反力都作用在结点上并
位于桁架平面内。
3,桁架的受力特点
? 桁架主要承受轴力，杆上的应力分布均
匀，材料可充分利用，用料节省，自重轻，
大跨度结构常常采用此种结构形式。
? 桁架的计算简图并不符合实际结构，
桁架中存在 主内力 和 次内力 。
? 由铰接计算简图计算出的轴力称为主
内力。
? 实际结构由于不满足计算假定而产生
的附加内力（主要为弯矩），称为次内力。
二、桁架介绍
上弦杆
下弦杆
竖杆
斜杆 d节间
三、桁架类型
? 桁架可以有许多种分类方法，如：
? 空间、平面。
? 静定、超静定。
? 外形、支座反力等。
? 从计算方法入手，一般应按桁架的几
何组成方式分类。
按照桁架的几何组成方式分类
? 1、简单桁架：
? 由基础或一个基本三角形开始，依次
增加二元体所组成的桁架。
? 2、联合桁架：
? 由几个简单桁架按照两刚片或三刚片
相联的组成规则联成的桁架。
? 3、复杂桁架：
? 不是按照上述两种方式组成的其它桁
架。
四,桁架的 计算方法
（结点法、截面法及其联合应用）
斜杆内力的常用算法：
注意,计算时，通常都先假定杆件内力为拉力，
若所得结果为负，则为压力。
l
lx
ly
A
B
FN
FN
FN
FN
x
FN
y
y
Ny
x
NxN
l
F
l
F
l
F ??
（ 3-4）
在求桁架的内力时，可截取桁架的结点为隔
离体，利用各结点的静力平衡条件计算各杆的内
力（轴力），此法称为 结点法 。
对于简单桁架，利用结点法可计算出全部各
杆的内力。注意计算按组成的相反顺序。
1、结点法
（ 1）示例
用结点法
求图示桁架
各杆的轴力。
8kN
20kN
解：
(1),求反力。
(2)、内力计算。
Fx1=8kN
Fy1=6kN F
y2=14kN
3
4
5 3
1 3
2
10
13
? 结点 1:
? ∑y =0 Fy13+Fy1=0
? Fy13= - 6kN
? Fx13= - 6× 4/3= - 8kN
? FN13= - 6× 5/3= - 10kN
? ∑x=0 FN12+Fx13 – 8=0
? FN12= - ( -8)+8=16kN
Fx1=8kN
Fy1=6kN
FN13
FN12
Fy13
Fx13 8kN
20kN
Fx1=8kN
Fy1=6kN F
y2=14kN
3
4
5 3
1 3
2
10 13
20kN
16kN
FN24
FN23
Fx23
Fy23
? 结点 2:
? ∑y =0 Fy23 – 20 =0
? Fy23= 20kN
? Fx23= 20× 1/3= 6.67kN
? FN23= 20× √10/3= 21.08kN
? ∑x=0 FN24+Fx23 – 16=0
? FN24=( -6.67)+16=9.33kN
8kN
20kN
Fx1=8kN
Fy1=6kN F
y2=14kN
3
4
5 3
1 3
2
10 13
8kN
10kN
21.08kN
FN34
? 结点 3:
? ∑y =0 -Fy34- 20+6=0
? Fy34= - 14kN
? Fx34= - 14× 2/3= - 9.33kN
? FN34= - 14× √13/3= - 16.83kN
8
6 206.67
8kN
20kN
Fx1=8kN
Fy1=6kN F
y2=14kN
3
4
5 3
1 3
2
10 13
校核,
结点 4，可作校核用。
Fy2=14kN
FN24=9.33kN
FN34=16.83kN
8kN
20kN
Fx1=8kN
Fy1=6kN F
y2=14kN
3
4
5 3
1 3
2
10 13
注：
? 1、简单桁架，可按不同的结点次序组成，
用结点法计算时，可按不同的顺序截取结点脱
离体进行计算。
? 2、利用分力与合力的几何关系，可用分力
代替合力，以简化计算。
? 3、选择适当的投影轴，一个轴垂直于一个
（或几个）未知力，避免解联立方程。
? 4、用结点法计算桁架轴力时，有时可利用
力的滑移原理，然后用力矩方程进行计算。
? 例如：
38kN
10kN
8
6
21.08kN
6.67
20 FN34
F34x
F34y
（ 2）、结点单杆
（结点汇交力系平衡的特殊情况）
如果在同一结点的所有内力为未知的各杆中，除某
一杆外，其余各杆都共线，则称该杆为此结点的单杆。
有如下两种情况：
① 结点只包含两个 未知 力杆，且此两杆不共线，
则每杆都是单杆。
② 结点只包含三个未知力杆，其中有两杆共线，
则第三杆都是单杆。
单杆 单杆
FP
FP
单杆
关于结点单杆的一些性质：
① 结点单杆的内力，可由该结点的平衡条件直接求
出。而非结点单杆的内力不能由该结点的平衡条件直接
求出。
② 当结点无荷载时，单杆的内力必为零。或者，
无载结点的单杆必为零杆。
FN1
FN2
FN1= FN2 =0
FN1 FN2
FN3=FN1 FN2
= 0FN3
通常将内力为零的杆称为“零杆”
③ 如果依靠拆结点单杆的方法可以将整个桁架拆完，
则此桁架即可应用结点法按照每次只解一个未知力的方
式将各杆内力求出。
a a
a
a
10kN
1
2 3
4
5
6
7
8 910
11
12
10kN
? 例：
? 应用以上结论，简化下列桁架的计算。
FP
0 00 0
0 00 0
0 00
0
0
0
0
0
? 例,判断图示桁架有几根零杆?
00
00
0
FP FP
2,截面法
取部分桁架为脱离体，利用平面一般力系
的平衡条件，求截断杆内力。
对于求联合桁架中的联系杆，简单桁架的指
定杆，复杂桁架的特殊杆件的轴力等问题，使
用截面法计算较简便。
（ 1）、一般情况，基本方法
? 求图示桁架杆 13,14,24的轴力。
? 解,（ 1）、求反力。
l= 6d
h1 h2
FP FP FP FP FP
FyA FyB
（ 2）、计算指定杆轴力，作截面 I-I 。
I
I
l= 6d
h1 h2
FP FP FP FP FP
FyA FyB
I
I
FyA
FN13
FN14
FN24 4
O
a
3
Fx13
Fy13
Fx14
Fy14
∑M1=0 求出 FN24
∑M4=0 求出 Fx13
∑MO=0 求出 Fy14
FP
（ 2）、截面单杆
（ 截面平衡的特殊情况）
①、截面上只截断三根
杆，且此三杆不交于一点
（或不彼此平行），则其
中每一杆都是截面单杆。
a
m
m
②、截面上截杆件数大
于 三 根，但除某一杆外，
其余各杆都交于一点（或
都彼此平行），则此杆也
是截面单杆。
a
m
m
关于截面单杆的性质：
截面单杆的内力可从本截面相应的隔离体的平衡条
件直接求出。
例：求图示桁架杆 1轴力。
? 解：
? 求反力。
? 取截面 I-I。
? 由 ∑MD=0
? FN1·2a+2FP(l+a)-FP
(2l-a)=0
? FN1= - 2FP / 3
a a
l 2l
FP
A
B C
D1
2FP
I I
FN1
例：求图示桁架杆 1轴力。
? 解：
? 取截面 I-I。
? 由 ∑MB=0
? FN1·d+FP·3d=0
? FN1= - 3FP
d d d
A
B
FP1
I
I
FN1
d
例：求图示桁架杆 1轴力。
? 解：
? 求反力。
? 取截面 I-I右部。
? 由 ∑x’=0
? - FN1·cos45o+FBy·
? cos45o=0
? FN1= FBy =0.75 FP
a/2 a/2 a/2 a/2
a/2
a
FP
A B
1
FAy= FP /4
FBy= 3FP /4
I
I
x’
FN1
（ 3）、用截面法计算联合桁架
? 求联合桁架的轴力，必须先用截面法求出
联接杆的内力。
? 联合桁架可分为两种类型。
? 一类是按两刚片相联规则组成的联合桁架。
另一类是按三刚片相联规则组成的联合桁架。
①、按两刚片规则组成的联合桁架
? 例：分析图示桁架。
A B
C
FP1 FP2
FxA
FAy
FyB
I
I
FyB
FN3
FN2
FN1
解：
求支座反力。
作截面 I—I
由 ∑MC=0
求出 FN1。
FP2
例：
? 分析图示桁架。
A B
C
D E
F
FP
FyA=FP /4 FyB=3FP /4
解：求支座反力。
作截面切断杆 AC、
DE,BF。
FyB
FN1
FN2
FN3
∑x=0 FN1=0
∑M0=0 FN3= - FBy O
∑y=0 FN2=0
再由结点法计算其
余杆轴力。
②、按三刚片规则组成的联合桁架
? 例：分析图示桁架。
A B
C
D
E
FP1FP2
解：求支座反力。
FxA
FyBF
yA
用双截面法求联接处内力。
Ⅰ Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
FP1FP2
FxA
FyA FyB
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
FyEFyD FEy
FxD
FyD
FxE
FxC
FyC
3,结点法与截面法的联合应用
? 在桁架计算中，对于某一杆件的内力，如
果只用一个的平衡条件或只作一次截面均无法
解决时，可把结点法和截面法联合起来应用，
往往能收到良好的结果。
? 实例说明。
例：截面隔离体与结点隔离体联合求解杆内力
? 求 a,b两杆轴力。
d d d
d
d
A
B
C
D
FP
a
b作截面 I - I Ⅰ
Ⅰ
FNa
FNb
∑y=0
FNcFNa cos45
o-FNc cos45o+FP=0 K
K
FNa
FNc
∑x=0 FNa = - FNc
取结点 K：
2FNa cos45o= - FP
FNa = - 0.707FP
Ⅱ
Ⅱ
例：多个截面隔离体与结点隔离体联合求解
? 求 a 杆轴力。
此桁架为复杂
桁架。
FP
A
B
C
D
abF
yA
FyB
FyC
Ⅰ
Ⅰ
FNa
FyB
FNaFNb
由结点 B
∑x=0 FNa=FNb
∑y=0
FNa sin450+ FNbsin450+ FyB=0
FyB = - √2 FNa ①
由截面 I-I右 ∑MD=0
FyC = Fna√2/3 ②
FP
A
B
C
D
abF
yA
FyB
FyC
Ⅰ
Ⅰ
FNa
由整体平衡,
∑MA=0
FyB+2FyC - FP=0 ③
①、② → ③
PNa FF 2
23??
附加：利用对称性计算桁架
? 条件：结构对称，荷载（包括反力）正对
称，或反对称。
? 利用对称性计算桁架时，关键是注意位于
对称轴上的杆件。
1、正对称荷载作用
? 桁架对称（非严
格），荷载正对称。
? 所以反力、内力
均为正对称。
FP FP
1 2
3
4 5
注意结点 C：
FN1 F
N2
FN1 = FN2 = 0
因为正对称,FN1 = FN2
因为结点平衡,FN1 = - FN2
故只能有：
2、反对称荷载作用
? 桁架对称（非严
格），荷载反对称。
? 所以反力、内力
均为反对称。
FP FP
1 2
3
4 5
注意对称轴上的单
杆 —— 杆 3。
在此，只能有：
FN3=0
2、一般荷载作用
d
d
d
d
FP
FP
FPFP
正对称荷载
反对称荷载
FP /2FP /2
FP /2
FP /2
0 00
0
0
0
0 0
0
+FP /2 +FP /2
FP /2FP /2
FP /2FP /2
FPFP
0
0 0+F
P -FP
+FP /2 -FP /2
√2FP
2
-√2FP
2
-√2FP
2
√2FP
2
(b)
(a)
各杆轴力 =(a)+(b)
0
0
0
+FP 0
4,各类梁式桁架比较
? 设计桁架结构时，应根据不同的情况和要
求，先选定适当的桁架形式。
? 因此就必须明确桁架的形式对其内力分布
和构造的影响，了解各类桁架的应用范围。
? 在建筑结构中常用的三种桁架为：
? 三角形桁架、平行弦桁架和抛物线形桁架。
10kN 10kN 10kN 10kN 10kN
10
75 75 60
10kN 10kN 10kN 10kN 10kN
-25 -40 -45
0 25 40
10kN 10kN 10kN 10kN 10kN
-45.3
45 45 45
? 目前常采用的钢筋混凝土屋架形式。
习题课：静定平面桁架
? 重点：用结点法，截面法求解静定
平面桁架的内力。
? 要求：
? 1、掌握静定平面桁架的内力分析方
法（结点法，截面法及其联合应用）。
会准确地使用结点、截面平衡的特殊情
况，会利用对称性求桁架内力。
? 2、了解平面桁架结构的组成和分类，
会根据桁架类型选择适当的分析方法。
? 3、会计算组合结构的内力。
习题 1：求 a,b,c三杆轴力，注意截面选择。
a a a/2 a/2 a a
a
a
a
a A
B
FP FP
a
bc
习题 2：求图示桁架各杆轴力。
注意结构的组成方式及解题顺序。
a a a a
FP
a
FP
FP
FP
FP
FPI
I
FPF
P
FP
-FP
FP
FP
FP
FP
FP
FP
习题 3：求图示桁架各杆轴力。
注意结构的组成方式及反力特点。
FP
4m 4m 4m 4m
3m
3m
A
B C
D
E
F
FP
4m 4m 4m 4m
3m
3m
A
B C
D
E
F
I
I
FNED
FNBF
FBx
FAy E
I
I
A
B
=0
习题 4：求 a,b,两杆轴力。
注意对称性利用和特殊截面选择。
3m 3m 3m 3m
4m
FP=40kN
b
a
特殊截面：
3m 3m 3m 3m
4m
FP=40kN
I
I
Ⅱ
Ⅱ
FNa
FNEA
FNBF
FCy
I
I
O
Ⅱ
Ⅱ
FNAD FNb
0
FBy
O1F
P=40kN
对称性利用：
20kN 20kN 20kN 20kN
a
b
20kN 20kN 20kN 20kN
§ 3-7 组合结构
? 一、组合结构：
? 由二力杆和梁式杆组成的结构。
三 铰 式 屋 架
下撑式五角形屋架
加劲式吊车梁
静定组合结构
? 二、组合结构的计算
? 用截面平衡条件计算组合结构时，应注意
被截断的杆是二力杆，还是梁式杆。二力杆只
有轴力，梁式杆一般应包括有弯矩、剪力、轴
力。
? 分析时一般应先分析体系的几何组成，以
便选择恰当的计算方法（顺序）。
? 计算时，一般先求出支座反力和各链杆
（二力杆）的轴力，然后计算梁式杆的内力，
并作弯矩、剪力和轴力图。
例：作图示组合结构的内力图
? 解：
? 1、反力计算。
1kN 1kN
FyA=1.25kN FyB=0.75kN
2、链杆内力计
算。
I
I
FyB=0.75kN
C
FNDE
∑MC=0
FNDE× 1.5- 0.75× 4=0
FNDE=2kN (拉力 )
2kN
FNDFF
NDA
FNDA=2.5kN （ 拉力）
FNDF= - 1.5kN （ 压力）
? 同理可得：
? FNEB=2.5kN （ 拉力） 1kN
1kN
FyA=1.25kN FyB=0.75kN
FNEG= -1.5kN （ 压力）
提问：
1、能否用图示结
点受力图计算杆 FD、
EG的轴力？
1kN
FNFD FNGE
2、图示 A结点受力
图是否正确?
FyA=1.25kN FNDA=2.5kN
FNAC
为
什
么
？
FQAC
各杆轴力,
+ 2.0
- 2.0 - 2.0
FN图 ( kN )
? 3、计算梁式杆的
内力,并作内力图。
? (1),用分段叠
加法作杆 AC,CB
的弯矩图。
1kN 1kN
FyA=1.25kN FyB=0.75kN
A C
1kN
1.5kN
C
B
1.5kN
M 图 (kN·m)
1.25kN 2.5kN
FQCA
2.5kN
0.75FQCB 2.5kN
（ 2）、作杆 AC,CB的剪力图
? AC杆,
? ∑y =0
? FQCA =0.25kN
? FQAC =?
? BC杆,
? ∑y=0
? FQCB =0.75kN
? FQCA =?
A C
1kN
1.5kN
C
B
1.5kN1.25kN2.5kN
FQCA
2.5kN
0.75FQCB
FQ图 (kN)
2.0
1.5
习题：作图示组合结构的内力图。
FP
a
a a a
FP
a
a a a
FP
0
FNHG =FP
H
D F G
FPF
NFE = -2FP A
EC
2FP
0
FNCD = 4FP
2FP
B D
4FP
FNDG
FQDG =FP
FNDC
FNDB=0
FQDB
FBy =3FP
MB =3FP a
作弯矩图，并标出各杆轴力
3FP a F
P a
2FP a +FP-2F
P
+4FP
00
0
0
弯矩 轴力
§ 3-8,三铰拱
? 一、拱的构成及其受力特点
? 组成：
? 杆件多为曲杆（也有折线杆），至少有两个
水平约束，支座不能自由移动。
? 受力特点：
? 在（向下的）竖向荷载作用下，支座产生
（向内的）水平推力。因为有水平推力的存在，
拱轴上各个截面上的弯矩通常比相应的曲梁
（或简支梁）小。
? 拱的优点：
? 拱轴截面中的弯矩较小，以承受轴向压力
为主。可以用抗拉性能差而抗压性能好的材料
（如砖、石材混凝土等）建造。经济、美观、
净空大、自重轻。
? 拱的缺点：
? 对支承部分的受力要求严格。制造较复杂。
C
l
f
拱轴线FP1
FP2 F
P3
FVA
FVB
FHA
FHB
跨度
矢高
拱顶
拱趾
CFP1
FP2 F
P3
FHA
FHB
FVA F
VB
FP1
FP2 FP3
0
FVA FVB
相应的曲梁
FP1
FP3
FVA R
B
FP2
FHA
? 二、拱的类型
? 1、基本类型：
? 静定,三铰拱
超静定,二铰拱
无铰拱
2,其他分类方法：
? 可按：
? 拱轴的曲线形式（如抛物线，圆，悬链线
等）；
? 拱轴的构造（实体式，桁架式，带拉杆式
等）；
? 拱趾的位置（平拱，斜拱）等分类方式。
实体三铰拱
平 拱 带拉杆的拱
斜 拱
三、三铰拱的数解法
? (一 )、支座反力的计算公式：
? （注：平拱，竖向荷载）
? 由 ∑MA =0,∑MB=0 可得：
)()( 2121111
f
alFalFlFF PPVA
H
?????
? FVA=∑FPi bi / l
? FVB=∑FPi ai / l
? 由 ∑x=0 FHA= FHB= FH
C
l
f
FP1
FP2
FP3
FVA FVB
FHA
FHBl
1 l2
x
y
a1
a2 a3
b1
b2 b3
C
FP1 FP2 FP3
相应简支梁0VAF 0
VBF
? 由 ∑MA =0,∑MB=0可得：
? FVA=∑FPi bi / l
? FVB=∑FPi ai / l
? 由 ∑x=0,FHA= FHB= FH
? 由 ∑MC=0,
)()( 2121111
f
alFalFlFF PPVA
H
?????
? 可以看出，与相应简支梁相比,三铰拱的
竖向反力恰等于相应简支梁的竖向反力。 三铰
拱的水平反力公式的分子部分相当于相应简支
梁截面 C处的弯矩 M0C。
? 因此，公式可写为：
? FAy= F0VA
? FBy= F0VB （ 3-7）
? FH= M0C / f （ 3-8）
水平反力只与三个铰的位置有关，与拱轴曲线的
形状无关。
水平反力与拱的高跨比成反比。
? 1、弯矩的计算公式
? 规定：使拱的内侧纤维受拉的弯矩为正，
反之为负。
? MK=[FVA xK –FP1 (xK –a1 )]-FH yK
? M= M0 -FH y （ 3-9）
? 由此可见，因为推力的存在，使得拱轴截
面上的弯矩比相应简支梁对应截面上的弯矩小。
（二）、内力的计算公式
C
l
f
FP1 FP2 F
P3
FVA FVB
FHA
FHB
x
y
a1
a2 a3
b1
b2 b3
C
FP1 FP2 FP3
K
xk
yk
φk
A
K
FVA
FHA
FP1
K
φk
MK
FQK
FNK
0VAF 0VBF
? 2、剪力的计算公式
? 规定：拱轴内的剪力正负号规定同材料力
学。
? 任一截面 K的剪力 FQK 等于该截面一侧所有
各力沿该截面方向投影的代数和。
? FQK = FVA cos φK –FP1 cos φK -FH sinφK
? =(FVA–FP1) cos φK -FH sinφK
? FQ= F0Qcos φ -FH sinφ ( 3-10 )
? 式中,φ为截面 K处拱轴切线的倾角,φ在左半拱为
正，在右半拱为负。
? 3、轴力的计算公式
? 规定：轴力使拱轴截面受拉为正。
? 任一截面 K的轴力 FNK 等于该截面一侧所有
各力沿该截面处拱轴切线方向投影的代数和。
? FNK = - FVA sinφK +FP1 sin φK - FH cosφK
? = - (FVA–FP1) sin φK - FH cosφK
? FN= -F0Qsin φ - FH cosφ ( 3 - 10 )
? 式中,φ为截面 K处拱轴切线的倾角,φ在左半拱为
正，在右半拱为负。
注：
? 以上公式只适用于竖向荷载作用下的平拱。
? 对于一般荷载作用下的三铰平拱，可由平
衡方程求反力，再求各截面内力。
C
f
FVA FVB
FHA
FHBl
1 l2
q
带拉杆的三铰平拱：
? 拉杆常采用钢拉杆，拉杆轴力 FN代替了三
铰拱的水平推力 FH,FN= M0C / f 。
A B
C
l1 l2
f
FP1 FP2
FVA FVB
FN
例, （书例 3-14,P.112）
? 作图示三铰拱的内
力图。拱轴为一抛物线。 xxll fy )(4 2 ??
C
FH= 6 kN FH= 6 kN
FVA= 7 kN FVB= 5kN
x
y
16m
4kN1 kN/m
f=4m
8m 4m 4m
D
? 因为无论拱上的荷载形式如何，拱的内力图均为曲线
图形，为此，将拱跨分成八等份，然后列表计算各个截面
上的内力，最后画出内力图。
1
2
3
4 5
6
7
C
FH= 6 kN FH= 6 kN
FVA= 7 kN FVB= 5kN
x
y
16m
4kN1 kN/m
f=4m
8m 4m 4m
D
0 8
? 具体计算过程见教材 P.112 – P.114。
? 在此，给出拱弯矩与相应简支梁弯矩的比
较图，以期同学们对三铰拱的受力特性有更深
刻的认识。
FP= 4 kNq= 1 kN/m
l=8× 1.5m=12m
FP= 4 kNq= 1kN/m
A B
C
0
1 2
3 4 5 6
7
8
12
20
24 24
20
24.5
四,三铰拱的合理轴线
? 合理拱轴：使拱轴各截面处于无弯矩（和剪力）
状态的轴线，称为拱的合理轴线。
? 拱在给定荷载作用下，当拱上各个截面不产生弯
矩和剪力，各截面都处于均匀受压的状态，此时，材
料能得到充分的利用，相应的拱截面尺寸将是最小的。
? 从上节的推导可知：拱轴上各截面的弯矩，不但
与荷载有关，还与拱的轴线有关。
? 对于竖向荷载作用下的三铰拱，可用数解
法来定出拱的合理轴线方程。
? 由,M= M0-FH y （ 3-9）
? 当拱轴为合理轴线时，拱中各个截面上的
弯矩均应为零，故有：
? M= M0 -FH y = 0
? 由此得出：
? y = M0K / FH (3-12)
? 例, 试求图示三铰拱在沿全跨长的水平荷
载作用下的合理拱轴线。
x
y
f
l
A B
C
q
q
解：
? 相应简支梁的弯矩方程为：
? M 0 =1/2·q·x· (l-x)
? FH= M0C / f =(1/8·q·l2)/f =q·l2 /8f
? 由公式（ 4-10）得拱的合理轴线方程：
? y =[1/2·q·x· (l-x)]/(q·l2 /8f )
? =(4f /l2) ·x(l-x)
? 由此可见，在沿全跨长的水平均布荷载作
用下，三铰拱的合理轴线是一根二次抛物线。
? 值得指出，合理拱轴的确定与拱所承受的
荷载有关。工程实际中，同一结构承受不同荷
载作用时，对应于不同的荷载有不同的合理轴
线形式。
? 由于荷载的多样性，一般情况下，很难达
到理想化的合理拱轴，因此，只能力求使所选
的拱轴线接近合理拱轴线。
