第 五 章
影 响 线
§ 5-1 移动荷载和影响线概念
? 一、活荷载及活荷载对结构的影响
? 1、活荷载
? 荷载按作用位置特点分为恒荷载和活荷载。
荷载 特点 对结构的影响
恒荷载
位置不变的荷载
反力、内力、位移
确定不变
活荷载 大小、方向不变，位置
移（可）动的荷载
反力、内力、位
移等量值随荷载
位置移动而变化
大小、方向、作用
? 注：
? 1、大小、方向不变，仅作用位置变化的荷
载称为 移动荷载 （如：车辆、吊车荷载等）。
? 时有时无，可任意分布的荷载称为 可动荷
载 （如：人群、货物、不固定设备等）。
? 2、反力、内力、位移等量值随荷载位置移
动而变化。在此，不仅不同截面各量值随荷载
位置变化的规律不同；而且，同一截面的不同
量值，变化规律也不同。
2、活荷载作用下结构的计算问题
? （ 1）、找出活荷载作用下结构反应的特点
规律，其工具为“影响线”。
? （ 2）、求出指定的反力，截面内力的最大
值。确定某量值的最不利荷载位置。
? （ 3）、寻找全结构的最大内力。
二、影响线的概念
? 影响线的定义：当一个方向不变的单位荷
载沿一结构移动时，表示某指定截面的某一
量值变化规律的函数图形，称为该量值的影
响线。
? 影响线的特点,
? 横坐标 —— FP=1的位置。
? 纵坐标 —— 指定量值的大小。
A B
A B
FP1 FP2x d
FRA FRB
x FP=1
FRA l
FRA影响线1
C D
C D
∑MB=0
FRA× l -FP× (l-x)=0
FRA =(l-x)/l
y1 y2
三、影响线的用途
? (1)、当荷载位置确定时，求各量值。
? (2)、当荷载位置变动时，确定最不利荷
载位置。
§ 5-2 用静力法作简支梁影响线
? 一、简支梁的影响线
? 1、支座反力影响线
? 梁的反力向上为正，取梁的左端为坐标
原点，令 x 为 FP=1至原点 A的距离。
A Bx FP=1
l
由力的平衡条件：
∑MB=0
FRA=FP(l-x)/l=(l-x)/l
FRA FRB
FRA影响线,
FRA=(l-x)/l
x=0,FRA= 1
x=l,FRA=0 1
FRA影响线
(l-x)/l
+F
RB影响线,
∑MA=0
x=0,FRB=0
x= l,FRB= 1
1+
FRB影响线
x/l
x
FRB=FP x /l= x /l
A BFP=1
l
FRA F
RB
2、弯矩影响线
正负号规定：使梁
下部纤维受拉的弯矩
为正。
FRA
FP=1 作用在 C左, (0≤x≤a) F
RB
FQC
MC
A Bx
FP=1
l
C
a b
左直线
a·b/l
FQC
MC
FP=1 作用在 C右, (a≤x≤ l)
∑MC=0 MC= FRA·a=(l-x)·a /l
右直线
+
MC影响线
∑MC=0 MC= FRB·b=x·b/l
3、剪力影响线
? 正负号规定：同材力。
A Bx
FP=1
l
C
a b
FQC影响线
FP=1 作用在 C左, (0≤x＜ a)
∑y=0 FQC= -FRB = - x /l
1
左直线
a/l
1
∑y=0 FQC= FRA=(l - x) /l
右直线
FP=1 作用在 C右, (a＜ x≤ l ) +b/l
FRBFQC
MC
FQC
MC
FRA
二、伸臂梁影响线 ? 1、反力影响线
FRA影响线
A
B
FP=1
FRA l
C
FRB
a b
D E
d e
11+d /l
+ e /l-
1+ 1+e/l-
d/l
FRB影响线
2、中间跨的弯矩影响线
? 仿照简支梁,可得伸臂梁中间跨的弯矩影响线。
? 伸臂段上,只要简支梁的线段延长即可,
A
B
FP=1
FRA l
C
FRB
a b
D E
d e
ba·b/l
b·d/l a·e/l
a +
-
-MC影响线
3、中间跨的剪力影响线
? 仿照简支梁,可得伸臂梁中间跨的剪力影响线。
A
B
FP=1
FRA l
C
FRB
a b
D E
d e
1
1
a/l
d/l -
+
b/l
e/l+
-F
QC影响线
4、外伸段的弯矩影响线
? 请找规律,MA 影响线？ MD 影响线？
? 相应右伸臂？
A
B
FP=1
l
D E
d e
F
f
-f M
F影响线
MFFP=1x1
FQF
5、伸臂段的剪力影响线
? 请找规律,D — A,B — E 各截面剪力
影响线？
A
B
FP=1
l
D E
d e
F
f
-1 F
QF影响线
FP=1x1
FQF
MF
6、支座处剪力影响线 FQA左, FQA右
? 请考虑 FQB左, FQB右 的作法。
A
B
FP=1
FRA l FRB
D E
d e
-1 F
QA左 影响线
-+1
d/l +
FQA右 影响线
三、内力影响线与内力图的比较
内力图（ M图） 影响线（ MC I.L.）
荷 载 位置任意的固定荷载 位置移动的 FP=1
横坐标 截面位置 荷载 FP=1的位置
竖坐标 相应截面的 M值 C截面的弯矩值
单 位 内力实际单位 按 Z/FP 定
图 形
表 示
FP FP
l/3 l/3 l/3
FP l/3M图
FP=1x
a b
MC I.L.
ab/l
+
四、用静力法求多跨静定梁影响线
? 1、基本部分上的反力、内力影响线
A
BC D E
FP=1
l ld
a b
解, 若 FP=1作用在基本部分，同外伸梁。 若
FP=1作用在附属部分，则应先求出 D截面剪力
影响线。
A
BC D E
FP=1
l ld
a b
作 FRA影响线。 FP=1
FQD
FRA
x1
B
1
d/l
+ - FR AI,L.
A
BC D E
FP=1
l ld
a b
作 FQD影响线。 FP=1
FQD
x1
B
1
+ FQD I,L.
A
BC D E
FP=1
l ld
a b
ab/l
ad/l
+
-
MC I,L.
FRB I,L.1
1+d/l
+
? 2、附属部分上的反力、内力影响线
作 FRE影响线。 作 MF影响线。
FP=1
FQD
FRE
x1
B
A
BC D E
FP=1
l ld
a b
F
e f
FP=1 F
FP=1
FQD
FRE
x1
B
F
1
+
FRE影响线
ef / l
+
MF影响线
§ 5-3 结点荷载作用下梁的影响线
荷载直接加于纵梁，纵梁是简支梁，两
端支在横梁上，横梁则由主梁支承；荷载通
过纵梁下面的横梁传到主梁。
结点荷载：荷载作用在与计算结构相连接
的构件上。
l=4d
d
FP=1 纵梁横梁
A
BC E F 主梁
FP=1
A
BC E F
结点荷载作用下主梁反力、内力的影响线
（ 1）支座反力 FRA, FRB影响线，与受直接荷载作
用的简支梁完全样同相同。
1
1
FRA影响线
FRB影响线
FP=1
A
BC E F
（ 2）结点处截面弯矩 MC,ME 等影响线与受直接荷
载作用的简支梁完全样同相同。
3d/4
MC影响线
FP=1
A
BC E FD
（ 3）结间任意截面 D的弯矩影响线
d/2 d/2
① 首先考虑 FP=1在主梁上移动，可作出 MD的影响线
为一三角形。 FP=1在 AC和 EB之间移动时，结点荷载作
用下的 MD的影响线与直接荷载作用下的 MD的影响线完
全一样。在 C和 E点上的竖标 yC 和 yD 也完全一样。
②考虑 FP=1在两相邻点 C,E之间纵梁上的移动情况，
FP=1到 C点的距离用 x 表示，主梁在 C,D两点分别受向
下的荷载：
,dxVd xdV EC ??
d
D
FP=1x
EC
d
xd?
d
x
FP=1作用在点 x时对主梁的影响可由叠加原理求得。
FP=1在 C点时,MD=yC
FP=1在 E点时,MD=yE
FP=1在距 C点为 x时，主梁 C点的荷载为, D点为dxd? dx
d
xy
d
xdyy
EC ?
??故：
为 x 的一次式，由此可知在结点荷载作用下,MD的影响
线在 CE段为一直线。
③ 一般性结论：
在结点荷载作用下，结构任何影响线在相邻两
结点之间为一直线。
先作直接荷载作用下的影响线，用直线连接相
邻两结点的竖标，就得到结点荷载作用下的影响线。
FP=1
A
BC E FD
l=4d
d/2 d/2
15d/16
5d/8 3d/4
MD影响线
直接荷载 结点荷载
d
FP=1x
EC
d
xd?
d
x
（ 4）结间剪力影响线 FQCE 的影响线
在结点荷载的作用下主梁 CE两点之间无外力，因此
主梁 CD一段各截面的剪力都相等，通常称为结间剪力。
FP=1
A
BC E F
1
1
FQCE 的影响线1/2
1/4
例,FP=1
KA BC Da
1
FRA 影响线
FRB影响线
1
MK影响线
a
§ 5-5 机动法作影响线
? 1、原理：虚位移原理。
? 特点：把作反力或内力影响线的静力问
题转化为作位移图的几何问题。
? 举例说明：
A BFP=1D Ex
Z
δZδP
A BFP=1D Ex
Z
δZδP
1
+-
Z · δZ + FP · δP=0 ( 5-1 )
∵ FP =1
Z
PZ
?
??? ( 5-2)
δZ ——力 Z作用点沿其方向的位移，大小与 Z
无关，在给定虚位移的情况下，是不变的。方向
与 Z一致为正。
δP —— 与力 FP =1相应的位移，荷载 FP =1移
动时，随 FP =1的位置不同而变化。 δP 向下为正。
为了简化，令 δZ=1，上式变为：
Z= - δP
)()1()( xxZ P
Z
?
?
??
( 5-3 )
? 由此可知，使 δZ =1时的虚位移 δP 图就代
表了 Z 的影响线，但正负号相反。
? 正负号规定,Z的影响线向上为正。
? 如果位移图在横坐标轴上方,δP 为负值，
而影响线为正。
2、方法步骤
? （ 1）、撤去与 Z相应的约束，代以未知量
X。
? （ 2）,使体系沿 Z的正方向发生位移，作
出荷载作用点的竖向位移图（ δP 图）。即 Z影
响线的轮廓。
? （ 3）、令 δZ=1，可定出影响线各竖标的数
值。
? （ 4）、横坐标以上的图形为正，横坐标以
下的图形为负。
举例：
A Bx FP=1
l
C
a b
MC
δZ=α+β
α β
δx a FP=1
1a ab/l+
MC I,L.
? 用机动法做 MC
的影响线。
? 根据虚位移原理：
? MC (α+β)+FP δP=0
? MC= - δP / (α+β)
? 由 δZ=α+β,若使
? δZ=α+β=1 则所得
到的虚位移图即为
MC的影响线。
A Bx FP=1
l
C
a b
FP=1
δZ
FQC
FQC
1
1
+
- F
QC I,L.
举例：
? 用机动法做 FQC
的影响线。
? 根据虚位移原
理：
? FQC δZ+FP δP=0
? FQC= - δP / δx
? 若使 δZ=1
? 则所得到的虚
位移图即为 FQC的
影响线。
例：用机动法作多跨静定梁各量值影响线。
A B CD E
H
F
K
2m 2m 2m 2m 2m 2m 1m
FP=1
作 MA影响线
MA δ
Z
6
6
4
-
MA影响线 （ m）
A B CD E
H
F
K
2m 2m 2m 2m 2m 2m 1m
FP=1
MF
δZ 2
2
1
1
1/2
MF影响线 (m)
- +
作 MF影响线
A B CD E
H
F
K
2m 2m 2m 2m 2m 2m 1m
FP=1
作 FRB影响线
FRB
δZ
FRB影响线
+
-1 1/4
3/2
A B CD E
H
F
K
2m 2m 2m 2m 2m 2m 1m
FP=1
作 FQH影响线
FQH
δZ
+1
FQH影响线
A B CD E
H
F
K
2m 2m 2m 2m 2m 2m 1m
FP=1
作 FQB左 影响线
FQB左
- 1
FQB左 影响线
A B CD E
H
F
K
2m 2m 2m 2m 2m 2m 1m
FP=1
作 FQB右 影响线
FQB右
++ -1
1/2 1/4
FQB右 影响线
§ 5-6 影响线的应用
? 影响线应用分两步,
? 1、荷载位置确定时，利用影响线，求实
际荷载对该量值的影响。
? 2、荷载位置变化时，利用影响线，研究
该量值的变化规律，找最不利荷载位置。
一、求各种荷载作用下的影响
? 1、集中荷载组
? (位置一定 )
A
BC
FP1 FP2 FP3 FP4
FQC影响线
+
- -
b/l
a/l
求 FQC
影响线相应于各荷载作用
点的竖标分别为：
y1, y2,y3,y4。 y1
y2 y
3 y
4
FQC= FP1 y1+ FP2 y2+ FP3 y3+ FP4 y4=∑FPi yi
4
i=1
l e
a b
由此：
? yi —— 与 FPi相应的影响线竖标，带正负号。
? FPi —— 集中荷载值，指向下为正。
? n —— 位于影响线范围内的集中荷载总数。
Z= FP1 y1+ FP2 y2+ ······+ FPn yn=∑FPi yi
n
i=1
(5-4)
2、分布荷载 (均布荷载 )
? 微段上的荷
载 qdx 可视为分
布的小集中荷载。
? Z=∫ y ·q dx +
- -
FQC影响线a/l
b/l
x dx
dA
A B
C
q qdx
D E
D
E
?= q∫ y dxDE
? = q A0 ( 5-5 )
A0 — 影响线在均布荷载范围内的面积。
（ 注意有正负面积之分）
3,用合力求影响量值
O
FP1 FP2 FPn-1 FPn
y1 y2 yn-1 yn
F
y
当一组平行集中荷载作用于影响线的某一直
线段时，可用它们的合力来代替整个荷载组，而
不致改变所求量值的最后数值。
Z= FP1 y1+FP2 y2+…+FPn-1 yn-1+FPn yn
=(FP1 x1+FP2 x2+…+FPn-1 xn-1+FPn xn)tanα=F x tana= F y
某量值 Z的影响线
a
例：
用剪力影响线求 FQC 。
? 解：
A B
C
2m 4m
q=20kN/m
+-
1/3
2/3
FQC影响线
FQC =q(A1+ A2 )= 20(4/3-1/3) =20kN
也可以用合力计算，需分两段计算，为什么？
?A1=1/2× 2/3× 4= +4/3
?A2=1/2× (-1/3)× 2 = - 1/3
二,求荷载的最不利位置
荷载的最不利位置：使某量值 Z达到最
大（最小）值的荷载位置，称为该量值的最
不利荷载位置。
在活荷载作用下，结构上的各种量值随荷
载位置而变。设计时必须找出各量值的最大
值（包括 Z max 和 Z min ） 作为设计依据。
? 求 Z max （ Z min ）
活荷载情况 (类型 )
影响线 (形状 )
? 简单情况可用观察法。判断原则：
? 把数量大，排列密的荷载放在影响线竖标
标距较大的部位。
? 一、可动均布荷载
? 可动均布荷载为可以任意断续布置的均布
活荷载。因为,Z=q·Ao, 故可首先作出该量
值的影响线。
? 求 Z max 时，在 +Ao内布满 q 。
? 求 Z min 时，在 -Ao内布满 q 。
? 荷载位置确定后，即可用公式 Z=q·Ao计算
的 Z max, Z min值。
例：
A
BC
+
-+ -
FQC影响线
FQC (max)荷载位置
FQC (min)荷载位置
二、移动集中荷载（吊车、汽车、火车等）
? 一组互相平行且间距不变的集中荷载组。
? （ 1）、简单情况
? 移动的单个荷载：
? FP置于 Z I.L.最大竖标处，产生 Z max 。
? FP置于 Z I.L.最小竖标处，产生 Z min 。
FP
+-
K
MK 影响线
FP
MK (max)
FP
MK (min)
移动的一组集中荷载
? 应当把数量大、排列密的荷载放在影响线竖
标较大的部位。
? 最不利荷载位置时，必有一个集中荷载作用
在影响线的顶点。
? 问题是：哪一个集中力作用在影响线的顶点？
+-
K
MK 影响线
FP1 FP2 FP3 FP4
（ 2）、临界荷载判别式
? 在此只讨论三角形影响线最不利荷载位置
的判别条件。
? 先找出使 Z 达到极值的荷载位置，也称
为荷载的临界位置。然后，从荷载的临界位
置中选出荷载的最不利位置。
-
+ Z 影响线
a b
∑FPL ∑FPR
y L y Rh
Z= ∑FPL · y L +∑FPR · y R
如图，荷载在某一位置时：
考察 Z何时出现极值。
⊿ x ⊿ x
∑FPL ∑FPR
⊿ yL ⊿ y
R
FPcr
α β
Z+⊿ Z=∑FPL·( y L +⊿ y L )+∑FPR ·( y R+⊿ y R )
⊿ Z= ∑FPL · ⊿ y L +∑FPR · ⊿ y R
= ∑FPL ·⊿ x·tanα+∑FPR ·⊿ x·tan β
= ⊿ x·∑FPi· tan ai
或写成,⊿ Z /⊿ x= ∑FPi · tan ai
观察：荷载移动 ⊿ x，则有：
规定,⊿ x恒为正值。
由 Z=∑FPi yi, 可知 Z 是 x 的一次函数。
(a)
公式 (a)的极值条件：当 ∑FPi · tan ai变号时，
Z有极值。
设荷载组为自左向右移动，可写出 Z发生极
大值的两个不等式：
? 有, tanα=h/a,tan β= - h/b
??
??
???
???
0t a nt a n)(
0t a n)(t a n
??
??
R
PP c r
L
P
R
PP c r
L
P
FFF
FFF
b
FF
a
F
b
F
a
FF
R
PP c r
L
P
R
PP c r
L
P
??
??
?
?
?
?
(5-8)
可出现 Zmin的条件与 (5-8)式相反。
? 说明：
? 1、公式 （ 5-8） 可看作是在三角形影响线左右两直
线内的平均荷载比较。
? 2、公式 （ 5-8） 只是 Z的极值条件，一组集中荷载
可能有几个荷载位置满足 （ 5-8） 式。因此，使用（ 5-8）
式时，应以每个力作 FPcr置于影响线的顶点，按 （ 5-8）
式找满足条件的荷载位置。按各位置计算 Z值，比较后
确定 Z max（ Z min ）。
? 3、式 （ 5-8） 只对两面坡的三角形影响线有效。如
遇直角三角形影响线，则应试算。若遇折线形影响线，
可用教材上的公式 （ 5-6），（ 5-7） 进行判断。
? 4、均布移动荷载作用情况，量值 Z是荷载位置的二
次函数，其最不利荷载位置可按一般求极值的方法进行
判断和计算。
例,
试求图示简支吊车梁在吊车垂直荷载作用下支座 B
的最大反力。已知第一台吊车轮压为 FP1=FP2=478.5kN，
第二台吊车轮压为 FP3=FP4=324.5kN。
6m
A
B
C
6m
解：
4.8m5.25m 1.45m
FP2FP1 FP3 F
P4
1、作 FRB的影响线。
2、分析。
+1
FRB影响线
FP2F
P1 4.8m5.25m
FP31.45m FP4
0.125 0.758
临界荷载判别,
当 FP2在点 B左、右时，有：
2× 478.5× 103
6
324.5× 103
6＞
478.5× 103
6
478.5× 103+ 324.5× 103
6＜
FP2为一临界荷载。
+1
FRB影响线
FP2FP1 4.8m5.25m FP31.45m FP4
0.200.758
临界荷载判别,
当 FP3在点 B左、右时，有：
478.5× 103+324.5× 103
6
324.5× 103
6＞
478.5× 103
6
2× 324.5× 103
6＜
FP3为一临界荷载。
3、求出上述两个不利荷载位置对应的值，
进行比较，找出 FRB ( max)
当 FP2在点 B时，可求得,
FRB= 478.5× 103× (0.125+1)+324.5× 103×
0.758=784.3× 103N=784.3kN
FRB= 478.5× 103× 0.758+324.5× 103× (1 + 0.2)
=784.3× 103N=784.3kN
当 FP3在点 B时，可求得,
FRB ( max) =784.3kN
§ 5-8 简支梁的包络图和绝对最大弯矩
一、简支梁的包络图
内力包络图：连接各截面内力最大值的曲线。
包络图表示梁在已知的活荷载（和恒载）作
用下，各个截面可能产生的内力极限值。不论
活荷载处于梁的何种位置，活荷载和恒载所产
生的内力都不会超出包络图的范围。
具体做法见教材。
? 二,绝对最大弯矩：简支梁所有各个截
面的最大弯矩中，最大的那个弯矩。
问题
截面位置变化
荷载位置变化
1、发生绝对最大弯矩的截面位置
荷载在任一位置时，梁的弯矩图的顶点
永远发生在集中荷载下面。
? 绝对最大弯矩必定发生在某一集中荷载的
作用点。
A B
l/2 l/2
C
FP1 FPi FPn-1 FPn
x
F
a l-a-x
F — 梁上荷载合力。
Mi=FAy ·x – M
=F(l-x-a)x/l-M
FAy
Mi — Fpi所在截面
的弯矩。
M — FPi以左荷载对 FPi作用点的力矩代数和（为
一常数）。
A B
l/2 l/2
C
FP1 FPi FPn-1 FPn
x
F
a l-a-x
FAy
Mi=FAy ·x – M
=F(l-x-a)x/l-M
为求的 Mi极值，
可令 dMi/dx=0,有：
F(l-2x-a)=0
得,x = (l – a )/2 (11-9)
或,x =l – x – a (11-9a)
梁的中线正好平分 FPi与 F之间的距离。
a/2 a/2
? 2、发生绝对最大弯矩的荷载位置
? 利用上述结论，可将各个荷载作用下的
截面最大弯矩分别求出，再奖它们加以比较，
即可得出绝对最大弯矩。
? 在实际计算中，一般利用判断方法事先
估计出绝对最大弯矩的临界荷载。
? 绝对最大弯矩一般发生在梁的中点附近，
一般来说，使梁的中点发生最大弯矩的临界
荷载就是发生绝对最大弯矩的临界荷载。
? 绝对最大弯矩的算式：
? 把 x= ( l – a )/2
? 代入 M的公式
? Mmax =FAy ( l/2 - a/2 )2 / l – M
? =FAy x2 /l – M
? 注：
? 上式 a 为正值,F在 FPi之右,a 为负值，
F在 FPi之左。
? 在试算 Mmax时，荷载移动在梁上有进有出，
注意合力 F的变化。
影 响 线
§ 5-1 移动荷载和影响线概念
? 一、活荷载及活荷载对结构的影响
? 1、活荷载
? 荷载按作用位置特点分为恒荷载和活荷载。
荷载 特点 对结构的影响
恒荷载
位置不变的荷载
反力、内力、位移
确定不变
活荷载 大小、方向不变，位置
移（可）动的荷载
反力、内力、位
移等量值随荷载
位置移动而变化
大小、方向、作用
? 注：
? 1、大小、方向不变，仅作用位置变化的荷
载称为 移动荷载 （如：车辆、吊车荷载等）。
? 时有时无，可任意分布的荷载称为 可动荷
载 （如：人群、货物、不固定设备等）。
? 2、反力、内力、位移等量值随荷载位置移
动而变化。在此，不仅不同截面各量值随荷载
位置变化的规律不同；而且，同一截面的不同
量值，变化规律也不同。
2、活荷载作用下结构的计算问题
? （ 1）、找出活荷载作用下结构反应的特点
规律，其工具为“影响线”。
? （ 2）、求出指定的反力，截面内力的最大
值。确定某量值的最不利荷载位置。
? （ 3）、寻找全结构的最大内力。
二、影响线的概念
? 影响线的定义：当一个方向不变的单位荷
载沿一结构移动时，表示某指定截面的某一
量值变化规律的函数图形，称为该量值的影
响线。
? 影响线的特点,
? 横坐标 —— FP=1的位置。
? 纵坐标 —— 指定量值的大小。
A B
A B
FP1 FP2x d
FRA FRB
x FP=1
FRA l
FRA影响线1
C D
C D
∑MB=0
FRA× l -FP× (l-x)=0
FRA =(l-x)/l
y1 y2
三、影响线的用途
? (1)、当荷载位置确定时，求各量值。
? (2)、当荷载位置变动时，确定最不利荷
载位置。
§ 5-2 用静力法作简支梁影响线
? 一、简支梁的影响线
? 1、支座反力影响线
? 梁的反力向上为正，取梁的左端为坐标
原点，令 x 为 FP=1至原点 A的距离。
A Bx FP=1
l
由力的平衡条件：
∑MB=0
FRA=FP(l-x)/l=(l-x)/l
FRA FRB
FRA影响线,
FRA=(l-x)/l
x=0,FRA= 1
x=l,FRA=0 1
FRA影响线
(l-x)/l
+F
RB影响线,
∑MA=0
x=0,FRB=0
x= l,FRB= 1
1+
FRB影响线
x/l
x
FRB=FP x /l= x /l
A BFP=1
l
FRA F
RB
2、弯矩影响线
正负号规定：使梁
下部纤维受拉的弯矩
为正。
FRA
FP=1 作用在 C左, (0≤x≤a) F
RB
FQC
MC
A Bx
FP=1
l
C
a b
左直线
a·b/l
FQC
MC
FP=1 作用在 C右, (a≤x≤ l)
∑MC=0 MC= FRA·a=(l-x)·a /l
右直线
+
MC影响线
∑MC=0 MC= FRB·b=x·b/l
3、剪力影响线
? 正负号规定：同材力。
A Bx
FP=1
l
C
a b
FQC影响线
FP=1 作用在 C左, (0≤x＜ a)
∑y=0 FQC= -FRB = - x /l
1
左直线
a/l
1
∑y=0 FQC= FRA=(l - x) /l
右直线
FP=1 作用在 C右, (a＜ x≤ l ) +b/l
FRBFQC
MC
FQC
MC
FRA
二、伸臂梁影响线 ? 1、反力影响线
FRA影响线
A
B
FP=1
FRA l
C
FRB
a b
D E
d e
11+d /l
+ e /l-
1+ 1+e/l-
d/l
FRB影响线
2、中间跨的弯矩影响线
? 仿照简支梁,可得伸臂梁中间跨的弯矩影响线。
? 伸臂段上,只要简支梁的线段延长即可,
A
B
FP=1
FRA l
C
FRB
a b
D E
d e
ba·b/l
b·d/l a·e/l
a +
-
-MC影响线
3、中间跨的剪力影响线
? 仿照简支梁,可得伸臂梁中间跨的剪力影响线。
A
B
FP=1
FRA l
C
FRB
a b
D E
d e
1
1
a/l
d/l -
+
b/l
e/l+
-F
QC影响线
4、外伸段的弯矩影响线
? 请找规律,MA 影响线？ MD 影响线？
? 相应右伸臂？
A
B
FP=1
l
D E
d e
F
f
-f M
F影响线
MFFP=1x1
FQF
5、伸臂段的剪力影响线
? 请找规律,D — A,B — E 各截面剪力
影响线？
A
B
FP=1
l
D E
d e
F
f
-1 F
QF影响线
FP=1x1
FQF
MF
6、支座处剪力影响线 FQA左, FQA右
? 请考虑 FQB左, FQB右 的作法。
A
B
FP=1
FRA l FRB
D E
d e
-1 F
QA左 影响线
-+1
d/l +
FQA右 影响线
三、内力影响线与内力图的比较
内力图（ M图） 影响线（ MC I.L.）
荷 载 位置任意的固定荷载 位置移动的 FP=1
横坐标 截面位置 荷载 FP=1的位置
竖坐标 相应截面的 M值 C截面的弯矩值
单 位 内力实际单位 按 Z/FP 定
图 形
表 示
FP FP
l/3 l/3 l/3
FP l/3M图
FP=1x
a b
MC I.L.
ab/l
+
四、用静力法求多跨静定梁影响线
? 1、基本部分上的反力、内力影响线
A
BC D E
FP=1
l ld
a b
解, 若 FP=1作用在基本部分，同外伸梁。 若
FP=1作用在附属部分，则应先求出 D截面剪力
影响线。
A
BC D E
FP=1
l ld
a b
作 FRA影响线。 FP=1
FQD
FRA
x1
B
1
d/l
+ - FR AI,L.
A
BC D E
FP=1
l ld
a b
作 FQD影响线。 FP=1
FQD
x1
B
1
+ FQD I,L.
A
BC D E
FP=1
l ld
a b
ab/l
ad/l
+
-
MC I,L.
FRB I,L.1
1+d/l
+
? 2、附属部分上的反力、内力影响线
作 FRE影响线。 作 MF影响线。
FP=1
FQD
FRE
x1
B
A
BC D E
FP=1
l ld
a b
F
e f
FP=1 F
FP=1
FQD
FRE
x1
B
F
1
+
FRE影响线
ef / l
+
MF影响线
§ 5-3 结点荷载作用下梁的影响线
荷载直接加于纵梁，纵梁是简支梁，两
端支在横梁上，横梁则由主梁支承；荷载通
过纵梁下面的横梁传到主梁。
结点荷载：荷载作用在与计算结构相连接
的构件上。
l=4d
d
FP=1 纵梁横梁
A
BC E F 主梁
FP=1
A
BC E F
结点荷载作用下主梁反力、内力的影响线
（ 1）支座反力 FRA, FRB影响线，与受直接荷载作
用的简支梁完全样同相同。
1
1
FRA影响线
FRB影响线
FP=1
A
BC E F
（ 2）结点处截面弯矩 MC,ME 等影响线与受直接荷
载作用的简支梁完全样同相同。
3d/4
MC影响线
FP=1
A
BC E FD
（ 3）结间任意截面 D的弯矩影响线
d/2 d/2
① 首先考虑 FP=1在主梁上移动，可作出 MD的影响线
为一三角形。 FP=1在 AC和 EB之间移动时，结点荷载作
用下的 MD的影响线与直接荷载作用下的 MD的影响线完
全一样。在 C和 E点上的竖标 yC 和 yD 也完全一样。
②考虑 FP=1在两相邻点 C,E之间纵梁上的移动情况，
FP=1到 C点的距离用 x 表示，主梁在 C,D两点分别受向
下的荷载：
,dxVd xdV EC ??
d
D
FP=1x
EC
d
xd?
d
x
FP=1作用在点 x时对主梁的影响可由叠加原理求得。
FP=1在 C点时,MD=yC
FP=1在 E点时,MD=yE
FP=1在距 C点为 x时，主梁 C点的荷载为, D点为dxd? dx
d
xy
d
xdyy
EC ?
??故：
为 x 的一次式，由此可知在结点荷载作用下,MD的影响
线在 CE段为一直线。
③ 一般性结论：
在结点荷载作用下，结构任何影响线在相邻两
结点之间为一直线。
先作直接荷载作用下的影响线，用直线连接相
邻两结点的竖标，就得到结点荷载作用下的影响线。
FP=1
A
BC E FD
l=4d
d/2 d/2
15d/16
5d/8 3d/4
MD影响线
直接荷载 结点荷载
d
FP=1x
EC
d
xd?
d
x
（ 4）结间剪力影响线 FQCE 的影响线
在结点荷载的作用下主梁 CE两点之间无外力，因此
主梁 CD一段各截面的剪力都相等，通常称为结间剪力。
FP=1
A
BC E F
1
1
FQCE 的影响线1/2
1/4
例,FP=1
KA BC Da
1
FRA 影响线
FRB影响线
1
MK影响线
a
§ 5-5 机动法作影响线
? 1、原理：虚位移原理。
? 特点：把作反力或内力影响线的静力问
题转化为作位移图的几何问题。
? 举例说明：
A BFP=1D Ex
Z
δZδP
A BFP=1D Ex
Z
δZδP
1
+-
Z · δZ + FP · δP=0 ( 5-1 )
∵ FP =1
Z
PZ
?
??? ( 5-2)
δZ ——力 Z作用点沿其方向的位移，大小与 Z
无关，在给定虚位移的情况下，是不变的。方向
与 Z一致为正。
δP —— 与力 FP =1相应的位移，荷载 FP =1移
动时，随 FP =1的位置不同而变化。 δP 向下为正。
为了简化，令 δZ=1，上式变为：
Z= - δP
)()1()( xxZ P
Z
?
?
??
( 5-3 )
? 由此可知，使 δZ =1时的虚位移 δP 图就代
表了 Z 的影响线，但正负号相反。
? 正负号规定,Z的影响线向上为正。
? 如果位移图在横坐标轴上方,δP 为负值，
而影响线为正。
2、方法步骤
? （ 1）、撤去与 Z相应的约束，代以未知量
X。
? （ 2）,使体系沿 Z的正方向发生位移，作
出荷载作用点的竖向位移图（ δP 图）。即 Z影
响线的轮廓。
? （ 3）、令 δZ=1，可定出影响线各竖标的数
值。
? （ 4）、横坐标以上的图形为正，横坐标以
下的图形为负。
举例：
A Bx FP=1
l
C
a b
MC
δZ=α+β
α β
δx a FP=1
1a ab/l+
MC I,L.
? 用机动法做 MC
的影响线。
? 根据虚位移原理：
? MC (α+β)+FP δP=0
? MC= - δP / (α+β)
? 由 δZ=α+β,若使
? δZ=α+β=1 则所得
到的虚位移图即为
MC的影响线。
A Bx FP=1
l
C
a b
FP=1
δZ
FQC
FQC
1
1
+
- F
QC I,L.
举例：
? 用机动法做 FQC
的影响线。
? 根据虚位移原
理：
? FQC δZ+FP δP=0
? FQC= - δP / δx
? 若使 δZ=1
? 则所得到的虚
位移图即为 FQC的
影响线。
例：用机动法作多跨静定梁各量值影响线。
A B CD E
H
F
K
2m 2m 2m 2m 2m 2m 1m
FP=1
作 MA影响线
MA δ
Z
6
6
4
-
MA影响线 （ m）
A B CD E
H
F
K
2m 2m 2m 2m 2m 2m 1m
FP=1
MF
δZ 2
2
1
1
1/2
MF影响线 (m)
- +
作 MF影响线
A B CD E
H
F
K
2m 2m 2m 2m 2m 2m 1m
FP=1
作 FRB影响线
FRB
δZ
FRB影响线
+
-1 1/4
3/2
A B CD E
H
F
K
2m 2m 2m 2m 2m 2m 1m
FP=1
作 FQH影响线
FQH
δZ
+1
FQH影响线
A B CD E
H
F
K
2m 2m 2m 2m 2m 2m 1m
FP=1
作 FQB左 影响线
FQB左
- 1
FQB左 影响线
A B CD E
H
F
K
2m 2m 2m 2m 2m 2m 1m
FP=1
作 FQB右 影响线
FQB右
++ -1
1/2 1/4
FQB右 影响线
§ 5-6 影响线的应用
? 影响线应用分两步,
? 1、荷载位置确定时，利用影响线，求实
际荷载对该量值的影响。
? 2、荷载位置变化时，利用影响线，研究
该量值的变化规律，找最不利荷载位置。
一、求各种荷载作用下的影响
? 1、集中荷载组
? (位置一定 )
A
BC
FP1 FP2 FP3 FP4
FQC影响线
+
- -
b/l
a/l
求 FQC
影响线相应于各荷载作用
点的竖标分别为：
y1, y2,y3,y4。 y1
y2 y
3 y
4
FQC= FP1 y1+ FP2 y2+ FP3 y3+ FP4 y4=∑FPi yi
4
i=1
l e
a b
由此：
? yi —— 与 FPi相应的影响线竖标，带正负号。
? FPi —— 集中荷载值，指向下为正。
? n —— 位于影响线范围内的集中荷载总数。
Z= FP1 y1+ FP2 y2+ ······+ FPn yn=∑FPi yi
n
i=1
(5-4)
2、分布荷载 (均布荷载 )
? 微段上的荷
载 qdx 可视为分
布的小集中荷载。
? Z=∫ y ·q dx +
- -
FQC影响线a/l
b/l
x dx
dA
A B
C
q qdx
D E
D
E
?= q∫ y dxDE
? = q A0 ( 5-5 )
A0 — 影响线在均布荷载范围内的面积。
（ 注意有正负面积之分）
3,用合力求影响量值
O
FP1 FP2 FPn-1 FPn
y1 y2 yn-1 yn
F
y
当一组平行集中荷载作用于影响线的某一直
线段时，可用它们的合力来代替整个荷载组，而
不致改变所求量值的最后数值。
Z= FP1 y1+FP2 y2+…+FPn-1 yn-1+FPn yn
=(FP1 x1+FP2 x2+…+FPn-1 xn-1+FPn xn)tanα=F x tana= F y
某量值 Z的影响线
a
例：
用剪力影响线求 FQC 。
? 解：
A B
C
2m 4m
q=20kN/m
+-
1/3
2/3
FQC影响线
FQC =q(A1+ A2 )= 20(4/3-1/3) =20kN
也可以用合力计算，需分两段计算，为什么？
?A1=1/2× 2/3× 4= +4/3
?A2=1/2× (-1/3)× 2 = - 1/3
二,求荷载的最不利位置
荷载的最不利位置：使某量值 Z达到最
大（最小）值的荷载位置，称为该量值的最
不利荷载位置。
在活荷载作用下，结构上的各种量值随荷
载位置而变。设计时必须找出各量值的最大
值（包括 Z max 和 Z min ） 作为设计依据。
? 求 Z max （ Z min ）
活荷载情况 (类型 )
影响线 (形状 )
? 简单情况可用观察法。判断原则：
? 把数量大，排列密的荷载放在影响线竖标
标距较大的部位。
? 一、可动均布荷载
? 可动均布荷载为可以任意断续布置的均布
活荷载。因为,Z=q·Ao, 故可首先作出该量
值的影响线。
? 求 Z max 时，在 +Ao内布满 q 。
? 求 Z min 时，在 -Ao内布满 q 。
? 荷载位置确定后，即可用公式 Z=q·Ao计算
的 Z max, Z min值。
例：
A
BC
+
-+ -
FQC影响线
FQC (max)荷载位置
FQC (min)荷载位置
二、移动集中荷载（吊车、汽车、火车等）
? 一组互相平行且间距不变的集中荷载组。
? （ 1）、简单情况
? 移动的单个荷载：
? FP置于 Z I.L.最大竖标处，产生 Z max 。
? FP置于 Z I.L.最小竖标处，产生 Z min 。
FP
+-
K
MK 影响线
FP
MK (max)
FP
MK (min)
移动的一组集中荷载
? 应当把数量大、排列密的荷载放在影响线竖
标较大的部位。
? 最不利荷载位置时，必有一个集中荷载作用
在影响线的顶点。
? 问题是：哪一个集中力作用在影响线的顶点？
+-
K
MK 影响线
FP1 FP2 FP3 FP4
（ 2）、临界荷载判别式
? 在此只讨论三角形影响线最不利荷载位置
的判别条件。
? 先找出使 Z 达到极值的荷载位置，也称
为荷载的临界位置。然后，从荷载的临界位
置中选出荷载的最不利位置。
-
+ Z 影响线
a b
∑FPL ∑FPR
y L y Rh
Z= ∑FPL · y L +∑FPR · y R
如图，荷载在某一位置时：
考察 Z何时出现极值。
⊿ x ⊿ x
∑FPL ∑FPR
⊿ yL ⊿ y
R
FPcr
α β
Z+⊿ Z=∑FPL·( y L +⊿ y L )+∑FPR ·( y R+⊿ y R )
⊿ Z= ∑FPL · ⊿ y L +∑FPR · ⊿ y R
= ∑FPL ·⊿ x·tanα+∑FPR ·⊿ x·tan β
= ⊿ x·∑FPi· tan ai
或写成,⊿ Z /⊿ x= ∑FPi · tan ai
观察：荷载移动 ⊿ x，则有：
规定,⊿ x恒为正值。
由 Z=∑FPi yi, 可知 Z 是 x 的一次函数。
(a)
公式 (a)的极值条件：当 ∑FPi · tan ai变号时，
Z有极值。
设荷载组为自左向右移动，可写出 Z发生极
大值的两个不等式：
? 有, tanα=h/a,tan β= - h/b
??
??
???
???
0t a nt a n)(
0t a n)(t a n
??
??
R
PP c r
L
P
R
PP c r
L
P
FFF
FFF
b
FF
a
F
b
F
a
FF
R
PP c r
L
P
R
PP c r
L
P
??
??
?
?
?
?
(5-8)
可出现 Zmin的条件与 (5-8)式相反。
? 说明：
? 1、公式 （ 5-8） 可看作是在三角形影响线左右两直
线内的平均荷载比较。
? 2、公式 （ 5-8） 只是 Z的极值条件，一组集中荷载
可能有几个荷载位置满足 （ 5-8） 式。因此，使用（ 5-8）
式时，应以每个力作 FPcr置于影响线的顶点，按 （ 5-8）
式找满足条件的荷载位置。按各位置计算 Z值，比较后
确定 Z max（ Z min ）。
? 3、式 （ 5-8） 只对两面坡的三角形影响线有效。如
遇直角三角形影响线，则应试算。若遇折线形影响线，
可用教材上的公式 （ 5-6），（ 5-7） 进行判断。
? 4、均布移动荷载作用情况，量值 Z是荷载位置的二
次函数，其最不利荷载位置可按一般求极值的方法进行
判断和计算。
例,
试求图示简支吊车梁在吊车垂直荷载作用下支座 B
的最大反力。已知第一台吊车轮压为 FP1=FP2=478.5kN，
第二台吊车轮压为 FP3=FP4=324.5kN。
6m
A
B
C
6m
解：
4.8m5.25m 1.45m
FP2FP1 FP3 F
P4
1、作 FRB的影响线。
2、分析。
+1
FRB影响线
FP2F
P1 4.8m5.25m
FP31.45m FP4
0.125 0.758
临界荷载判别,
当 FP2在点 B左、右时，有：
2× 478.5× 103
6
324.5× 103
6＞
478.5× 103
6
478.5× 103+ 324.5× 103
6＜
FP2为一临界荷载。
+1
FRB影响线
FP2FP1 4.8m5.25m FP31.45m FP4
0.200.758
临界荷载判别,
当 FP3在点 B左、右时，有：
478.5× 103+324.5× 103
6
324.5× 103
6＞
478.5× 103
6
2× 324.5× 103
6＜
FP3为一临界荷载。
3、求出上述两个不利荷载位置对应的值，
进行比较，找出 FRB ( max)
当 FP2在点 B时，可求得,
FRB= 478.5× 103× (0.125+1)+324.5× 103×
0.758=784.3× 103N=784.3kN
FRB= 478.5× 103× 0.758+324.5× 103× (1 + 0.2)
=784.3× 103N=784.3kN
当 FP3在点 B时，可求得,
FRB ( max) =784.3kN
§ 5-8 简支梁的包络图和绝对最大弯矩
一、简支梁的包络图
内力包络图：连接各截面内力最大值的曲线。
包络图表示梁在已知的活荷载（和恒载）作
用下，各个截面可能产生的内力极限值。不论
活荷载处于梁的何种位置，活荷载和恒载所产
生的内力都不会超出包络图的范围。
具体做法见教材。
? 二,绝对最大弯矩：简支梁所有各个截
面的最大弯矩中，最大的那个弯矩。
问题
截面位置变化
荷载位置变化
1、发生绝对最大弯矩的截面位置
荷载在任一位置时，梁的弯矩图的顶点
永远发生在集中荷载下面。
? 绝对最大弯矩必定发生在某一集中荷载的
作用点。
A B
l/2 l/2
C
FP1 FPi FPn-1 FPn
x
F
a l-a-x
F — 梁上荷载合力。
Mi=FAy ·x – M
=F(l-x-a)x/l-M
FAy
Mi — Fpi所在截面
的弯矩。
M — FPi以左荷载对 FPi作用点的力矩代数和（为
一常数）。
A B
l/2 l/2
C
FP1 FPi FPn-1 FPn
x
F
a l-a-x
FAy
Mi=FAy ·x – M
=F(l-x-a)x/l-M
为求的 Mi极值，
可令 dMi/dx=0,有：
F(l-2x-a)=0
得,x = (l – a )/2 (11-9)
或,x =l – x – a (11-9a)
梁的中线正好平分 FPi与 F之间的距离。
a/2 a/2
? 2、发生绝对最大弯矩的荷载位置
? 利用上述结论，可将各个荷载作用下的
截面最大弯矩分别求出，再奖它们加以比较，
即可得出绝对最大弯矩。
? 在实际计算中，一般利用判断方法事先
估计出绝对最大弯矩的临界荷载。
? 绝对最大弯矩一般发生在梁的中点附近，
一般来说，使梁的中点发生最大弯矩的临界
荷载就是发生绝对最大弯矩的临界荷载。
? 绝对最大弯矩的算式：
? 把 x= ( l – a )/2
? 代入 M的公式
? Mmax =FAy ( l/2 - a/2 )2 / l – M
? =FAy x2 /l – M
? 注：
? 上式 a 为正值,F在 FPi之右,a 为负值，
F在 FPi之左。
? 在试算 Mmax时，荷载移动在梁上有进有出，
注意合力 F的变化。
