Ch 3 极限续论（实数基本定理） 计划课时：12 课时 P 95-119 2004． 12． 08. Ch 3 实数基本定理 （ 1 2 时） § 0 连续统假设简介 （ 2 时 ） 一、 数的发展简史 1．自然数的产生 : 十九世纪数学家 Leopold Kronecker 说: 上帝创造了整数, 其余 则是我们人类的事了. 2． 从自然数系到有理数系 : 3． 算术连续统假设的建立及其破灭: 不可公度性的发现及其深远影响. Pythagoras （约在纪元前六世纪）， Hippasus， Leonardo da Vinci 称为“无 理的数”. Eudoxus , Euclid. 4． 微积分的建立: Newton , Leibniz ; Euler , Lagrange , D′Alembert , Laplace ; Voltaire , B. Berkeley . 十九世纪分析学理论的重建工作: B.Bolzano , A.Cauchy , Abel , Dirichlet, Weierstrass . Archimedes 数域. 5． 实数系的建立: 十九世纪后半叶由 Weierstrass , Meray , Dedekind , Cantor 等完成. 二、 连续统假设: 1 连续统假设: 以 Cantor 实数为例做简介. Cauchy ( 1789—1857, 法 ), Bolzano (1781—1845 ), Cantor ( 1829—1920 ).在他们的著作中表现了实数连续性的观点. 1900 年, 哥庭根大学教授 Hilbert( 1862—1943, 德 )在巴黎国际数学家代表大会上 的致辞中 , 提出了二十三个研究课题 ,其中的第一题就是所谓 连续统假设. 首当其 冲的是关于连续统观点的算术陈述.( 参阅 D.J.斯特洛伊克著《数学简史》 P160— 161 ).连续统假设的研究现况. 三、 实数基本定理: 连续统假设的等价命题. 共有九个定理, 我们介绍其中的七个. 另外还有上、下极限 定理和实数完备性定理. § 1 实数基本定理的陈述 （ 4 时 ） 一、 确界存在定理： 回顾确界概念． Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 二、 单调有界原理 : 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三、 Cantor 闭区间套定理 : 1．区间套 : 设 是一闭区间序列. 若满足条件 } ] , [ { nn ba ⅰ> 对 , 有 , 即 n ? ] , [ 11 ++ nn ba ? ] , [ nn ba nnnn bbaa ≤<≤ ++ 11 , 亦即后 一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; ⅱ> . 即当,0→? nn ab )( ∞→n ∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间 序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、 缩、套” 区间列 .区间套还可表达为: , 1221 bbbaaa nn ≤≤≤≤<≤≤≤≤ nullnullnullnull ,0→? nn ab . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减.例如 )( ∞→n } { n a } { n b } { n a } { n b } ] 1 , 1 [ { nn ? 和 } ] 1 , 0 [ { n 都是区间套. 但 } ] 2 1 , ) 1 ( 1 [ { nn n + ? + 、 } ] 1 , 0 ( { n 和 } ] 1 1 , 1 [ { nn +? 都不是. 2． Cantor 区间套定理 : Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点} ] , [ { nn ba ξ ,使对 n ? 有 ∈ξ ] , [ nn ba . 简言之, 区间套必有唯一公共点 . 四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 : 1．基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为 Cauchy 列. 例 1 验证以下两数列为 Cauchy 列 : ⑴ nn n x 9.0sin9.09.0sin9.09.0sin9.0 2 +++= null . ⑵ 12 ) 1 ( 5 1 3 1 1 1 ? ? +?+?= + n a n n null . 解 ⑴ ≤++=? ++ ++ + | 9.0sin9.09.0sin9.0| || 11 pnpn nn npn xx null <++≤ ++ 9.09.0 1 pnn nullnullnull +++ ++ 9.09.0 1 pnn 1 1 9.010 9.01 9.0 + + ×= ? = n n ; 对 0>?ε ，为使 ε || <? + npn xx ，易见只要 9.0lg 10 lg 1 ε >+n .于是取 nullnull =N . ⑵ 1)(2 )1( 32 )1( 12 )1( || 132 ?+ ? ++ + ? + + ? =? ++++ + pnnn aa pnnn npn null 71 1)(2 )1( 32 1 12 1 1 ?+ ? ++ + ? + = + pnnn p null . 当 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 p = ?+ ?+ + ? + 1)(2 1 32 1 12 1 pnnn null 0 1)(2 1 3)(2 1 72 1 52 1 32 1 12 1 ≥ ? ? ? ? ? ? ? ? ?+ ? ?+ ++ ? ? ? ? ? ? + ? + + ? ? ? ? ? ? + ? + pnpnnnnn null , 又 = ?+ ?+ + ? + 1)(2 1 32 1 12 1 pnnn null ≤ ?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+ ? ?+ ?? ? ? ? ? ? ? + ? + ? + = 1)(2 1 3)(2 1 5)(2 1 52 1 32 1 12 1 pnpnpnnnn null 12 1 + ≤ n . 当 为奇数时 , p = ?+ ?+ + ? + 1)(2 1 32 1 12 1 pnnn null 0 1)(2 1 3)(2 1 5)(2 1 32 1 12 1 ≥ ?+ + ? ? ? ? ? ? ? ? ?+ ? ?+ ++ ? ? ? ? ? ? + ? + = pnpnpnnn null , = ?+ ?+ + ? + 1)(2 1 32 1 12 1 pnnn null 12 1 1)(2 1 3)(2 1 52 1 32 1 12 1 + ≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ?+ ? ?+ ?? ? ? ? ? ? ? + ? + ? + = npnpnnnn null . 综上 , 对任何自然数 , 有 p 12 1 1)(2 )1( 32 1 12 1 0 1 + ≤ ?+ ? ++ + ? + ≤ + npnnn p null n 1 < . …… Cauchy 列的否定: 例 2 ∑ = = n k n k x 1 1 . 验证数列 不是 Cauchy 列. }{ n x 证 对 , 取n? np = , 有 2 1 2 1 2 1 1 1 || => + ++ + + + =? + n n nnnn xx npn null . 因此, 取 2 1 0 =ε ,…… 2． Cauchy 收敛原理: 72 Th 4 数列 收敛 是 Cauchy 列. } { n a ? } { n a ( 要求学生复习函数极限、函数连续的 Cauchy 准则，并以 Cauchy 收敛原理为依据， 利用 Heine 归并原则给出证明 ) 五 . 致密性定理 : 数集的聚点 (亦称为接触点) : 定义 设 E 是无穷点集. 若在点 ξ (未必属于 E )的任何邻域内有 E 的无穷多个点 , 则称点 ξ 为 E 的一个聚点 .数集 E = } 1 { n 有唯一聚点 , 但0 E?0 ; 开区间 的 全体聚点之集是闭区间 ; 设 Q是 中全体有理数所成之集, 易见 的聚 点集是闭区间 . ) 1 , 0 ( ] 1 , 0 [ ] 1 , 0 [ Q ] 1 , 0 [ 1． 列紧性 : 亦称为 Weierstrass 收敛子列定理. Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列 . 2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理. Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点 . 六． Heine–Borel 有限复盖定理: 1． 复盖 : 先介绍区间族 } , { Λ∈= λ λ IG . 定义 ( 复盖 ) 设 E 是一个数集 , G 是区间族 . 若对 ?Λ∈?∈? , , λEx λ Ix∈ , 则称区间族 G 复盖了 E , 或称区间族 是数集 G E 的一个复盖 . 记为 . , Λ∈? λ λ λ IE ∪ , ) , ( { 若每个 都是开区间, 则称区间族 G 是开区间族 . 开区间族常 记为 λ I } , ∈<= α β α β λ Λ λλλλ M . 定义 ( 开复盖 ) 数集 E 的一个开区间族复盖称为 E 的一个开复盖 , 简称为 E 的一 个复盖. 子复盖、有限复盖、有限子复盖. 例 1 } ) 1 , 0 ( ), 2 3 , 2 ( { ∈= x xx M 复盖了区间 , 但不能复盖 ; ) 1 , 0 ( ] 1 , 0 [ } ) , ( , ) 2 , 2 ( { bax xb x xb xH ∈ ? + ? ?= 复盖 , 但不能复盖 . ) , [ ba ] , [ ba 2． Heine–Borel 有限复盖定理 : Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖. § 1（附加） 实数基本定理等价性的证明 （ 4 时 ） 证明若干个命题等价的一般方法 .本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明 按以下三条路线进行: 73 Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套定理 ? Cauchy 收敛准则 确 界原理 ; ? ? ? Ⅱ: 区间套定理 ? 致密性定理 ? Cauchy 收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理 ? Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 . ? 一 . “ Ⅰ ” 的证明: (“ 确界原理 单调有界原理” 已证明过 ). ? 1． 用“确界原理”证明“单调有界原理”: Th 2 单调有界数列必收敛 .（证） 2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点} ] , [ { nn ba ξ ,使对 n ? 有 ∈ξ ] , [ nn ba . （证） 系 1 若 ∈ξ ] , [ nn ba 是区间套 确定的公共点 , 则对} ] , [ { nn ba 0>?ε , ,N? 当 时, 总有Nn > ] , [ nn ba ) , ( εξ∪? . 系 2 若 ∈ξ ] , [ nn ba 是区间套 确定的公共点, 则有 ↗} ] , [ { nn ba n a ξ , ↘ n b ξ , . ) ( ∞→n 3. 用“区间套定理”证明“ Cauchy 收敛准则”: Th 4 数列 收敛 是 Cauchy 列. } { n a ? } { n a 引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 ) Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书 P217—218 上的证明留作阅读 . 现采用 [3]P70—71 例 2 的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观. 4．用“ Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ： Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 证 （只证“非空有上界数集必有上确界” ）设 E 为非空有上界数集 . 当 E 为有限 集时 , 显然有上确界 . 下设 E 为无限集, 取 不是 1 a E 的上界, 为 1 b E 的上界. 对分区间 , 取 , 使 不是] , [ 11 ba ] , [ 22 ba 2 a E 的上界, 为 2 b E 的上界. 依此得闭区 间列 . 验证 为 Cauchy 列, 由 Cauchy 收敛准则, 收敛; 同理 收敛. 易见 ↘. 设 ↘ } ] , [ { nn ba } { n b } { n b } { n a n b n b β .有 ↗ n a β .下证 β=Esup .用反证法验证 β 的 上界性和最小性. 二、 “ Ⅱ ” 的证明: 1．用“区间套定理”证明“ 致密性定理 ”: Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列 . 证 （ 突出子列抽取技巧 ） Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点 . 74 证 （ 用对分法 ） 2．用“ 致密性定理 ” 证明“ Cauchy 收敛准则” ： Th 4 数列 收敛 是 Cauchy 列. } { n a ? } { n a 证 （ 只证充分性 ）证明思路 ： Cauchy 列有界 → 有收敛子列 →验证收敛子列 的极限即为 的极限. } { n a 三、 “ Ⅲ ” 的证明: 1．用“区间套定理”证明“ Heine–Borel 有限复盖定理”: （证） 2．用“ Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”: 证 采用 [3]P72 例 4 的证明 . Ex P109 . § 2 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 ) 一、有界性: Th 1 , 在 上] , [)( baCxf ∈ ? ] , [ ba )(xf = ) 1 (O . 证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 证法 二 ( 用列紧性 ) . 反证法. 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 二、最值性: Th 2 , 在 上取得最大值和最小值. ] , [)( baCxf ∈ ? )(xf ] , [ ba 证 ( 用确界原理 ) 三、介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”. Th 3 ( 零点定理 ) 证法 一 ( 用区间套定理 ) . 证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 ,0)( >af 0)( <bf . 令 , 则} ] , [ , 0)( | { baxxfxE ∈>= E 非空有界, ? E 有上确界. 设 Esup=ξ ,有 ∈ξ ] , [ ba . 现证 0)( =ξf , ( 为此证明 )(ξf 0≥ 且 )(ξf 0≤ ). 取 > n x ξ 且 n x ) ( , ∞→→ nξ . 由 在点)(xf ξ 连续和 0)( ≤ n xf , ? 0)(lim)( ≤= ∞→ n n xff ξ , ? ξ E? . 于是 ) ( , ∞→→?∈? ntEt nn ξ . 由 在点 )(xf ξ 连续和 , 0)( > n tf ? 0)(lim)( ≥= ∞→ n n tff ξ . 因此只能有 0)( =ξf . 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 四、反函数连续性定理 Th 4 （反函数连续性定理） 五、一致连续性 : Th 5 ( Cantor 定理 ) 75 证法 一 ( 用区间套定理 ) . 参阅[1] P229—230 [ 证法一 ] 证法 二 ( 用列紧性 ). 参阅[1] P229—230 [ 证法二 ] Ex P119. 习题课 （ 4 时 ） 一、实数基本定理互证举例： 例 1 用“区间套定理”证明“单调有界原理”. 证 设数列 递增有上界. 取闭区间 , 使 不是 的上界, 是 的上界. 易见在闭区间 内含有数列 的无穷多项, 而在 外仅含有 的有限项. 对分 , 取 使有 的性质.…….于 是得区间套 ,有公共点 } { n x ] , [ 11 ba 1 a } { n x 1 b } { n x ] , [ 11 ba } { n x ] , [ 11 ba } { n x ] , [ 11 ba ] , [ 22 ba ] , [ 11 ba ] , [ { nn ba } ξ . 易见在点 ξ 的任何邻域内有数列 的无 穷多项而在其外仅含有 的有限项, ? } { n x } { n x ξ= ∞→ n n xlim . 例 2 用“确界原理”证明“区间套定理”. 证 为区间套. 先证每个 为数列 的下界, 而每个 为数列的 上界. 由确 界原理 , 数列 有上确界, 数列 有下确界 . 设 ] , [ { nn ba } m a } { n b m b } { n a } { n a } { n b inf=α } { n b , sup=β } { n a .易见有 nn ba ≤≤α 和 nn ba ≤≤ β . 由 ，) ( , 0 ∞→→? nab nn βα =? . 例 3 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”. 证 ( 用反证法 ) 设 为有界无限点集 , . 反设 的每一点都 不是 的聚点, 则对 , 存在开区间 S ] , [ baS ? ] , [ ba S ∈?x ] , [ ba ) , ( xx βα , 使在 ) , ( xx βα 内仅 有 的有限个点. …… . S 例 4 用“确界原理”证明“聚点原理” . 证 设 为有界无限点集. 构造数集 S ExE | {= 中大于 x的点有无穷多个 }.易见 数集 E 非空有上界, 由确界原理, E 有上确界. 设 Esup=β . 则对 0 >?ε ,由 εβ ? 不是 E 的上界, ? E 中大于 εβ ? 的点有无穷多个; 由 εβ + 是 E 的上界 ,? E 中大于 εβ + 的点仅有有限个. 于是, 在 ) , ( εβεβ +? 内有 E 的无穷多个点,即 β 是 E 的一个聚点 . 二、 实数基本定理应用举例： 例 1 设 是闭区间 上的递增函数, 但不必连续 . 如果)(xf ] , [ ba 76 aaf ≥)( , , 则 , 使bbf ≤)( ∈? 0 x ] , [ ba 00 )( xxf = . ( 山东大学研究生入学 试题 ) 证法 一 ( 用确界技术 . 参阅 [3] P76 例 10 证法 1 ) 设集合 } , )( | { bxaxxfxF ≤≤≥= . 则 , 不空 ; ,F 有界 . 由确界原理 , 有上确界. 设 , 则 Fa∈ F F ? ] , [ ba F Fx sup 0 = ∈ 0 x ] , [ ba .下证 00 )( xxf = .ⅰ> 若 , 有 ; 又∈ 0 x F 00 )( xxf ≥ bbfxf ≤≤ )()( 0 , 得 ∈)( 0 xf ] , [ ba . 由 递增 和 , 有 , 可见 )(xf 00 )( xxf ≥ ≥))(( 0 xff )( 0 xf )( 0 xf ∈ F . 由 Fx sup 0 = , . 于是 , 只能有 .ⅱ> 若 ? )( 0 xf 0 x≤ 00 )( xxf = ? 0 x F , 则存在 内的数列 , 使 ↗ , ; 也存在数列 , F } { n x n x 0 x ) ( ∞→n } { n t , 0 btx n ≤< ↘ , n t 0 x ) ( ∞→n . 由 递增, 以及 , 就有式f Fx n ∈ n t F? nnnn ttfxfxfx <≤≤≤ )()()( 0 对任何 成 立 . 令 , 得 于是有 n ∞→n ,)( 000 xxfx ≤≤ 00 )( xxf = . 证法二 ( 用区间套技术, 参阅 [3] P77 例 10 证法 2 ) 当 aaf =)( 或 时 , 或 就是方程 在 上的实根 . 以下总设 bbf =)( a b xxf =)( ] , [ ba bbfaaf <> )( ,)( . 对 分区间 , 设分点为 . 倘有 , 就是方程] , [ ba c ccf =)( c xxf =)( 在 上的实 根.( 为行文简练计, 以下总设不会出现这种情况 ) . 若 , 取 ] , [ ba ccf >)( bbca == 11 , ; 若 , 取 , 如此得一级区间 . 依此构造区间套 , 对 ,有 ccf <)( cbaa == 11 , ] , [ 11 ba ] , [ { nn ba } n ? nnnn bbfaaf <> )( , )( . 由区间套定理, 0 x? , 使对任 何 ,有 . 现证 . 事实上, 注意到n ] , [ 0 nn bax ∈ 00 )( xxf = ∞→n 时 ↗ 和 ↘ 以及 递增, 就有 n a 0 x n b 0 x f nnnn bbfxfafa <≤≤< )()()( 0 .令 , 得 于是有 ∞→n ,)( 000 xxfx ≤≤ 00 )( xxf = . 例 2 设在闭区间 上函数 连续, 递增 , 且有 , . 试证明 : 方程 ] , [ ba )(xf )(xg )()( agaf < )()( bgbf > )()( xgxf = 在区间 内有实 根 . 西北师大 2001 年硕士研究生入学试题 ） ) , ( ba 证 构造区间套 ,使 ] , [ { nn ba } )()( , )()( nnnn bgbfagaf >< .由区间套定 理, ξ ? , 使对 , 有n ? ξ ∈ ] , [ nn ba . 现证 )()( ξξ gf = . 事实上, 由 在 )(xg 77 ] , [ ba 上的递增性和 的构造以及 ↗] , [ nn ba n a ξ 和 ↘ n b ξ ,, 有 )()( )g( )()( nnnn bfbgagaf <≤≤< ξ .注意到 在点)(xf ξ 连续，由 Heine 归并 原则, 有 )()(lim ξfaf n n = ∞→ , ).()(lim ξfbf n n = ∞→ ? )()()( ξξξ fgf ≤≤ , ? )()( ξξ gf = . ξ 为方程 在区间 内的实根. )()( xgxf = ) , ( ba 例 3 试证明: 区间 上的全体实数是不可列的 . ] 1 , 0 [ 证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间 上的全体实数是可列的 , 即可排成一列: 把区间 三等分，所得三个区间中至少有一 个区间不含 ，记该区间为一级区间 . 把区间 三等分，所得三个区 间中至少有一个区间不含 ，记该区间为二级区间 . …… .依此得区间套 , 其中区间 不含 . 由区间套定理, ] 1 , 0 [ nullnull ,,,, 21 n xxx ] 1 , 0 [ 1 x ] , [ 11 ba ] , [ 11 ba 2 x ] , [ 22 ba ] , [ { nn ba } ] , [ nn ba n xxx ,,, 21 null ξ ? , 使对 , 有n ? ξ ∈ ] , [ nn ba . 当然有 ξ ∈ ] 1 , 0 [ .但对 , n? 有 ? n x ] , [ nn ba 而 ξ ∈ ] , [ nn ba , ? ξ≠ n x . 矛盾 . 78