第 八 章
位 移 法
Displacement method
§ 8-1、位移法的基本概念
? 一、位移法的提出
? 从理论上讲，用力法可以分析各种（所有）
超静定结构。困难是当未知量较多时，力法方
程不易求解。这个困难对于计算工具落后（无
电子计算机）的年代，是一个很难解决的问题。
? 上世纪初，在力法的基础上提出了位移法，
位移法最主要的研究对象是高次超静定刚架
（多层多跨刚架）。
基本设想,几何不变体系在一定外因（荷载、支移、
温改等）作用下，内力（反力）与变形之间恒有一定关系。
D
A B
C
FP
D
A B
C
FPΔC
θC θD
ΔD
θC θD
确定的内力 确定的位移
对应
位移法, 先确定结构的某些结点位移，再据此确定其
内力。基本未知量为结点位移。
CB
二、基本思路
EI=常数
FP
l/2 l/2
l
C
A
B
A
B
θB
3
B A B
EIM
l ??
FP
C
B
C
BFP8lFP 8lFP
4
B
EI
l ?
2
B
EI
l ?= +
θB
θB θB
4
8
P
B C B
FlEIM
l ???
B
BAM
BCM
∑MB=0
MBA+M BC =0
分析上图所示刚架
? 刚架在荷载作用下，发生黄线所示变形。
? 其中，固端 C，无任何位移；铰支端 A,无线位移，
只有铰位移；结点 B,为刚结点，联结 B结点的两杆杆端
有相同的转角 θ B,忽略轴向变形，认为无线位移。
? 讨论,如何确定每根杆件的内力？
? AB杆,可视为一端铰支，一端刚结的梁，在 B端发
生杆端转角 θ B
? 杆端弯矩,MBA=3EIθ B /l (a)
? （杆端弯矩对杆端顺时针为正）
? BC杆,可将其视为两端刚结的梁，其上承受竖向
荷载 FP,同时在 B 端发生转 θ B。
? 其杆端弯矩可由两部分叠加而成：
? M BC= -FPl /8+4EIθ B /l (b)
? 同理,MCB = +FPl/8+2EIθ B /l
? 由 （ a）、（ b） 式可见，如 θ B已知，则,MBA、
M BC, MCB即可知，整个刚架的弯矩图即可画出。
? 因此，以 θ B为基本未知量，并设法求出，则各杆
内力均可定出。
? 由平衡条件：
? 刚结点 B处，杆端弯矩应满足平衡条件
? ∑MB=0 MBA+M BC =0
? 3EIθ B /l – FPl /8+4EIθ B /l =0 (c)
? 7EIθ B /l – FPl /8 =0
? θ B=FPl2/56EI
? 将 θ B代入 (a) (b)式,则,
? MBA= 3EI/l · FPl2/56EI = +3FPl/56
? M BC=-FPl/8+4EI/l · FPl2/56EI = - 3FPl/56
? MCB=+FPl/8+2EI/L · FPl2/56EI = +9FPl/56
弯矩图如下图所示,
3FPl/56 9FPl/56FP l /4MBA= +3FPl/56
MBC= - 3FPl/56
MCB= +9FPl/56
由简例可见位移法的基本思路,
? (1)、根据结构的几何条件 (包括变形连续条件和边
界支承条件 )确定某些结点位移作为基本未知量。
? (2)、把每根杆件视为单跨超静定杆,建立其杆端内
力与杆端位移之间的关系。
? (3)、根据平衡条件求解结点位移。
? (4)、结点位移代入杆端内力公式解出最后内力。
整体结构
（变形协调）
拆 搭 (还原 )
原结构 若干根杆件
（平衡条件）
三、需解决的问题
? 1、单跨（超静定）杆件在杆端发生各种
位移作用下的杆端力，以及单跨杆在各种外因
（包括荷载等因素）作用下的杆端力。
? 2、讨论结构上的哪些结点位移作为基本
未知量。
? 3、位移法方程的建立及其求解。
§ 8-2 等截面直杆的刚度方程
在各类结构中，常可发现如下几种类型的单跨杆。
因为是从结构中取出来的，杆件两端并不一定是真正
的固定端、铰支端、滑动端,…,各杆端都可能有线位移
和角位移。
本教材采用 a)图模型代替上图所述各单跨杆
件，有普遍性。
梁的两端均为从结构 (梁、刚架）中截出的。
b)图与 a)图相互可替代。 （参考分段叠加法）
a)
EI,l
b)
EI,l
l
EIA B
⊿
θA φ
θB
MAB
FQAB
MBA
FQBA
? 一、由杆端位移引起的杆端力
? 1,杆端力和杆端位移的正负号规定
? （ 1）、杆端转角 θA, θB,弦转角 φ= ⊿ /l均以顺时
针方向转动为正。
? （ 2）、杆端弯矩 MAB, MBA规定对杆端以顺时针方
向为正。（对结点或支座，则以逆时针方向为正）。
? （ 3）、杆端剪力 FQAB, FQBA的正方向规定同前。
l
EIA B
⊿
θA φ
θB
MAB
FQAB
MBA
FQBA
FP
θD
⊿⊿
φBE= ⊿ / l BE
φCD= ⊿ / l CD
+
-
注意,杆端弯矩的正负号规则与通常关于
弯矩的正负号规则不同。
（ 1）、此处规则是针对杆端弯矩，而不是
针对杆中任一截面的弯矩。
（ 2 ）,当取杆件（或取结点）为隔离体
时，杆端弯矩是隔离体上的外力，建立隔离体
平衡方程时，力矩一律以顺时针（或逆时针）
转向为正。
杆端弯矩有双重身份：既是杆件的内力又
是隔离体外力。
因此，这里的规则是把杆端弯矩视为外力，
为了便于建立平衡方程而规定的。
MAB MBA
l
EI
θB
θAA B
由单位荷载法，得：
BAABB
BAABA
M
i
M
i
M
i
M
i
3
1
6
1
6
1
3
1
???
??
?
?
其中 i=EI/l 为杆件线刚度。
二、由杆端位移求杆端力
1、杆端转角与杆端
弯矩之间的关系
l
BA EIθA
θB
Δ
2、杆端转角与杆端相对线位移之间的关系
lBA
??? ??
3、考虑两种因素
11
36
11
63
A A B B A
B A B B A
MM
i i l
MM
i i l
?
?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
解联立方程，得
l
iiiM
l
iiiM
BABA
BAAB
?
???
?
???
642
624
??
??
（ 8-5）
由平衡条件：
?????? 21266 l il il iFF BAQ B AQ A B ??
（ 8-6）
注：
（ 8-5）（ 8-6）
公式也可由力法
导出。上下两图
等效。
l
EIA B
⊿
θA φ
θB
MAB
FQAB
MBA
FQBA
l
EIA B
⊿
θA φ
θB
MAB
FQAB
MBA
FQBA
4、矩阵形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B
A
Q A B
BA
AB
l
i
l
i
l
i
l
i
ii
l
i
ii
F
M
M
?
?
2
1266
6
42
6
24
（ 8-7）
其中：
称为弯曲杆件的刚度矩阵
称为弯曲杆件的刚度矩阵
2
6
42
6
24
6 6 12
i
ii
l
i
ii
l
i i i
l l l
??
?
??
??
??
?
??
??
????
????
5、不同支座时的刚度方程
（杆件在一端具有不同支座时的刚度方程）
（ 1） B端为固定支座
l
A B
EIθA⊿
MBA
MAB
l
iiM
l
iiM
ABA
AAB
?
??
?
??
62
64
?
?
(8-8)
（ 2） B端为铰支座
⊿
l
A B
EIθA
MAB
33A B AM i i l? ???
（ 8-9）
l
A B
EI
MBA
MAB
θA
ABA
AAB
iM
iM
?
?
??
?
（ 8-10）
（ 3） B端为定向支座
三、由荷载求固端弯矩
? 图示两端固定
梁承受荷载的情况。
? MFAB,MFBA
? 称为 固端弯矩 。
? FFQAB, FFQBA
? 称为 固端剪力 。
? 正负号规定同
杆端力。
A B
FP q(x)
MFAB MFBA
FFQAB FFQBA
根据荷载的不同，可用
力法计算出固端弯矩和固端
剪力。表 8 – 1 。
对于下列三种杆件：
（ 1）两端固定（刚结）的梁。
（ 2）一端固定、另一端简支的梁。
（ 3）一端固定、另一端滑动支承的梁。
表 8-1给出了几种常见荷载作用下个杆端弯矩和杆端剪
力。由于它们是只与荷载形式有关的常数，所以又称为载
常数。
表中的杆端弯矩，固端剪力的正负号均按位移法正负
号规定给出。使用是应注意弯矩的受拉方向。
各类杆件在各种荷载作用下杆端弯矩、固端剪力的计算，
均可应用力法算出，在此不再讨论，可自学。
由于实际结构中，各杆方向有所不同，不会与表中情况
完全一样，在使用中应具体情况，具体分析。
四、等截面单跨超静定梁的转角位移方程
? （ 1）、两端固定梁
? 等截面两端固定梁同时承受已知的杆端位移和荷载
的作用，杆端弯矩的一般公式为：
(8-12)
(8-13)
杆端剪力的一般公式为：
4 2 6
2 4 6
F
A B A B A B
F
B A A B B A
M i i i M
l
M i i i M
l
??
??
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
2
2
6 6 12
6 6 12
F
Q A B A B Q A B
F
Q B A A B Q B A
i i i
FF
l l l
i i i
FF
l l l
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
(2)、一端刚结，一端铰结
2
2
33
0
33
33
F
AB A AB
BA
F
Q AB A Q AB
F
Q BA A Q BA
M i i M
l
M
ii
FF
ll
ii
FF
ll
?
?
?
?
? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
(3)、一端刚结，一端滑动
F
A B A B A B
F
B A A B B A
M i i M
M i i M
??
??
? ? ?
? ? ? ?
§ 8-3,§ 8-4 刚架的计算
?一、位移法基本未知量的确定
? 上一节讨论了杆端位移与杆端力之间的关
系。可以认为：如果结构上每根杆件的两端的
角位移和相对线位移成为已知，则由此可以得
到整个结构的所有内力。
? 各杆件是由结点联在一起的，杆端位移即
为结点位移。由此可知，位移法的基本未知量
是 刚结点的角位移 和 结点线位移。
1、变形假定（传统）
（ 1）、受弯直杆忽略轴向变形和剪切变
形的影响。
（ 2）、受弯直杆弯曲变形是微小的（小
变形）。
①、假定弯曲后，杆端间距不变；
②、圆弧可用垂直于半径的一小段直线
代替。
弯曲变形是微小的。
FP
Δ 1
FP
Δ 1Δ 2
2、位移法的基本未知量
? （ 1）、刚结点转角位移。每个刚结
点有一个独立的角位移未知量。
? （ 2）、独立的结点线位移。
在传统的位移法中，由于考虑了杆件
的变形假定，结点独立线位移的确定有一
定的难度。
①,一般刚
架（简单），可
直接观察判断。
判断方法：
n=nθ+n⊿ =2+1=3
②,附加链杆法，由两个已知不动点出发
（无线位移点），引出的两个不平行的受弯直杆
的相交点也不动。
控制所有结点成为不动点，所需添加的最少
链杆数,则为独立线位移的个数。
A
B
C
D
E
F
原 结 构
A
B
C
D
E
F
n=nθ+n⊿ =2+1=3
③,几何法，把刚结
点（包括固定端支座）变
成铰结点，则此铰结体系
的自由度数目即为原结构
独立结点线位移的个数。
（将此机构变为几何不变
体系，所需加上的最少链
杆数，即为独立线位移的
个数。 )
因为不考虑各杆
长度的改变，所以结点
独立线位移的个数，可
以用几何构造分析方法
得出。 n=nθ+n⊿ = 4+2=6
举例, （ 1）、等高刚架。
位移法：
n=nθ+n⊿ =6+2=8。
位移法：
n=nθ+n⊿ =7+3=10 。
力法：
n=3× 4=12 。
力法：
n=3× 4=12 。
（ 2）、刚架有组合结点
?位移法：
?n=nθ+n⊿ =4+2=6
?力法：
?n=3+2=5 。
组合结点
（ 3）、刚架有刚性杆
(EI1=∞)
n=nθ+n⊿ =0+1=1
(EI1≠∞)
n=nθ+n⊿ =2+1=3
n=nθ+n⊿ =0+1=1
(EA=∞)
n=nθ+n⊿ =0+2=2
(EA≠∞)
（ 4）、有斜杆的刚架
? n=nθ+n⊿ =2+1=3 n=3+2=5 (α≠0)
? n=2+1=3 (α=0)
? （分析计算较麻烦）
（ 5）、考虑受弯直杆的轴向变形，
考虑受弯曲杆的变形情况
? 各杆 EI=c, EA=c
? n=nθ+n⊿ =2+4=6
各杆 EI=c
n=nθ+n⊿ =2+2=4
（ 6）、
A
B C
D21 3
n= nφ+n⊿ =2+1=3
注意 13,32杆
（ 7）、刚架有内力静定的杆件
A
B
C
D
E
n= nφ+n⊿ =2+1=3
A
B D
C
E
n= nφ+n⊿ =2+0=2
（ 8）、用位移法计算桁架结构
n= nφ+n⊿ =0+5=5
二、刚架的计算 （举例说明）
1、无侧移刚架
1
2
3
FP
EI1
a
a/2 a/2
EI2=2EI1
原结构
θ1
θ1
（ 1）、图示刚架有一
个基本未知量 θ1。
（ 2）、利用杆端弯矩的一
般公式（ 8-12）等，写出各杆
端弯矩的表达式。
杆 13,M13=4i13θ13+2i13θ31 - 6i13⊿ 13 /l+MF13
注意,θ13 = θ1, θ 31=0,⊿ 13=0,MF13=0
M13=4iθ1 同理,M31=2iθ1
令,EI1/a=i
1
2
3
FP
EI1
a
a/2 a/2
EI2=2EI1
θ1
θ1
杆 12,M12=3i12θ12 - 3i12⊿ 12 /l+MF12
M21=0
注意,θ12 = θ1, ⊿ 12=0
MF12= - 3FP a /16
M12=3× 2iθ1 – 3FP a / 16
1
M13
M12
由结点 1的力矩平衡条件
∑M1=0, M13+M12=0
θ1 = 3FP a /160i
10 iθ1 – 3FP a / 16 =0
解出：
?求各杆的杆端弯矩。作最后弯矩图。
M13=4i× （ 3FP a2 /160i） =3FP a /40
M31=2i× （ 3FP a2 /160i） =3FP a /80
M12=6i× （ 3FP a2 /160i） - 3FP a /16= - 3FP a /40
FP
M 图
2
3
1
17FP a /80
3FP a /80
3FP a /40
2、有侧移刚架
FP
B C
A D
l
l/2
l/2 EI=常数
θB
θB
Δ
? 举例说明。
（ 1）、图示刚架有两
个基本未知量。
（ 2）、利用公式（ 8-8）或（ 8-9），并叠加固
端弯矩后，可写出各杆端弯矩的表达式。
MBA= 4iθB – 6 i⊿ /l + FPl /8令,EI/l=i
MAB=2i θB –6i⊿ /l –FP l/8
MBC = 3i θB
MDC= – 3i⊿ /l
由结点 B的力矩平衡条件
∑MB=0, MBA+MBC=0
FP
B C
A D
l
l/2
l/2 EI=常数
θB
θB
Δ
B
MBA
MBC
MBA= 4iθB – 6 i⊿ /l + FPl /8
MAB=2i θB –6i⊿ /l –FP l/8
MBC = 3i θB
MDC= – 3i⊿ /l
7i θB – 6 i/l ⊿ +FP l/8=0 （ a）
FP
B C
A D
l
l/2
l/2 EI=常数
θB
θB
Δ
与横梁水平位移相对应，
截取两柱顶以上部分为隔离体
的投影平衡条件 ∑Fx=0,
FQBA+FQCD=0
B C
FQBA FQCD
2)(
1 0 P
BAABQ B AA
FMM
lFM ??????
10
D Q C D D CM F Ml? ? ??
-6i/l θB +15i/l2⊿ - FP /2=0 (b)
（ 3） 解如下联立方程：
7i θB - 6i/l ⊿ +FP l/8=0
-6i/l θB +15i/l2⊿ - FP /2=0
解得：
（ 4）、将 θB, ⊿ 代入各杆杆端转角位移方程，
即得出各杆端弯矩。
2
9
552
22
552
P
B
P
Fl
i
Fl
i
? ??
? ? ?
FP
MBA= 4iθB – 6 i⊿ /l + FPl /8= – 27/552· FP l
MAB=2i θB –6i⊿ /l –FP l/8 = -183/552· FP l
MBC = 3i θB =27/552· FP l
MDC= – 3i⊿ /l= – 66/552· FP l
27
552 PFl?
183
552 PFl?
60
552 PFl?
66
552 PFl?
小结：
? 从计算过程可见，位移法的基本方程
都是平衡方程。
? 对应每一个转角未知量，有一个相应
的结点力矩平衡方程。
? 对应每一个独立的结点线位移未知量，
有一个相应截面上的力的平衡方程。
? 直接平衡法 — 先拆后搭,根据结点或
截面平衡列基本方程。
§ 8-5、位移法的基本体系
为了分析计算的需要，引用两种附加约束装
置：
附加刚臂,只阻止结点转动，不能阻止结点
移动。
附加链杆,只阻止结点沿某一方向的移动
，不能阻止结点转动。
本节介绍通过位移法的基本体系建立位移
法典型方程的方法。
如图：
FP
基本结构
1,位移法基本体系
结点 B 被完全固定。
杆 AB — 两端固定（
刚结）的单跨梁；
杆 BC — 一端固定
（刚结）一端铰支的单
跨梁。
实际为单跨超静定
杆的组合体。
基本体系与原结构的区别在于：增加了人为
约束，把基本未知量由被动的位移变成为受人
工控制的主动的位移。
基本体系是用来计算原结构的工具与桥梁。
一方面，它可以代表原结构；另一方面它的计算
又比较简单。
整体结构
（变形协调）
锁住 放松 (还原 )
原结构 若干根单跨杆
件的组合体
（平衡条件）
利用基本体系建立位移法基本方程。
分两步考虑：
第一步，控制附加约束，使结点位移全部为零
，这时，刚架处于锁住状态，即基本体系。施加荷
载后，可求出基本体系中的内力，同时，在附加约
束上会产生约束力矩。
第二步，再控制附加约束，使基本结构发生结
点位移，这时，附加约束中的约束力将随之改变。
如果控制结点，使与原结构的实际值正好相等，则
约束力即完全消失。这是基本体系形式上虽然还有
附加约束，但实际上它们已经不起作用，基本体系
实际上处于放松状态，与原结构完全相同。
基本体系转化为原结构的条件是：
基本结构在给定荷载以及结点位移的共同
作用下，在附加约束中产生的总约束力应该等
于零。
? 以两个基本未知量的结构
为例。
? 基本体系转化为原结构的
条件：
? 基本体系在给定荷载和结
点位移 Δ1,Δ2共同作用下，
在附加约束中产生的总约束反
力 F1,F2应等于零。
? 即：
? F1 =0
? F2 =0
FP
B C
A D
l
l/2
l/2 EI=常数
B C
A D
Δ1
Δ1
Δ2
基本结构
（ 8-15）
B C
A D
基本结构
FP
B C
A D
l
l/2
l/2 EI=常数
Δ1
Δ1
Δ2
F1 =0
B
C
A D
FP Δ1
Δ2
基本体系
1
MBA
MBC
F1=0
F2=0
FQBA FQCD
F2 =0
F11 F
21
B C
A D
B C
A D
Δ2F12 F22
F1P F
2P F1 =F11+F12+F1P=0
F2=F21+F22+F1P=0
B C
A D
FP
Δ1
A
B C
D
Δ1=1
k11 k
21
M1 图
A
B C
D
Δ2=1
M2 图
k22
k12
A
B C
D
FP
F1P
F2P
k11 Δ1+k12Δ2+F1P=0
k21 Δ1+k22Δ2+F2P=0
位移法典型方程。
计算系数和自由项：
1 2
3 4
k11 k21
Δ 1=1 k12
1 2
3 4
Δ 2=1
M1 图 M2 图
4i
3i1
k11 =7i
k21= - 6i/l
3i
4i
2i
-6i/l 0
01
k12 = - 6i/l
k22=15i/l2
-6i/l
12i/l2 3i/l2
6i/l
6i/l
3i/l
k22
1 2
3 4
F1P F2P
FP
MP 图
1 0
F1P=FP l/8
F2P= -FP /2
FP l/8
FP l/8
FP l/8
- FP /2 0
k11=3i+4i=7i
k21= - 6i/l
k12= - 6i/l
k22=12i/l2+3i/l2=15i/l
2
F1P= FP l/8
F2P= - FP /2
由反力互等，有：
k12 = k21
? 将系数和自由项代入位移法典型方程
7i Δ 1 - 6i/l Δ 2 +FP l/8=0
-6i/l Δ 1+15i/l2 Δ 2 - FP /2=0
解出：
所设的 Δ1, Δ 2方向与实际位移方向一致。
2
9
552
22
552
P
B
P
Fl
i
Fl
i
? ??
? ? ?
求出 Δ 1, Δ 2后，可用叠加法计算刚
架最后弯矩图。
FP
183/552· FP l
M= Δ 1 M1 + Δ 2 M2 +MP
27/552· FP l
60/552· FP l
66/552· FP l
注意：
? （ 1）、基本体系与原结构变形相同：
? 荷载作用下，附加刚臂产生与原结构相同的
转角 Δ 1,附加链杆产生与原结构相同的水平
线位移 Δ2。
? （ 2）、基本体系与原结构受力相同：
? 原结构上无附加人为约束，结点力为零。
? 基本体系上使附加人为约束后令反力为零。
四、位移法典型方程（ n个基本未知量）
k11 Δ 1+k12 Δ 2+…+ k1n Δ n+F1P=0
? k21 Δ 1+k22 Δ 2+…+ k2n Δ n+F2P=0 (8-1a)
… … …
? kn1 Δ 1+kn2 Δ 2+…+ knn Δ n+FnP=0
? 可写成矩阵形式：
? [ k ]{Δ }+{FP}={0} (8-19)
? 其中,[ k ]称为结构刚度矩阵
? ?
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
k k k
k k k
k
k k k
??
??
???
??
??
??
L
L
L L L L
L
讨论：
? 1、主系数、副系数（反力系数，刚度
系数）、自由项
? 主系数 kii（主反力）：
? Δ i=1时，附加约束 i方向的反力（或反
力矩）。
? 恒为正，不为零。
? 副系数 kij（ i≠j）（副反力）：
? Δ j=1时，附加约束 i方向的反力（或
反力矩）。
? 可正，可负，可为零。由反力互等
定理, kij = kji
? 自由项 FiP,
? 荷载单独作用下，附加约束 i方向上
的反力（或反力矩）。可正，可负，可
为零。
? 2、基本方程是按一定规则写出的，
它不依结构的形式不同而异。基本方程
中每一个系数都是由结构的结点单位位
移引起的附加约束反力。结构的刚度愈
大，反力（或反力矩）数值愈大。
? 因此，基本方程又成为刚度方程；位
移法称为刚度法。
? 1、基本体系法与转角位移方程法
（直接利用平衡方程法），本质完全相
同，所用方法（途径）不同。
? 直接平衡法 —先拆后搭,根据结点
或截面平衡列基本方程。
? 基本体系法 —先锁后松,根据放松
原则建立位移法基本方程。
? 2,请同学们想一想,力法只能计算
超静定结构，不能计算静定结构。而位
移法既能计算超静定结构，也可计算静
定结构。为什么？
进一步讨论：
提问：
? 从概念出发，请同学们考虑：
? 图示结构，选两种基本体系，计算出的内
力是否一样？为什么？
? 基本体系 Ⅰ 与 Ⅱ 横梁单元的刚度系数是否
一样？为什么？
FP FP FP
提问：
? 左图所示刚架，用
位移法求解时有两个
未知量 θD, ⊿ DE。
? 1、当写各杆的杆
端弯矩，杆端剪力表
达式时，应注意些什
么？
? 2、取什么样的隔
离体，建立什么样的
平衡方程。
? 杆 AD,杆 BE的
侧移为正 ;杆 CD的
侧移为负。
? 取结点 D为隔离
体，建立力矩平衡方
程。
? 取杆 DE为隔离
体，建立截面剪力平
衡方程。
§ 8-6, 对称结构的计算
? 对称结构在工程中应用很多。
? 对称结构在正对称荷载作用下，结构
的变形和受力均为正对称的。
? 对称结构在反对称荷载作用下，结构
的变形和受力均为反对称的。
? 在以上情况下，可取半结构计算。
什么是结构的对称性
（ 1）、结构的几何形状和支承
情况，对某轴（或点）对称。
（ 2）、杆件的截面和材料性质，
对此轴（或点）也对称。
考虑两种荷载情况
（ 1）、对称荷载作用
FP FP FP FPX1
X2
FP FP FP FP
? MP图是对称的，有 ⊿ 3P=0
? 因此,反对称未知力 X3=0；
? 只有正对称未知力 X1,X2。
? 故, M=M1 X1+M2 X2+MP
? 最后弯矩图也是正对称的。
? 结论：对称结构在正对称荷载作用下，反
对称未知力必为零，结构所有的反力、内力及
变形均为正对称的。
? 提问：弯矩图和轴力图是正对称的，剪力图却是
反对称的，这是为什么？
（ 2）、反对称荷载
FP FP
X3
FP FP
FP FP FP FP
? MP图是反对称的，有 ⊿ 1P=0,⊿ 2P=0。
? 因此,正对称未知力 X1=0,X2=0。
? 只有反对称未知力 X3。
? 故,M=M3 X3+MP
? 最后弯矩图也是反对称的。
? 结论：对称结构在反对称荷载作用下，正
对称未知力必为零，结构所有的反力、内力及
变形均为反对称的。
? 提问：弯矩图和轴力图是反对称的，剪力图却是
正对称的，这是为什么？
一、奇数跨对称刚架
1、正对称荷载 2、反对称荷载
FP FP
FP
FP FP
FP
思考：下列各图所示结构可取什么样的半结构？
注意：对称轴上的变形特点，应具体分析。
FP FP
FP FP
q q
q q
二、偶数跨对称刚架
1、正对称荷载
FP FP FP
2、反对称荷载
FP FP FP FP
FPFPFP
思考：下列各图所示结构可取什么样的半结构？
注意：对称轴上的变形特点，应具体分析。
FP FP
FP FP
FP FP
FP FP
? 上图所示结构最终可简化成什么样的半结构，
进行计算？
FP FP FP FP
q
q
? 上图所示结构最终可简化成什么样的半
结构，进行计算？
FP FP
2EI 2EI 2EIEI EI
例：求图示结构内力,作内力图。 EI=常数
a
a
a
q
q
A B C
D
q
A
B
a
a/2
解：
（ 1）取半结构如图。基本未知量,A点转角 θA
(2)、求杆端弯矩,令 EI/a=i
D
q
A
B
a
a/2 2i i 124
2qa
iM AAB ?? ?
122
2qa
iM ABA ?? ?
ADA iM ?2??
AAD iM ?2?
（ 3）、由结点 A的力矩平衡条件
∑MA=0, M
AB+MAD=0
MAD
MABA
0126
2
?? qai A? iqaA 72
2
??
36
2
??
36
4 2qa??
36
2qa
??
36
2qa
??
36
2qa
M AB ??
36
4 2qaM
BA ??
36
2qa
M AD ??
36
2qa
M DA ??
D
A B C
36
2qa
36
4 2qa
36
2qa
36
2qa
36
4 2qa
36
2qa
例,求图示结构内力,作内力图。 EA=EI/20
? 解：
? （ 1）取半结构如图。
? 基本未知量,B点
转角 θB和竖向线位移
⊿ 。
? （ 2） 求固端力：
? MFBC =-ql2/3=-10·102/3
? = -333kN·m
? MFCB=-ql2/6=-10·102/6
? = -167kN·m
? FQBC=q l=10·10
? = 100kN
? (3)、求杆端力,
? 杆 AB：
? MAB=2iAB θB - 6iAB·⊿ /l
? =2·EI/20·θB-6·EI/202·⊿
? MBA=4iAB θB - 6iAB·⊿ /l
? =4·EI/20·θB-6·EI/202·⊿
? FQBA=-(MAB + MBA)/l
? =-6·EI/202·θB-12·EI/203·⊿
? 杆 BC:
? MBC=EI/10·θB–333
? MCB=-EI/10·θB–167
? FQBC= 100kN
? 杆 BD:
? 杆 BD伸长 3⊿ /5,其轴力为,
? FNBD=EA/l·( 3⊿ /5 )=(EI/20/25)
? ·( 3⊿ /5)=3EI·⊿ /(5·20·25)
?(4)、列位移法方程：
? ∑MB= MBA+MBC=0
? ∑Y=3/5·FNBD+ FQBA- FQBC= 0
? 0.3θB – 0.015⊿ =333/EI
?-0.015θB +0.00222⊿ =100/EI
?(5)、解方程：
? θB =5080/EI ;⊿ =79400/EI。
? （ 6）、求杆端力，作内力图。
? 将求得的未知量代入杆端弯矩，杆端剪力
表达式，求出各杆端力。并作内力图。
§ 8-7 支座移动时的计算
? 一、支座移动时的计算
? 用位移法计算支座移动时的结构内
力时，计算方法与荷载作用下的计算相
同，不同的地方是固端弯矩、固端剪力
的计算。需要将已知的支座移动转化为
固端弯矩和固端剪力。
? 举例说明。
? 例：图示刚架支座 A发
生水平位移 a，竖向位
b=4a，转角位移 φ=a/l，
用位移法求解，作 M图。 l
l
a
b
φ
EI
2EI
解,1、基本未
知量，基本体系。
l
l
a
b
φ
EI
2EI
基本体系
Z1
令,i=EI/l
i
2i
2、作 M1,M⊿ 图，计算 k11,F1⊿
Δ 1
i
2i
3i
8i
4i
M 1 图
i
2i
r11=11i
φab
-3i/l× (-b)=12iφ
AB杆,MFAB= 4× 2i× φ - 6× 2i/l× (-a)=20iφ
MFBA= 2× 2i× φ - 6× 2i/l× (-a)=16iφ
20iφ
16iφ
M⊿ 图
F1⊿ =28iφ
3、列方程，求解
? k11 Δ 1+ F1⊿ =0
? 11i Δ 1 +28i φ =0
? Δ 1 = - 28/11× φ = - 28φ/11
4,作弯矩图
M= Δ 1 M1 + M⊿
MAB = - 28φ/11× 4i+20i = 108i φ/11
MBA= -28φ/11× 8i+16i = - 48i φ/11
MBC= - 28φ/11× 3i+12i = 48i φ/11
弯矩图
MAB = 108i φ/11
MBA= - 48i φ/11
MBC= 48i φ/11
108iφ/11
48iφ/11
* 二、温度改变时的计算
? 在此，固端力（杆端弯矩）是由温度
改变引起的。温度改变引起的固端力由
两部分组成的：
? 1、杆件内外温差，使杆件弯曲，引
起一部分固端弯矩；
? 2、温度改变时杆件产生轴向变形，
使结点产生位移，从而使杆端产生相对
横向线位移，又产生另一部分固端弯矩。
? 见书 P.206 – P.207。
习题课：超静定结构的计算 — 位移法
? 重点,掌握用位移法计算荷载作用下
的超静定刚架。
? 要求：
? 1、基本未知量的确定。
? 2、准确地做出位移法基本体系。
? 3、列出位移法典型方程，求解并作
弯矩图。
? （两种方法掌握一种）
习题,用位移法计算图示刚架,作 M图。
EI=c
10kN2.5kN/m
4m 4m
4m
A
B CD
习题,用位移法计算图示刚架,作 M图。
l/2 A
B
C
D
EI=1 I=2
I=4
I=1
l l
l
M0
习题,用位移法计算图示刚架,作 M图。
7k
N/
m
A B C
D E F
EI EI EI
EIEI1=∞
6m 6m
6m
习题,用位移法计算图示刚架,作 M图。
3
4m
1 2
4 5
0 EI
EI 1.5EI
0.8
EI
10
kN
/m20kN
2m 6m
6m
习题,用位移法计算图示刚架,作 M图。
解,由对称性可取半结构计算
习题：判断基本未知量。（最少）
习题：用位移法概念，快速计算图示
各题。各杆 EI=常数。
弯矩图为零,为什么？有什么规律?
l/2
FP
FP
l/2 l/2 l/2
l/2
l/2
FP F
P
l l
l
l
FP
习题：用位移法概念，快速作出
刚架的弯矩图。 各杆 EI=常数 。
习题,用对称性计算图示结构。
2FP
FP FP
FP
FP
FP /2 FP /2
FP /2 FP /2
FP
FP FP /2
FP /2FP /2
FP /2
FP
FP F
P /2
FP /2
FP /2
FP /2
FP /2
FP /2
FP /2
FP /2
FP /2
FP /2
FP /2 F
P /2
FP /2
位 移 法
Displacement method
§ 8-1、位移法的基本概念
? 一、位移法的提出
? 从理论上讲，用力法可以分析各种（所有）
超静定结构。困难是当未知量较多时，力法方
程不易求解。这个困难对于计算工具落后（无
电子计算机）的年代，是一个很难解决的问题。
? 上世纪初，在力法的基础上提出了位移法，
位移法最主要的研究对象是高次超静定刚架
（多层多跨刚架）。
基本设想,几何不变体系在一定外因（荷载、支移、
温改等）作用下，内力（反力）与变形之间恒有一定关系。
D
A B
C
FP
D
A B
C
FPΔC
θC θD
ΔD
θC θD
确定的内力 确定的位移
对应
位移法, 先确定结构的某些结点位移，再据此确定其
内力。基本未知量为结点位移。
CB
二、基本思路
EI=常数
FP
l/2 l/2
l
C
A
B
A
B
θB
3
B A B
EIM
l ??
FP
C
B
C
BFP8lFP 8lFP
4
B
EI
l ?
2
B
EI
l ?= +
θB
θB θB
4
8
P
B C B
FlEIM
l ???
B
BAM
BCM
∑MB=0
MBA+M BC =0
分析上图所示刚架
? 刚架在荷载作用下，发生黄线所示变形。
? 其中，固端 C，无任何位移；铰支端 A,无线位移，
只有铰位移；结点 B,为刚结点，联结 B结点的两杆杆端
有相同的转角 θ B,忽略轴向变形，认为无线位移。
? 讨论,如何确定每根杆件的内力？
? AB杆,可视为一端铰支，一端刚结的梁，在 B端发
生杆端转角 θ B
? 杆端弯矩,MBA=3EIθ B /l (a)
? （杆端弯矩对杆端顺时针为正）
? BC杆,可将其视为两端刚结的梁，其上承受竖向
荷载 FP,同时在 B 端发生转 θ B。
? 其杆端弯矩可由两部分叠加而成：
? M BC= -FPl /8+4EIθ B /l (b)
? 同理,MCB = +FPl/8+2EIθ B /l
? 由 （ a）、（ b） 式可见，如 θ B已知，则,MBA、
M BC, MCB即可知，整个刚架的弯矩图即可画出。
? 因此，以 θ B为基本未知量，并设法求出，则各杆
内力均可定出。
? 由平衡条件：
? 刚结点 B处，杆端弯矩应满足平衡条件
? ∑MB=0 MBA+M BC =0
? 3EIθ B /l – FPl /8+4EIθ B /l =0 (c)
? 7EIθ B /l – FPl /8 =0
? θ B=FPl2/56EI
? 将 θ B代入 (a) (b)式,则,
? MBA= 3EI/l · FPl2/56EI = +3FPl/56
? M BC=-FPl/8+4EI/l · FPl2/56EI = - 3FPl/56
? MCB=+FPl/8+2EI/L · FPl2/56EI = +9FPl/56
弯矩图如下图所示,
3FPl/56 9FPl/56FP l /4MBA= +3FPl/56
MBC= - 3FPl/56
MCB= +9FPl/56
由简例可见位移法的基本思路,
? (1)、根据结构的几何条件 (包括变形连续条件和边
界支承条件 )确定某些结点位移作为基本未知量。
? (2)、把每根杆件视为单跨超静定杆,建立其杆端内
力与杆端位移之间的关系。
? (3)、根据平衡条件求解结点位移。
? (4)、结点位移代入杆端内力公式解出最后内力。
整体结构
（变形协调）
拆 搭 (还原 )
原结构 若干根杆件
（平衡条件）
三、需解决的问题
? 1、单跨（超静定）杆件在杆端发生各种
位移作用下的杆端力，以及单跨杆在各种外因
（包括荷载等因素）作用下的杆端力。
? 2、讨论结构上的哪些结点位移作为基本
未知量。
? 3、位移法方程的建立及其求解。
§ 8-2 等截面直杆的刚度方程
在各类结构中，常可发现如下几种类型的单跨杆。
因为是从结构中取出来的，杆件两端并不一定是真正
的固定端、铰支端、滑动端,…,各杆端都可能有线位移
和角位移。
本教材采用 a)图模型代替上图所述各单跨杆
件，有普遍性。
梁的两端均为从结构 (梁、刚架）中截出的。
b)图与 a)图相互可替代。 （参考分段叠加法）
a)
EI,l
b)
EI,l
l
EIA B
⊿
θA φ
θB
MAB
FQAB
MBA
FQBA
? 一、由杆端位移引起的杆端力
? 1,杆端力和杆端位移的正负号规定
? （ 1）、杆端转角 θA, θB,弦转角 φ= ⊿ /l均以顺时
针方向转动为正。
? （ 2）、杆端弯矩 MAB, MBA规定对杆端以顺时针方
向为正。（对结点或支座，则以逆时针方向为正）。
? （ 3）、杆端剪力 FQAB, FQBA的正方向规定同前。
l
EIA B
⊿
θA φ
θB
MAB
FQAB
MBA
FQBA
FP
θD
⊿⊿
φBE= ⊿ / l BE
φCD= ⊿ / l CD
+
-
注意,杆端弯矩的正负号规则与通常关于
弯矩的正负号规则不同。
（ 1）、此处规则是针对杆端弯矩，而不是
针对杆中任一截面的弯矩。
（ 2 ）,当取杆件（或取结点）为隔离体
时，杆端弯矩是隔离体上的外力，建立隔离体
平衡方程时，力矩一律以顺时针（或逆时针）
转向为正。
杆端弯矩有双重身份：既是杆件的内力又
是隔离体外力。
因此，这里的规则是把杆端弯矩视为外力，
为了便于建立平衡方程而规定的。
MAB MBA
l
EI
θB
θAA B
由单位荷载法，得：
BAABB
BAABA
M
i
M
i
M
i
M
i
3
1
6
1
6
1
3
1
???
??
?
?
其中 i=EI/l 为杆件线刚度。
二、由杆端位移求杆端力
1、杆端转角与杆端
弯矩之间的关系
l
BA EIθA
θB
Δ
2、杆端转角与杆端相对线位移之间的关系
lBA
??? ??
3、考虑两种因素
11
36
11
63
A A B B A
B A B B A
MM
i i l
MM
i i l
?
?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
解联立方程，得
l
iiiM
l
iiiM
BABA
BAAB
?
???
?
???
642
624
??
??
（ 8-5）
由平衡条件：
?????? 21266 l il il iFF BAQ B AQ A B ??
（ 8-6）
注：
（ 8-5）（ 8-6）
公式也可由力法
导出。上下两图
等效。
l
EIA B
⊿
θA φ
θB
MAB
FQAB
MBA
FQBA
l
EIA B
⊿
θA φ
θB
MAB
FQAB
MBA
FQBA
4、矩阵形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B
A
Q A B
BA
AB
l
i
l
i
l
i
l
i
ii
l
i
ii
F
M
M
?
?
2
1266
6
42
6
24
（ 8-7）
其中：
称为弯曲杆件的刚度矩阵
称为弯曲杆件的刚度矩阵
2
6
42
6
24
6 6 12
i
ii
l
i
ii
l
i i i
l l l
??
?
??
??
??
?
??
??
????
????
5、不同支座时的刚度方程
（杆件在一端具有不同支座时的刚度方程）
（ 1） B端为固定支座
l
A B
EIθA⊿
MBA
MAB
l
iiM
l
iiM
ABA
AAB
?
??
?
??
62
64
?
?
(8-8)
（ 2） B端为铰支座
⊿
l
A B
EIθA
MAB
33A B AM i i l? ???
（ 8-9）
l
A B
EI
MBA
MAB
θA
ABA
AAB
iM
iM
?
?
??
?
（ 8-10）
（ 3） B端为定向支座
三、由荷载求固端弯矩
? 图示两端固定
梁承受荷载的情况。
? MFAB,MFBA
? 称为 固端弯矩 。
? FFQAB, FFQBA
? 称为 固端剪力 。
? 正负号规定同
杆端力。
A B
FP q(x)
MFAB MFBA
FFQAB FFQBA
根据荷载的不同，可用
力法计算出固端弯矩和固端
剪力。表 8 – 1 。
对于下列三种杆件：
（ 1）两端固定（刚结）的梁。
（ 2）一端固定、另一端简支的梁。
（ 3）一端固定、另一端滑动支承的梁。
表 8-1给出了几种常见荷载作用下个杆端弯矩和杆端剪
力。由于它们是只与荷载形式有关的常数，所以又称为载
常数。
表中的杆端弯矩，固端剪力的正负号均按位移法正负
号规定给出。使用是应注意弯矩的受拉方向。
各类杆件在各种荷载作用下杆端弯矩、固端剪力的计算，
均可应用力法算出，在此不再讨论，可自学。
由于实际结构中，各杆方向有所不同，不会与表中情况
完全一样，在使用中应具体情况，具体分析。
四、等截面单跨超静定梁的转角位移方程
? （ 1）、两端固定梁
? 等截面两端固定梁同时承受已知的杆端位移和荷载
的作用，杆端弯矩的一般公式为：
(8-12)
(8-13)
杆端剪力的一般公式为：
4 2 6
2 4 6
F
A B A B A B
F
B A A B B A
M i i i M
l
M i i i M
l
??
??
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
2
2
6 6 12
6 6 12
F
Q A B A B Q A B
F
Q B A A B Q B A
i i i
FF
l l l
i i i
FF
l l l
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
(2)、一端刚结，一端铰结
2
2
33
0
33
33
F
AB A AB
BA
F
Q AB A Q AB
F
Q BA A Q BA
M i i M
l
M
ii
FF
ll
ii
FF
ll
?
?
?
?
? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
(3)、一端刚结，一端滑动
F
A B A B A B
F
B A A B B A
M i i M
M i i M
??
??
? ? ?
? ? ? ?
§ 8-3,§ 8-4 刚架的计算
?一、位移法基本未知量的确定
? 上一节讨论了杆端位移与杆端力之间的关
系。可以认为：如果结构上每根杆件的两端的
角位移和相对线位移成为已知，则由此可以得
到整个结构的所有内力。
? 各杆件是由结点联在一起的，杆端位移即
为结点位移。由此可知，位移法的基本未知量
是 刚结点的角位移 和 结点线位移。
1、变形假定（传统）
（ 1）、受弯直杆忽略轴向变形和剪切变
形的影响。
（ 2）、受弯直杆弯曲变形是微小的（小
变形）。
①、假定弯曲后，杆端间距不变；
②、圆弧可用垂直于半径的一小段直线
代替。
弯曲变形是微小的。
FP
Δ 1
FP
Δ 1Δ 2
2、位移法的基本未知量
? （ 1）、刚结点转角位移。每个刚结
点有一个独立的角位移未知量。
? （ 2）、独立的结点线位移。
在传统的位移法中，由于考虑了杆件
的变形假定，结点独立线位移的确定有一
定的难度。
①,一般刚
架（简单），可
直接观察判断。
判断方法：
n=nθ+n⊿ =2+1=3
②,附加链杆法，由两个已知不动点出发
（无线位移点），引出的两个不平行的受弯直杆
的相交点也不动。
控制所有结点成为不动点，所需添加的最少
链杆数,则为独立线位移的个数。
A
B
C
D
E
F
原 结 构
A
B
C
D
E
F
n=nθ+n⊿ =2+1=3
③,几何法，把刚结
点（包括固定端支座）变
成铰结点，则此铰结体系
的自由度数目即为原结构
独立结点线位移的个数。
（将此机构变为几何不变
体系，所需加上的最少链
杆数，即为独立线位移的
个数。 )
因为不考虑各杆
长度的改变，所以结点
独立线位移的个数，可
以用几何构造分析方法
得出。 n=nθ+n⊿ = 4+2=6
举例, （ 1）、等高刚架。
位移法：
n=nθ+n⊿ =6+2=8。
位移法：
n=nθ+n⊿ =7+3=10 。
力法：
n=3× 4=12 。
力法：
n=3× 4=12 。
（ 2）、刚架有组合结点
?位移法：
?n=nθ+n⊿ =4+2=6
?力法：
?n=3+2=5 。
组合结点
（ 3）、刚架有刚性杆
(EI1=∞)
n=nθ+n⊿ =0+1=1
(EI1≠∞)
n=nθ+n⊿ =2+1=3
n=nθ+n⊿ =0+1=1
(EA=∞)
n=nθ+n⊿ =0+2=2
(EA≠∞)
（ 4）、有斜杆的刚架
? n=nθ+n⊿ =2+1=3 n=3+2=5 (α≠0)
? n=2+1=3 (α=0)
? （分析计算较麻烦）
（ 5）、考虑受弯直杆的轴向变形，
考虑受弯曲杆的变形情况
? 各杆 EI=c, EA=c
? n=nθ+n⊿ =2+4=6
各杆 EI=c
n=nθ+n⊿ =2+2=4
（ 6）、
A
B C
D21 3
n= nφ+n⊿ =2+1=3
注意 13,32杆
（ 7）、刚架有内力静定的杆件
A
B
C
D
E
n= nφ+n⊿ =2+1=3
A
B D
C
E
n= nφ+n⊿ =2+0=2
（ 8）、用位移法计算桁架结构
n= nφ+n⊿ =0+5=5
二、刚架的计算 （举例说明）
1、无侧移刚架
1
2
3
FP
EI1
a
a/2 a/2
EI2=2EI1
原结构
θ1
θ1
（ 1）、图示刚架有一
个基本未知量 θ1。
（ 2）、利用杆端弯矩的一
般公式（ 8-12）等，写出各杆
端弯矩的表达式。
杆 13,M13=4i13θ13+2i13θ31 - 6i13⊿ 13 /l+MF13
注意,θ13 = θ1, θ 31=0,⊿ 13=0,MF13=0
M13=4iθ1 同理,M31=2iθ1
令,EI1/a=i
1
2
3
FP
EI1
a
a/2 a/2
EI2=2EI1
θ1
θ1
杆 12,M12=3i12θ12 - 3i12⊿ 12 /l+MF12
M21=0
注意,θ12 = θ1, ⊿ 12=0
MF12= - 3FP a /16
M12=3× 2iθ1 – 3FP a / 16
1
M13
M12
由结点 1的力矩平衡条件
∑M1=0, M13+M12=0
θ1 = 3FP a /160i
10 iθ1 – 3FP a / 16 =0
解出：
?求各杆的杆端弯矩。作最后弯矩图。
M13=4i× （ 3FP a2 /160i） =3FP a /40
M31=2i× （ 3FP a2 /160i） =3FP a /80
M12=6i× （ 3FP a2 /160i） - 3FP a /16= - 3FP a /40
FP
M 图
2
3
1
17FP a /80
3FP a /80
3FP a /40
2、有侧移刚架
FP
B C
A D
l
l/2
l/2 EI=常数
θB
θB
Δ
? 举例说明。
（ 1）、图示刚架有两
个基本未知量。
（ 2）、利用公式（ 8-8）或（ 8-9），并叠加固
端弯矩后，可写出各杆端弯矩的表达式。
MBA= 4iθB – 6 i⊿ /l + FPl /8令,EI/l=i
MAB=2i θB –6i⊿ /l –FP l/8
MBC = 3i θB
MDC= – 3i⊿ /l
由结点 B的力矩平衡条件
∑MB=0, MBA+MBC=0
FP
B C
A D
l
l/2
l/2 EI=常数
θB
θB
Δ
B
MBA
MBC
MBA= 4iθB – 6 i⊿ /l + FPl /8
MAB=2i θB –6i⊿ /l –FP l/8
MBC = 3i θB
MDC= – 3i⊿ /l
7i θB – 6 i/l ⊿ +FP l/8=0 （ a）
FP
B C
A D
l
l/2
l/2 EI=常数
θB
θB
Δ
与横梁水平位移相对应，
截取两柱顶以上部分为隔离体
的投影平衡条件 ∑Fx=0,
FQBA+FQCD=0
B C
FQBA FQCD
2)(
1 0 P
BAABQ B AA
FMM
lFM ??????
10
D Q C D D CM F Ml? ? ??
-6i/l θB +15i/l2⊿ - FP /2=0 (b)
（ 3） 解如下联立方程：
7i θB - 6i/l ⊿ +FP l/8=0
-6i/l θB +15i/l2⊿ - FP /2=0
解得：
（ 4）、将 θB, ⊿ 代入各杆杆端转角位移方程，
即得出各杆端弯矩。
2
9
552
22
552
P
B
P
Fl
i
Fl
i
? ??
? ? ?
FP
MBA= 4iθB – 6 i⊿ /l + FPl /8= – 27/552· FP l
MAB=2i θB –6i⊿ /l –FP l/8 = -183/552· FP l
MBC = 3i θB =27/552· FP l
MDC= – 3i⊿ /l= – 66/552· FP l
27
552 PFl?
183
552 PFl?
60
552 PFl?
66
552 PFl?
小结：
? 从计算过程可见，位移法的基本方程
都是平衡方程。
? 对应每一个转角未知量，有一个相应
的结点力矩平衡方程。
? 对应每一个独立的结点线位移未知量，
有一个相应截面上的力的平衡方程。
? 直接平衡法 — 先拆后搭,根据结点或
截面平衡列基本方程。
§ 8-5、位移法的基本体系
为了分析计算的需要，引用两种附加约束装
置：
附加刚臂,只阻止结点转动，不能阻止结点
移动。
附加链杆,只阻止结点沿某一方向的移动
，不能阻止结点转动。
本节介绍通过位移法的基本体系建立位移
法典型方程的方法。
如图：
FP
基本结构
1,位移法基本体系
结点 B 被完全固定。
杆 AB — 两端固定（
刚结）的单跨梁；
杆 BC — 一端固定
（刚结）一端铰支的单
跨梁。
实际为单跨超静定
杆的组合体。
基本体系与原结构的区别在于：增加了人为
约束，把基本未知量由被动的位移变成为受人
工控制的主动的位移。
基本体系是用来计算原结构的工具与桥梁。
一方面，它可以代表原结构；另一方面它的计算
又比较简单。
整体结构
（变形协调）
锁住 放松 (还原 )
原结构 若干根单跨杆
件的组合体
（平衡条件）
利用基本体系建立位移法基本方程。
分两步考虑：
第一步，控制附加约束，使结点位移全部为零
，这时，刚架处于锁住状态，即基本体系。施加荷
载后，可求出基本体系中的内力，同时，在附加约
束上会产生约束力矩。
第二步，再控制附加约束，使基本结构发生结
点位移，这时，附加约束中的约束力将随之改变。
如果控制结点，使与原结构的实际值正好相等，则
约束力即完全消失。这是基本体系形式上虽然还有
附加约束，但实际上它们已经不起作用，基本体系
实际上处于放松状态，与原结构完全相同。
基本体系转化为原结构的条件是：
基本结构在给定荷载以及结点位移的共同
作用下，在附加约束中产生的总约束力应该等
于零。
? 以两个基本未知量的结构
为例。
? 基本体系转化为原结构的
条件：
? 基本体系在给定荷载和结
点位移 Δ1,Δ2共同作用下，
在附加约束中产生的总约束反
力 F1,F2应等于零。
? 即：
? F1 =0
? F2 =0
FP
B C
A D
l
l/2
l/2 EI=常数
B C
A D
Δ1
Δ1
Δ2
基本结构
（ 8-15）
B C
A D
基本结构
FP
B C
A D
l
l/2
l/2 EI=常数
Δ1
Δ1
Δ2
F1 =0
B
C
A D
FP Δ1
Δ2
基本体系
1
MBA
MBC
F1=0
F2=0
FQBA FQCD
F2 =0
F11 F
21
B C
A D
B C
A D
Δ2F12 F22
F1P F
2P F1 =F11+F12+F1P=0
F2=F21+F22+F1P=0
B C
A D
FP
Δ1
A
B C
D
Δ1=1
k11 k
21
M1 图
A
B C
D
Δ2=1
M2 图
k22
k12
A
B C
D
FP
F1P
F2P
k11 Δ1+k12Δ2+F1P=0
k21 Δ1+k22Δ2+F2P=0
位移法典型方程。
计算系数和自由项：
1 2
3 4
k11 k21
Δ 1=1 k12
1 2
3 4
Δ 2=1
M1 图 M2 图
4i
3i1
k11 =7i
k21= - 6i/l
3i
4i
2i
-6i/l 0
01
k12 = - 6i/l
k22=15i/l2
-6i/l
12i/l2 3i/l2
6i/l
6i/l
3i/l
k22
1 2
3 4
F1P F2P
FP
MP 图
1 0
F1P=FP l/8
F2P= -FP /2
FP l/8
FP l/8
FP l/8
- FP /2 0
k11=3i+4i=7i
k21= - 6i/l
k12= - 6i/l
k22=12i/l2+3i/l2=15i/l
2
F1P= FP l/8
F2P= - FP /2
由反力互等，有：
k12 = k21
? 将系数和自由项代入位移法典型方程
7i Δ 1 - 6i/l Δ 2 +FP l/8=0
-6i/l Δ 1+15i/l2 Δ 2 - FP /2=0
解出：
所设的 Δ1, Δ 2方向与实际位移方向一致。
2
9
552
22
552
P
B
P
Fl
i
Fl
i
? ??
? ? ?
求出 Δ 1, Δ 2后，可用叠加法计算刚
架最后弯矩图。
FP
183/552· FP l
M= Δ 1 M1 + Δ 2 M2 +MP
27/552· FP l
60/552· FP l
66/552· FP l
注意：
? （ 1）、基本体系与原结构变形相同：
? 荷载作用下，附加刚臂产生与原结构相同的
转角 Δ 1,附加链杆产生与原结构相同的水平
线位移 Δ2。
? （ 2）、基本体系与原结构受力相同：
? 原结构上无附加人为约束，结点力为零。
? 基本体系上使附加人为约束后令反力为零。
四、位移法典型方程（ n个基本未知量）
k11 Δ 1+k12 Δ 2+…+ k1n Δ n+F1P=0
? k21 Δ 1+k22 Δ 2+…+ k2n Δ n+F2P=0 (8-1a)
… … …
? kn1 Δ 1+kn2 Δ 2+…+ knn Δ n+FnP=0
? 可写成矩阵形式：
? [ k ]{Δ }+{FP}={0} (8-19)
? 其中,[ k ]称为结构刚度矩阵
? ?
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
k k k
k k k
k
k k k
??
??
???
??
??
??
L
L
L L L L
L
讨论：
? 1、主系数、副系数（反力系数，刚度
系数）、自由项
? 主系数 kii（主反力）：
? Δ i=1时，附加约束 i方向的反力（或反
力矩）。
? 恒为正，不为零。
? 副系数 kij（ i≠j）（副反力）：
? Δ j=1时，附加约束 i方向的反力（或
反力矩）。
? 可正，可负，可为零。由反力互等
定理, kij = kji
? 自由项 FiP,
? 荷载单独作用下，附加约束 i方向上
的反力（或反力矩）。可正，可负，可
为零。
? 2、基本方程是按一定规则写出的，
它不依结构的形式不同而异。基本方程
中每一个系数都是由结构的结点单位位
移引起的附加约束反力。结构的刚度愈
大，反力（或反力矩）数值愈大。
? 因此，基本方程又成为刚度方程；位
移法称为刚度法。
? 1、基本体系法与转角位移方程法
（直接利用平衡方程法），本质完全相
同，所用方法（途径）不同。
? 直接平衡法 —先拆后搭,根据结点
或截面平衡列基本方程。
? 基本体系法 —先锁后松,根据放松
原则建立位移法基本方程。
? 2,请同学们想一想,力法只能计算
超静定结构，不能计算静定结构。而位
移法既能计算超静定结构，也可计算静
定结构。为什么？
进一步讨论：
提问：
? 从概念出发，请同学们考虑：
? 图示结构，选两种基本体系，计算出的内
力是否一样？为什么？
? 基本体系 Ⅰ 与 Ⅱ 横梁单元的刚度系数是否
一样？为什么？
FP FP FP
提问：
? 左图所示刚架，用
位移法求解时有两个
未知量 θD, ⊿ DE。
? 1、当写各杆的杆
端弯矩，杆端剪力表
达式时，应注意些什
么？
? 2、取什么样的隔
离体，建立什么样的
平衡方程。
? 杆 AD,杆 BE的
侧移为正 ;杆 CD的
侧移为负。
? 取结点 D为隔离
体，建立力矩平衡方
程。
? 取杆 DE为隔离
体，建立截面剪力平
衡方程。
§ 8-6, 对称结构的计算
? 对称结构在工程中应用很多。
? 对称结构在正对称荷载作用下，结构
的变形和受力均为正对称的。
? 对称结构在反对称荷载作用下，结构
的变形和受力均为反对称的。
? 在以上情况下，可取半结构计算。
什么是结构的对称性
（ 1）、结构的几何形状和支承
情况，对某轴（或点）对称。
（ 2）、杆件的截面和材料性质，
对此轴（或点）也对称。
考虑两种荷载情况
（ 1）、对称荷载作用
FP FP FP FPX1
X2
FP FP FP FP
? MP图是对称的，有 ⊿ 3P=0
? 因此,反对称未知力 X3=0；
? 只有正对称未知力 X1,X2。
? 故, M=M1 X1+M2 X2+MP
? 最后弯矩图也是正对称的。
? 结论：对称结构在正对称荷载作用下，反
对称未知力必为零，结构所有的反力、内力及
变形均为正对称的。
? 提问：弯矩图和轴力图是正对称的，剪力图却是
反对称的，这是为什么？
（ 2）、反对称荷载
FP FP
X3
FP FP
FP FP FP FP
? MP图是反对称的，有 ⊿ 1P=0,⊿ 2P=0。
? 因此,正对称未知力 X1=0,X2=0。
? 只有反对称未知力 X3。
? 故,M=M3 X3+MP
? 最后弯矩图也是反对称的。
? 结论：对称结构在反对称荷载作用下，正
对称未知力必为零，结构所有的反力、内力及
变形均为反对称的。
? 提问：弯矩图和轴力图是反对称的，剪力图却是
正对称的，这是为什么？
一、奇数跨对称刚架
1、正对称荷载 2、反对称荷载
FP FP
FP
FP FP
FP
思考：下列各图所示结构可取什么样的半结构？
注意：对称轴上的变形特点，应具体分析。
FP FP
FP FP
q q
q q
二、偶数跨对称刚架
1、正对称荷载
FP FP FP
2、反对称荷载
FP FP FP FP
FPFPFP
思考：下列各图所示结构可取什么样的半结构？
注意：对称轴上的变形特点，应具体分析。
FP FP
FP FP
FP FP
FP FP
? 上图所示结构最终可简化成什么样的半结构，
进行计算？
FP FP FP FP
q
q
? 上图所示结构最终可简化成什么样的半
结构，进行计算？
FP FP
2EI 2EI 2EIEI EI
例：求图示结构内力,作内力图。 EI=常数
a
a
a
q
q
A B C
D
q
A
B
a
a/2
解：
（ 1）取半结构如图。基本未知量,A点转角 θA
(2)、求杆端弯矩,令 EI/a=i
D
q
A
B
a
a/2 2i i 124
2qa
iM AAB ?? ?
122
2qa
iM ABA ?? ?
ADA iM ?2??
AAD iM ?2?
（ 3）、由结点 A的力矩平衡条件
∑MA=0, M
AB+MAD=0
MAD
MABA
0126
2
?? qai A? iqaA 72
2
??
36
2
??
36
4 2qa??
36
2qa
??
36
2qa
??
36
2qa
M AB ??
36
4 2qaM
BA ??
36
2qa
M AD ??
36
2qa
M DA ??
D
A B C
36
2qa
36
4 2qa
36
2qa
36
2qa
36
4 2qa
36
2qa
例,求图示结构内力,作内力图。 EA=EI/20
? 解：
? （ 1）取半结构如图。
? 基本未知量,B点
转角 θB和竖向线位移
⊿ 。
? （ 2） 求固端力：
? MFBC =-ql2/3=-10·102/3
? = -333kN·m
? MFCB=-ql2/6=-10·102/6
? = -167kN·m
? FQBC=q l=10·10
? = 100kN
? (3)、求杆端力,
? 杆 AB：
? MAB=2iAB θB - 6iAB·⊿ /l
? =2·EI/20·θB-6·EI/202·⊿
? MBA=4iAB θB - 6iAB·⊿ /l
? =4·EI/20·θB-6·EI/202·⊿
? FQBA=-(MAB + MBA)/l
? =-6·EI/202·θB-12·EI/203·⊿
? 杆 BC:
? MBC=EI/10·θB–333
? MCB=-EI/10·θB–167
? FQBC= 100kN
? 杆 BD:
? 杆 BD伸长 3⊿ /5,其轴力为,
? FNBD=EA/l·( 3⊿ /5 )=(EI/20/25)
? ·( 3⊿ /5)=3EI·⊿ /(5·20·25)
?(4)、列位移法方程：
? ∑MB= MBA+MBC=0
? ∑Y=3/5·FNBD+ FQBA- FQBC= 0
? 0.3θB – 0.015⊿ =333/EI
?-0.015θB +0.00222⊿ =100/EI
?(5)、解方程：
? θB =5080/EI ;⊿ =79400/EI。
? （ 6）、求杆端力，作内力图。
? 将求得的未知量代入杆端弯矩，杆端剪力
表达式，求出各杆端力。并作内力图。
§ 8-7 支座移动时的计算
? 一、支座移动时的计算
? 用位移法计算支座移动时的结构内
力时，计算方法与荷载作用下的计算相
同，不同的地方是固端弯矩、固端剪力
的计算。需要将已知的支座移动转化为
固端弯矩和固端剪力。
? 举例说明。
? 例：图示刚架支座 A发
生水平位移 a，竖向位
b=4a，转角位移 φ=a/l，
用位移法求解，作 M图。 l
l
a
b
φ
EI
2EI
解,1、基本未
知量，基本体系。
l
l
a
b
φ
EI
2EI
基本体系
Z1
令,i=EI/l
i
2i
2、作 M1,M⊿ 图，计算 k11,F1⊿
Δ 1
i
2i
3i
8i
4i
M 1 图
i
2i
r11=11i
φab
-3i/l× (-b)=12iφ
AB杆,MFAB= 4× 2i× φ - 6× 2i/l× (-a)=20iφ
MFBA= 2× 2i× φ - 6× 2i/l× (-a)=16iφ
20iφ
16iφ
M⊿ 图
F1⊿ =28iφ
3、列方程，求解
? k11 Δ 1+ F1⊿ =0
? 11i Δ 1 +28i φ =0
? Δ 1 = - 28/11× φ = - 28φ/11
4,作弯矩图
M= Δ 1 M1 + M⊿
MAB = - 28φ/11× 4i+20i = 108i φ/11
MBA= -28φ/11× 8i+16i = - 48i φ/11
MBC= - 28φ/11× 3i+12i = 48i φ/11
弯矩图
MAB = 108i φ/11
MBA= - 48i φ/11
MBC= 48i φ/11
108iφ/11
48iφ/11
* 二、温度改变时的计算
? 在此，固端力（杆端弯矩）是由温度
改变引起的。温度改变引起的固端力由
两部分组成的：
? 1、杆件内外温差，使杆件弯曲，引
起一部分固端弯矩；
? 2、温度改变时杆件产生轴向变形，
使结点产生位移，从而使杆端产生相对
横向线位移，又产生另一部分固端弯矩。
? 见书 P.206 – P.207。
习题课：超静定结构的计算 — 位移法
? 重点,掌握用位移法计算荷载作用下
的超静定刚架。
? 要求：
? 1、基本未知量的确定。
? 2、准确地做出位移法基本体系。
? 3、列出位移法典型方程，求解并作
弯矩图。
? （两种方法掌握一种）
习题,用位移法计算图示刚架,作 M图。
EI=c
10kN2.5kN/m
4m 4m
4m
A
B CD
习题,用位移法计算图示刚架,作 M图。
l/2 A
B
C
D
EI=1 I=2
I=4
I=1
l l
l
M0
习题,用位移法计算图示刚架,作 M图。
7k
N/
m
A B C
D E F
EI EI EI
EIEI1=∞
6m 6m
6m
习题,用位移法计算图示刚架,作 M图。
3
4m
1 2
4 5
0 EI
EI 1.5EI
0.8
EI
10
kN
/m20kN
2m 6m
6m
习题,用位移法计算图示刚架,作 M图。
解,由对称性可取半结构计算
习题：判断基本未知量。（最少）
习题：用位移法概念，快速计算图示
各题。各杆 EI=常数。
弯矩图为零,为什么？有什么规律?
l/2
FP
FP
l/2 l/2 l/2
l/2
l/2
FP F
P
l l
l
l
FP
习题：用位移法概念，快速作出
刚架的弯矩图。 各杆 EI=常数 。
习题,用对称性计算图示结构。
2FP
FP FP
FP
FP
FP /2 FP /2
FP /2 FP /2
FP
FP FP /2
FP /2FP /2
FP /2
FP
FP F
P /2
FP /2
FP /2
FP /2
FP /2
FP /2
FP /2
FP /2
FP /2
FP /2
FP /2 F
P /2
FP /2
