结构的几何 构造 分析
（机动分析）
( 组成 分析）
第 二 章
§ 2-1几何构造分析的几个概念
? 一,体系 ——杆件＋
约束 (联系 )
? 杆件, 不考虑材料应
变，视作刚体，平面刚
体称为, 刚片, 。
? 约束, 限制刚片运动
的装置。
二,两种体系
几何不变体系 ——在不考虑
材料应变的条件下，体系
的位置和形状不能改变。
几何可变体系 ——在不考虑
材料应变的条件下，体系
的位置和形状可以改变。
几何可变：形状可变 ；
整体（或部分）可动。
几何组成分析的目的
（ 1）,检查并保证结构的几何不变性。
（体系是否可做结构? 并创造新颖合理的结
构形式）
（ 2）,区分静定结构和超静定结构。
（ 3）,指导结构的内力计算（几何组成分
析与内力分析之间有密切联系）。
三、自由度
? 体系的运动自由度 =体系独立位移
的数目。
? 自由度是度量体系是否运动的数
量标志，有自由度的体系必然运动，
自由度等于零的体系可能不运动。
? 1、平面内一个自由
的点：
? 平面内一个自由的
点有两个自由度。
? S = 2
? 即：由两个独立的
坐标可唯一地确定这
个点的位置。
x
y
0
AxA
yA
? 2、平面内的一个自由的
刚片（平面刚片）：
? 平面内一个自由的刚片
有三个自由度。
? S = 3
? 即：由三个独立的坐标
可以唯一地确定这个刚片
的位置。
x
y
0
AxA
yA
B
θ
四、约束（联系） —限制（或减少）
运动自由度的装置
? 1、链杆 — 两端是铰的刚性
杆件。
? 被约束物体不能沿链杆方向
移动，减少了被约束物体的一个
运动自由度。
? 一根链杆 =一个约束。
A
B
? 2、单铰 — 联结两刚片
的圆柱铰。
? 被约束物体在单铰联结
处不能有任何相对移动，
减少了被约束物体的两个
运动自由度。
? 一个单铰 =两个约束 =两
根链杆。
Ⅰ ⅡA
? 3、复铰 — 联结两个
以上刚片的圆柱铰。
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
A
如图,n = 3 – 1=2个单铰。
一个复铰 =n – 1 个单铰。
?（ n — 复铰连接的刚片数）
? 4、实铰与虚铰（瞬
铰）。
? 从瞬时微小运动来看，
与 A点有实铰的约束作用
一样。 Ⅰ
ⅡA
图 1
Ⅰ
Ⅱ
A
图 2
A’
无穷远处的瞬铰
Ⅰ
Ⅱ
相交在 ∞点
5、必要（非多余）约束和多余约束
? 链杆 1,2（不共线），
将 A与地面相连接，为必
要约束。
A
1 2
A
1 23
? 链杆 1,2,3（不全共
线），将 A 与地面相连接，
只限制了两个自由度，有一
根链杆是多余约束（多余联
系）。
? 必要约束：
? 为保持体系几何不变所需的最少约束。
? 如果在一个体系中增加一个约束，体系的
自由度因此减少，此约束称为必要约束（或非
多余约束）。
? 多余约束：
? 如果在一个体系中增加一个约束，而体系
的自由度并不因此减少，称此约束为多余约束。
? 规律 1, 一个刚片
与一个点用两根链杆
相连,且三个铰不在
一直线上,则组成几
何不变的整体，并且
没有多余约束。 Ⅰ
A
B C
1、一个点与一个刚片之间的联结方式
§ 2-2 平面几何不变体系的组成规律
引论, 二元体 (片 )规则
? 二元体 (片）：由两根相
互不平行的链杆联接一个新
结点的装置，称为二元体
（片）。
? 二元体规则：在一个刚片
上增加一个二元体，体系仍
为几何不变体系。并且无多
余约束。
Ⅰ
A
B C
二元体
Ⅰ
例：
? 结论,在一个体系
上，增加或拆除二元
体（片），不会改变
原体系的几何性质。
2、两刚片之间的联接方式
? 规律 2：
两刚片用一个铰和一
根链杆相联结,且三个铰
不在一直线上,则组成几
何不变的整体，并且没有
多余约束。
Ⅰ
Ⅱ
A
B
C
3、三刚片之间的联结方式
? 规律 3,三个刚片用三
个铰 两两相连, 且三个铰
不在一直线上,则组成几
何不变整体，且无多余约
束。
Ⅰ
Ⅲ
A
B
C
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
三刚片六链杆
Ⅱ
规律 4：
两刚片用 不全交于一点
也不全平行 的 三 根链杆相联
，则组成的体系是没有多余
约束的几何不变体系。
Ⅰ
Ⅱ
注：
? （ 1）、以上规律，虽然表达方式不同，但
可以归纳为一个基本规律，即三角形规律。说
明如三铰不共线，则一个铰结三角形是几何不
变的，且无多余约束。
? （ 2）、如果把 Ⅰ （刚片 I）看成为基础，
则规律 1，说明一点的固定方式；规律 2,4，
说明一个刚片的固定方式；规则 3，说明两个
刚片个固定方式。（三种基本的装配方式）
? （ 3）、每个规律中均有限制条件，如不加
限制，则会有什么情况出现？
Ⅰ
Ⅱ
O
Ⅰ
Ⅱ
瞬变体系
三杆不等长 瞬变
三杆等长 常变
? 瞬变体系
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
A B C
瞬变体系的特性
? 1、瞬变体系：某一瞬时可以发生微小运
动，经过微小运动（位移）后，又成为几何不
变的体系，称为瞬变体系。
A’
AB C
? 2、瞬变体系的特征（静力特征）：
A’
l l
① ②
FP
FN1 FN2
θ
受力分析：
由 ∑x=0 FN1=FN2=FN
∑y=0 2FN sinθ- FP =0
FN= FP /2sinθ
A
A’
B C
? θ趋近于零，则 FN趋近于无穷大。
? 表明：瞬变体系即使在很小的荷载作
用下，也会产生很大的内力，从而导致
体系迅速破坏。
? 结论, 工程结构不能采用瞬变体系，
接近瞬变的体系也应避免使用。
二、几何组成分析举例
? 例 1：用基本规律分析图
示体系的几何构造。
解 Ⅰ, 用固定一个点的装
配方式。
从基础出发：
基础 A,B→C, D→E, F→G
G
A B
C D
E F
G
G
A B
C D
E F
G
A B
C D
E F
解 Ⅱ, 因为基础可视为几何不变的刚片，可用减
二元体的方法进行分析。
注,二元体遇到,可以先去掉。
例 2：分析图示体系
解：
固定一个刚片的
装配方式。
AB部分与基础固
结在一起，可视为一
扩大的刚片 Ⅰ 。 CD视
为刚片 Ⅱ, Ⅰ, Ⅱ 用
链杆 1,2,3联结。
Ⅰ
Ⅱ1
2 3
结论：几何不变，无多
余约束。
A B C D
例 3：分析图示体系
解：
AB 与基础视为扩
大的刚片 Ⅰ, BC视为
刚片 Ⅱ,用铰 B和链杆
1联结，满足规律 4，
视为扩大的刚片 Ⅰ ’,
CD视为刚片 Ⅲ,与 Ⅰ ’，
用铰 C和链杆 2,3联结。
Ⅰ
Ⅱ
1
Ⅰ ’
Ⅲ
2 3
有一个多余约束。
结论：有一个多余约束的几何
不变体系。
例 4：分析图示体系
? 解,两刚片装配方式。
? 从内部出发，
? ①、支座杆为 3，可先不
考虑基础，分析体系本身 。
②,几何不变部分，可
视为一刚片。 Ⅰ Ⅱ
ADC→ Ⅰ, CBE→ Ⅱ, ⅠⅡ 用铰 C和链杆 DE联结满足规律 2，组成一大
刚片。
上部体系与基础用 3根链杆联结。
结论：体系几何不变，无多余约束。
例 5：分析图示体系
? 解：
? 支座杆多于 3，上
部体系与基础一起分
析。
? 两点用铰与其他
部分联结的曲、直杆
均可视为链杆。
? 基础 → Ⅰ,
CDE→ Ⅱ,两刚片用
1,2,3链杆联结。
Ⅰ
Ⅱ
1 2
3
O
由规律 4，可见三杆交于
一点。
结论：几何瞬变体系。
例 6(a)：分析图示体系
? 解：
? 用规则 1,2,4
均不妥。
? 体系有九根杆，
规律 3适用。取三根
不相邻的链杆作刚
片，相连的三个铰
不共线。
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
OⅠⅡ OⅡⅢ
OⅠⅢ
结论：体系内部几何不变，无多余约束。
例 6(b)：分析图示体系
? 解：
? 用规则 1,2,4均不
妥。
? 体系有九根杆，规
律 3适用。取三根不相
邻的链杆作刚片，相连
的三个铰共线。
结论：体系内部几何瞬变。
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
OⅠⅡ
OⅡⅢOⅠ
Ⅲ
小结,
? （ 1）、应用以上基本规律，可组成
各种各样的平面杆系体系（结构），关
键是灵活应用。
? （ 2）、用基本规律分析平面杆系体
系时，体系中所有杆件（部件）不可重
复使用，也不可漏掉，否则有误。
? （ 3）、有些在分析中常用的方法，可
归纳如下：
? 支杆数为 3,体系本身先（分析）；
? 支杆多于 3,地与体系联；
? 几何不变者，常可作刚片；
? 曲杆两端铰，可作链杆看；
? 二元体遇到，可以先去掉。 等等
? 同学们在解题过程中，可自己总结归纳，
提高解题能力和技巧。
§ 2-3 平面杆件体系的计算自由度
? 平面杆件体系是由若干部件（刚片、杆件
或点）加入约束组成的。计算其自由度时，可
以：
? （ 1）、按部件（刚片、杆件或点）都是自
由的计算出自由度数目；
? （ 2）、计算全部约束（一般应分出非多余
约束和多余约束）；
? （ 3）、两者相减，即得出体系的自由度。
? 计算自由度：
? W =（各部件自由度总和） -（全部约束数）
? 1、一般公式（研究对象：平面杆件体系）
? 组成 = m个自由刚片 +（ h个单铰 +r个支
? 座链杆）
? 计算自由度 = m个自由刚片的自由度数 –
? （ h个单铰 +r个支座链杆）
? W = 3m – 2h - r (2-6)
例：
m = 4,h = 4,r=3
W=3× 4-(2× 4+3) = 1
自由度为 1，可变
体系。
m = 5,h = 6,r=3
W=3× 5-(2× 6+3) = 0
自由度为零，体
系可能几何不变。
例：
m = 4,h = 5,r=3
W=3× 4-(2× 5+3) = - 1
有多余约束，
体系可能几何不变。
m = 5,h = 6,r= 4
W=3× 5-(2× 6+4) = - 1
有多余约束，
体系可能几何不变。
2、平面铰接体系计算公式
（研究对象：铰结点）
? 组成 = j 个自由的点 + b 个单链杆
? + r个支座链杆
? 计算自由度 = j 个自由结点的自由度数
? - b 个单链杆 - r个支座链杆
? W = 2 j - b - r （ 2-2）
例：
j = 5,b = 7,r = 3
W=2× 5 - 10 = 0
体系可能几何不变
。
j = 5,b = 8+（ 2× 3 – 3） =11
W=2× 5 - 11= - 1
体系可能几何不变。
注,1、用两种公式计算自由度，结果相同。对平面
铰结体系，用（ 2-2）式较方便。
2、由于两公式研究对象不同，计算铰结点的数
目不同。
在计算中，有时只检查体系本身的几
何不变性而不考虑支座链杆，这时可以把
体系的自由度分成两部分：
（ 1）、体系在平面内作整体运动时的
自由度，其数目等于 3。
（ 2）、体系内部各部件之间作相对运
动时的自由度。简称为 内部可变度 V。
V = 3m - 2h - 3 (2-3)
V = 2j - b - 3 (2-4)
3、计算自由度结果分析
? ①, W＞ 0，或 V＞ 0，体系是可变的。
? ②, W = 0，或 V= 0,如无多余约束体系几何
? 不变。如有多余约束，体系几何可变。
? ③, W＜ 0，或 V＜ 0，体系有多余约束，是否
? 几何不变则需分析。
说明：
W≤0，是体系几何不变的必要条件，非充分条件。
体系的几何组成，不仅与约束的数量有关，而且与
约束的布置有关。
?说明,
? （ 1）,Ｗ ≤ ０
是体系几何不变的
必要条件，非充分
条件。
? （ 2）,体系的
几何组成（是否几
何不变）不仅与约
束的数量有关，而
且与约束布置有关。
W=2× 6-9-3=0
体系几何不变
W=2× 6-9-3=0
体系几何可变
习题课Ｉ：平面杆件体系的几何构造分析
? 重点,掌握用基本规律分析体系几
何组成的方法。
? 要求,
? 1、明确几何构造分析的目的和计算
步骤。
? ２、掌握用基本规律分析体系的几何
构成。
? ３、了解结构的组成顺序和特点。
提问,
1,为什么要对体系进行几何组成分析？
（ 1）、判断体系是否几何不变。
（ 2）、有助于选择计算方法。
2、几何组成的基本规律是什么？应注意什么
问题？
（ 1）、一点与一刚片（二元体）。
（ 2）,二刚片（两刚片三链杆或一铰一
链杆）。
（ 3）、三刚片（三刚片、三单铰）。
结论,三铰不共线 ≡ 铰接三角形的
形状是不变的，且无多余约束。
几何组成分析时，应分清刚片（组合
刚片）和约束，所有部件使用不重复不 遗
漏。注意对于某些复杂体系，基本规律不
适用。
习题一：
? 计算图示体系的计算自由度,并进行
几何组成分析。
Ⅰ
Ⅱ1
2 3
Ⅰ
Ⅱ
4
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
∞
习题二,
? 计算图示体系的计算自由度,并进行几何组
成分析。
Ⅰ
习题三,
? 计算图示体系的计算自由度,并进行几何
组成分析。
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
O12
O23
O13
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
O12 O13
O23
一虚铰在无穷远处
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
O12
O23
O13
两虚铰在无穷远处
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
O12
O13
O23
三虚铰在无穷远处 瞬变
小结：三刚片中虚铰在无穷远处
1,一虚铰在无穷远处
虚铰方向与另外
两铰连线不平行，几
何不变。
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
虚铰方向与另外
两铰连线平行，几
何瞬变。
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
2,两虚铰在无穷远处 Ⅰ Ⅱ
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
两虚铰方向不平
行（两对平行链杆
互不平行），体系
几何不变 。
两虚铰方向平行
（两对平行链杆相
互平行），体系 几
何可变。
3,三虚铰在无穷远处
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
瞬变体系
习题四,
?计算图示体系的计算自由度,并进行几何组成分析。
(a) (b)
(a)
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
O12 O
13
O23
瞬变体系
(b)
Ⅰ
ⅡⅢ
O12
O23
∞ O13
瞬变体系
（机动分析）
( 组成 分析）
第 二 章
§ 2-1几何构造分析的几个概念
? 一,体系 ——杆件＋
约束 (联系 )
? 杆件, 不考虑材料应
变，视作刚体，平面刚
体称为, 刚片, 。
? 约束, 限制刚片运动
的装置。
二,两种体系
几何不变体系 ——在不考虑
材料应变的条件下，体系
的位置和形状不能改变。
几何可变体系 ——在不考虑
材料应变的条件下，体系
的位置和形状可以改变。
几何可变：形状可变 ；
整体（或部分）可动。
几何组成分析的目的
（ 1）,检查并保证结构的几何不变性。
（体系是否可做结构? 并创造新颖合理的结
构形式）
（ 2）,区分静定结构和超静定结构。
（ 3）,指导结构的内力计算（几何组成分
析与内力分析之间有密切联系）。
三、自由度
? 体系的运动自由度 =体系独立位移
的数目。
? 自由度是度量体系是否运动的数
量标志，有自由度的体系必然运动，
自由度等于零的体系可能不运动。
? 1、平面内一个自由
的点：
? 平面内一个自由的
点有两个自由度。
? S = 2
? 即：由两个独立的
坐标可唯一地确定这
个点的位置。
x
y
0
AxA
yA
? 2、平面内的一个自由的
刚片（平面刚片）：
? 平面内一个自由的刚片
有三个自由度。
? S = 3
? 即：由三个独立的坐标
可以唯一地确定这个刚片
的位置。
x
y
0
AxA
yA
B
θ
四、约束（联系） —限制（或减少）
运动自由度的装置
? 1、链杆 — 两端是铰的刚性
杆件。
? 被约束物体不能沿链杆方向
移动，减少了被约束物体的一个
运动自由度。
? 一根链杆 =一个约束。
A
B
? 2、单铰 — 联结两刚片
的圆柱铰。
? 被约束物体在单铰联结
处不能有任何相对移动，
减少了被约束物体的两个
运动自由度。
? 一个单铰 =两个约束 =两
根链杆。
Ⅰ ⅡA
? 3、复铰 — 联结两个
以上刚片的圆柱铰。
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
A
如图,n = 3 – 1=2个单铰。
一个复铰 =n – 1 个单铰。
?（ n — 复铰连接的刚片数）
? 4、实铰与虚铰（瞬
铰）。
? 从瞬时微小运动来看，
与 A点有实铰的约束作用
一样。 Ⅰ
ⅡA
图 1
Ⅰ
Ⅱ
A
图 2
A’
无穷远处的瞬铰
Ⅰ
Ⅱ
相交在 ∞点
5、必要（非多余）约束和多余约束
? 链杆 1,2（不共线），
将 A与地面相连接，为必
要约束。
A
1 2
A
1 23
? 链杆 1,2,3（不全共
线），将 A 与地面相连接，
只限制了两个自由度，有一
根链杆是多余约束（多余联
系）。
? 必要约束：
? 为保持体系几何不变所需的最少约束。
? 如果在一个体系中增加一个约束，体系的
自由度因此减少，此约束称为必要约束（或非
多余约束）。
? 多余约束：
? 如果在一个体系中增加一个约束，而体系
的自由度并不因此减少，称此约束为多余约束。
? 规律 1, 一个刚片
与一个点用两根链杆
相连,且三个铰不在
一直线上,则组成几
何不变的整体，并且
没有多余约束。 Ⅰ
A
B C
1、一个点与一个刚片之间的联结方式
§ 2-2 平面几何不变体系的组成规律
引论, 二元体 (片 )规则
? 二元体 (片）：由两根相
互不平行的链杆联接一个新
结点的装置，称为二元体
（片）。
? 二元体规则：在一个刚片
上增加一个二元体，体系仍
为几何不变体系。并且无多
余约束。
Ⅰ
A
B C
二元体
Ⅰ
例：
? 结论,在一个体系
上，增加或拆除二元
体（片），不会改变
原体系的几何性质。
2、两刚片之间的联接方式
? 规律 2：
两刚片用一个铰和一
根链杆相联结,且三个铰
不在一直线上,则组成几
何不变的整体，并且没有
多余约束。
Ⅰ
Ⅱ
A
B
C
3、三刚片之间的联结方式
? 规律 3,三个刚片用三
个铰 两两相连, 且三个铰
不在一直线上,则组成几
何不变整体，且无多余约
束。
Ⅰ
Ⅲ
A
B
C
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
三刚片六链杆
Ⅱ
规律 4：
两刚片用 不全交于一点
也不全平行 的 三 根链杆相联
，则组成的体系是没有多余
约束的几何不变体系。
Ⅰ
Ⅱ
注：
? （ 1）、以上规律，虽然表达方式不同，但
可以归纳为一个基本规律，即三角形规律。说
明如三铰不共线，则一个铰结三角形是几何不
变的，且无多余约束。
? （ 2）、如果把 Ⅰ （刚片 I）看成为基础，
则规律 1，说明一点的固定方式；规律 2,4，
说明一个刚片的固定方式；规则 3，说明两个
刚片个固定方式。（三种基本的装配方式）
? （ 3）、每个规律中均有限制条件，如不加
限制，则会有什么情况出现？
Ⅰ
Ⅱ
O
Ⅰ
Ⅱ
瞬变体系
三杆不等长 瞬变
三杆等长 常变
? 瞬变体系
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
A B C
瞬变体系的特性
? 1、瞬变体系：某一瞬时可以发生微小运
动，经过微小运动（位移）后，又成为几何不
变的体系，称为瞬变体系。
A’
AB C
? 2、瞬变体系的特征（静力特征）：
A’
l l
① ②
FP
FN1 FN2
θ
受力分析：
由 ∑x=0 FN1=FN2=FN
∑y=0 2FN sinθ- FP =0
FN= FP /2sinθ
A
A’
B C
? θ趋近于零，则 FN趋近于无穷大。
? 表明：瞬变体系即使在很小的荷载作
用下，也会产生很大的内力，从而导致
体系迅速破坏。
? 结论, 工程结构不能采用瞬变体系，
接近瞬变的体系也应避免使用。
二、几何组成分析举例
? 例 1：用基本规律分析图
示体系的几何构造。
解 Ⅰ, 用固定一个点的装
配方式。
从基础出发：
基础 A,B→C, D→E, F→G
G
A B
C D
E F
G
G
A B
C D
E F
G
A B
C D
E F
解 Ⅱ, 因为基础可视为几何不变的刚片，可用减
二元体的方法进行分析。
注,二元体遇到,可以先去掉。
例 2：分析图示体系
解：
固定一个刚片的
装配方式。
AB部分与基础固
结在一起，可视为一
扩大的刚片 Ⅰ 。 CD视
为刚片 Ⅱ, Ⅰ, Ⅱ 用
链杆 1,2,3联结。
Ⅰ
Ⅱ1
2 3
结论：几何不变，无多
余约束。
A B C D
例 3：分析图示体系
解：
AB 与基础视为扩
大的刚片 Ⅰ, BC视为
刚片 Ⅱ,用铰 B和链杆
1联结，满足规律 4，
视为扩大的刚片 Ⅰ ’,
CD视为刚片 Ⅲ,与 Ⅰ ’，
用铰 C和链杆 2,3联结。
Ⅰ
Ⅱ
1
Ⅰ ’
Ⅲ
2 3
有一个多余约束。
结论：有一个多余约束的几何
不变体系。
例 4：分析图示体系
? 解,两刚片装配方式。
? 从内部出发，
? ①、支座杆为 3，可先不
考虑基础，分析体系本身 。
②,几何不变部分，可
视为一刚片。 Ⅰ Ⅱ
ADC→ Ⅰ, CBE→ Ⅱ, ⅠⅡ 用铰 C和链杆 DE联结满足规律 2，组成一大
刚片。
上部体系与基础用 3根链杆联结。
结论：体系几何不变，无多余约束。
例 5：分析图示体系
? 解：
? 支座杆多于 3，上
部体系与基础一起分
析。
? 两点用铰与其他
部分联结的曲、直杆
均可视为链杆。
? 基础 → Ⅰ,
CDE→ Ⅱ,两刚片用
1,2,3链杆联结。
Ⅰ
Ⅱ
1 2
3
O
由规律 4，可见三杆交于
一点。
结论：几何瞬变体系。
例 6(a)：分析图示体系
? 解：
? 用规则 1,2,4
均不妥。
? 体系有九根杆，
规律 3适用。取三根
不相邻的链杆作刚
片，相连的三个铰
不共线。
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
OⅠⅡ OⅡⅢ
OⅠⅢ
结论：体系内部几何不变，无多余约束。
例 6(b)：分析图示体系
? 解：
? 用规则 1,2,4均不
妥。
? 体系有九根杆，规
律 3适用。取三根不相
邻的链杆作刚片，相连
的三个铰共线。
结论：体系内部几何瞬变。
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
OⅠⅡ
OⅡⅢOⅠ
Ⅲ
小结,
? （ 1）、应用以上基本规律，可组成
各种各样的平面杆系体系（结构），关
键是灵活应用。
? （ 2）、用基本规律分析平面杆系体
系时，体系中所有杆件（部件）不可重
复使用，也不可漏掉，否则有误。
? （ 3）、有些在分析中常用的方法，可
归纳如下：
? 支杆数为 3,体系本身先（分析）；
? 支杆多于 3,地与体系联；
? 几何不变者，常可作刚片；
? 曲杆两端铰，可作链杆看；
? 二元体遇到，可以先去掉。 等等
? 同学们在解题过程中，可自己总结归纳，
提高解题能力和技巧。
§ 2-3 平面杆件体系的计算自由度
? 平面杆件体系是由若干部件（刚片、杆件
或点）加入约束组成的。计算其自由度时，可
以：
? （ 1）、按部件（刚片、杆件或点）都是自
由的计算出自由度数目；
? （ 2）、计算全部约束（一般应分出非多余
约束和多余约束）；
? （ 3）、两者相减，即得出体系的自由度。
? 计算自由度：
? W =（各部件自由度总和） -（全部约束数）
? 1、一般公式（研究对象：平面杆件体系）
? 组成 = m个自由刚片 +（ h个单铰 +r个支
? 座链杆）
? 计算自由度 = m个自由刚片的自由度数 –
? （ h个单铰 +r个支座链杆）
? W = 3m – 2h - r (2-6)
例：
m = 4,h = 4,r=3
W=3× 4-(2× 4+3) = 1
自由度为 1，可变
体系。
m = 5,h = 6,r=3
W=3× 5-(2× 6+3) = 0
自由度为零，体
系可能几何不变。
例：
m = 4,h = 5,r=3
W=3× 4-(2× 5+3) = - 1
有多余约束，
体系可能几何不变。
m = 5,h = 6,r= 4
W=3× 5-(2× 6+4) = - 1
有多余约束，
体系可能几何不变。
2、平面铰接体系计算公式
（研究对象：铰结点）
? 组成 = j 个自由的点 + b 个单链杆
? + r个支座链杆
? 计算自由度 = j 个自由结点的自由度数
? - b 个单链杆 - r个支座链杆
? W = 2 j - b - r （ 2-2）
例：
j = 5,b = 7,r = 3
W=2× 5 - 10 = 0
体系可能几何不变
。
j = 5,b = 8+（ 2× 3 – 3） =11
W=2× 5 - 11= - 1
体系可能几何不变。
注,1、用两种公式计算自由度，结果相同。对平面
铰结体系，用（ 2-2）式较方便。
2、由于两公式研究对象不同，计算铰结点的数
目不同。
在计算中，有时只检查体系本身的几
何不变性而不考虑支座链杆，这时可以把
体系的自由度分成两部分：
（ 1）、体系在平面内作整体运动时的
自由度，其数目等于 3。
（ 2）、体系内部各部件之间作相对运
动时的自由度。简称为 内部可变度 V。
V = 3m - 2h - 3 (2-3)
V = 2j - b - 3 (2-4)
3、计算自由度结果分析
? ①, W＞ 0，或 V＞ 0，体系是可变的。
? ②, W = 0，或 V= 0,如无多余约束体系几何
? 不变。如有多余约束，体系几何可变。
? ③, W＜ 0，或 V＜ 0，体系有多余约束，是否
? 几何不变则需分析。
说明：
W≤0，是体系几何不变的必要条件，非充分条件。
体系的几何组成，不仅与约束的数量有关，而且与
约束的布置有关。
?说明,
? （ 1）,Ｗ ≤ ０
是体系几何不变的
必要条件，非充分
条件。
? （ 2）,体系的
几何组成（是否几
何不变）不仅与约
束的数量有关，而
且与约束布置有关。
W=2× 6-9-3=0
体系几何不变
W=2× 6-9-3=0
体系几何可变
习题课Ｉ：平面杆件体系的几何构造分析
? 重点,掌握用基本规律分析体系几
何组成的方法。
? 要求,
? 1、明确几何构造分析的目的和计算
步骤。
? ２、掌握用基本规律分析体系的几何
构成。
? ３、了解结构的组成顺序和特点。
提问,
1,为什么要对体系进行几何组成分析？
（ 1）、判断体系是否几何不变。
（ 2）、有助于选择计算方法。
2、几何组成的基本规律是什么？应注意什么
问题？
（ 1）、一点与一刚片（二元体）。
（ 2）,二刚片（两刚片三链杆或一铰一
链杆）。
（ 3）、三刚片（三刚片、三单铰）。
结论,三铰不共线 ≡ 铰接三角形的
形状是不变的，且无多余约束。
几何组成分析时，应分清刚片（组合
刚片）和约束，所有部件使用不重复不 遗
漏。注意对于某些复杂体系，基本规律不
适用。
习题一：
? 计算图示体系的计算自由度,并进行
几何组成分析。
Ⅰ
Ⅱ1
2 3
Ⅰ
Ⅱ
4
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
∞
习题二,
? 计算图示体系的计算自由度,并进行几何组
成分析。
Ⅰ
习题三,
? 计算图示体系的计算自由度,并进行几何
组成分析。
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
O12
O23
O13
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
O12 O13
O23
一虚铰在无穷远处
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
O12
O23
O13
两虚铰在无穷远处
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
O12
O13
O23
三虚铰在无穷远处 瞬变
小结：三刚片中虚铰在无穷远处
1,一虚铰在无穷远处
虚铰方向与另外
两铰连线不平行，几
何不变。
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
虚铰方向与另外
两铰连线平行，几
何瞬变。
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
2,两虚铰在无穷远处 Ⅰ Ⅱ
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
两虚铰方向不平
行（两对平行链杆
互不平行），体系
几何不变 。
两虚铰方向平行
（两对平行链杆相
互平行），体系 几
何可变。
3,三虚铰在无穷远处
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
瞬变体系
习题四,
?计算图示体系的计算自由度,并进行几何组成分析。
(a) (b)
(a)
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
O12 O
13
O23
瞬变体系
(b)
Ⅰ
ⅡⅢ
O12
O23
∞ O13
瞬变体系
