第 六 章
结构位移计算与虚功
§ 6-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
1、推导位移计算一般公式的基本思路
第一步:由刚体体系的虚位移原理(理论力学)得
出刚体体系的虚力原理。并由此讨论静定结构由于支座
移动而引起的位移计算问题。
第二步:讨论静定结构由于局部变形引起的位移。
由刚体体系的虚力原理导出其位移计算公式。
第三步:讨论静定结构由于整体变形引起的位移。应
用第二步导出的局部变形引起的位移计算公式,再应用叠
加原理就可以推导出整体变形引起的位移计算公式。
? 2、结构位移计算概述
? ( 1)、结构位移的种类
? 绝对位移, 线位移和角位移 —— 杆件结构中某一截
面位置或方向的改变。
? 相对位移, 相对线位移和相对角位移 —— 两个截面
位移的差值或和。
? 广义位移, 绝对位移和相对位移的统称 。
FP
C’
D
D’
A
B
C
⊿ CH
⊿ CV
φC
φCD
⊿ DV
⊿ CD
( 2)、引起位移的原因
*荷载作用;
*温度变化和材料涨缩;
*支座沉陷和制造误差。
( 3)、位移计算的目的
*检验结构的刚度:位移是否超过允许的位移限制。
* 为超静定结构计算打基础。
* 其它:如施工措施、建筑起拱、预应力等。
( 4)、体系(结构)的物理特性
? 线性变形体系(线弹性体):
? *应力、应变满足虎克定律;
? *变形微小:变形前后结构尺寸、诸力作用
? 位置不变,位移计算可用叠加原理;
? *体系几何不变,约束为理想约束。
? 非线性体系:
? * 物理非线性;
? *几何非线性(大变形)。
( 5)、变形体位移计算方法及应满足的条件
? 方法:
? 用虚功原理推导出位移计算公式。
? 计算时应满足的条件:
? *静力平衡;
? *变形协调条件;
? *物理条件。
3、虚功原理的一种应用形式
—— 虚力原理( 虚设力系,求位移)
( 1)虚功的概念
功的两个要素 —— 力和位移
W= FP× ⊿
功 =力 × 相应位移
FP
FP
W=2FP× (r× φ)
= M× φ
力与位移相互对应。
FP
FP
A
B
A’
O
B’
φr
虚功
使力作功的位移不是由该力本身引起的,则:
作功的力与相应于力的位移彼此独立无关。
虚功 = 力 × 相应于力的位移
独立无关
FP1
FP2
M1
FR1
FR2
FR3
力状态
⊿ 2
⊿ 1
φ1
c1
c2
c3
位移状态
( 2)两种状态
? 两种状态
? 既然力与位移彼此独立无关,故可将力与位移视为
两种独立的状态。
? 力状态;
? 位移状态 。
? 外力虚功可表示为:
? W = FP1× △ 1+FP2× △ 2+ M1× φ1
? + FR1× c1+ FR2× c1+ FR3× c3 =∑F P× ⊿
? FP,包括力状态中的所有力(力偶)及支座反力,
称为广义力。
? △,包括位移状态中的与广义力相应的广义位移。
( 3)、刚体体系虚功原理 (虚位移原理、虚力原理)
? 对于具有理想约束的刚体体系,其虚功原
理为,设体系上作用任意的平衡力系,又设体
系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移,
则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。
? 即,W = 0
? 理想约束 —— 约束力在可能位移上所作的功恒等于零的约束,
如:光滑铰链、刚性链杆等。
? 刚 体 —— 具有理想约束的质点系。刚体内力在刚体的可
能位移上所作的功恒为零。
? 虚功原理(又称虚位移原理、虚力原理)
用于讨论静力学问题非常方便,是分析力学的
基础。
? 因为虚功原理中平衡力系与可能位移无关,
所以既可把位移视为虚设的,也可把力系视为
虚设的。
? 根据虚设的对象不同,虚功原理有两种应
用形式,解决两类不同的问题。
? 虚功原理的两种不同应用,不但适用于刚
体体系,也适用于变形体体系。
( 4)、虚设(拟)力状态 —— 求位移
? 例 1:
? 图示简支梁,支
座 A向上移动一已知
距离 c1,现在拟求 B点
的竖向线位移 Δ B。
? 解, 已给位移状态 ;
? 虚设力状态,在拟求
位移 Δ B方向上加一单
位荷载 FP=1,形成平
衡力系。
c1
△ B
FP=1
FR1= - b/a
虚功方程,△ B · 1+c1·F R1 =0
由平衡方程求出,FR1 = - b/a
△ B=FP·c 1=b/a ·c1
注:
a、虚设力系,应用虚功原理,称为虚力原理。若
设 FP=1,称为虚单位荷载法。
b、虚功方程在此实质上是几何方程。即利用静
力平衡求解几何问题。
c、方程求解的关键,在于拟求 ⊿ 方向虚设单位
荷载,利用力系平衡求出与 c1相应的 R1,即利用平衡
方程求解几何问题。
? 上述方法也可称为,单位荷载法”
c1
△ B
FP=1
FR1= - b/a
? d,通过上例可推出静定结构支座移
动时,位移计算的一般公式。
? 注:因为静定结构在支座移动作用下,不
产生反力、内力,也不引起应变;所以属于刚
体体系的位移问题,可用刚体虚功原理求解。
4、支座移动时静定结构的位移计算
1 0 (6 - 3 )RK KFc? ? ? ??
当支座有给定位移 ck时(可能不止一个),
( a) 沿拟求位移 ⊿ 方向虚设相应单位荷载,并求出单
位荷载作用下的支座反力 FRK。
( b) 令虚拟力系在实际位移上作虚功,写虚功方程:
( 6 - 4 )RK KFc? ? ? ??
( c) 由虚功方程,解出所求位移:
例,
图示三铰刚架,
支座 B下沉 c1,向
右移动 c2。求铰 C
的竖向位移 ⊿ CV和
铰左右截面的相对
角位移 φC。
l/2 l/2
l
c1
c2
⊿ CV
φC
l/2 l/2
l
c1
c2
⊿ CV
φC
实际状态
FP=1
1/2 1/2
1/4 1/4
虚拟状态
⊿ CV =-∑FRKcK= - [-1/2× c1 – 1/4× c2 ]= c1/2+ c2/4 (↓)
l/2 l/2
l
c1
c2
⊿ CV
φC
实际状态
φC=-∑FRK cK= - [-1/l× c2]= c2 /l ( )
FP=1
1 /l 1 /l
§ 6-2 结构位移计算的一般公式
? 结构属于变形体,在一般情况下,结构内部产
生应变。结构的位移计算问题,属于变形体体系
的位移计算问题。采用方法仍以虚功法最为普遍。
? 推导位移计算一般公式有几种途径:
? 1、根据变形体体系的虚功方程,导出位移计算的一
般公式。( § 6-8)
? 2、应用刚体体系的虚功原理,导出局部变形的位移
公式;然后应用叠加原理,导出变形体体系的位移计算公
式。
? 一、局部变形时静定结构的位移计算举例
? 设静定结构中的某个微段出现局部变形,微段两端
相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有变形,
仍然是刚体。
? 因此,当某个微段有局部变形时,静定结构的位
移计算问题可以归结为当该处相邻截面有相对位移时
刚体体系的位移计算问题。举例说明。
书例 6-1:悬臂梁在截面 B有相对转角 θ, 求 A点竖
向位移 Δ AV( θ 是由于制造误差或其他原因造成的 ) 。
Δ
ABC
a a
θ
A1
Δ
ABC θ
A1
ABC
M 1
解,①, 在 B 处 加 铰
( 将实际位移状态明确地表
示为刚体体系的位移状态 ) 。
②, A点加单位荷载
FP=1,在铰 B处虚设一对弯
矩 M( 为保持平衡 )
M=1?a
( 6-5)
③,虚功方程:
1× Δ AV- M× θ =0
Δ AV = Mθ = aθ (↑ )
书例 6-1:悬臂梁在截面 B有相对剪切位移 η,求 A
点与杆轴成 α角的斜向位移分量 Δ ( η是由于制造误差
或其他原因造成的 ) 。
ABC
a a
η
A1B1
α
Δ
ABC
解,①, 在 B截面处加
机构如图 ( 将实际位移状态
明确地表示为刚体体系的位
移状态 ) 。
η
A1B1
α
Δ
②, A点加单位荷载
FP=1,在铰 B处虚设一对剪
力 FQ( 为保持平衡 )
FQ= sina
ABC
1
FQ
③,虚功方程:
1× Δ - FQ× η =0
Δ = FQ η
二、局部变形时的位移公式
基本思路:
? 把局部变形时的位移计算问题转化为刚体体系的位
移计算问题。
? 如图所示,已知只有 B点附近的微段 ds 有局部变形,
结构其他部分没有变形。求 A点沿 α方向的位移分量 d⊿
? d⊿ 局部变形有三部分:
? 轴向伸长应变 ε
? 平均剪切应变 γ0
? 轴线曲率 κ ( κ = 1/R,R为杆件轴向
? 变形后的曲率半径)
位移状态(实际) 力状态(虚拟)
( 1) 两端截面的三种相对位移 相应内力
相对轴向位移 dλ=ε d s
相对剪切位移 dη=γ0ds
相对转角 dθ=d s /R=κ d s
轴力 FN
剪力 FQ
弯矩 M
相对位移 dλ,dη,dθ是描述微段总变形的
三个基本参数。
基本思路:
dη
AB C
AB C
s ds A1
α
dΔ
dθ
dλ
ds dλ
B C
dη
dθ
R
FN FN
FQ
FQ
MM1 α
FN
FQ
M
? ( 2) d s趋近于 0,三种相对位移还存在。
相当于整个结构除 B截面发生集中变形( dλ,dη,
dθ)外,其他部分都是刚体,没有任何变形。
属刚体体系的位移问题。
? ( 3) 应用刚体体系虚功原理,根据截面 B
的相对位移可分别求出点 A的位移 d⊿,局部变
形位移公式:
0
1
()
NQ
NQ
d M d F d F d
d M F F ds
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
( 6-8)
三、结构位移计算的一般公式
0() NQ
ll
d M F F d s? ? ?? ? ? ? ? ???
0() NQ
l
M F F d s? ? ?? ? ? ?? ?
由叠加原理:
总位移 ⊿ =叠加每个微段变形在该点 (A)处引起的微小
位移 d⊿
即:
若结构有多个杆件,则:
( 6-9)
单位荷载虚功 = 所求位移
考虑支座有给定位移,则可得出结构位移
计算的一般公式:
0() N Q R K KM F F d s F c? ? ?? ? ? ? ????
其中包含:
弯曲变形对位移的影响 M d s??? ? ? ( 6-11)
轴向变形对位移的影响 NF d s??? ? ? ( 6-12)
剪切变形对位移的影响
0QF d s??? ? ?
( 6-13)
支座移动对位移的影响
( 6-10)
RK KFc? ? ??
( 6-14)
讨论:
( 1),式( 6-10)根据刚体体系虚功原理
和叠加原理导出,适用于小变形情况。
( 2)、式 (6-10)实质上是几何方程,给出已
知变形(内部变形 κ,ε,γ0和支座位移 ck),与拟
求位移 ⊿ 之间的关系。
( 3)、式( 6-10)是普遍公式。(因为在推
导中未涉及变形因素、结构类型、材料性质)可
考虑任何情况:
①,变形类型:弯曲、轴向、剪切变形。
②,产生变形的因素:荷载、温度改变、支座移
动等。
③,结构类型:梁、刚架、拱、桁架等静定、超
静定。
④,材料性质:弹性、非弹性。
( 4)、变形体虚功原理:
将式( 6-10)改写为:
01 ( )R K N QKF c M F F d s? ? ?? ? ? ? ? ??? ?
( 6-15)
外力虚功 W = 内虚功 Wi ( 6-16)
可视为变形体虚功原理的一种表达形式。
四、结构位移计算的一般步骤
已知结构杆件各微段的应变 κ,ε,γ0(根据引
起变形的原因而定),支座移动 ck。
求结构某点沿某方向的位移 ⊿ 。
1、沿欲求 ⊿ 方向设 FP=1。
2、根据平衡条件求出 FP=1作用下的 M,FN、
FQ,FR。
3、根据公式( 6-10)可求出 ⊿ 。
注意正负号:
②,公式( 8-10)中各乘积表示,力与变形方向一致,
乘积为正,反之为负。
①,求得 ⊿ 为正,表明位移 ⊿ 的实际方向与所设单
位荷载方向一致。
五,广义位移计算
广义位移:
某截面沿某方向的线位移;
某截面的角位移;
某两个截面的相对位移;等。
在利用( 6-10)求广义位移
时,必须根据广义位移的性质
虚设广义单位荷载。
A B
q
θA θB
Δ
A BMA =1
MB=1
如:右图所示简支梁,求 AB两截面
的相对角位移。
求解过程,可先求 θA和 θB,再叠加。
也可直接求出 θAB= θA+ θB
广义位移和广义虚单位荷载示例
广义位移 广义虚单位荷载 (外力)虚功
B
A
ΔA
ΔB
B
A
FP=1
FP=1
1·⊿ A+1·⊿ B
=⊿ A+⊿ B
=⊿ AB
A BlAB BAθ
AB
ΔA
ΔB
lAB
1
lAB
1
1/lAB·⊿ A+ 1/lAB·⊿ B
=(⊿ A+⊿ B)/ lAB
=θAB
广义位移和广义虚单位荷载示例
广义位移 广义虚单位荷载 (外力)虚功
A B BA
CC
li
lj
iA?
iB?
jB?
jC?
1
li
1
li
1
lj
1
lj
1/li·⊿ Ai + 1/li·⊿ Bi
+1/lj·⊿ Aj+
1/lj·⊿ Aj
= (⊿ Ai+⊿ Bi)/ li+
(⊿ Bj+⊿ Cj)/ lj
=θi+ θj
= θij
C
A B
LC?
RC?
C?
C
A B
1 1 1· θ
CL+1· θ CR
= θ CL + θ CR
= θ C
§ 6-3 荷载作用下的位移计算
? 1、荷载作用下的结构位移计算公式
? 根据公式 ( 6-9)
( 6 - 9 ) K NQM d s F d s F d s? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?
本节讨论中,设材料是线弹性的。在此,微
段应变 κ,ε, γ0 是由荷载引起的(实际位移状
态),由荷载 — 内力 — 应力 — 应变顺序求出。
? 由材料力学公式可知:
? 荷载作用下相应的弯曲、拉伸、剪切
应变可表示为:
弯曲应变,κ = MP /EI
轴向应变,ε = FNP /EA (6-18)
剪切应变,γ0= k FQP /GA
? 式中:
? ①,FNP,FQP, MP是荷载作用下,结构各截
面上的轴力,剪力,弯矩。注意这是在实际状
态下的内力。
? ②,E,G材料的弹性模量和剪切弹性模量。
? ③,A,I杆件截面的面积和惯性矩。
? ④,EA,GA, EI杆件截面的抗拉,抗剪,抗
弯刚度。
? ⑤,k是与截面形状有关的系数(剪应力分布
不均匀系数)
? 计算公式
? ( 6-8)dA
b
s
I
Ak
A
?? 2
2
2
? 将 ( 6-18) 代入 ( 6-9) 可得荷载作用下平面
杆件结构弹性位移计算的一般公式:
ds
EI
MMds
GA
FFk
ds
EA
FF PQPQNPN
KP ? ?? ?? ? ????
( 6-19)
将位移计算问题转化为两种状态下的内力计算问题。
?正负号规定:
?FN, FNP 拉力为正;
?FQ, FQP 同材料力学
?M,MP使杆件同侧纤维受拉时,乘积为正。
2、各类结构的位移计算公式
? ( 1)、梁和刚架:位移主要由弯曲变形引起。
( 6- 20 )PMM dsEI?? ? ?
( 2)、桁架:各杆只有轴力,且各杆截面和
各杆轴力沿杆长一般为常数。
( 6 - 2 1 ) NNN P N PF F F F ldsE A E A? ? ????
? ( 3)、组合结构:一些杆件主要受弯,一些杆件只
有轴力。
( 6 - 2 2 ) N NPP F F lMM ds
E I E A
? ? ????
?( 4)、拱:
? ① 扁平拱及拱的合理轴线与拱轴相近时:
( 6 - 2 3 ) N NPP FFMM d s d s
E I E A
? ? ?????
② 通常情况:
( 6- 20 ) PMM dsEI?? ? ?
思考,
? (1)、公式( 6-10)与( 6-19)中各量值的
物理意义。
? ( 2)、公式( 6-10)的适用条件?公式
( 6-19)的适用条件?
? ( 3)、若体系为非弹性体系,荷载作用下
计算结构的位移是否可用公式( 6-19)?
? 例, 简支梁的位移计算。
? 求图示简支梁中点 C
的竖向位移 ⊿ CV 和截面
B的转角 φB。
?解,求 C点的竖向位移。
? 虚拟状态如图; FP=1
1/2
实际状态 虚拟状态
MP=q(lx-x2)/2 M=x/2
FQP=q(l-2x)/2 FQ=1/2
因对称性,只计算一半。
§ 6-4 荷载作用下的位移计算举例
? 讨论剪切变形和弯曲变形对位移的影响:
GA
k ql
EI
ql
dxxl
q
GA
k
dxxlx
qx
EI
l
CV
8384
5
)2(
22
11
2
)(
22
1
2
24
2
2/
0
??????
??????
?
?
? 设简支梁为矩形截面,k=1.2,I /A= h2 / 12,
? 横向变形系数 μ=1/3,E/G=2(1+ μ)=8/3。
? ⊿ γ / ⊿ κ = ( kql2/8GA)/(5ql4/384EI)
? =9.6/l2·k·E/G ·I /A = 2.56(h/l)2
?当 h/l =1/10时,则,⊿ γ / ⊿ κ =2.56﹪
对一般梁来说,可略去剪切变形对位移的影响。
? 但当梁 h/l> 1/5时,则,⊿ γ / ⊿ κ =10.2﹪
? 对于深梁,剪切变形对位移的影响不可忽略。
?求截面 B的转角 φB 。
? 虚拟状态如图所示。
M=1
1/l
实际状态 虚拟状态
MP=q(lx-x2)/2 M= - x/l
)(
逆时针
EI
qldxxlxq
l
x
EI
l
B 24)(2)(
1 32
0
??????? ??
计算结果为负,说明实际位移与虚拟力方向相反。
? 例,
图示一屋架,屋
架的上弦杆和其他压
杆采用钢筋混凝土杆,
下弦杆和其他拉杆采
用钢杆。
试求顶点 C的竖
向位移。
解:
( 1)求 FNP
先将均布荷载 q化为结点荷载 FP=ql/4。
求结点荷载作用下的 FNP 。
0.278l
0.444l
1
1 1
1/2 1/2
FNP
3.00
2.0 2.0
4.50
0.278l
0.444l
1
0.5 0.5
FN( 2) 求
§ 6-5、图乘法
?一、图乘法的适用条件
? 计算弯曲变形引起的位移时,要求下列积分:
dsEIMM P? ???
? 符合下列条件时,积分运算可转化为图乘运算,比较
简便。适用条件为:
?( 1)、杆轴为直线;
?( 2)、杆段 EI = 常数;
?( 3),M和 MP中至少有一个是直线图形。
二、图乘公式
? 图示为 AB杆的两个弯矩
图。
? M为直线图形,MP 为任
意图形。
? 该杆截面抗弯刚度 EI=常数。
O
O’
MP图
αM图由 M图可知:
M= y= x tanα
dx
dA=MPdx
y
x
C
xC
yC
A B
1P
P
MM d s M M d x
E I E I? ? ???
1 ta n
Px M d xEI ?? ? ??
1 ta n x d A
EI ??? ? Cx d A A x???
⊿ =
xC tana=yC
⊿ =∫(M MP /EI)ds=
由此可见,当满足上述三个条件时,积分式
的值 ⊿ 就等于 MP图的面积 A乘其形心所对应 M
图上的竖标 yC,再除以 EI。
正负号规定:
A与 yC在基线的同一侧时为正,反之为负。
AxC tana1EI
·A·y C1EI
三、应用图乘法计算位移时的几点注意
? 1、应用条件:
? 杆段必须是分段等截面; EI不能是 x的函数;
两图形中必有一个是直线图形,yC取自直线图
形中。
? 2、正负号规定:
? A与 yC同侧,乘积 A yC取正; A与 yC不同侧,
则乘积 A yC取负。
? 3、几种常用图形的面积和形心位置:
? 见书 P.126,图 6-21,注意正面积和斜面积是
相同的。
? 曲线图形要注意图形顶点位置。
? 4、如果两个图形均为直线图形,则标距 yC
可取自任何一个图形。
? 5、当 yC所属图形是由
几段直线组成的折线图形,
则图乘应分段进行。在折
点处分段图乘,然后叠加。
(为什么?)
A1
y1
A2
y2
A3
y3
? 当杆件为阶段变化杆
件时(各段 EI=常数),应
在突变处分段图乘,然后叠
加。 (为什么?)
6、把复杂图形分为简单图形
(使其易于计算面积和判断形心位置)
? 取作面积的图形有时是不规则图形,面积
的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形
分解为简单图形(规则图形)分别图乘后再叠
加。
? ( 1)、如两图形均为梯
形,不必求梯形形心,可将
其分解为两个标准三角形进
行计算。A B
C D
a b M
P
l
c d M
C1
yC1
C2
yC2
A
C
D
MP’C1a
A
D
B
b MP’’C
2
MP=MP’+MP’’
⊿ =(1/EI)∫MMPds
=(1/EI) ∫M(MP’+MP’’)ds
⊿ =(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2]
⊿ = l6EI (2ac+2bd+ab+bc)
? (2)、左图也可分为两个
标准三角形,进行图乘运
算。A B
C
D
a
b
MP
c
d
M
l
C1
yC1
yC2
C2
C1a
bC2
MP’
MP’’
⊿ =(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2]
其中,
yC1=2c/3 - d/3
yC2=2d/3 - c/3
⊿ = l6EI (2ac+2bd-ab-bc)
( 3)、一般情况
? 右图所示为某一
段杆 (AB)的 MP图。可
将此图分解为三个图
形,均为标准图形,
然后与 M图图乘,图
乘后叠加。
四、示例 ? 例 1、求悬臂梁中点 C的挠度
⊿ CV,EI=常数。
? 解,
? ( 1),设虚拟力状态如图,
作 M和 MP。由于均为直线图形,
故 AP可任取。
FP
l/2 l/2
⊿ CV
FP
MP
FP l
1 l/2
M
A
5FP l/6 ?M,A=1/2× l/2× l/2=l2/8
?MP,yC=5/6× FP l
?⊿ CV=A·yC /EI
? =(l2/8× 5/6× FP l)/EI
? =5FP l3/48EI (↓)
? (2),讨论
? 若:
? AP=1/2× FPl× l=Pl2/2
? yC=1/3× l/2=l/6
? ⊿ CV=AP·y C /EI
? =(FPl2/2× l/6)/EI
? =FP l3/12EI(↓)
? 对否?错在哪里?
FP
l/2 l/2
⊿ CV
FP
MP
FP lAP
1 l/2
M
l/6
FP
l/2 l/2
⊿ CV
FP AP
1 l/2
3、正确的作法
AP1=1/2× FP l× l/2=FP l2/4 y1=l/3
AP2=1/2× FP l/2× l/2=FP l2/8 y2=l/6
AP3=1/2× FP l/2× l/2=FP l2/8 y3=0
FP l
?⊿ CV=∑AP·y C/EI
=(FP l2/4× l/3+ FP
l2/8×
l/6+FP l2/8 × 0)/EI
=5FP l3/48EI (↓)
60kN
12kN例,
图示刚架,用
图乘法求 B端转角
θB ; CB杆中点 D的
竖向线位移 ⊿ DV。
各杆 EI=常数。
EI=常数
解,
? 1、作荷载作用下结构的弯矩图。
72kN
72kN
12kN
252 45
90 MP图 (kN?m)
?2、作虚拟力状态下的图 M。
M=11
M
?3、求 θB。图乘时注意图形分块。
C1
C2 y1 y
2
C3
C4
y3
y4
252 45
90 MP图 (kN?m)
1
?4、作虚拟力状态下的图 M。
?5、求 ⊿ CV,图乘时注意图形分块。
3
M (m)
81
C1
C2
C3
C4
C5
y1 y
2
y3
y4
y5
45/4
例,q=16kN/m
64kN?m 64kN?m
16kN?m
16kN?m
? 求铰 C左右截面相
对转角 θC。 各杆
?EI=5× 104 kN·m 2 。
?解:
? 作荷载作用下的弯矩
图;虚拟力作用下的弯矩
图。
? (注意:①斜杆弯矩
图的做法;②各弯矩图的
单位。)
32 32
? θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1)
? -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI
? kN·m m kN/m2
? =0.005867 (弧度)
? 方向与虚拟力方向一致。
§ 6-6、静定结构温度变化时的位移计算
? 平面杆件结构位移计算的一般公式
6)-(6 dsMdsFdsF QNK ?????????? ? ?? ?? ? ???
在此,ε,γ,κ由温度作用引起。
?注意静定结构特征:
? ① 组成:无多余约束的几何不变体系;
? ② 静力:温度作用下静定结构无反力、内力;
杆件有变形,结构有位移。
? 温度作用时由于材料热胀冷缩,使结构产生变
形和位移。
1、温度变化时静定结构的特点:
? ( 1)、有变形(热胀冷缩)
? 均匀温度改变(轴向变形);
? 不均匀温度改变(弯曲、轴向变形);
? 无剪切变形。
? ( 2)、无反力、内力。
2、微段由于温度改变产生的变形计算
? 设温度沿截面厚度直线变化。
? ( 1)轴向伸长(缩短)变形:
? 设杆件上边缘温度升高 t10,下
边缘升高 t20。形心处轴线温度:
? t0 =(h1t2+h2t1)/h
? (截面不对称于形心)
? t0 =(t2+t1)/2
? (截面对称于形心)
? du = ε ds = α·t0 ds
? α —— 材料线膨胀系数。
ds
形心轴
+t1
+t2
t0
h1
h2
αt1ds
αt2ds
du
dφ
(2)、由上下边缘温差产生的弯曲变形:
? 上下边缘温差
? ⊿ t = t2 – t1
? dφ= κds = α(t2-t1)ds/h= α⊿ t ds /h
( 3)温度作用不产生剪切变形
γds =0
3、温度作用时位移计算公式
0 ( 6 - 2 8 a ) N
tF t d s M d s
h
?? ??? ? ? ? ?????
0 d s ( 6 - 2 8 b ) N
tt F d s M
h
?? ??? ? ? ? ??? ??
如 t0,⊿ t和 h沿每杆杆长为常数,则:
? ① 正负号:比较虚拟状态的变形与实际状态
中由于温度变化引起的变形,若两者变形方向相
同,则取正号,反之,则取负号。
? ② 刚架(梁)中由温度变化引起的轴向变形
不可忽略。
?例:
? 图示刚架,施工
时温度为 200C,试
求冬季当外侧温度
为 -100C,内侧温度
为 00C时,点 A的竖
向位移 ⊿ AV,已知
α=10-5,h=40cm
(矩形截面)。 l=4m
A
00C
-100C
?外侧温度改变, t1= - 10 – 20 = - 300
?内侧温度改变,t2 = 0 – 20 = - 200
-300C
-200C
l=4m
A
-300C
-200C
FP=1
FN
FN=0
F N
=
-1
FP=1l
M
?t0=(t1+t2)/2=( -30–20) /2= - 250
?⊿ t= t2 - t1= - 20 -( - 30) =100
?⊿ AV= α× (-25) × (-1) × l+(-)α× 10/h×
? (1/2× l× l+l× l)
? = - 0.5 cm ( ↑ )
提问:
? ( 1)、若当结构某些杆件发生尺寸制造
误差,要求结构的位移,应如何处理?
? 应根据位移计算的一般公式进行讨论。
? 特点:除有初应变(制造误差)的杆件外,
其余杆件不产生任何应变。在有初应变的杆件
中找 κ,ε,γ即可。
? ?? ?? ? ?????? dsFdsFdsM QN ???
? ( 2)、静定结构由荷载、温度改变、支
座移动、尺寸误差、材料涨缩等因素共
同作用下,产生的位移应如何计算?
? 可先分开计算,在进行叠加
§ 6-11 线性变形体系的互等定理
状态 Ⅰ 状态 Ⅱ
一、功的互等定理 贝蒂( E,Betti 意 1823—1892)定理
FP1FP1
FR1
FP2
⊿ 21
⊿ 12
⊿ 12
ds ds
令状态 Ⅰ 上的力系在状态 Ⅱ 的位移上作虚功
( a ) dsEI MMdsGA kFFdsEA FFW QQNN ? ?? ?? ? ??? 21212112
令状态 Ⅱ 上的力系在状态 Ⅰ 的位移上作虚功
( b ) dsEI MMdsGA kFFdsEA FFW QQNN ? ?? ?? ? ??? 12121221
比较( a)、( b)两式,知:
W12=W 21 ( 6-66)
∑FP1⊿ 12= ∑FP2⊿ 21
或写为:
?功的互等定理。
? 在任一线性变形体系中,第
一状态外力在第二状态位移上作
的虚功 W12,等于第二状态上的
外力在第一状态上作的虚功 W21。
? 应用时注意:
?
? 广义力 广义位移对应
? 由,W12=FP1·⊿ 12, W21=FP2·⊿ 21
? 有,W12=W21,FP1·⊿ 12=FP2·⊿ 12
FP1
12 2
M2 M2
1
⊿ 21 ⊿ 12
?功的互等定理应用条件:
?( 1)材料弹性,应力与应变成正比。
( 2)小变形,不影响力的作用。 即
为线性弹性体系。
?思考:
? 功的互等定理必须应用于线性弹性体系,为
什么?
? 功的互等定理应用条件与虚功原理有何不同?
二、位移互等定理
(位移影响系数互等)
? 位移互等定理( Maxwell定理)
? 功的互等定理的一个特殊情况。
? 位移互等定理:
? 在任一线性弹性体系中,由荷载 FP1
所引起的与荷载 FP2相应的位移影响系数
δ21,等于由荷载 FP2所引起的与 FP1相应的
位移影响系数 δ12。
? 两种状态如图示
? δij— 单位力 FPj=1在 i方
向上引起的与 FPi相应的位
移,也称位移系数。
? ⊿ ij= δij× FPj
? 由功的互等定理
? W12 = W21
? FP1·δ12= FP2·δ21
? ∵ FP1= FP2=1
? ∴ δ12= δ21 (6-67)
? 注,数值相同,量纲相同。
FP1=1
FP2=1
δ21
δ12
? 广义位移系数量纲(单位)
δij=
位移单位(实际)
引起位移的广义力单位(实际)
? 例:如图所示,根据位移互等定理,可求得:
? θA=FPl2/16EI fC= Ml2/16EI
? 现 FP=M=1,
? 故,θA= fC= l2/16EI (1/kN=1/力)
? θA,单位力引起的角位移;
? fC,单位力偶引起的线位移。
? 位移含义不同,但数值相同,量纲相同。
FP=1
l/2 l/2
C
M=1
δ21=θA δ12=fC
三、反力互等定理
? 反力互等定理(瑞利 Regleigh 定理)
? 功的互等定理的一种特殊情况。
? 用以说明在超静定结构中,假设两个
支座分别发生单位位移,两种状态中反
力的相互关系。
? 同一线性变形体系中的两种变形状态
? rij— 支座 j发生单位位移 ⊿ j=1时,在支座 i
处产生的反力,也称反力影响系数。
? rij=Rij/⊿ j
⊿ 1=1
r11
⊿ 2=1
r22
r21
r12
? 由功的互等定理:
? W12 = W21
? ∵ ⊿ 1= ⊿ 2=1
? r12·⊿ 1= r21·⊿ 2
? ∴ r12= r21 (6-68)
? 即为反力互等定理。
反力互等定理
? 在任一线性变形体系中,由支座位移
⊿ 1所引起的,与支座位移 ⊿ 2相应的反力
影响系数 r21,等于由支座位移 ⊿ 2所引起
的与位移 ⊿ 1相应的反力影响系数 r12。
? 注:数值相等,量纲相等。
? 广义反力系数量纲(单位):
? r12= 反力 R的单位(实际力的单位)
? 位移 ⊿ 的单位(实际力的单位)
? 定理对任何两种
支座都适用,注意
反力和位移之间的
相互对应关系。
? 如图:
Δ1=φ1=1
Δ2=1
Δ3=1
r12
r21r31
r13
r23
r32
?r12= r21
?r13 = r31
? r23 = r32
?思考:
? 反力互等定理应用于静定结构,情况将如何?
如以简支梁为例:
⊿ 1=1
⊿ 2=1
r12
r21 = 0
= 0
四、反力与位移互等定理
? 功的互等定理的又一特殊情况。
? 说明一种状态的反力与另一状态中的
位移具有数值上的 互等关系。
习题课 Ⅰ,静定结构位移计算
? 重点:
? 荷载作用下梁和刚架的位移计算。
? 其他因素作用下位移计算的一般原则。
? 要求:
? 广义虚拟力状态选择。
? 明确虚功原理的使用范围,互等定理
的使用范围。
? 明确图乘法的适用条件,能够熟练应
用。
复习:
? 位移计算的一般公式:
? 提问:此公式的理论依据是什么?
? ( 1)式中包括哪两套物理量?
? 位移,应变( ⊿ c ε γ0 κ ) 给定的
? 外力,内力( FP R FN FQ M ) 虚拟的
? ( 2)应用范围?
? ( 3)位移计算公式在各种具体情况下的简化
公式:
0 KN Q R KF d s F d s M d s F c? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
? 荷载作用:
QN QPNP Pk F FFF MMd s d s d s
E A G A E I
? ? ? ?? ? ?? ? ?
RK KFc? ? ? ??
0 N
tt F d s M d s
h
?? ??? ? ? ??? ??
? 支座移动:
? 温度变化:
? ( 4)、图乘公式:
? 注意其适用条件,正负号,图形分段、分
块。熟练其计算方法。
? ( 5)、互等定理:
? 功的互等定理,W12 = W21
? 位移互等定理,δ12= δ21
? 反力互等定理,r12= r21
? 注意其适用条件,应用范围,加深理解。
0
1 Ay
EI
? ? ??
思考题,判断下列图乘是否正确?
? 图乘结果,
12()
3 h l cEI ? ? ?
1 1 1 3()
2 3 4a c e d a eEI ? ? ? ? ? ? ? ?
思考题,判断下列图乘是否正确?
? 图乘结果,
12()
3
h l c
EI
? ? ?
1 1 2 1 2()
2 3 2 3
a l c b l d
EI
? ? ? ? ? ? ? ? ?
结构位移计算与虚功
§ 6-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
1、推导位移计算一般公式的基本思路
第一步:由刚体体系的虚位移原理(理论力学)得
出刚体体系的虚力原理。并由此讨论静定结构由于支座
移动而引起的位移计算问题。
第二步:讨论静定结构由于局部变形引起的位移。
由刚体体系的虚力原理导出其位移计算公式。
第三步:讨论静定结构由于整体变形引起的位移。应
用第二步导出的局部变形引起的位移计算公式,再应用叠
加原理就可以推导出整体变形引起的位移计算公式。
? 2、结构位移计算概述
? ( 1)、结构位移的种类
? 绝对位移, 线位移和角位移 —— 杆件结构中某一截
面位置或方向的改变。
? 相对位移, 相对线位移和相对角位移 —— 两个截面
位移的差值或和。
? 广义位移, 绝对位移和相对位移的统称 。
FP
C’
D
D’
A
B
C
⊿ CH
⊿ CV
φC
φCD
⊿ DV
⊿ CD
( 2)、引起位移的原因
*荷载作用;
*温度变化和材料涨缩;
*支座沉陷和制造误差。
( 3)、位移计算的目的
*检验结构的刚度:位移是否超过允许的位移限制。
* 为超静定结构计算打基础。
* 其它:如施工措施、建筑起拱、预应力等。
( 4)、体系(结构)的物理特性
? 线性变形体系(线弹性体):
? *应力、应变满足虎克定律;
? *变形微小:变形前后结构尺寸、诸力作用
? 位置不变,位移计算可用叠加原理;
? *体系几何不变,约束为理想约束。
? 非线性体系:
? * 物理非线性;
? *几何非线性(大变形)。
( 5)、变形体位移计算方法及应满足的条件
? 方法:
? 用虚功原理推导出位移计算公式。
? 计算时应满足的条件:
? *静力平衡;
? *变形协调条件;
? *物理条件。
3、虚功原理的一种应用形式
—— 虚力原理( 虚设力系,求位移)
( 1)虚功的概念
功的两个要素 —— 力和位移
W= FP× ⊿
功 =力 × 相应位移
FP
FP
W=2FP× (r× φ)
= M× φ
力与位移相互对应。
FP
FP
A
B
A’
O
B’
φr
虚功
使力作功的位移不是由该力本身引起的,则:
作功的力与相应于力的位移彼此独立无关。
虚功 = 力 × 相应于力的位移
独立无关
FP1
FP2
M1
FR1
FR2
FR3
力状态
⊿ 2
⊿ 1
φ1
c1
c2
c3
位移状态
( 2)两种状态
? 两种状态
? 既然力与位移彼此独立无关,故可将力与位移视为
两种独立的状态。
? 力状态;
? 位移状态 。
? 外力虚功可表示为:
? W = FP1× △ 1+FP2× △ 2+ M1× φ1
? + FR1× c1+ FR2× c1+ FR3× c3 =∑F P× ⊿
? FP,包括力状态中的所有力(力偶)及支座反力,
称为广义力。
? △,包括位移状态中的与广义力相应的广义位移。
( 3)、刚体体系虚功原理 (虚位移原理、虚力原理)
? 对于具有理想约束的刚体体系,其虚功原
理为,设体系上作用任意的平衡力系,又设体
系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移,
则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。
? 即,W = 0
? 理想约束 —— 约束力在可能位移上所作的功恒等于零的约束,
如:光滑铰链、刚性链杆等。
? 刚 体 —— 具有理想约束的质点系。刚体内力在刚体的可
能位移上所作的功恒为零。
? 虚功原理(又称虚位移原理、虚力原理)
用于讨论静力学问题非常方便,是分析力学的
基础。
? 因为虚功原理中平衡力系与可能位移无关,
所以既可把位移视为虚设的,也可把力系视为
虚设的。
? 根据虚设的对象不同,虚功原理有两种应
用形式,解决两类不同的问题。
? 虚功原理的两种不同应用,不但适用于刚
体体系,也适用于变形体体系。
( 4)、虚设(拟)力状态 —— 求位移
? 例 1:
? 图示简支梁,支
座 A向上移动一已知
距离 c1,现在拟求 B点
的竖向线位移 Δ B。
? 解, 已给位移状态 ;
? 虚设力状态,在拟求
位移 Δ B方向上加一单
位荷载 FP=1,形成平
衡力系。
c1
△ B
FP=1
FR1= - b/a
虚功方程,△ B · 1+c1·F R1 =0
由平衡方程求出,FR1 = - b/a
△ B=FP·c 1=b/a ·c1
注:
a、虚设力系,应用虚功原理,称为虚力原理。若
设 FP=1,称为虚单位荷载法。
b、虚功方程在此实质上是几何方程。即利用静
力平衡求解几何问题。
c、方程求解的关键,在于拟求 ⊿ 方向虚设单位
荷载,利用力系平衡求出与 c1相应的 R1,即利用平衡
方程求解几何问题。
? 上述方法也可称为,单位荷载法”
c1
△ B
FP=1
FR1= - b/a
? d,通过上例可推出静定结构支座移
动时,位移计算的一般公式。
? 注:因为静定结构在支座移动作用下,不
产生反力、内力,也不引起应变;所以属于刚
体体系的位移问题,可用刚体虚功原理求解。
4、支座移动时静定结构的位移计算
1 0 (6 - 3 )RK KFc? ? ? ??
当支座有给定位移 ck时(可能不止一个),
( a) 沿拟求位移 ⊿ 方向虚设相应单位荷载,并求出单
位荷载作用下的支座反力 FRK。
( b) 令虚拟力系在实际位移上作虚功,写虚功方程:
( 6 - 4 )RK KFc? ? ? ??
( c) 由虚功方程,解出所求位移:
例,
图示三铰刚架,
支座 B下沉 c1,向
右移动 c2。求铰 C
的竖向位移 ⊿ CV和
铰左右截面的相对
角位移 φC。
l/2 l/2
l
c1
c2
⊿ CV
φC
l/2 l/2
l
c1
c2
⊿ CV
φC
实际状态
FP=1
1/2 1/2
1/4 1/4
虚拟状态
⊿ CV =-∑FRKcK= - [-1/2× c1 – 1/4× c2 ]= c1/2+ c2/4 (↓)
l/2 l/2
l
c1
c2
⊿ CV
φC
实际状态
φC=-∑FRK cK= - [-1/l× c2]= c2 /l ( )
FP=1
1 /l 1 /l
§ 6-2 结构位移计算的一般公式
? 结构属于变形体,在一般情况下,结构内部产
生应变。结构的位移计算问题,属于变形体体系
的位移计算问题。采用方法仍以虚功法最为普遍。
? 推导位移计算一般公式有几种途径:
? 1、根据变形体体系的虚功方程,导出位移计算的一
般公式。( § 6-8)
? 2、应用刚体体系的虚功原理,导出局部变形的位移
公式;然后应用叠加原理,导出变形体体系的位移计算公
式。
? 一、局部变形时静定结构的位移计算举例
? 设静定结构中的某个微段出现局部变形,微段两端
相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有变形,
仍然是刚体。
? 因此,当某个微段有局部变形时,静定结构的位
移计算问题可以归结为当该处相邻截面有相对位移时
刚体体系的位移计算问题。举例说明。
书例 6-1:悬臂梁在截面 B有相对转角 θ, 求 A点竖
向位移 Δ AV( θ 是由于制造误差或其他原因造成的 ) 。
Δ
ABC
a a
θ
A1
Δ
ABC θ
A1
ABC
M 1
解,①, 在 B 处 加 铰
( 将实际位移状态明确地表
示为刚体体系的位移状态 ) 。
②, A点加单位荷载
FP=1,在铰 B处虚设一对弯
矩 M( 为保持平衡 )
M=1?a
( 6-5)
③,虚功方程:
1× Δ AV- M× θ =0
Δ AV = Mθ = aθ (↑ )
书例 6-1:悬臂梁在截面 B有相对剪切位移 η,求 A
点与杆轴成 α角的斜向位移分量 Δ ( η是由于制造误差
或其他原因造成的 ) 。
ABC
a a
η
A1B1
α
Δ
ABC
解,①, 在 B截面处加
机构如图 ( 将实际位移状态
明确地表示为刚体体系的位
移状态 ) 。
η
A1B1
α
Δ
②, A点加单位荷载
FP=1,在铰 B处虚设一对剪
力 FQ( 为保持平衡 )
FQ= sina
ABC
1
FQ
③,虚功方程:
1× Δ - FQ× η =0
Δ = FQ η
二、局部变形时的位移公式
基本思路:
? 把局部变形时的位移计算问题转化为刚体体系的位
移计算问题。
? 如图所示,已知只有 B点附近的微段 ds 有局部变形,
结构其他部分没有变形。求 A点沿 α方向的位移分量 d⊿
? d⊿ 局部变形有三部分:
? 轴向伸长应变 ε
? 平均剪切应变 γ0
? 轴线曲率 κ ( κ = 1/R,R为杆件轴向
? 变形后的曲率半径)
位移状态(实际) 力状态(虚拟)
( 1) 两端截面的三种相对位移 相应内力
相对轴向位移 dλ=ε d s
相对剪切位移 dη=γ0ds
相对转角 dθ=d s /R=κ d s
轴力 FN
剪力 FQ
弯矩 M
相对位移 dλ,dη,dθ是描述微段总变形的
三个基本参数。
基本思路:
dη
AB C
AB C
s ds A1
α
dΔ
dθ
dλ
ds dλ
B C
dη
dθ
R
FN FN
FQ
FQ
MM1 α
FN
FQ
M
? ( 2) d s趋近于 0,三种相对位移还存在。
相当于整个结构除 B截面发生集中变形( dλ,dη,
dθ)外,其他部分都是刚体,没有任何变形。
属刚体体系的位移问题。
? ( 3) 应用刚体体系虚功原理,根据截面 B
的相对位移可分别求出点 A的位移 d⊿,局部变
形位移公式:
0
1
()
NQ
NQ
d M d F d F d
d M F F ds
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
( 6-8)
三、结构位移计算的一般公式
0() NQ
ll
d M F F d s? ? ?? ? ? ? ? ???
0() NQ
l
M F F d s? ? ?? ? ? ?? ?
由叠加原理:
总位移 ⊿ =叠加每个微段变形在该点 (A)处引起的微小
位移 d⊿
即:
若结构有多个杆件,则:
( 6-9)
单位荷载虚功 = 所求位移
考虑支座有给定位移,则可得出结构位移
计算的一般公式:
0() N Q R K KM F F d s F c? ? ?? ? ? ? ????
其中包含:
弯曲变形对位移的影响 M d s??? ? ? ( 6-11)
轴向变形对位移的影响 NF d s??? ? ? ( 6-12)
剪切变形对位移的影响
0QF d s??? ? ?
( 6-13)
支座移动对位移的影响
( 6-10)
RK KFc? ? ??
( 6-14)
讨论:
( 1),式( 6-10)根据刚体体系虚功原理
和叠加原理导出,适用于小变形情况。
( 2)、式 (6-10)实质上是几何方程,给出已
知变形(内部变形 κ,ε,γ0和支座位移 ck),与拟
求位移 ⊿ 之间的关系。
( 3)、式( 6-10)是普遍公式。(因为在推
导中未涉及变形因素、结构类型、材料性质)可
考虑任何情况:
①,变形类型:弯曲、轴向、剪切变形。
②,产生变形的因素:荷载、温度改变、支座移
动等。
③,结构类型:梁、刚架、拱、桁架等静定、超
静定。
④,材料性质:弹性、非弹性。
( 4)、变形体虚功原理:
将式( 6-10)改写为:
01 ( )R K N QKF c M F F d s? ? ?? ? ? ? ? ??? ?
( 6-15)
外力虚功 W = 内虚功 Wi ( 6-16)
可视为变形体虚功原理的一种表达形式。
四、结构位移计算的一般步骤
已知结构杆件各微段的应变 κ,ε,γ0(根据引
起变形的原因而定),支座移动 ck。
求结构某点沿某方向的位移 ⊿ 。
1、沿欲求 ⊿ 方向设 FP=1。
2、根据平衡条件求出 FP=1作用下的 M,FN、
FQ,FR。
3、根据公式( 6-10)可求出 ⊿ 。
注意正负号:
②,公式( 8-10)中各乘积表示,力与变形方向一致,
乘积为正,反之为负。
①,求得 ⊿ 为正,表明位移 ⊿ 的实际方向与所设单
位荷载方向一致。
五,广义位移计算
广义位移:
某截面沿某方向的线位移;
某截面的角位移;
某两个截面的相对位移;等。
在利用( 6-10)求广义位移
时,必须根据广义位移的性质
虚设广义单位荷载。
A B
q
θA θB
Δ
A BMA =1
MB=1
如:右图所示简支梁,求 AB两截面
的相对角位移。
求解过程,可先求 θA和 θB,再叠加。
也可直接求出 θAB= θA+ θB
广义位移和广义虚单位荷载示例
广义位移 广义虚单位荷载 (外力)虚功
B
A
ΔA
ΔB
B
A
FP=1
FP=1
1·⊿ A+1·⊿ B
=⊿ A+⊿ B
=⊿ AB
A BlAB BAθ
AB
ΔA
ΔB
lAB
1
lAB
1
1/lAB·⊿ A+ 1/lAB·⊿ B
=(⊿ A+⊿ B)/ lAB
=θAB
广义位移和广义虚单位荷载示例
广义位移 广义虚单位荷载 (外力)虚功
A B BA
CC
li
lj
iA?
iB?
jB?
jC?
1
li
1
li
1
lj
1
lj
1/li·⊿ Ai + 1/li·⊿ Bi
+1/lj·⊿ Aj+
1/lj·⊿ Aj
= (⊿ Ai+⊿ Bi)/ li+
(⊿ Bj+⊿ Cj)/ lj
=θi+ θj
= θij
C
A B
LC?
RC?
C?
C
A B
1 1 1· θ
CL+1· θ CR
= θ CL + θ CR
= θ C
§ 6-3 荷载作用下的位移计算
? 1、荷载作用下的结构位移计算公式
? 根据公式 ( 6-9)
( 6 - 9 ) K NQM d s F d s F d s? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?
本节讨论中,设材料是线弹性的。在此,微
段应变 κ,ε, γ0 是由荷载引起的(实际位移状
态),由荷载 — 内力 — 应力 — 应变顺序求出。
? 由材料力学公式可知:
? 荷载作用下相应的弯曲、拉伸、剪切
应变可表示为:
弯曲应变,κ = MP /EI
轴向应变,ε = FNP /EA (6-18)
剪切应变,γ0= k FQP /GA
? 式中:
? ①,FNP,FQP, MP是荷载作用下,结构各截
面上的轴力,剪力,弯矩。注意这是在实际状
态下的内力。
? ②,E,G材料的弹性模量和剪切弹性模量。
? ③,A,I杆件截面的面积和惯性矩。
? ④,EA,GA, EI杆件截面的抗拉,抗剪,抗
弯刚度。
? ⑤,k是与截面形状有关的系数(剪应力分布
不均匀系数)
? 计算公式
? ( 6-8)dA
b
s
I
Ak
A
?? 2
2
2
? 将 ( 6-18) 代入 ( 6-9) 可得荷载作用下平面
杆件结构弹性位移计算的一般公式:
ds
EI
MMds
GA
FFk
ds
EA
FF PQPQNPN
KP ? ?? ?? ? ????
( 6-19)
将位移计算问题转化为两种状态下的内力计算问题。
?正负号规定:
?FN, FNP 拉力为正;
?FQ, FQP 同材料力学
?M,MP使杆件同侧纤维受拉时,乘积为正。
2、各类结构的位移计算公式
? ( 1)、梁和刚架:位移主要由弯曲变形引起。
( 6- 20 )PMM dsEI?? ? ?
( 2)、桁架:各杆只有轴力,且各杆截面和
各杆轴力沿杆长一般为常数。
( 6 - 2 1 ) NNN P N PF F F F ldsE A E A? ? ????
? ( 3)、组合结构:一些杆件主要受弯,一些杆件只
有轴力。
( 6 - 2 2 ) N NPP F F lMM ds
E I E A
? ? ????
?( 4)、拱:
? ① 扁平拱及拱的合理轴线与拱轴相近时:
( 6 - 2 3 ) N NPP FFMM d s d s
E I E A
? ? ?????
② 通常情况:
( 6- 20 ) PMM dsEI?? ? ?
思考,
? (1)、公式( 6-10)与( 6-19)中各量值的
物理意义。
? ( 2)、公式( 6-10)的适用条件?公式
( 6-19)的适用条件?
? ( 3)、若体系为非弹性体系,荷载作用下
计算结构的位移是否可用公式( 6-19)?
? 例, 简支梁的位移计算。
? 求图示简支梁中点 C
的竖向位移 ⊿ CV 和截面
B的转角 φB。
?解,求 C点的竖向位移。
? 虚拟状态如图; FP=1
1/2
实际状态 虚拟状态
MP=q(lx-x2)/2 M=x/2
FQP=q(l-2x)/2 FQ=1/2
因对称性,只计算一半。
§ 6-4 荷载作用下的位移计算举例
? 讨论剪切变形和弯曲变形对位移的影响:
GA
k ql
EI
ql
dxxl
q
GA
k
dxxlx
qx
EI
l
CV
8384
5
)2(
22
11
2
)(
22
1
2
24
2
2/
0
??????
??????
?
?
? 设简支梁为矩形截面,k=1.2,I /A= h2 / 12,
? 横向变形系数 μ=1/3,E/G=2(1+ μ)=8/3。
? ⊿ γ / ⊿ κ = ( kql2/8GA)/(5ql4/384EI)
? =9.6/l2·k·E/G ·I /A = 2.56(h/l)2
?当 h/l =1/10时,则,⊿ γ / ⊿ κ =2.56﹪
对一般梁来说,可略去剪切变形对位移的影响。
? 但当梁 h/l> 1/5时,则,⊿ γ / ⊿ κ =10.2﹪
? 对于深梁,剪切变形对位移的影响不可忽略。
?求截面 B的转角 φB 。
? 虚拟状态如图所示。
M=1
1/l
实际状态 虚拟状态
MP=q(lx-x2)/2 M= - x/l
)(
逆时针
EI
qldxxlxq
l
x
EI
l
B 24)(2)(
1 32
0
??????? ??
计算结果为负,说明实际位移与虚拟力方向相反。
? 例,
图示一屋架,屋
架的上弦杆和其他压
杆采用钢筋混凝土杆,
下弦杆和其他拉杆采
用钢杆。
试求顶点 C的竖
向位移。
解:
( 1)求 FNP
先将均布荷载 q化为结点荷载 FP=ql/4。
求结点荷载作用下的 FNP 。
0.278l
0.444l
1
1 1
1/2 1/2
FNP
3.00
2.0 2.0
4.50
0.278l
0.444l
1
0.5 0.5
FN( 2) 求
§ 6-5、图乘法
?一、图乘法的适用条件
? 计算弯曲变形引起的位移时,要求下列积分:
dsEIMM P? ???
? 符合下列条件时,积分运算可转化为图乘运算,比较
简便。适用条件为:
?( 1)、杆轴为直线;
?( 2)、杆段 EI = 常数;
?( 3),M和 MP中至少有一个是直线图形。
二、图乘公式
? 图示为 AB杆的两个弯矩
图。
? M为直线图形,MP 为任
意图形。
? 该杆截面抗弯刚度 EI=常数。
O
O’
MP图
αM图由 M图可知:
M= y= x tanα
dx
dA=MPdx
y
x
C
xC
yC
A B
1P
P
MM d s M M d x
E I E I? ? ???
1 ta n
Px M d xEI ?? ? ??
1 ta n x d A
EI ??? ? Cx d A A x???
⊿ =
xC tana=yC
⊿ =∫(M MP /EI)ds=
由此可见,当满足上述三个条件时,积分式
的值 ⊿ 就等于 MP图的面积 A乘其形心所对应 M
图上的竖标 yC,再除以 EI。
正负号规定:
A与 yC在基线的同一侧时为正,反之为负。
AxC tana1EI
·A·y C1EI
三、应用图乘法计算位移时的几点注意
? 1、应用条件:
? 杆段必须是分段等截面; EI不能是 x的函数;
两图形中必有一个是直线图形,yC取自直线图
形中。
? 2、正负号规定:
? A与 yC同侧,乘积 A yC取正; A与 yC不同侧,
则乘积 A yC取负。
? 3、几种常用图形的面积和形心位置:
? 见书 P.126,图 6-21,注意正面积和斜面积是
相同的。
? 曲线图形要注意图形顶点位置。
? 4、如果两个图形均为直线图形,则标距 yC
可取自任何一个图形。
? 5、当 yC所属图形是由
几段直线组成的折线图形,
则图乘应分段进行。在折
点处分段图乘,然后叠加。
(为什么?)
A1
y1
A2
y2
A3
y3
? 当杆件为阶段变化杆
件时(各段 EI=常数),应
在突变处分段图乘,然后叠
加。 (为什么?)
6、把复杂图形分为简单图形
(使其易于计算面积和判断形心位置)
? 取作面积的图形有时是不规则图形,面积
的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形
分解为简单图形(规则图形)分别图乘后再叠
加。
? ( 1)、如两图形均为梯
形,不必求梯形形心,可将
其分解为两个标准三角形进
行计算。A B
C D
a b M
P
l
c d M
C1
yC1
C2
yC2
A
C
D
MP’C1a
A
D
B
b MP’’C
2
MP=MP’+MP’’
⊿ =(1/EI)∫MMPds
=(1/EI) ∫M(MP’+MP’’)ds
⊿ =(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2]
⊿ = l6EI (2ac+2bd+ab+bc)
? (2)、左图也可分为两个
标准三角形,进行图乘运
算。A B
C
D
a
b
MP
c
d
M
l
C1
yC1
yC2
C2
C1a
bC2
MP’
MP’’
⊿ =(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2]
其中,
yC1=2c/3 - d/3
yC2=2d/3 - c/3
⊿ = l6EI (2ac+2bd-ab-bc)
( 3)、一般情况
? 右图所示为某一
段杆 (AB)的 MP图。可
将此图分解为三个图
形,均为标准图形,
然后与 M图图乘,图
乘后叠加。
四、示例 ? 例 1、求悬臂梁中点 C的挠度
⊿ CV,EI=常数。
? 解,
? ( 1),设虚拟力状态如图,
作 M和 MP。由于均为直线图形,
故 AP可任取。
FP
l/2 l/2
⊿ CV
FP
MP
FP l
1 l/2
M
A
5FP l/6 ?M,A=1/2× l/2× l/2=l2/8
?MP,yC=5/6× FP l
?⊿ CV=A·yC /EI
? =(l2/8× 5/6× FP l)/EI
? =5FP l3/48EI (↓)
? (2),讨论
? 若:
? AP=1/2× FPl× l=Pl2/2
? yC=1/3× l/2=l/6
? ⊿ CV=AP·y C /EI
? =(FPl2/2× l/6)/EI
? =FP l3/12EI(↓)
? 对否?错在哪里?
FP
l/2 l/2
⊿ CV
FP
MP
FP lAP
1 l/2
M
l/6
FP
l/2 l/2
⊿ CV
FP AP
1 l/2
3、正确的作法
AP1=1/2× FP l× l/2=FP l2/4 y1=l/3
AP2=1/2× FP l/2× l/2=FP l2/8 y2=l/6
AP3=1/2× FP l/2× l/2=FP l2/8 y3=0
FP l
?⊿ CV=∑AP·y C/EI
=(FP l2/4× l/3+ FP
l2/8×
l/6+FP l2/8 × 0)/EI
=5FP l3/48EI (↓)
60kN
12kN例,
图示刚架,用
图乘法求 B端转角
θB ; CB杆中点 D的
竖向线位移 ⊿ DV。
各杆 EI=常数。
EI=常数
解,
? 1、作荷载作用下结构的弯矩图。
72kN
72kN
12kN
252 45
90 MP图 (kN?m)
?2、作虚拟力状态下的图 M。
M=11
M
?3、求 θB。图乘时注意图形分块。
C1
C2 y1 y
2
C3
C4
y3
y4
252 45
90 MP图 (kN?m)
1
?4、作虚拟力状态下的图 M。
?5、求 ⊿ CV,图乘时注意图形分块。
3
M (m)
81
C1
C2
C3
C4
C5
y1 y
2
y3
y4
y5
45/4
例,q=16kN/m
64kN?m 64kN?m
16kN?m
16kN?m
? 求铰 C左右截面相
对转角 θC。 各杆
?EI=5× 104 kN·m 2 。
?解:
? 作荷载作用下的弯矩
图;虚拟力作用下的弯矩
图。
? (注意:①斜杆弯矩
图的做法;②各弯矩图的
单位。)
32 32
? θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1)
? -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI
? kN·m m kN/m2
? =0.005867 (弧度)
? 方向与虚拟力方向一致。
§ 6-6、静定结构温度变化时的位移计算
? 平面杆件结构位移计算的一般公式
6)-(6 dsMdsFdsF QNK ?????????? ? ?? ?? ? ???
在此,ε,γ,κ由温度作用引起。
?注意静定结构特征:
? ① 组成:无多余约束的几何不变体系;
? ② 静力:温度作用下静定结构无反力、内力;
杆件有变形,结构有位移。
? 温度作用时由于材料热胀冷缩,使结构产生变
形和位移。
1、温度变化时静定结构的特点:
? ( 1)、有变形(热胀冷缩)
? 均匀温度改变(轴向变形);
? 不均匀温度改变(弯曲、轴向变形);
? 无剪切变形。
? ( 2)、无反力、内力。
2、微段由于温度改变产生的变形计算
? 设温度沿截面厚度直线变化。
? ( 1)轴向伸长(缩短)变形:
? 设杆件上边缘温度升高 t10,下
边缘升高 t20。形心处轴线温度:
? t0 =(h1t2+h2t1)/h
? (截面不对称于形心)
? t0 =(t2+t1)/2
? (截面对称于形心)
? du = ε ds = α·t0 ds
? α —— 材料线膨胀系数。
ds
形心轴
+t1
+t2
t0
h1
h2
αt1ds
αt2ds
du
dφ
(2)、由上下边缘温差产生的弯曲变形:
? 上下边缘温差
? ⊿ t = t2 – t1
? dφ= κds = α(t2-t1)ds/h= α⊿ t ds /h
( 3)温度作用不产生剪切变形
γds =0
3、温度作用时位移计算公式
0 ( 6 - 2 8 a ) N
tF t d s M d s
h
?? ??? ? ? ? ?????
0 d s ( 6 - 2 8 b ) N
tt F d s M
h
?? ??? ? ? ? ??? ??
如 t0,⊿ t和 h沿每杆杆长为常数,则:
? ① 正负号:比较虚拟状态的变形与实际状态
中由于温度变化引起的变形,若两者变形方向相
同,则取正号,反之,则取负号。
? ② 刚架(梁)中由温度变化引起的轴向变形
不可忽略。
?例:
? 图示刚架,施工
时温度为 200C,试
求冬季当外侧温度
为 -100C,内侧温度
为 00C时,点 A的竖
向位移 ⊿ AV,已知
α=10-5,h=40cm
(矩形截面)。 l=4m
A
00C
-100C
?外侧温度改变, t1= - 10 – 20 = - 300
?内侧温度改变,t2 = 0 – 20 = - 200
-300C
-200C
l=4m
A
-300C
-200C
FP=1
FN
FN=0
F N
=
-1
FP=1l
M
?t0=(t1+t2)/2=( -30–20) /2= - 250
?⊿ t= t2 - t1= - 20 -( - 30) =100
?⊿ AV= α× (-25) × (-1) × l+(-)α× 10/h×
? (1/2× l× l+l× l)
? = - 0.5 cm ( ↑ )
提问:
? ( 1)、若当结构某些杆件发生尺寸制造
误差,要求结构的位移,应如何处理?
? 应根据位移计算的一般公式进行讨论。
? 特点:除有初应变(制造误差)的杆件外,
其余杆件不产生任何应变。在有初应变的杆件
中找 κ,ε,γ即可。
? ?? ?? ? ?????? dsFdsFdsM QN ???
? ( 2)、静定结构由荷载、温度改变、支
座移动、尺寸误差、材料涨缩等因素共
同作用下,产生的位移应如何计算?
? 可先分开计算,在进行叠加
§ 6-11 线性变形体系的互等定理
状态 Ⅰ 状态 Ⅱ
一、功的互等定理 贝蒂( E,Betti 意 1823—1892)定理
FP1FP1
FR1
FP2
⊿ 21
⊿ 12
⊿ 12
ds ds
令状态 Ⅰ 上的力系在状态 Ⅱ 的位移上作虚功
( a ) dsEI MMdsGA kFFdsEA FFW QQNN ? ?? ?? ? ??? 21212112
令状态 Ⅱ 上的力系在状态 Ⅰ 的位移上作虚功
( b ) dsEI MMdsGA kFFdsEA FFW QQNN ? ?? ?? ? ??? 12121221
比较( a)、( b)两式,知:
W12=W 21 ( 6-66)
∑FP1⊿ 12= ∑FP2⊿ 21
或写为:
?功的互等定理。
? 在任一线性变形体系中,第
一状态外力在第二状态位移上作
的虚功 W12,等于第二状态上的
外力在第一状态上作的虚功 W21。
? 应用时注意:
?
? 广义力 广义位移对应
? 由,W12=FP1·⊿ 12, W21=FP2·⊿ 21
? 有,W12=W21,FP1·⊿ 12=FP2·⊿ 12
FP1
12 2
M2 M2
1
⊿ 21 ⊿ 12
?功的互等定理应用条件:
?( 1)材料弹性,应力与应变成正比。
( 2)小变形,不影响力的作用。 即
为线性弹性体系。
?思考:
? 功的互等定理必须应用于线性弹性体系,为
什么?
? 功的互等定理应用条件与虚功原理有何不同?
二、位移互等定理
(位移影响系数互等)
? 位移互等定理( Maxwell定理)
? 功的互等定理的一个特殊情况。
? 位移互等定理:
? 在任一线性弹性体系中,由荷载 FP1
所引起的与荷载 FP2相应的位移影响系数
δ21,等于由荷载 FP2所引起的与 FP1相应的
位移影响系数 δ12。
? 两种状态如图示
? δij— 单位力 FPj=1在 i方
向上引起的与 FPi相应的位
移,也称位移系数。
? ⊿ ij= δij× FPj
? 由功的互等定理
? W12 = W21
? FP1·δ12= FP2·δ21
? ∵ FP1= FP2=1
? ∴ δ12= δ21 (6-67)
? 注,数值相同,量纲相同。
FP1=1
FP2=1
δ21
δ12
? 广义位移系数量纲(单位)
δij=
位移单位(实际)
引起位移的广义力单位(实际)
? 例:如图所示,根据位移互等定理,可求得:
? θA=FPl2/16EI fC= Ml2/16EI
? 现 FP=M=1,
? 故,θA= fC= l2/16EI (1/kN=1/力)
? θA,单位力引起的角位移;
? fC,单位力偶引起的线位移。
? 位移含义不同,但数值相同,量纲相同。
FP=1
l/2 l/2
C
M=1
δ21=θA δ12=fC
三、反力互等定理
? 反力互等定理(瑞利 Regleigh 定理)
? 功的互等定理的一种特殊情况。
? 用以说明在超静定结构中,假设两个
支座分别发生单位位移,两种状态中反
力的相互关系。
? 同一线性变形体系中的两种变形状态
? rij— 支座 j发生单位位移 ⊿ j=1时,在支座 i
处产生的反力,也称反力影响系数。
? rij=Rij/⊿ j
⊿ 1=1
r11
⊿ 2=1
r22
r21
r12
? 由功的互等定理:
? W12 = W21
? ∵ ⊿ 1= ⊿ 2=1
? r12·⊿ 1= r21·⊿ 2
? ∴ r12= r21 (6-68)
? 即为反力互等定理。
反力互等定理
? 在任一线性变形体系中,由支座位移
⊿ 1所引起的,与支座位移 ⊿ 2相应的反力
影响系数 r21,等于由支座位移 ⊿ 2所引起
的与位移 ⊿ 1相应的反力影响系数 r12。
? 注:数值相等,量纲相等。
? 广义反力系数量纲(单位):
? r12= 反力 R的单位(实际力的单位)
? 位移 ⊿ 的单位(实际力的单位)
? 定理对任何两种
支座都适用,注意
反力和位移之间的
相互对应关系。
? 如图:
Δ1=φ1=1
Δ2=1
Δ3=1
r12
r21r31
r13
r23
r32
?r12= r21
?r13 = r31
? r23 = r32
?思考:
? 反力互等定理应用于静定结构,情况将如何?
如以简支梁为例:
⊿ 1=1
⊿ 2=1
r12
r21 = 0
= 0
四、反力与位移互等定理
? 功的互等定理的又一特殊情况。
? 说明一种状态的反力与另一状态中的
位移具有数值上的 互等关系。
习题课 Ⅰ,静定结构位移计算
? 重点:
? 荷载作用下梁和刚架的位移计算。
? 其他因素作用下位移计算的一般原则。
? 要求:
? 广义虚拟力状态选择。
? 明确虚功原理的使用范围,互等定理
的使用范围。
? 明确图乘法的适用条件,能够熟练应
用。
复习:
? 位移计算的一般公式:
? 提问:此公式的理论依据是什么?
? ( 1)式中包括哪两套物理量?
? 位移,应变( ⊿ c ε γ0 κ ) 给定的
? 外力,内力( FP R FN FQ M ) 虚拟的
? ( 2)应用范围?
? ( 3)位移计算公式在各种具体情况下的简化
公式:
0 KN Q R KF d s F d s M d s F c? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
? 荷载作用:
QN QPNP Pk F FFF MMd s d s d s
E A G A E I
? ? ? ?? ? ?? ? ?
RK KFc? ? ? ??
0 N
tt F d s M d s
h
?? ??? ? ? ??? ??
? 支座移动:
? 温度变化:
? ( 4)、图乘公式:
? 注意其适用条件,正负号,图形分段、分
块。熟练其计算方法。
? ( 5)、互等定理:
? 功的互等定理,W12 = W21
? 位移互等定理,δ12= δ21
? 反力互等定理,r12= r21
? 注意其适用条件,应用范围,加深理解。
0
1 Ay
EI
? ? ??
思考题,判断下列图乘是否正确?
? 图乘结果,
12()
3 h l cEI ? ? ?
1 1 1 3()
2 3 4a c e d a eEI ? ? ? ? ? ? ? ?
思考题,判断下列图乘是否正确?
? 图乘结果,
12()
3
h l c
EI
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1 1 2 1 2()
2 3 2 3
a l c b l d
EI
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