Ch 21 各种积分间的联系与场论初步 计划课时：8 时 P 335—372 2005. 11.15 . Ch 21 各种积分间的联系与场论初步 § 1 各种积分间的联系 1． Green 公式 : 闭区域的正面与边界正向的规定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示区域的正面( 理 解为拇指“站立在” 区域的正面上 ), 则其余四指( 弯曲 ) 表示边界的正向. 右手螺旋 定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界上, 让区域在人的左方. 则人前进的方 向为边界的正向. 若以 L 记正向边界, 则用—L 或 L 表示反向（或称为负向）边界. ? Th22.3 若函数 P 和 Q 在闭区域 D?R 上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则有 2 ∫∫ ∫ += ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D L QdyPdxdxdy y P x Q , 其中 L 为区域 D 的正向边界. ( 证 ) [1] P373 Green 公式又可记为 ∫∫ ∫ += ? ? ? ? D L QdyPdxdxdy QP yx . 2．应用举例 : 对环路积分, 可直接应用 Green 公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条线使变成环路 积分的技巧. 例 1 计算积分 , 其中 A B . 曲线 AB 为圆周 ∫ AB xdy , ) , 0 ( r ) 0 , ( r 222 ryx =+ 在第一象限中的部分. 解法一 ( 直接计算积分 ) 曲线 AB 的方程为 2 0 , sin , cos π ≤≤== ttrytrx . 方向为自然方向的反向. 因此 ∫∫ ?= ? ? ? ? ? ? +?=?= AB rttrtdtrxdy 2 2 0 2 0 222 4 2sin 2 1 2 1 cos π ππ . 解法二 ( 用 Green 公式 ) 补上线段 BO 和 OA ( O 为坐标原点 ), 成闭路. 设所围区域为 D, 注意到 D 为反向, 以及 , 有 ? 0= ∫ BOA ∫ AB xdy ∫∫ ∫ ? ?=?=?= D BOA D rdxdyxdyxdy 2 4 π . 例 2 计算积分 I = ∫ + ? L yx ydxxdy 22 , 其中 L 为任一不包含原点的闭区域 D 的边界( 方向任 意 ) 解 2222 ),( , ),( yx x yxQ yx y yxP + = + ?= . ( 和 Q在 D 上有连续的偏导数). P () 2 22 22 22 yx xy yx y xy P + ? = ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? = ? ? , 222 22 )( yx xy x Q + ? = ? ? . 于是, I = ∫∫∫ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = D L dxdy y P x Q 0 . 例 3 验证区域 D 的面积公式 |D| ∫ ?= L ydxxdy 2 1 , L 为 D 的正向边界. 例 4 计算由星形线 所界的面积. ) 20 ( sin , cos 33 π≤≤== ttbytax 例 5 计算积分 ∫ ++ L dyxyxdxxy )( 22 , 其中 L 是由曲线 , 22 2 , xyxy == 4 , 3 == xyxy 所围区域 D 的边界, 取正向 . 解 . ,),( 2 xyyxP = xyxyxQ += 2 ),( 1 , 12 , 2 = ? ? ? ? ? ?+= ? ? = ? ? y P x Q xy x Q xy y P . ∫∫∫ = D L dxdy. 263 作代换 xyv x y u == , 2 , 在此代换之下 , 区域 D 变为 UV 平面上的区域 } 43 , 21|),( { ≤≤≤≤=′ vuvuD . = ? = ? ? xy xx y yx vu 23 12 ),( ),( u x y 3 3 2 ?=? , uvu yx 3 1 ),( ),( = ? ? ? . 于是, ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ′ ==== DD L u dv dududv u dxdy 2 1 4 3 33 1 ∫ == 2 1 2 1 2ln 3 1 ln 3 1 3 1 u u du . 例 6 计算积分 , D : ∫∫ ? D y dxdye 2 10 , 1 ≤≤≤≤ xyx . 解 令 , 有 2 ),( , 0),( y xeyxQyxP ? == ∫∫∫ ? += D D dyyxQdxyxP ),(),( . 域 D 为三角形, 三个顶点为 O A , B .? , ) 0 , 0 ( ) 1 , 1 ( ) 1 , 0 ( ∫∫∫∫∫∫ =?==+= ?? BOOADD D dyyxQdyyxQdxyxP ),(),(),( )1( 2 1 2 1 1 1 0 1 0 22 ??? ?=?== ∫ eedxxe xx . Ex P346-347 § 5 Gauss 公式和 Stokes 公式 ( 3 时 ) 一 . Gauss 公式 : Th22.6 设空间区域 V 由分片光滑的双侧封闭曲面 围成 . 若函数 在 V S RQP , , 上连续, 且有连续的一阶偏导数 , 则 ∫∫∫∫∫ ++= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? + ? ? S V RdxdyQdzdxPdydzdxdydz z R y Q x P , 其中 取外侧. S 称上述公式为 Gauss 公式或 Остроградский― Gauss 公式. 264 证 只证 ∫∫∫ ∫∫ = ? ? V S Rdxdydxdydz z R . 设 V 是 xy型区域( 即 ?Z 型体 ) ( 参阅[1] P393 图 22—21 ), 其边界曲面 由曲面 S ),( : 11 yxzzS = 下侧 , ∈),( yx D , xy ),( : 22 yxzzS = 上侧 , ∈),( yx D . xy ( ),(),( 21 yxzyxz ≤ . ) 以及垂直于 XY 平面的柱面 (外侧) 组成. 注意到 = , 有 3 S ∫∫ 3 ),,( S dxdyzyxR 0 ( )dxdyzyxRdz z R dxdydxdydz z R VD yxz yxz D yxzz yxzz xy xy ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ = = = ? ? = ? ? ),( ),( ),( ),( 2 1 2 1 |),,( = ()( )[] ∫∫ =?= xy D dxdyyxzyxRyxzyxR ),(,,),(,, 12 () ∫∫ ?= xy D dxdyyxzyxR ),(,, 2 ()= ∫∫ xy D dxdyyxzyxR ),(,, 1 = ++= ∫∫ ∫∫ 21 ),,(),,( SS dxdyzyxRdxdyzyxR ∫∫ 3 ),,( S dxdyzyxR dxdyzyxR S ),,( ∫∫ = 外侧 . 可类证 ∫∫∫ ∫∫ = ? ? V S Pdydzdxdydz x P , ∫∫∫ ∫∫ = ? ? V S Qdzdxdxdydz y Q . 以上三式相加, 即得 Gauss 公式. 例 1 计算积分 ∫∫ Σ ++?++ dxdyxzdzdxzydydzyx )3()()( ， 为球面 取外侧. ( 参阅上节例 2 ) Σ 2222 Rzyx =++ 解 xzzyxRzyzyxQyxzyxP 3),,( , ),,( , ),,( +=?=+= . . 1 , 1 , 1 ?= ? ? = ? ? = ? ? z R y Q x P . 3 = ? ? + ? ? + ? ? z R y Q x P 265 由 Gauss 公式 ∫∫ ∫∫∫ Σ =?== V RRdxdydz 33 4 3 4 33 ππ . 例 2 计算积分 ∫∫ +++? S dxdyxzydzdxxdydzzxy )()( 22 ，其中 是边长为 S a的正方体 V 的表面取外侧. V : azayax ≤≤≤≤≤≤ 0 , 0 , 0 . [1]P394 E1 解 应用 Gauss 公式 , 有 () ∫∫∫∫∫ = ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? + ? ? +? ? ? = V S dxdydzxzy z x y zxy x )()( 22 ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =? ? ? ? ? ? +=+=+ V aaa a adyaayadxxydydzdxdydzxy 000 0 42 2 1 )()( . 例 3 计算积分 ， ∫∫ Σ ++ zdxdyydzdxxdydz Σ为锥面 22 yxz += 在平面 4=z 下方的部分，取外法线方向 . 解 设 为圆 取上侧 , 则S 16 , 4 22 ≤+= yxz S+Σ 构成由其所围锥体 V 的表面 外侧 , 由 Gauss 公式 , 有 ∫∫ +Σ =++ S zdxdyydzdxxdydz = 锥体 V 的体积 ∫∫∫ ×=dxdydz 33 V ππ 64 3 64 3 =?= ; 而 ∫∫ ∫∫ ≤+ ==++ S yx dxdyzdxdyydzdxxdydz 16 22 644 π 因而, 0 ∫∫∫∫∫∫ =?= +ΣΣ SS . 例 4 设 V 是三维空间的区域, 其内任何封闭曲面都可不通过 V 外的点连续收缩 为 V 上的一点. 又设函数 、 和 在 V 上有连续的偏导数. ),,( zyxP ),,( zyxQ ),,( zyxR S 表示 V 内任一不自交的光滑封闭曲面, 是 的外法线. 试证明: 对 V 内任意曲面 恒有 n S S [ ] ∫∫ =++ S dSznRynQxnP 0),cos(),cos(),cos( 266 的充要条件是 0 = ? ? + ? ? + ? ? z R y Q x P 在 V 内处处成立. 证 [] ∫∫ ∫∫ ++=++ SS RdxdyQdzdxPdydzdSznRynQxnP ),cos(),cos(),cos( . )? 由 Gauss 公式直接得到 . )? 反设不然 , 即存在点 ∈),,( 0000 zyxM V, 使 ( ) 0| 0 ≠ ? ? + ? ? + ? ? M z R y Q x P , 不妨设其 . 由0> z R y Q x P ? ? + ? ? + ? ? 在点 连续, 存在以点 为中心且在 V 内的小球 0 M 0 M V′, 使在其内有 z R y Q x P ? ? + ? ? + ? ? 0> . 以 表示小球 VΣ ′的表面外侧, 就有 ∫∫∫∫∫ ′ Σ > ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? + ? ? = V dxdydz z R y Q x P 0 , 与 ∫∫ Σ = 0 矛盾. Ex [1]P399—400 1 . 二 . Stokes 公式 : 空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线 L 正向的匹配关系: 右手螺旋法则, 即当人站 在曲面的正侧上, 沿边界曲线 L 行走时, 若曲面在左侧, 则把人的前进方向定为 L 的正向. 1. Stokes 定理: Th22.7 设光滑曲面 的边界 L是按段光滑的连续曲线 . 若函数 、 和 在 ( 连同L S ),,( zyxP ),,( zyxQ ),,( zyxR S )上连续 , 且有一阶连续的偏导数 , 则 ∫∫ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? S dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ∫ ++ L RdzQdyPdx . 267 其中 的侧与 L 的方向按右手法则确定 . S 称该公式为 Stokes 公式 . 证 先证式 ∫∫ ∫∫ ∫ = ? ? ? ? ? SS Pdxdxdy y P dzdx z P L . 具体证明参阅[1] P395—396. Stokes 公式也记为 ∫∫ ∫ ++= ? ? ? ? ? ? SL RdzQdyPdx dxdydzdxdydz RQP zyx . 例 5 计算积分 ∫ ?+?++ L dzxydyzxdxzy )()()2( , 其中 L 为平面 1=++ zyx 与各坐标平面的交线, 方向为 : 从平面的上方往下看为 逆时针方向. [1] P397 E2 § 2 曲线积分和与路径的无关性 : 单连通域和复连通域. 1. 积分与路径无关的等价条件 : Th22.4 设 D R 是单连通闭区域. 若函数 和 在闭区域 D 内连续, 且有 ? 2 P Q 连续的一阶偏导数 , 则以下四个条件等价 : ⅰ> 沿 D 内任一按段光滑的闭合曲线 L, 有 ∫ =+ L QdyPdx 0 . ⅱ> 对 D 内任一按段光滑的曲线 L, 曲线积分 ∫ + L QdyPdx 与路径无关, 只与曲线 L 的起点和终点有关. ⅲ> 是 D 内某一函数 的全微分, 即在 D 内有QdyPdx+ u =du QdyPdx+ . ⅳ> 在 D 内每一点处有 x Q y P ? ? = ? ? . ( 证 ) [1] P378—379 . 2. 恰当微分的原函数 : 268 若有 x Q y P ? ? = ? ? , 则称微分形式 是一个恰当微分 . 恰当微分有原函数, ( 它的一 个 ) 原函数为 : QdyPdx+ . ∫∫ += x x y y dttxQdtytPyxu 00 ),(),(),( 0 或 . ),(),(),( 00 0 ∫∫ += y y x x dtytPdttxQyxu ( 其中点 ) , ( 00 yx ∈D, 当点 ) 0 , 0 ( ∈D 时, 常取 = . ) , ( 00 yx ) 0 , 0 ( ) 验证第一式 : ∫∫ +=+= ? ? y y t y y x dttxPyxPdttxQyxP x u 00 ),(),(),(),( 00 ; =?+=+= = = ),(),(),(|),(),( 000 0 yxPyxPyxPtxPyxP yt yt ),( yxP ),( yxQ y u = ? ? . 例 6 验证式 ydyxdxyx cos) sin2 ( ++ 是恰当微分, 并求其原函数. Ex [1]P382 3，4 ，5. 2. 空间曲线上第二型曲线积分与路径无关性 : 空间单连通、复连通域. Th 22.8 设 Ω ?R 为空间单连通区域 . 若函数 、 和 在 Ω上连续, 且有一阶连续的偏导数 , 则以下四个条件等价: 3 ),,( zyxP ),,( zyxQ ),,( zyxR ⅰ> 对于 内任一按段光滑的封闭曲线 L , 有Ω ∫ =++ L RdzQdyPdx 0 ; ⅱ> 对于 内任一按段光滑的封闭曲线 L , 曲线积分 Ω ∫ ++ L RdzQdyPdx 与路径无关; ⅲ> RdzQdyPdx ++ 是 内某一函数 的全微分; Ω u ⅳ> z P x R y R z Q x Q y P ? ? = ? ? ? ? = ? ? ? ? = ? ? , , 在 Ω内处处成立 . [1] P398 269 3. 恰当微分的原函数 : 恰当微分的验证及原函数求法 . 例 6 验证曲线积分 与路径无关 , 并求 ∫ +++++ L dzyxdyxzdxzy )()()( 被积表达式的原函数 . [1]P398 E3 ),,( zyxu Ex [1]P400 3⑴，4⑴. 270