S F 01 ( 数 )
C h 0 数学分析课程简介
C h 1 实数集与函数
计划课时： Ch 0 2 时
Ch 1 4时
P 1—9
2004． 09． 3.
Ch 0 数学分析课程简介 ( 2 时 )
一 . 数学分析 (mathematical analysis)简介:
1. 背景 : 从切线、面积、计算 、实数定义等问题引入.
D
32sin
2. 极限 ( limit ) —— 变量数学的基本运算：
3. 数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值
函数. 主要研究微分(differential) 和积分(integration)两种特殊的极限运算, 利用这两种运算
从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析
基本上是连续函数的微积分理论.
微积运算是高等数学的基本运算.
数学分析与微积分(calculus) 的区别.
.
二． 数学分析的形成过程：
1． 孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes
就有了积分思想.
2. 十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期 ,是微积分思想的发展、成果的积累时期 :
3． 十七世纪下半叶到十九时纪上半叶 —— 微积分的创建时期 : 参阅《数学分
析选讲》讲稿(1997.8.10.) 第三讲 P72.
4． 十九时纪上半叶到二十时纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期： 参阅
《数学分析选讲》讲稿第三讲 P72—75.
1
三 . 数学分析课的特点 :
逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头三章有一定的难度, 倘能努力学
懂前三章( 或前三章的
0
0
80 ), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般
是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很
强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训
练是数学分析课基本的, 也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后,
能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此,
理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是
数学分析教学贯穿始终的一项任务.
有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习 , 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听
为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充
课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了
课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.
四 . 课堂讲授方法 :
1. 关于教材 : 没有严格意义上的教科书. 这是大学与中学教学不同的地方, 本课
程主要从以下教科书中取材:
[1] 华东师范大学数学系编， 《数学分析》第三版，高等教育出版社，2001；
[2] 陈传璋等，《数学分析》，高等教育出版社，1978；
[3] 吴良森等，《数学分析习题精解》，科学出版社，2002；
[4] 费定晖等编演，吉米多维奇《数学分析习题集》题解，山东科学技术出版社， 1999；
[5] 常庚哲等，《数学分析》，江苏教育出版社，1998 ；
2
本课程主要在[1] 、 [3]、 [4]中取材. 在讲授中, 有时会指出所讲内容的出处. 本课程
为适应课时少和学分制的要求，只介绍数学分析最基本的内容. 因此删去了[1] 中相当一
部分内容，且不囿于[1] 的逻辑系统和章节设置. 相应的内容作为选修课将在学完数学分
析课之后开设. 因此, 课堂笔记就显得十分重要
2. 内容多 , 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很
多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是
同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.
3. 讲解的重点 : 概念的意义与理解, 几何直观, 理论的体系, 定理的意义、条
件、结论. 定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧. 某些
精细概念之间的本质差别. 在第一、二章教学中, 可能会写出某些定理证明, 以后一般
不会做特别具体的证明叙述. [1] 中叙述性的或简单应用性的内容多留为自学阅读.
五 . 要求、辅导及考试：
1. 学习方法 : 尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色. 课堂上以听为主, 但要
做课堂笔记. 课后一定要认真复习消化, 补充笔记 . 一般课堂教学与课外复习的时间比
例应为 1 : 3 ( 国外这个比例通常是 1 : 4 . 参《西北师大报》№191，2000.9.30. 第二版:
本科节段如何培养高素质创新人材 —— 伯利克大学的启示. 注: 伯利克大学乃美国
加州大学伯利克分校.)
对将来可能从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰
富: 要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验. 这对
3
未来的教学工作是很有用的.
2. 作业 : 作业以[1] 的练习题中大部分习题和[4] 中的计算题为主要内容. 大体上
每两周收一次作业, 一次收清. 每次重点检查作业总数的三分之一. 作业的收交和完成情
况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.
作业要按数学排版格式书写恭整.
要求活页作业, 最好用西北师大稿纸. 要有作业封面, 尺寸为 cm5.275.19 × .
作业布置方式: [1] P…, [4]P…
3. 辅导 : 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.
4. 考试 : 按学分制的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和
所布置作业的内容, 包括 [1]和 [4]中的典型例题.
考试题为标准化试题.
Ch 1 实数集与函数 ( 4 时 )
§ 1 实数集与不等式 （2 时）
一． 实数集 R ： 回顾中学中关于实数集的定义. 实数集及其几何表示.
1. 四则运算封闭性 :
2. 三歧性 ( 即有序性 ):
3. Archimedes 性 : . , ,0 ,, bnanabba >?∈?>>∈? NR
4. 稠密性 : 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.
5. 有理数的可列性 : 介绍可列个可列集的并集是可列集.
6. 两实数相等的充要条件 : . ,0 , εε <?>??= baba
4
7. 区间和邻域 :
二 . 几个重要不等式 :
1. 绝对值不等式 : 定义 { }. , max aaa ?=
2. 三角不等式 : 采用[1] P 21 的证明 ( Th1.2.1. ): 利用式 |||||||| baabba ≤≤? ,
有 ,
222222
||||||2|| 2||||||2|| bbaabababbaa ++≤++≤+? ?
() |||| (
2
≤? ba
22
) |||| () baba +≤+ ， ? |||| || |||| bababa +≤+≤? .
3. 其他不等式 :
⑴ ,2
22
abba ≥+ .1 sin ≤x . sin xx ≤
⑵ 均值不等式 : 对 记 ,,,,
21
+
∈? R
n
aaa "
,
1
)(
1
21
∑
=
=
+++
=
n
i
i
n
i
a
nn
aaa
aM
"
(算术平均值)
,)(
1
1
21
n
n
i
i
n
ni
aaaaaG
?
?
?
?
?
?
?
?
==
∏
=
" (几何平均值)
.
111
1
111
)(
1121
∑∑
==
==
+++
=
n
i
i
n
i
in
i
a
n
anaaa
n
aH
"
(调和平均值)
有平均值不等式:
),( )( )(
iii
aMaGaH ≤≤ 等号当且仅当
n
aaa === "
21
时成立.
⑶ Bernoulli 不等式 : ( 在中学已用数学归纳法证明过 )
,1?>?x 有不等式 . ,1)1( N∈+≥+ nnxx
n
当 且 1?>x 0≠x , 且 时, 有严格不等式 N∈n 2≥n .1)1( nxx
n
+>+
(现采用《数学教学研究》1991. № 1 马德尧文 “均值不等式妙用两则”中的证明)
5
证 由 且 01 >+ x >+++++=?++?≠+ 111)1(1)1( ,01 "
nn
xnxx
).1( )1( xnxn
n
n
+=+> .1)1( nxx
n
+>+?
⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对 ,0>?h 由二项展开式
,
!3
)2)(1(
!2
)1(
1)1(
32 nn
hh
nnn
h
nn
nhh ++
??
+
?
++=+ "
有 上式右端任何一项. >+
n
h)1(
三 . 有界数集与无界数集 :
1. 有界数集 : 定义( 上、下有界, 有界) ， 闭区间、 为有限数） 、邻域 baba ,( ),(
等都是有界数集， 集合 {}) , ( ,sin ∞+∞?∈== xxyyE 也是有界数集.
2. 无界数集 : 定义 , ) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , ( ∞+∞?∞+∞? 等都是无界数集,
集合
?
?
?
?
?
?
∈== ) 1 , 0 ( ,
1
x
x
yyE 也是无界数集.
Ex P 9 — 10 1， 3， 4，5 ， 7 .
§ 2 初等函数 ( 2 时 )
一 . 函数 :
1. 映射与函数 : 映射 , 单射 , 满射, 双射( 一 一对应), 逆映射等.
2. 定义域 : 定义域和存在域.
3. 函数的表示法 :
4. 反函数 : 一 一 对应, 反函数存在定理.
6
例 1
?
?
?
?
?
?
?
==?
=≠∈
=
. , 2 , 1 ,
1
,
1
, , 2 , 1 ,
1
] 1 , 0 [ ,
)(
"
"
n
n
x
n
n
n
xxx
xf
且
函数 在区间 上是否单调 ? 是否为一 一 对应 ? 是否存在反函数 ? )(xf ] 1 , 0 [
5. 函数的代数运算 :
二 . 分段函数: 以函数 和
?
?
?
?
?
>
=
<?
=
1 ,
,1 ,2
,1 ,1
)(
2
xx
x
xx
xf
?
?
?
?
?
>
≤?
=
1 ,
,1 ,2
)(
2
xx
xx
xg 为例
介绍概念.
例 2 [1]P16 E9 简介 , 留给学生阅读 .
例 3 求
?
?
?
>?
≤
=
.1 ,1
,1 ,
)(
xx
xx
xf ).2( ),1( ),0( fff
例 4 设 求 (答案为 8)
[]
?
?
?
<+
≥?
=
.10 ,)5(
,10 ,3
)(
xxff
xx
xf ).5(f
三 . 函数的复合 :
例 5 .1)( ,)(
2
xxguuufy ?==== 求 ( ) [)()( xgfxgf ]= D 并求
定义域.
例 6 ⑴ ._______________)( ,1)1(
2
=++=? xfxxxf
⑵ .
11
2
2
x
x
x
xf +=
?
?
?
?
?
?
+ 则 ) ( )( =xf
A. B. C. D. ,
2
x ,1
2
+x ,2
2
?x .2
2
+x
[4]P407 E62.
四 . 初等函数 :
7
1. 基本初等函数 :
2. 初等函数 :
3. 初等函数的几个特例 : 设函数 和 都是初等函数, 则 )(xf )(xg
⑴ )( xf 是初等函数, 因为 ().)( )(
2
xfxf =
⑵ { })( , )(max)( xgxfx =Φ 和 { })( , )(min)( xgxfx =φ 都是初等函数,
因为 { })( , )(max)( xgxfx =Φ [])()()()(
2
1
xgxfxgxf ?++= ,
{ })( , )(min)( xgxfx =φ )()()()(
2
1
xgxfxgxf ??+= .
⑶ 幂指函数 ( )( 0)( )(
)(
>xfxf
xg
)是初等函数,因为
( )
()
. )(
)(ln)()(ln
)(
)(
xfxgxf
xg
eexf
xg
==
五. 有界函数: 有界函数概念.
例 7 验证函数
32
5
)(
2
+
=
x
x
xf 在 R 内有界.
解法一 由 ,62322)3()2(32
222
xxxx =?≥+=+ 当 时, 有 0≠x
.3
62
5
62
5
32
5
32
5
)(
22
≤=≤
+
=
+
=
x
x
x
x
x
x
xf
30 )0( ≤=f ,
∴ 对 ,R∈?x 总有 ,3 )( ≤xf 即 在 )(xf R 内有界.
解法二 令 ,
32
5
2
?
+
=
x
x
y 关于 x的二次方程 有实数根. 0352
2
=+? yxyx
22
245 y?=Δ∴ .2 ,4
24
25
,0
2
≤?≤≤?≥ yy
解法三 令
?
?
?
?
?
?
?∈=
2
,
2
,
2
3 ππ
ttgtx 对应 ). , ( ∞+∞?∈x 于是
8
.
62
5
2sin
62
5
)( ,2sin
62
5
sec
1
cos
sin
6
5
12
3
3
5
3
2
3
2
2
3
5
32
5
)(
2222
≤=?=
==
+
=
+
?
?
?
?
?
?
?
?
=
+
=
txft
tt
t
ttg
tgt
tgt
tgt
x
x
xf
关于奇偶函数、周期函数和单调函数，参阅[1] P22—25， [4]P19—24.
六 . 几个特殊函数 :
例 8 符号函数 xsgn .
例 9 整数部分函数 并求].[xy = ] [ ], [ ], 71826.2 [ ππ ? .
例 10 非负小数部分函数 . 并求 和)(xy = ) 993.17 ( ) 75.48 ( ? .
例 11 Dirichlet 函数 和 Riemann 函数 . Dirichlet 函数和 Riemann 函数
的周期性.
)(xD )(xR
Ex P 23 — 24 全部 。
[4]P34—36 50， 54， 55，56 ，67 ， 68， 71， 81.
9
