第十三章
结构的动力计算
§ 13-1、动力计算的特点和动力自由度
? 1、动力荷载的特点。
? 静力荷载, 施力过程缓慢,不使结构物产生
显著的加速度,因而是可以略去惯性力影响的荷
载。
? 静力荷载对结构的影响,静力荷载作用下，
结构处于静力平衡状态，荷载的大小、方向、
作用点以及由它引起的结构的内力、位移等各
种量值都不随时间而变化。
? 动力荷载,施力过程较迅速，在动
力荷载作用下，结构将产生不容忽视的
加速度，必须考虑惯性力的影响。
? 动力荷载对结构的影响,动力荷载
作用下，结构将发生振动。荷载的大小、
方向、作用点以及由它引起的结构的内
力、位移等各种量值都是时间的函数。
力系中包括惯性力，计算中考虑瞬间平
衡。
2、常见的动力荷载及分类
? 1、周期荷载,荷载随时间作周期性
变化。
? （ 1）简谐周期荷载：荷载 FP(t) 随时
间 t 的变化规律可用正弦或余弦函数表示。
是周期荷载中最简单，也是最重要的一种。
? （ 2）一般周期荷载：简谐荷载以外的
其它形式的周期荷载。
t
简谐荷载
FP(t)
t
周期荷载FP(t)
? 2、冲击荷载,在很短的时间内，荷
载急剧增大或急剧减小。
? （ 1）作用在结构物上的爆炸冲击荷
载。
? （ 2）突加荷载，突然施加于结构并
在一定时间内荷载值维持不变。
? （ 3）撞击荷载，物体之间相互撞击
作用，在极短时间内出现，又突然消失
的荷载。
? 以上为数定荷载，确定性荷载。
t
非周期性的爆炸荷载
FP(t)
3、随机荷载（非数定荷载）：
? 在任一时刻的数值无法预测。
? （ 1）地震对建筑物的激振。
? （ 2）风力的脉冲荷载。
? （ 3）波浪对坝体的拍击。等
? 动力荷载作用可以是分布的，也可
以是集中的。其作用位置可以是固定的，
也可以是随时移动的。
? 本课程在此只讨论数定荷载作用。
t
üg
3、结构动力计算的特点
? 根据达朗伯 (J.le R,d’ Alembert) 原理，
动力计算问题可以转化为平衡问题来处理。但
这是一种动平衡，是在引进惯性力条件下的平
衡。
? 注意两个特点：
? 1、在所考虑的力系中包括惯性力。
? 2、这里考虑的平衡是瞬时平衡，荷载及
其引起的内力等量值均为时间的函数。
4、结构动力计算的内容
? 结构动力计算的目的：确定动力荷载作用
下结构的内力，位移等量值随时间而变化的规
律，从而找出最大值，作为结构设计和验算的
依据。
? 研究结构受迫振动是动力计算的一项根本
任务。而结构在受迫振动时各截面的最大内力
和位移均与结构自身的动力特性有关，即与结
构自由振动时的频率和振动形式密切相关。因
此，寻求结构自身的自振频率与振型就成为研
究受迫振动的前提。
? （ 1）结构动力特性
? 结构自由振动 （振动过程中无外干扰力作用）
? 结构自身的自振频率 ω，
? 自振周期 T，
? 振动形式 {Y}，
? 阻尼性质。
? （ 2）结构的动力反应
? 结构的受迫振动 （振动过程中受外干扰力作用）
位移、内力等：,y(t),y(t)y(t) ;
M(t),FN(t),FQ(t)
5、动力计算中体系的自由度
? （ 1 ）结构动力计算的计算简图及自由度。
? 动力计算中由于要考虑惯性力的作用，因此
需要研究体系的质量分布，即，质量在运动过程
中的自由度问题。
? 自由度,结构（体系）在变形过程中，确定全
部质量位置所需要的独立参数的数目。
? 一个结构（体系）的自由度是指，为了确定运动过程
中任一时刻，全部质量位置所需确定的独立几何参数的数
目。
? 一般体系都是连续分布的，属于无限自由度
问题。计算繁重，一般不必要。简化通常有两种
方法。
? ①,集中质量法：
? 集中质量 （质点或刚体）
? 弹性无重杆
有限个自
由度体系
? 由于对问题的复杂性和计算精度的要求不同，
同一结构可取不同的计算简图。
? 为了简化计算，杆系 (受弯 )结构振动
时，通常假定：
? a,略去质量的角位移（转动惯量），
把质量视为质点。
? b,忽略质量运动在结构杆件中产生
的轴向变形。
y = y ( x,t )
x
y
m EI l n=∞
x
y
y3( t )a a a a
m m mm/2 m/2
mi=ma
y1( t ) y2( t )
x
y
m EI l
y = y ( x,t )
W
y = y (t )
x
y
m=W/g +ml
m
无限自由度
有限自由度
②, 广义坐标法
把一个无限自由度体系简化为有限自
由度体系时,可以通过近似地假设振动曲线
来实现。如：
)()(
1
xaty k
k
k ??
?
?
?
其中 φ1(x),φ2(x),…φn(x)为满足位移
边界条件的已知函数（形状函数）。
a k — 待定参数（广义坐标）。
? 具有分布质量的简支梁是一个具有无限
自由度的体系。简支梁的挠度曲线可用三角
函数表示：
l
xkaty
k
k
?s in)(
1
?
?
?
?
? 其中,sin (kπx/l)— 形状函数（满足位
移边界条件）
? a k — 待定参数，广义坐标 (坐标选定
后，由无限多个广义坐标 a k确定 y(t) )。
l
xkaty n
k
k
?s in)(
1
?
?
?
? 通常取前几项 。
? 无限自由度简化为 n 个自由度体系。
( 2 )、确定质点体系自由度数目的方法
? 较简单的可以直接判定。
? 较复杂的可以采用链杆法，即：加入
最少数量的链杆，限制体系上所有质点
运动的方法来判定。
? 体系的自由度数目 =加入链杆数。
m1 m2
m3
例：
m1 m2
m3
y1( t ) y2( t )
y3( t )
n=3
n=1
EI=常数
n=2
EI=常数
n=3
EI=常数
n=4
EI
EIEI=∞
n=2
动力自由度的特点：
? （ 1）、与质量的分布，体系的支承和变形
性质有关。
? （ 2）、与体系是否有多余约束无确定关系。
? （ 3）、动力自由度的数目不一定等于质点
的数目。
? （ 4）、动力自由度与体系几何构造自由度
的异同？
? 共同处：体系运动形式的独立参数个数。
? 不同处：一为质点运动的自由度；一为刚体体系
的运动自由度。
§ 13-2、单自由度体系的自由振动
? 1、自由振动微分方程的建立
? （ 1）、建立动平衡方程（刚度法）
? 杆头作用集中质量为 m；
? 梁的刚度系数为 k。（ 使梁端产生单
位位移时，在梁端所需施加的水平力）
? 振动某一时刻 t, 质量离开其平衡位
置的位移为 yd (t)。
m
y
d
⊿ st m静平衡位置
kk
m
W
Fe (t)
FI (t)
? 取质量 m为隔离体，在振动
的任一瞬时，质点上所受的力有：
（ 1）、重力 W
（ 2）、弹性力 Fe (t) 。
（ 3）、惯性力 FI (t)
m
W
Fe (t)
FI (t)
弹性力 Fe (t),
Fe (t)= - ky(t)= - k (⊿ st+ yd )
惯性力 FI (t),
FI (t)= - m? (t)= - m(⊿ st+ ? d )‥
则动力平衡方程：
m?d + k yd = 0
m(⊿ st+ ?d )+ k (⊿ st+ yd ) =W‥
有,W= k⊿ st ‥⊿ st=0
? m ? + k y = 0 (13-1)
若以静力平衡位置作为计算位移
的起点，则所得的动力位移的微分方
程与重力无关。故：
? 质点在惯性力与弹性力的作用下维持
动力平衡（达朗伯原理）。
? 故,m ? + ky = 0
? 或写成,? + k /m·y = 0
? ? +ω2y = 0 (13-2)
ω = √k /m
? 即为单自由度体系无阻尼自由振动的运
动方程，反映了振动的一般规律。
在运动的任一瞬时 t, 在质量 m上作
用有惯性力 FI(t)= -m?,则质量在任一瞬时
的位移为：
(2)、建立动位移方程（柔度法）
y (t)
FI (t)
静平衡位置
y(t)=FI·δ= - m·? ·δ=(- m ·?) · k1
? δ=1/k— 弹簧的柔度系数，即：梁端作用单
位力时，梁端产生的位移。其值与刚度系数 k互为
倒数。
y (t)
FI (t)
静平衡位置
? 质量 m在运动过程中任一时刻的位移,等于
在当时的惯性力作用下的静力位移。
2、自由振动微分方程的解
? 由方程,?+ω2y = 0
? （ 13-2）
? 通解,y(t)= B cos ωt + C sin ωt
? B,C由初始条件定。
? t =0 y(0)= y0 ( 初位移 )
? y(0)= y0 = v0 ( 初速度 )
? 代入通解,可得：
? B = y0,C = v0 /ω
k
m? ?
称为“谐振动”。 a表示质点的最大位
移，称为振幅； α为初相角。
由于 cosωt,sin ωt都是周期函数，它们
每经历一定时间，就会出现相同的数值。
若给时间 t一个增量 T=2π/ω,则 y,y的数值
均不变。
? y(t)= y0cos ωt +v0 /ω sin ωt （ 13-3）
若令,y0= a sinφ,v0 /ω = a cosφ
y(t)=a sin(ωt+α) (13-4)
a= y02 +v02 /ω2
α =1tan-1 (y0ω /v0 ) (13-5 )
3、结构的自振周期和频率
? （ 1）、周期 T— 振动一次的时间。对
一定体系是常数。
? T = 2π/ω （ 13-6）
? 单位“秒 （ s）,
? （ 2）,频率 f— 单位时间的振动次数
（也称为工程频率）。
? f =1/T=ω/2π （ 13-7）
? 单位,1/秒,或称为,赫
兹,
? 圆频率 ω（ 习惯上简称为频率，自振
频率） — 2π个单位时间内振动次数。
? ω=2π/T =2πf （ 13-8）
? 单位,rad/s, 弧度 /秒。
? （ 3）、自振周期和频率计算公式的
几种形式：
(13-10)k
m
ω= = 1
m δ =
g
W δ =
g
⊿ st
T=2π δm =2π m δ =2π W δg =2π g⊿ st
（ 4）、结构自振周期（频率）的
一些重要性质
? ①、自振周期 T（ 自振频率 ω） 只与
结构的质量和刚度（柔度）有关，与外
界干扰因素无关。（干扰力的大小只能
影响振幅，是初始条件）。
? ②,T与 m的平方根成正比（ m大,T
大）； T与 k的平方根成反比（ k大,T
小）。
? ω与 m的平方根成反比（ m大,ω
慢）； ω与 k的平方根成正比（ k大,ω
快）。
? 改变结构的自振周期，只有从改变结
构的质量或刚度入手。
? ③,T（ 或 ω） 是结构动力特性的重要
数量标志。
? 两个外表相似的结构，如 T（ 或 ω）
不同，则动力性能相差很大。
? 两个外表相差很大的结构，如 T（ 或
ω） 相同，则动力性能基本一致。
例,
? 图示各梁 EI=常数,跨
中有集中质量 m,忽略梁
本身的质量,求各梁的自
振周期 T和自振频率 ω。
? 解：
? 本题用柔度法比较方
便。
? 先求出各梁的 δ,T、
ω,再进行比较。
? (a)
? δ=2× (
FP=1
δ F
P=1
l/4M
1
2
l
4
l
22
3
l3
48EI
× × )
× ( l4× )
=
ω= ml348EI√
T= ml348EIω2π =2π√
? (b)
? δ=[(1/2·3l/16·l/2)·
? (2/3·l/2)-(1/2·
? 5l/32·l/2)·
? (1/3·l/2)]/EI
? = 7l3/768EI
ω= 768EI/7ml3√
T=2π 7ml3/768EI√
FP=1
δ
FP=13l/16
5l/32 M
FP=1l/2
M
? (c)
? δ=2[(1/2·l/8·l/2)·
? (2/3·l/2)-(1/2·
? l/8·l/2)·
? (1/3·l/2)]/EI
? = l3/192EI
ω= 192EI/m l3√
T=2π m l3/192EI√
FP=1δ
FP=1l/8 l/8
l/8 M
FP=1l/2
M
比较,
? ω1, ω2, ω3 = 1, 1.512, 2
? T1, T2, T3 = 1, 0.66, 0.52
例,
? 各柱 EI=常数,横
梁 EI1=∞,各跨横梁
的质量均为 m,柱的
质量不计,求体系的
自振周期 T和自振
频率 ω。
? 解：
? 本题为单自由度
体系的自由振动问
题。当柱顶发生单
位水平位移时，各
柱剪力为 12EIi/H3。
k
12EI
H3
24EI
H3
24EI
H3
12EI
H3
k= 72EIH3
? ∑X=0
? k = 2× 12EI/H3+2× 24EI/H3
? = 72EI/H3
EI
mH
EI
mHT
24
2
72
32 33 ?? ??
33
24
3
72
mH
EI
mH
EI ???
§ 13-3、单自由度体系强迫振动
? 一、运动微分方程
? 1、质点运动方向上作用动荷载 FP(t)
? 列动平衡方程：
? ∑y=0
? FI(t)+Fe(t)+FP(t)=0
? m? + k y = F P(t)
? ? +ω2y = FP(t)/m
? (13-11)
m
k
EI,l
FP(t)
y(t)
FP(t)
FI(t)
Fe(t)
? 列动位移方程：
?在运动的任意时刻 t,
? y(t)=FI(t)·δ+FP(t)·δ
m
k
EI,l
FP(t)
y(t)
FI(t)
FP=1
δ
2、动荷载作用在结构的任意位置
? 列动位移方程：
? 运动任意时刻 t,质点上作
用有假想的惯性力 FI(t)。
? y(t)=FI(t)·δ11+FP(t) ·δ1P
? =-m? ·δ11+ FP(t) ·δ1P
? m?·δ11+y(t) = FP(t) ·δ1P
? m?+1/δ11 ·y = δ1P/δ11· FP(t)
? 令, δ1P/δ11· FP(t)= FP(t)
? ?+ω2y = FP(t)/m
m
k
EI,l
FP(t)
y(t)
FP=1
δ11
FP=1
δ1P
FI(t)
3、基础运动
? 基础发生运动 ug(t),列
动平衡方程：
? ∑X=0
? FI(t)+ Fe(t) =0
? m?+ky = - müg(t)
? 令,FP(t) = - müg(t)
? m?+ky = F P(t)
? ?+ω2y = FP(t)/m
üg 地面加速度 Fe(t)= - k y
FI(t)= - m(?+ü g )
小结：
? 1、单自由度体系 （ SDOF） 强迫振动
时，荷载是否作用在质点运动方向上，
在微分方程中影响非齐次项。动荷载如
果不作用在质点运动方向上，应用 FP (t)
代替 FP (t) 。
? 2,注意各项系数的物理意义和计算
方法。
提问：
? 1、第 2种情况下，是否可用动平衡法
列出运动微分方程？如何列出？
? 2、第 3种情况下，是否可用动位移法
列出运动微分方程？如何列出？
二、简谐荷载 FP (t) =Fsinθt 作用
? 1、简谐荷载作用下的动力反应。
? F— 荷载最大值（干扰力幅值）
? θ— 简谐荷载圆频率
? ?+ω2y =F/m·sinθt (a) 二阶线性非齐次方程
? 齐次解,y(t)=B cosωt+ C sinωt
? 特 解,y* = A·sinθt
? 特解代入（ a） 式, (-θ2+ω2)D sinθt=F/m ·sinθt
? 得,A=F /[m(-θ2+ω2)]
? y* = F /[m(-θ2+ω2)] · sinθt
? = F /[mω2(1-θ2/ω2)]· sinθt
22( ) c o s s in s in()
Fy t B t C t t
m? ? ???? ? ? ? ? ??
通解：
? 若设零初始条件：
22
( 0 ) 0,0
( 0 ) 0,
()
yB
F
yC
m
?
? ? ?
?
??
? ? ? ?
?
代入通解：
2 2 2 2( ) s in s in ( ) ( )
FFy t t t
mm
? ??
? ? ? ? ?? ? ? ???
第一部分称为伴生自由振动,由于实际
存在的阻尼，很快衰减。第二部分则按照干
扰力的频率 θ振动。
tyty st ?
?
? ?
?
?
s in
1
1
)(
2
2
很快进入 稳态受迫振动 阶段，或称
为 纯受迫振动 阶段。此时有：
22 2 2
2
1
( ) s in s in
()
( 1 )
FF
y t t t
mm
??
?? ? ?
?
? ? ?
?
?
由于：
2
2
1
st
kF Fy
m m m?? ??? ? ? ?
有：
? 最大动位移（即振幅）为：
2
2m a x
1
1
)]([
?
?
?
? styty
m a x
2
2
[ ( ) ] 1
1st
yt
y
?
?
?
??
?
sty
ty
最大静力位移
最大动力位移动力系数 m a x)]([?
其中,yst— 将干扰力幅值视为静力荷载
作用于体系时引起的位移。
令：
（ 13-13）
( ) s i n sty t y t??? ? ?
2、动力系数的特性
? (1) θ/ω→0, β→1 。
? y(t)与 FP (t) 同相,y(t) ＞ yst 。
? (2) θ/ω＞ 1,θ＞ ω,β ＜ 0。
? y(t)与 FP (t)反相 。
? θ＞＞ ω,θ/ω→∞,β →0 。
? (3) θ/ω→1,(θ=ω),β →∞,
? y(t) →∞ 。 共振。
? 实际上由于有阻尼的影响，动位移不会趋于无
穷，但 y(t) ＞＞ yst。
? 建筑上一般在 0.75≤θ/ω ≤ 1.25 区域内称为共振区，应避免。
1
1 θ/ω
β
0.75 1.25
3、动力位移与动力内力的计算（动静法）
? 简谐荷载 FP (t) =F sinθt作用在质点运
动方向上。
? 求得最大动力振幅 yP = β ·yst
? 求 最大动力内力时，将惯性力作用在质
点上：
? FI (t)= -m?= m β ·yst·θ2·sinθt=FI0 · sinθt
? 无阻尼时，惯性力幅值 FI0与动力荷载幅
值 F同时达到最大值。
? 所以当动荷载幅值 F与惯性力幅
值 FI0同时作用在质点上，求出的相应
内力，即为体系的最大动内力。
? 值得注意的是：当荷载作用在质
点运动方向上，则 动位移系数 β =动内
力系数 。此时：
? F+ FI0 = β F
? 故可用 β F 代替 F+ FI0的作用,
将其作用在质点运动方向上，所求得
的即为结构的最大动内力。
Fsinθt F
FI0
β F
βF=F+FI0
EI l m EI l m
EI l m
（ 2）、一般情况 （荷载作用在任意位置）
? 在质点上加惯性力
FI(t),与原荷载一起，
用（动）静力法求体系
的位移和内力。
? 无阻尼时，用动荷
载和惯性力的幅值即可
求出体系的最大动力反
应。
? 注,此时，不能
μFP代替 FP和 FI0, 计算
动位移和动内力。
FP sinθt
FP
FI0
为什么？
三、一般动荷载作用
? FP (t)是一般动力荷载，特解不易找出。
? 微分方程为,?(t)+ω2y(t)= FP (t) /m
? 特解可利用瞬时冲量作用下的振动导
出。
1、瞬时冲量的动力反应
? （ 1）、体系 t=0时处于
静止状态，突然有 瞬时冲
量 作用 S=FP·Δt,求任意
时刻的动力反应。
? S作用后，体系产生
自由振动。
? 由于冲量的作用，体
系产生初速度。（初位移
为零）
? v0=S/m= FP· Δt /m
FP(t)
O
tF
P
Δt
S=FP·Δt
? 利用自由振动公式：
? y(t)= y0cos ωt +v0 /ω·sin ωt
? ∴ y = S /mω·sinωt
? (13-14 )
? (2),如在 t=τ时作用瞬时冲
量 S,则在以后任一时刻 t（ t
＞ τ） 时的位移为：
? y( t ) =S/mω·sinω(t-τ)
FP(t)
O
tF
P
t-ττ dτ
t
S=FP·dt
2、一般动力荷载的动力反应
? FP (t)的作用相当于连续
冲量的作用。
? 在 t = τ 时，作用荷载为
FP (τ)
? 在微分时段 dτ内产生的
冲量为 dS = FP (τ) dτ 。
? 此微分冲量引起如下的
动力反应，对于 t＞ τ:
FP(t)
O
t
t-ττ dτ
t
dI=FP·dt
dy = ·sinω(t-τ)mωFP (τ)dτ
? 总反应为所有冲量引起的微分反应进行叠加。
? ??
t
P dtFmty 0 )(s i n)(
1)( ????
?
（ 13-15）
? 上式称为 杜哈梅（ J.M.C.Duhamel） 积
分 （零初始条件）。即：初始处于静止状态
的单自由度体系在任意动荷载 FP (t) 作用下
的位移计算公式。
? 如在初始条件中，初位移为 y0,初
速度为 v0,则总位移：
? ????? t P dtFmtvtyty 000 )(s i n)(1s i nc o s)( ????????
? 注：只要知道 FP (t)的表达式，便可使
用上述公式求体系的动力反应。如荷载未作
用在质点运动方向上（或地面运动），可用
FP (t)代替 FP (t)。
（ 13-16）
3、讨论几种动力荷载的动力反应
? （ 1）、突加荷载
0
FP(t)
tFP0
设,y0= v0=0 (t = 0时 )
FP(t)= 0 t < 0
FP0 t > 0
将 FP (t)的表达式代入 （ 13-15） 中,当 t > 0
0
0
00
0
2
11
( ) sin ( ) sin ( ) ( )
( 1 c os ) ( 1 c os )
tt
P
P
P
st
F
y t F t d t d t
mm
F
t y t
m
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
（ 13-17）
? y(t) = yst (1- cosωt)
? FP0 /mω2 = FPδ = yst
? [ y (t) ]max=2 yst =2 FP/mω2
? β = [ y (t) ]max / yst= 2 ——动力系数
yst
0 π 2π 3π 4π 5π 6π 7π ω t
静位移位置
（ 2）、短期荷载
FP(t)=
0 t<0
FP0 0<t<u
0 t> u
FP(t)
tFP0
u
解,阶段 Ⅰ, （ 0≤t ≤ u ）
y(t) = yst (1- cosωt)或 y(t) = yst (1- cos2πt/T)
阶段 Ⅱ,有多种作法。
①、直接利用杜哈梅积分
②、利用自由振动公式 （用突加荷载公式算出 t
= u时的位移和速度，作为 t≥ u 时的初始条件）
0
2
1
( ) [ sin ( ) 0 sin ( ) ]
[ c os( ) c os ]
2 sin sin ( ) ( 13 19 )
22
ut
Po
u
Po
st
y t F t d t d
m
F
t u t
m
uu
yt
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
0
0
( ) ( 1 c o s )
( ) sin
()
( ) ( ) c o s ( ) sin ( )
st
st
y u y u y
y u y u v
yu
y t y u t u t u
?
??
??
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
&
&
? 体系最大反应（分两种情况）：
? ①,u>T/2（ 加载时间大于半个自振周期）
? 最大动力反应发生在阶段 Ⅰ,动力系数
? β = [ y (t) ]max / yst= 2。
? ②,u< T/2（ 加载持续时间小于半个自振周
期）
? 最大动力反应发生在阶段 Ⅱ,
? [ y (t) ]max = yst? 2 ?sin(ωu /2)
? 动力系数：
? β = [ y (t) ]max / yst= 2 ?sin(ωu/2)=2?sin(πu/T)
∴ 动力系数 β = 2sin(πu/T) u /T <1/22 u/T >1/2
β
u/T
1/6 0.5 1
1
2
β与 u /T之
间的关系曲
线，称为
“动力系数
反应谱”。
§ 13-4、阻尼对振动的影响
? 一、阻尼理论
? 对振动起阻碍作用的因素称为阻尼。
? 阻尼可分为几种，统称为阻尼力。
? 1、来自外部介质，如空气、液体的阻力，
支承的摩擦等。
? 2、来自物体内部的作用，材料分子之间
的摩擦和粘着性等。
? 由于内外部阻尼的规律不同，且与各种建筑材料
的性质有关，因而确切地估计阻尼的作用是一个非常
复杂的问题。
? 为此，提出了许多不同的建议，为
使计算较简单，常用福格第 （ Voigt） 假
定：
? 振动中物体所受阻尼力与其振动速
度成正比，称为粘滞阻尼力。
? FC(t)= - cy(t)
? c — 阻尼系数，粘滞阻尼系数。
? （单位 N·s/m）
二、单自由度体系有阻尼振动微分方程
? 由动平衡：
? FI(t)+FC(t)+Fe(t)+FP(t)=0
?m y(t)+c y(t)+ k y(t)=FP(t)
? (13-22)
?m y(t)+c y(t)+ k y(t)= 0
y(t)+2ξωy(t)+ω2y(t)=0 ω=√ k/m
?ξ=c/2mω—阻尼比 (13-24)
m
kc
y(t)
m
FP(t)
FI(t)
Fe(t)
FC(t)
(一 )、有阻尼的自由振动
（ 13-23）
（ 1）、运动微分方程的解
? 设微分方程 (15-26)的齐次解为
? y(t)=C ert
? r由特征方程确定
? r2+2ξωr+ω2=0
r1,2=ω(-ξ ± ξ2 – 1 )√
一般解,y(t)=C1 er1 t + C2 er2 t
ξ是一个重要参数,ξ的大小，使体系的
运动呈不同情况。
ξ ＞ 1 ξ =1 ξ ＜ 1
大阻尼 临界阻尼 小（弱）阻尼
①,小 (低、弱）阻尼情况
12( ) ( c o s s in )
t
rry t e C t C t
?? ??????
方程的一般解为：
令,ωr = ω √ 1-ξ2
ri=ωξ ± iωr
? 引入初始条件：
00
1 0 2,
r
vyC y C ??
?
????
00
0( ) ( c o s sin )
t
rr
r
vyy t e y t t?? ????
?
? ? ? ? ? ???
( ) s in ( )t ry t e a t?? ??? ? ???
2
2 00
0 2
(
r
vyay ??
?
???? ）
0
00
ta n ry
vy
??
??
?
? ? ?
（ 13-27）
（ 13-28）
②、阻尼对振动的影响
a,频率,ωr≈ω,ωr≦ ω (Tr=2π/ ωr ≈T)
∵ ωr = ω √ 1-ξ2
如 ξ 很小，计算 ω 时可不考虑阻尼的影响。
如 ξ＜ 0.2,则 0.96＜ ωr /ω ＜ 1,即,ω’≈ω
注,建筑结构物 ξ一般很小，约在 0.01—0.1之间。
? b,振幅,a·e -ξωt
? 阻尼使振幅不断衰减，结构在振动过程
中为克服阻力而作功，当初始时刻外界赋予
结构的能量全部消耗贻尽，结构停止振动。
t
y
yk y
k+1
a·e -ξωt
tk T
r
tk+1 T’=2π/ωr
()
1
k
k
t
k
tT
k
y a e
y a e
??
??
? ? ?
? ? ? ?
?
??
??
()
1
k
k
tT
Tk
t
k
y e e
ye
??
??
??
? ? ? ?
??
? ? ?? ? ? 相 邻 两 个 振 幅 比
1
l n k
k
y T
y
??
?
? ? ? ? 振 幅 对 数 递 减 率
因此：
1
1 l n
2
kr
k
y
y
??
?? ?
??
如果 ξ＜ 0.2,则,≈1ωrω 而：
1
1 l n
2
k
k
y
y
?
? ?
?
也可用 yk 和 yk+n表示两个相隔 n个周期的振幅，
可得：
(13-29)
1 l n
2
kr
kn
y
y
??
?? ?
??
当 ≈1ωrω
1 l n
2
k
kn
y
y
?
? ?
?
（ 2）、临界阻尼 （ ξ=1） 时的情况
? y(t)=[ y0(1+ωt) + v0t ]e-ωt （ 15-34）
? 体系受干扰后，偏离平衡位置所积蓄
的初始能量，在恢复到平衡位置过程中，
全部消耗于克服阻尼的影响，无多余能
量引起振动。
? 这时的阻尼称为“临界阻尼”。这时
的阻尼常数称为临界阻尼常数 cr。
由 c = 2mωξ 而 ξ = 1
cr=2mω=2√ km (13-30)
∴ ξ =c/ 2mω = c / cr
临界阻尼 （ ξ=1） 时的情况
t
y
o
y o
θo
tanθo =vo
例：
? 图示刚架，水平力
FP=9.8kN,实测柱顶侧
移 y0=0.5cm。 突然卸载，
使结构发生水平振动
（自由振动）测得
T=1.50s,y1=0.4cm,求
体系阻尼比 ξ和阻尼常数 c。
FP
解：
EI
EI=∞
EI
y0=0.5cm
0
11
1 1 1 0, 5 l n = l n = l n = 0, 0 3 5 5
2 2 2 0, 4
k
k
yy
yy? ? ? ????
ω = 2π /T= 2 π/1.5 =4.189 s -1
c = ξ ? 2mω =0.035× 2× 111695× 4.189
= 33220 N ?s/m
m= k /ω2=196× 104 / (4.189) 2 =111695kg
k=mω2
k= FP /y0= (9.8× 103)/0.005=196× 104 N/m
三、有阻尼强迫振动
? 微分方程：
? m y(t)+c y(t)+ k y(t)=FP(t)
? y(t)+2ξωy(t)+ω2y(t)=FP(t)/m
? 1、简谐荷载,FP(t) = Fsinθt
?y(t)+2ξωy(t)+ω2y(t)=F/m sinθt
? 讨论平稳振动,
? y(t)= yP sin(θt-α) ( 13-35a )
22
22
22
1
( 1 ) 4
P s tyy
?? ?
??
??
??
1
2
2
2 ( )
ta n
1
?
?
??
?
?
?
?
?
?
22
22
22
1
( 1 ) 4
?
??
?
??
?
??
(13-36)
动力系数：
(13-35b)
?y(t)= yP sin(θt-α) ( 13-35a )
式中：
振幅,
相位差,
与无阻尼强迫振动相比,
有阻尼强迫振动有以下特点：
? （ 1）,θ＜＜ ω,θ / ω → 0, β→ 1 。
? 由于振动很慢,因而惯性力和阻尼力
都很小,动力荷载主要由结构恢复力平
衡,此时 α →0 0,位移基本上与荷载同步。
(y与 FP同步 )
? （ 2）,θ＞＞ ω,θ / ω → ∞, β很小。
? 体系振动很快，质点近似于作振幅很小
的颤动。由于振动很快，因此惯性力很大，
动力荷载主要由惯性力平衡。此时 α →180 0，
位移与荷载反向。
? （ y与 FP反向）
? （ 3）,θ ≈ ω,θ / ω → 1, β 增加很快,动力反应
即振幅很大 。
? 此时 α→ 90 0, 位移 y(t)落后于荷载 FP(t)大约 900，
即,FP(t)最大时,y(t)很小，所以 FI(t)和 Fe(t)都很
小。
? 此时,FP(t)主要由阻尼力 FC(t)来平衡。 θ在 ω附
近时，阻尼力 FC(t)将起重大作用。动力系数明显受
阻尼大小的影响。
? 在 0.75＜ θ / ω＜ 1.25 之间，阻尼将大大减小简
谐强迫振动的位移幅值。
0 0.5 1.0 1.5 2.0
θ/ω
4.0
3.0
2.0
1.0
β
ξ=1
ξ=0.5
ξ=0.2 ξ=0
2、有阻尼一般动力荷载作用
? 有阻尼体系（ ξ＜ 1） 承受一般动力荷载
的作用，其反应可由杜哈梅积分求出。
? 推导方法与无阻尼体系一致。
? 零初始条件，体系总反应：
()
0
()
( ) sin ( )
t
tP
r
r
F
y t e t d
m
? ? ?? ? ? ?
?
? ? ?? ? ??
(13-31)
小结：
? 1、干扰力是否作用在质点运动方向
上，在动力微分方程中只影响右端项。
? 2、强迫振动
? 简谐荷载：
? 无阻尼：
? 有阻尼：
( ) s i nsty t y t???? 2
2
1
1
?
?
?
?
?
22
22
22
1
[ ( 1 ) 4 ]
?
?? ?
??
?
? ? ?( ) s i n ( )sty t y t? ? ?? ? ?
? 一般动力荷载：
? 无阻尼：
? 有阻尼：
? ??
t
P dtFmty 0 )(s i n)(
1)( ????
?
()
0
()
( ) sin ( )
t
tP
r
r
F
y t e t d
m
? ? ?? ? ? ?
?
? ? ?? ? ??
? （ 3）、动力反应（动位移，动内力）
的计算。
? 动力设计应避免在共振区。
? 共振区外可按无阻尼计算。
? 共振区内必须考虑阻尼的影响。
EI,l EI,lm m
FP F
P
FP0 FP0
习题课：单自由度体系振动
? 要求：
? 1、掌握建立动力微分方程的方法。
? 2、掌握单自由度体系自振频率，自
振周期的计算方法。
? 3、会进行结构在动力荷载作用下的
动力反应（动位移，动内力等）的计算。
习题 1、
? 求出下图所示结构 （ a）、（ b） 的自振频率，
并比较。（要求列运动微分方程）
l
FP sinθt
l l
FP sinθt
注意两结构的变形曲线
FP sinθt FP sinθt
习题 2：
? 试求图示结构
的自振频率和自振
周期。
? 列出质点的运
动微分方程。
? 求当 θ2/ω2=1/2
时的振幅和弯矩。
FP sint
EI =常数l
2l 2l
1
1
m
习题 3：
? 试比较图示两结构的自振频率。设 f为左图
所示简支梁的 柔度系数 。右图中 k=4/f。 若在质
点处作用有 P sinθt,求两个结构中点位移幅值，
并进行比较。设 θ2=2ω2,ω为简支梁 (a)的自振频
率,ω2= 1/mf 。
FP sint F
P sint
习题 4:
? 试求图示结构的自振频率和自振周期。
? 列出质点的运动微分方程。
EI=常数
m
l/2 l/2
M sinθt
习题 5：
? 图示体系各杆 EA=
24kN,m=1000kg,求水
平振动时的自振频率 ωH，
竖向振动时的自振频率
ωV 。
? （说明：当不考虑杆
AB的转动时，本题为两
个自由度体系。在此，
水平位移与竖向位移相
互之间不耦连，故可分
成两个单自由度体系振
动问题）。
习题 6:
? 习题 4结构,
AB杆跨中作用
垂直向下的突加
荷载 FP(t)=30kN,
求 Nmax。
FP(t)=30kN
FP+ FI0=60kN
m
m
§ 13-5、多自由度体系的自由振动
? 一、两个自由度体系的自由振动
? 1、建立运动微分方程
? （ 1）、列位移方程 (柔度法 )：
? 在运动的某一瞬时 t,
? 列出质量 m1,m2所在位置
? y1(t),y2(t)。即质点 m1,m2
? 的位移。
? 即,质点 m1,m2的位移 y1(t),y2(t),是在惯性力
FI1(t),FI2(t)共同作用下所产生的,静力” 位移。
EI1
EI2
m m
体系平衡位置
y1(t)
y2(t)
? 自由振动的任一时
刻 t,质量 m1,m2的位
移 y1(t),y2(t),应当等
于体系在当时的惯性力
FI1(t),FI2(t)作用下所产
生的静力位移。
FI1(t)
FI2(t)
? 列位移方程：
?y1(t)= - m1?1(t)δ11 - m2?2(t) δ12
? y2(t)= - m1?1(t)δ21 – m2?2(t)δ22 (13-47)
EI1
EI2
m m
体系平衡位置
y1(t)
y2(t)
? m1?1(t)δ11+m2?2(t) δ12+y1(t) = 0
? m1?1(t)δ21+m2?2(t)δ22+y2(t) = 0
? δij—— 在自由度 j方向加单
位力，沿自由度 i方向产生的位
移系数。（柔度系数）
? 写成矩阵形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
??
??
0
0
0
0
2
1
2
1
2
1
2221
1211
y
y
y
y
m
m
??
??
?[ δ ][ M ]{?}+{y}={0}
1
δ11
δ21
1
δ12
δ22
y1(t)= - m1?1(t)δ11 - m2?2(t) δ12
y2(t)= - m1?1(t)δ21 – m2?2(t)δ22
?（ 1）、列动力平衡方程 (刚度法 )：
? 在运动的某一瞬时 t, 取质量 m1,m2作
为隔离体直接列出运动微分方程。
FI1(t) r1
r2
FI2(t)
? 惯性力 FI1(t),FI2(t)分
别与位移 y1,y2方向相反。
?
? 弹性力 r1,r2分别与位
移 y1,y2方向相反。 r1，
r2是质量 m1,m2与结构之
间相互作用力。
? FI1(t)+r1=0
? FI2(t)+r2=0
? ri 的大小取决于结构的刚
度。
FI1(t) r1
r2
FI2(t)
r1r
2
? r1 =k11y1+k12y2
? r2= k21y1+k22y2
? k i j— 结点 j发生单独的单
位位移 ⊿ j=1时，在结点 i所需
施加的力。（刚度系数）
? m1?1(t)+k11y1(t)+k12y2(t)=0
? m2?2(t)+k21y1(t)+k22y2(t)=0
? （ 13-38）
? 写成矩阵形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
??
??
0
0
0
0
2
1
2221
1211
2
1
2
1
y
y
kk
kk
y
y
m
m
k11
k21
k22
k12
? [ M ]{?}+[ K ]{y}={0} (a)
? m i—— 沿 y i 运动方向的（所有）质
量。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
0
0
0
0
2
1
2221
1211
2
1
2
1
y
y
kk
kk
y
y
m
m
也可不将质点分离，按第八章所述的
位移法来处理。
R1=0
R2=0
-m1 ?1 (t)
-m2 ?2 (t)
k11
k21 k22
k12
R1 =k11 y1(t)+k12 y2(t)+m1 ?1(t)=0
R2 =k21 y1(t)+k22 y2(t)+m2 ?2(t)=0
注：
? （ 1）、两个自由度的各种体系，自由
振动的运动微分方程的形式完全相同。
只是系数的值不同。
? （ 2）、比较两式，若：
? [ δ ]-1[ δ ][ M ]{?}+ [ δ ]-1{y}={0}
? 则,[ M ]{?}+ [ δ ]-1{y}={0}
? 可知,[ δ ]-1= [ K ]
? 刚度矩阵与柔度矩阵互逆。
2、两个自由度体系自由振动
的频率（周期）方程
? 设二阶线性齐次微分方程组的特解为：
? y1(t)=Y1 sin(ωt+α)
? y2(t)=Y2 sin(ωt+α) (a)
? 即：设所有质点按同一频率，同一相位作
同步简谐振动。但各质点的振幅各不相同。
? Y1,Y2— 质点 m1,m2的振幅，与初始条件
有关,Y1/Y2=常数。
运动微分方程
k11 y1(t)+k12 y2(t)+m1 ?1(t)=0
k21 y1(t)+k22 y2(t)+m2 ?2(t)=0
? ω— 体系自振频率。 α— 初相角。
将特解代入公式（ 13-38），消去公因子。
2
1 1 1 1 1 2 2
2
2 1 1 2 2 2 2
0
0
(k ω m ) Y k Y
k Y ( k ω m ) Y
? ? ? ?
? ? ? ?
（ 13-39）
?称为自由振动基本方程。
是幅值 Y1,Y2的齐次线性方程。
? 当 Y1=Y2=0,对应于静止状态。
? 若要的非零解，则上式中的系数行列式为零
。
0
)(
)()(
2
2
2221
121
2
112 ?
??
???
mkk
kmkD
?
??
（ 13-39）
称为特征方程，或频率特征方程。
0211222221211 ???????? kk)mω(k)mω(k
0)()(
21
211222112
2
22
1
1122 ?
?
??????
mm
kkkk
m
k
m
k ??
21
211222112
2
22
1
11
2
22
1
112
2,1 )](2
1[)(
2
1
mm
kkkk
m
k
m
k
m
k
m
k
?
??????? ??
展开：
上式为 ω2的二次方程，可解出：
其中,ω 1 ＜ ω2 不为负数。
基本频率 第二圆频率
第一圆频率
? 相应的：
? T1=2π/ω1 ; T2=2π/ω2
? 由于 D=0,方程（ 13-38）是线性相关的。
因此，只可确定 Y1,Y2的比值。即只能确定
多自由度体系的振动形式，不能确定各质
点的振幅值。
? 多自由度体系的振型，就是多自由度体
系相应于各自振频率的振动形式。
3、主振型
? 将 ω1代入自由振动基本方程第一式：
? 第一振型：
1 1 1 2
2
2 1 1 1 1 1
Yk
Y k m?
??
?
12 12
2
22 11 2 1
Yk
Y k m?
??
?
将 ω2代入自由振动基本方程第一式：
第二振型：
（ 13-40a）
（ 13-40b）
频率的数目与振动自由度的数目相同。
主振型特点：
? （ 1）、两质点按同
一自振频率 ωi振动，只
同步振动。
? （ 2）、位移比（振
幅比）为常数，振型
（振动形式）不变。
Y11
Y21
Y12
Y22
主振型即为体系按某一频率所作的简谐
振动。
第一振型可视为由惯性力幅值 ω21m1Y11
和 ω21m2Y21所产生的静力位移。
第二振型可视为由惯性力幅值 ω22m1Y12和
ω22m2Y22所产生的静力位移。
ω12m1 Y11
ω1 2m2Y21 Y
11
Y21 ω
22m1 Y12ω
22m2 Y22 Y12
Y22
由上述两种静力平衡状态应用功的互等定理：
(ω12m1 Y11) Y12 +(ω12m2 Y21) Y22 =
(ω22m1 Y12) Y11 +(ω22m2 Y22) Y21
移项后,可得：
(ω12 - ω22)(m1 Y11 Y12 - m2 Y21 Y22) = 0
如果 ω12≠ ω22，则有：
m1 Y11 Y12- m2 Y21 Y22 = 0
或写为：
∑mi Yi(1)Yi(2) = 0
i= 1
2
两个主振型之间的正交关系。
主振型即为质点位移
y1(i)(t)=Y1(i) sin (ωit+ α i )
y2(i)(t)=Y2(i) sin (ωit+ α i )
多自由度体系如果按某个主振型自由
振动,由于振型保持不变,因此，这个多自由
度体系实际上是象一个单自由度体系那样
振动。发生主振动的条件：初位移和初速
度应与主振型相对应。
4、运动方程的一般解
y1 (t)=A1 Y11 sin (ω1t+ α1 )+ A2 Y12 sin (ω2t+ α2 )
y 2(t)=A1 Y21 sin (ω1t+ α1 )+ A2 Y22 sin (ω2t+ α2 )
即为一般情况任意初始条件下的解。
A1, α1, A2, α 2由初始条件定。
在一般情况下，体系的自由振动不再是
一个单一的简谐振动，而是由不同频率的简
谐振动叠加而成的。
归纳如下：
（ 1）、在多自由度体系自由振动问题中，主要
问题是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。
（ 2）、多自由度体系自振频率不止一个，其个数
与自由度的个数相等。自振频率可由特征方程求出。
（ 3）、每个自振频率有自己相应的主振型。主振
型就是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所
具有的特定形式。
（ 4）、与单自由度体系相同，多自由度体系的
自振频率和主振型也是体系本身的固有性质。自
振频率只与体系本身的刚度（柔度）系数及其质
量的分布情形有关，而与外部荷载无关。
? 例, 求图示刚架水平振动时的自振频
率和相应的主振型 。
m1
m2
k1
k2
y1
y2
? 解：
? 1、计算刚度系数
? 注：
? 将刚度系数代入（ 13-39）
层柱子总数
层抗剪刚度
is
h
EI
k
s
j
j
i
??
?? ?
? 1
3
12
0))((
0
2
22
2
21
2
21
2
2
22
21
2
21
?????
?
??
???
?
kmkmkk
mkk
kmkk
D
??
?
?
k11=k1+k2
k21= - k2
1
1
k12= - k2
k22= k2
（ 1）、当 m1=m2=m,k1=k2=k 时
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
61 803.1,61 803.2
2
53
61 803.0,38 197.0
2
53
2
2
2
1
2
1
???
?
?
???
?
?
??
??
11
21
1
2 0,3 8 1 9 7 1,6 0 8
Y k
Y k k???
12
22
1
2 2,6 1 8 0 3 0,6 1 8
Y k
Y k k? ? ??
?(2k-ω2m)(k- ω2m)-k2=0
解出：
?第一主振型：将 ω1代入 （ 13-40a）,
?第二主振型：将 ω2代入 （ 13-40b）
振型示意图
? 第一主振型 第二主振型
1
1.618
1
-0.618
(2)、当 m1= n m2,k1 = n k2 时
? [(n+1)k2-ω2 nm2](k2-ω2 nm2)
? - k22=0
2
2
2
2 ]14)12[(
2
1
m
k
nnn
??? ??
主振型：
2
1
11
24
Y n
Y ? ? ?
当 n =90时：
21
11
10
1
Y
Y ?
22
12
9
1
Y
Y ??
m1=nm2
m2
k1=nk2
k2
注意：
? 上部结构的质量和刚度很小时，结构
顶部位移很大。
? 建筑结构中，由于刚度突变，导致反
响巨大，这种现象称为, 鞭稍效应,。
二,n个自由度体系
m1 mi mk mn1
kik
参照（ 13-38）可写出动平衡方程
k11 y1(t)+k12 y2(t)+…+ k1n yn(t) +m1 ?1(t)=0
k21 y1(t)+k22 y2(t)+…+ k2n yn(t) +m2 ?2(t)=0
………………………………………
kn1 y1(t)+kn2 y2(t)+…+ knn yn(t) +mn ?n(t)=0
写成矩阵形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
00
00
00
2
1
21
22221
11211
2
1
2
1
??
?
????
?
?
??
?
??
??
?
????
?
?
nnnnn
n
n
nn
y
y
y
kkk
kkk
kkk
y
y
y
m
m
m
[M ]{ ? }+[ K ]{ y }={ 0 } (13 -43 b)
(13-43 a)
可缩写为：
（ 13-43）的解，设：
{ y } = { Y }sin(ωt+α)
代入（ 13-43），消去公因子后，得自
由振动基本方程：
( [ K ]- ω 2 [ M ] ){ Y }= { 0 } (13-44)
欲使 {Y }有非零解，则必有：
[ K ]- ω 2 [ M ] = 0 （ 13-45a）
解此频率方程，可以求得 n个频率。
然后，,即可确定体系的振型。
令,{ Y(i)}表示与频率 ωi相应的主振型向量：
1
2()
{}
i
ii
ni
Y
Y
Y
Y
??
??
???
??
??
??
M
把频率 ωi和 { Y(i)}代入式 (13-44)
( [ K ]- ωi2 [ M ] ){ Y (i)}= { 0 }
( 13-46 )
令 i=1,2,······,n, 可得出 n个向量方程，由
此求出 n个主振型向量 { Y(1)},{ Y(2)},····,{ Y(n)}。
每一个向量方程
( [ K ]- ωi2 [ M ] ){ Y (i)}= { 0 }
均代表 n个联立代数方程，以 Y1i,Y2i,··· Yn i, 为
未知数。这是一组齐次方程，如果
Y1i,Y2i,··· Yn I
是方程组的解，则：
CY1i,CY2i,··· CYn i
也是方程组的解。
由（ 13-46）可以唯一地确定主振型 { Y(i)}的形
状，但不能唯一地确定它的振幅。
标准化主振型：
规定主振型 { Y(i)}中的某个元素为某个给定值。
例如规定第一个元素 Y1i等于 1,或规定最大的
元素等于 1。
作法 2：
规定主振型 { Y(i)} 满足下式：
{ Y(i)}T[M] { Y(i)} =1
还有其他作法。
作法 1：
例, (书例 13-5)
? 求图示体系的
自振频率和主振型。
? k,k/3,k/5 分别
为一、二、三层的
层刚度。
? 解：
? （ 1）、自振频率
20 -5 0
[ K ] = k/15 -5 8 -3
0 -3 3
2 0 0
[ M ] = m 0 1 0
0 0 1
K11= 4k/3
K21= -k/3
K31= 0
K22= 8k/15
K12= -k/3
K32= -k/5 K33= k/5
K23= -k/5
K13= 0
由自由振动基本方程：
? ([ K ] –ω2[ M ]) { Y } = {0}
? 其中，频率方程：
? [ K ] –ω2[ M ] = 0
令 η = 15mω2/k
20 - 2η -5 0
-5 8-η -3 = 0
0 -3 3-η
展开,
? 2η3 - 42η2 + 225η– 225 =0
? 由试算法,
? η1 = 1.293 η2 = 6.680 η3 = 13.027
mkmkmkmkmkmk 8685.0154453.0150862.015 323222121 ?????? ??????
m
k
m
k
m
k 9319.06673.02936.0
321 ??? ???
2、主振型
? 在此，规定主振型中的第三个元素 Y3i=1
? 将 η1代入自由振动基本方程：
? ([ K ] –ω2[ M ]) { Y（ 1） } = { 0 }
? 20-2η1 -5 0 Y11 0
? k/15 -5 8-η1 -3 Y21 = 0
? 0 -3 3-η1 Y31 0
? 17.414 -5 0 Y11 0
? k/15 -5 6.707 -3 Y21 = 0
? 0 -3 1.707 Y31 0
保留后两个方程
? -5 Y11 + 6.707 Y21 - 3 Y31 = 0
? -3 Y21 + 1.707 Y31 = 0
由 Y31 =1
?将 η2代入自由振动基本方程：
Y12 -0.924
{ Y(2)}= Y22 = -1.227
Y32 1.000
Y11 0.163
{ Y(1)} = Y21 = 0.569
Y31 1.000
将 η3代入自由振动基本方程：
Y13 2.760
{ Y(3)}= Y23 = -3.342
Y33 1.000
画出三个主振型的大致形状；
三、柔度法
1、柔度法方程：
y1(t)= - m1?1(t)δ11 - m2?2(t) δ12
y2(t)= - m1?1(t)δ21 – m2?2(t)δ22 (13-47)
即：设所有质点按同一频率，同一相位作同
步简谐振动。但各质点的振幅各不相同。
2、设二阶线性齐次微分方程组的特解为：
y1(t)=Y1 sin(ωt+α)
y2(t)=Y2 sin(ωt+ α)
(a)
两个质点的惯性力为：
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
( ) sin ( )
( )
( ) sin ( )
m y t m Y t
b
m y t m Y t
? ? ?
? ? ?
?? ? ? ?
?
? ? ? ??
&&
&&
将 （ a）, （ b） 代入（ 13-47）消去公因子后，得：
22
1 1 1 1 1 2 2 1 2
22
2 1 1 2 1 2 2 2 2
( ) ( )
( 1 3 - 4 8 )
( ) ( )
Y m Y m Y
Y m Y m Y
? ? ? ?
? ? ? ?
??? ?
?
?? ??
或：
1 1 1 1 1 2 2 22
2 1 1 2 2 2 22
1
( ) 0
( )
1
( ) 0
m Y m Y
c
m Y m Y
??
?
??
?
?
? ? ?
??
?
?? ? ?
??
为了得到 Y1, Y2不全为零的解，应使系数行列式
等于零，即：
1 1 1 1 2 22
2 1 1 2 2 2 2
1
()
0
1
()
mm
D
mm
??
?
??
?
?
??
?
称为特征方程，或频率特征方程。
1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 222
11( ) ( ) 0m m m m? ? ? ?
??? ? ? ?
展开：
令, λ=1/ω2
λ2-(δ11m1+δ22m2)λ+m1m2 (δ11δ22- δ12δ21)=0
解得,
? ? ? ?
? ? ? ?
21
2
21
2
222111222111
2121122211
2
222111222111
2,1
4
2
1
2
1
2
)4
mmmmmm
mmmmmm
?????
????????
?
?????
?????
?
（
（ 13-49）
2
2
1
1
1,1
?
?
?
? ??
可以求得频率的两个值为：
λ1＞ λ2
ω1＜ ω2
其中最小频率 ω1称为第一频率或
基本频率，而 ω2称为第二频率。
? 将 ω1代入 （ c） 第一式，有：
11 12 2
21
11 1 2
1
( 13 50 )
1
Ym
a
Y m
?
?
?
? ? ?
?
? 将 ω2代入 （ b） 第一式，有：
12 12 2
22
11 1 2
2
( 13 50 )
1
Ym
b
Y m
?
?
?
? ? ?
?
主振型
例,
? 求图示体系的
频率和主振型。
EI=常数 。 l/3l/3 l/3
mm
FP1=1
FP2=12l/9
2l/9
?δ11 = δ22 = 4 l3/ 243EI
?δ12 = δ21 = 7l3/ 486EI
解, （ 1）
（ 2）代入（ 13-49）得：
λ2= （ δ11 - δ22） m= 486 EI1 ml
3
λ1= （ δ11+δ22） m= 486 EI15 ml
3
求得两个自振圆频率：
1 3
1
1 5, 6 9 EI
ml
?
?
?? 2 3
2
1 2 2, 0 4 5 EI
ml
?
?
??
（ 3）求主振型。由（ 13-50）
11
21
1
1
Y
Y
? 12
22
1
1
Y
Y
?
?
振型图：
1 1
第一振型：
1
1
第二振型：
可利用对称性求解,
利用对称性求解,须先估计大致振型。
对于对称结构，振型必分为正对称和反对称
两类。 如上题：
δ11= 15l3/486EI
3
11
1 69.5
1
ml
EI
m
??
?
?
m
l/6l/3
1
l/3
δ22 = l3/486EI
3
22
2 0 4 5.22
1
ml
EI
m
??
?
?
m
l/6l/3
1
l/9
3,n个自由度体系
运动微分方程
在运动的任一时刻 t,作用在质点上的惯性力为
FIi = - mi ?i,可列出位移方程。
m1 mi mk mn
- m1 ?1
- mi ?i - mk ?k
- mn ?n
y1= - m1?1 δ11 – m2?2 δ12 -…– mi?iδ1i - …– mn?n δ1n
y2= - m1?1 δ21 – m2?2 δ22 -…– mi?iδ2i - …– mn?n δ2n
yi= - m1?1 δi1 – m2?2 δi2 -…– mi?iδii -…– mn?n δin
………………………………………………
yn= - m1?1 δn1 – m2?2 δn2 -…– mi?iδni - …– mn?n δnn
( a )
可写成矩阵形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
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?
?
?
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?
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?
?
?
?
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?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
0
2
1
2
1
21
21
222221
111211
2
1
?
?
??
?
??
?
??
??
?
?
??
????
??
????
??
??
?
?
n
i
n
i
nnninn
iniiii
ni
ni
n
i
y
y
y
y
m
m
m
m
y
y
y
y
????
????
????
????
可缩写为：
? [ δ ][ M ]{?}+{y}={0}
[ δ ] ——称为柔度矩阵。由位移互等
定理 δik = δki可知是一个对称方阵。
[ M ]—— 质量矩阵。在集中质量体系
中，是一个对角矩阵。
2、运动微分方程的解
设特解为：
{ Y } = { Y }sin(ωt+α)
其中,{ Y }= [ Y1 Y2 … Yi … Yn ]T
称为 幅值列向量
将上式代入微分方程
- ω2 [ δ ][ M ]{ Y }+{ Y }={ 0 }
令,λ=1/ω2,得自由振动的基本方程。
（ [ δ ][ M ] –λ [ I ]） { Y } = { 0 } （ 13-51）
上式为一个齐次线形代数方程组,欲使 { Y }有
非零解,则系数行列式必为零，即：
D = [ δ ][ M ] –λ [ I ] = 0 （ 13-52）
展开式为：
…… …
(m1δ11-λ) m2δ12 … mnδ1n
(m2δ22-λ) …m1δ21 mnδ2n
(mnδnn-λ)…m1δn1 m2δn2
=0
(13-52)
展开 (13-52)式,
可解出 n个正的实根, λ1,λ2,λ3,… λn。
求出 n个频率,ω1,ω2,ω3,…ωn。
由此得到关于 λ的 n次代数方程。
其中最小的 ω1称为第一频率，其后按数值大小依
次排列，并顺序排列称为第二频率、第三频率等。
最后求与频率 ωi相应的主振型 { Y (i)}。
为此，将 λ=1/ω2和 { Y (i)}代入式（ 13-51），得：
（ [ δ ][ M ] –λ i [ I ]） { Y (i)}= { 0 } （ 13-53）
令 i=1,2,······,n, 可得出 n个向量方程，由
此求出 n个主振型向量 { Y(1)},{ Y(2)},····,{ Y(n)}。
§ 13-6、多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵
1、主振型的正交性
主振型的正交性：多自由度（包括无限自由度）
体系中,任意两个不同的主振型之间存在的相互正交
的关系。
证明, 由自由振动基本方程：
([ K ] –ω2[ M ]){Y} = { 0 }
可知，无论哪个特征对,ωl 与 {Y(l)}均能满足此方程。
?即,([ K ] –ωl2[ M ]){Y( l ) } = { 0 } (a)
? ([ K ] –ωk2[ M ] ){Y( k ) } = { 0 } (b)
以 {Y( k )} T 和 {Y( l ) } T 分别左乘 ( a ),( b ),得,
([ K ] –ωl2[ M ]){Y( l )} = { 0 } (c)
([ K ] –ωk2[ M ]){Y( k )} = { 0 } (d)
{Y( k )} T
{Y( l )} T
将 (c)式转置
{Y( l )}T ([ K ]T –ωk2[ M ]T) {Y( k )} = { 0 }
由对称性，有,[ K ]T=[ K ],[ M ]T =[ M ]
{Y( l )}T([ K ] –ωl2[ M ]) {Y( k )} = { 0 } (e)
由 (d) – (e):
(ωl2–ωk2) {Y( l )}T[ M ] {Y( k )} = { 0 }
(ωl2–ωk2) {Y( l )}T[ M ] {Y( k)} = { 0 }
如果 ωl ≠ ωk
则,
{Y( l)}T[ M ]{Y( k)} = { 0 } (l≠k) (13-54)
∑mi YilYik = 0
i= 1
n
? 相对于质量矩阵 [ M ],不同频率相对应的主振型
是正交的，称为 第一正交条件 。
? 即振型关于质量矩阵的正交条件。
?{Y( l )} T([ K ] –ωk2[ M ]){Y( k )} = { 0 } (d)
{Y( l )}T[ M ]{Y( k )} = { 0 } (l≠k)
将第一正交条件代入 （ d）,得：
{Y( l )}T[ K ]{Y( k )} = { 0 } (l≠k)
(13-55)
相对于刚度矩阵 [ K ],不同频率相对应的主振
型是正交的，称为 第二正交条件 。
即振型关于刚度矩阵的正交条件。
广义质量和广义刚度
若 k = l,则：
Mk = {Y(k )}T[ M ] {Y(k )} (13-56 a)
—— 第 k个主振型的 广义质量
Kk = {Y(k )}T[ K ] {Y(k )} (13-56 b)
—— 第 k个主振型的 广义刚度
([ K ] –ωk2[ M ]){Y( k ) } = { 0 } ( b )
[ K ] {Y( k) } = ωk2[ M ] {Y( k ) }
用 {Y(k )}T前乘上式两边，得：
{Y( k )}T [ K ] { Y(k ) } = ωk2 {Y(k )}T[ M ]){ Y(k ) }
有, Kk = ωk2 Mk
由此,( 13-57 )
k
k
k
K
M
? ?
? 主振型的正交性在结构动力计算中多次用到。
? 一般用于：
? （ 1）,判断主振型的形状特点（验算）。
? （ 2）,利用正交性关系，确定展开公式中
的系数。
? 多自由度体系振动中，任一位移向量 {y}都
可按主振型展开，写成主振型的线性组合。
（任一位移向量 {y}均可看成为主振型的线性组
合，即,{y}中含有各阶主振型）
? {y}= η1{Y(1)}+ η2{Y(2)}+…+ ηn{Y(n)}
? =∑ ηi{Y(i)} （ 13-58）
? 其中，待定系数 ηi (广义坐标、正则坐标 )可
根据正交关系确定 (正则坐标以 [Y]为基底 )。
n
i=1
?{y} = ∑ ηi{Y( i )} （ 13-58）
n
i=1
用 {Y( j )}T[M]前乘 （ 13-58） 式两边
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( )
1
{}
nTT
j j i
j
i
Y M y Y M Y?
?
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( )
1
{}
nTT
j j i
j j j
i
Y M y Y M Y M??
?
???
上式右边，除第 j项外，其它各项均为零：
由此可求出系数 ηj为：
? ? ? ?
j
Tj
j M
yMY }{)(?? （ 13-59）
注：
? 一般情况下，验算主振型的正交性
时，应将计算结果写成 k 或 m 的函数
形式。否则，由于在计算主振型的过
程中出现的误差，可能导致正交性验
算的结果看起来较大。
关于正交条件示例,见教材 P.243。
*2、主振型矩阵
? n 个自由度体系，主振型矩阵,
? ?
( 1 ) ( 2 ) ( )
1 1 1
( 1 ) ( 2 ) ( )
( 1 ) ( 2 ) ( ) 2 2 2
( 1 ) ( 2 ) ( )
{ } { } { } ( 1 3 - 6 0 )
n
n
n
n
n n n
Y Y Y
Y Y Y
Y Y Y Y
Y Y Y
??
??
????
?? ??
????
L
L
L
M M O M
L
? ?
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
12
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
12
( ) ( ) ( ) ()
12
[]
[]
( 13 - 61 )
[]
T
n
T
T n
n n n nT
n
Y Y Y Y
Y Y Y Y
Y
Y Y Y Y
?? ??
?? ??
????
?? ??
??
?? ????
L
L
M M O M M
L
? 主振型矩阵的转置,
? ? ? ?? ? ? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? K
K
K
K
YKY
n
T
?
????
?
?
00
00
00
2
1
? ? ? ?? ? ? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? M
M
M
M
YMY
n
T
?
????
?
?
00
00
00
2
1
广义质量矩阵：
广义刚度矩阵：
[ Y ]的性质：当 [ M ]和 [ K ]为非对角矩阵时，如
前乘 [ Y ]T,后乘 [ Y ],可得到 [ M* ]和 [ K* ]。
§ 13-7 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动
1、运动微分方程（刚度法）
以两个自由度的体系为例，在动力荷载作用
下的振动方程为：
M1?1(t)+k11y1(t)+k12y2(t)=FP1(t)
（ 13-64）
M2?2(t)+k21y1(t)+k22y2 (t) =FP2(t)
y1( t )
y2( t )
FP1(t)
FP2(t)
m2
2
1
m1
若：
为简谐荷载FP1(t)= FP1sinθt
FP2(t)= FP2sinθt
(a)
则在平稳振动阶段，各质点也作简谐振动：
y1(t)= Y1sinθt
y2(t)= Y2sinθt
(b)
将 （ a）,（ b） 代入 （ 13-64） 消去公因子,
? ( k11 - θ2 m1 )Y1 + k12Y2 =FP1
? k21 Y1 + ( k22 - θ2 m2 )Y2= FP2
位移幅值：
Y1 = D1D
0
Y2 =
D2
D0 （ 13-65）
D0= (k11 - θ
2m1 ) k12
k12 (k22 - θ2m2 )
式中：
D1= FP1 k12FP2 ( k22- θ 2m2) D2=
( k11- θ2m1 ) FP1
k21 FP2
（ 13-66）
将 Y1, Y2代入（ b）,可得任意时刻 t 的位移 {y(t)}。
共振研究：
若 θ = ωi （ i= 1,2）, 则 Do = 0
① 一般情况：若 D1 ≠ 0,D2≠ 0
则 Y1 →∞,Y2 →∞ 共振 。
② 如果, D1 = 0,D2 =0
则 Y1 = 0 / 0, Y2 = 0 / 0
需分析研究。
例：
? 计算图示结构，找出振幅与频率之间的关系。
解,刚度系数：
k11= k1+k2
k22= k2
k12 = k21= - k2
FP1= FP FP2= 0
FP sinθt
m1=m2=m, k1=k2=k
k2m2
m1
k1
荷载幅值：
FP sinθt k2
m2
m1
k1
代入（ 13-66）（ 13-65）
( k1+k2 - θ2m1 )Y1 + k2Y2 = FP
- k2Y1 + ( k2 - θ2m1 )Y2 = 0
Y1 = D1D
0
= ( k2 - θ
2m2 )FP
D0
Y2 = D2D
0
= k2 FPD
0
其中,D0= ( k1+k2 -θ2m1 ) ( k2-θ2m2 ) - k22
令,m1 = m2 = m k1= k2 = k
则,Y
1 =
D1
D0 =
( k - 2m)FP
D0 Y2 =
D2
D0 =
k FP
D0
D0= ( 2k - θ2 m ) ( k - θ2 m ) - k2
D0 = m2θ4–3kmθ2+k2= m2(θ4–3k/m?θ2+k2/ m2)
= m2 (θ2 - ω12) (θ2 –ω22)
与例 13-4中的特征方程相比：
D0 == m2 (θ2 - ω12) (θ2 –ω22)
已知：
k
m
2
532
1
???
k
m
2
532
2
???
所以,
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2
2
1
?
?
?
?
?
??
?
?
k
m
k
P
Y
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2
2
?
?
?
?
??
?
k
P
Y
振幅参数：
k
P
Y
k
P
Y 21
荷载频率参数：
m
k
?
可找出以上两种参数之间的关系曲线。
由图可见 当
10, 6 1 8
k
m???? 21, 6 1 8
k
m????
时
Y1,Y2趋于无穷大，体系发生共振。
若计算动内力时，则由 { FI0 } = θ2[ M ]
计算出惯性力的幅值，加在相应的位置上，
由静力计算得出 Md,FQd 等。
注：可用剪力分
配法、无剪力分配法
或反弯点法等方法计
算动内力。
k2
m2
m1
k1
FI10
FI20
FP
讨论,本题当 k2 / m2= θ2 时 k
2
m2
m1 k
1
FP sinθt由
Y2 = D2D
0
= k 2FPD
0
Y1 = D1D
0
= ( k 2- θ
2m2)FP
D0
可知：
Y1=0 Y2= - FP/ k2
在原结构上附加 k2, m2 系统，可消除 m1
的振动。称为,动力吸振器” 。设计时，可根据
m2 的许可振幅 Y2=- FP / k2,选定 k2, 再由 m2=
k2 / θ2确定 m2 的值。
k2
m2
m1 k
1
FP sinθt
2、柔度法
? 不考虑阻尼的影响。
? 列位移方程：
y2
m1 m2
FP1sinθt FP2sinθt
y1
y1= - m1?1δ11 – m2?2δ12+Δ1Psinθt
y2= - m1?1δ21 – m2?2δ22+Δ2Psinθt
( a )
或写成：
y1+ m1?1δ11 +m2?2δ12=Δ1Psinθt
y2+ m1?1δ11 +m2?2δ12=Δ1Psinθt
（ 13-69）
y1+ m1?1δ11 +m2?2δ12=Δ1Psinθt
y2+ m1?1δ11 +m2?2δ12=Δ1Psinθt
式中：
ΔiP = ∑ δiP FPjj=1k (15-47)
上式为各简谐荷载的幅值在质量 mi
处引起的静力位移。
因荷载是简谐荷载，各质点作简谐振
动（只讨论平稳振动阶段）
FP1 FP2
FI10 FI20
y10 y20
在平稳振动阶
段，各质点将按干
扰力频率作同步的
简谐振动。即：
y1 (t)= y1 sinθt0
y2 (t)= y2 sinθt0 (15-48)
(15-48) (15-46)
(m1δ11θ – 1)y1+m2δ12 θ y2 +Δ1P =022 0 0
(m1δ21θ – 1)y1+m2δ22 θ y2 +Δ2P =022 0 0
(15-45)
各质点的惯性力为：
FI1 (t)= - m1?1 (t)=θ m1y1 sinθt2 0
FI2 (t)= - m2?2 (t)=θ m2y2 sinθt2 0
(15-50)
令,F
11 = θ m1y1
2 00
F12 = θ m2y22 00
（ 15-51）
FI1 (t)= FI1 sinθt0
FI2 (t)= FI2 sinθt0
（ 15-52）
? 由（ 15-48）和（ 15-52）可知，位移、
惯性力和简谐荷载均按同一频率作同步
的简谐变化。
(δ11 – 1/ m1θ )F11+δ12 F12 +Δ1P =02 0 0
+(δ22– 1/ m2θ )F12+Δ1P =02 00δ21 F11
(15-53)
D=
(δ11 – 1/ m1θ )2 δ12
δ21 (δ22 – 1/ m2θ )2
D=
(δ11 – 1/ m1θ )2 δ12
δ21 (δ22 – 1/ m2θ )2
=
m1 m2
1
(m2 δ22 – )1θ 2
m2 δ12
m1 δ21
(m1 δ11 – )1θ 2
方程 (15-53)的系数行列式为,
分析,当 θ=ω 时,D=0。
一般情况下将有,F110=D1 /D=∞，
F110=D1 /D=∞。 共振。
两个自由度体系有两个频率，所以
有两个共振区。
例：
试求图示体系
的最大动位移图
和动内力图。
已知：
m1=m2=m，
EI=常数。
θ=0.6ω1=3.4152,EI√ ml3
l/3l/3 l/3
m2m1
FPsinθt
解：
设以 F110,F120
分别代表质量的惯
性力幅值，可写出
方程为：
(δ11 – 1/ m1θ )F11+δ12 F12 +Δ1P =02 0 0
+(δ22– 1/ m2θ )F12+Δ1P =02 00δ21 F11
柔度系数和自由项：
? δ11 = δ22 = 8 l3/ 486EI
? δ12 = δ21 = 7l3/ 486EI
? ⊿ 1P = FP δ11 = 8 FP l3/ 486EI
? ⊿ 2P = FP δ21 = 7 FP l3/ 486EI
m1 θ2 = m2 θ2 = m (3.4152)2EI/ml3 =11.6636 EI/l3
代入幅值方程：有
- 0.06928F11+0.01440F12 +0.01646FP =00 0
0.01440F11 - 0.06928F12 +0.01440FP =00 0
F11=0.2936FP0 F12=0.2689FP0
解得：
按静力计算可得：
486EI
7l30y
2 =1.2936FP× +0.2689FP× =0.023486EI
8l3
EI
FP l3
486EI
8l30y
1 =1.2936FP× +0.2689FP× =0.025486EI
7l3
EI
FP l3
FP
F11=0.2936FP0
F12=0.2689FP0
+
-
最大动位移图可
见图示。
0.952FP
EI
FP l30.025
EI
FP l30.023
动位移图最大动弯矩图可
见图示。
0.317FP l 0.204FP l
0.342FP
0.611FP 最大动剪力图可见图示。
§ 13-8,振型分解法 (振型叠加法 )
? 上述分析，以 y(t)—— 几何坐标表示
位移，简谐干扰力作用下，可将微分方
程组转化为代数联立方程组求解。但是
当任意荷载作用于体系，尤其是考虑阻
尼影响时，直接求解联立微分方程组，
将是非常困难的。
? 本节利用主振型的正交性，建立广义坐
标（正则坐标），将联立的微分方程组
（相互耦连）转化成为 n 个独立的微分方
程，求解动力反应。
? 微分方程：
? [ M ]{?}+[ K ]{y}={F P(t)}
? 每个方程中包含了全部的未知量 y(t)，
因此方程是耦连的。
? 建立广义坐标的目的：将上述微分方程
转换为每式只含一个未知量的微分方程。
一、广义坐标（正则坐标）的概念
? 振动位移为各主振型的线性组合，因
此可按主振型分解。
主振型线性组合形式：
x1(t) x
2(t) x3(t)
y1(t)
y2(t)
y3(t)
Φ1(1)
Φ2(1)
Φ3(1)
Φ1(2)
Φ2(2)
Φ3(2)
Φ1(3)
Φ2(3)
Φ3(3)
yi(t)= Φi(1)x1(t)+ Φi(2)x2(t)+…+ Φi(n)xn(t)
(i=1,2,…,n )
? 体系的位移可以视为，由各固有振型
分别乘以相应的组合系数后，叠加而成。
? 式中,
? y(t) —— 原坐标，几何坐标。
? x(t)—— 正则坐标，广义坐标，以振
型为基底。
? 可写成：
? {y(t)}=[ Φ ]{x(t)} (15-89)
? {y(t)}={Φ(1)}x1+{Φ(2)}x2+…+{Φ(n)}xn
二、用振型分解法计算多自由度体系的
受迫振动（不考虑阻尼）
? 1、运动微分方程：
? [ M ]{?}+[ K ]{y}={F P(t)} （ 15-90）
? 将 {y}=[ Φ ]{x}代入上式：
? [ M ][Φ ]{ x } +[ K ][Φ ]{x} ={FP(t)}‥
上式前乘 {Φ(i)}T
{Φ(i)}T[ M ][Φ]{x} + {Φ(i)}T[ K ][Φ]{x} = {Φ(i)}T{FP(t)}‥
其中：
{Φ(i)}T[ K ][Φ]{ x }
={Φ(i)}T[ K ]{Φ(1)} x1+{Φ(i)}T[ K ]{Φ(2)} x2+…
+{Φ(i)}T[ K ]{Φ(i)} xi+…+{Φ(i)}T[ K ]{Φ(n)} xn
{Φ(i)}T[ M ][Φ]{ x }
={Φ(i)}T[ M ]{Φ(1)} x1+{Φ(i)}T[ M ]{Φ(2)} x2+…
+{Φ(i)}T[ M ]{Φ(i)} xi+…+{Φ(i)}T[ M ]{Φ(n)} xn
‥
‥ ‥
‥‥
根据正交条件，可知：
{Φ(i)}T[ M ]{Φ(i)} xi+{Φ(i)}T[ K ]{Φ(i)} xi
={Φ(i)}T{FP (t)} (15-91)
‥
引入如下符号：
mi = {Φ(i)}T[ M ]{Φ(i)} (15-92)～
k i = {Φ(i)}T[ K ]{Φ(i)} (15-93)～
FPi (t)= {Φ(i)}T { FP (t)} (15-94)～
分别称为对应于第 i 振型的 广义质量, 广
义刚度, 广义荷载 。
式（ 15-91）可以改写为：
mi xi +ki xi =FPi (t) (19-95)～ ～ ～‥
可写出 n 个相应的单自由度体系受迫
振动的运动方程。
相当于解算 n 个单自由度体系的受迫
振动。
由此求出广义坐标 x1(t), x2(t), …,
xn(t)后，即可由式 {y(t)}=[ Φ ]{x(t)}
求出原体系的动力位移。
2、广义坐标的解
? 由杜哈梅积分：
? ??
t
iPi
ii
i dtFmtx 0 )(s i n)(
~
~
1)( ????
?
3、几何坐标解：
由 {y}= [ Φ ]{x}
{y} = {Φ (1)} x1 +{Φ (2)} x2 +…+{Φ (n)} xn
将 {x(t)}的值代入上式，可以得出几何坐
标中 {y(t)}的动力反应。
主振型分量加以叠加，从而得出各质点
的总位移。
4、方法特点
? ①、运动微分方程解耦，使计算成为可
能。计算体系动力反应使可用单自由度体系
的方法。
? ②、当体系的自由度数目较多时，可用
少数影响大的主振型叠加求体系的动力反应。
? ⅰ,在一般动力荷载作用下，前几个振型对体
系的动力反应影响较大，而高振型的影响较小。计
算时可根据精度要求，考虑到某振型为止，更高振
型可忽略不计。
? ⅱ,质量分布对称的对称结构,在正对称动荷
载作用下,只有正对称反应。质量分布对称的对称结
构,在反对称动荷载作用下,只有反对称反应。
? ③、若考虑阻尼影响：
? [ M ]{?}+ [ C ] {y} +[ K ]{y}={F P(t)}
式中：
[ C ]—— 阻尼系数矩阵，一般为耦联矩阵。
同时，与主振型 [Φ]矩阵不满足正交条件。
为求解方便，通常令：
[ C ] = α [ M ] + β [ K ]
系数 α,β由实验或《规范》定出。解耦后的
振动微分方程由考虑阻尼的杜哈梅积分求反应。
5、计算步骤
? ①、由多自由度体系自由振动求出体
系的自振频率 ω和主振型 [Φ]。
? ②,建立坐标转换关系 {y}= [Φ ]{x}。
? ③、求广义质量（广义刚度）。
? ④、求广义荷载。
? ⑤、求广义坐标下的动力反应。
? ⑥、求几何坐标中的质点位移。
? ⑦、作内力图。
§ 17-10 近似法求自振频率
? 工程实践中，有时只要求计算结构的
基频或几个低阶频率。当自由度数目较
多时，精确计算工作量繁重，可用近似
法计算。
? 近似法种类很多，这里只介绍常用的
几种。
一、能量法求体系的第一频率
瑞利（ Ragleigh） 法
? 理论：能量守恒
? 方法,假定振型曲线，计算出相应的
应变能和动能，代入能量守恒公式，计
算体系的自振频率。
? 质量分布：集中、分布均可。
1、能量守恒
? 无阻尼弹性体系，
自由振动时，体系在
运动的任一时刻 t
总能量 = 应变能 （ V） + 动能 （ T）
保持不变
考查两个特殊位置：
平衡位置,∵ y=0 ymax ∴ V=0,Tmax·
振幅位置,∵ ymax y=0 ∴ Vmax T=0·
? 因此有：
? Vmax = Tmax
? 2,基本方程
? 设体系有分布质量和集中质量，只考
虑弯曲变形。
? 设位移为,y(x,t)=y(x)sin(ωt+α)
? 其中 y(x)— 位移幅值，振幅函数。
·速度为,y(x,t)=ωy(x)cos(ωt+α)
弯曲应变能：
dxxyEItdx
x
yEIV ll 2
0
22
0 2
2
)]([)(s i n
2
1)(
2
1 ?????
?
?? ?? ??
最大值：
dxxyEIV l 2
0m a x
)]([21 ??? ?
梁的动能：
dxxyxmtdxtyxmT ll 2
0
222
0
)]()[()(c o s21))((21 ?? ?????? ???
最大值：
dxxyxmT l 2
0
2
m a x )]()[(2
1 ?? ?
? 由 Vmax = Tmax
)12615(
)]()[(
)]([
0
2
0
2
2 ?
??
?
?
?
l
l
dxxyxm
dxxyEI
?
如梁上有集中质量：
??
??
?
?
????
?
?
?
?
n
i
ii
l
i
n
i
i
l
ymdxxyxmt
tymdx
x
y
xmT
1
22
0
22
2
1
2
0
})]()[(){(c os
2
1
)(
2
1
))((
2
1
???
?
? 则：
)12715(
)]()[(
)]([
0
1
22
0
2
2
?
?
??
?
? ?
?
?
l
n
i
ii
l
ymdxxyxm
dxxyEI
?
如有多个杆件，则：
? ??
??
?
??
?
l
ii
l
ymdxxyxm
dxxyEI
0
22
0
2
2
)]()[(
)]([
?
3、振幅曲线 y(x)的选取
? 如所选曲线 y(x)为第 k阶主振型曲线，
代入公式（ 17-85），即可求出 ωk。
? 如果所设位移形状函数 y(x)正好与第
一主振型相似，则可求得第一主振型对
应的第一频率的精确值。如果所设位移
形状函数 y(x)正好与第二主振型相似，则
可求得第二频率的精确值。
? 因为第一主振型最易发生，也较易
假设，故以上公式便于求得第一主频率。
? 因此，瑞利法主要用于求第一频率
的近似值。
? 取 y(x)的条件：
? （ 1）、满足边界条件（主要是位移边界
条件）。
? （ 2）、符合振型形状。
? 取 y(x)的方法：
? （ 1）、某种数学曲线 — 需检查边界条件。
y(x) = a sinπx/l
y′(x) = aπ/l·cosπx/l
y(x) = a(1- cosπx/2l)
y′(x) = aπ/2l·sinπx/2l
? (2),静荷载作用下的位移曲线
如取静荷载作用下的
位移曲线作为 y(x),则应
变能可用外力功表示,
V = 1/2·∫q(x)y(x)dx
)12915(
)]()[(
)()(
0
1
22
0
12
?
?
??
?
? ?
? ?
?
?
l
n
i
ii
l
m
j
jPj
ymdxxyxm
yFdxXyxq
?
? （ 3）、自重作用下的变形曲线作为
? y(x)的近似表达式：
? ?
? ?
?
?
?
?
?
l
n
i
ii
l
n
i
ii
ymdxxym
gymdxxgym
0
1
22
0
12
)]([
)(
?
（ 4）、讨论
? ①、正弦曲线是简支梁第一主振型的
精确解，所以由它求得的 ω是简支梁第一
频率的精确解，因此用近似法求基频有
时可以获得较好的结果。
? ②、一般来说,ω1（ 用近似法求得的）
﹥ ω精,是真实频率的上限，想一想为什
么？
? 因为,y(t)不是实际的振幅曲线，就
等于在原体系上加了约束，增大了体系
的刚度。
二、能量法求最初的几个频率
瑞利 —里兹法（ Rayleigh-Rilz)
? 1、哈密顿 (W.R.Hamilton) 原理
? 体系自由振动时，在所有可能的运动
状态中，精确解使：
? ???
?2
0
)( 驻值dtTU
对时间 t 的积分取一个周期。
dxXYEItU l 2
0
2 )]([)(s i n
2
1 ????? ???
dxXYmtT l 2
0
22 )]([)(c o s
2
1 ???? ???
)9017()]([21])([21 2
0
2
0
??????? ?? 驻值dxXYmdxxYEI ll
式中, Y（ x） —满足体系边界条件的
任意可能的位移函数。
2、瑞利 — 里兹法
? 瑞利法是根据一个假设近似振型，
计算体系一个频率。
? 瑞利 — 里兹法则把假设振型写成一
组给定向量的线性组合，组合系数由使
泛函 Π（ ω2） 为驻值的条件确定。这样
做：
? （ 1）,可以得到更好的基频近似值。
? （ 2）,还可以得到一批前几阶自振
频率的近似值。
? 其中,ai为待定常数。
? φi(x)为 n 个独立的可能位移函数，
均满足体系的位移边界条件。
? 将（ 17-91）代入（ 17-90）
9 1 )-( 1 7, )(a)Y(
1
i xx i
n
i
??
?
?设
dxxamdxxaEI i
n
i
ii
n
i
i
2
1
2
2
1
)]([
2
)]([
2
1
?
?
? ??? ?
??
????
（ 17-92）
? 令,
? kij =∫EIφi"φj"dx (17-93)
? mij =∫mφi"φj"dx (17-94)
)9517()(
2
1 2
1 1
???? ? ?
? ?
jiij
n
i
n
j
ij aamk ?
应用驻值条件,
)9617(),,2,1(0)(
),,2,1(0
2
????
??
?
??
?
niamk
ni
a
jijij
i
?
?
?
矩阵形式, ([ k ] –ω2[ m ]){a}={0}
当 ai不全为零时,则：
[ k ] –ω2[ m ] = 0
由此可求出 n 个根,
22
2
2
1 n??? ????
三、集中质量法 (求 ω的近似方法 )
? 1、等效原则：
? 将无限自由度体系或多自由度体系通过集
中质量，转化为有限个自由度体系或但自由
度体系。
? 方法：
? ①、静力等效：
? 集中后的重力 =原体系的重力 （合力等效）
? ②、动能等效：
? 集中后的动能 =原体系的动能
? 还有一些简化等效方法。
2、静力等效
? 每段分布质量可按杠杆原理换成位
于两端的集中质量。
? (1)、梁
m
EI
l 21
80.9??
m
EI
lm
EI
l 2221
2.3886.9 ?? ??
m
EI
lm
EI
lm
EI
l 232221
6.842.39865.9 ??? ???
m
EI
lm
EI
lm
EI
l 232221
83.8448.3987.9 ??? ???
? （ 2）、刚架
? 对称刚架的主振型一般分为正对称
和反对称两组。通常对称刚架发生最低
频率的振型是反对称的。
? ①、反对称振型质量集中如右图。
? ②、正对称振型质量集中如图。
习题课,
多（两个）自由度体系的振动
? 重点,
? 1、掌握多自由度体系自由振动的计算方
法（两个自由度体系的自由振动，柔度法、刚
度法）。
? 2、掌握多自由度体系强迫振动的计算方
法（简谐荷载作用下，两个自由度体系的强迫
振动）。
习题 1：
? 图示刚架已知：
k1=k4=200× 106N/m,
k2=k3=100× 106N/m,
m1=100t,m2=200t,求
自振频率 ω和主振型 。
k11=k1+k2+k3 k21= - k3
k22=k3+k4
k12= - k3
? 频率, ω1=36.25 1/s ω2=64.70 1/s
? 主振型, {Φ (1)} = [ 1 2.686 ]T
? {Φ (2)} = [ 1 - 0.186 ]T
第一主振型
第二主振型
习题 2,
? 习题 1刚架,在 m1方向上有荷载
? FP(t)=FP sinθt,
? FP=200kN,θ=0.6ω1=21.75 1/s。 求振动的最
大
? 幅值,并计算动力弯矩,画动力弯矩图。
FP sinθt EI =∞
EI =∞
将求出的惯性力幅值作用体系的相应
位置上，用静力方法计算最大动力弯矩。
20031.12
30.30
习题 3,
? 图示刚架，
各杆 EI=常数。
求刚架的自由
振动频率和主
振型。 y1
y2
? 自振频率：
31 6 3 5.2 ml
EI??
32 6 5 3.6 ml
EI??
第一主振型 第二主振型
?主振型, {Φ(1)} = [ 1 0.305 ]T
? {Φ(2)} = [ 1 - 1.639 ]T
习题 4,
? 习题 3刚架,在
m1方向上有荷载
FP(t)= FP sinθt,
? FP=10kN,θ=0.6ω1。
? 求振动的最大幅
值,并计算动力弯
矩,画动力弯矩图。
FP sinθt
最大动力弯矩图
结构的动力计算
§ 13-1、动力计算的特点和动力自由度
? 1、动力荷载的特点。
? 静力荷载, 施力过程缓慢,不使结构物产生
显著的加速度,因而是可以略去惯性力影响的荷
载。
? 静力荷载对结构的影响,静力荷载作用下，
结构处于静力平衡状态，荷载的大小、方向、
作用点以及由它引起的结构的内力、位移等各
种量值都不随时间而变化。
? 动力荷载,施力过程较迅速，在动
力荷载作用下，结构将产生不容忽视的
加速度，必须考虑惯性力的影响。
? 动力荷载对结构的影响,动力荷载
作用下，结构将发生振动。荷载的大小、
方向、作用点以及由它引起的结构的内
力、位移等各种量值都是时间的函数。
力系中包括惯性力，计算中考虑瞬间平
衡。
2、常见的动力荷载及分类
? 1、周期荷载,荷载随时间作周期性
变化。
? （ 1）简谐周期荷载：荷载 FP(t) 随时
间 t 的变化规律可用正弦或余弦函数表示。
是周期荷载中最简单，也是最重要的一种。
? （ 2）一般周期荷载：简谐荷载以外的
其它形式的周期荷载。
t
简谐荷载
FP(t)
t
周期荷载FP(t)
? 2、冲击荷载,在很短的时间内，荷
载急剧增大或急剧减小。
? （ 1）作用在结构物上的爆炸冲击荷
载。
? （ 2）突加荷载，突然施加于结构并
在一定时间内荷载值维持不变。
? （ 3）撞击荷载，物体之间相互撞击
作用，在极短时间内出现，又突然消失
的荷载。
? 以上为数定荷载，确定性荷载。
t
非周期性的爆炸荷载
FP(t)
3、随机荷载（非数定荷载）：
? 在任一时刻的数值无法预测。
? （ 1）地震对建筑物的激振。
? （ 2）风力的脉冲荷载。
? （ 3）波浪对坝体的拍击。等
? 动力荷载作用可以是分布的，也可
以是集中的。其作用位置可以是固定的，
也可以是随时移动的。
? 本课程在此只讨论数定荷载作用。
t
üg
3、结构动力计算的特点
? 根据达朗伯 (J.le R,d’ Alembert) 原理，
动力计算问题可以转化为平衡问题来处理。但
这是一种动平衡，是在引进惯性力条件下的平
衡。
? 注意两个特点：
? 1、在所考虑的力系中包括惯性力。
? 2、这里考虑的平衡是瞬时平衡，荷载及
其引起的内力等量值均为时间的函数。
4、结构动力计算的内容
? 结构动力计算的目的：确定动力荷载作用
下结构的内力，位移等量值随时间而变化的规
律，从而找出最大值，作为结构设计和验算的
依据。
? 研究结构受迫振动是动力计算的一项根本
任务。而结构在受迫振动时各截面的最大内力
和位移均与结构自身的动力特性有关，即与结
构自由振动时的频率和振动形式密切相关。因
此，寻求结构自身的自振频率与振型就成为研
究受迫振动的前提。
? （ 1）结构动力特性
? 结构自由振动 （振动过程中无外干扰力作用）
? 结构自身的自振频率 ω，
? 自振周期 T，
? 振动形式 {Y}，
? 阻尼性质。
? （ 2）结构的动力反应
? 结构的受迫振动 （振动过程中受外干扰力作用）
位移、内力等：,y(t),y(t)y(t) ;
M(t),FN(t),FQ(t)
5、动力计算中体系的自由度
? （ 1 ）结构动力计算的计算简图及自由度。
? 动力计算中由于要考虑惯性力的作用，因此
需要研究体系的质量分布，即，质量在运动过程
中的自由度问题。
? 自由度,结构（体系）在变形过程中，确定全
部质量位置所需要的独立参数的数目。
? 一个结构（体系）的自由度是指，为了确定运动过程
中任一时刻，全部质量位置所需确定的独立几何参数的数
目。
? 一般体系都是连续分布的，属于无限自由度
问题。计算繁重，一般不必要。简化通常有两种
方法。
? ①,集中质量法：
? 集中质量 （质点或刚体）
? 弹性无重杆
有限个自
由度体系
? 由于对问题的复杂性和计算精度的要求不同，
同一结构可取不同的计算简图。
? 为了简化计算，杆系 (受弯 )结构振动
时，通常假定：
? a,略去质量的角位移（转动惯量），
把质量视为质点。
? b,忽略质量运动在结构杆件中产生
的轴向变形。
y = y ( x,t )
x
y
m EI l n=∞
x
y
y3( t )a a a a
m m mm/2 m/2
mi=ma
y1( t ) y2( t )
x
y
m EI l
y = y ( x,t )
W
y = y (t )
x
y
m=W/g +ml
m
无限自由度
有限自由度
②, 广义坐标法
把一个无限自由度体系简化为有限自
由度体系时,可以通过近似地假设振动曲线
来实现。如：
)()(
1
xaty k
k
k ??
?
?
?
其中 φ1(x),φ2(x),…φn(x)为满足位移
边界条件的已知函数（形状函数）。
a k — 待定参数（广义坐标）。
? 具有分布质量的简支梁是一个具有无限
自由度的体系。简支梁的挠度曲线可用三角
函数表示：
l
xkaty
k
k
?s in)(
1
?
?
?
?
? 其中,sin (kπx/l)— 形状函数（满足位
移边界条件）
? a k — 待定参数，广义坐标 (坐标选定
后，由无限多个广义坐标 a k确定 y(t) )。
l
xkaty n
k
k
?s in)(
1
?
?
?
? 通常取前几项 。
? 无限自由度简化为 n 个自由度体系。
( 2 )、确定质点体系自由度数目的方法
? 较简单的可以直接判定。
? 较复杂的可以采用链杆法，即：加入
最少数量的链杆，限制体系上所有质点
运动的方法来判定。
? 体系的自由度数目 =加入链杆数。
m1 m2
m3
例：
m1 m2
m3
y1( t ) y2( t )
y3( t )
n=3
n=1
EI=常数
n=2
EI=常数
n=3
EI=常数
n=4
EI
EIEI=∞
n=2
动力自由度的特点：
? （ 1）、与质量的分布，体系的支承和变形
性质有关。
? （ 2）、与体系是否有多余约束无确定关系。
? （ 3）、动力自由度的数目不一定等于质点
的数目。
? （ 4）、动力自由度与体系几何构造自由度
的异同？
? 共同处：体系运动形式的独立参数个数。
? 不同处：一为质点运动的自由度；一为刚体体系
的运动自由度。
§ 13-2、单自由度体系的自由振动
? 1、自由振动微分方程的建立
? （ 1）、建立动平衡方程（刚度法）
? 杆头作用集中质量为 m；
? 梁的刚度系数为 k。（ 使梁端产生单
位位移时，在梁端所需施加的水平力）
? 振动某一时刻 t, 质量离开其平衡位
置的位移为 yd (t)。
m
y
d
⊿ st m静平衡位置
kk
m
W
Fe (t)
FI (t)
? 取质量 m为隔离体，在振动
的任一瞬时，质点上所受的力有：
（ 1）、重力 W
（ 2）、弹性力 Fe (t) 。
（ 3）、惯性力 FI (t)
m
W
Fe (t)
FI (t)
弹性力 Fe (t),
Fe (t)= - ky(t)= - k (⊿ st+ yd )
惯性力 FI (t),
FI (t)= - m? (t)= - m(⊿ st+ ? d )‥
则动力平衡方程：
m?d + k yd = 0
m(⊿ st+ ?d )+ k (⊿ st+ yd ) =W‥
有,W= k⊿ st ‥⊿ st=0
? m ? + k y = 0 (13-1)
若以静力平衡位置作为计算位移
的起点，则所得的动力位移的微分方
程与重力无关。故：
? 质点在惯性力与弹性力的作用下维持
动力平衡（达朗伯原理）。
? 故,m ? + ky = 0
? 或写成,? + k /m·y = 0
? ? +ω2y = 0 (13-2)
ω = √k /m
? 即为单自由度体系无阻尼自由振动的运
动方程，反映了振动的一般规律。
在运动的任一瞬时 t, 在质量 m上作
用有惯性力 FI(t)= -m?,则质量在任一瞬时
的位移为：
(2)、建立动位移方程（柔度法）
y (t)
FI (t)
静平衡位置
y(t)=FI·δ= - m·? ·δ=(- m ·?) · k1
? δ=1/k— 弹簧的柔度系数，即：梁端作用单
位力时，梁端产生的位移。其值与刚度系数 k互为
倒数。
y (t)
FI (t)
静平衡位置
? 质量 m在运动过程中任一时刻的位移,等于
在当时的惯性力作用下的静力位移。
2、自由振动微分方程的解
? 由方程,?+ω2y = 0
? （ 13-2）
? 通解,y(t)= B cos ωt + C sin ωt
? B,C由初始条件定。
? t =0 y(0)= y0 ( 初位移 )
? y(0)= y0 = v0 ( 初速度 )
? 代入通解,可得：
? B = y0,C = v0 /ω
k
m? ?
称为“谐振动”。 a表示质点的最大位
移，称为振幅； α为初相角。
由于 cosωt,sin ωt都是周期函数，它们
每经历一定时间，就会出现相同的数值。
若给时间 t一个增量 T=2π/ω,则 y,y的数值
均不变。
? y(t)= y0cos ωt +v0 /ω sin ωt （ 13-3）
若令,y0= a sinφ,v0 /ω = a cosφ
y(t)=a sin(ωt+α) (13-4)
a= y02 +v02 /ω2
α =1tan-1 (y0ω /v0 ) (13-5 )
3、结构的自振周期和频率
? （ 1）、周期 T— 振动一次的时间。对
一定体系是常数。
? T = 2π/ω （ 13-6）
? 单位“秒 （ s）,
? （ 2）,频率 f— 单位时间的振动次数
（也称为工程频率）。
? f =1/T=ω/2π （ 13-7）
? 单位,1/秒,或称为,赫
兹,
? 圆频率 ω（ 习惯上简称为频率，自振
频率） — 2π个单位时间内振动次数。
? ω=2π/T =2πf （ 13-8）
? 单位,rad/s, 弧度 /秒。
? （ 3）、自振周期和频率计算公式的
几种形式：
(13-10)k
m
ω= = 1
m δ =
g
W δ =
g
⊿ st
T=2π δm =2π m δ =2π W δg =2π g⊿ st
（ 4）、结构自振周期（频率）的
一些重要性质
? ①、自振周期 T（ 自振频率 ω） 只与
结构的质量和刚度（柔度）有关，与外
界干扰因素无关。（干扰力的大小只能
影响振幅，是初始条件）。
? ②,T与 m的平方根成正比（ m大,T
大）； T与 k的平方根成反比（ k大,T
小）。
? ω与 m的平方根成反比（ m大,ω
慢）； ω与 k的平方根成正比（ k大,ω
快）。
? 改变结构的自振周期，只有从改变结
构的质量或刚度入手。
? ③,T（ 或 ω） 是结构动力特性的重要
数量标志。
? 两个外表相似的结构，如 T（ 或 ω）
不同，则动力性能相差很大。
? 两个外表相差很大的结构，如 T（ 或
ω） 相同，则动力性能基本一致。
例,
? 图示各梁 EI=常数,跨
中有集中质量 m,忽略梁
本身的质量,求各梁的自
振周期 T和自振频率 ω。
? 解：
? 本题用柔度法比较方
便。
? 先求出各梁的 δ,T、
ω,再进行比较。
? (a)
? δ=2× (
FP=1
δ F
P=1
l/4M
1
2
l
4
l
22
3
l3
48EI
× × )
× ( l4× )
=
ω= ml348EI√
T= ml348EIω2π =2π√
? (b)
? δ=[(1/2·3l/16·l/2)·
? (2/3·l/2)-(1/2·
? 5l/32·l/2)·
? (1/3·l/2)]/EI
? = 7l3/768EI
ω= 768EI/7ml3√
T=2π 7ml3/768EI√
FP=1
δ
FP=13l/16
5l/32 M
FP=1l/2
M
? (c)
? δ=2[(1/2·l/8·l/2)·
? (2/3·l/2)-(1/2·
? l/8·l/2)·
? (1/3·l/2)]/EI
? = l3/192EI
ω= 192EI/m l3√
T=2π m l3/192EI√
FP=1δ
FP=1l/8 l/8
l/8 M
FP=1l/2
M
比较,
? ω1, ω2, ω3 = 1, 1.512, 2
? T1, T2, T3 = 1, 0.66, 0.52
例,
? 各柱 EI=常数,横
梁 EI1=∞,各跨横梁
的质量均为 m,柱的
质量不计,求体系的
自振周期 T和自振
频率 ω。
? 解：
? 本题为单自由度
体系的自由振动问
题。当柱顶发生单
位水平位移时，各
柱剪力为 12EIi/H3。
k
12EI
H3
24EI
H3
24EI
H3
12EI
H3
k= 72EIH3
? ∑X=0
? k = 2× 12EI/H3+2× 24EI/H3
? = 72EI/H3
EI
mH
EI
mHT
24
2
72
32 33 ?? ??
33
24
3
72
mH
EI
mH
EI ???
§ 13-3、单自由度体系强迫振动
? 一、运动微分方程
? 1、质点运动方向上作用动荷载 FP(t)
? 列动平衡方程：
? ∑y=0
? FI(t)+Fe(t)+FP(t)=0
? m? + k y = F P(t)
? ? +ω2y = FP(t)/m
? (13-11)
m
k
EI,l
FP(t)
y(t)
FP(t)
FI(t)
Fe(t)
? 列动位移方程：
?在运动的任意时刻 t,
? y(t)=FI(t)·δ+FP(t)·δ
m
k
EI,l
FP(t)
y(t)
FI(t)
FP=1
δ
2、动荷载作用在结构的任意位置
? 列动位移方程：
? 运动任意时刻 t,质点上作
用有假想的惯性力 FI(t)。
? y(t)=FI(t)·δ11+FP(t) ·δ1P
? =-m? ·δ11+ FP(t) ·δ1P
? m?·δ11+y(t) = FP(t) ·δ1P
? m?+1/δ11 ·y = δ1P/δ11· FP(t)
? 令, δ1P/δ11· FP(t)= FP(t)
? ?+ω2y = FP(t)/m
m
k
EI,l
FP(t)
y(t)
FP=1
δ11
FP=1
δ1P
FI(t)
3、基础运动
? 基础发生运动 ug(t),列
动平衡方程：
? ∑X=0
? FI(t)+ Fe(t) =0
? m?+ky = - müg(t)
? 令,FP(t) = - müg(t)
? m?+ky = F P(t)
? ?+ω2y = FP(t)/m
üg 地面加速度 Fe(t)= - k y
FI(t)= - m(?+ü g )
小结：
? 1、单自由度体系 （ SDOF） 强迫振动
时，荷载是否作用在质点运动方向上，
在微分方程中影响非齐次项。动荷载如
果不作用在质点运动方向上，应用 FP (t)
代替 FP (t) 。
? 2,注意各项系数的物理意义和计算
方法。
提问：
? 1、第 2种情况下，是否可用动平衡法
列出运动微分方程？如何列出？
? 2、第 3种情况下，是否可用动位移法
列出运动微分方程？如何列出？
二、简谐荷载 FP (t) =Fsinθt 作用
? 1、简谐荷载作用下的动力反应。
? F— 荷载最大值（干扰力幅值）
? θ— 简谐荷载圆频率
? ?+ω2y =F/m·sinθt (a) 二阶线性非齐次方程
? 齐次解,y(t)=B cosωt+ C sinωt
? 特 解,y* = A·sinθt
? 特解代入（ a） 式, (-θ2+ω2)D sinθt=F/m ·sinθt
? 得,A=F /[m(-θ2+ω2)]
? y* = F /[m(-θ2+ω2)] · sinθt
? = F /[mω2(1-θ2/ω2)]· sinθt
22( ) c o s s in s in()
Fy t B t C t t
m? ? ???? ? ? ? ? ??
通解：
? 若设零初始条件：
22
( 0 ) 0,0
( 0 ) 0,
()
yB
F
yC
m
?
? ? ?
?
??
? ? ? ?
?
代入通解：
2 2 2 2( ) s in s in ( ) ( )
FFy t t t
mm
? ??
? ? ? ? ?? ? ? ???
第一部分称为伴生自由振动,由于实际
存在的阻尼，很快衰减。第二部分则按照干
扰力的频率 θ振动。
tyty st ?
?
? ?
?
?
s in
1
1
)(
2
2
很快进入 稳态受迫振动 阶段，或称
为 纯受迫振动 阶段。此时有：
22 2 2
2
1
( ) s in s in
()
( 1 )
FF
y t t t
mm
??
?? ? ?
?
? ? ?
?
?
由于：
2
2
1
st
kF Fy
m m m?? ??? ? ? ?
有：
? 最大动位移（即振幅）为：
2
2m a x
1
1
)]([
?
?
?
? styty
m a x
2
2
[ ( ) ] 1
1st
yt
y
?
?
?
??
?
sty
ty
最大静力位移
最大动力位移动力系数 m a x)]([?
其中,yst— 将干扰力幅值视为静力荷载
作用于体系时引起的位移。
令：
（ 13-13）
( ) s i n sty t y t??? ? ?
2、动力系数的特性
? (1) θ/ω→0, β→1 。
? y(t)与 FP (t) 同相,y(t) ＞ yst 。
? (2) θ/ω＞ 1,θ＞ ω,β ＜ 0。
? y(t)与 FP (t)反相 。
? θ＞＞ ω,θ/ω→∞,β →0 。
? (3) θ/ω→1,(θ=ω),β →∞,
? y(t) →∞ 。 共振。
? 实际上由于有阻尼的影响，动位移不会趋于无
穷，但 y(t) ＞＞ yst。
? 建筑上一般在 0.75≤θ/ω ≤ 1.25 区域内称为共振区，应避免。
1
1 θ/ω
β
0.75 1.25
3、动力位移与动力内力的计算（动静法）
? 简谐荷载 FP (t) =F sinθt作用在质点运
动方向上。
? 求得最大动力振幅 yP = β ·yst
? 求 最大动力内力时，将惯性力作用在质
点上：
? FI (t)= -m?= m β ·yst·θ2·sinθt=FI0 · sinθt
? 无阻尼时，惯性力幅值 FI0与动力荷载幅
值 F同时达到最大值。
? 所以当动荷载幅值 F与惯性力幅
值 FI0同时作用在质点上，求出的相应
内力，即为体系的最大动内力。
? 值得注意的是：当荷载作用在质
点运动方向上，则 动位移系数 β =动内
力系数 。此时：
? F+ FI0 = β F
? 故可用 β F 代替 F+ FI0的作用,
将其作用在质点运动方向上，所求得
的即为结构的最大动内力。
Fsinθt F
FI0
β F
βF=F+FI0
EI l m EI l m
EI l m
（ 2）、一般情况 （荷载作用在任意位置）
? 在质点上加惯性力
FI(t),与原荷载一起，
用（动）静力法求体系
的位移和内力。
? 无阻尼时，用动荷
载和惯性力的幅值即可
求出体系的最大动力反
应。
? 注,此时，不能
μFP代替 FP和 FI0, 计算
动位移和动内力。
FP sinθt
FP
FI0
为什么？
三、一般动荷载作用
? FP (t)是一般动力荷载，特解不易找出。
? 微分方程为,?(t)+ω2y(t)= FP (t) /m
? 特解可利用瞬时冲量作用下的振动导
出。
1、瞬时冲量的动力反应
? （ 1）、体系 t=0时处于
静止状态，突然有 瞬时冲
量 作用 S=FP·Δt,求任意
时刻的动力反应。
? S作用后，体系产生
自由振动。
? 由于冲量的作用，体
系产生初速度。（初位移
为零）
? v0=S/m= FP· Δt /m
FP(t)
O
tF
P
Δt
S=FP·Δt
? 利用自由振动公式：
? y(t)= y0cos ωt +v0 /ω·sin ωt
? ∴ y = S /mω·sinωt
? (13-14 )
? (2),如在 t=τ时作用瞬时冲
量 S,则在以后任一时刻 t（ t
＞ τ） 时的位移为：
? y( t ) =S/mω·sinω(t-τ)
FP(t)
O
tF
P
t-ττ dτ
t
S=FP·dt
2、一般动力荷载的动力反应
? FP (t)的作用相当于连续
冲量的作用。
? 在 t = τ 时，作用荷载为
FP (τ)
? 在微分时段 dτ内产生的
冲量为 dS = FP (τ) dτ 。
? 此微分冲量引起如下的
动力反应，对于 t＞ τ:
FP(t)
O
t
t-ττ dτ
t
dI=FP·dt
dy = ·sinω(t-τ)mωFP (τ)dτ
? 总反应为所有冲量引起的微分反应进行叠加。
? ??
t
P dtFmty 0 )(s i n)(
1)( ????
?
（ 13-15）
? 上式称为 杜哈梅（ J.M.C.Duhamel） 积
分 （零初始条件）。即：初始处于静止状态
的单自由度体系在任意动荷载 FP (t) 作用下
的位移计算公式。
? 如在初始条件中，初位移为 y0,初
速度为 v0,则总位移：
? ????? t P dtFmtvtyty 000 )(s i n)(1s i nc o s)( ????????
? 注：只要知道 FP (t)的表达式，便可使
用上述公式求体系的动力反应。如荷载未作
用在质点运动方向上（或地面运动），可用
FP (t)代替 FP (t)。
（ 13-16）
3、讨论几种动力荷载的动力反应
? （ 1）、突加荷载
0
FP(t)
tFP0
设,y0= v0=0 (t = 0时 )
FP(t)= 0 t < 0
FP0 t > 0
将 FP (t)的表达式代入 （ 13-15） 中,当 t > 0
0
0
00
0
2
11
( ) sin ( ) sin ( ) ( )
( 1 c os ) ( 1 c os )
tt
P
P
P
st
F
y t F t d t d t
mm
F
t y t
m
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
（ 13-17）
? y(t) = yst (1- cosωt)
? FP0 /mω2 = FPδ = yst
? [ y (t) ]max=2 yst =2 FP/mω2
? β = [ y (t) ]max / yst= 2 ——动力系数
yst
0 π 2π 3π 4π 5π 6π 7π ω t
静位移位置
（ 2）、短期荷载
FP(t)=
0 t<0
FP0 0<t<u
0 t> u
FP(t)
tFP0
u
解,阶段 Ⅰ, （ 0≤t ≤ u ）
y(t) = yst (1- cosωt)或 y(t) = yst (1- cos2πt/T)
阶段 Ⅱ,有多种作法。
①、直接利用杜哈梅积分
②、利用自由振动公式 （用突加荷载公式算出 t
= u时的位移和速度，作为 t≥ u 时的初始条件）
0
2
1
( ) [ sin ( ) 0 sin ( ) ]
[ c os( ) c os ]
2 sin sin ( ) ( 13 19 )
22
ut
Po
u
Po
st
y t F t d t d
m
F
t u t
m
uu
yt
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
0
0
( ) ( 1 c o s )
( ) sin
()
( ) ( ) c o s ( ) sin ( )
st
st
y u y u y
y u y u v
yu
y t y u t u t u
?
??
??
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
&
&
? 体系最大反应（分两种情况）：
? ①,u>T/2（ 加载时间大于半个自振周期）
? 最大动力反应发生在阶段 Ⅰ,动力系数
? β = [ y (t) ]max / yst= 2。
? ②,u< T/2（ 加载持续时间小于半个自振周
期）
? 最大动力反应发生在阶段 Ⅱ,
? [ y (t) ]max = yst? 2 ?sin(ωu /2)
? 动力系数：
? β = [ y (t) ]max / yst= 2 ?sin(ωu/2)=2?sin(πu/T)
∴ 动力系数 β = 2sin(πu/T) u /T <1/22 u/T >1/2
β
u/T
1/6 0.5 1
1
2
β与 u /T之
间的关系曲
线，称为
“动力系数
反应谱”。
§ 13-4、阻尼对振动的影响
? 一、阻尼理论
? 对振动起阻碍作用的因素称为阻尼。
? 阻尼可分为几种，统称为阻尼力。
? 1、来自外部介质，如空气、液体的阻力，
支承的摩擦等。
? 2、来自物体内部的作用，材料分子之间
的摩擦和粘着性等。
? 由于内外部阻尼的规律不同，且与各种建筑材料
的性质有关，因而确切地估计阻尼的作用是一个非常
复杂的问题。
? 为此，提出了许多不同的建议，为
使计算较简单，常用福格第 （ Voigt） 假
定：
? 振动中物体所受阻尼力与其振动速
度成正比，称为粘滞阻尼力。
? FC(t)= - cy(t)
? c — 阻尼系数，粘滞阻尼系数。
? （单位 N·s/m）
二、单自由度体系有阻尼振动微分方程
? 由动平衡：
? FI(t)+FC(t)+Fe(t)+FP(t)=0
?m y(t)+c y(t)+ k y(t)=FP(t)
? (13-22)
?m y(t)+c y(t)+ k y(t)= 0
y(t)+2ξωy(t)+ω2y(t)=0 ω=√ k/m
?ξ=c/2mω—阻尼比 (13-24)
m
kc
y(t)
m
FP(t)
FI(t)
Fe(t)
FC(t)
(一 )、有阻尼的自由振动
（ 13-23）
（ 1）、运动微分方程的解
? 设微分方程 (15-26)的齐次解为
? y(t)=C ert
? r由特征方程确定
? r2+2ξωr+ω2=0
r1,2=ω(-ξ ± ξ2 – 1 )√
一般解,y(t)=C1 er1 t + C2 er2 t
ξ是一个重要参数,ξ的大小，使体系的
运动呈不同情况。
ξ ＞ 1 ξ =1 ξ ＜ 1
大阻尼 临界阻尼 小（弱）阻尼
①,小 (低、弱）阻尼情况
12( ) ( c o s s in )
t
rry t e C t C t
?? ??????
方程的一般解为：
令,ωr = ω √ 1-ξ2
ri=ωξ ± iωr
? 引入初始条件：
00
1 0 2,
r
vyC y C ??
?
????
00
0( ) ( c o s sin )
t
rr
r
vyy t e y t t?? ????
?
? ? ? ? ? ???
( ) s in ( )t ry t e a t?? ??? ? ???
2
2 00
0 2
(
r
vyay ??
?
???? ）
0
00
ta n ry
vy
??
??
?
? ? ?
（ 13-27）
（ 13-28）
②、阻尼对振动的影响
a,频率,ωr≈ω,ωr≦ ω (Tr=2π/ ωr ≈T)
∵ ωr = ω √ 1-ξ2
如 ξ 很小，计算 ω 时可不考虑阻尼的影响。
如 ξ＜ 0.2,则 0.96＜ ωr /ω ＜ 1,即,ω’≈ω
注,建筑结构物 ξ一般很小，约在 0.01—0.1之间。
? b,振幅,a·e -ξωt
? 阻尼使振幅不断衰减，结构在振动过程
中为克服阻力而作功，当初始时刻外界赋予
结构的能量全部消耗贻尽，结构停止振动。
t
y
yk y
k+1
a·e -ξωt
tk T
r
tk+1 T’=2π/ωr
()
1
k
k
t
k
tT
k
y a e
y a e
??
??
? ? ?
? ? ? ?
?
??
??
()
1
k
k
tT
Tk
t
k
y e e
ye
??
??
??
? ? ? ?
??
? ? ?? ? ? 相 邻 两 个 振 幅 比
1
l n k
k
y T
y
??
?
? ? ? ? 振 幅 对 数 递 减 率
因此：
1
1 l n
2
kr
k
y
y
??
?? ?
??
如果 ξ＜ 0.2,则,≈1ωrω 而：
1
1 l n
2
k
k
y
y
?
? ?
?
也可用 yk 和 yk+n表示两个相隔 n个周期的振幅，
可得：
(13-29)
1 l n
2
kr
kn
y
y
??
?? ?
??
当 ≈1ωrω
1 l n
2
k
kn
y
y
?
? ?
?
（ 2）、临界阻尼 （ ξ=1） 时的情况
? y(t)=[ y0(1+ωt) + v0t ]e-ωt （ 15-34）
? 体系受干扰后，偏离平衡位置所积蓄
的初始能量，在恢复到平衡位置过程中，
全部消耗于克服阻尼的影响，无多余能
量引起振动。
? 这时的阻尼称为“临界阻尼”。这时
的阻尼常数称为临界阻尼常数 cr。
由 c = 2mωξ 而 ξ = 1
cr=2mω=2√ km (13-30)
∴ ξ =c/ 2mω = c / cr
临界阻尼 （ ξ=1） 时的情况
t
y
o
y o
θo
tanθo =vo
例：
? 图示刚架，水平力
FP=9.8kN,实测柱顶侧
移 y0=0.5cm。 突然卸载，
使结构发生水平振动
（自由振动）测得
T=1.50s,y1=0.4cm,求
体系阻尼比 ξ和阻尼常数 c。
FP
解：
EI
EI=∞
EI
y0=0.5cm
0
11
1 1 1 0, 5 l n = l n = l n = 0, 0 3 5 5
2 2 2 0, 4
k
k
yy
yy? ? ? ????
ω = 2π /T= 2 π/1.5 =4.189 s -1
c = ξ ? 2mω =0.035× 2× 111695× 4.189
= 33220 N ?s/m
m= k /ω2=196× 104 / (4.189) 2 =111695kg
k=mω2
k= FP /y0= (9.8× 103)/0.005=196× 104 N/m
三、有阻尼强迫振动
? 微分方程：
? m y(t)+c y(t)+ k y(t)=FP(t)
? y(t)+2ξωy(t)+ω2y(t)=FP(t)/m
? 1、简谐荷载,FP(t) = Fsinθt
?y(t)+2ξωy(t)+ω2y(t)=F/m sinθt
? 讨论平稳振动,
? y(t)= yP sin(θt-α) ( 13-35a )
22
22
22
1
( 1 ) 4
P s tyy
?? ?
??
??
??
1
2
2
2 ( )
ta n
1
?
?
??
?
?
?
?
?
?
22
22
22
1
( 1 ) 4
?
??
?
??
?
??
(13-36)
动力系数：
(13-35b)
?y(t)= yP sin(θt-α) ( 13-35a )
式中：
振幅,
相位差,
与无阻尼强迫振动相比,
有阻尼强迫振动有以下特点：
? （ 1）,θ＜＜ ω,θ / ω → 0, β→ 1 。
? 由于振动很慢,因而惯性力和阻尼力
都很小,动力荷载主要由结构恢复力平
衡,此时 α →0 0,位移基本上与荷载同步。
(y与 FP同步 )
? （ 2）,θ＞＞ ω,θ / ω → ∞, β很小。
? 体系振动很快，质点近似于作振幅很小
的颤动。由于振动很快，因此惯性力很大，
动力荷载主要由惯性力平衡。此时 α →180 0，
位移与荷载反向。
? （ y与 FP反向）
? （ 3）,θ ≈ ω,θ / ω → 1, β 增加很快,动力反应
即振幅很大 。
? 此时 α→ 90 0, 位移 y(t)落后于荷载 FP(t)大约 900，
即,FP(t)最大时,y(t)很小，所以 FI(t)和 Fe(t)都很
小。
? 此时,FP(t)主要由阻尼力 FC(t)来平衡。 θ在 ω附
近时，阻尼力 FC(t)将起重大作用。动力系数明显受
阻尼大小的影响。
? 在 0.75＜ θ / ω＜ 1.25 之间，阻尼将大大减小简
谐强迫振动的位移幅值。
0 0.5 1.0 1.5 2.0
θ/ω
4.0
3.0
2.0
1.0
β
ξ=1
ξ=0.5
ξ=0.2 ξ=0
2、有阻尼一般动力荷载作用
? 有阻尼体系（ ξ＜ 1） 承受一般动力荷载
的作用，其反应可由杜哈梅积分求出。
? 推导方法与无阻尼体系一致。
? 零初始条件，体系总反应：
()
0
()
( ) sin ( )
t
tP
r
r
F
y t e t d
m
? ? ?? ? ? ?
?
? ? ?? ? ??
(13-31)
小结：
? 1、干扰力是否作用在质点运动方向
上，在动力微分方程中只影响右端项。
? 2、强迫振动
? 简谐荷载：
? 无阻尼：
? 有阻尼：
( ) s i nsty t y t???? 2
2
1
1
?
?
?
?
?
22
22
22
1
[ ( 1 ) 4 ]
?
?? ?
??
?
? ? ?( ) s i n ( )sty t y t? ? ?? ? ?
? 一般动力荷载：
? 无阻尼：
? 有阻尼：
? ??
t
P dtFmty 0 )(s i n)(
1)( ????
?
()
0
()
( ) sin ( )
t
tP
r
r
F
y t e t d
m
? ? ?? ? ? ?
?
? ? ?? ? ??
? （ 3）、动力反应（动位移，动内力）
的计算。
? 动力设计应避免在共振区。
? 共振区外可按无阻尼计算。
? 共振区内必须考虑阻尼的影响。
EI,l EI,lm m
FP F
P
FP0 FP0
习题课：单自由度体系振动
? 要求：
? 1、掌握建立动力微分方程的方法。
? 2、掌握单自由度体系自振频率，自
振周期的计算方法。
? 3、会进行结构在动力荷载作用下的
动力反应（动位移，动内力等）的计算。
习题 1、
? 求出下图所示结构 （ a）、（ b） 的自振频率，
并比较。（要求列运动微分方程）
l
FP sinθt
l l
FP sinθt
注意两结构的变形曲线
FP sinθt FP sinθt
习题 2：
? 试求图示结构
的自振频率和自振
周期。
? 列出质点的运
动微分方程。
? 求当 θ2/ω2=1/2
时的振幅和弯矩。
FP sint
EI =常数l
2l 2l
1
1
m
习题 3：
? 试比较图示两结构的自振频率。设 f为左图
所示简支梁的 柔度系数 。右图中 k=4/f。 若在质
点处作用有 P sinθt,求两个结构中点位移幅值，
并进行比较。设 θ2=2ω2,ω为简支梁 (a)的自振频
率,ω2= 1/mf 。
FP sint F
P sint
习题 4:
? 试求图示结构的自振频率和自振周期。
? 列出质点的运动微分方程。
EI=常数
m
l/2 l/2
M sinθt
习题 5：
? 图示体系各杆 EA=
24kN,m=1000kg,求水
平振动时的自振频率 ωH，
竖向振动时的自振频率
ωV 。
? （说明：当不考虑杆
AB的转动时，本题为两
个自由度体系。在此，
水平位移与竖向位移相
互之间不耦连，故可分
成两个单自由度体系振
动问题）。
习题 6:
? 习题 4结构,
AB杆跨中作用
垂直向下的突加
荷载 FP(t)=30kN,
求 Nmax。
FP(t)=30kN
FP+ FI0=60kN
m
m
§ 13-5、多自由度体系的自由振动
? 一、两个自由度体系的自由振动
? 1、建立运动微分方程
? （ 1）、列位移方程 (柔度法 )：
? 在运动的某一瞬时 t,
? 列出质量 m1,m2所在位置
? y1(t),y2(t)。即质点 m1,m2
? 的位移。
? 即,质点 m1,m2的位移 y1(t),y2(t),是在惯性力
FI1(t),FI2(t)共同作用下所产生的,静力” 位移。
EI1
EI2
m m
体系平衡位置
y1(t)
y2(t)
? 自由振动的任一时
刻 t,质量 m1,m2的位
移 y1(t),y2(t),应当等
于体系在当时的惯性力
FI1(t),FI2(t)作用下所产
生的静力位移。
FI1(t)
FI2(t)
? 列位移方程：
?y1(t)= - m1?1(t)δ11 - m2?2(t) δ12
? y2(t)= - m1?1(t)δ21 – m2?2(t)δ22 (13-47)
EI1
EI2
m m
体系平衡位置
y1(t)
y2(t)
? m1?1(t)δ11+m2?2(t) δ12+y1(t) = 0
? m1?1(t)δ21+m2?2(t)δ22+y2(t) = 0
? δij—— 在自由度 j方向加单
位力，沿自由度 i方向产生的位
移系数。（柔度系数）
? 写成矩阵形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
0
0
0
0
2
1
2
1
2
1
2221
1211
y
y
y
y
m
m
??
??
?[ δ ][ M ]{?}+{y}={0}
1
δ11
δ21
1
δ12
δ22
y1(t)= - m1?1(t)δ11 - m2?2(t) δ12
y2(t)= - m1?1(t)δ21 – m2?2(t)δ22
?（ 1）、列动力平衡方程 (刚度法 )：
? 在运动的某一瞬时 t, 取质量 m1,m2作
为隔离体直接列出运动微分方程。
FI1(t) r1
r2
FI2(t)
? 惯性力 FI1(t),FI2(t)分
别与位移 y1,y2方向相反。
?
? 弹性力 r1,r2分别与位
移 y1,y2方向相反。 r1，
r2是质量 m1,m2与结构之
间相互作用力。
? FI1(t)+r1=0
? FI2(t)+r2=0
? ri 的大小取决于结构的刚
度。
FI1(t) r1
r2
FI2(t)
r1r
2
? r1 =k11y1+k12y2
? r2= k21y1+k22y2
? k i j— 结点 j发生单独的单
位位移 ⊿ j=1时，在结点 i所需
施加的力。（刚度系数）
? m1?1(t)+k11y1(t)+k12y2(t)=0
? m2?2(t)+k21y1(t)+k22y2(t)=0
? （ 13-38）
? 写成矩阵形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
0
0
0
0
2
1
2221
1211
2
1
2
1
y
y
kk
kk
y
y
m
m
k11
k21
k22
k12
? [ M ]{?}+[ K ]{y}={0} (a)
? m i—— 沿 y i 运动方向的（所有）质
量。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
0
0
0
0
2
1
2221
1211
2
1
2
1
y
y
kk
kk
y
y
m
m
也可不将质点分离，按第八章所述的
位移法来处理。
R1=0
R2=0
-m1 ?1 (t)
-m2 ?2 (t)
k11
k21 k22
k12
R1 =k11 y1(t)+k12 y2(t)+m1 ?1(t)=0
R2 =k21 y1(t)+k22 y2(t)+m2 ?2(t)=0
注：
? （ 1）、两个自由度的各种体系，自由
振动的运动微分方程的形式完全相同。
只是系数的值不同。
? （ 2）、比较两式，若：
? [ δ ]-1[ δ ][ M ]{?}+ [ δ ]-1{y}={0}
? 则,[ M ]{?}+ [ δ ]-1{y}={0}
? 可知,[ δ ]-1= [ K ]
? 刚度矩阵与柔度矩阵互逆。
2、两个自由度体系自由振动
的频率（周期）方程
? 设二阶线性齐次微分方程组的特解为：
? y1(t)=Y1 sin(ωt+α)
? y2(t)=Y2 sin(ωt+α) (a)
? 即：设所有质点按同一频率，同一相位作
同步简谐振动。但各质点的振幅各不相同。
? Y1,Y2— 质点 m1,m2的振幅，与初始条件
有关,Y1/Y2=常数。
运动微分方程
k11 y1(t)+k12 y2(t)+m1 ?1(t)=0
k21 y1(t)+k22 y2(t)+m2 ?2(t)=0
? ω— 体系自振频率。 α— 初相角。
将特解代入公式（ 13-38），消去公因子。
2
1 1 1 1 1 2 2
2
2 1 1 2 2 2 2
0
0
(k ω m ) Y k Y
k Y ( k ω m ) Y
? ? ? ?
? ? ? ?
（ 13-39）
?称为自由振动基本方程。
是幅值 Y1,Y2的齐次线性方程。
? 当 Y1=Y2=0,对应于静止状态。
? 若要的非零解，则上式中的系数行列式为零
。
0
)(
)()(
2
2
2221
121
2
112 ?
??
???
mkk
kmkD
?
??
（ 13-39）
称为特征方程，或频率特征方程。
0211222221211 ???????? kk)mω(k)mω(k
0)()(
21
211222112
2
22
1
1122 ?
?
??????
mm
kkkk
m
k
m
k ??
21
211222112
2
22
1
11
2
22
1
112
2,1 )](2
1[)(
2
1
mm
kkkk
m
k
m
k
m
k
m
k
?
??????? ??
展开：
上式为 ω2的二次方程，可解出：
其中,ω 1 ＜ ω2 不为负数。
基本频率 第二圆频率
第一圆频率
? 相应的：
? T1=2π/ω1 ; T2=2π/ω2
? 由于 D=0,方程（ 13-38）是线性相关的。
因此，只可确定 Y1,Y2的比值。即只能确定
多自由度体系的振动形式，不能确定各质
点的振幅值。
? 多自由度体系的振型，就是多自由度体
系相应于各自振频率的振动形式。
3、主振型
? 将 ω1代入自由振动基本方程第一式：
? 第一振型：
1 1 1 2
2
2 1 1 1 1 1
Yk
Y k m?
??
?
12 12
2
22 11 2 1
Yk
Y k m?
??
?
将 ω2代入自由振动基本方程第一式：
第二振型：
（ 13-40a）
（ 13-40b）
频率的数目与振动自由度的数目相同。
主振型特点：
? （ 1）、两质点按同
一自振频率 ωi振动，只
同步振动。
? （ 2）、位移比（振
幅比）为常数，振型
（振动形式）不变。
Y11
Y21
Y12
Y22
主振型即为体系按某一频率所作的简谐
振动。
第一振型可视为由惯性力幅值 ω21m1Y11
和 ω21m2Y21所产生的静力位移。
第二振型可视为由惯性力幅值 ω22m1Y12和
ω22m2Y22所产生的静力位移。
ω12m1 Y11
ω1 2m2Y21 Y
11
Y21 ω
22m1 Y12ω
22m2 Y22 Y12
Y22
由上述两种静力平衡状态应用功的互等定理：
(ω12m1 Y11) Y12 +(ω12m2 Y21) Y22 =
(ω22m1 Y12) Y11 +(ω22m2 Y22) Y21
移项后,可得：
(ω12 - ω22)(m1 Y11 Y12 - m2 Y21 Y22) = 0
如果 ω12≠ ω22，则有：
m1 Y11 Y12- m2 Y21 Y22 = 0
或写为：
∑mi Yi(1)Yi(2) = 0
i= 1
2
两个主振型之间的正交关系。
主振型即为质点位移
y1(i)(t)=Y1(i) sin (ωit+ α i )
y2(i)(t)=Y2(i) sin (ωit+ α i )
多自由度体系如果按某个主振型自由
振动,由于振型保持不变,因此，这个多自由
度体系实际上是象一个单自由度体系那样
振动。发生主振动的条件：初位移和初速
度应与主振型相对应。
4、运动方程的一般解
y1 (t)=A1 Y11 sin (ω1t+ α1 )+ A2 Y12 sin (ω2t+ α2 )
y 2(t)=A1 Y21 sin (ω1t+ α1 )+ A2 Y22 sin (ω2t+ α2 )
即为一般情况任意初始条件下的解。
A1, α1, A2, α 2由初始条件定。
在一般情况下，体系的自由振动不再是
一个单一的简谐振动，而是由不同频率的简
谐振动叠加而成的。
归纳如下：
（ 1）、在多自由度体系自由振动问题中，主要
问题是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。
（ 2）、多自由度体系自振频率不止一个，其个数
与自由度的个数相等。自振频率可由特征方程求出。
（ 3）、每个自振频率有自己相应的主振型。主振
型就是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所
具有的特定形式。
（ 4）、与单自由度体系相同，多自由度体系的
自振频率和主振型也是体系本身的固有性质。自
振频率只与体系本身的刚度（柔度）系数及其质
量的分布情形有关，而与外部荷载无关。
? 例, 求图示刚架水平振动时的自振频
率和相应的主振型 。
m1
m2
k1
k2
y1
y2
? 解：
? 1、计算刚度系数
? 注：
? 将刚度系数代入（ 13-39）
层柱子总数
层抗剪刚度
is
h
EI
k
s
j
j
i
??
?? ?
? 1
3
12
0))((
0
2
22
2
21
2
21
2
2
22
21
2
21
?????
?
??
???
?
kmkmkk
mkk
kmkk
D
??
?
?
k11=k1+k2
k21= - k2
1
1
k12= - k2
k22= k2
（ 1）、当 m1=m2=m,k1=k2=k 时
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
61 803.1,61 803.2
2
53
61 803.0,38 197.0
2
53
2
2
2
1
2
1
???
?
?
???
?
?
??
??
11
21
1
2 0,3 8 1 9 7 1,6 0 8
Y k
Y k k???
12
22
1
2 2,6 1 8 0 3 0,6 1 8
Y k
Y k k? ? ??
?(2k-ω2m)(k- ω2m)-k2=0
解出：
?第一主振型：将 ω1代入 （ 13-40a）,
?第二主振型：将 ω2代入 （ 13-40b）
振型示意图
? 第一主振型 第二主振型
1
1.618
1
-0.618
(2)、当 m1= n m2,k1 = n k2 时
? [(n+1)k2-ω2 nm2](k2-ω2 nm2)
? - k22=0
2
2
2
2 ]14)12[(
2
1
m
k
nnn
??? ??
主振型：
2
1
11
24
Y n
Y ? ? ?
当 n =90时：
21
11
10
1
Y
Y ?
22
12
9
1
Y
Y ??
m1=nm2
m2
k1=nk2
k2
注意：
? 上部结构的质量和刚度很小时，结构
顶部位移很大。
? 建筑结构中，由于刚度突变，导致反
响巨大，这种现象称为, 鞭稍效应,。
二,n个自由度体系
m1 mi mk mn1
kik
参照（ 13-38）可写出动平衡方程
k11 y1(t)+k12 y2(t)+…+ k1n yn(t) +m1 ?1(t)=0
k21 y1(t)+k22 y2(t)+…+ k2n yn(t) +m2 ?2(t)=0
………………………………………
kn1 y1(t)+kn2 y2(t)+…+ knn yn(t) +mn ?n(t)=0
写成矩阵形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
00
00
00
2
1
21
22221
11211
2
1
2
1
??
?
????
?
?
??
?
??
??
?
????
?
?
nnnnn
n
n
nn
y
y
y
kkk
kkk
kkk
y
y
y
m
m
m
[M ]{ ? }+[ K ]{ y }={ 0 } (13 -43 b)
(13-43 a)
可缩写为：
（ 13-43）的解，设：
{ y } = { Y }sin(ωt+α)
代入（ 13-43），消去公因子后，得自
由振动基本方程：
( [ K ]- ω 2 [ M ] ){ Y }= { 0 } (13-44)
欲使 {Y }有非零解，则必有：
[ K ]- ω 2 [ M ] = 0 （ 13-45a）
解此频率方程，可以求得 n个频率。
然后，,即可确定体系的振型。
令,{ Y(i)}表示与频率 ωi相应的主振型向量：
1
2()
{}
i
ii
ni
Y
Y
Y
Y
??
??
???
??
??
??
M
把频率 ωi和 { Y(i)}代入式 (13-44)
( [ K ]- ωi2 [ M ] ){ Y (i)}= { 0 }
( 13-46 )
令 i=1,2,······,n, 可得出 n个向量方程，由
此求出 n个主振型向量 { Y(1)},{ Y(2)},····,{ Y(n)}。
每一个向量方程
( [ K ]- ωi2 [ M ] ){ Y (i)}= { 0 }
均代表 n个联立代数方程，以 Y1i,Y2i,··· Yn i, 为
未知数。这是一组齐次方程，如果
Y1i,Y2i,··· Yn I
是方程组的解，则：
CY1i,CY2i,··· CYn i
也是方程组的解。
由（ 13-46）可以唯一地确定主振型 { Y(i)}的形
状，但不能唯一地确定它的振幅。
标准化主振型：
规定主振型 { Y(i)}中的某个元素为某个给定值。
例如规定第一个元素 Y1i等于 1,或规定最大的
元素等于 1。
作法 2：
规定主振型 { Y(i)} 满足下式：
{ Y(i)}T[M] { Y(i)} =1
还有其他作法。
作法 1：
例, (书例 13-5)
? 求图示体系的
自振频率和主振型。
? k,k/3,k/5 分别
为一、二、三层的
层刚度。
? 解：
? （ 1）、自振频率
20 -5 0
[ K ] = k/15 -5 8 -3
0 -3 3
2 0 0
[ M ] = m 0 1 0
0 0 1
K11= 4k/3
K21= -k/3
K31= 0
K22= 8k/15
K12= -k/3
K32= -k/5 K33= k/5
K23= -k/5
K13= 0
由自由振动基本方程：
? ([ K ] –ω2[ M ]) { Y } = {0}
? 其中，频率方程：
? [ K ] –ω2[ M ] = 0
令 η = 15mω2/k
20 - 2η -5 0
-5 8-η -3 = 0
0 -3 3-η
展开,
? 2η3 - 42η2 + 225η– 225 =0
? 由试算法,
? η1 = 1.293 η2 = 6.680 η3 = 13.027
mkmkmkmkmkmk 8685.0154453.0150862.015 323222121 ?????? ??????
m
k
m
k
m
k 9319.06673.02936.0
321 ??? ???
2、主振型
? 在此，规定主振型中的第三个元素 Y3i=1
? 将 η1代入自由振动基本方程：
? ([ K ] –ω2[ M ]) { Y（ 1） } = { 0 }
? 20-2η1 -5 0 Y11 0
? k/15 -5 8-η1 -3 Y21 = 0
? 0 -3 3-η1 Y31 0
? 17.414 -5 0 Y11 0
? k/15 -5 6.707 -3 Y21 = 0
? 0 -3 1.707 Y31 0
保留后两个方程
? -5 Y11 + 6.707 Y21 - 3 Y31 = 0
? -3 Y21 + 1.707 Y31 = 0
由 Y31 =1
?将 η2代入自由振动基本方程：
Y12 -0.924
{ Y(2)}= Y22 = -1.227
Y32 1.000
Y11 0.163
{ Y(1)} = Y21 = 0.569
Y31 1.000
将 η3代入自由振动基本方程：
Y13 2.760
{ Y(3)}= Y23 = -3.342
Y33 1.000
画出三个主振型的大致形状；
三、柔度法
1、柔度法方程：
y1(t)= - m1?1(t)δ11 - m2?2(t) δ12
y2(t)= - m1?1(t)δ21 – m2?2(t)δ22 (13-47)
即：设所有质点按同一频率，同一相位作同
步简谐振动。但各质点的振幅各不相同。
2、设二阶线性齐次微分方程组的特解为：
y1(t)=Y1 sin(ωt+α)
y2(t)=Y2 sin(ωt+ α)
(a)
两个质点的惯性力为：
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
( ) sin ( )
( )
( ) sin ( )
m y t m Y t
b
m y t m Y t
? ? ?
? ? ?
?? ? ? ?
?
? ? ? ??
&&
&&
将 （ a）, （ b） 代入（ 13-47）消去公因子后，得：
22
1 1 1 1 1 2 2 1 2
22
2 1 1 2 1 2 2 2 2
( ) ( )
( 1 3 - 4 8 )
( ) ( )
Y m Y m Y
Y m Y m Y
? ? ? ?
? ? ? ?
??? ?
?
?? ??
或：
1 1 1 1 1 2 2 22
2 1 1 2 2 2 22
1
( ) 0
( )
1
( ) 0
m Y m Y
c
m Y m Y
??
?
??
?
?
? ? ?
??
?
?? ? ?
??
为了得到 Y1, Y2不全为零的解，应使系数行列式
等于零，即：
1 1 1 1 2 22
2 1 1 2 2 2 2
1
()
0
1
()
mm
D
mm
??
?
??
?
?
??
?
称为特征方程，或频率特征方程。
1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 222
11( ) ( ) 0m m m m? ? ? ?
??? ? ? ?
展开：
令, λ=1/ω2
λ2-(δ11m1+δ22m2)λ+m1m2 (δ11δ22- δ12δ21)=0
解得,
? ? ? ?
? ? ? ?
21
2
21
2
222111222111
2121122211
2
222111222111
2,1
4
2
1
2
1
2
)4
mmmmmm
mmmmmm
?????
????????
?
?????
?????
?
（
（ 13-49）
2
2
1
1
1,1
?
?
?
? ??
可以求得频率的两个值为：
λ1＞ λ2
ω1＜ ω2
其中最小频率 ω1称为第一频率或
基本频率，而 ω2称为第二频率。
? 将 ω1代入 （ c） 第一式，有：
11 12 2
21
11 1 2
1
( 13 50 )
1
Ym
a
Y m
?
?
?
? ? ?
?
? 将 ω2代入 （ b） 第一式，有：
12 12 2
22
11 1 2
2
( 13 50 )
1
Ym
b
Y m
?
?
?
? ? ?
?
主振型
例,
? 求图示体系的
频率和主振型。
EI=常数 。 l/3l/3 l/3
mm
FP1=1
FP2=12l/9
2l/9
?δ11 = δ22 = 4 l3/ 243EI
?δ12 = δ21 = 7l3/ 486EI
解, （ 1）
（ 2）代入（ 13-49）得：
λ2= （ δ11 - δ22） m= 486 EI1 ml
3
λ1= （ δ11+δ22） m= 486 EI15 ml
3
求得两个自振圆频率：
1 3
1
1 5, 6 9 EI
ml
?
?
?? 2 3
2
1 2 2, 0 4 5 EI
ml
?
?
??
（ 3）求主振型。由（ 13-50）
11
21
1
1
Y
Y
? 12
22
1
1
Y
Y
?
?
振型图：
1 1
第一振型：
1
1
第二振型：
可利用对称性求解,
利用对称性求解,须先估计大致振型。
对于对称结构，振型必分为正对称和反对称
两类。 如上题：
δ11= 15l3/486EI
3
11
1 69.5
1
ml
EI
m
??
?
?
m
l/6l/3
1
l/3
δ22 = l3/486EI
3
22
2 0 4 5.22
1
ml
EI
m
??
?
?
m
l/6l/3
1
l/9
3,n个自由度体系
运动微分方程
在运动的任一时刻 t,作用在质点上的惯性力为
FIi = - mi ?i,可列出位移方程。
m1 mi mk mn
- m1 ?1
- mi ?i - mk ?k
- mn ?n
y1= - m1?1 δ11 – m2?2 δ12 -…– mi?iδ1i - …– mn?n δ1n
y2= - m1?1 δ21 – m2?2 δ22 -…– mi?iδ2i - …– mn?n δ2n
yi= - m1?1 δi1 – m2?2 δi2 -…– mi?iδii -…– mn?n δin
………………………………………………
yn= - m1?1 δn1 – m2?2 δn2 -…– mi?iδni - …– mn?n δnn
( a )
可写成矩阵形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
0
2
1
2
1
21
21
222221
111211
2
1
?
?
??
?
??
?
??
??
?
?
??
????
??
????
??
??
?
?
n
i
n
i
nnninn
iniiii
ni
ni
n
i
y
y
y
y
m
m
m
m
y
y
y
y
????
????
????
????
可缩写为：
? [ δ ][ M ]{?}+{y}={0}
[ δ ] ——称为柔度矩阵。由位移互等
定理 δik = δki可知是一个对称方阵。
[ M ]—— 质量矩阵。在集中质量体系
中，是一个对角矩阵。
2、运动微分方程的解
设特解为：
{ Y } = { Y }sin(ωt+α)
其中,{ Y }= [ Y1 Y2 … Yi … Yn ]T
称为 幅值列向量
将上式代入微分方程
- ω2 [ δ ][ M ]{ Y }+{ Y }={ 0 }
令,λ=1/ω2,得自由振动的基本方程。
（ [ δ ][ M ] –λ [ I ]） { Y } = { 0 } （ 13-51）
上式为一个齐次线形代数方程组,欲使 { Y }有
非零解,则系数行列式必为零，即：
D = [ δ ][ M ] –λ [ I ] = 0 （ 13-52）
展开式为：
…… …
(m1δ11-λ) m2δ12 … mnδ1n
(m2δ22-λ) …m1δ21 mnδ2n
(mnδnn-λ)…m1δn1 m2δn2
=0
(13-52)
展开 (13-52)式,
可解出 n个正的实根, λ1,λ2,λ3,… λn。
求出 n个频率,ω1,ω2,ω3,…ωn。
由此得到关于 λ的 n次代数方程。
其中最小的 ω1称为第一频率，其后按数值大小依
次排列，并顺序排列称为第二频率、第三频率等。
最后求与频率 ωi相应的主振型 { Y (i)}。
为此，将 λ=1/ω2和 { Y (i)}代入式（ 13-51），得：
（ [ δ ][ M ] –λ i [ I ]） { Y (i)}= { 0 } （ 13-53）
令 i=1,2,······,n, 可得出 n个向量方程，由
此求出 n个主振型向量 { Y(1)},{ Y(2)},····,{ Y(n)}。
§ 13-6、多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵
1、主振型的正交性
主振型的正交性：多自由度（包括无限自由度）
体系中,任意两个不同的主振型之间存在的相互正交
的关系。
证明, 由自由振动基本方程：
([ K ] –ω2[ M ]){Y} = { 0 }
可知，无论哪个特征对,ωl 与 {Y(l)}均能满足此方程。
?即,([ K ] –ωl2[ M ]){Y( l ) } = { 0 } (a)
? ([ K ] –ωk2[ M ] ){Y( k ) } = { 0 } (b)
以 {Y( k )} T 和 {Y( l ) } T 分别左乘 ( a ),( b ),得,
([ K ] –ωl2[ M ]){Y( l )} = { 0 } (c)
([ K ] –ωk2[ M ]){Y( k )} = { 0 } (d)
{Y( k )} T
{Y( l )} T
将 (c)式转置
{Y( l )}T ([ K ]T –ωk2[ M ]T) {Y( k )} = { 0 }
由对称性，有,[ K ]T=[ K ],[ M ]T =[ M ]
{Y( l )}T([ K ] –ωl2[ M ]) {Y( k )} = { 0 } (e)
由 (d) – (e):
(ωl2–ωk2) {Y( l )}T[ M ] {Y( k )} = { 0 }
(ωl2–ωk2) {Y( l )}T[ M ] {Y( k)} = { 0 }
如果 ωl ≠ ωk
则,
{Y( l)}T[ M ]{Y( k)} = { 0 } (l≠k) (13-54)
∑mi YilYik = 0
i= 1
n
? 相对于质量矩阵 [ M ],不同频率相对应的主振型
是正交的，称为 第一正交条件 。
? 即振型关于质量矩阵的正交条件。
?{Y( l )} T([ K ] –ωk2[ M ]){Y( k )} = { 0 } (d)
{Y( l )}T[ M ]{Y( k )} = { 0 } (l≠k)
将第一正交条件代入 （ d）,得：
{Y( l )}T[ K ]{Y( k )} = { 0 } (l≠k)
(13-55)
相对于刚度矩阵 [ K ],不同频率相对应的主振
型是正交的，称为 第二正交条件 。
即振型关于刚度矩阵的正交条件。
广义质量和广义刚度
若 k = l,则：
Mk = {Y(k )}T[ M ] {Y(k )} (13-56 a)
—— 第 k个主振型的 广义质量
Kk = {Y(k )}T[ K ] {Y(k )} (13-56 b)
—— 第 k个主振型的 广义刚度
([ K ] –ωk2[ M ]){Y( k ) } = { 0 } ( b )
[ K ] {Y( k) } = ωk2[ M ] {Y( k ) }
用 {Y(k )}T前乘上式两边，得：
{Y( k )}T [ K ] { Y(k ) } = ωk2 {Y(k )}T[ M ]){ Y(k ) }
有, Kk = ωk2 Mk
由此,( 13-57 )
k
k
k
K
M
? ?
? 主振型的正交性在结构动力计算中多次用到。
? 一般用于：
? （ 1）,判断主振型的形状特点（验算）。
? （ 2）,利用正交性关系，确定展开公式中
的系数。
? 多自由度体系振动中，任一位移向量 {y}都
可按主振型展开，写成主振型的线性组合。
（任一位移向量 {y}均可看成为主振型的线性组
合，即,{y}中含有各阶主振型）
? {y}= η1{Y(1)}+ η2{Y(2)}+…+ ηn{Y(n)}
? =∑ ηi{Y(i)} （ 13-58）
? 其中，待定系数 ηi (广义坐标、正则坐标 )可
根据正交关系确定 (正则坐标以 [Y]为基底 )。
n
i=1
?{y} = ∑ ηi{Y( i )} （ 13-58）
n
i=1
用 {Y( j )}T[M]前乘 （ 13-58） 式两边
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( )
1
{}
nTT
j j i
j
i
Y M y Y M Y?
?
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( )
1
{}
nTT
j j i
j j j
i
Y M y Y M Y M??
?
???
上式右边，除第 j项外，其它各项均为零：
由此可求出系数 ηj为：
? ? ? ?
j
Tj
j M
yMY }{)(?? （ 13-59）
注：
? 一般情况下，验算主振型的正交性
时，应将计算结果写成 k 或 m 的函数
形式。否则，由于在计算主振型的过
程中出现的误差，可能导致正交性验
算的结果看起来较大。
关于正交条件示例,见教材 P.243。
*2、主振型矩阵
? n 个自由度体系，主振型矩阵,
? ?
( 1 ) ( 2 ) ( )
1 1 1
( 1 ) ( 2 ) ( )
( 1 ) ( 2 ) ( ) 2 2 2
( 1 ) ( 2 ) ( )
{ } { } { } ( 1 3 - 6 0 )
n
n
n
n
n n n
Y Y Y
Y Y Y
Y Y Y Y
Y Y Y
??
??
????
?? ??
????
L
L
L
M M O M
L
? ?
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
12
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
12
( ) ( ) ( ) ()
12
[]
[]
( 13 - 61 )
[]
T
n
T
T n
n n n nT
n
Y Y Y Y
Y Y Y Y
Y
Y Y Y Y
?? ??
?? ??
????
?? ??
??
?? ????
L
L
M M O M M
L
? 主振型矩阵的转置,
? ? ? ?? ? ? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? K
K
K
K
YKY
n
T
?
????
?
?
00
00
00
2
1
? ? ? ?? ? ? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? M
M
M
M
YMY
n
T
?
????
?
?
00
00
00
2
1
广义质量矩阵：
广义刚度矩阵：
[ Y ]的性质：当 [ M ]和 [ K ]为非对角矩阵时，如
前乘 [ Y ]T,后乘 [ Y ],可得到 [ M* ]和 [ K* ]。
§ 13-7 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动
1、运动微分方程（刚度法）
以两个自由度的体系为例，在动力荷载作用
下的振动方程为：
M1?1(t)+k11y1(t)+k12y2(t)=FP1(t)
（ 13-64）
M2?2(t)+k21y1(t)+k22y2 (t) =FP2(t)
y1( t )
y2( t )
FP1(t)
FP2(t)
m2
2
1
m1
若：
为简谐荷载FP1(t)= FP1sinθt
FP2(t)= FP2sinθt
(a)
则在平稳振动阶段，各质点也作简谐振动：
y1(t)= Y1sinθt
y2(t)= Y2sinθt
(b)
将 （ a）,（ b） 代入 （ 13-64） 消去公因子,
? ( k11 - θ2 m1 )Y1 + k12Y2 =FP1
? k21 Y1 + ( k22 - θ2 m2 )Y2= FP2
位移幅值：
Y1 = D1D
0
Y2 =
D2
D0 （ 13-65）
D0= (k11 - θ
2m1 ) k12
k12 (k22 - θ2m2 )
式中：
D1= FP1 k12FP2 ( k22- θ 2m2) D2=
( k11- θ2m1 ) FP1
k21 FP2
（ 13-66）
将 Y1, Y2代入（ b）,可得任意时刻 t 的位移 {y(t)}。
共振研究：
若 θ = ωi （ i= 1,2）, 则 Do = 0
① 一般情况：若 D1 ≠ 0,D2≠ 0
则 Y1 →∞,Y2 →∞ 共振 。
② 如果, D1 = 0,D2 =0
则 Y1 = 0 / 0, Y2 = 0 / 0
需分析研究。
例：
? 计算图示结构，找出振幅与频率之间的关系。
解,刚度系数：
k11= k1+k2
k22= k2
k12 = k21= - k2
FP1= FP FP2= 0
FP sinθt
m1=m2=m, k1=k2=k
k2m2
m1
k1
荷载幅值：
FP sinθt k2
m2
m1
k1
代入（ 13-66）（ 13-65）
( k1+k2 - θ2m1 )Y1 + k2Y2 = FP
- k2Y1 + ( k2 - θ2m1 )Y2 = 0
Y1 = D1D
0
= ( k2 - θ
2m2 )FP
D0
Y2 = D2D
0
= k2 FPD
0
其中,D0= ( k1+k2 -θ2m1 ) ( k2-θ2m2 ) - k22
令,m1 = m2 = m k1= k2 = k
则,Y
1 =
D1
D0 =
( k - 2m)FP
D0 Y2 =
D2
D0 =
k FP
D0
D0= ( 2k - θ2 m ) ( k - θ2 m ) - k2
D0 = m2θ4–3kmθ2+k2= m2(θ4–3k/m?θ2+k2/ m2)
= m2 (θ2 - ω12) (θ2 –ω22)
与例 13-4中的特征方程相比：
D0 == m2 (θ2 - ω12) (θ2 –ω22)
已知：
k
m
2
532
1
???
k
m
2
532
2
???
所以,
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2
2
1
?
?
?
?
?
??
?
?
k
m
k
P
Y
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2
2
?
?
?
?
??
?
k
P
Y
振幅参数：
k
P
Y
k
P
Y 21
荷载频率参数：
m
k
?
可找出以上两种参数之间的关系曲线。
由图可见 当
10, 6 1 8
k
m???? 21, 6 1 8
k
m????
时
Y1,Y2趋于无穷大，体系发生共振。
若计算动内力时，则由 { FI0 } = θ2[ M ]
计算出惯性力的幅值，加在相应的位置上，
由静力计算得出 Md,FQd 等。
注：可用剪力分
配法、无剪力分配法
或反弯点法等方法计
算动内力。
k2
m2
m1
k1
FI10
FI20
FP
讨论,本题当 k2 / m2= θ2 时 k
2
m2
m1 k
1
FP sinθt由
Y2 = D2D
0
= k 2FPD
0
Y1 = D1D
0
= ( k 2- θ
2m2)FP
D0
可知：
Y1=0 Y2= - FP/ k2
在原结构上附加 k2, m2 系统，可消除 m1
的振动。称为,动力吸振器” 。设计时，可根据
m2 的许可振幅 Y2=- FP / k2,选定 k2, 再由 m2=
k2 / θ2确定 m2 的值。
k2
m2
m1 k
1
FP sinθt
2、柔度法
? 不考虑阻尼的影响。
? 列位移方程：
y2
m1 m2
FP1sinθt FP2sinθt
y1
y1= - m1?1δ11 – m2?2δ12+Δ1Psinθt
y2= - m1?1δ21 – m2?2δ22+Δ2Psinθt
( a )
或写成：
y1+ m1?1δ11 +m2?2δ12=Δ1Psinθt
y2+ m1?1δ11 +m2?2δ12=Δ1Psinθt
（ 13-69）
y1+ m1?1δ11 +m2?2δ12=Δ1Psinθt
y2+ m1?1δ11 +m2?2δ12=Δ1Psinθt
式中：
ΔiP = ∑ δiP FPjj=1k (15-47)
上式为各简谐荷载的幅值在质量 mi
处引起的静力位移。
因荷载是简谐荷载，各质点作简谐振
动（只讨论平稳振动阶段）
FP1 FP2
FI10 FI20
y10 y20
在平稳振动阶
段，各质点将按干
扰力频率作同步的
简谐振动。即：
y1 (t)= y1 sinθt0
y2 (t)= y2 sinθt0 (15-48)
(15-48) (15-46)
(m1δ11θ – 1)y1+m2δ12 θ y2 +Δ1P =022 0 0
(m1δ21θ – 1)y1+m2δ22 θ y2 +Δ2P =022 0 0
(15-45)
各质点的惯性力为：
FI1 (t)= - m1?1 (t)=θ m1y1 sinθt2 0
FI2 (t)= - m2?2 (t)=θ m2y2 sinθt2 0
(15-50)
令,F
11 = θ m1y1
2 00
F12 = θ m2y22 00
（ 15-51）
FI1 (t)= FI1 sinθt0
FI2 (t)= FI2 sinθt0
（ 15-52）
? 由（ 15-48）和（ 15-52）可知，位移、
惯性力和简谐荷载均按同一频率作同步
的简谐变化。
(δ11 – 1/ m1θ )F11+δ12 F12 +Δ1P =02 0 0
+(δ22– 1/ m2θ )F12+Δ1P =02 00δ21 F11
(15-53)
D=
(δ11 – 1/ m1θ )2 δ12
δ21 (δ22 – 1/ m2θ )2
D=
(δ11 – 1/ m1θ )2 δ12
δ21 (δ22 – 1/ m2θ )2
=
m1 m2
1
(m2 δ22 – )1θ 2
m2 δ12
m1 δ21
(m1 δ11 – )1θ 2
方程 (15-53)的系数行列式为,
分析,当 θ=ω 时,D=0。
一般情况下将有,F110=D1 /D=∞，
F110=D1 /D=∞。 共振。
两个自由度体系有两个频率，所以
有两个共振区。
例：
试求图示体系
的最大动位移图
和动内力图。
已知：
m1=m2=m，
EI=常数。
θ=0.6ω1=3.4152,EI√ ml3
l/3l/3 l/3
m2m1
FPsinθt
解：
设以 F110,F120
分别代表质量的惯
性力幅值，可写出
方程为：
(δ11 – 1/ m1θ )F11+δ12 F12 +Δ1P =02 0 0
+(δ22– 1/ m2θ )F12+Δ1P =02 00δ21 F11
柔度系数和自由项：
? δ11 = δ22 = 8 l3/ 486EI
? δ12 = δ21 = 7l3/ 486EI
? ⊿ 1P = FP δ11 = 8 FP l3/ 486EI
? ⊿ 2P = FP δ21 = 7 FP l3/ 486EI
m1 θ2 = m2 θ2 = m (3.4152)2EI/ml3 =11.6636 EI/l3
代入幅值方程：有
- 0.06928F11+0.01440F12 +0.01646FP =00 0
0.01440F11 - 0.06928F12 +0.01440FP =00 0
F11=0.2936FP0 F12=0.2689FP0
解得：
按静力计算可得：
486EI
7l30y
2 =1.2936FP× +0.2689FP× =0.023486EI
8l3
EI
FP l3
486EI
8l30y
1 =1.2936FP× +0.2689FP× =0.025486EI
7l3
EI
FP l3
FP
F11=0.2936FP0
F12=0.2689FP0
+
-
最大动位移图可
见图示。
0.952FP
EI
FP l30.025
EI
FP l30.023
动位移图最大动弯矩图可
见图示。
0.317FP l 0.204FP l
0.342FP
0.611FP 最大动剪力图可见图示。
§ 13-8,振型分解法 (振型叠加法 )
? 上述分析，以 y(t)—— 几何坐标表示
位移，简谐干扰力作用下，可将微分方
程组转化为代数联立方程组求解。但是
当任意荷载作用于体系，尤其是考虑阻
尼影响时，直接求解联立微分方程组，
将是非常困难的。
? 本节利用主振型的正交性，建立广义坐
标（正则坐标），将联立的微分方程组
（相互耦连）转化成为 n 个独立的微分方
程，求解动力反应。
? 微分方程：
? [ M ]{?}+[ K ]{y}={F P(t)}
? 每个方程中包含了全部的未知量 y(t)，
因此方程是耦连的。
? 建立广义坐标的目的：将上述微分方程
转换为每式只含一个未知量的微分方程。
一、广义坐标（正则坐标）的概念
? 振动位移为各主振型的线性组合，因
此可按主振型分解。
主振型线性组合形式：
x1(t) x
2(t) x3(t)
y1(t)
y2(t)
y3(t)
Φ1(1)
Φ2(1)
Φ3(1)
Φ1(2)
Φ2(2)
Φ3(2)
Φ1(3)
Φ2(3)
Φ3(3)
yi(t)= Φi(1)x1(t)+ Φi(2)x2(t)+…+ Φi(n)xn(t)
(i=1,2,…,n )
? 体系的位移可以视为，由各固有振型
分别乘以相应的组合系数后，叠加而成。
? 式中,
? y(t) —— 原坐标，几何坐标。
? x(t)—— 正则坐标，广义坐标，以振
型为基底。
? 可写成：
? {y(t)}=[ Φ ]{x(t)} (15-89)
? {y(t)}={Φ(1)}x1+{Φ(2)}x2+…+{Φ(n)}xn
二、用振型分解法计算多自由度体系的
受迫振动（不考虑阻尼）
? 1、运动微分方程：
? [ M ]{?}+[ K ]{y}={F P(t)} （ 15-90）
? 将 {y}=[ Φ ]{x}代入上式：
? [ M ][Φ ]{ x } +[ K ][Φ ]{x} ={FP(t)}‥
上式前乘 {Φ(i)}T
{Φ(i)}T[ M ][Φ]{x} + {Φ(i)}T[ K ][Φ]{x} = {Φ(i)}T{FP(t)}‥
其中：
{Φ(i)}T[ K ][Φ]{ x }
={Φ(i)}T[ K ]{Φ(1)} x1+{Φ(i)}T[ K ]{Φ(2)} x2+…
+{Φ(i)}T[ K ]{Φ(i)} xi+…+{Φ(i)}T[ K ]{Φ(n)} xn
{Φ(i)}T[ M ][Φ]{ x }
={Φ(i)}T[ M ]{Φ(1)} x1+{Φ(i)}T[ M ]{Φ(2)} x2+…
+{Φ(i)}T[ M ]{Φ(i)} xi+…+{Φ(i)}T[ M ]{Φ(n)} xn
‥
‥ ‥
‥‥
根据正交条件，可知：
{Φ(i)}T[ M ]{Φ(i)} xi+{Φ(i)}T[ K ]{Φ(i)} xi
={Φ(i)}T{FP (t)} (15-91)
‥
引入如下符号：
mi = {Φ(i)}T[ M ]{Φ(i)} (15-92)～
k i = {Φ(i)}T[ K ]{Φ(i)} (15-93)～
FPi (t)= {Φ(i)}T { FP (t)} (15-94)～
分别称为对应于第 i 振型的 广义质量, 广
义刚度, 广义荷载 。
式（ 15-91）可以改写为：
mi xi +ki xi =FPi (t) (19-95)～ ～ ～‥
可写出 n 个相应的单自由度体系受迫
振动的运动方程。
相当于解算 n 个单自由度体系的受迫
振动。
由此求出广义坐标 x1(t), x2(t), …,
xn(t)后，即可由式 {y(t)}=[ Φ ]{x(t)}
求出原体系的动力位移。
2、广义坐标的解
? 由杜哈梅积分：
? ??
t
iPi
ii
i dtFmtx 0 )(s i n)(
~
~
1)( ????
?
3、几何坐标解：
由 {y}= [ Φ ]{x}
{y} = {Φ (1)} x1 +{Φ (2)} x2 +…+{Φ (n)} xn
将 {x(t)}的值代入上式，可以得出几何坐
标中 {y(t)}的动力反应。
主振型分量加以叠加，从而得出各质点
的总位移。
4、方法特点
? ①、运动微分方程解耦，使计算成为可
能。计算体系动力反应使可用单自由度体系
的方法。
? ②、当体系的自由度数目较多时，可用
少数影响大的主振型叠加求体系的动力反应。
? ⅰ,在一般动力荷载作用下，前几个振型对体
系的动力反应影响较大，而高振型的影响较小。计
算时可根据精度要求，考虑到某振型为止，更高振
型可忽略不计。
? ⅱ,质量分布对称的对称结构,在正对称动荷
载作用下,只有正对称反应。质量分布对称的对称结
构,在反对称动荷载作用下,只有反对称反应。
? ③、若考虑阻尼影响：
? [ M ]{?}+ [ C ] {y} +[ K ]{y}={F P(t)}
式中：
[ C ]—— 阻尼系数矩阵，一般为耦联矩阵。
同时，与主振型 [Φ]矩阵不满足正交条件。
为求解方便，通常令：
[ C ] = α [ M ] + β [ K ]
系数 α,β由实验或《规范》定出。解耦后的
振动微分方程由考虑阻尼的杜哈梅积分求反应。
5、计算步骤
? ①、由多自由度体系自由振动求出体
系的自振频率 ω和主振型 [Φ]。
? ②,建立坐标转换关系 {y}= [Φ ]{x}。
? ③、求广义质量（广义刚度）。
? ④、求广义荷载。
? ⑤、求广义坐标下的动力反应。
? ⑥、求几何坐标中的质点位移。
? ⑦、作内力图。
§ 17-10 近似法求自振频率
? 工程实践中，有时只要求计算结构的
基频或几个低阶频率。当自由度数目较
多时，精确计算工作量繁重，可用近似
法计算。
? 近似法种类很多，这里只介绍常用的
几种。
一、能量法求体系的第一频率
瑞利（ Ragleigh） 法
? 理论：能量守恒
? 方法,假定振型曲线，计算出相应的
应变能和动能，代入能量守恒公式，计
算体系的自振频率。
? 质量分布：集中、分布均可。
1、能量守恒
? 无阻尼弹性体系，
自由振动时，体系在
运动的任一时刻 t
总能量 = 应变能 （ V） + 动能 （ T）
保持不变
考查两个特殊位置：
平衡位置,∵ y=0 ymax ∴ V=0,Tmax·
振幅位置,∵ ymax y=0 ∴ Vmax T=0·
? 因此有：
? Vmax = Tmax
? 2,基本方程
? 设体系有分布质量和集中质量，只考
虑弯曲变形。
? 设位移为,y(x,t)=y(x)sin(ωt+α)
? 其中 y(x)— 位移幅值，振幅函数。
·速度为,y(x,t)=ωy(x)cos(ωt+α)
弯曲应变能：
dxxyEItdx
x
yEIV ll 2
0
22
0 2
2
)]([)(s i n
2
1)(
2
1 ?????
?
?? ?? ??
最大值：
dxxyEIV l 2
0m a x
)]([21 ??? ?
梁的动能：
dxxyxmtdxtyxmT ll 2
0
222
0
)]()[()(c o s21))((21 ?? ?????? ???
最大值：
dxxyxmT l 2
0
2
m a x )]()[(2
1 ?? ?
? 由 Vmax = Tmax
)12615(
)]()[(
)]([
0
2
0
2
2 ?
??
?
?
?
l
l
dxxyxm
dxxyEI
?
如梁上有集中质量：
??
??
?
?
????
?
?
?
?
n
i
ii
l
i
n
i
i
l
ymdxxyxmt
tymdx
x
y
xmT
1
22
0
22
2
1
2
0
})]()[(){(c os
2
1
)(
2
1
))((
2
1
???
?
? 则：
)12715(
)]()[(
)]([
0
1
22
0
2
2
?
?
??
?
? ?
?
?
l
n
i
ii
l
ymdxxyxm
dxxyEI
?
如有多个杆件，则：
? ??
??
?
??
?
l
ii
l
ymdxxyxm
dxxyEI
0
22
0
2
2
)]()[(
)]([
?
3、振幅曲线 y(x)的选取
? 如所选曲线 y(x)为第 k阶主振型曲线，
代入公式（ 17-85），即可求出 ωk。
? 如果所设位移形状函数 y(x)正好与第
一主振型相似，则可求得第一主振型对
应的第一频率的精确值。如果所设位移
形状函数 y(x)正好与第二主振型相似，则
可求得第二频率的精确值。
? 因为第一主振型最易发生，也较易
假设，故以上公式便于求得第一主频率。
? 因此，瑞利法主要用于求第一频率
的近似值。
? 取 y(x)的条件：
? （ 1）、满足边界条件（主要是位移边界
条件）。
? （ 2）、符合振型形状。
? 取 y(x)的方法：
? （ 1）、某种数学曲线 — 需检查边界条件。
y(x) = a sinπx/l
y′(x) = aπ/l·cosπx/l
y(x) = a(1- cosπx/2l)
y′(x) = aπ/2l·sinπx/2l
? (2),静荷载作用下的位移曲线
如取静荷载作用下的
位移曲线作为 y(x),则应
变能可用外力功表示,
V = 1/2·∫q(x)y(x)dx
)12915(
)]()[(
)()(
0
1
22
0
12
?
?
??
?
? ?
? ?
?
?
l
n
i
ii
l
m
j
jPj
ymdxxyxm
yFdxXyxq
?
? （ 3）、自重作用下的变形曲线作为
? y(x)的近似表达式：
? ?
? ?
?
?
?
?
?
l
n
i
ii
l
n
i
ii
ymdxxym
gymdxxgym
0
1
22
0
12
)]([
)(
?
（ 4）、讨论
? ①、正弦曲线是简支梁第一主振型的
精确解，所以由它求得的 ω是简支梁第一
频率的精确解，因此用近似法求基频有
时可以获得较好的结果。
? ②、一般来说,ω1（ 用近似法求得的）
﹥ ω精,是真实频率的上限，想一想为什
么？
? 因为,y(t)不是实际的振幅曲线，就
等于在原体系上加了约束，增大了体系
的刚度。
二、能量法求最初的几个频率
瑞利 —里兹法（ Rayleigh-Rilz)
? 1、哈密顿 (W.R.Hamilton) 原理
? 体系自由振动时，在所有可能的运动
状态中，精确解使：
? ???
?2
0
)( 驻值dtTU
对时间 t 的积分取一个周期。
dxXYEItU l 2
0
2 )]([)(s i n
2
1 ????? ???
dxXYmtT l 2
0
22 )]([)(c o s
2
1 ???? ???
)9017()]([21])([21 2
0
2
0
??????? ?? 驻值dxXYmdxxYEI ll
式中, Y（ x） —满足体系边界条件的
任意可能的位移函数。
2、瑞利 — 里兹法
? 瑞利法是根据一个假设近似振型，
计算体系一个频率。
? 瑞利 — 里兹法则把假设振型写成一
组给定向量的线性组合，组合系数由使
泛函 Π（ ω2） 为驻值的条件确定。这样
做：
? （ 1）,可以得到更好的基频近似值。
? （ 2）,还可以得到一批前几阶自振
频率的近似值。
? 其中,ai为待定常数。
? φi(x)为 n 个独立的可能位移函数，
均满足体系的位移边界条件。
? 将（ 17-91）代入（ 17-90）
9 1 )-( 1 7, )(a)Y(
1
i xx i
n
i
??
?
?设
dxxamdxxaEI i
n
i
ii
n
i
i
2
1
2
2
1
)]([
2
)]([
2
1
?
?
? ??? ?
??
????
（ 17-92）
? 令,
? kij =∫EIφi"φj"dx (17-93)
? mij =∫mφi"φj"dx (17-94)
)9517()(
2
1 2
1 1
???? ? ?
? ?
jiij
n
i
n
j
ij aamk ?
应用驻值条件,
)9617(),,2,1(0)(
),,2,1(0
2
????
??
?
??
?
niamk
ni
a
jijij
i
?
?
?
矩阵形式, ([ k ] –ω2[ m ]){a}={0}
当 ai不全为零时,则：
[ k ] –ω2[ m ] = 0
由此可求出 n 个根,
22
2
2
1 n??? ????
三、集中质量法 (求 ω的近似方法 )
? 1、等效原则：
? 将无限自由度体系或多自由度体系通过集
中质量，转化为有限个自由度体系或但自由
度体系。
? 方法：
? ①、静力等效：
? 集中后的重力 =原体系的重力 （合力等效）
? ②、动能等效：
? 集中后的动能 =原体系的动能
? 还有一些简化等效方法。
2、静力等效
? 每段分布质量可按杠杆原理换成位
于两端的集中质量。
? (1)、梁
m
EI
l 21
80.9??
m
EI
lm
EI
l 2221
2.3886.9 ?? ??
m
EI
lm
EI
lm
EI
l 232221
6.842.39865.9 ??? ???
m
EI
lm
EI
lm
EI
l 232221
83.8448.3987.9 ??? ???
? （ 2）、刚架
? 对称刚架的主振型一般分为正对称
和反对称两组。通常对称刚架发生最低
频率的振型是反对称的。
? ①、反对称振型质量集中如右图。
? ②、正对称振型质量集中如图。
习题课,
多（两个）自由度体系的振动
? 重点,
? 1、掌握多自由度体系自由振动的计算方
法（两个自由度体系的自由振动，柔度法、刚
度法）。
? 2、掌握多自由度体系强迫振动的计算方
法（简谐荷载作用下，两个自由度体系的强迫
振动）。
习题 1：
? 图示刚架已知：
k1=k4=200× 106N/m,
k2=k3=100× 106N/m,
m1=100t,m2=200t,求
自振频率 ω和主振型 。
k11=k1+k2+k3 k21= - k3
k22=k3+k4
k12= - k3
? 频率, ω1=36.25 1/s ω2=64.70 1/s
? 主振型, {Φ (1)} = [ 1 2.686 ]T
? {Φ (2)} = [ 1 - 0.186 ]T
第一主振型
第二主振型
习题 2,
? 习题 1刚架,在 m1方向上有荷载
? FP(t)=FP sinθt,
? FP=200kN,θ=0.6ω1=21.75 1/s。 求振动的最
大
? 幅值,并计算动力弯矩,画动力弯矩图。
FP sinθt EI =∞
EI =∞
将求出的惯性力幅值作用体系的相应
位置上，用静力方法计算最大动力弯矩。
20031.12
30.30
习题 3,
? 图示刚架，
各杆 EI=常数。
求刚架的自由
振动频率和主
振型。 y1
y2
? 自振频率：
31 6 3 5.2 ml
EI??
32 6 5 3.6 ml
EI??
第一主振型 第二主振型
?主振型, {Φ(1)} = [ 1 0.305 ]T
? {Φ(2)} = [ 1 - 1.639 ]T
习题 4,
? 习题 3刚架,在
m1方向上有荷载
FP(t)= FP sinθt,
? FP=10kN,θ=0.6ω1。
? 求振动的最大幅
值,并计算动力弯
矩,画动力弯矩图。
FP sinθt
最大动力弯矩图
