Ch 7 定 积 分 计划课时： 2 1 时 P 268— 302 2002． 02． 13. Ch 7 定 积 分 （ 2 1 时 ） § 1 定积分的概念 （ 2 时 ） 一、 背景： 1． 曲边梯形的面积 : 2． 变力所作的功 : 3． 函数的平均值 : 4． 原函数的构造型定义 : ( [1]P274—277 ) 二、 定积分的定义 : 三、 举例 : 例 1 已知函数 在区间 上可积 . 用定义求积分 . )(xf 2 x= ] , 0 [ b )0( >b ∫ b dxx 0 2 解 取 n 等分区间 作为分法 T , ] , 0 [ b n b x i =Δ . 取 , n ib x ii ==ξ )1( ni ≤≤ . ∫ b dxx 0 2 = ∑∑ == ∞→∞→ Δ ? ? ? ? ? ? =Δ n i n i i n ii n x n ib xx 11 2 2 limlim ∞→ = n lim ∑ = = ? ? ? ? ? ? n i n b i 1 3 2 ∞→ = n lim ∑ = ? ? ? ? ? ? n i i n b 1 2 3 ∞→ = n lim 3 )12)(1( 6 1 3 3 b nnn n b =++? ? ? ? ? ? ? . 由函数 在区间 上可积 , 每个特殊积分和之极限均为该积分值 . )(xf ] , 0 [ b 例 2 已知函数 )(xf 2 1 1 x+ = 在区间 上可积 , 用定义求积分] 1 , 0 [ ∫ + 1 0 2 1 x dx . 解 分法与介点集选法如例 1 , 有 ∫ + 1 0 2 1 x dx ∞→ = n lim ∑ = ? ? ? ? ? ? ? + n i n n i1 2 1 1 1 ∞→ = n lim ∑ = + n i in n 1 22 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分 ∫ + 1 0 2 1 x dx . 例 3 讨论 Dirichlet 函数 在区间 上的可积性 . )(xD ] 1 , 0 [ Ex P272 . § 2 定积分存在的条件 （ 3 时 ） 一、 必要条件 : Th 1 ， ? 在区间 上有界. Rxf ∈)(],[ ba )(xf ] , [ ba 二、 充要条件 : 1．思路与方案 : 思路 : 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法 T 的 “ 最大 ” 和 “ 最 小” 的两个 “ 积分和 ” 去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且 与分法 T 及介点 i ξ 无关的条件 . 方案 : 定义 上和 和 下和)( __ TS )(Ts . 研究它们的性质和当 0→T 时有相同极限的充要 条件 . 2. Darboux 和 : 以下总设函数 在区间 上有界. 并设)(xf ] , [ ba Mxfm ≤≤ )( , 其中 和m M 分别是函数 在区间 上的下确界和上确界 . 定义 Darboux 和 , 指出 Darboux 和未必是积分和 . 但 Darboux 和由分法 T 唯一确定. 分别用 、 )(xf ] , [ ba )( __ TS )(Ts 和 记相应于分法 T 的上（大）和、下（小）和与积分和 .积分和 ∑ )(T ∑ )(T 是数集( 多值) . 但总有 )(Ts ≤ ∑ )T ≤( , 因此有 )( __ TS )(Ts ≤ )( __ TS . )(Ts 和 的几何意义 . )( __ TS 3. Darboux和的性质 : 本段研究 Darboux和的性质, 目的是建立 Darboux定理. 先用分点 集定义分法和精细分法: T ≤ T′表示 T′是 T 的加细 . 101 性质 1 若 T , 则≤ T′ )(Ts )(Ts ′≤ , . 即 : 分法加细, 大和不增, 小和不 减 . ( 证 ) )( __ TS ≥ )( __ TS ′ 性质 2 对任何 T , 有 ≤? )( abm )( __ TS , )( abM ? ≥ )(Ts . 即 : 大和有下界, 小和有 上界. ( 证 ) 性质 3 对任何 和 , 总有 1 T 2 T )( 1 Ts ≤ )( 2 __ TS . 即: 小和不会超过大和 . 证 )( 1 Ts ≤ )( 21 TTs + ≤ )( 21 __ TTS + ≤ . )( 2 __ TS 性质 4 设 T′是 T 添加 p 个新分点的加细. 则有 )(Ts ≤ )(Ts ′ ≤ )(Ts + p )( mM ? T , )( __ TS ≥ )( __ TS ′ ≥ )( __ TS TmMp )( ?? . 证 设 是只在 1 T T 中第 i 个区间 内加上一个新分点 ] , [ 1 ii xx ? x 所成的分法, 分别设 )(sup ],[ 1 1 xfM xx i? = , )(sup ],[ = 2 xfM i xx , )(sup ],[ 1 xfM ii xx i ? = . 显然有 1 Mm ≤ 和 MMM i ≤≤ 2 . 于是 )()()()()(0 2 1 1 11 xxMxxMxxMTSTS iiiii ?????=?≤ ?? ≤??+??= ? ))(())(( 2 1 1 xxMMxxMM iiii ))(())(())(( 11 ?? ??=??+??≤ iiii xxmMxxmMxxmM TmM )( ?≤ . 添加 个新分点可视为依次添加一个分点进行 次. 即证得第二式. 可类证第一式. p p 系 设分法 T′有 p 个分点，则对任何分法 T ，有 )( ||||)()( TSTmMpTS ′≤?? ， )( ||||)()( TsTmMpTs ′≥?+ . 证 )( )( ||||)()( TSTTSTmMpTS ′≤′+≤?? . )( )( ||||)()( TsTTsTmMpTs ′≥′+≥?+ . 4. 上积分和下积分 : 设函数 在区间 上有界. 由以上性质 2 ，)(xf ] , [ ba )(Ts 有上 界 ， 有下界 . 因此它们分别有上确界和下确界. )( __ TS 定义 记 ∫ b a dxxf )( )(inf TS T = , ∫ b a dxxf )( )(sup Ts T = . 分别称 ∫ b a 和 ∫ b a 为函数 在区间 上的上积分和下积分 . )(xf ] , [ ba 102 对区间 上的有界函数 , ] , [ ba )(xf ∫ b a 和 ∫ b a 存在且有限 , ∫ b a ≥ ∫ b a . 并且对任 何分法 T , 有 )(Ts ≤ ∫ b a ≤ ∫ b a ≤ )( __ TS . 上、下积分的几何意义. 例 1 求 ∫ 1 0 dxxD )( 和 ∫ 1 0 dxxD )( . 其中 是 Dirichlet 函数 . )(xD 5. Darboux 定理 : Th 1 设函数 在区间 上有界, )(xf ] , [ ba T 是区间 的分法 . 则有 ] , [ ba 0 lim →T )( __ TS = ∫ b a dxxf )( , 0 lim →T )(Ts = ∫ b a dxxf )( . 证 ( 只证第一式 . 要证 : 对 , 0 , 0 >?>? δε 使当 δ<T 时有 ≤0 ?)( __ TS ∫ b a ε< . ≤0 ?)( __ TS ∫ b a 是显然的. 因此只证 ?)( __ TS ∫ b a ε< . ) ∫ b a )(inf TS T = , 对? T′?>? , 0ε , 使 < )( __ TS ′ ∫ b a *) , 2 ε + 设 T′有 p 个分点 , 对任何分法 T , 由性质 4 的系 , 有 ?)( __ TS p )( mM ? T ≤ ,由* ) 式, 得 )( __ TS ′ ?)( __ TS p )( mM ? T ≤ <)( __ TS ′ ∫ b a , 2 ε + 即 ?)( __ TS p )( mM ? T < ∫ b a , 2 ε + 亦即 )( __ TS ∫ ? b a < 2 + ε p )( mM ? T . 于是取 )(2 mMp ? = ε δ , ( 可设 , 否则 为常值函数, mM > )(xf ∫ b a = 对任何 分法 T 成立. ) 对任何分法 T , 只要 )( __ TS δ<T , 就有 ≤0 ?)( __ TS ∫ b a ε εε =+< 22 . 此即 0 lim →T )( __ TS = ∫ b a dxxf )( . 6. 可积的充要条件 : Th 2 （ 充要条件 1 ）设函数 在区间 上有界. )(xf ] , [ ba )(xf ] , [ baR∈ ? ∫ b a = ∫ b a . 证 设 =)? ∫ b a dxxf )( I , 则有 0 lim →T ∑ Δ ii xxf )( = I . 即对 , 0 , 0 >?>? δε 使当 103 δ<T 时有 | ∑ Δ ii xxf )( I? | < 2 ε 对 ii xΔ∈? ξ 成立. 在每个 上取] , [ 1 ii xx ? i η , 使 )(0 ii fM η?≤ )(2 ab ? < ε , 于是 , | | = )( __ TS ∑ ? )( i f η i xΔ ))( ( ii fM η? ∑ i xΔ < 2 ε . 因此, δ<T 时有 | )( __ TS I? | | | + | ≤ )( __ TS ∑ ? )( i f ξ i xΔ ∑ Δ ii xxf )( I? | < 2 ε + 2 ε = ε . 此即 0 lim →T )( __ TS = I . 由 Darboux 定理 , ? ∫ b a = I . 同理可证 ∫ b a = I . ? ∫ b a = ∫ b a . )? 对任何分法 T , 有 )(Ts ≤ ∑ )(T ≤ , 而 )( __ TS 0 lim →T )(Ts = ∫ b a = ∫ b a = 0 lim →T )( __ TS . 令 ∫ b a 和 ∫ b a 的共值为 I , 由双逼原理 ? 0 lim →T ∑ )(T = I . Th 3 有界. 对 )(xf )(xf ] , [ baR∈ ? , , 0 ??>? Tε ?)( __ TS )(Ts ε< . 证 )? )(xf ] , [ baR∈ ? 0 lim →T ( ?)( __ TS )(Ts ) = 0. 即对 , 0 , 0 >?>? δε δ<? TT , 时, ? ≤0 ?)( __ TS )(Ts ε< . )? )(Ts ≤ ∫ b a ≤ ∫ b a ≤ )( __ TS , 由 ?)( __ TS )(Ts ε< , ? ≤0 ∫ b a – ∫ b a ε< , ? ∫ b a = ∫ b a . 定义 称 i ω ii mM ?= 为函数 在区间 上的振幅或幅度. )(xf ] , [ 1 ii xx ? 易见有 i ω ≥ 0 . 可证 i ω = .)()(sup ],[, 1 xfxf ii xxxx ′′?′ ? ∈′′′ Th 3’ (充要条件 2 ) 有界. )(xf )(xf ] , [ baR∈ ? 对 , , 0 ??>? Tε . ∑ <Δ εω iI x Th 3’ 的几何意义及应用 Th 3’的一般方法: 为应用 Th 3’, 通常用下法构造分法 T :当函 数 在区间 上含某些点的小区间上)(xf ] , [ ba i ω 作不到任意小时, 可试用 在区间 )(xf 104 ] , [ ba 上的振幅 mM ?=ω 作 i ω 的估计 , 有 i ω ≤ ω . 此时, 倘能用总长小于 0 ( 2 ≠ω ω ε , 否则 为常值函数 ) 的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的 端点作为分法 )(xf T 的一部分分点，在区间 的其余部分作分割，使在每个小区间上有] , [ ba i ω < )(2 ab ? ε , 对如此构造的分法 , 有 T < ∑ = Δ n i ∑∑ = ? = Δ+Δ= m k mn j jjkk xx 11 ωω ∑∑ = ? = ≤Δ+Δ ? m k mn j jk xx ab 11 )(2 ω ε i x i 1 ω ∑∑ ? == Δ+Δ ? ≤ mn j j n i i xx ab 11 )(2 ω ε ε ω ε ω ε =+? ? ≤ 2 )( )(2 ab ab . Th 4 ( (R)可积函数的特征 ) 设 在区间 上有界. )(xf ] , [ ba )(xf ] , [ baR∈ 对 ? 0 >?ε 和 0 , 0 >?>? δσ , 使对任何分法 T , 只要 δ<T , 对应于 εω ≥ ′i 的那些小区间 的长度之和 . i x ′ Δ σ<Δ ∑ ′i x 证 在区间 上可积, 对)? )(xf ] , [ ba 0 >?ε 和 0 , 0 >?>? δσ , 使对任何分法 , 只要 T δ<T , 就有 σεσωωε <Δ?<Δ≤Δ≤Δ ∑∑∑∑ ′′′′ iiiiii xxxx , . 对)? , , 0 ??>? Tε εω ≥ ′i 的区间总长小于 , ω ε 此时有 ∑∑ ∑∑∑ ==′ ′ ==′ ′′ +?≤Δ+Δ≤Δ+Δ=Δ m k n i i m k k n i iikkii abxxxxx 1111 )( ω ε ωεωεωωω = = ).1( +? abε 三． 可积函数类： 1． 闭区间上的连续函数必可积： Th 5 （ 证 ） 2． 闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 . Th 6 （ 证 ） 系 1 闭区间上按段连续函数必可积 . 系 2 设函数 在区间 上有界且其间断点仅有有限个聚点, 则函数 在区 间 上可积. )(xf ] , [ ba )(xf ] , [ ba 105 例 2 判断题 : 闭区间上仅有一个间断点的函数必可积 . ( ) 闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积 . ( ) 3. 闭区间上的单调函数必可积： Th 7 （ 证 ） 例 3 " , 2 , 1 . 1 1 1 , 1 , 0 , 0 )( = ? ? ? ? ? << + = = n n x nn x xf 证明 在 上可积. )(xf ] 1 , 0 [ 关于可积性的更一般的充分条件为 : Th 闭区间 上的正规函数( regulated function ) 是可积的. ] , [ ba )(xf 参阅 : S . K . Berberian , Regulated function : Bourbaki’s alternative to the Riemann integral , The American Mathematical Monthly , Vol. 86 , No.3. 1979, P 208—211. 马振民 , Riemann 积分中几个常用可积条件的统一 , 甘肃教育学院学报( 自然科学 版 ) , Vol.12, No.1 , 1998 . Ex P283—284 1 — 5. § 3 定积分的性质 （ 3 时 ） 一、定积分的性质 : 1．线性性质 : Th 1 — Const , 且 . （ 证 ） kbaRf ],,[∈ ? ],,[ baRkf ∈ ∫∫ = b a b a fkkf Th 2 , , 且 .（ 证 ） ],[, baRgf ∈ ? ],[ baRgf ∈± ∫∫ ±=± b a b a b a gfgf )( ∫ 综上 , 定积分是线性运算 . 2. 乘积可积性 : Th 3 , . ],[, baRgf ∈ ? ],[ baRgf ∈? 证 和 有界. 设 f g )(sup , |)(|sup ],[],[ xgBxfA baba == , 且可设 .( 否则 或 恒为零 ). 插项估计 , 有 0 , 0 >> BA f g ∑ Δ? ii xgf )(ω ≤′′′′?′′=? Δ∈′′′ |)()()()(|sup)( , xgxfxgxfgf i xxx i ω i xxx Δ∈′′′ ≤ , sup )( )(|])()(| |)(| |)()(| |)(| [ gAfBxgxgxfxfxfxg ii ωω +≤′′?′′′+′′?′′ . …… 但一般 . ∫∫ ?≠? b a b a b a gfgf ∫ 3. 关于区间可加性 : Th 4 有界函数 在区间 和 上可积，f ],[ ca ],[ bc ? )(xf ] , [ baR∈ , 并有 106 ∫∫∫ += b c c a b a . ( 证明并解释几何意义 ) 规定 , . 0= ∫ a a ∫∫ ?= a b b a 系 设函数 在区间 上可积 . 则对 f ] , [ BA ∈? ba, ] , [ BA , 有 . （ 证 ） ∫∫∫ += b c c a b a 4. 积分关于函数的单调性 : Th 5 设函数 , 且],[, baRgf ∈ f ≤ g , ? ∫ b a f ≤ ∫ b a g .（ 证 ）( 反之确否 ?) 积分的基本估计 : )( abm ? ≤ ∫ b a f ≤ )( abM ? . 其中 和m M 分别为函数 在区间 上的下确界与上确界. f ] , [ ba 5. 绝对可积性 : Th 6 设函数 , , 且 (注意],[ baRf ∈ ? ],[|| baRf ∈ ∫ b a f || ≥ ∫ b a f .|| ba < .) 证 以 )()(|)(||)(| xfxfxfxf ′′?′≤′′?′ 证明 ∑ ≤Δ ii xf |)(|ω ∑ Δ ii xf )(ω 。 以 证明不等式. |)(| )( |)(| xfxfxf ≤≤? 该定理之逆不真. 以例 做说明. ? ? ? ? = . , 1 , , 1 )( 为无理数 为有理数 x x xf 6. 积分第一中值定理 : Th 7 ( 积分第一中值定理 ) ],,[ baCf ∈ ? ∈?ξ ] , [ ba , 使 = ∫ b a f )(ξf )( ab ? . （ 证 ） Th 8 ( 推广的积分第一中值定理 ) 且],,[, baCgf ∈ g 不变号， 则 ∈?ξ ] , [ ba , 使 =gf b a ∫ )(ξf ∫ b a g . （ 证 ） 关于积分中值定理中值点的渐近性质有与微分中值定理类似的结果, 其中最基本的可参阅 : Bernard Jacobson , On the ｍ ean value theorem for integrals. The American Mathematical Monthly, 1982. No 5. P300—301 . 在该文中得到如下结果: Th If is differentiable at ， f a 0)( ≠′ af ， and is taken in the Theorem for integral ，then c 2 1 lim = ? ? → ax ac ax . 二 . 变限积分: 定义上限函数 ，（以及函数 ），其中 函数 . 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数. ） ∫ =Φ x a dttfx )()( ∫ =Ψ b x dttfx )()( ],[ baRf ∈ 107 Th 8 ( 面积函数的连续性 ) 三 . 举例: 例 1 设 . 试证明: ],[, baRgf ∈ ∫ ∑ =Δ = → b a n i iii T fgxgf 1 0 )()(lim ηξ . 其中 i ξ 和 i η 是 内的任二点, { }, i Δ =T i Δ ni , , 2 , 1"= . 例 2 比较积分 ∫ 1 0 dxe x 与 ∫ 的大小. 1 0 2 dxe x 例 3 设 但 . 证明 >0. ],,[ baCf ∈ 0)( ≥xf 0)( ≡ / xf ∫ b a f 例 4 证明不等式 ∫ < ? < 2 0 2 2 sin 2 1 1 2 π ππ x dx . 证明分析 所证不等式为 ∫∫ < ? < 2 0 2 02 2 0 .2 sin 2 1 1 πππ dx x dx dx ∫ 只要证明在 ] 2 ,0[ π 上成立不 等式 ≤1 2sin 2 1 1 2 1 2 ≤ ? ? ? ? ? ? ? ? x , 且等号不恒成立, 则由性质 4 和上例得所证不等式. 例 5 证明 ∫ = ∞→ 2 0 0coslim π xdx n n . Ex P289— 290 1 — 8. § 4 定积分的计算 （ 4 时 ） 引入：由定积分计算引出 . 思路：表达面积函数 . ∫ =Φ x a dttfx )()( 一、微积分学基本定理： 1. 变限积分的可微性 —— 微积分学基本定理： Th 1（ 微积分学基本定理 ）若函数 则面积函数 在 上可导，且 = ],,[ baCf ∈ ∫ =Φ x a dttfx )()( ] , [ ba )(xΦ′ ∫ = x a xfdttf dx d )()( 。即当 ],[ baCf ∈ 时 , 面积函数 可导且在点 ∫ =Φ x a dttfx )()( ∈x ] , [ ba 的导数恰为被积函数在上限的值. 亦即 )(xΦ 是 的一个原函数 。 )(xf 108 证 系 连续函数必有原函数. 2. Newton — Leibniz 公式： Th 2 （ N — L公式 ）( 证 ) 例 1 ⅰ> ; ⅱ> ; ∫ b dxx 0 2 ∫ b a x dxe 例 2 . ∫ ? e e xdx 1 ln 例 3 ∫ + 1 0 2 1 x dx . ( 与§1 例 3 联系 ) 例 4 设 但 . 证明 >0. ( §3 例 3 对照.) ],,[ baCf ∈ 0)( ≥xf 0)( ≡ / xf ∫ b a f 证明分析: 证明 . 设 , 只要证明 .为此证明: ⅰ> ↗ ( 只要 ∫∫ <= a a b a dxxfdxxf )()(0 ∫ =Φ x a dttfx )()( )()( ba Φ<Φ )(xΦ 0)( ≥Φ′ x ),ⅱ> 但 )(xΦ 不是常值函数 (只要 ), ⅲ> 又 . ( 证 ) 0)( ≡ / Φ′ x 0)( ≥Φ a 例 5 证明 ∫ = + ∞→ 1 0 .0 1 lim dx x x n n ( 利用[0,1]上的不等式 . 1 0 x x x n ≤ + ≤ ) 二、定积分换元法： Th 3 设 函数],,[ baCf ∈ φ 满足条件： ⅰ> ba == )( , )( βφαφ , 且 ],[ , )( βαφ ∈≤≤ tbta ; ⅱ> )(tφ 在 ],[ βα 上有连续的导函数. 则 . （ 证 ） ∫∫ ′= b a dtttfdxxf β α φφ )()]([)( 例 6 ∫ ? 1 0 2 1 dxx . 例 7 ∫ 2 0 cossin π tdtt . 例 8 计算 ∫ + + = 1 0 2 1 )1ln( dx x x J . （该例为技巧积分. ） 109 例 9 ∫ ?+ a xax dx 0 22 . （该例亦为技巧积分. ） 例 10 已知 , 求 ∫ ?= 3 2 4)( dxxf ∫ + 2 1 2 .)1( dxxxf 例 11 设函数 连续且有 )(xf ∫ = 1 0 .3)( dxxf 求积分 （3/2 ） ∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? 1 00 .)()( dxxfdttf x 例 12 设 是区间 上连续的奇（或偶函数）函数，则 )(xf )0( ],[ >? aaa ， （ . ） ∫ ? = a a dxxf 0)( ∫∫ ? = a a a dxxfdxxf 0 )(2)( 例 13 [] ∫ ? ? =??+ 2 2 32 35cos3sin 2 π π dxarctgxexxxx x .. 三 . 分部积分公式: Th 4 ( 分部积分公式 ) 例 14 ∫ 1 0 .dxxe x 例 15 计算 ∫∫ == 2 0 2 0 cossin ππ xdxxdxJ nn n . 解 ∫ ′?= ? 2 0 1 )(cossin π dxxxJ n n = ∫ ′+? ?? 2 0 1 2 0 1 )(sincos|cossin ππ dxxxxx nn ∫ ???=??= ? ? 2 0 2 22 )1()1()sin1(sin)1( π nn n JnJndxxxn ； 解得 , 1 2? ? = nn J n n J 直接求得 ∫ == 2 0 1 1sin π xdxJ ， ∫ == 2 0 0 2 π π dxJ . 于是, 当 为偶数时, 有 n == ? ? ? ? = ? = ?? " 42 2 311 nnn J n n n n J n n J 2!! !)!1( 224)2( 135)3)(1( 2 1 4 3 2 31 0 ππ ? ? =? ?? ???? =??? ? ? ? ? = n n nn nn J n n n n " " "; 当 为奇数时, 有 n !! !)!1( 3 2 5 4 2 31 1 n n J n n n n J n ? =??? ? ? ? ? =". 四 . Taylor 公式的积分型余项: [1]P307—309. Ex P302-305 . 习题课 ( 4 时 ) 一． 积分不等式： 110 1． 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式： 例 1 证明不等式 ∫ + ? ∈≤ +? ≤ 1 0 2 1 , 3 4 1 1 Zn n dx xx x n n . 证 注意在区间 [ 0 , 1 ] 上有 1 1 4 3 2 ≤+?≤ xx , ? …… 例 2 证明不等式 n n n ln1 1 2 1 1 )1ln( +<+++<+". 证 考虑函数" , 2 , 1 , 1 , 1 )( =+<≤= nnxn n xf , ) , 1[ , 1 )( ∞+∈= x x xg .易见对 任何 , 在区间 上 和 均单调, 因此可积, 且有 n ] 1 , 1 [ +n )(xg )(xf )(xg ≤ )(xf , 注 意到 )(xg ≡ / , 就有 . 而 )(xf ∫∫ ++ < 1 1 1 1 )()( nn dxxfdxxg ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ = + = + = + === n i i i n i i i n i n i dx i dxxfdxxf 1 1 1 1 1 1 1 11 )()( , ∫ + = 1 1 )( n dxxg ∫ + + +== 1 1 1 1 )1ln(|ln n n nx x dx . 因此有 1 2 1 1 1 )1ln( 1 ni n n i +++=<+ ∑ = ". 取" , 2 , 1 , 1 , 1 1 )( =+<≤ + = nnxn n xf , ) , 1[ , 1 )( ∞+∈= x x xg . 在区间 仿以上讨论, 有 . 而 ] 1 , 1 [ +n ∫∫ > nn dxxfdxxg 11 )()( ∫ = n ndxxg 1 ,ln )( nii dxxf n n i n i i i 1 3 1 2 1 1 1 1 1 )( 1 1 1 1 1 1 +++= + = + = ∫ ∑∑ ∫ ? = ? = + "， ? n n ln1 1 2 1 1 +<+++". 综上 , 有不等式 n n n ln1 1 2 1 1 )1ln( +<+++<+". 2． 某些不等式的积分推广 : 原理: 设函数 和 在区间 上可积. )(xf )(xg ] , [ ba T 为区间 的 等分分法, ] , [ ba n ],[ 1 iii xx ? ∈ξ . 若对任何 n 和 , 均有 ni ≤≤1 () () ∑∑ == ≤ n i n i ii n g n f 11 1 1 ξξ , 即得 () () ∑∑ == ? ≤ ? n i n i ii n ab g n ab f 11 ξξ . 令 , 注意到函数 和 在区间 上可积, 即得积分不等式 ∞→n )(xf )(xg ] , [ ba 111 . ∫ b a dxxf )( ≤ ∫ b a dxxg )( 倘若函数 Φ和 连续 , 还可由 Ψ () ()? ? ? ? ? ? Ψ≤? ? ? ? ? ? Φ ∑∑ == n i i n i i n g n f 11 1 1 ξξ ? . ? ? ? ? ? ? Ψ≤? ? ? ? ? ? Φ ∫∫ 1 0 1 0 gf 例 3 证明 Schwarz 不等式 ( 亦称为 Cauchy–Буняковский 不等式 ): 设函数 和 在区间 上连续 ( 其实只要可积就可 ). 则有不等式 )(xf )(xg ] , [ ba . ∫∫∫ ?≤ ? ? ? ? ? ? b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()( )()( 22 2 证法一 ( 由 Cauchy 不等式 Schwarz 不等式 . Cauchy 不等式参阅上册 P4 Ex 第 10 题 : 设 和 为两组实数, 则有 ? },,, { 21 n aaa"} ,,, { 21 n bbb" . ) ∑∑∑ === ?≤? ? ? ? ? ? n i n i ii n i ii baba 11 22 2 1 设 T 为区间 的 n 等分分法. 由 Cauchy 不等式 , 有 ] , [ ba , ) ( ) ( ) ( ) ( 11 i 2 i 2 2 1i ii ∑∑∑ === ?≤? ? ? ? ? ? n i n i n gfgf ξξξξ 两端同乘以 0 )( 2 2 > ? n ab , 有 n ab g n ab f n ab gf n i n i ii n ii ? ? ? ≤? ? ? ? ? ? ? ∑∑∑ === ) ( ) ( ) ( ) ( 11 22 2 1i ξξξξ , 令 , 注意到函数 、 和 在区间 上的可积性以及函数 的连续性，就有积分不等式 ∞→n )( 2 xf )( 2 xg )(xf )(xg ] , [ ba 2 )( xx =Φ . ∫∫∫ ?≤ ? ? ? ? ? ? b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()( )()( 22 2 证法二 （ 用判别式法 ） 对任何实数 ，有 t ( ) 0)()( 2 ≥+ xgxtf ， , ()() ∫∫ ≥++=+ b a b a dxxgxtfxgxftdxxgxtf 0)()(2)()( )()( 222 2 即 ， ∫∫∫ ≥+? ? ? ? ? ? +? ? ? ? ? ? b a b a b a dxxgtdxxgxftdxxf 0)()()(2)( 222 对任何实数 成立。即上述关于 t 的二次不等式的解集为全体实数, 于是就有 t 112 , 0)()(4)()(2 22 2 ≤? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∫∫∫ b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf 即 。 ∫∫∫ ?≤ ? ? ? ? ? ? b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()( )()( 22 2 例 4 且 . 证明不等式 Cf ∈ ] , [ ba 0>f ∫∫ ?≥? b a b a ab xf dx dxxf 2 ) ( )( )( . 证 取 )( 1 )( ,)()( xf xxfx == ψφ . 对函数 )(xφ 和 )(xψ 应用 Schwarz 不等式, 即得所证 . 例 5 设函数 在区间 [ 0 , 1 ] 上可积 . 试证明有不等式 )(xf ∫∫ ≤ 1 0 2 1 0 || ff . 证 先用 Jensen 不等式法证明不等式 : 对 Rxxx n ∈? ,,, 21 ", 有不等式 n xxx n xxx nn 22 2 2 121 +++ ≤ +++"" . 设 T 为区间 的 n 等分分法. 由上述不等式 , 有 ] 1 , 0 [ ∑∑ == ? ? ? ? ? ? ≤ ? ? ? ? ? ? n i n i nn i f nn i f 1 2 1 1 1 . 令 , 注意到函数 和 在区间 [ 0 , 1 ] 上的可积性以及函数 和∞→n )(xf )( 2 xf || x x 的 连续性，就有积分不等式 ∫∫ ≤ 1 0 2 1 0 || ff . 仿该例, 可得到均值不等式、用 Jensen 不等式法证明的某些不等式的积分形式 . 二 . 面积函数的导数 : 例 6 求 ∫ b a dxx dx d 2 sin 和 .sin 2 dtt dx d x a ∫ 例 7 求 和 ′ ? ? ? ? ? ? ∫ 10 2 x t dtarctgte .sin 2 0 ∫ x dtt dx d 113 例 8 求 ∫ > t t t x dx dt d 3 2 1 , ln . 例 9 设 时函数 连续且 . 求 . ( =0≥x )(xf ∫ = 2 0 3 )( x xdttf )(xf )(xf x 2 3 ) 例 10 设函数 连续且 . 求 和 . )(xf ∫ ? += 1 0 3 )( x cxdttf c )7(f 解 令 . 两端求导, = 1 , 1 ?=?= cx ? )7(f 12 1 . 例 11 设 . = . 试证明 : )(xf ∈ ],[ baC )(xF ∫ ∈? x a baxdttxtf ],[ , ))(( = . )(xF ′′ )(xf 证 = , ? )(xF ∫∫ ? x a x a dtttfdttfx )()( =?+=′ x a x a dttfxxfxxfdttfxF , )()()()()( ? )(xF ′′ = . )(xf 例 12 设函数 在区间 上连续且 >0. )(xf ) , 0 [ ∞+ )(xf ∫ ∫ = x x dttf dtttf x 0 0 )( )( )(? . 试证明: 函数 )(x? 在区间 内严格递增. ) , 0 ( ∞+ 证 )(x?′ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∫∫ ∫ xx x dtttfxfdttfxxf dttf 00 2 0 )()()()( )( 1 , 而 ∫∫ ∫∫∫ ?= ? ? ? ? ? ? ?=? xx xxx dttxtfxfdtttfdttxfxfdtttfxfdttfxxf 00 000 ))(()()()()()()()()( . )(xf >0 , 在 内 ，又),0( x 0))(( >?txtf ))(( txtf ? 连续 ， ， ? 在区间 内 ? ∫ >? x dttxtf 0 0))(( ) , 0 ( ∞+ )(x?′ >0 . 因此 )(x? 在区间 ) , 0 ( ∞+ 内严 格递增. 三 . 含有变限积分的未定型极限: 例 13 求极限 ∫ ∫ → x x x tdt dttx 0 0 2 0 sin cos lim . ( 2 ) 四 . 定积分的计算 : 114 例 14 计算积分 ∫ ? π θθ 2 0 2 cos1 d . 例 15 计算积分 = . )(xf ∫ ? 1 0 || dttxt 解 时, =1>x )(xf ∫ ?=? 1 0 3 1 2 )( x dttxt ; 时, =0<x )(xf ∫ ?=? 1 0 23 1 )( x dtxtt ; 10 ≤≤ x 时, =)(xf ∫∫ =?+? x x x dtxttdttxt 0 1 3 3 )()( 3 1 2 +? x . 因此, ? ? ? ? ? ? ? ? ? >? ≤≤+? <? = . 1 , 3 1 2 , 10 , 323 1 ,0 , 23 1 )( 3 x x x xx x x xf 例 16 利用积分 ∫ = 2 0 sin π xdxJ n n 的值 ( 参阅§4 例 15 或 [1]P306 E8 ), 计算积分 . ∫ = π 0 sin xdxxI n n 解 ∫ ???===== ?= 0 )(sin)( π π ππ duuuI n ux n ∫ =?= π π 0 sin)( uduu n . ∫∫ ∫ ?=?= ππ π ππ 00 0 sinsinsin n nnn Iuduuduuudu ? ∫∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +== π π π π ππ 0 2 0 2 sinsin 2 sin 2 uduxdxuduI nnn n , 而 ∫∫∫ =??===== ?= 0 2 2 0 2 sin)(sinsin π π π π π π xdxdxxudu nn xu n , ? nnnn JJJI π π =+= )( 2 . 115 因此， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = . , !! !)!1( , , 2!! !)!1( 2 为奇数 为偶数 n n n n n n I n π π 例 17 , 求 ( 2 ) x xexf =+ )12( ∫ 5 3 .)( dttf 2 e 例 18 设 是区间 上连续的偶函数。试证明 : )(xf ] , [ TT? ) 0 ( >T )(xΦ = ∫ x dttf 0 )( 是 上的奇函数 . ] , [ TT? 证法 一 . ?==")(xΦ 证法 二 注意到 , 有 ∫∫ ? = x x x dttfdttf 0 )(2)( = =)( x?Φ ∫ ?x dttf 0 )( ?=?=?=?=+ ∫∫∫∫∫∫∫ ? ? xxxx x xx x x 00000 2 )(xΦ . 五 . 利用定积分求和式极限 : 参阅[3] P162 — 168 . 原理 : 例 19 求极限 ∑ = ∞→ + n i n in i 1 22 lim . （ 与§1 例 2 连系 .） 例 20 求极限 n n k n n k 1 1 1 1lim ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ∏ ? = ∞→ . 解 ln n n k n k 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ∏ ? = = ln n n k n k 1 1 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ∏ ? = = ∑ ? = ? ? ? ? ? ? + 1 0 1ln 1 n k n k n . 由函数 在区间 [ 0 , 1 ] 上可积 , 有 )1ln( x+ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ∏ ? = ∞→ n n k n n k 1 1 1 1lnlim ∑ ? = ∞→ ? ? ? ? ? ? ? + 1 0 1 1lnlim n k n nn k = e dxx 4 ln12ln2) 1 ln( 1 0 =?=+ ∫ . n n k n n k 1 1 1 1lim ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ∏ ? = ∞→ e 4 = . 例 21 求极限 ∞→n lim )21( 21 333 444 nn n +++ +++ " " . [3]P167 E19 116 解 )21( 21 333 444 nn n +++ +++ " " = ∑ ∑ = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n i n i n i nn n i n 1 3 3 1 4 4 = ∑ ∑ = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n i n i nn i nn i 1 3 1 4 1 1 . ∞→n lim ∑ ∫ = ==? ? ? ? ? ? ? n i dxx nn i 1 1 0 4 4 5 11 , ∞→n lim ∑ ∫ = ≠==? ? ? ? ? ? ? n i dxx nn i 1 1 0 3 3 0 4 11 . 因此 , ∞→n lim )21( 21 333 444 nn n +++ +++ " " 5 4 = . 例 22 试证明: 对任何 , 有不等式 + ∈Zn nnnn + ++ + + + 1 2 1 1 1 " < . 2ln 证 nnnn + ++ + + + 1 2 1 1 1 "= ∑ = ? + n k n n k 1 1 1 1 是函数 =)(xf x+1 1 在区间[ 0 , 1 ] 上相应 于 等分分法 的小和 . 由函数 =n n T )( n Ts )(xf x+1 1 在区间[ 0 , 1 ] 上可积, 有 时 , ↗ ∞→n )( n Ts ∫∫ = + = 1 0 1 0 2ln 1 )( x dx dxxf . 又易见 ↗↗. ? 对任何 , 有 )( n Ts n )( n Ts < , 即 2ln nnnn + ++ + + + 1 2 1 1 1 " < . 2ln 117