第 六 章
结构位移计算与虚功
§ 6-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
1、推导位移计算一般公式的基本思路
第一步：由刚体体系的虚位移原理（理论力学）得
出刚体体系的虚力原理。并由此讨论静定结构由于支座
移动而引起的位移计算问题。
第二步：讨论静定结构由于局部变形引起的位移。
由刚体体系的虚力原理导出其位移计算公式。
第三步：讨论静定结构由于整体变形引起的位移。应
用第二步导出的局部变形引起的位移计算公式，再应用叠
加原理就可以推导出整体变形引起的位移计算公式。
? 2、结构位移计算概述
? （ 1）、结构位移的种类
? 绝对位移, 线位移和角位移 —— 杆件结构中某一截
面位置或方向的改变。
? 相对位移, 相对线位移和相对角位移 —— 两个截面
位移的差值或和。
? 广义位移, 绝对位移和相对位移的统称 。
FP
C’
D
D’
A
B
C
⊿ CH
⊿ CV
φC
φCD
⊿ DV
⊿ CD
（ 2）、引起位移的原因
*荷载作用；
*温度变化和材料涨缩；
*支座沉陷和制造误差。
（ 3）、位移计算的目的
*检验结构的刚度：位移是否超过允许的位移限制。
* 为超静定结构计算打基础。
* 其它：如施工措施、建筑起拱、预应力等。
（ 4）、体系（结构）的物理特性
? 线性变形体系（线弹性体）：
? *应力、应变满足虎克定律；
? *变形微小：变形前后结构尺寸、诸力作用
? 位置不变，位移计算可用叠加原理；
? *体系几何不变，约束为理想约束。
? 非线性体系：
? * 物理非线性；
? *几何非线性（大变形）。
（ 5）、变形体位移计算方法及应满足的条件
? 方法：
? 用虚功原理推导出位移计算公式。
? 计算时应满足的条件：
? *静力平衡；
? *变形协调条件；
? *物理条件。
3、虚功原理的一种应用形式
—— 虚力原理（ 虚设力系，求位移）
（ 1）虚功的概念
功的两个要素 —— 力和位移
W= FP× ⊿
功 =力 × 相应位移
FP
FP
W=2FP× (r× φ)
= M× φ
力与位移相互对应。
FP
FP
A
B
A’
O
B’
φr
虚功
使力作功的位移不是由该力本身引起的，则：
作功的力与相应于力的位移彼此独立无关。
虚功 = 力 × 相应于力的位移
独立无关
FP1
FP2
M1
FR1
FR2
FR3
力状态
⊿ 2
⊿ 1
φ1
c1
c2
c3
位移状态
（ 2）两种状态
? 两种状态
? 既然力与位移彼此独立无关，故可将力与位移视为
两种独立的状态。
? 力状态；
? 位移状态 。
? 外力虚功可表示为：
? W = FP1× △ 1+FP2× △ 2+ M1× φ1
? + FR1× c1+ FR2× c1+ FR3× c3 =∑F P× ⊿
? FP,包括力状态中的所有力（力偶）及支座反力,
称为广义力。
? △,包括位移状态中的与广义力相应的广义位移。
（ 3）、刚体体系虚功原理 （虚位移原理、虚力原理）
? 对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原
理为,设体系上作用任意的平衡力系，又设体
系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，
则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。
? 即,W = 0
? 理想约束 —— 约束力在可能位移上所作的功恒等于零的约束，
如：光滑铰链、刚性链杆等。
? 刚 体 —— 具有理想约束的质点系。刚体内力在刚体的可
能位移上所作的功恒为零。
? 虚功原理（又称虚位移原理、虚力原理）
用于讨论静力学问题非常方便，是分析力学的
基础。
? 因为虚功原理中平衡力系与可能位移无关，
所以既可把位移视为虚设的，也可把力系视为
虚设的。
? 根据虚设的对象不同，虚功原理有两种应
用形式，解决两类不同的问题。
? 虚功原理的两种不同应用，不但适用于刚
体体系，也适用于变形体体系。
（ 4）、虚设（拟）力状态 —— 求位移
? 例 1：
? 图示简支梁，支
座 A向上移动一已知
距离 c1,现在拟求 B点
的竖向线位移 Δ B。
? 解, 已给位移状态 ;
? 虚设力状态，在拟求
位移 Δ B方向上加一单
位荷载 FP=1，形成平
衡力系。
c1
△ B
FP=1
FR1= - b/a
虚功方程,△ B · 1+c1·F R1 =0
由平衡方程求出,FR1 = - b/a
△ B=FP·c 1=b/a ·c1
注：
a、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若
设 FP=1，称为虚单位荷载法。
b、虚功方程在此实质上是几何方程。即利用静
力平衡求解几何问题。
c、方程求解的关键，在于拟求 ⊿ 方向虚设单位
荷载，利用力系平衡求出与 c1相应的 R1,即利用平衡
方程求解几何问题。
? 上述方法也可称为,单位荷载法”
c1
△ B
FP=1
FR1= - b/a
? d,通过上例可推出静定结构支座移
动时，位移计算的一般公式。
? 注：因为静定结构在支座移动作用下，不
产生反力、内力，也不引起应变；所以属于刚
体体系的位移问题，可用刚体虚功原理求解。
4、支座移动时静定结构的位移计算
1 0 (6 - 3 )RK KFc? ? ? ??
当支座有给定位移 ck时（可能不止一个），
（ a） 沿拟求位移 ⊿ 方向虚设相应单位荷载，并求出单
位荷载作用下的支座反力 FRK。
（ b） 令虚拟力系在实际位移上作虚功，写虚功方程：
( 6 - 4 )RK KFc? ? ? ??
（ c） 由虚功方程，解出所求位移：
例,
图示三铰刚架，
支座 B下沉 c1，向
右移动 c2。求铰 C
的竖向位移 ⊿ CV和
铰左右截面的相对
角位移 φC。
l/2 l/2
l
c1
c2
⊿ CV
φC
l/2 l/2
l
c1
c2
⊿ CV
φC
实际状态
FP=1
1/2 1/2
1/4 1/4
虚拟状态
⊿ CV =-∑FRKcK= - [-1/2× c1 – 1/4× c2 ]= c1/2+ c2/4 (↓)
l/2 l/2
l
c1
c2
⊿ CV
φC
实际状态
φC=-∑FRK cK= - [-1/l× c2]= c2 /l ( )
FP=1
1 /l 1 /l
§ 6-2 结构位移计算的一般公式
? 结构属于变形体，在一般情况下，结构内部产
生应变。结构的位移计算问题，属于变形体体系
的位移计算问题。采用方法仍以虚功法最为普遍。
? 推导位移计算一般公式有几种途径：
? 1、根据变形体体系的虚功方程，导出位移计算的一
般公式。（ § 6-8）
? 2、应用刚体体系的虚功原理，导出局部变形的位移
公式；然后应用叠加原理，导出变形体体系的位移计算公
式。
? 一、局部变形时静定结构的位移计算举例
? 设静定结构中的某个微段出现局部变形，微段两端
相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有变形，
仍然是刚体。
? 因此，当某个微段有局部变形时，静定结构的位
移计算问题可以归结为当该处相邻截面有相对位移时
刚体体系的位移计算问题。举例说明。
书例 6-1：悬臂梁在截面 B有相对转角 θ, 求 A点竖
向位移 Δ AV（ θ 是由于制造误差或其他原因造成的 ） 。
Δ
ABC
a a
θ
A1
Δ
ABC θ
A1
ABC
M 1
解,①, 在 B 处 加 铰
（ 将实际位移状态明确地表
示为刚体体系的位移状态 ） 。
②, A点加单位荷载
FP=1,在铰 B处虚设一对弯
矩 M（ 为保持平衡 ）
M=1?a
（ 6-5）
③,虚功方程：
1× Δ AV- M× θ =0
Δ AV = Mθ = aθ (↑ )
书例 6-1：悬臂梁在截面 B有相对剪切位移 η,求 A
点与杆轴成 α角的斜向位移分量 Δ （ η是由于制造误差
或其他原因造成的 ） 。
ABC
a a
η
A1B1
α
Δ
ABC
解,①, 在 B截面处加
机构如图 （ 将实际位移状态
明确地表示为刚体体系的位
移状态 ） 。
η
A1B1
α
Δ
②, A点加单位荷载
FP=1,在铰 B处虚设一对剪
力 FQ（ 为保持平衡 ）
FQ= sina
ABC
1
FQ
③,虚功方程：
1× Δ - FQ× η =0
Δ = FQ η
二、局部变形时的位移公式
基本思路：
? 把局部变形时的位移计算问题转化为刚体体系的位
移计算问题。
? 如图所示，已知只有 B点附近的微段 ds 有局部变形，
结构其他部分没有变形。求 A点沿 α方向的位移分量 d⊿
? d⊿ 局部变形有三部分：
? 轴向伸长应变 ε
? 平均剪切应变 γ0
? 轴线曲率 κ （ κ = 1/R,R为杆件轴向
? 变形后的曲率半径）
位移状态（实际） 力状态（虚拟）
（ 1） 两端截面的三种相对位移 相应内力
相对轴向位移 dλ=ε d s
相对剪切位移 dη=γ0ds
相对转角 dθ=d s /R=κ d s
轴力 FN
剪力 FQ
弯矩 M
相对位移 dλ,dη,dθ是描述微段总变形的
三个基本参数。
基本思路：
dη
AB C
AB C
s ds A1
α
dΔ
dθ
dλ
ds dλ
B C
dη
dθ
R
FN FN
FQ
FQ
MM1 α
FN
FQ
M
? （ 2） d s趋近于 0，三种相对位移还存在。
相当于整个结构除 B截面发生集中变形（ dλ,dη，
dθ）外，其他部分都是刚体，没有任何变形。
属刚体体系的位移问题。
? （ 3） 应用刚体体系虚功原理，根据截面 B
的相对位移可分别求出点 A的位移 d⊿,局部变
形位移公式：
0
1
()
NQ
NQ
d M d F d F d
d M F F ds
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
（ 6-8）
三、结构位移计算的一般公式
0() NQ
ll
d M F F d s? ? ?? ? ? ? ? ???
0() NQ
l
M F F d s? ? ?? ? ? ?? ?
由叠加原理：
总位移 ⊿ =叠加每个微段变形在该点 (A)处引起的微小
位移 d⊿
即：
若结构有多个杆件，则：
（ 6-9）
单位荷载虚功 = 所求位移
考虑支座有给定位移，则可得出结构位移
计算的一般公式：
0() N Q R K KM F F d s F c? ? ?? ? ? ? ????
其中包含：
弯曲变形对位移的影响 M d s??? ? ? （ 6-11）
轴向变形对位移的影响 NF d s??? ? ? （ 6-12）
剪切变形对位移的影响
0QF d s??? ? ?
（ 6-13）
支座移动对位移的影响
（ 6-10）
RK KFc? ? ??
（ 6-14）
讨论：
（ 1）,式（ 6-10）根据刚体体系虚功原理
和叠加原理导出，适用于小变形情况。
（ 2）、式 (6-10)实质上是几何方程，给出已
知变形（内部变形 κ,ε,γ0和支座位移 ck），与拟
求位移 ⊿ 之间的关系。
（ 3）、式（ 6-10）是普遍公式。（因为在推
导中未涉及变形因素、结构类型、材料性质）可
考虑任何情况：
①,变形类型：弯曲、轴向、剪切变形。
②,产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移
动等。
③,结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定、超
静定。
④,材料性质：弹性、非弹性。
（ 4）、变形体虚功原理：
将式（ 6-10）改写为：
01 ( )R K N QKF c M F F d s? ? ?? ? ? ? ? ??? ?
（ 6-15）
外力虚功 W = 内虚功 Wi （ 6-16）
可视为变形体虚功原理的一种表达形式。
四、结构位移计算的一般步骤
已知结构杆件各微段的应变 κ,ε,γ0（根据引
起变形的原因而定），支座移动 ck。
求结构某点沿某方向的位移 ⊿ 。
1、沿欲求 ⊿ 方向设 FP=1。
2、根据平衡条件求出 FP=1作用下的 M,FN、
FQ,FR。
3、根据公式（ 6-10）可求出 ⊿ 。
注意正负号：
②,公式（ 8-10）中各乘积表示，力与变形方向一致，
乘积为正，反之为负。
①,求得 ⊿ 为正，表明位移 ⊿ 的实际方向与所设单
位荷载方向一致。
五,广义位移计算
广义位移：
某截面沿某方向的线位移；
某截面的角位移；
某两个截面的相对位移；等。
在利用（ 6-10）求广义位移
时，必须根据广义位移的性质
虚设广义单位荷载。
A B
q
θA θB
Δ
A BMA =1
MB=1
如：右图所示简支梁，求 AB两截面
的相对角位移。
求解过程,可先求 θA和 θB，再叠加。
也可直接求出 θAB= θA+ θB
广义位移和广义虚单位荷载示例
广义位移 广义虚单位荷载 （外力）虚功
B
A
ΔA
ΔB
B
A
FP=1
FP=1
1·⊿ A+1·⊿ B
=⊿ A+⊿ B
=⊿ AB
A BlAB BAθ
AB
ΔA
ΔB
lAB
1
lAB
1
1/lAB·⊿ A+ 1/lAB·⊿ B
=(⊿ A+⊿ B)/ lAB
=θAB
广义位移和广义虚单位荷载示例
广义位移 广义虚单位荷载 （外力）虚功
A B BA
CC
li
lj
iA?
iB?
jB?
jC?
1
li
1
li
1
lj
1
lj
1/li·⊿ Ai + 1/li·⊿ Bi
+1/lj·⊿ Aj+
1/lj·⊿ Aj
= (⊿ Ai+⊿ Bi)/ li+
(⊿ Bj+⊿ Cj)/ lj
=θi+ θj
= θij
C
A B
LC?
RC?
C?
C
A B
1 1 1· θ
CL+1· θ CR
= θ CL + θ CR
= θ C
§ 6-3 荷载作用下的位移计算
? 1、荷载作用下的结构位移计算公式
? 根据公式 （ 6-9）
( 6 - 9 ) K NQM d s F d s F d s? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?
本节讨论中，设材料是线弹性的。在此，微
段应变 κ,ε, γ0 是由荷载引起的（实际位移状
态），由荷载 — 内力 — 应力 — 应变顺序求出。
? 由材料力学公式可知：
? 荷载作用下相应的弯曲、拉伸、剪切
应变可表示为：
弯曲应变,κ = MP /EI
轴向应变,ε = FNP /EA (6-18)
剪切应变,γ0= k FQP /GA
? 式中：
? ①,FNP,FQP, MP是荷载作用下，结构各截
面上的轴力，剪力，弯矩。注意这是在实际状
态下的内力。
? ②,E,G材料的弹性模量和剪切弹性模量。
? ③,A,I杆件截面的面积和惯性矩。
? ④,EA,GA, EI杆件截面的抗拉，抗剪，抗
弯刚度。
? ⑤,k是与截面形状有关的系数（剪应力分布
不均匀系数）
? 计算公式
? （ 6-8）dA
b
s
I
Ak
A
?? 2
2
2
? 将 （ 6-18） 代入 （ 6-9） 可得荷载作用下平面
杆件结构弹性位移计算的一般公式：
ds
EI
MMds
GA
FFk
ds
EA
FF PQPQNPN
KP ? ?? ?? ? ????
（ 6-19）
将位移计算问题转化为两种状态下的内力计算问题。
?正负号规定：
?FN, FNP 拉力为正；
?FQ, FQP 同材料力学
?M,MP使杆件同侧纤维受拉时，乘积为正。
2、各类结构的位移计算公式
? （ 1）、梁和刚架：位移主要由弯曲变形引起。
( 6- 20 )PMM dsEI?? ? ?
（ 2）、桁架：各杆只有轴力，且各杆截面和
各杆轴力沿杆长一般为常数。
( 6 - 2 1 ) NNN P N PF F F F ldsE A E A? ? ????
? （ 3）、组合结构：一些杆件主要受弯，一些杆件只
有轴力。
( 6 - 2 2 ) N NPP F F lMM ds
E I E A
? ? ????
?（ 4）、拱：
? ① 扁平拱及拱的合理轴线与拱轴相近时：
( 6 - 2 3 ) N NPP FFMM d s d s
E I E A
? ? ?????
② 通常情况：
( 6- 20 ) PMM dsEI?? ? ?
思考,
? (1)、公式（ 6-10）与（ 6-19）中各量值的
物理意义。
? （ 2）、公式（ 6-10）的适用条件？公式
（ 6-19）的适用条件？
? （ 3）、若体系为非弹性体系，荷载作用下
计算结构的位移是否可用公式（ 6-19）？
? 例, 简支梁的位移计算。
? 求图示简支梁中点 C
的竖向位移 ⊿ CV 和截面
B的转角 φB。
?解,求 C点的竖向位移。
? 虚拟状态如图； FP=1
1/2
实际状态 虚拟状态
MP=q(lx-x2)/2 M=x/2
FQP=q(l-2x)/2 FQ=1/2
因对称性，只计算一半。
§ 6-4 荷载作用下的位移计算举例
? 讨论剪切变形和弯曲变形对位移的影响：
GA
k ql
EI
ql
dxxl
q
GA
k
dxxlx
qx
EI
l
CV
8384
5
)2(
22
11
2
)(
22
1
2
24
2
2/
0
??????
??????
?
?
? 设简支梁为矩形截面,k=1.2,I /A= h2 / 12,
? 横向变形系数 μ=1/3,E/G=2(1+ μ)=8/3。
? ⊿ γ / ⊿ κ = ( kql2/8GA)/(5ql4/384EI)
? =9.6/l2·k·E/G ·I /A = 2.56(h/l)2
?当 h/l =1/10时,则,⊿ γ / ⊿ κ =2.56﹪
对一般梁来说，可略去剪切变形对位移的影响。
? 但当梁 h/l＞ 1/5时,则,⊿ γ / ⊿ κ =10.2﹪
? 对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。
?求截面 B的转角 φB 。
? 虚拟状态如图所示。
M=1
1/l
实际状态 虚拟状态
MP=q(lx-x2)/2 M= - x/l
)(
逆时针
EI
qldxxlxq
l
x
EI
l
B 24)(2)(
1 32
0
??????? ??
计算结果为负，说明实际位移与虚拟力方向相反。
? 例,
图示一屋架，屋
架的上弦杆和其他压
杆采用钢筋混凝土杆，
下弦杆和其他拉杆采
用钢杆。
试求顶点 C的竖
向位移。
解：
（ 1）求 FNP
先将均布荷载 q化为结点荷载 FP=ql/4。
求结点荷载作用下的 FNP 。
0.278l
0.444l
1
1 1
1/2 1/2
FNP
3.00
2.0 2.0
4.50
0.278l
0.444l
1
0.5 0.5
FN（ 2） 求
§ 6-5、图乘法
?一、图乘法的适用条件
? 计算弯曲变形引起的位移时，要求下列积分：
dsEIMM P? ???
? 符合下列条件时，积分运算可转化为图乘运算，比较
简便。适用条件为：
?（ 1）、杆轴为直线；
?（ 2）、杆段 EI = 常数；
?（ 3）,M和 MP中至少有一个是直线图形。
二、图乘公式
? 图示为 AB杆的两个弯矩
图。
? M为直线图形,MP 为任
意图形。
? 该杆截面抗弯刚度 EI=常数。
O
O’
MP图
αM图由 M图可知：
M= y= x tanα
dx
dA=MPdx
y
x
C
xC
yC
A B
1P
P
MM d s M M d x
E I E I? ? ???
1 ta n
Px M d xEI ?? ? ??
1 ta n x d A
EI ??? ? Cx d A A x???
⊿ =
xC tana=yC
⊿ =∫(M MP /EI)ds=
由此可见，当满足上述三个条件时，积分式
的值 ⊿ 就等于 MP图的面积 A乘其形心所对应 M
图上的竖标 yC，再除以 EI。
正负号规定：
A与 yC在基线的同一侧时为正，反之为负。
AxC tana1EI
·A·y C1EI
三、应用图乘法计算位移时的几点注意
? 1、应用条件：
? 杆段必须是分段等截面； EI不能是 x的函数；
两图形中必有一个是直线图形,yC取自直线图
形中。
? 2、正负号规定：
? A与 yC同侧，乘积 A yC取正； A与 yC不同侧，
则乘积 A yC取负。
? 3、几种常用图形的面积和形心位置：
? 见书 P.126,图 6-21，注意正面积和斜面积是
相同的。
? 曲线图形要注意图形顶点位置。
? 4、如果两个图形均为直线图形，则标距 yC
可取自任何一个图形。
? 5、当 yC所属图形是由
几段直线组成的折线图形，
则图乘应分段进行。在折
点处分段图乘，然后叠加。
（为什么？）
A1
y1
A2
y2
A3
y3
? 当杆件为阶段变化杆
件时（各段 EI=常数），应
在突变处分段图乘，然后叠
加。 （为什么？）
6、把复杂图形分为简单图形
（使其易于计算面积和判断形心位置）
? 取作面积的图形有时是不规则图形，面积
的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形
分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠
加。
? （ 1）、如两图形均为梯
形，不必求梯形形心，可将
其分解为两个标准三角形进
行计算。A B
C D
a b M
P
l
c d M
C1
yC1
C2
yC2
A
C
D
MP’C1a
A
D
B
b MP’’C
2
MP=MP’+MP’’
⊿ =(1/EI)∫MMPds
=(1/EI) ∫M(MP’+MP’’)ds
⊿ =(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2]
⊿ = l6EI (2ac+2bd+ab+bc)
? (2)、左图也可分为两个
标准三角形，进行图乘运
算。A B
C
D
a
b
MP
c
d
M
l
C1
yC1
yC2
C2
C1a
bC2
MP’
MP’’
⊿ =(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2]
其中,
yC1=2c/3 - d/3
yC2=2d/3 - c/3
⊿ = l6EI (2ac+2bd-ab-bc)
（ 3）、一般情况
? 右图所示为某一
段杆 (AB)的 MP图。可
将此图分解为三个图
形，均为标准图形，
然后与 M图图乘，图
乘后叠加。
四、示例 ? 例 1、求悬臂梁中点 C的挠度
⊿ CV,EI=常数。
? 解,
? （ 1）,设虚拟力状态如图，
作 M和 MP。由于均为直线图形，
故 AP可任取。
FP
l/2 l/2
⊿ CV
FP
MP
FP l
1 l/2
M
A
5FP l/6 ?M,A=1/2× l/2× l/2=l2/8
?MP,yC=5/6× FP l
?⊿ CV=A·yC /EI
? =(l2/8× 5/6× FP l)/EI
? =5FP l3/48EI (↓)
? (2),讨论
? 若：
? AP=1/2× FPl× l=Pl2/2
? yC=1/3× l/2=l/6
? ⊿ CV=AP·y C /EI
? =(FPl2/2× l/6)/EI
? =FP l3/12EI(↓)
? 对否？错在哪里？
FP
l/2 l/2
⊿ CV
FP
MP
FP lAP
1 l/2
M
l/6
FP
l/2 l/2
⊿ CV
FP AP
1 l/2
3、正确的作法
AP1=1/2× FP l× l/2=FP l2/4 y1=l/3
AP2=1/2× FP l/2× l/2=FP l2/8 y2=l/6
AP3=1/2× FP l/2× l/2=FP l2/8 y3=0
FP l
?⊿ CV=∑AP·y C/EI
=(FP l2/4× l/3+ FP
l2/8×
l/6+FP l2/8 × 0)/EI
=5FP l3/48EI (↓)
60kN
12kN例,
图示刚架，用
图乘法求 B端转角
θB ; CB杆中点 D的
竖向线位移 ⊿ DV。
各杆 EI=常数。
EI=常数
解,
? 1、作荷载作用下结构的弯矩图。
72kN
72kN
12kN
252 45
90 MP图 (kN?m)
?2、作虚拟力状态下的图 M。
M=11
M
?3、求 θB。图乘时注意图形分块。
C1
C2 y1 y
2
C3
C4
y3
y4
252 45
90 MP图 (kN?m)
1
?4、作虚拟力状态下的图 M。
?5、求 ⊿ CV，图乘时注意图形分块。
3
M (m)
81
C1
C2
C3
C4
C5
y1 y
2
y3
y4
y5
45/4
例,q=16kN/m
64kN?m 64kN?m
16kN?m
16kN?m
? 求铰 C左右截面相
对转角 θC。 各杆
?EI=5× 104 kN·m 2 。
?解：
? 作荷载作用下的弯矩
图；虚拟力作用下的弯矩
图。
? （注意：①斜杆弯矩
图的做法；②各弯矩图的
单位。）
32 32
? θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1)
? -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI
? kN·m m kN/m2
? =0.005867 （弧度）
? 方向与虚拟力方向一致。
§ 6-6、静定结构温度变化时的位移计算
? 平面杆件结构位移计算的一般公式
6)-(6 dsMdsFdsF QNK ?????????? ? ?? ?? ? ???
在此,ε,γ,κ由温度作用引起。
?注意静定结构特征：
? ① 组成：无多余约束的几何不变体系；
? ② 静力：温度作用下静定结构无反力、内力；
杆件有变形，结构有位移。
? 温度作用时由于材料热胀冷缩，使结构产生变
形和位移。
1、温度变化时静定结构的特点：
? （ 1）、有变形（热胀冷缩）
? 均匀温度改变（轴向变形）；
? 不均匀温度改变（弯曲、轴向变形）；
? 无剪切变形。
? （ 2）、无反力、内力。
2、微段由于温度改变产生的变形计算
? 设温度沿截面厚度直线变化。
? （ 1）轴向伸长（缩短）变形：
? 设杆件上边缘温度升高 t10，下
边缘升高 t20。形心处轴线温度：
? t0 =(h1t2+h2t1)/h
? （截面不对称于形心）
? t0 =(t2+t1)/2
? （截面对称于形心）
? du = ε ds = α·t0 ds
? α —— 材料线膨胀系数。
ds
形心轴
+t1
+t2
t0
h1
h2
αt1ds
αt2ds
du
dφ
(2)、由上下边缘温差产生的弯曲变形：
? 上下边缘温差
? ⊿ t = t2 – t1
? dφ= κds = α(t2-t1)ds/h= α⊿ t ds /h
（ 3）温度作用不产生剪切变形
γds =0
3、温度作用时位移计算公式
0 ( 6 - 2 8 a ) N
tF t d s M d s
h
?? ??? ? ? ? ?????
0 d s ( 6 - 2 8 b ) N
tt F d s M
h
?? ??? ? ? ? ??? ??
如 t0,⊿ t和 h沿每杆杆长为常数，则：
? ① 正负号：比较虚拟状态的变形与实际状态
中由于温度变化引起的变形，若两者变形方向相
同，则取正号，反之，则取负号。
? ② 刚架（梁）中由温度变化引起的轴向变形
不可忽略。
?例：
? 图示刚架，施工
时温度为 200C,试
求冬季当外侧温度
为 -100C，内侧温度
为 00C时，点 A的竖
向位移 ⊿ AV，已知
α=10-5,h=40cm
（矩形截面）。 l=4m
A
00C
-100C
?外侧温度改变, t1= - 10 – 20 = - 300
?内侧温度改变,t2 = 0 – 20 = - 200
-300C
-200C
l=4m
A
-300C
-200C
FP=1
FN
FN=0
F N
=
-1
FP=1l
M
?t0=(t1+t2)/2=（ -30–20） /2= - 250
?⊿ t= t2 - t1= - 20 -（ - 30） =100
?⊿ AV= α× (-25) × (-1) × l+(-)α× 10/h×
? (1/2× l× l+l× l)
? = - 0.5 cm ( ↑ )
提问：
? （ 1）、若当结构某些杆件发生尺寸制造
误差，要求结构的位移，应如何处理？
? 应根据位移计算的一般公式进行讨论。
? 特点：除有初应变（制造误差）的杆件外，
其余杆件不产生任何应变。在有初应变的杆件
中找 κ,ε,γ即可。
? ?? ?? ? ?????? dsFdsFdsM QN ???
? （ 2）、静定结构由荷载、温度改变、支
座移动、尺寸误差、材料涨缩等因素共
同作用下，产生的位移应如何计算？
? 可先分开计算，在进行叠加
§ 6-11 线性变形体系的互等定理
状态 Ⅰ 状态 Ⅱ
一、功的互等定理 贝蒂（ E,Betti 意 1823—1892）定理
FP1FP1
FR1
FP2
⊿ 21
⊿ 12
⊿ 12
ds ds
令状态 Ⅰ 上的力系在状态 Ⅱ 的位移上作虚功
( a ) dsEI MMdsGA kFFdsEA FFW QQNN ? ?? ?? ? ??? 21212112
令状态 Ⅱ 上的力系在状态 Ⅰ 的位移上作虚功
( b ) dsEI MMdsGA kFFdsEA FFW QQNN ? ?? ?? ? ??? 12121221
比较（ a）、（ b）两式，知：
W12=W 21 （ 6-66）
∑FP1⊿ 12= ∑FP2⊿ 21
或写为：
?功的互等定理。
? 在任一线性变形体系中，第
一状态外力在第二状态位移上作
的虚功 W12，等于第二状态上的
外力在第一状态上作的虚功 W21。
? 应用时注意：
?
? 广义力 广义位移对应
? 由,W12=FP1·⊿ 12, W21=FP2·⊿ 21
? 有,W12=W21,FP1·⊿ 12=FP2·⊿ 12
FP1
12 2
M2 M2
1
⊿ 21 ⊿ 12
?功的互等定理应用条件：
?（ 1）材料弹性，应力与应变成正比。
（ 2）小变形，不影响力的作用。 即
为线性弹性体系。
?思考：
? 功的互等定理必须应用于线性弹性体系，为
什么？
? 功的互等定理应用条件与虚功原理有何不同？
二、位移互等定理
（位移影响系数互等）
? 位移互等定理（ Maxwell定理）
? 功的互等定理的一个特殊情况。
? 位移互等定理：
? 在任一线性弹性体系中，由荷载 FP1
所引起的与荷载 FP2相应的位移影响系数
δ21，等于由荷载 FP2所引起的与 FP1相应的
位移影响系数 δ12。
? 两种状态如图示
? δij— 单位力 FPj=1在 i方
向上引起的与 FPi相应的位
移，也称位移系数。
? ⊿ ij= δij× FPj
? 由功的互等定理
? W12 = W21
? FP1·δ12= FP2·δ21
? ∵ FP1= FP2=1
? ∴ δ12= δ21 (6-67)
? 注,数值相同，量纲相同。
FP1=1
FP2=1
δ21
δ12
? 广义位移系数量纲（单位）
δij=
位移单位（实际）
引起位移的广义力单位（实际）
? 例：如图所示，根据位移互等定理，可求得：
? θA=FPl2/16EI fC= Ml2/16EI
? 现 FP=M=1,
? 故,θA= fC= l2/16EI (1/kN=1/力）
? θA,单位力引起的角位移；
? fC,单位力偶引起的线位移。
? 位移含义不同，但数值相同，量纲相同。
FP=1
l/2 l/2
C
M=1
δ21=θA δ12=fC
三、反力互等定理
? 反力互等定理（瑞利 Regleigh 定理）
? 功的互等定理的一种特殊情况。
? 用以说明在超静定结构中，假设两个
支座分别发生单位位移，两种状态中反
力的相互关系。
? 同一线性变形体系中的两种变形状态
? rij— 支座 j发生单位位移 ⊿ j=1时，在支座 i
处产生的反力，也称反力影响系数。
? rij=Rij/⊿ j
⊿ 1=1
r11
⊿ 2=1
r22
r21
r12
? 由功的互等定理：
? W12 = W21
? ∵ ⊿ 1= ⊿ 2=1
? r12·⊿ 1= r21·⊿ 2
? ∴ r12= r21 (6-68)
? 即为反力互等定理。
反力互等定理
? 在任一线性变形体系中，由支座位移
⊿ 1所引起的，与支座位移 ⊿ 2相应的反力
影响系数 r21,等于由支座位移 ⊿ 2所引起
的与位移 ⊿ 1相应的反力影响系数 r12。
? 注：数值相等，量纲相等。
? 广义反力系数量纲（单位）：
? r12= 反力 R的单位（实际力的单位）
? 位移 ⊿ 的单位（实际力的单位）
? 定理对任何两种
支座都适用，注意
反力和位移之间的
相互对应关系。
? 如图：
Δ1=φ1=1
Δ2=1
Δ3=1
r12
r21r31
r13
r23
r32
?r12= r21
?r13 = r31
? r23 = r32
?思考：
? 反力互等定理应用于静定结构，情况将如何？
如以简支梁为例：
⊿ 1=1
⊿ 2=1
r12
r21 = 0
= 0
四、反力与位移互等定理
? 功的互等定理的又一特殊情况。
? 说明一种状态的反力与另一状态中的
位移具有数值上的 互等关系。
习题课 Ⅰ,静定结构位移计算
? 重点：
? 荷载作用下梁和刚架的位移计算。
? 其他因素作用下位移计算的一般原则。
? 要求：
? 广义虚拟力状态选择。
? 明确虚功原理的使用范围，互等定理
的使用范围。
? 明确图乘法的适用条件，能够熟练应
用。
复习：
? 位移计算的一般公式：
? 提问：此公式的理论依据是什么？
? （ 1）式中包括哪两套物理量？
? 位移，应变（ ⊿ c ε γ0 κ ） 给定的
? 外力，内力（ FP R FN FQ M ） 虚拟的
? （ 2）应用范围？
? （ 3）位移计算公式在各种具体情况下的简化
公式：
0 KN Q R KF d s F d s M d s F c? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
? 荷载作用：
QN QPNP Pk F FFF MMd s d s d s
E A G A E I
? ? ? ?? ? ?? ? ?
RK KFc? ? ? ??
0 N
tt F d s M d s
h
?? ??? ? ? ??? ??
? 支座移动：
? 温度变化：
? （ 4）、图乘公式：
? 注意其适用条件，正负号，图形分段、分
块。熟练其计算方法。
? （ 5）、互等定理：
? 功的互等定理,W12 = W21
? 位移互等定理,δ12= δ21
? 反力互等定理,r12= r21
? 注意其适用条件，应用范围，加深理解。
0
1 Ay
EI
? ? ??
思考题,判断下列图乘是否正确?
? 图乘结果,
12()
3 h l cEI ? ? ?
1 1 1 3()
2 3 4a c e d a eEI ? ? ? ? ? ? ? ?
思考题,判断下列图乘是否正确?
? 图乘结果,
12()
3
h l c
EI
? ? ?
1 1 2 1 2()
2 3 2 3
a l c b l d
EI
? ? ? ? ? ? ? ? ?
结构位移计算与虚功
§ 6-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
1、推导位移计算一般公式的基本思路
第一步：由刚体体系的虚位移原理（理论力学）得
出刚体体系的虚力原理。并由此讨论静定结构由于支座
移动而引起的位移计算问题。
第二步：讨论静定结构由于局部变形引起的位移。
由刚体体系的虚力原理导出其位移计算公式。
第三步：讨论静定结构由于整体变形引起的位移。应
用第二步导出的局部变形引起的位移计算公式，再应用叠
加原理就可以推导出整体变形引起的位移计算公式。
? 2、结构位移计算概述
? （ 1）、结构位移的种类
? 绝对位移, 线位移和角位移 —— 杆件结构中某一截
面位置或方向的改变。
? 相对位移, 相对线位移和相对角位移 —— 两个截面
位移的差值或和。
? 广义位移, 绝对位移和相对位移的统称 。
FP
C’
D
D’
A
B
C
⊿ CH
⊿ CV
φC
φCD
⊿ DV
⊿ CD
（ 2）、引起位移的原因
*荷载作用；
*温度变化和材料涨缩；
*支座沉陷和制造误差。
（ 3）、位移计算的目的
*检验结构的刚度：位移是否超过允许的位移限制。
* 为超静定结构计算打基础。
* 其它：如施工措施、建筑起拱、预应力等。
（ 4）、体系（结构）的物理特性
? 线性变形体系（线弹性体）：
? *应力、应变满足虎克定律；
? *变形微小：变形前后结构尺寸、诸力作用
? 位置不变，位移计算可用叠加原理；
? *体系几何不变，约束为理想约束。
? 非线性体系：
? * 物理非线性；
? *几何非线性（大变形）。
（ 5）、变形体位移计算方法及应满足的条件
? 方法：
? 用虚功原理推导出位移计算公式。
? 计算时应满足的条件：
? *静力平衡；
? *变形协调条件；
? *物理条件。
3、虚功原理的一种应用形式
—— 虚力原理（ 虚设力系，求位移）
（ 1）虚功的概念
功的两个要素 —— 力和位移
W= FP× ⊿
功 =力 × 相应位移
FP
FP
W=2FP× (r× φ)
= M× φ
力与位移相互对应。
FP
FP
A
B
A’
O
B’
φr
虚功
使力作功的位移不是由该力本身引起的，则：
作功的力与相应于力的位移彼此独立无关。
虚功 = 力 × 相应于力的位移
独立无关
FP1
FP2
M1
FR1
FR2
FR3
力状态
⊿ 2
⊿ 1
φ1
c1
c2
c3
位移状态
（ 2）两种状态
? 两种状态
? 既然力与位移彼此独立无关，故可将力与位移视为
两种独立的状态。
? 力状态；
? 位移状态 。
? 外力虚功可表示为：
? W = FP1× △ 1+FP2× △ 2+ M1× φ1
? + FR1× c1+ FR2× c1+ FR3× c3 =∑F P× ⊿
? FP,包括力状态中的所有力（力偶）及支座反力,
称为广义力。
? △,包括位移状态中的与广义力相应的广义位移。
（ 3）、刚体体系虚功原理 （虚位移原理、虚力原理）
? 对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原
理为,设体系上作用任意的平衡力系，又设体
系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，
则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。
? 即,W = 0
? 理想约束 —— 约束力在可能位移上所作的功恒等于零的约束，
如：光滑铰链、刚性链杆等。
? 刚 体 —— 具有理想约束的质点系。刚体内力在刚体的可
能位移上所作的功恒为零。
? 虚功原理（又称虚位移原理、虚力原理）
用于讨论静力学问题非常方便，是分析力学的
基础。
? 因为虚功原理中平衡力系与可能位移无关，
所以既可把位移视为虚设的，也可把力系视为
虚设的。
? 根据虚设的对象不同，虚功原理有两种应
用形式，解决两类不同的问题。
? 虚功原理的两种不同应用，不但适用于刚
体体系，也适用于变形体体系。
（ 4）、虚设（拟）力状态 —— 求位移
? 例 1：
? 图示简支梁，支
座 A向上移动一已知
距离 c1,现在拟求 B点
的竖向线位移 Δ B。
? 解, 已给位移状态 ;
? 虚设力状态，在拟求
位移 Δ B方向上加一单
位荷载 FP=1，形成平
衡力系。
c1
△ B
FP=1
FR1= - b/a
虚功方程,△ B · 1+c1·F R1 =0
由平衡方程求出,FR1 = - b/a
△ B=FP·c 1=b/a ·c1
注：
a、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若
设 FP=1，称为虚单位荷载法。
b、虚功方程在此实质上是几何方程。即利用静
力平衡求解几何问题。
c、方程求解的关键，在于拟求 ⊿ 方向虚设单位
荷载，利用力系平衡求出与 c1相应的 R1,即利用平衡
方程求解几何问题。
? 上述方法也可称为,单位荷载法”
c1
△ B
FP=1
FR1= - b/a
? d,通过上例可推出静定结构支座移
动时，位移计算的一般公式。
? 注：因为静定结构在支座移动作用下，不
产生反力、内力，也不引起应变；所以属于刚
体体系的位移问题，可用刚体虚功原理求解。
4、支座移动时静定结构的位移计算
1 0 (6 - 3 )RK KFc? ? ? ??
当支座有给定位移 ck时（可能不止一个），
（ a） 沿拟求位移 ⊿ 方向虚设相应单位荷载，并求出单
位荷载作用下的支座反力 FRK。
（ b） 令虚拟力系在实际位移上作虚功，写虚功方程：
( 6 - 4 )RK KFc? ? ? ??
（ c） 由虚功方程，解出所求位移：
例,
图示三铰刚架，
支座 B下沉 c1，向
右移动 c2。求铰 C
的竖向位移 ⊿ CV和
铰左右截面的相对
角位移 φC。
l/2 l/2
l
c1
c2
⊿ CV
φC
l/2 l/2
l
c1
c2
⊿ CV
φC
实际状态
FP=1
1/2 1/2
1/4 1/4
虚拟状态
⊿ CV =-∑FRKcK= - [-1/2× c1 – 1/4× c2 ]= c1/2+ c2/4 (↓)
l/2 l/2
l
c1
c2
⊿ CV
φC
实际状态
φC=-∑FRK cK= - [-1/l× c2]= c2 /l ( )
FP=1
1 /l 1 /l
§ 6-2 结构位移计算的一般公式
? 结构属于变形体，在一般情况下，结构内部产
生应变。结构的位移计算问题，属于变形体体系
的位移计算问题。采用方法仍以虚功法最为普遍。
? 推导位移计算一般公式有几种途径：
? 1、根据变形体体系的虚功方程，导出位移计算的一
般公式。（ § 6-8）
? 2、应用刚体体系的虚功原理，导出局部变形的位移
公式；然后应用叠加原理，导出变形体体系的位移计算公
式。
? 一、局部变形时静定结构的位移计算举例
? 设静定结构中的某个微段出现局部变形，微段两端
相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有变形，
仍然是刚体。
? 因此，当某个微段有局部变形时，静定结构的位
移计算问题可以归结为当该处相邻截面有相对位移时
刚体体系的位移计算问题。举例说明。
书例 6-1：悬臂梁在截面 B有相对转角 θ, 求 A点竖
向位移 Δ AV（ θ 是由于制造误差或其他原因造成的 ） 。
Δ
ABC
a a
θ
A1
Δ
ABC θ
A1
ABC
M 1
解,①, 在 B 处 加 铰
（ 将实际位移状态明确地表
示为刚体体系的位移状态 ） 。
②, A点加单位荷载
FP=1,在铰 B处虚设一对弯
矩 M（ 为保持平衡 ）
M=1?a
（ 6-5）
③,虚功方程：
1× Δ AV- M× θ =0
Δ AV = Mθ = aθ (↑ )
书例 6-1：悬臂梁在截面 B有相对剪切位移 η,求 A
点与杆轴成 α角的斜向位移分量 Δ （ η是由于制造误差
或其他原因造成的 ） 。
ABC
a a
η
A1B1
α
Δ
ABC
解,①, 在 B截面处加
机构如图 （ 将实际位移状态
明确地表示为刚体体系的位
移状态 ） 。
η
A1B1
α
Δ
②, A点加单位荷载
FP=1,在铰 B处虚设一对剪
力 FQ（ 为保持平衡 ）
FQ= sina
ABC
1
FQ
③,虚功方程：
1× Δ - FQ× η =0
Δ = FQ η
二、局部变形时的位移公式
基本思路：
? 把局部变形时的位移计算问题转化为刚体体系的位
移计算问题。
? 如图所示，已知只有 B点附近的微段 ds 有局部变形，
结构其他部分没有变形。求 A点沿 α方向的位移分量 d⊿
? d⊿ 局部变形有三部分：
? 轴向伸长应变 ε
? 平均剪切应变 γ0
? 轴线曲率 κ （ κ = 1/R,R为杆件轴向
? 变形后的曲率半径）
位移状态（实际） 力状态（虚拟）
（ 1） 两端截面的三种相对位移 相应内力
相对轴向位移 dλ=ε d s
相对剪切位移 dη=γ0ds
相对转角 dθ=d s /R=κ d s
轴力 FN
剪力 FQ
弯矩 M
相对位移 dλ,dη,dθ是描述微段总变形的
三个基本参数。
基本思路：
dη
AB C
AB C
s ds A1
α
dΔ
dθ
dλ
ds dλ
B C
dη
dθ
R
FN FN
FQ
FQ
MM1 α
FN
FQ
M
? （ 2） d s趋近于 0，三种相对位移还存在。
相当于整个结构除 B截面发生集中变形（ dλ,dη，
dθ）外，其他部分都是刚体，没有任何变形。
属刚体体系的位移问题。
? （ 3） 应用刚体体系虚功原理，根据截面 B
的相对位移可分别求出点 A的位移 d⊿,局部变
形位移公式：
0
1
()
NQ
NQ
d M d F d F d
d M F F ds
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
（ 6-8）
三、结构位移计算的一般公式
0() NQ
ll
d M F F d s? ? ?? ? ? ? ? ???
0() NQ
l
M F F d s? ? ?? ? ? ?? ?
由叠加原理：
总位移 ⊿ =叠加每个微段变形在该点 (A)处引起的微小
位移 d⊿
即：
若结构有多个杆件，则：
（ 6-9）
单位荷载虚功 = 所求位移
考虑支座有给定位移，则可得出结构位移
计算的一般公式：
0() N Q R K KM F F d s F c? ? ?? ? ? ? ????
其中包含：
弯曲变形对位移的影响 M d s??? ? ? （ 6-11）
轴向变形对位移的影响 NF d s??? ? ? （ 6-12）
剪切变形对位移的影响
0QF d s??? ? ?
（ 6-13）
支座移动对位移的影响
（ 6-10）
RK KFc? ? ??
（ 6-14）
讨论：
（ 1）,式（ 6-10）根据刚体体系虚功原理
和叠加原理导出，适用于小变形情况。
（ 2）、式 (6-10)实质上是几何方程，给出已
知变形（内部变形 κ,ε,γ0和支座位移 ck），与拟
求位移 ⊿ 之间的关系。
（ 3）、式（ 6-10）是普遍公式。（因为在推
导中未涉及变形因素、结构类型、材料性质）可
考虑任何情况：
①,变形类型：弯曲、轴向、剪切变形。
②,产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移
动等。
③,结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定、超
静定。
④,材料性质：弹性、非弹性。
（ 4）、变形体虚功原理：
将式（ 6-10）改写为：
01 ( )R K N QKF c M F F d s? ? ?? ? ? ? ? ??? ?
（ 6-15）
外力虚功 W = 内虚功 Wi （ 6-16）
可视为变形体虚功原理的一种表达形式。
四、结构位移计算的一般步骤
已知结构杆件各微段的应变 κ,ε,γ0（根据引
起变形的原因而定），支座移动 ck。
求结构某点沿某方向的位移 ⊿ 。
1、沿欲求 ⊿ 方向设 FP=1。
2、根据平衡条件求出 FP=1作用下的 M,FN、
FQ,FR。
3、根据公式（ 6-10）可求出 ⊿ 。
注意正负号：
②,公式（ 8-10）中各乘积表示，力与变形方向一致，
乘积为正，反之为负。
①,求得 ⊿ 为正，表明位移 ⊿ 的实际方向与所设单
位荷载方向一致。
五,广义位移计算
广义位移：
某截面沿某方向的线位移；
某截面的角位移；
某两个截面的相对位移；等。
在利用（ 6-10）求广义位移
时，必须根据广义位移的性质
虚设广义单位荷载。
A B
q
θA θB
Δ
A BMA =1
MB=1
如：右图所示简支梁，求 AB两截面
的相对角位移。
求解过程,可先求 θA和 θB，再叠加。
也可直接求出 θAB= θA+ θB
广义位移和广义虚单位荷载示例
广义位移 广义虚单位荷载 （外力）虚功
B
A
ΔA
ΔB
B
A
FP=1
FP=1
1·⊿ A+1·⊿ B
=⊿ A+⊿ B
=⊿ AB
A BlAB BAθ
AB
ΔA
ΔB
lAB
1
lAB
1
1/lAB·⊿ A+ 1/lAB·⊿ B
=(⊿ A+⊿ B)/ lAB
=θAB
广义位移和广义虚单位荷载示例
广义位移 广义虚单位荷载 （外力）虚功
A B BA
CC
li
lj
iA?
iB?
jB?
jC?
1
li
1
li
1
lj
1
lj
1/li·⊿ Ai + 1/li·⊿ Bi
+1/lj·⊿ Aj+
1/lj·⊿ Aj
= (⊿ Ai+⊿ Bi)/ li+
(⊿ Bj+⊿ Cj)/ lj
=θi+ θj
= θij
C
A B
LC?
RC?
C?
C
A B
1 1 1· θ
CL+1· θ CR
= θ CL + θ CR
= θ C
§ 6-3 荷载作用下的位移计算
? 1、荷载作用下的结构位移计算公式
? 根据公式 （ 6-9）
( 6 - 9 ) K NQM d s F d s F d s? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?
本节讨论中，设材料是线弹性的。在此，微
段应变 κ,ε, γ0 是由荷载引起的（实际位移状
态），由荷载 — 内力 — 应力 — 应变顺序求出。
? 由材料力学公式可知：
? 荷载作用下相应的弯曲、拉伸、剪切
应变可表示为：
弯曲应变,κ = MP /EI
轴向应变,ε = FNP /EA (6-18)
剪切应变,γ0= k FQP /GA
? 式中：
? ①,FNP,FQP, MP是荷载作用下，结构各截
面上的轴力，剪力，弯矩。注意这是在实际状
态下的内力。
? ②,E,G材料的弹性模量和剪切弹性模量。
? ③,A,I杆件截面的面积和惯性矩。
? ④,EA,GA, EI杆件截面的抗拉，抗剪，抗
弯刚度。
? ⑤,k是与截面形状有关的系数（剪应力分布
不均匀系数）
? 计算公式
? （ 6-8）dA
b
s
I
Ak
A
?? 2
2
2
? 将 （ 6-18） 代入 （ 6-9） 可得荷载作用下平面
杆件结构弹性位移计算的一般公式：
ds
EI
MMds
GA
FFk
ds
EA
FF PQPQNPN
KP ? ?? ?? ? ????
（ 6-19）
将位移计算问题转化为两种状态下的内力计算问题。
?正负号规定：
?FN, FNP 拉力为正；
?FQ, FQP 同材料力学
?M,MP使杆件同侧纤维受拉时，乘积为正。
2、各类结构的位移计算公式
? （ 1）、梁和刚架：位移主要由弯曲变形引起。
( 6- 20 )PMM dsEI?? ? ?
（ 2）、桁架：各杆只有轴力，且各杆截面和
各杆轴力沿杆长一般为常数。
( 6 - 2 1 ) NNN P N PF F F F ldsE A E A? ? ????
? （ 3）、组合结构：一些杆件主要受弯，一些杆件只
有轴力。
( 6 - 2 2 ) N NPP F F lMM ds
E I E A
? ? ????
?（ 4）、拱：
? ① 扁平拱及拱的合理轴线与拱轴相近时：
( 6 - 2 3 ) N NPP FFMM d s d s
E I E A
? ? ?????
② 通常情况：
( 6- 20 ) PMM dsEI?? ? ?
思考,
? (1)、公式（ 6-10）与（ 6-19）中各量值的
物理意义。
? （ 2）、公式（ 6-10）的适用条件？公式
（ 6-19）的适用条件？
? （ 3）、若体系为非弹性体系，荷载作用下
计算结构的位移是否可用公式（ 6-19）？
? 例, 简支梁的位移计算。
? 求图示简支梁中点 C
的竖向位移 ⊿ CV 和截面
B的转角 φB。
?解,求 C点的竖向位移。
? 虚拟状态如图； FP=1
1/2
实际状态 虚拟状态
MP=q(lx-x2)/2 M=x/2
FQP=q(l-2x)/2 FQ=1/2
因对称性，只计算一半。
§ 6-4 荷载作用下的位移计算举例
? 讨论剪切变形和弯曲变形对位移的影响：
GA
k ql
EI
ql
dxxl
q
GA
k
dxxlx
qx
EI
l
CV
8384
5
)2(
22
11
2
)(
22
1
2
24
2
2/
0
??????
??????
?
?
? 设简支梁为矩形截面,k=1.2,I /A= h2 / 12,
? 横向变形系数 μ=1/3,E/G=2(1+ μ)=8/3。
? ⊿ γ / ⊿ κ = ( kql2/8GA)/(5ql4/384EI)
? =9.6/l2·k·E/G ·I /A = 2.56(h/l)2
?当 h/l =1/10时,则,⊿ γ / ⊿ κ =2.56﹪
对一般梁来说，可略去剪切变形对位移的影响。
? 但当梁 h/l＞ 1/5时,则,⊿ γ / ⊿ κ =10.2﹪
? 对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。
?求截面 B的转角 φB 。
? 虚拟状态如图所示。
M=1
1/l
实际状态 虚拟状态
MP=q(lx-x2)/2 M= - x/l
)(
逆时针
EI
qldxxlxq
l
x
EI
l
B 24)(2)(
1 32
0
??????? ??
计算结果为负，说明实际位移与虚拟力方向相反。
? 例,
图示一屋架，屋
架的上弦杆和其他压
杆采用钢筋混凝土杆，
下弦杆和其他拉杆采
用钢杆。
试求顶点 C的竖
向位移。
解：
（ 1）求 FNP
先将均布荷载 q化为结点荷载 FP=ql/4。
求结点荷载作用下的 FNP 。
0.278l
0.444l
1
1 1
1/2 1/2
FNP
3.00
2.0 2.0
4.50
0.278l
0.444l
1
0.5 0.5
FN（ 2） 求
§ 6-5、图乘法
?一、图乘法的适用条件
? 计算弯曲变形引起的位移时，要求下列积分：
dsEIMM P? ???
? 符合下列条件时，积分运算可转化为图乘运算，比较
简便。适用条件为：
?（ 1）、杆轴为直线；
?（ 2）、杆段 EI = 常数；
?（ 3）,M和 MP中至少有一个是直线图形。
二、图乘公式
? 图示为 AB杆的两个弯矩
图。
? M为直线图形,MP 为任
意图形。
? 该杆截面抗弯刚度 EI=常数。
O
O’
MP图
αM图由 M图可知：
M= y= x tanα
dx
dA=MPdx
y
x
C
xC
yC
A B
1P
P
MM d s M M d x
E I E I? ? ???
1 ta n
Px M d xEI ?? ? ??
1 ta n x d A
EI ??? ? Cx d A A x???
⊿ =
xC tana=yC
⊿ =∫(M MP /EI)ds=
由此可见，当满足上述三个条件时，积分式
的值 ⊿ 就等于 MP图的面积 A乘其形心所对应 M
图上的竖标 yC，再除以 EI。
正负号规定：
A与 yC在基线的同一侧时为正，反之为负。
AxC tana1EI
·A·y C1EI
三、应用图乘法计算位移时的几点注意
? 1、应用条件：
? 杆段必须是分段等截面； EI不能是 x的函数；
两图形中必有一个是直线图形,yC取自直线图
形中。
? 2、正负号规定：
? A与 yC同侧，乘积 A yC取正； A与 yC不同侧，
则乘积 A yC取负。
? 3、几种常用图形的面积和形心位置：
? 见书 P.126,图 6-21，注意正面积和斜面积是
相同的。
? 曲线图形要注意图形顶点位置。
? 4、如果两个图形均为直线图形，则标距 yC
可取自任何一个图形。
? 5、当 yC所属图形是由
几段直线组成的折线图形，
则图乘应分段进行。在折
点处分段图乘，然后叠加。
（为什么？）
A1
y1
A2
y2
A3
y3
? 当杆件为阶段变化杆
件时（各段 EI=常数），应
在突变处分段图乘，然后叠
加。 （为什么？）
6、把复杂图形分为简单图形
（使其易于计算面积和判断形心位置）
? 取作面积的图形有时是不规则图形，面积
的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形
分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠
加。
? （ 1）、如两图形均为梯
形，不必求梯形形心，可将
其分解为两个标准三角形进
行计算。A B
C D
a b M
P
l
c d M
C1
yC1
C2
yC2
A
C
D
MP’C1a
A
D
B
b MP’’C
2
MP=MP’+MP’’
⊿ =(1/EI)∫MMPds
=(1/EI) ∫M(MP’+MP’’)ds
⊿ =(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2]
⊿ = l6EI (2ac+2bd+ab+bc)
? (2)、左图也可分为两个
标准三角形，进行图乘运
算。A B
C
D
a
b
MP
c
d
M
l
C1
yC1
yC2
C2
C1a
bC2
MP’
MP’’
⊿ =(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2]
其中,
yC1=2c/3 - d/3
yC2=2d/3 - c/3
⊿ = l6EI (2ac+2bd-ab-bc)
（ 3）、一般情况
? 右图所示为某一
段杆 (AB)的 MP图。可
将此图分解为三个图
形，均为标准图形，
然后与 M图图乘，图
乘后叠加。
四、示例 ? 例 1、求悬臂梁中点 C的挠度
⊿ CV,EI=常数。
? 解,
? （ 1）,设虚拟力状态如图，
作 M和 MP。由于均为直线图形，
故 AP可任取。
FP
l/2 l/2
⊿ CV
FP
MP
FP l
1 l/2
M
A
5FP l/6 ?M,A=1/2× l/2× l/2=l2/8
?MP,yC=5/6× FP l
?⊿ CV=A·yC /EI
? =(l2/8× 5/6× FP l)/EI
? =5FP l3/48EI (↓)
? (2),讨论
? 若：
? AP=1/2× FPl× l=Pl2/2
? yC=1/3× l/2=l/6
? ⊿ CV=AP·y C /EI
? =(FPl2/2× l/6)/EI
? =FP l3/12EI(↓)
? 对否？错在哪里？
FP
l/2 l/2
⊿ CV
FP
MP
FP lAP
1 l/2
M
l/6
FP
l/2 l/2
⊿ CV
FP AP
1 l/2
3、正确的作法
AP1=1/2× FP l× l/2=FP l2/4 y1=l/3
AP2=1/2× FP l/2× l/2=FP l2/8 y2=l/6
AP3=1/2× FP l/2× l/2=FP l2/8 y3=0
FP l
?⊿ CV=∑AP·y C/EI
=(FP l2/4× l/3+ FP
l2/8×
l/6+FP l2/8 × 0)/EI
=5FP l3/48EI (↓)
60kN
12kN例,
图示刚架，用
图乘法求 B端转角
θB ; CB杆中点 D的
竖向线位移 ⊿ DV。
各杆 EI=常数。
EI=常数
解,
? 1、作荷载作用下结构的弯矩图。
72kN
72kN
12kN
252 45
90 MP图 (kN?m)
?2、作虚拟力状态下的图 M。
M=11
M
?3、求 θB。图乘时注意图形分块。
C1
C2 y1 y
2
C3
C4
y3
y4
252 45
90 MP图 (kN?m)
1
?4、作虚拟力状态下的图 M。
?5、求 ⊿ CV，图乘时注意图形分块。
3
M (m)
81
C1
C2
C3
C4
C5
y1 y
2
y3
y4
y5
45/4
例,q=16kN/m
64kN?m 64kN?m
16kN?m
16kN?m
? 求铰 C左右截面相
对转角 θC。 各杆
?EI=5× 104 kN·m 2 。
?解：
? 作荷载作用下的弯矩
图；虚拟力作用下的弯矩
图。
? （注意：①斜杆弯矩
图的做法；②各弯矩图的
单位。）
32 32
? θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1)
? -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI
? kN·m m kN/m2
? =0.005867 （弧度）
? 方向与虚拟力方向一致。
§ 6-6、静定结构温度变化时的位移计算
? 平面杆件结构位移计算的一般公式
6)-(6 dsMdsFdsF QNK ?????????? ? ?? ?? ? ???
在此,ε,γ,κ由温度作用引起。
?注意静定结构特征：
? ① 组成：无多余约束的几何不变体系；
? ② 静力：温度作用下静定结构无反力、内力；
杆件有变形，结构有位移。
? 温度作用时由于材料热胀冷缩，使结构产生变
形和位移。
1、温度变化时静定结构的特点：
? （ 1）、有变形（热胀冷缩）
? 均匀温度改变（轴向变形）；
? 不均匀温度改变（弯曲、轴向变形）；
? 无剪切变形。
? （ 2）、无反力、内力。
2、微段由于温度改变产生的变形计算
? 设温度沿截面厚度直线变化。
? （ 1）轴向伸长（缩短）变形：
? 设杆件上边缘温度升高 t10，下
边缘升高 t20。形心处轴线温度：
? t0 =(h1t2+h2t1)/h
? （截面不对称于形心）
? t0 =(t2+t1)/2
? （截面对称于形心）
? du = ε ds = α·t0 ds
? α —— 材料线膨胀系数。
ds
形心轴
+t1
+t2
t0
h1
h2
αt1ds
αt2ds
du
dφ
(2)、由上下边缘温差产生的弯曲变形：
? 上下边缘温差
? ⊿ t = t2 – t1
? dφ= κds = α(t2-t1)ds/h= α⊿ t ds /h
（ 3）温度作用不产生剪切变形
γds =0
3、温度作用时位移计算公式
0 ( 6 - 2 8 a ) N
tF t d s M d s
h
?? ??? ? ? ? ?????
0 d s ( 6 - 2 8 b ) N
tt F d s M
h
?? ??? ? ? ? ??? ??
如 t0,⊿ t和 h沿每杆杆长为常数，则：
? ① 正负号：比较虚拟状态的变形与实际状态
中由于温度变化引起的变形，若两者变形方向相
同，则取正号，反之，则取负号。
? ② 刚架（梁）中由温度变化引起的轴向变形
不可忽略。
?例：
? 图示刚架，施工
时温度为 200C,试
求冬季当外侧温度
为 -100C，内侧温度
为 00C时，点 A的竖
向位移 ⊿ AV，已知
α=10-5,h=40cm
（矩形截面）。 l=4m
A
00C
-100C
?外侧温度改变, t1= - 10 – 20 = - 300
?内侧温度改变,t2 = 0 – 20 = - 200
-300C
-200C
l=4m
A
-300C
-200C
FP=1
FN
FN=0
F N
=
-1
FP=1l
M
?t0=(t1+t2)/2=（ -30–20） /2= - 250
?⊿ t= t2 - t1= - 20 -（ - 30） =100
?⊿ AV= α× (-25) × (-1) × l+(-)α× 10/h×
? (1/2× l× l+l× l)
? = - 0.5 cm ( ↑ )
提问：
? （ 1）、若当结构某些杆件发生尺寸制造
误差，要求结构的位移，应如何处理？
? 应根据位移计算的一般公式进行讨论。
? 特点：除有初应变（制造误差）的杆件外，
其余杆件不产生任何应变。在有初应变的杆件
中找 κ,ε,γ即可。
? ?? ?? ? ?????? dsFdsFdsM QN ???
? （ 2）、静定结构由荷载、温度改变、支
座移动、尺寸误差、材料涨缩等因素共
同作用下，产生的位移应如何计算？
? 可先分开计算，在进行叠加
§ 6-11 线性变形体系的互等定理
状态 Ⅰ 状态 Ⅱ
一、功的互等定理 贝蒂（ E,Betti 意 1823—1892）定理
FP1FP1
FR1
FP2
⊿ 21
⊿ 12
⊿ 12
ds ds
令状态 Ⅰ 上的力系在状态 Ⅱ 的位移上作虚功
( a ) dsEI MMdsGA kFFdsEA FFW QQNN ? ?? ?? ? ??? 21212112
令状态 Ⅱ 上的力系在状态 Ⅰ 的位移上作虚功
( b ) dsEI MMdsGA kFFdsEA FFW QQNN ? ?? ?? ? ??? 12121221
比较（ a）、（ b）两式，知：
W12=W 21 （ 6-66）
∑FP1⊿ 12= ∑FP2⊿ 21
或写为：
?功的互等定理。
? 在任一线性变形体系中，第
一状态外力在第二状态位移上作
的虚功 W12，等于第二状态上的
外力在第一状态上作的虚功 W21。
? 应用时注意：
?
? 广义力 广义位移对应
? 由,W12=FP1·⊿ 12, W21=FP2·⊿ 21
? 有,W12=W21,FP1·⊿ 12=FP2·⊿ 12
FP1
12 2
M2 M2
1
⊿ 21 ⊿ 12
?功的互等定理应用条件：
?（ 1）材料弹性，应力与应变成正比。
（ 2）小变形，不影响力的作用。 即
为线性弹性体系。
?思考：
? 功的互等定理必须应用于线性弹性体系，为
什么？
? 功的互等定理应用条件与虚功原理有何不同？
二、位移互等定理
（位移影响系数互等）
? 位移互等定理（ Maxwell定理）
? 功的互等定理的一个特殊情况。
? 位移互等定理：
? 在任一线性弹性体系中，由荷载 FP1
所引起的与荷载 FP2相应的位移影响系数
δ21，等于由荷载 FP2所引起的与 FP1相应的
位移影响系数 δ12。
? 两种状态如图示
? δij— 单位力 FPj=1在 i方
向上引起的与 FPi相应的位
移，也称位移系数。
? ⊿ ij= δij× FPj
? 由功的互等定理
? W12 = W21
? FP1·δ12= FP2·δ21
? ∵ FP1= FP2=1
? ∴ δ12= δ21 (6-67)
? 注,数值相同，量纲相同。
FP1=1
FP2=1
δ21
δ12
? 广义位移系数量纲（单位）
δij=
位移单位（实际）
引起位移的广义力单位（实际）
? 例：如图所示，根据位移互等定理，可求得：
? θA=FPl2/16EI fC= Ml2/16EI
? 现 FP=M=1,
? 故,θA= fC= l2/16EI (1/kN=1/力）
? θA,单位力引起的角位移；
? fC,单位力偶引起的线位移。
? 位移含义不同，但数值相同，量纲相同。
FP=1
l/2 l/2
C
M=1
δ21=θA δ12=fC
三、反力互等定理
? 反力互等定理（瑞利 Regleigh 定理）
? 功的互等定理的一种特殊情况。
? 用以说明在超静定结构中，假设两个
支座分别发生单位位移，两种状态中反
力的相互关系。
? 同一线性变形体系中的两种变形状态
? rij— 支座 j发生单位位移 ⊿ j=1时，在支座 i
处产生的反力，也称反力影响系数。
? rij=Rij/⊿ j
⊿ 1=1
r11
⊿ 2=1
r22
r21
r12
? 由功的互等定理：
? W12 = W21
? ∵ ⊿ 1= ⊿ 2=1
? r12·⊿ 1= r21·⊿ 2
? ∴ r12= r21 (6-68)
? 即为反力互等定理。
反力互等定理
? 在任一线性变形体系中，由支座位移
⊿ 1所引起的，与支座位移 ⊿ 2相应的反力
影响系数 r21,等于由支座位移 ⊿ 2所引起
的与位移 ⊿ 1相应的反力影响系数 r12。
? 注：数值相等，量纲相等。
? 广义反力系数量纲（单位）：
? r12= 反力 R的单位（实际力的单位）
? 位移 ⊿ 的单位（实际力的单位）
? 定理对任何两种
支座都适用，注意
反力和位移之间的
相互对应关系。
? 如图：
Δ1=φ1=1
Δ2=1
Δ3=1
r12
r21r31
r13
r23
r32
?r12= r21
?r13 = r31
? r23 = r32
?思考：
? 反力互等定理应用于静定结构，情况将如何？
如以简支梁为例：
⊿ 1=1
⊿ 2=1
r12
r21 = 0
= 0
四、反力与位移互等定理
? 功的互等定理的又一特殊情况。
? 说明一种状态的反力与另一状态中的
位移具有数值上的 互等关系。
习题课 Ⅰ,静定结构位移计算
? 重点：
? 荷载作用下梁和刚架的位移计算。
? 其他因素作用下位移计算的一般原则。
? 要求：
? 广义虚拟力状态选择。
? 明确虚功原理的使用范围，互等定理
的使用范围。
? 明确图乘法的适用条件，能够熟练应
用。
复习：
? 位移计算的一般公式：
? 提问：此公式的理论依据是什么？
? （ 1）式中包括哪两套物理量？
? 位移，应变（ ⊿ c ε γ0 κ ） 给定的
? 外力，内力（ FP R FN FQ M ） 虚拟的
? （ 2）应用范围？
? （ 3）位移计算公式在各种具体情况下的简化
公式：
0 KN Q R KF d s F d s M d s F c? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
? 荷载作用：
QN QPNP Pk F FFF MMd s d s d s
E A G A E I
? ? ? ?? ? ?? ? ?
RK KFc? ? ? ??
0 N
tt F d s M d s
h
?? ??? ? ? ??? ??
? 支座移动：
? 温度变化：
? （ 4）、图乘公式：
? 注意其适用条件，正负号，图形分段、分
块。熟练其计算方法。
? （ 5）、互等定理：
? 功的互等定理,W12 = W21
? 位移互等定理,δ12= δ21
? 反力互等定理,r12= r21
? 注意其适用条件，应用范围，加深理解。
0
1 Ay
EI
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思考题,判断下列图乘是否正确?
? 图乘结果,
12()
3 h l cEI ? ? ?
1 1 1 3()
2 3 4a c e d a eEI ? ? ? ? ? ? ? ?
思考题,判断下列图乘是否正确?
? 图乘结果,
12()
3
h l c
EI
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1 1 2 1 2()
2 3 2 3
a l c b l d
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