Ch 13 多元函数的极限与连续 计划课时： 8 时 P 127 — 143 200. 06.06 . Ch 13 多元函数的极限与连续 ( 8 时 ) § 1 平面点集与多元函数 一、 平面点集 : 平面点集的表示: 满足的条件}. 余集),(|),{( yxyxE = c E . 1．常见平面点集 : ⑴ 全平面和半平面 : , , }0|),{( ≥xyx }0|),{( >xyx }|),{( axyx > , 等. }|),{( baxyyx +≥ ⑵ 矩形域: , ],[],[ dcba × 1||||),{( ≤+ yxyx }. ⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环.圆的个部分. 极坐标表示, 特别是 }cos2|),{( θθ arr ≤ 和 }sin2|),{( θθ arr ≤ . ⑷ 角域: }|),{( βθαθ ≤≤r . ⑸ 简单域: ?X 型域和 ?Y 型域. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集 }||0 , ||0|),{( 00 δδ <?<<?< yyxxyx 的区别. 二、 点集拓扑的基本概念 : 1 ．内点、外点和界点： 集合 E 的全体内点集表示为 , 边界表示为 . Eint E? 集合的内点 E∈ , 外点 , 界点不定 . E? 例 1 确定集 的内点、外点集和边界 . } 1)2()1(0|),( { 22 <++?<= yxyxE 例 2 为 Dirichlet 函数. 确定集)( , } ] 1 , 0 [ , )(0|),( { xDxxDyyxE ∈≤≤= E 的 内点、外点和界点集 . 2. ( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点 : 孤立点必为界点 . 例 3 |),( { yxE = } 1 sin x y = . 确定集 E 的聚点集 . 解 E 的聚点集 . ] 1 , 1 [ ?∪= E 3. ( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集: Eint E= 时称 E 为开集 , E 的聚点集 E? 时称 E 为闭集. 存在非开非闭集. 2 R 和空集 φ 为既开又闭集. ( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 . 4. 有界集与无界集 : 5. 点集的直径 ： 两点的距离)(Ed ) , ( 21 PPρ . 6. 三角不等式： || 21 xx ? （或 ） || 21 yy ? |||| )()( 2121 2 21 2 21 yyxxyyxx ?+?≤?+?≤ . 三 . 点列的极限 : 设 ) , ( nnn yxP = , ) , ( 000 yxP = . 定义 的定义 ( 用邻域语言 ) . 0 lim PP n n = ∞→ 例 4 , , ) , ( nn yx → ) , ( 00 yx ? 0 xx n → 0 yy n → ) ( ∞→n . 例 5 设 为点集 0 P E 的一个聚点 . 则存在 E 中的点列 , 使} { n P 0 lim PP n n = ∞→ . 四 . 2 R 中的完备性定理: 1. Cauchy 收敛准则 : 先证{ }为 Cauchy 列 和 均为 Cauchy 列 . ) , ( nn yx ? } { n x } { n y 2. 闭集套定理 : 3. 聚点原理: 列紧性 , Weierstrass 聚点原理. 4. 有限复盖定理 : 五、二元函数 : 1．二元函数的定义、记法、图象： 2．定义域： 1. 求定义域： ⅰ> ),( yxf 1 9 22 22 ?+ ?? = yx yx ; ⅱ> ),( yxf )1ln( ln 2 +? = xy y . 3．二元函数求值 : 2. , 求 ),( yxf 2 32 yx ?= ) , 1 ( , ) 1 , 1 ( x y ff ? . 3. , 求),( yxf )1ln( 22 yx ++= )sin , cos( θρθρf . 4． 三种特殊函数: ⑴ 变量对称函数: ),( yxf ),( xyf= ,例 8 中的函数变量对称. ⑵ 变量分离型函数: ),( yxf )()( yx ψφ= .例如 , yx exyz 32 + = ,22 +++= yxxyz ),( yxf 2 )( ))(( xy xxyyxy ?+ = 等 . 但函数 yxz += 不是变量分离型函数 . ⑶ 具有奇、偶性的函数： Ex P132 1—8. § 2 多元函数的极限和连续性 一 . 全面极限与相对极限 : 全面极限亦称为二重极限. 207 1． 全面极限 ),(lim ),(),( 00 yxf yxyx → A= 的定义: 亦可记为 APf PP = → )(lim 0 . 由 的定义引入. Axf xx = → )(lim 0 例 1 用 “ δε ? ”定义验证极限 . 7)(lim 22 )1,2(),( =++ → yxyx yx 例 2 用 “ δε ? ”定义验证极限 0lim 22 2 0 0 = + → → yx xy y x . 例 3 ? ? ? ? ? = ≠ + ? = ).0,0(),( , 0 ),0,0(),( , ),( 22 22 yx yx yx yx xy yxf 证明 . ( 用极坐标变换 ) . 0),(lim )0,0(),( = → yxf yx 2．相对极限及方向极限 : 相对极限 和方向极限APf DP PP = ∈ → )(lim 0 Axxkyxf xx =?+ → ))( , (lim 00 0 的定义. 3． 全面极限与相对极限的关系 : Th 1 , 对 D 的每一个子集 E , 只要点 是 E 的聚点 , 就有 . APf DP PP = ∈ → )(lim 0 ? 0 P APf EP PP = ∈ → )(lim 0 系 1 设 , 是 的聚点 . 若极限 不存在 , 则极限 也 不存在 . DE ? 1 0 P 1 E )(lim 1 0 Pf EP PP ∈ → )(lim 0 Pf DP PP ∈ → 系 2 设 , 是 和 的聚点. 若存在极限 , , 但 , 则极限 不存在. DEE ? 21 , 0 P 1 E 2 E 1 )(lim 1 0 APf EP PP = ∈ → 2 )(lim 2 0 APf EP PP = ∈ → 21 AA ≠ )(lim 0 Pf DP PP ∈ → 系 3 极限 存在, 对 D 内任一点列 , 但)(lim 0 Pf DP PP ∈ → ? } { n P 0 PP n → 0 PP n ≠ , 数列 收敛 . )}({ n Pf 通常为证明极限 不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个 方向的极限不相等 , 或证明方向极限与方向有关 . 但应注意 , 沿任何方向的极限存在且 相等 )(lim 0 Pf PP→ ? / 全面极限存在 ( 以下例 5 ). 例 4 ? ? ? ? ? = ≠ += . )0,0(),( , 0 ),0,0(),( , ),( 22 yx yx yx xy yxf 证明极限 不存在. ),(lim )0,0(),( yxf yx → ( 考虑沿直线 的方向极限 ) . kxy = 例5 求下列极限: 208 ⅰ> )0,0(),( lim →yx 22 2 yx yx + ; ⅱ> )0,3(),( lim →yx y xysin ; ⅲ> )0,0(),( lim →yx xy xy 11?+ ; ⅳ> )0,0(),( lim →yx 22 22 )1ln( yx yx + ++ . 4． 极限 ),(lim ),(),( 00 yxf yxyx → +∞= 的定义 : 其他类型的非正常极限， 无穷远点的情况. →),( yx 例6 验证 )0,0(),( lim →yx +∞= + 22 32 1 yx . Ex P142—143 1，2. 二、累次极限 : 1．累次极限的定义 : 例 7 22 ),( yx xy yxf + = , 求在点 的两个累次极限 . ) 0 , 0 ( 例 8 22 22 ),( yx yx yxf + ? = , 求在点 的两个累次极限 . ) 0 , 0 ( 例 9 x y y xyxf 1 sin 1 sin),( += , 求在点 的两个累次极限 . ) 0 , 0 ( 2．全面极限与累次极限的关系 : ⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例 9 ) ⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在. 例如函数 y xyxf 1 sin),( = 在点 的情况 . ) 0 , 0 ( ⑶ 全面极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例如例 10 中的函数, 由 . 可见全面极限 存在 , 但两个累次极限均不存在. )0,0(),( , 0|||| |),(| →→+≤ yxyxyxf ⑷ 两个累次极限存在( 甚至相等 ) ? / 全面极限存在 . ( 参阅例 4 和例 8 ). 综上 , 全面极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系 . 但有以下确定关系. Th 2 若全面极限 和累次极限 (或另一次序 )都存在 , 则必相等. ( 证 ) ),(lim ),(),( 00 yxf yxyx → ),(limlim 00 yxf yyxx →→ 系 1 全面极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等 . 系 1 给出了累次极限次序可换的一个充分条件. 系 2 两个累次极限存在但不相等时 , 全面极限不存在 . 但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 ? / 全面极限不存在 . 参阅 ⑵ 的例. Ex P142 3，4，5。 209 三、二元函数的连续性 （一） 二元函数的连续（相对连续）概念： 由一元函数连续概念引入 . 1． 连续的定义 : 定义 用邻域语言定义相对连续 . 全面连续 . 函数 有定义的孤立点必为连续点 . ),( yxf 例 1 ? ? ? ? ? ? ? =+ + ≠+ + = . 0 , 1 , 0 , ),( 22 2 22 22 yx m m yx yx xy yxf 证明函数 在点 沿方向 连续 . ),( yxf ) 0 , 0 ( mxy = 例 2 ? ? ? +∞<<∞?<< = . , 0 , ,0 , 1 ),( 2 其他 xxy yxf 证明函数 在点 沿任何方向都连续 , 但并不全面连续. ),( yxf ) 0 , 0 ( 函数的增量 : 全增量、 偏增量 . 用增量定义连续性 . 函数在区域上的连续性 . 2． 二元连续 ( 即全面连续 ) 和单元连续 : 定义 ( 单元连续 ) 定义 ( 二元连续 ) 二元连续与单元连续的关系 : 3． 连续函数的性质 : 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. （二） 二元初等函数及其连续性: 二元初等函数 , 二元初等函数的连续性. （三） 一致连续性 : （四） 有界闭区域上连续函数的性质 : 1．有界性与最值性. ( 证 ) 2．一致连续性 . ( 证 ) 3．介值性与零点定理. ( 证 ) Ex P142—143 6—10 . 210