超静定结构
超静定结构与静定结构
在计算方面的主要区别
? 静定结构 的内力只要根据静力平衡条件即
可求出，而不必考虑其它条件，即,内力是
静定的 。
? 超静定结构 的内力则不能单由静力平衡
条件求出，而必须同时考虑变形协调条件，即：
内力是超静定的 。
求解超静定结构的计算方法
? 从方法上讲基本有两种,力法和位移法。
? 从历史上讲分 传统方法和现代方法。
? 传统方法：
? 精确法：
? (1)力法 (Force method)：取某些 力 作基本未知量。
? (2)位移法 (Displacement method)：取某些 位移 作
基本未知量。
(3)混合法 (Mixture method),既有 力 的未知量,也
有 位移 未知量。
? 渐近法,
? （ 1）建立力学方程组，数学上渐近；
? （ 2）从结构的力学模型入手逐步逼近。
? 现代方法：
? 矩阵法, （ 1）矩阵力法；
? （ 2）矩阵位移法 ;
? （ 3）矩阵混合法 。
第 七 章
力 法
Force method
§ 7-1 超静定结构的组成和超静定次数
? 一、超静定结
构
? 1、几何组成：
? 具有多余
? 约束的几何不变
体系。
FP1 FP2
FP1 FP2
FRB FRC FRD
? 2、静力特性：
? 超静定结构的
反力和内力不能
完全地由静力平
衡条件唯一地加
以确定。
? 未知力的数目 >平
衡方程的数目。
FP
A BFxA
FyA
MA
FyB
FP
FyA FyB
FxA
3、超静定结构的类型
（ 1） 超静定梁
（ 3）超静定拱
（二）、超静定次数
? 1、超静定次数的确定及确定方法
? 超静定次数 n ——多余约束的个数。
? 几何,n= - W
? 静力：超静定次数 =未知力个数 - 平衡方程
个数
? n = 把超静定结构变成静定结构，所需
撤除约束的个数。
撤除多余约束的方式与相应
多余约束力之间的关系
撤除多余约束的方式 撤除多余约束
的个数
多余力
的性质
X1
X1 X1
1 反力 Fy
1 轴力 FN
X1
X2 2 反力 Fx Fy
X1 X1
X2 X2
2 轴力 FN剪力 F
Q
撤除多余约束的方式 撤除多余约
束的个数
多余力
的性质
X1
X2
X3 3 反力 Fx,Fy,M
X1
X2
X3
3
轴力 FN
剪力 FQ
弯矩 M
X1
1X1
1
反力偶 M
弯矩 M
提问：
? 1、切开一个闭合框，去掉几个约束？有
什么规律可循？如右图：
?2、在受弯杆上加一个复铰，等于去掉几个
约束？反之，在结构上拿去一个复铰，等于
去掉几个约束？如下图：
2、基本体系（结构）与基本未知量
? 力法基本体系（结构）：
? 几何不变 （无多余约束，有多余约束）
体系 ； 计算是可能的。几何可变或瞬变
体系不能作基本体系。
? 计算简便，同一结构可选不同的基本
体系。
? 力法基本未知量：
? 与去掉的多余约束相应的 多余未知力 。
例：
X1
n = 1
X1X1 X1
瞬变
X1
n = 1
X1
X1 X1
瞬变
X1
X2
X3
X4X5
X1
X2
X3
X4 X5
n = 5
问,还可以选什
么样的基本体系？
X1
X1 X1
n = 1
问,还可以选什
么样的基本体系？
X1
X1
X1
X1
瞬变
左下图所示基本
体系是否正确？
n =3× 5=15
提问, 还可以选什么样的基本体系?
X1 X2
n = 2
请考虑以上两个基本体系，
哪一个计算起来更方便？
X1 X1 X2 X2
X1 X2 X3 X4
X1 X2 X3 X4
n = 4
请考虑以上两个基本体系，
哪一个计算起来更方便？
§ 7-2 力法基本概念
? 一、基本思路：
? 力法的三个基本概念（三要素）
? 1、力法的基本未知量 (fundamental
unknown)—— （与多余约束相应的）多余力。
? 如图：与静定结构相比较，有一个多余力，
只要能计算出 X1(X1=YB)，其余的问题为静定结
构问题。
2、力法基本体系（结构） —— （去掉多余约
束的）静定结构
? 基本体系 (fundamental system)的受力状态和变形
状态与原结构完全相同。
? 基本体系所受荷载：原荷载 +多余力 X1。（ 本身是
静定结构，又可代表原超静定结构，因此是过渡桥
梁）。
? 3、基本方程 (equation of force method) ——
变形条件
? 与 X1相应的位移条件，基本体系沿多余未知力 X1
方向的位移 ⊿ 1应与原结构沿 X1方向的位移相等，即：
⊿ 1 =0。
基本思路
l
q
EI
原结构
MA
FyA FyB
q
X1基本体系
⊿ 1P
q
X1
⊿ 11
FxA
? 变形条件,⊿ 1 = 0
? 基本体系 原结构
? 由叠加原理,⊿ 1 = ⊿ 11 + ⊿ 1P= 0
? 式中：
? ⊿ 11—— 基本体系在未知力 X1单独作用下，沿
? X1方向的位移 ⊿ 11 =δ 11 X1 。
? ⊿ 1P—— 基本体系在荷载单独作用下沿 X1方向
? 的位移 。
? ⊿ 1, ⊿ 11, ⊿ 1P, δ 11的方向与 X1方向
一致，规定为正。
δ11
? 由 ⊿ 1 = ⊿ 11 + ⊿ 1P= 0
? 可知 δ 11 X1 + ⊿ 1P= 0
? 上式为一次超静定结构的力法基本
方程 。
? 至此力法的基本概念已建立。
? 其中系数 δ 11和自由项 ⊿ 1P都是基本
体系即静定结构的位移 。
X1=1
X1=1l
M1 图
ql2/2
MP 图
系数和自由项计算
? (图形自乘 )
?
? 代入变形条件,得：
? X1= - ⊿ 1P/δ11= 3ql/8 (↑)
? 最后弯矩图可用叠加原理（也可将 X1作用在基
本体系上，用平衡条件求其余的反力内力）
? M= X1M1+MP
EI
ldx
EI
Mdx
EI
MM
3
32
111
11 ??? ? ?? ??
EI
qldx
EI
MM P
P 8
4
1
1 ???? ? ?
M= X1M1+MP
ql2/8 ql2/8
力法的基本特点：
? （ 1）、以多余未知力作为基本未知量。
? （ 2）、以去掉多余约束的静定结构
（也可以是超静定结构）作为基本体系。
? （ 3）、基本体系在解除多余约束处的
位移 = 原结构在该处的位移，由此建立
力法方程。
? （注：请同学们自行与材料力学中用能量法
求解超静定结构的方法作比较。）
? 力法方程即位移条件方程：
? 基本体系在多余力和荷载（或
其他因素）共同作用下，各多余未
知力作用点的相应位移应与原结构
相应点的位移相同。
二、多次超静定结构的计算
1、以一个三次超静定结构为例
? 位移条件,⊿ 1 = 0 ⊿ 2 = 0 ⊿ 3 = 0
FP1
FP2
FP1
FP2
X1
X2
X3
? 位移条件：
? ⊿ 1 = 0
? ⊿ 2 = 0
? ⊿ 3 = 0
? ⊿ 1 = 0 基本体系沿 X1方向的位移 =
原结构 B点的水平位移。
? ⊿ 2 = 0 基本体系沿 X2方向的位移 =
原结构 B点的竖向位移。
? ⊿ 3 = 0 基本体系沿 X3方向的位移 =
原结构 B点的转角位移。
应用叠加原理把位移条件分解为：
FP1
FP2
? 应用叠加原理把位移条件写成展开式：
? （ 1）,X1 =1单独作用于基本体系，相应位移
? δ 11 δ 21 δ 31
? 未知力 X1单独作用于基本体系，相应位移
? δ 11 X1 δ 21 X1 δ 31 X1
? （ 2）,X2 =1单独作用于基本体系，相应位移
? δ 12 δ 22 δ 32
? 未知力 X2单独作用于基本体系，相应位移
? δ 12X2 δ 22 X2 δ 32X2
? （ 3）,X3=1单独作用于基本体系，相应位移
? δ 13 δ 23 δ 33
? 未知力 X3单独作用于基本体系，相应位移
? δ 13 X3 δ 23 X3 δ 33 X3
? （ 4）、荷载单独作用于基本体系，相应位移
? ⊿ 1P ⊿ 2P ⊿ 3P
? X1方向的位移 ⊿ 1
? ⊿ 1=δ 11X1+δ 12X2+δ 13X3+ ⊿ 1P
? X2方向的位移 ⊿ 2
? ⊿ 2=δ 21X1+δ 22X2+δ 23X3+ ⊿ 2P
? X3方向的位移 ⊿ 3
? ⊿ 3=δ 31X1+δ 32X2+δ 33X3+ ⊿ 3P
? 三次超静定结构的力法方程,
? δ 11 X1+δ 12 X2+δ 13 X3+ ⊿ 1P = 0
? δ 21 X1+δ 22 X2+δ 23 X3+ ⊿ 2P = 0
? δ 31 X1+δ 32 X2+δ 33 X3+ ⊿ 3P = 0
? 注, 方程左边是基本体系的位移 。
? 方程右边是原结构的相应位移 。
讨论：
? （ 1）、力法方程（典型方程）
的物理意义,基本体系中，由全部
未知力和已知荷载共同作用，在去
掉多余约束处的位移应等于原结构
相应位移。
? （ 2）、同一结构可取不同的力
法基本体系和基本未知量，但力法
基本方程的形式一样，由于基本未
知量的实际含义不同，则位移（变
形）条件的实际含义不同。
? （ 3）、方程中 δ ij和 ⊿ iP是静定
结构的位移，这样超静定结构的反
力、内力计算就转化为静定结构的
位移计算问题。
原结构
A B
FP2
FP1
A B
FP2
FP1
基本体系 Ⅰ
X3
X1 X1
X2 X2
X3X3
A B
FP2
FP1
X1
X2
2,n次超静定结构的力法 典型方程
? δ 11X1+δ 12X2+ ……+δ 1nXn+ ⊿ 1P = 0
? δ 21X1+δ 22X2+ ……+δ 2nXn+ ⊿ 2P = 0 (7-4)
? … … … … … …
? δ n1X1+δ n2X2+……+ δ nnXn+ ⊿ nP = 0
? (n次超静定结构在荷载作用下的力法典型方程 ）
? 基本未知量,n个多余未知力 X1, X2,… Xn；
? 基本体系：从原结构中去掉相应的 n个多余约
束后所得的静定结构；
? 基本方程,n个多余约束处的 n个变形条件。
力法典型方程的讨论：
? （ 1）,（ 7-1） 式可写成矩阵形式,
?
? [δ ]{X} + {⊿ P } = {0}
? [δ ]—— 系数矩阵、柔度矩阵
? （ 2）、力法方程 主系数, δ ii≠0,恒为正,
? 因为 δ ii是 Xi=1作用在自身方向上，所产
生的位移系数，所以不为零，恒为正。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
2
1
2
1
21
22221
11211
???
?
????
?
?
nP
P
P
Nnnnn
n
n
X
X
X
???
???
???
? (3),副系数, δ ij (i≠j) 可正、可负、
可为零。
? 由位移互等定理可知,δ ij =δ ji
? δ ij—— 由单位力 Xj=1作用产生的沿 Xi方向
的位移系数。
? （ 4）,自由项, ⊿ iP 可正、可负、可为零。
? ⊿ iP—— 由荷载单独作用产生的沿 Xi方向
的位移。
? （ 5）、计算出 X1, X2,… Xn后，由叠加原理
? M=M1X1+M2X2+…+MnXn+MP
? FQ= FQ1X1+ FQ2X2+…+FQnXn+ FQP
? FN=FN1X1+ FN2X2+… +FNnXn+ FNP
§ 7 - 3 超静定刚架和排架
? 1、超静定刚架
? 类型,单跨超静定梁、多跨超静定
梁、单层单跨超静定刚架、多层多跨超
静定刚架。
? 计算特点,（一般只考虑弯曲变形）
? ?
? ?
? ?
??
?
?
dx
EI
MM
dx
EI
MM
dx
EI
M
Pi
iP
ji
ij
i
ii
?
?
2
系数和自由项的计算,
例：用力法计算图示刚架。各杆 EI=常数
原结构
A
BC D
q
l l
l
A
BC D
基本体系
q
X1 X
2
n=2
q
A
BC D
X1
X2 基本体系
A
BC D
q X
1
X2
基本体系
解：
? (1),判定超静定次数,n=2 ；
? 选定基本体系和基本未知量 ；
? 可选不同的基本体系，挑选计算比
较简便的，进行分析计算。
? 力法方程：
? δ 11X1+δ 12X2+⊿ 1P = 0
? δ 21X1+δ 22X2+⊿ 2P = 0
(2)、作 M i, MP图，求 δ, ⊿
(用第一种基本体系）
δ11 =[(1/2× l× l)
(2/3× l)+
(l× l)× l]/EI
= 4 l 3/3EI
δ22=δ11= 4l3/3EI
δ12=δ21= -[(l× l)
× l]/EI
= - l3/EI
?⊿ 1P= -[(1/3× ql2/2× l)× 3/4× l
? +(ql2/2× l)× l)/EI = -5ql4/8EI
?⊿ 2P=[(ql2/2× l)× l] =ql4/2EI
（ 3）、解方程 （求解未知量）
? 力法方程,（可消去 l3/EI）
? 4/3 X 1 -X 2 - 5ql/8 = 0
? -X1+4/3X2+ ql/2 = 0
? 解出：
? X 1 =3ql/7
? X2 = - 3ql/56
（ 4）、作内力图
弯矩图
?M =M1X1+M2X2+MP=3ql/7M1-3ql/56M2+ MP
?MBC=3ql/7× l-3ql/56× 0-ql2/2= - ql2/14
? (上边受拉 )
?MBD=3ql/7× 0-3ql/56× l+0 = - 3ql2/56
? (上边受拉 )
?MBA=3ql/7× (-l) -3ql/56× l+ql2/2=ql2/56=MAB
? (右边受拉 )
弯矩图：
剪力由杆件平衡计算； 轴力由结点平衡计算
24ql/56
4ql2/56
-32ql/56
3ql2/56
3ql/563ql/5624ql/56
32ql/56
3ql/56
FQ图
FQBC=
FQBD=
FN图
5ql/8
32ql/56 3ql/56
-5ql/8FNBA=
讨论：
? 1、一个超静定结构,可选
不同的基本体系进行计算。
当然希望选择计算较为简
便的。
? 本题如选第二个基本体系，
则有,δ 12=δ 21=0。
（为什么？）
? 力法方程可写为：
? δ 11X1+⊿ 1P = 0
? δ 22X2+⊿ 2P= 0
? 2、荷载作用下超静
定结构反力、内力的特
点：
? 多余力（反力、内力）
的大小只与各杆件的相
对刚度有关，而与其绝
对刚度无关，同一材料
所构成的结构，其反力
内力也与材料的性质
（弹性模量）无关。
? 右上图刚架的各杆弯
矩值与例题中各杆的弯
矩值是否相同？
如不同，为什么？
? 3、变形曲线草图可根据弯矩图大致画出。
2、铰接排架
? 计算特点：
? 横梁, EA=∞
? 柱,
? ?
? ?
? ?
??
?
?
dx
EI
MM
dx
EI
MM
dx
EI
M
Pi
iP
ji
ij
i
ii
?
?
2
计算中注意 阶梯柱 的
图的 图乘 问题。
例：用力法计算图示两跨不等高排架
? 解：超静定次数 n=2,
? 选基本体系和基本未知量，
? 力法基本方程,δ 11 X1+δ 12 X2+⊿ 1P = 0
? δ 21 X1+δ 22 X2+⊿ 2P = 0
基本体系和基本未知量
? ⊿ 1, ⊿ 2 为切口处两个截面的轴向
相对位移。变形条件为：切口处的两个
截面沿轴向应仍保持接触，沿轴向的相
对位移为零。
? 提问：
? （ 1）如果水平杆的 EA≠∞，是有限值，力法方
程是否与上面的列法一致？在计算方程的系数
时应注意些什么？
? （ 2）选取基本体系时如将水平杆拿掉，方程
应如何列？（水平杆的 EA=∞ 或 EA≠∞，有何
区别？）
? 2、系数和自由项
? δ 11 =[（ 1/2× 6× 6)× 2/3× 6]/EI1
? +[(1/2× 6× 6)× 2/3× 6]/EI2
? =504/EI2
?δ 22=2× [1/2× 3× 3)× 2/3× 3]/EI1
? +2× [(1/2× 3× 7)× (2/3× 3+1/3× 10)
? +(1/2× 10× 7)× (1/3× 3+2/3× 10)]/EI2
? =2270/3EI2
16/3
23/3
?δ 12=δ 21=-[(1/2× 6× 6)× (2/3× 10+1/3× 4)]
? = - 144/EI2
? ⊿ 1P= 0
? ⊿ 2P= -[(1/2× 20× 1)× (8/9× 3)]/EI1
? +(-1)[(1/2× 20× 7)× (2/3× 3+1/3× 10)
? +(1/2× 160× 7)× (1/3× 3+2/3× 10)]/EI2
? = - 14480/EI2
? 3、解方程（消去 1/EI2）
? 504X1 -144X2 = 0
? -144X1+2270/3X2-14480/3 =0
? X1=1.927kN X2=6.745kN
? 4、作弯矩图
? M=1.927M1+6.745M2+MP
?
?
?
??
?
?
EA
lFF
EA
lFF
EA
lF
NPNi
iP
Nj
Ni
ij
Ni
ii
?
?
2
?最后内力,FN=FN1X1+FN2X2+ … +FNnXn+FNP
§ 7 – 4 超静定桁架和组合结构
计算特点：
系数,
自由项,
1、超静定桁架
例,用力法计算图示桁架，各杆 EA=常数
? 解：超静定次数 n=1, 选基本体系如图所示。
? 注意斜杆 12不是去掉，而是截断。
? 力法方程为,δ 11X1+⊿ 1P = 0
FP FP X
1
NPNPNP
N
N
P
P
P
P
FFFFFXF
FX
EA
aF
EA
a
??????
??
?
??
?
??
?
?
1
1
1
11
1
1
1
11
2
2
2
2
)22(
)21(2
?
?
P221
? 计算过程,
FN1
FP F
P
FP FP
FP
-FP
-FP
FNP
X1=1
习惯上列表计算
杆件 l FN1 FNP FN1FNPl
01 a -1/√2 0 1/2× a 0 +FP /2
13 a -1/√2 -FP 1/2× a FP·a /√2 - FP /2
23 a -1/√2 -FP 1/2× a FP·a /√2 - FP /2
20 a -1/√2 0 1/2× a 0 +FP /2
03 √2a +1 √2FP √2a 2FP·a √2FP/2
12 √2a +1 0 √2a 0 -√2FP/2
∑ 2(1+√2)a (√2+2)
× FP·a
FN12l FN
讨论：
? 1、桁架中的杆件 （ EA=常数） 不是
去掉而是截断，计算 δ ij时，不能忘记被
截断杆的轴力。如忘记会出现什么问题？
? 如在上题选基本体系
时，去掉 12杆，则力法方
程应怎样写呢？
? δ 11X1+⊿ 1P = - X1l /EA
? 为什么？
FP
X1
X1
? 2、桁架计算中，一般列表进行
计算。
? 3、超静定桁架常见形式包括：
多跨连续式桁架、双重腹杆桁架。
要使力法方程计算简便选基本体系
是关键；原则：尽量使基本体系在
未知单位力作用下，许多杆的轴力
为零。
X1 X2
? 请考虑以上两个基本体系，
哪一个计算起来更方便？
X1 X2 X3 X
4
X1 X2 X3 X4
2、超静定组合结构
?计算特点：
?梁式杆：
22
Ni i
ii
iNi Nk
k
ik
Nii NP i P
iP
F l M
dx
E A E I
MMF F l
dx
E A E I
F F l M M
dx
E A E I
?
?
??
??
? ? ?
?? ?
?? ?
?? ?
?二力杆：只考虑轴向变形对位移的影响
例,
图示加劲式吊车梁,横
梁和竖杆由钢筋混凝土做
成,斜杆为 16锰圆钢,各杆刚
度如下,
梁式杆 AB:
EI=1.989× 104 kN·m2
二力杆 AD,DB:
EA=2.464× 105 kN
二力杆 CD：
EA=4.95× 105 kN
A B
C
D3m 3m
1m
1.5m FP=74.2kN
A BC
D
FP
X1
基本体系
解：
此结构是一次超
静定的，取基本体系
如图所示。力法典型
方程为：
δ 11 X1+⊿ 1P = 0
A BC
D X1=1
作 M1图，并求各
杆轴力。
作 MP图。
求系数和自由项。
3/2
-√10/2 -√10/2
A BC
D
FP
83.475
55.65
MP 图（ kN·m） FNP=0
M1 图（ m） FN1
? δ 11=∑ FN12l /EA+∑∫M12 dx/EI
= 29.7869× 10 -8 m/N
? ⊿ 1P=∑ FN1 FNP l /EA+∑∫M1MP dx/EI
=1154.1290× 10 -5 m
?X1= - ⊿ 1P / δ 11 = - 38746 N= - 38.746kN
按下列公式计算最后内力
? M = - 38.746 M1+MP
? FN = - 38.746FN1+FN P
FP
M 图（ kN ·m） FN1 ( kN )
54.416
2.469
61.263
61.263
- 38.746
5、讨论：
? （ 1）下部桁架部分支撑力为 38.746kN 时，横
梁最大弯矩为 54.416kN·m。
? （ 2）如没有下部桁架支撑，则最大弯矩为
83.475kN·m,由于下部桁架的存在，弯矩减小
了 34.8%。
? （ 3）超静定结构内力分布与横梁和桁架的相
对刚度有关。下部链杆截面小，弯矩图就趋向
于简支梁的弯矩图；下部链杆截面大，弯矩图
就趋向于连续梁的弯矩图。
? （ 4）提问：如果横梁特别“软”，结果会怎
样？
§ 7-9、支座移动及温度改变时超静定结构计算
一、温度改变对超静定结构的影响
? 1、特点：
? 静定结构 温度改变时，有变形和位移，但
不产生反力和内力。
? 超静定结构 温度改变时，有变形和位移，
同时产生反力和内力 (称为自内力 )。
? 其中：
? 均匀温度改变产生轴向变形；
? 不均匀温度改变产生轴向变形和弯曲变形；
? 无剪切变形。
静定结构 超静定结构
2、力法分析原理，公式
（ 1）、原理：基本体系在温度改变和多 余未
知力的共同作用下，去掉多余约束处的位移应与
原结构的位移相同。
(请同学们自己考虑力法典型方程的形式 )
（ 2）、力法基本方程,（以两次为例）
δ 11 X1+δ 12 X2+⊿ 1t = 0
δ 21 X1+δ 22 X2+⊿ 2t= 0
δ 11 X1+δ 12 X2+⊿ 1t = 0
δ 21 X1+δ 22 X2+⊿ 2t = 0
?式
⊿ Kt— 温度改变在基本体系中产生的沿 XK方向
的位移。
0 N K KKt
tt F d s M d s
h??
?? ? ? ? ??? ??
注：计算系数时，刚架只考虑弯曲变形；计算自由
项时，刚架要同时考虑弯曲和轴向变形
(3)、因为基本结构是静定的，故：
?
?
?
?
?????
?????
n
i
Ni
i
Nn
n
NN
N
n
i
i
in
FXFXFXFXF
MXMXnMXMXM
1
2
2
1
1
1
22
1
1
?
?
例：
图示刚架，浇注
混凝土时室内外温度
为 +15o C，冬季室外为
-35o C，室内为 +15o C
。
各杆件 EI=常数,
E=2× 106N/cm2
=2× 107kN/m2,
α=10-5。试作内力图
。
l =4m
l =4m
- 350 C
+150 C
解,
（ 1）基本体系如图，
n=1。
典型方程：
δ 11 X1+⊿ 1t= 0
（ 2）计算系数和自由
项。
X1
t1= - 500 C
t2= 00 C
注,t1,t2、是里外两面各自的温度改变量 。故
有：
t1= - 350 C - 150 C= - 500 C
t2= 150 C - 150 C= 00 C
δ11=[(l× l)× l+(1/2×
l× l)× 2/3× l]/EI
=4l3/3EI
? I=b·h3/12=7.2× 10-3m4
X1
t1= - 500 C
t2= 00 C
X1=1
M 图
l
FN
0
-1
X1
t1= - 500 C
t2= 00 C
X1=1
M 图
l
0
-1
to=[(-35-15)+(15-15)]/2
=1/2(-35+15)-15= -25oC
⊿ t=0-(-50)=50oC
⊿ 1t =α ·( -25)·(-1)·l
- α·50/h·(l2+1/2·l2)
= +25· α ·l - 75·α·l 2 /h
= -1900
FN
（ 3）、解方程
X1 = -⊿ 1t / δ 11
=1900 ·3EI/(4l3)
=22.27·EI
（ 4）、作内力图
M AB =X1 M1= 22.27·EI·4
= 89.08EI
=128.3 k N· m （左拉）
FNAB =X1 FN1= 22.27·EI·(-1)
= - 22.27·EI
= - 32.01 k N （压力）
M(kN·m)
FN (kN)
讨论：
（ 1）、力法方程中的自由项 ⊿ it是由于
基本体系温度改变引起的位移。
（ 2）、温度改变引起的内力与各杆的
绝对值有关。温度一定，截面尺寸愈大，
内力也愈大；如要改善受力，加大截面尺
寸不是唯一有效的途径。
（ 3）、结构内力全部由未知力引起的
（自内力）。
? （ 4）、杆件有温度改变时，弯矩图的
竖标出现在降温面。升温面产生压应力，
降温面产生拉应力（与静定结构不同）。
在钢筋混凝土结构设计中，应特别注意降
温面可能出现的裂缝。
? 二、支座移动时的计算
? 1、特点：
? 静定结构：在支座移动作用下，只有
刚体位移，无弹性变形；不产生反力、
内力。
? 超静定结构：在支座移动作用下，有
弹性变形，有位移；有反力、内力（称
为自内力）。
? 因为，超静定结构有多余约束。
2、力法分析原理、公式
? （ 1）原理：
? 基本体系在多余未知力和支座移动共
同作用下，在去掉多余约束处的位移应
与原结构该处的位移相同。
? （ 2）力法方程（以两次超静定为例）：
? δ 11X1+δ 12X2+⊿ 1C= ⊿ 1
? δ 21X1+δ 22X2+⊿ 2C= ⊿ 2
? 方程的右端项，视所取的基本体系不
同而定。
注：
? 用力法求解支座移动作用下的超静定结
构，关键问题是,
? （ 1）由于基本体系选取不同，力法方程
的右端项 ⊿ K=？ 不同。
? （ 2）方程自由项 ⊿ KC的定义：
? ⊿ KC——基本体系发生支座移动时，产生
? 的沿 XK方向的位移。
? ⊿ KC= - ∑FR KcK
例：
图示一等截面梁
AB,左端为固定端
，右端为可动铰。
如左端支座转动
角度已知为 θ，右端
支座下沉距离已知
为 a，求梁中引起的
自内力。
A B
l
θ
θ a
基本体系
X1
A Bθ
θ a
解：
? 此梁为一次超静定。
基本体系为悬臂梁。
? 变形条件为基本体系
在 B点的竖向位移 ⊿ 1应与
原结构相同。
? 原结构 B点的竖向位
移已知为 a，方向与 X1相
反，故变形条件可写为：
? ⊿ 1= - a
基本体系
X1
A Bθ
θ a
力法方程为：
δ11 X1 +⊿ 1C = - a
A B
θ
θ
θl
X1=1
l
M1
计算系数和自由项,
δ11 = [(1/2× l× l)× (2/3× l)] /EI =l3/3EI
⊿ 1C = - ∑FR1 c1 = -( l × θ )= - l θ
⊿ 1⊿ =
? 代入力法方程：
? δ11 X1 +⊿ 1C = - a
? l3/3EI X1 - l θ = - a
? 解出：
? X1 = 3EI ( θ – a / l ) /l2
? 将代入弯矩叠加公式：
? M=M1 X1
? 作出弯矩图如图所示。
3EI (θ–a/l) /l
M 图
说明：
? 1、支座移动时的计算特点：
? （ 1）、力法方程的右边可能不为零。
? （ 2）、力法方程的自由项是由支座移
动产生的。
? （ 3）、内力全部是由多余未知力引起
的。
? （ 4）、所有内力与杆件 EI的绝对值有
关。
2、取不同的基本体系计算
? 若取右图简支梁
作基本体系,则变形
条件为：
? 简支梁在 A点的转
角应等于给定值 θ 。
? 力法方程为：
δ11 X1 +⊿ 1C= θ
A BX1
a
θ
l
a
⊿ 1⊿ =a/l X1=1
M11 1/l
计算系数和自由项,
δ11 = 1/EI× [(1/2× 1× l)× (2/3× 1)]=l/3EI
⊿ 1C = - ∑FR1c1 = -( - l/l× a )= a/l
由此求得,X1 = 3EI (θ – a / l) /l
思考：
? 若取右图所示的
基本体系，力法方
程的形式如何？
? 方程右边等于
多少？
? 力法方程的自
由项应为多少？
X1
a
θ
θ
? 例：图示刚架支座 A发
生水平位移 a，竖向位
b=4a，转角位移 φ=a/l，
用力法求解，作 M图。
? 解：
? （ 1）基本未知量 n=2,
? 力法方程,
? δ 11X1+δ 12X2+⊿ 1C= ⊿ 1
? δ 21X1+δ 22X2+⊿ 2C= ⊿ 2
? 解法 Ⅰ,
? 取基本体系如图，
? 力法方程中：
? ⊿ 1= - a(与 X1方向相反 )
? ⊿ 2 = φ(与 X2方向一致 )
? δ 11X1+δ 12X2+⊿ 1C = -a
? δ 21X1+δ 22X2+⊿ 2C= φ
? 2、计算系数和自由项：
? δ 11=[(1/2× l× l)× 2/3×
? l]/EI+[(1/2× l× l)×
? 2/3× l]/2EI=l3/2EI
? δ 22=[(1/2× 1× l)× 2/3× 1]/EI+
? [(1× l)× 1]/2EI=5l/6EI
? δ 12=δ 21=[(1/2× l× l)
? × 2/3× l]/EI+
? [(1/2× l× l)× 1]/2EI
? =7l2/12EI
? ⊿ 1C = -(1× b)=-b
? ⊿ 2C = -(1/l× b)=-b/l
3、列方程，求解,（ a,b均写为 φ
的函数, a=φl,b =4φl )
?
?
??
??
l
EI
X
l
EI
X
X
EI
l
X
EI
l
llX
EI
l
X
EI
l
11
108
11
60
4
12
10
12
7
4
12
7
12
6
2
21
21
2
2
2
1
3
?
??
???
??????
4、内力图
? 由于基本结构是静定的，支座
移动在基本结构中不产生反力、
内力，故原结构的内力均为多
余力引起的。
? M=X1M1+X2M2
? MBA= -60/11·EI/l2·φ·l+
? 108/11 ·EI/l·φ·l
? =48/11·EI/l·φ（右边受拉）
? MAB= -60/11·EI/l2·φ·0+
? 108/11 ·EI/l·φ·l
? =108/11·EI/l·φ（右边受拉）
48/11·EI/l·φ
108/11·EI/l·φ
解法 Ⅱ, ? 力法方程：? δ
11X1+δ 12X2+⊿ 1C = ⊿ 1
? δ 21X1+δ 22X2+⊿ 2C= ⊿ 2
? 其中,⊿ 1= 0, ⊿ 2 = 0 。
? 所以：
? δ 11X1+δ 12X2+⊿ 1C= 0
? δ 21X1+δ 22X2+⊿ 2C= 0
? δ 11= l3/6EI δ 22= 5l3/6EI
? δ 12 = δ 21= l3/4EI
? ⊿ 1C = -[1× a+l× φ]
? = -a- lφ= -2lφ
? ⊿ 2C= - [1× b+l× φ]
? = -b – lφ= - 5lφ
讨论：与荷载作用下的结构计算比较
? （ 1）、取不同的基本体系进行计算，
力法方程的右端项有所不同。 （为什么？）
? （ 2）、力法方程中的自由项 ⊿ KC是由
于基本体系发生支座移动，在基本体系中
沿多余力方向的位移。 （如果所选基本体系的支
座移动为零，则 ⊿ KC必为零，正确否？）
? （ 3）、支座移动作用下，超静定结构
各杆内力与杆件 EI的绝对值有关。 （为什
么？）
? （ 4）、结构内力全部由未知力引起的
（自内力）。
思考：
? （ 1）、“无荷载就无内力。”适用范围？
? （ 2）、支座移动、温度改变与荷载作用
下，超静定结构计算有何异同？
? （ 3）、当超静定结构发生制造误差时，
如何用力法计算？
? （ 4）、计算超静定结构时，在什么情况
下，只需给出各杆 EI的 相对值？在什么
情况下，必须给出各杆 EI的 绝对值？
§ 7-10 超静定结构位移的计算
? 一、超静定结构的位移计算
? 原理：虚功原理。
? 方法：虚单位荷载法。
RKKKNQF d s F d s M d s F c? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
注：荷载作用下的最后内力图和相应的单位
内力图，需按超静定结构的计算方法求出。
（一）、虚拟状态的选取
? 1、虚拟力状态选取在
超静定结构上。
? 相应 FP=1作用在超静定结
构（原结构）上。
? 如前例，求 B结点的转角
位移 φB。
? 由图乘法可得如下结果：
? φB = -q·l3/56EI (逆时针）
2、一般作法：利用基本结构求原结构的位移
? 用静定结构 (基本体系 )的虚拟状态,即,将相应的
单位力加在基本体系上。
? 要点：原结构的内力变形（位移） = 基本结构
在外因和多余力共同作用下的内力变形（位移）
? 求原结构的位移问题 求基本结构的位移问题
? φB = [-(ql2/56× l) × 1]/EI =-q·l3/56EI (逆时针）
? 由于计算超静定结构时可采用不同的基本
结构，（超静定结构的最后内力变形并不随所
取的基本结构不同而异），所以可以将单位力
加在任一相应的基本结构上。
? 由图乘可得：
? φB = -q·l3/56EI (逆时针）
（二）、超静定结构在荷载，支座移动，温度
改变等因素作用下的位移计算公式
? 1、荷载作用
? 设超静定结构在荷载作用下的内力为 M、
FN,FQ,杆段微段变形为：
GA
kF
EA
F
EI
M QN ???
0,,???
dsGA
FFk
dsEA FFdsEI MM QQNNi ? ?? ?? ? ????
位移公式为：
M,FN,FQ取自任一与原结构相应的基本体系。
? 2、支座移动（以超静定刚架为例）
? 设超静定结构在支座移动作用下内
力为 M，杆件微段变形为,κ=M/EI。
iiiMM ds
EI ?
? ? ? ?? ?
位移公式为：
⊿ i⊿ =∑FRici —— FRi取自任一与原结构
相应 的基本体系，为单位荷载作用下该基
本体系的支座反力。
? 3、温度改变（以超静定刚架为例）
? 设超静定结构温度改变时内力为 M，
这时，除内力引起的弹性变形外，还有
微段在自由膨胀条件下由温度引起的变
形，即：
00,,
QN kFFMt t
E I h E A G A
?? ? ? ???? ? ? ? ? ?
0
QN QN
N
k F FFFM M td s d s d s M d s F t d s
E I E A G A h
? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?
ii itMM dsEI? ? ? ?? ?
例：图示结构，求 φB 。其中 a= φl,b=4φl
? 解,刚架的弯矩图已
作出。取基本体系如
图 (a)
? ⊿ =φB=∑ ∫Mi·M·ds/EI
? - ∑Rck
? = - [(1/2·48/11·EI/l
? ·φ·l)·2/3·1]/EI -
? [1/l·(-b)]
? =-16/11·φ+4φ
? =28/11·φ （逆时针）
? （一）、超静定结构总校核依据：
? 结构的最后内力图应满足平衡条件
和变形（位移）条件。
? 请自学 P.375，校核工作的重要性和
力法计算的阶段校核。
? 从超静定结构解答唯一性定理出发，
结构的最后内力图应满足两个条件。满
足 平衡是必要条件,但不充分；同时满
足 变形条件, 才是充分的 。
§ 7-11 超静定结构的校核
? 尤其是力法计算结果，力法方程本身
是变形条件方程，如要检查校核，则必
须使用变形条件。
? 1、平衡条件：用计算中未用过的平
衡条件，一般取杆件或结点隔离体校核
其是否平衡。
? 2、变形条件：因为多余力是由变形
条件得出的，最后内力图是将多余力视
为主动力，按平衡条件作出的，多余力
有误，平衡条件不能反映，必须用变形
条件。
（二）、变形条件校核
? 1、一般作法：
? 任意选取基本体系，任取一个多余未知
力 Xi，根据内力图算出沿 Xi方向的位移 ⊿ i，
检查 ⊿ i是否与原结构中的相应位移（给定
值）相等。
? 即, ⊿ i =给定值
0
()
(
N QQN
N R K K
k F FFFMM
d s d s d s
E I E A G A
t
M d s F t d s F c
h
?
?
? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
? ? ?? ? ?
? ? ??? 给 定 值 a)
2、荷载作用 ⊿ =0
对刚架一般只校核弯矩图。
? 当结构为无铰封闭框格刚架时，校核
封闭框格的任一切口截面两侧的相对转
角，取杆中任一截面弯矩为多余未知力
MK=1，变形条件为：
0MM dsEI? ? ?? ? (以刚架为例 )
?当结构中只受荷载作用，沿封闭框格的 M/EI图形总面积之和等于零。
= k M M d x M d xE I E I?? ? ??????? dsIM
0
例：校核例题的弯矩图
? 解：
? 取基本体系如图，用右
支座处的反力为 X1。
? 验证 ⊿ DV=0
? ⊿ DV=[-(1/2·3ql2/56·l)· (2/3
? ·l)+(ql2/56·l)·l]/EI
? =[-ql4/56+ ql4/56]/EI
? = 0
? 满足变形条件，弯矩图正确。
例：校核图示刚架的弯矩图
6m
6m
q=1
4k
N/
m 3EI
2E
I
2E
I
28.8
115.2
63.0
46.8
61.2
M 图 (kN·m)
图示刚架为一封闭框格,弯矩图如右图所示。要
校核其弯矩图正确与否，可校核任一截面相对转角
是否为零。
28.8
115.2
63.0
46.8
61.2
M 图 (kN·m)
XK=1
1 1
1 1
MK 图
[-(1/2× 115.2× 6) + (1/2× 28.8× 6) +(1/2×
63.0× 6)-(1/2× 46.8× 6)+(1/2× 61.2× 6)]/2EI
+[-(1/2× 46.8× 6) +(1/2× 28.8× 6)] / 3EI
= -3.6/EI + 21.6/EI -18/EI =0
3EI
2E
I
2E
I
?? dsIM
例：定性地判断下列弯矩图的正误。
FP
请改正
请改正
§ 7-5,对称结构的计算
? 一、选取对称的基本体系
? 1、什么是结构的对称性
? （ 1）、结构的几何形状和支承情况，
对某轴（或点）对称。
? （ 2）、杆件的截面和材料性质，对
此轴（或点）也对称。
2、对称简化的目的
? （ 1）、使力法方程中尽可能多的副
系数和自由项为零。
? 关键：选择合理的基本体系，以及设
置适宜的基本未知量。
? 一个极端情况（ n次超静定）
? δ 11X1+⊿ 1P = 0
? δ 21X1+⊿ 2P = 0
? … …
? δ n1X1+⊿ nP = 0
? （ 2）、根据结构的对称性，有时可较
简便地定性分析结构的内力和变形。
3、选取对称的基本体系
? 选取对称的基本体
系，并取对称力或反对
称力为基本未知量。
? 如图，一对称结构，
沿对称轴截面切开，得
到一个对称的基本体系。
? X1,X2—— 正对称未知力；
? X3 —— 反对称未知力 。
X1
X3
X2
? X1,X2引起的内
力、变形是正对
称的；
? X3引起的内力、
变形是反对称的。
? 分析系数：
? δ 13=δ 31= 0
? δ 23=δ 32= 0
X1
X3
X2 X1=1
X3=1
X2=1
? 如有荷载作用，则方程简化为：
? δ 11X1+δ 12X2+ ⊿ 1P = 0
? δ 21X1+δ 22X2+ ⊿ 2P = 0
? δ 33X3+ ⊿ 3P = 0
4、考虑两种荷载情况
（ 1）、对称荷载作用
FP FP FP FPX1
X2
FP FP FP FP
? MP图是对称的，有 ⊿ 3P=0
? 因此,反对称未知力 X3=0；
? 只有正对称未知力 X1,X2。
? 故, M=M1 X1+M2 X2+MP
? 最后弯矩图也是正对称的。
? 结论,对称结构在正对称荷载作用下，
反对称未知力必为零，结构所有的反力、
内力及变形均为正对称的。
? 提问：弯矩图和轴力图是正对称的，剪力
图却是反对称的，这是为什么？
（ 2）、反对称荷载
FP FP
X3
FP FP
FP FP FP FP
? MP图是反对称的，有 ⊿ 1P=0,⊿ 2P=0。
? 因此,正对称未知力 X1=0,X2=0。
? 只有反对称未知力 X3。
? 故,M=M3 X3+MP
? 最后弯矩图也是反对称的。
? 结论,对称结构在反对称荷载作用下，
正对称未知力必为零，结构所有的反力、
内力及变形均为反对称的。
? 提问：弯矩图和轴力图是反对称的，剪力
图却是正对称的，这是为什么？
5,荷载分组
? 任何非对称荷载均可分解为两部分，
即：正对称荷载和反对称荷载。
? 对称结构受一般荷载作用，可将荷
载分为正、反对称两组，分别作用在结
构上进行计算，然后将结果叠加，起到
简化计算之效果。
FP
q M
FP /2
FP /2
q /2M /2 M /2
FP /2
q /2M /2
FP /2
M /2
二、未知力分组
? 在某些情况下，一些对称结构选用了
对称的基本体系，但其相应的多余未知
力，既非正对称，又非反对称。
? 在此可采用未知力分组的方法。
? 同样可使方程分为两组，一组只包括
正对称未知力，另一组只包括反对称未
知力。
如图,n=4,取对称基本体系，但任何一个
基 本未知量都不是对称或反对称的。
FP q
FPq
X1
X2
X3
X4
FPq
? 利用未知力分组，组成广义未知力：
? XA=X1+X2,XB=X1-X2;
? YA=Y1+Y2,YB=Y1-Y2;
? 力法方程中,δ 12=δ 21= 0,δ 14=δ 41=
0，
? δ 23=δ 32= 0,δ 34=δ 43=
0。
? 方程变为两组，为两个二元一次线
性方程组。
例：作图示结构的弯矩图。各杆 EI=常数
20kN 20kN X2
X1
X3
X4
10kN 10kN 10kN 10kN
? 解,
? 1、荷载分组
? 分析：
? （ 1）、原结构超静定次数为 4。如选
对称的基本体系，如上图,4个基本未知
量可分为两组：
? X2 X3 X4——正对称未知力；
? X1 ——反对称未知力。
? (2)、正对称荷载作用情况, （在此，
我们假设忽略刚架各杆的轴向变形和剪切变形，
弯曲变形非常小）。因此，当图示正对称荷载
作用时，只有杆中有轴向压力 FP /2=10kN，其
它杆中无内力。
? 因为在刚架计算中，忽略轴向变形的影响，
在此条件下，上述内力情况不仅满足平衡条件，
也满足变形条件，是真正的内力状态。
? 可知,X2= - 10,X3= X4=0。
? 提问,①、如果在刚架计算中，考虑各杆的轴向变
? 形的影响，则上述内力状态是否正确？
? ②、请同学自行验证对称荷载作用下结构的
? 内力，考虑弯矩图全为零这个结果是否正确？
? （ 3）、反对称荷载作用情况：
? 由反对称荷载作用分析可知（对称
结构在反对称荷载作用下，正对称的未
知力必为零），图示基本体系下，
? X2 = X3 = X4=0，只有 X1有值，由此计算
出的反对称荷载作用下的弯矩图即为原
结构的弯矩图。
? 2、力法方程：
? δ 11X1+⊿ 1P = 0
3、作 M1, MP图，
求 δ 11, ⊿ 1P 。
EIδ 11=[(1/2·3·3)·
2/3·3·4+
? (3·3)·3·2]
? =90
10kN 10kN
X1
X1=1
10kN 10kN
X1=1?EI⊿ 1P =[(1/2·30·3)
? ·3·2+(1/2·60·3)
? ·2/3·3·2]
? =630
?4、解方程：
? X1=-⊿ 1P/δ 11
? = - 630/90
? = - 7kN
? 5、作弯矩图
? M=X1M1+MP
20kN
习题课：超静定结构的计算 —力法
? 重点,熟练掌握用力法求解荷载作用下的超
静定结构。
? 要求,
? 1、准确地判定超静定次数，正确地选用基
本体系。
? 2、掌握力法的基本原理：力法的一般作法；
力法方程的物理意义。
? 3、理解结构在支座移动、温度改变作用下，
力法方程的特点。会计算超静定结构的位移；并
能校核超静定结构的最后内力图。
? 4、会利用对称性简化计算。
复习：
? 力法方程：
?
? 方程的物理意义；方程左右式的意思。
? 各系数 δik的物理意义和计算方法。
? 自由项 ⊿ iP的物理意义和计算方法。
）,?
?
tcpg
ni
X
iig
n
k
kik
,,(
),,2,1(
1
?
?
??????
?
?
举例：
δ11X1+⊿ 1P=0
FP FP
X1
FP FP
X1
FP FP
X1
FP
X1
δ11X1+⊿ 1P=0
δ11X1+⊿ 1P=0
δ11X1+⊿ 1C= - c
δ11X1+⊿ 1P= - X1/k
习题一：
判断体系超静定次数，选基本体系。
1）
n=3
n =6
2）
n=9
3）
习题二
1,用力法计算图示结构，作弯矩图。各杆 EI=常数。
l
l
l q q
X1
q
X1
q
X1
解,1、基本未知量；基本体系。
l
l
l q q
X1
1
l
l
M1
X1=1
q
ql2/8
MP
2、作 M1,MP图，计算系数。
δ11=(2/EI)[(1/2× l× l)× (2/3× l)+
(1/2× l× l/2)× (2/3× l)]= l3/EI
∵ ⊿ 1P=0 ∴ X1=0 M=MP
ql2/8
2、图示连续梁结构，各杆 EI=常数。讨论基本
体系的选取。 q
FP
qF
P
X1 X2 X3 X4
X5
qF
P
X1 X2 X3 X4 X5
3,用力法计算图示结构，作弯矩图。各杆 EI=常数。
A D
G
B C
F
12m 16m 12m
9m
30kN/m
X1
X3
X2
基本体系
绘 Mi,MP图，求各系数。
X1=1
X2=1
X3=1
9
9
1
8
960
540 960
M1
M2
M3
MP
超静定结构与静定结构
在计算方面的主要区别
? 静定结构 的内力只要根据静力平衡条件即
可求出，而不必考虑其它条件，即,内力是
静定的 。
? 超静定结构 的内力则不能单由静力平衡
条件求出，而必须同时考虑变形协调条件，即：
内力是超静定的 。
求解超静定结构的计算方法
? 从方法上讲基本有两种,力法和位移法。
? 从历史上讲分 传统方法和现代方法。
? 传统方法：
? 精确法：
? (1)力法 (Force method)：取某些 力 作基本未知量。
? (2)位移法 (Displacement method)：取某些 位移 作
基本未知量。
(3)混合法 (Mixture method),既有 力 的未知量,也
有 位移 未知量。
? 渐近法,
? （ 1）建立力学方程组，数学上渐近；
? （ 2）从结构的力学模型入手逐步逼近。
? 现代方法：
? 矩阵法, （ 1）矩阵力法；
? （ 2）矩阵位移法 ;
? （ 3）矩阵混合法 。
第 七 章
力 法
Force method
§ 7-1 超静定结构的组成和超静定次数
? 一、超静定结
构
? 1、几何组成：
? 具有多余
? 约束的几何不变
体系。
FP1 FP2
FP1 FP2
FRB FRC FRD
? 2、静力特性：
? 超静定结构的
反力和内力不能
完全地由静力平
衡条件唯一地加
以确定。
? 未知力的数目 >平
衡方程的数目。
FP
A BFxA
FyA
MA
FyB
FP
FyA FyB
FxA
3、超静定结构的类型
（ 1） 超静定梁
（ 3）超静定拱
（二）、超静定次数
? 1、超静定次数的确定及确定方法
? 超静定次数 n ——多余约束的个数。
? 几何,n= - W
? 静力：超静定次数 =未知力个数 - 平衡方程
个数
? n = 把超静定结构变成静定结构，所需
撤除约束的个数。
撤除多余约束的方式与相应
多余约束力之间的关系
撤除多余约束的方式 撤除多余约束
的个数
多余力
的性质
X1
X1 X1
1 反力 Fy
1 轴力 FN
X1
X2 2 反力 Fx Fy
X1 X1
X2 X2
2 轴力 FN剪力 F
Q
撤除多余约束的方式 撤除多余约
束的个数
多余力
的性质
X1
X2
X3 3 反力 Fx,Fy,M
X1
X2
X3
3
轴力 FN
剪力 FQ
弯矩 M
X1
1X1
1
反力偶 M
弯矩 M
提问：
? 1、切开一个闭合框，去掉几个约束？有
什么规律可循？如右图：
?2、在受弯杆上加一个复铰，等于去掉几个
约束？反之，在结构上拿去一个复铰，等于
去掉几个约束？如下图：
2、基本体系（结构）与基本未知量
? 力法基本体系（结构）：
? 几何不变 （无多余约束，有多余约束）
体系 ； 计算是可能的。几何可变或瞬变
体系不能作基本体系。
? 计算简便，同一结构可选不同的基本
体系。
? 力法基本未知量：
? 与去掉的多余约束相应的 多余未知力 。
例：
X1
n = 1
X1X1 X1
瞬变
X1
n = 1
X1
X1 X1
瞬变
X1
X2
X3
X4X5
X1
X2
X3
X4 X5
n = 5
问,还可以选什
么样的基本体系？
X1
X1 X1
n = 1
问,还可以选什
么样的基本体系？
X1
X1
X1
X1
瞬变
左下图所示基本
体系是否正确？
n =3× 5=15
提问, 还可以选什么样的基本体系?
X1 X2
n = 2
请考虑以上两个基本体系，
哪一个计算起来更方便？
X1 X1 X2 X2
X1 X2 X3 X4
X1 X2 X3 X4
n = 4
请考虑以上两个基本体系，
哪一个计算起来更方便？
§ 7-2 力法基本概念
? 一、基本思路：
? 力法的三个基本概念（三要素）
? 1、力法的基本未知量 (fundamental
unknown)—— （与多余约束相应的）多余力。
? 如图：与静定结构相比较，有一个多余力，
只要能计算出 X1(X1=YB)，其余的问题为静定结
构问题。
2、力法基本体系（结构） —— （去掉多余约
束的）静定结构
? 基本体系 (fundamental system)的受力状态和变形
状态与原结构完全相同。
? 基本体系所受荷载：原荷载 +多余力 X1。（ 本身是
静定结构，又可代表原超静定结构，因此是过渡桥
梁）。
? 3、基本方程 (equation of force method) ——
变形条件
? 与 X1相应的位移条件，基本体系沿多余未知力 X1
方向的位移 ⊿ 1应与原结构沿 X1方向的位移相等，即：
⊿ 1 =0。
基本思路
l
q
EI
原结构
MA
FyA FyB
q
X1基本体系
⊿ 1P
q
X1
⊿ 11
FxA
? 变形条件,⊿ 1 = 0
? 基本体系 原结构
? 由叠加原理,⊿ 1 = ⊿ 11 + ⊿ 1P= 0
? 式中：
? ⊿ 11—— 基本体系在未知力 X1单独作用下，沿
? X1方向的位移 ⊿ 11 =δ 11 X1 。
? ⊿ 1P—— 基本体系在荷载单独作用下沿 X1方向
? 的位移 。
? ⊿ 1, ⊿ 11, ⊿ 1P, δ 11的方向与 X1方向
一致，规定为正。
δ11
? 由 ⊿ 1 = ⊿ 11 + ⊿ 1P= 0
? 可知 δ 11 X1 + ⊿ 1P= 0
? 上式为一次超静定结构的力法基本
方程 。
? 至此力法的基本概念已建立。
? 其中系数 δ 11和自由项 ⊿ 1P都是基本
体系即静定结构的位移 。
X1=1
X1=1l
M1 图
ql2/2
MP 图
系数和自由项计算
? (图形自乘 )
?
? 代入变形条件,得：
? X1= - ⊿ 1P/δ11= 3ql/8 (↑)
? 最后弯矩图可用叠加原理（也可将 X1作用在基
本体系上，用平衡条件求其余的反力内力）
? M= X1M1+MP
EI
ldx
EI
Mdx
EI
MM
3
32
111
11 ??? ? ?? ??
EI
qldx
EI
MM P
P 8
4
1
1 ???? ? ?
M= X1M1+MP
ql2/8 ql2/8
力法的基本特点：
? （ 1）、以多余未知力作为基本未知量。
? （ 2）、以去掉多余约束的静定结构
（也可以是超静定结构）作为基本体系。
? （ 3）、基本体系在解除多余约束处的
位移 = 原结构在该处的位移，由此建立
力法方程。
? （注：请同学们自行与材料力学中用能量法
求解超静定结构的方法作比较。）
? 力法方程即位移条件方程：
? 基本体系在多余力和荷载（或
其他因素）共同作用下，各多余未
知力作用点的相应位移应与原结构
相应点的位移相同。
二、多次超静定结构的计算
1、以一个三次超静定结构为例
? 位移条件,⊿ 1 = 0 ⊿ 2 = 0 ⊿ 3 = 0
FP1
FP2
FP1
FP2
X1
X2
X3
? 位移条件：
? ⊿ 1 = 0
? ⊿ 2 = 0
? ⊿ 3 = 0
? ⊿ 1 = 0 基本体系沿 X1方向的位移 =
原结构 B点的水平位移。
? ⊿ 2 = 0 基本体系沿 X2方向的位移 =
原结构 B点的竖向位移。
? ⊿ 3 = 0 基本体系沿 X3方向的位移 =
原结构 B点的转角位移。
应用叠加原理把位移条件分解为：
FP1
FP2
? 应用叠加原理把位移条件写成展开式：
? （ 1）,X1 =1单独作用于基本体系，相应位移
? δ 11 δ 21 δ 31
? 未知力 X1单独作用于基本体系，相应位移
? δ 11 X1 δ 21 X1 δ 31 X1
? （ 2）,X2 =1单独作用于基本体系，相应位移
? δ 12 δ 22 δ 32
? 未知力 X2单独作用于基本体系，相应位移
? δ 12X2 δ 22 X2 δ 32X2
? （ 3）,X3=1单独作用于基本体系，相应位移
? δ 13 δ 23 δ 33
? 未知力 X3单独作用于基本体系，相应位移
? δ 13 X3 δ 23 X3 δ 33 X3
? （ 4）、荷载单独作用于基本体系，相应位移
? ⊿ 1P ⊿ 2P ⊿ 3P
? X1方向的位移 ⊿ 1
? ⊿ 1=δ 11X1+δ 12X2+δ 13X3+ ⊿ 1P
? X2方向的位移 ⊿ 2
? ⊿ 2=δ 21X1+δ 22X2+δ 23X3+ ⊿ 2P
? X3方向的位移 ⊿ 3
? ⊿ 3=δ 31X1+δ 32X2+δ 33X3+ ⊿ 3P
? 三次超静定结构的力法方程,
? δ 11 X1+δ 12 X2+δ 13 X3+ ⊿ 1P = 0
? δ 21 X1+δ 22 X2+δ 23 X3+ ⊿ 2P = 0
? δ 31 X1+δ 32 X2+δ 33 X3+ ⊿ 3P = 0
? 注, 方程左边是基本体系的位移 。
? 方程右边是原结构的相应位移 。
讨论：
? （ 1）、力法方程（典型方程）
的物理意义,基本体系中，由全部
未知力和已知荷载共同作用，在去
掉多余约束处的位移应等于原结构
相应位移。
? （ 2）、同一结构可取不同的力
法基本体系和基本未知量，但力法
基本方程的形式一样，由于基本未
知量的实际含义不同，则位移（变
形）条件的实际含义不同。
? （ 3）、方程中 δ ij和 ⊿ iP是静定
结构的位移，这样超静定结构的反
力、内力计算就转化为静定结构的
位移计算问题。
原结构
A B
FP2
FP1
A B
FP2
FP1
基本体系 Ⅰ
X3
X1 X1
X2 X2
X3X3
A B
FP2
FP1
X1
X2
2,n次超静定结构的力法 典型方程
? δ 11X1+δ 12X2+ ……+δ 1nXn+ ⊿ 1P = 0
? δ 21X1+δ 22X2+ ……+δ 2nXn+ ⊿ 2P = 0 (7-4)
? … … … … … …
? δ n1X1+δ n2X2+……+ δ nnXn+ ⊿ nP = 0
? (n次超静定结构在荷载作用下的力法典型方程 ）
? 基本未知量,n个多余未知力 X1, X2,… Xn；
? 基本体系：从原结构中去掉相应的 n个多余约
束后所得的静定结构；
? 基本方程,n个多余约束处的 n个变形条件。
力法典型方程的讨论：
? （ 1）,（ 7-1） 式可写成矩阵形式,
?
? [δ ]{X} + {⊿ P } = {0}
? [δ ]—— 系数矩阵、柔度矩阵
? （ 2）、力法方程 主系数, δ ii≠0,恒为正,
? 因为 δ ii是 Xi=1作用在自身方向上，所产
生的位移系数，所以不为零，恒为正。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
2
1
2
1
21
22221
11211
???
?
????
?
?
nP
P
P
Nnnnn
n
n
X
X
X
???
???
???
? (3),副系数, δ ij (i≠j) 可正、可负、
可为零。
? 由位移互等定理可知,δ ij =δ ji
? δ ij—— 由单位力 Xj=1作用产生的沿 Xi方向
的位移系数。
? （ 4）,自由项, ⊿ iP 可正、可负、可为零。
? ⊿ iP—— 由荷载单独作用产生的沿 Xi方向
的位移。
? （ 5）、计算出 X1, X2,… Xn后，由叠加原理
? M=M1X1+M2X2+…+MnXn+MP
? FQ= FQ1X1+ FQ2X2+…+FQnXn+ FQP
? FN=FN1X1+ FN2X2+… +FNnXn+ FNP
§ 7 - 3 超静定刚架和排架
? 1、超静定刚架
? 类型,单跨超静定梁、多跨超静定
梁、单层单跨超静定刚架、多层多跨超
静定刚架。
? 计算特点,（一般只考虑弯曲变形）
? ?
? ?
? ?
??
?
?
dx
EI
MM
dx
EI
MM
dx
EI
M
Pi
iP
ji
ij
i
ii
?
?
2
系数和自由项的计算,
例：用力法计算图示刚架。各杆 EI=常数
原结构
A
BC D
q
l l
l
A
BC D
基本体系
q
X1 X
2
n=2
q
A
BC D
X1
X2 基本体系
A
BC D
q X
1
X2
基本体系
解：
? (1),判定超静定次数,n=2 ；
? 选定基本体系和基本未知量 ；
? 可选不同的基本体系，挑选计算比
较简便的，进行分析计算。
? 力法方程：
? δ 11X1+δ 12X2+⊿ 1P = 0
? δ 21X1+δ 22X2+⊿ 2P = 0
(2)、作 M i, MP图，求 δ, ⊿
(用第一种基本体系）
δ11 =[(1/2× l× l)
(2/3× l)+
(l× l)× l]/EI
= 4 l 3/3EI
δ22=δ11= 4l3/3EI
δ12=δ21= -[(l× l)
× l]/EI
= - l3/EI
?⊿ 1P= -[(1/3× ql2/2× l)× 3/4× l
? +(ql2/2× l)× l)/EI = -5ql4/8EI
?⊿ 2P=[(ql2/2× l)× l] =ql4/2EI
（ 3）、解方程 （求解未知量）
? 力法方程,（可消去 l3/EI）
? 4/3 X 1 -X 2 - 5ql/8 = 0
? -X1+4/3X2+ ql/2 = 0
? 解出：
? X 1 =3ql/7
? X2 = - 3ql/56
（ 4）、作内力图
弯矩图
?M =M1X1+M2X2+MP=3ql/7M1-3ql/56M2+ MP
?MBC=3ql/7× l-3ql/56× 0-ql2/2= - ql2/14
? (上边受拉 )
?MBD=3ql/7× 0-3ql/56× l+0 = - 3ql2/56
? (上边受拉 )
?MBA=3ql/7× (-l) -3ql/56× l+ql2/2=ql2/56=MAB
? (右边受拉 )
弯矩图：
剪力由杆件平衡计算； 轴力由结点平衡计算
24ql/56
4ql2/56
-32ql/56
3ql2/56
3ql/563ql/5624ql/56
32ql/56
3ql/56
FQ图
FQBC=
FQBD=
FN图
5ql/8
32ql/56 3ql/56
-5ql/8FNBA=
讨论：
? 1、一个超静定结构,可选
不同的基本体系进行计算。
当然希望选择计算较为简
便的。
? 本题如选第二个基本体系，
则有,δ 12=δ 21=0。
（为什么？）
? 力法方程可写为：
? δ 11X1+⊿ 1P = 0
? δ 22X2+⊿ 2P= 0
? 2、荷载作用下超静
定结构反力、内力的特
点：
? 多余力（反力、内力）
的大小只与各杆件的相
对刚度有关，而与其绝
对刚度无关，同一材料
所构成的结构，其反力
内力也与材料的性质
（弹性模量）无关。
? 右上图刚架的各杆弯
矩值与例题中各杆的弯
矩值是否相同？
如不同，为什么？
? 3、变形曲线草图可根据弯矩图大致画出。
2、铰接排架
? 计算特点：
? 横梁, EA=∞
? 柱,
? ?
? ?
? ?
??
?
?
dx
EI
MM
dx
EI
MM
dx
EI
M
Pi
iP
ji
ij
i
ii
?
?
2
计算中注意 阶梯柱 的
图的 图乘 问题。
例：用力法计算图示两跨不等高排架
? 解：超静定次数 n=2,
? 选基本体系和基本未知量，
? 力法基本方程,δ 11 X1+δ 12 X2+⊿ 1P = 0
? δ 21 X1+δ 22 X2+⊿ 2P = 0
基本体系和基本未知量
? ⊿ 1, ⊿ 2 为切口处两个截面的轴向
相对位移。变形条件为：切口处的两个
截面沿轴向应仍保持接触，沿轴向的相
对位移为零。
? 提问：
? （ 1）如果水平杆的 EA≠∞，是有限值，力法方
程是否与上面的列法一致？在计算方程的系数
时应注意些什么？
? （ 2）选取基本体系时如将水平杆拿掉，方程
应如何列？（水平杆的 EA=∞ 或 EA≠∞，有何
区别？）
? 2、系数和自由项
? δ 11 =[（ 1/2× 6× 6)× 2/3× 6]/EI1
? +[(1/2× 6× 6)× 2/3× 6]/EI2
? =504/EI2
?δ 22=2× [1/2× 3× 3)× 2/3× 3]/EI1
? +2× [(1/2× 3× 7)× (2/3× 3+1/3× 10)
? +(1/2× 10× 7)× (1/3× 3+2/3× 10)]/EI2
? =2270/3EI2
16/3
23/3
?δ 12=δ 21=-[(1/2× 6× 6)× (2/3× 10+1/3× 4)]
? = - 144/EI2
? ⊿ 1P= 0
? ⊿ 2P= -[(1/2× 20× 1)× (8/9× 3)]/EI1
? +(-1)[(1/2× 20× 7)× (2/3× 3+1/3× 10)
? +(1/2× 160× 7)× (1/3× 3+2/3× 10)]/EI2
? = - 14480/EI2
? 3、解方程（消去 1/EI2）
? 504X1 -144X2 = 0
? -144X1+2270/3X2-14480/3 =0
? X1=1.927kN X2=6.745kN
? 4、作弯矩图
? M=1.927M1+6.745M2+MP
?
?
?
??
?
?
EA
lFF
EA
lFF
EA
lF
NPNi
iP
Nj
Ni
ij
Ni
ii
?
?
2
?最后内力,FN=FN1X1+FN2X2+ … +FNnXn+FNP
§ 7 – 4 超静定桁架和组合结构
计算特点：
系数,
自由项,
1、超静定桁架
例,用力法计算图示桁架，各杆 EA=常数
? 解：超静定次数 n=1, 选基本体系如图所示。
? 注意斜杆 12不是去掉，而是截断。
? 力法方程为,δ 11X1+⊿ 1P = 0
FP FP X
1
NPNPNP
N
N
P
P
P
P
FFFFFXF
FX
EA
aF
EA
a
??????
??
?
??
?
??
?
?
1
1
1
11
1
1
1
11
2
2
2
2
)22(
)21(2
?
?
P221
? 计算过程,
FN1
FP F
P
FP FP
FP
-FP
-FP
FNP
X1=1
习惯上列表计算
杆件 l FN1 FNP FN1FNPl
01 a -1/√2 0 1/2× a 0 +FP /2
13 a -1/√2 -FP 1/2× a FP·a /√2 - FP /2
23 a -1/√2 -FP 1/2× a FP·a /√2 - FP /2
20 a -1/√2 0 1/2× a 0 +FP /2
03 √2a +1 √2FP √2a 2FP·a √2FP/2
12 √2a +1 0 √2a 0 -√2FP/2
∑ 2(1+√2)a (√2+2)
× FP·a
FN12l FN
讨论：
? 1、桁架中的杆件 （ EA=常数） 不是
去掉而是截断，计算 δ ij时，不能忘记被
截断杆的轴力。如忘记会出现什么问题？
? 如在上题选基本体系
时，去掉 12杆，则力法方
程应怎样写呢？
? δ 11X1+⊿ 1P = - X1l /EA
? 为什么？
FP
X1
X1
? 2、桁架计算中，一般列表进行
计算。
? 3、超静定桁架常见形式包括：
多跨连续式桁架、双重腹杆桁架。
要使力法方程计算简便选基本体系
是关键；原则：尽量使基本体系在
未知单位力作用下，许多杆的轴力
为零。
X1 X2
? 请考虑以上两个基本体系，
哪一个计算起来更方便？
X1 X2 X3 X
4
X1 X2 X3 X4
2、超静定组合结构
?计算特点：
?梁式杆：
22
Ni i
ii
iNi Nk
k
ik
Nii NP i P
iP
F l M
dx
E A E I
MMF F l
dx
E A E I
F F l M M
dx
E A E I
?
?
??
??
? ? ?
?? ?
?? ?
?? ?
?二力杆：只考虑轴向变形对位移的影响
例,
图示加劲式吊车梁,横
梁和竖杆由钢筋混凝土做
成,斜杆为 16锰圆钢,各杆刚
度如下,
梁式杆 AB:
EI=1.989× 104 kN·m2
二力杆 AD,DB:
EA=2.464× 105 kN
二力杆 CD：
EA=4.95× 105 kN
A B
C
D3m 3m
1m
1.5m FP=74.2kN
A BC
D
FP
X1
基本体系
解：
此结构是一次超
静定的，取基本体系
如图所示。力法典型
方程为：
δ 11 X1+⊿ 1P = 0
A BC
D X1=1
作 M1图，并求各
杆轴力。
作 MP图。
求系数和自由项。
3/2
-√10/2 -√10/2
A BC
D
FP
83.475
55.65
MP 图（ kN·m） FNP=0
M1 图（ m） FN1
? δ 11=∑ FN12l /EA+∑∫M12 dx/EI
= 29.7869× 10 -8 m/N
? ⊿ 1P=∑ FN1 FNP l /EA+∑∫M1MP dx/EI
=1154.1290× 10 -5 m
?X1= - ⊿ 1P / δ 11 = - 38746 N= - 38.746kN
按下列公式计算最后内力
? M = - 38.746 M1+MP
? FN = - 38.746FN1+FN P
FP
M 图（ kN ·m） FN1 ( kN )
54.416
2.469
61.263
61.263
- 38.746
5、讨论：
? （ 1）下部桁架部分支撑力为 38.746kN 时，横
梁最大弯矩为 54.416kN·m。
? （ 2）如没有下部桁架支撑，则最大弯矩为
83.475kN·m,由于下部桁架的存在，弯矩减小
了 34.8%。
? （ 3）超静定结构内力分布与横梁和桁架的相
对刚度有关。下部链杆截面小，弯矩图就趋向
于简支梁的弯矩图；下部链杆截面大，弯矩图
就趋向于连续梁的弯矩图。
? （ 4）提问：如果横梁特别“软”，结果会怎
样？
§ 7-9、支座移动及温度改变时超静定结构计算
一、温度改变对超静定结构的影响
? 1、特点：
? 静定结构 温度改变时，有变形和位移，但
不产生反力和内力。
? 超静定结构 温度改变时，有变形和位移，
同时产生反力和内力 (称为自内力 )。
? 其中：
? 均匀温度改变产生轴向变形；
? 不均匀温度改变产生轴向变形和弯曲变形；
? 无剪切变形。
静定结构 超静定结构
2、力法分析原理，公式
（ 1）、原理：基本体系在温度改变和多 余未
知力的共同作用下，去掉多余约束处的位移应与
原结构的位移相同。
(请同学们自己考虑力法典型方程的形式 )
（ 2）、力法基本方程,（以两次为例）
δ 11 X1+δ 12 X2+⊿ 1t = 0
δ 21 X1+δ 22 X2+⊿ 2t= 0
δ 11 X1+δ 12 X2+⊿ 1t = 0
δ 21 X1+δ 22 X2+⊿ 2t = 0
?式
⊿ Kt— 温度改变在基本体系中产生的沿 XK方向
的位移。
0 N K KKt
tt F d s M d s
h??
?? ? ? ? ??? ??
注：计算系数时，刚架只考虑弯曲变形；计算自由
项时，刚架要同时考虑弯曲和轴向变形
(3)、因为基本结构是静定的，故：
?
?
?
?
?????
?????
n
i
Ni
i
Nn
n
NN
N
n
i
i
in
FXFXFXFXF
MXMXnMXMXM
1
2
2
1
1
1
22
1
1
?
?
例：
图示刚架，浇注
混凝土时室内外温度
为 +15o C，冬季室外为
-35o C，室内为 +15o C
。
各杆件 EI=常数,
E=2× 106N/cm2
=2× 107kN/m2,
α=10-5。试作内力图
。
l =4m
l =4m
- 350 C
+150 C
解,
（ 1）基本体系如图，
n=1。
典型方程：
δ 11 X1+⊿ 1t= 0
（ 2）计算系数和自由
项。
X1
t1= - 500 C
t2= 00 C
注,t1,t2、是里外两面各自的温度改变量 。故
有：
t1= - 350 C - 150 C= - 500 C
t2= 150 C - 150 C= 00 C
δ11=[(l× l)× l+(1/2×
l× l)× 2/3× l]/EI
=4l3/3EI
? I=b·h3/12=7.2× 10-3m4
X1
t1= - 500 C
t2= 00 C
X1=1
M 图
l
FN
0
-1
X1
t1= - 500 C
t2= 00 C
X1=1
M 图
l
0
-1
to=[(-35-15)+(15-15)]/2
=1/2(-35+15)-15= -25oC
⊿ t=0-(-50)=50oC
⊿ 1t =α ·( -25)·(-1)·l
- α·50/h·(l2+1/2·l2)
= +25· α ·l - 75·α·l 2 /h
= -1900
FN
（ 3）、解方程
X1 = -⊿ 1t / δ 11
=1900 ·3EI/(4l3)
=22.27·EI
（ 4）、作内力图
M AB =X1 M1= 22.27·EI·4
= 89.08EI
=128.3 k N· m （左拉）
FNAB =X1 FN1= 22.27·EI·(-1)
= - 22.27·EI
= - 32.01 k N （压力）
M(kN·m)
FN (kN)
讨论：
（ 1）、力法方程中的自由项 ⊿ it是由于
基本体系温度改变引起的位移。
（ 2）、温度改变引起的内力与各杆的
绝对值有关。温度一定，截面尺寸愈大，
内力也愈大；如要改善受力，加大截面尺
寸不是唯一有效的途径。
（ 3）、结构内力全部由未知力引起的
（自内力）。
? （ 4）、杆件有温度改变时，弯矩图的
竖标出现在降温面。升温面产生压应力，
降温面产生拉应力（与静定结构不同）。
在钢筋混凝土结构设计中，应特别注意降
温面可能出现的裂缝。
? 二、支座移动时的计算
? 1、特点：
? 静定结构：在支座移动作用下，只有
刚体位移，无弹性变形；不产生反力、
内力。
? 超静定结构：在支座移动作用下，有
弹性变形，有位移；有反力、内力（称
为自内力）。
? 因为，超静定结构有多余约束。
2、力法分析原理、公式
? （ 1）原理：
? 基本体系在多余未知力和支座移动共
同作用下，在去掉多余约束处的位移应
与原结构该处的位移相同。
? （ 2）力法方程（以两次超静定为例）：
? δ 11X1+δ 12X2+⊿ 1C= ⊿ 1
? δ 21X1+δ 22X2+⊿ 2C= ⊿ 2
? 方程的右端项，视所取的基本体系不
同而定。
注：
? 用力法求解支座移动作用下的超静定结
构，关键问题是,
? （ 1）由于基本体系选取不同，力法方程
的右端项 ⊿ K=？ 不同。
? （ 2）方程自由项 ⊿ KC的定义：
? ⊿ KC——基本体系发生支座移动时，产生
? 的沿 XK方向的位移。
? ⊿ KC= - ∑FR KcK
例：
图示一等截面梁
AB,左端为固定端
，右端为可动铰。
如左端支座转动
角度已知为 θ，右端
支座下沉距离已知
为 a，求梁中引起的
自内力。
A B
l
θ
θ a
基本体系
X1
A Bθ
θ a
解：
? 此梁为一次超静定。
基本体系为悬臂梁。
? 变形条件为基本体系
在 B点的竖向位移 ⊿ 1应与
原结构相同。
? 原结构 B点的竖向位
移已知为 a，方向与 X1相
反，故变形条件可写为：
? ⊿ 1= - a
基本体系
X1
A Bθ
θ a
力法方程为：
δ11 X1 +⊿ 1C = - a
A B
θ
θ
θl
X1=1
l
M1
计算系数和自由项,
δ11 = [(1/2× l× l)× (2/3× l)] /EI =l3/3EI
⊿ 1C = - ∑FR1 c1 = -( l × θ )= - l θ
⊿ 1⊿ =
? 代入力法方程：
? δ11 X1 +⊿ 1C = - a
? l3/3EI X1 - l θ = - a
? 解出：
? X1 = 3EI ( θ – a / l ) /l2
? 将代入弯矩叠加公式：
? M=M1 X1
? 作出弯矩图如图所示。
3EI (θ–a/l) /l
M 图
说明：
? 1、支座移动时的计算特点：
? （ 1）、力法方程的右边可能不为零。
? （ 2）、力法方程的自由项是由支座移
动产生的。
? （ 3）、内力全部是由多余未知力引起
的。
? （ 4）、所有内力与杆件 EI的绝对值有
关。
2、取不同的基本体系计算
? 若取右图简支梁
作基本体系,则变形
条件为：
? 简支梁在 A点的转
角应等于给定值 θ 。
? 力法方程为：
δ11 X1 +⊿ 1C= θ
A BX1
a
θ
l
a
⊿ 1⊿ =a/l X1=1
M11 1/l
计算系数和自由项,
δ11 = 1/EI× [(1/2× 1× l)× (2/3× 1)]=l/3EI
⊿ 1C = - ∑FR1c1 = -( - l/l× a )= a/l
由此求得,X1 = 3EI (θ – a / l) /l
思考：
? 若取右图所示的
基本体系，力法方
程的形式如何？
? 方程右边等于
多少？
? 力法方程的自
由项应为多少？
X1
a
θ
θ
? 例：图示刚架支座 A发
生水平位移 a，竖向位
b=4a，转角位移 φ=a/l，
用力法求解，作 M图。
? 解：
? （ 1）基本未知量 n=2,
? 力法方程,
? δ 11X1+δ 12X2+⊿ 1C= ⊿ 1
? δ 21X1+δ 22X2+⊿ 2C= ⊿ 2
? 解法 Ⅰ,
? 取基本体系如图，
? 力法方程中：
? ⊿ 1= - a(与 X1方向相反 )
? ⊿ 2 = φ(与 X2方向一致 )
? δ 11X1+δ 12X2+⊿ 1C = -a
? δ 21X1+δ 22X2+⊿ 2C= φ
? 2、计算系数和自由项：
? δ 11=[(1/2× l× l)× 2/3×
? l]/EI+[(1/2× l× l)×
? 2/3× l]/2EI=l3/2EI
? δ 22=[(1/2× 1× l)× 2/3× 1]/EI+
? [(1× l)× 1]/2EI=5l/6EI
? δ 12=δ 21=[(1/2× l× l)
? × 2/3× l]/EI+
? [(1/2× l× l)× 1]/2EI
? =7l2/12EI
? ⊿ 1C = -(1× b)=-b
? ⊿ 2C = -(1/l× b)=-b/l
3、列方程，求解,（ a,b均写为 φ
的函数, a=φl,b =4φl )
?
?
??
??
l
EI
X
l
EI
X
X
EI
l
X
EI
l
llX
EI
l
X
EI
l
11
108
11
60
4
12
10
12
7
4
12
7
12
6
2
21
21
2
2
2
1
3
?
??
???
??????
4、内力图
? 由于基本结构是静定的，支座
移动在基本结构中不产生反力、
内力，故原结构的内力均为多
余力引起的。
? M=X1M1+X2M2
? MBA= -60/11·EI/l2·φ·l+
? 108/11 ·EI/l·φ·l
? =48/11·EI/l·φ（右边受拉）
? MAB= -60/11·EI/l2·φ·0+
? 108/11 ·EI/l·φ·l
? =108/11·EI/l·φ（右边受拉）
48/11·EI/l·φ
108/11·EI/l·φ
解法 Ⅱ, ? 力法方程：? δ
11X1+δ 12X2+⊿ 1C = ⊿ 1
? δ 21X1+δ 22X2+⊿ 2C= ⊿ 2
? 其中,⊿ 1= 0, ⊿ 2 = 0 。
? 所以：
? δ 11X1+δ 12X2+⊿ 1C= 0
? δ 21X1+δ 22X2+⊿ 2C= 0
? δ 11= l3/6EI δ 22= 5l3/6EI
? δ 12 = δ 21= l3/4EI
? ⊿ 1C = -[1× a+l× φ]
? = -a- lφ= -2lφ
? ⊿ 2C= - [1× b+l× φ]
? = -b – lφ= - 5lφ
讨论：与荷载作用下的结构计算比较
? （ 1）、取不同的基本体系进行计算，
力法方程的右端项有所不同。 （为什么？）
? （ 2）、力法方程中的自由项 ⊿ KC是由
于基本体系发生支座移动，在基本体系中
沿多余力方向的位移。 （如果所选基本体系的支
座移动为零，则 ⊿ KC必为零，正确否？）
? （ 3）、支座移动作用下，超静定结构
各杆内力与杆件 EI的绝对值有关。 （为什
么？）
? （ 4）、结构内力全部由未知力引起的
（自内力）。
思考：
? （ 1）、“无荷载就无内力。”适用范围？
? （ 2）、支座移动、温度改变与荷载作用
下，超静定结构计算有何异同？
? （ 3）、当超静定结构发生制造误差时，
如何用力法计算？
? （ 4）、计算超静定结构时，在什么情况
下，只需给出各杆 EI的 相对值？在什么
情况下，必须给出各杆 EI的 绝对值？
§ 7-10 超静定结构位移的计算
? 一、超静定结构的位移计算
? 原理：虚功原理。
? 方法：虚单位荷载法。
RKKKNQF d s F d s M d s F c? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
注：荷载作用下的最后内力图和相应的单位
内力图，需按超静定结构的计算方法求出。
（一）、虚拟状态的选取
? 1、虚拟力状态选取在
超静定结构上。
? 相应 FP=1作用在超静定结
构（原结构）上。
? 如前例，求 B结点的转角
位移 φB。
? 由图乘法可得如下结果：
? φB = -q·l3/56EI (逆时针）
2、一般作法：利用基本结构求原结构的位移
? 用静定结构 (基本体系 )的虚拟状态,即,将相应的
单位力加在基本体系上。
? 要点：原结构的内力变形（位移） = 基本结构
在外因和多余力共同作用下的内力变形（位移）
? 求原结构的位移问题 求基本结构的位移问题
? φB = [-(ql2/56× l) × 1]/EI =-q·l3/56EI (逆时针）
? 由于计算超静定结构时可采用不同的基本
结构，（超静定结构的最后内力变形并不随所
取的基本结构不同而异），所以可以将单位力
加在任一相应的基本结构上。
? 由图乘可得：
? φB = -q·l3/56EI (逆时针）
（二）、超静定结构在荷载，支座移动，温度
改变等因素作用下的位移计算公式
? 1、荷载作用
? 设超静定结构在荷载作用下的内力为 M、
FN,FQ,杆段微段变形为：
GA
kF
EA
F
EI
M QN ???
0,,???
dsGA
FFk
dsEA FFdsEI MM QQNNi ? ?? ?? ? ????
位移公式为：
M,FN,FQ取自任一与原结构相应的基本体系。
? 2、支座移动（以超静定刚架为例）
? 设超静定结构在支座移动作用下内
力为 M，杆件微段变形为,κ=M/EI。
iiiMM ds
EI ?
? ? ? ?? ?
位移公式为：
⊿ i⊿ =∑FRici —— FRi取自任一与原结构
相应 的基本体系，为单位荷载作用下该基
本体系的支座反力。
? 3、温度改变（以超静定刚架为例）
? 设超静定结构温度改变时内力为 M，
这时，除内力引起的弹性变形外，还有
微段在自由膨胀条件下由温度引起的变
形，即：
00,,
QN kFFMt t
E I h E A G A
?? ? ? ???? ? ? ? ? ?
0
QN QN
N
k F FFFM M td s d s d s M d s F t d s
E I E A G A h
? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?
ii itMM dsEI? ? ? ?? ?
例：图示结构，求 φB 。其中 a= φl,b=4φl
? 解,刚架的弯矩图已
作出。取基本体系如
图 (a)
? ⊿ =φB=∑ ∫Mi·M·ds/EI
? - ∑Rck
? = - [(1/2·48/11·EI/l
? ·φ·l)·2/3·1]/EI -
? [1/l·(-b)]
? =-16/11·φ+4φ
? =28/11·φ （逆时针）
? （一）、超静定结构总校核依据：
? 结构的最后内力图应满足平衡条件
和变形（位移）条件。
? 请自学 P.375，校核工作的重要性和
力法计算的阶段校核。
? 从超静定结构解答唯一性定理出发，
结构的最后内力图应满足两个条件。满
足 平衡是必要条件,但不充分；同时满
足 变形条件, 才是充分的 。
§ 7-11 超静定结构的校核
? 尤其是力法计算结果，力法方程本身
是变形条件方程，如要检查校核，则必
须使用变形条件。
? 1、平衡条件：用计算中未用过的平
衡条件，一般取杆件或结点隔离体校核
其是否平衡。
? 2、变形条件：因为多余力是由变形
条件得出的，最后内力图是将多余力视
为主动力，按平衡条件作出的，多余力
有误，平衡条件不能反映，必须用变形
条件。
（二）、变形条件校核
? 1、一般作法：
? 任意选取基本体系，任取一个多余未知
力 Xi，根据内力图算出沿 Xi方向的位移 ⊿ i，
检查 ⊿ i是否与原结构中的相应位移（给定
值）相等。
? 即, ⊿ i =给定值
0
()
(
N QQN
N R K K
k F FFFMM
d s d s d s
E I E A G A
t
M d s F t d s F c
h
?
?
? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
? ? ?? ? ?
? ? ??? 给 定 值 a)
2、荷载作用 ⊿ =0
对刚架一般只校核弯矩图。
? 当结构为无铰封闭框格刚架时，校核
封闭框格的任一切口截面两侧的相对转
角，取杆中任一截面弯矩为多余未知力
MK=1，变形条件为：
0MM dsEI? ? ?? ? (以刚架为例 )
?当结构中只受荷载作用，沿封闭框格的 M/EI图形总面积之和等于零。
= k M M d x M d xE I E I?? ? ??????? dsIM
0
例：校核例题的弯矩图
? 解：
? 取基本体系如图，用右
支座处的反力为 X1。
? 验证 ⊿ DV=0
? ⊿ DV=[-(1/2·3ql2/56·l)· (2/3
? ·l)+(ql2/56·l)·l]/EI
? =[-ql4/56+ ql4/56]/EI
? = 0
? 满足变形条件，弯矩图正确。
例：校核图示刚架的弯矩图
6m
6m
q=1
4k
N/
m 3EI
2E
I
2E
I
28.8
115.2
63.0
46.8
61.2
M 图 (kN·m)
图示刚架为一封闭框格,弯矩图如右图所示。要
校核其弯矩图正确与否，可校核任一截面相对转角
是否为零。
28.8
115.2
63.0
46.8
61.2
M 图 (kN·m)
XK=1
1 1
1 1
MK 图
[-(1/2× 115.2× 6) + (1/2× 28.8× 6) +(1/2×
63.0× 6)-(1/2× 46.8× 6)+(1/2× 61.2× 6)]/2EI
+[-(1/2× 46.8× 6) +(1/2× 28.8× 6)] / 3EI
= -3.6/EI + 21.6/EI -18/EI =0
3EI
2E
I
2E
I
?? dsIM
例：定性地判断下列弯矩图的正误。
FP
请改正
请改正
§ 7-5,对称结构的计算
? 一、选取对称的基本体系
? 1、什么是结构的对称性
? （ 1）、结构的几何形状和支承情况，
对某轴（或点）对称。
? （ 2）、杆件的截面和材料性质，对
此轴（或点）也对称。
2、对称简化的目的
? （ 1）、使力法方程中尽可能多的副
系数和自由项为零。
? 关键：选择合理的基本体系，以及设
置适宜的基本未知量。
? 一个极端情况（ n次超静定）
? δ 11X1+⊿ 1P = 0
? δ 21X1+⊿ 2P = 0
? … …
? δ n1X1+⊿ nP = 0
? （ 2）、根据结构的对称性，有时可较
简便地定性分析结构的内力和变形。
3、选取对称的基本体系
? 选取对称的基本体
系，并取对称力或反对
称力为基本未知量。
? 如图，一对称结构，
沿对称轴截面切开，得
到一个对称的基本体系。
? X1,X2—— 正对称未知力；
? X3 —— 反对称未知力 。
X1
X3
X2
? X1,X2引起的内
力、变形是正对
称的；
? X3引起的内力、
变形是反对称的。
? 分析系数：
? δ 13=δ 31= 0
? δ 23=δ 32= 0
X1
X3
X2 X1=1
X3=1
X2=1
? 如有荷载作用，则方程简化为：
? δ 11X1+δ 12X2+ ⊿ 1P = 0
? δ 21X1+δ 22X2+ ⊿ 2P = 0
? δ 33X3+ ⊿ 3P = 0
4、考虑两种荷载情况
（ 1）、对称荷载作用
FP FP FP FPX1
X2
FP FP FP FP
? MP图是对称的，有 ⊿ 3P=0
? 因此,反对称未知力 X3=0；
? 只有正对称未知力 X1,X2。
? 故, M=M1 X1+M2 X2+MP
? 最后弯矩图也是正对称的。
? 结论,对称结构在正对称荷载作用下，
反对称未知力必为零，结构所有的反力、
内力及变形均为正对称的。
? 提问：弯矩图和轴力图是正对称的，剪力
图却是反对称的，这是为什么？
（ 2）、反对称荷载
FP FP
X3
FP FP
FP FP FP FP
? MP图是反对称的，有 ⊿ 1P=0,⊿ 2P=0。
? 因此,正对称未知力 X1=0,X2=0。
? 只有反对称未知力 X3。
? 故,M=M3 X3+MP
? 最后弯矩图也是反对称的。
? 结论,对称结构在反对称荷载作用下，
正对称未知力必为零，结构所有的反力、
内力及变形均为反对称的。
? 提问：弯矩图和轴力图是反对称的，剪力
图却是正对称的，这是为什么？
5,荷载分组
? 任何非对称荷载均可分解为两部分，
即：正对称荷载和反对称荷载。
? 对称结构受一般荷载作用，可将荷
载分为正、反对称两组，分别作用在结
构上进行计算，然后将结果叠加，起到
简化计算之效果。
FP
q M
FP /2
FP /2
q /2M /2 M /2
FP /2
q /2M /2
FP /2
M /2
二、未知力分组
? 在某些情况下，一些对称结构选用了
对称的基本体系，但其相应的多余未知
力，既非正对称，又非反对称。
? 在此可采用未知力分组的方法。
? 同样可使方程分为两组，一组只包括
正对称未知力，另一组只包括反对称未
知力。
如图,n=4,取对称基本体系，但任何一个
基 本未知量都不是对称或反对称的。
FP q
FPq
X1
X2
X3
X4
FPq
? 利用未知力分组，组成广义未知力：
? XA=X1+X2,XB=X1-X2;
? YA=Y1+Y2,YB=Y1-Y2;
? 力法方程中,δ 12=δ 21= 0,δ 14=δ 41=
0，
? δ 23=δ 32= 0,δ 34=δ 43=
0。
? 方程变为两组，为两个二元一次线
性方程组。
例：作图示结构的弯矩图。各杆 EI=常数
20kN 20kN X2
X1
X3
X4
10kN 10kN 10kN 10kN
? 解,
? 1、荷载分组
? 分析：
? （ 1）、原结构超静定次数为 4。如选
对称的基本体系，如上图,4个基本未知
量可分为两组：
? X2 X3 X4——正对称未知力；
? X1 ——反对称未知力。
? (2)、正对称荷载作用情况, （在此，
我们假设忽略刚架各杆的轴向变形和剪切变形，
弯曲变形非常小）。因此，当图示正对称荷载
作用时，只有杆中有轴向压力 FP /2=10kN，其
它杆中无内力。
? 因为在刚架计算中，忽略轴向变形的影响，
在此条件下，上述内力情况不仅满足平衡条件，
也满足变形条件，是真正的内力状态。
? 可知,X2= - 10,X3= X4=0。
? 提问,①、如果在刚架计算中，考虑各杆的轴向变
? 形的影响，则上述内力状态是否正确？
? ②、请同学自行验证对称荷载作用下结构的
? 内力，考虑弯矩图全为零这个结果是否正确？
? （ 3）、反对称荷载作用情况：
? 由反对称荷载作用分析可知（对称
结构在反对称荷载作用下，正对称的未
知力必为零），图示基本体系下，
? X2 = X3 = X4=0，只有 X1有值，由此计算
出的反对称荷载作用下的弯矩图即为原
结构的弯矩图。
? 2、力法方程：
? δ 11X1+⊿ 1P = 0
3、作 M1, MP图，
求 δ 11, ⊿ 1P 。
EIδ 11=[(1/2·3·3)·
2/3·3·4+
? (3·3)·3·2]
? =90
10kN 10kN
X1
X1=1
10kN 10kN
X1=1?EI⊿ 1P =[(1/2·30·3)
? ·3·2+(1/2·60·3)
? ·2/3·3·2]
? =630
?4、解方程：
? X1=-⊿ 1P/δ 11
? = - 630/90
? = - 7kN
? 5、作弯矩图
? M=X1M1+MP
20kN
习题课：超静定结构的计算 —力法
? 重点,熟练掌握用力法求解荷载作用下的超
静定结构。
? 要求,
? 1、准确地判定超静定次数，正确地选用基
本体系。
? 2、掌握力法的基本原理：力法的一般作法；
力法方程的物理意义。
? 3、理解结构在支座移动、温度改变作用下，
力法方程的特点。会计算超静定结构的位移；并
能校核超静定结构的最后内力图。
? 4、会利用对称性简化计算。
复习：
? 力法方程：
?
? 方程的物理意义；方程左右式的意思。
? 各系数 δik的物理意义和计算方法。
? 自由项 ⊿ iP的物理意义和计算方法。
）,?
?
tcpg
ni
X
iig
n
k
kik
,,(
),,2,1(
1
?
?
??????
?
?
举例：
δ11X1+⊿ 1P=0
FP FP
X1
FP FP
X1
FP FP
X1
FP
X1
δ11X1+⊿ 1P=0
δ11X1+⊿ 1P=0
δ11X1+⊿ 1C= - c
δ11X1+⊿ 1P= - X1/k
习题一：
判断体系超静定次数，选基本体系。
1）
n=3
n =6
2）
n=9
3）
习题二
1,用力法计算图示结构，作弯矩图。各杆 EI=常数。
l
l
l q q
X1
q
X1
q
X1
解,1、基本未知量；基本体系。
l
l
l q q
X1
1
l
l
M1
X1=1
q
ql2/8
MP
2、作 M1,MP图，计算系数。
δ11=(2/EI)[(1/2× l× l)× (2/3× l)+
(1/2× l× l/2)× (2/3× l)]= l3/EI
∵ ⊿ 1P=0 ∴ X1=0 M=MP
ql2/8
2、图示连续梁结构，各杆 EI=常数。讨论基本
体系的选取。 q
FP
qF
P
X1 X2 X3 X4
X5
qF
P
X1 X2 X3 X4 X5
3,用力法计算图示结构，作弯矩图。各杆 EI=常数。
A D
G
B C
F
12m 16m 12m
9m
30kN/m
X1
X3
X2
基本体系
绘 Mi,MP图，求各系数。
X1=1
X2=1
X3=1
9
9
1
8
960
540 960
M1
M2
M3
MP
