Ch 5 微分学的基本定理及其应用 计划课时： 16 学时 P174—235 2004． 11． 05. § 1 中值定理 （ 3时 ） 一、 极值概念： 1．极值： 图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2．可微极值点的必要条件 : Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. 二 . 微分中值定理: 1. Rolle 中值定理 : 叙述为 Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性. 2．Lagrange 中值定理 : 叙述为 Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理 . 也可用几何直观引进辅助函数. Lagrange 中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 系 1 函数 在区间 I 上可导且 为 I 上的常值函数. ( 证) )(xf )( ,0)( xfxf ?≡′ 系 2 函数 和 在区间 I 上可导且 )(xf )(xg ,)()( ),()( cxgxfxgxf +=?′≡′ .I∈x 系 3 设函数 在点 的某右邻域 上连续, 在 内可导. 若 存在, 则右导数 也存在, 且有 )(xf 0 x )( 0 x + ∪ )( 0 x + null ∪ )0()(lim 0 0 +′=′ + → xfxf xx )( 0 xf + ′ ).0()( 00 +′=′ + xfxf (证) 但是, 不存在时, 却未必有 不存在. 例如对函数 )0( 0 +′ xf )( 0 xf + ′ ? ? ? ? ? = ≠ = .0 ,0 ,0 , 1 sin )( 2 x x x x xf 虽然 不存在, 但 却在点 可导( 可用定义求得)00( +′f )(xf 0=x 0)0( =′f ). Th ( 导数极限定理 ) 设函数 在点 的某邻域 内连续, 在 内 可导. 若极限 存在, 则 也存在, 且 )(xf 0 x )( 0 x∪ )( 0 x null ∪ )(lim 0 xf xx ′ → )( 0 xf ′ ).(lim)( 0 0 xfxf xx ′=′ → ( 证 ) 由该定理可见, 若函数 在区间 I 上可导 , 则区间 I 上的每一点, 要么是导函数 的连续点, 要么是 的第二类间断点. 这就是说, 当函数 在区间 I 上 点点可导时, 导函数 在区间 I 上不可能有第二类间断点. )(xf )(xf ′ )(xf ′ )(xf )(xf ′ 系 4 ( 导函数的介值性 ) 若函数 在闭区间 上可导, 且f ],[ ba ,0)()( <′′ ?+ bfaf .0)( ),,( =′?∈?? ξξ fba ( 证 ) Th ( Darboux ) 设函数 在区间 上可导且)(xf ],[ ba )()( bfaf ′≠′ . 若 为介于 与 之间的任一实数, 则 k )(af ′ )(bf ′ .)( ),,( kfba =′?∈? ξξ （设 对辅助函数),()( afkbf ′<<′ kxxfxF ?= )()( , 应用系 4 的结果. ( 证 ) ） 3．Cauchy 中值定理 : Th 3 设函数 和f g 在闭区间 上连续, 在开区间 内可导, ],[ ba ),( ba f ′和 g′在 内不同时为零, 又 则在 内至少存在一点 ),( ba ).()( bgag = / ),( ba ,ξ 使 )()( )()( )( )( agbg afbf g f ? ? = ′ ′ ξ ξ . 证 分析引出辅助函数 ?= )()( xfxF )()( )()( agbg afbf ? ? )(xg . 验证 在 上满 足 Rolle 定理的条件, )(xF ],[ ba ?∈?? ),,( baξ ?′=′ )()( ξξ fF )()( )()( agbg afbf ? ? .0)( =′ ξg 必有 0)( = / ′ ξg , 因为否则就有 0)( =′ ξf .这与条件“ f ′和 g′在 内不同时为 零”矛盾. ),( ba nullnull ? Cauchy 中值定理的几何意义. Ex [1]P179 1—4 ； 三． 中值定理的简单应用: ( 讲 1 时 ) 1. 证明中值点的存在性 : 参阅 [3]P104. 例 1 设函数 在区间 上连续, 在 内可导, 则f ],[ ba ),( ba ),( ba∈?ξ , 使得 )()( afbf ? )(ln ξξ f a b ′?= . 证 在 Cauchy 中值定理中取 . xxg ln)( = 例 2 设函数 在区间 上连续 , 在 内可导, 且有f ],[ ba ),( ba 0)()( == bfaf .试证明: 0)()( ),,( =′??∈? ξξξ ffba . 2． 证明恒等式 : 原理. 例 3 证明 : 对 , 有 R∈?x 2 π =+arcctgxarctgx . 例 4 设函数 和 可导且 又 f g ,0)( ≠xf .0= ′′ gf gf 则 )()( xcfxg = .( 证明 0) ( =′ f g . ) 例 5 设对 , 有 , 其中R∈? , hx 2 |)()(| Mhxfhxf ≤?+ M 是正常数. 则函数 是常值函数. ( 证明 ). )(xf 0=′f 3． 证明不等式 : 原理. 例 6 证明不等式: 时, 0>h harctgh h h << + 2 1 . 例 7 证明不等式: 对 ，有 n? nnn 1 ) 1 1 ln( 1 1 <+< + . 4. 证明方程根的存在性 : 例 8 证明方程 在0cossin =+ xxx ),0( π 内有实根. 例 9 证明方程 在 内有实根. cbacxbxax ++=++ 234 23 ) 1 , 0 ( Ex [1]P163—164 § 2 Taylor 公式 ( 3 时 ) 一 . 问题和任务 : 用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近到要求的精度. 二 . Taylor( 1685—1731 ) 多项式 : 定义 Taylor 多项式 及 Maclaurin 多项式 ( )(xP n ) 例 1 求函数 在点 的 Taylor 多项式. 24)( 23 +?= xxxf 2 0 =x 三 . Taylor 公式和误差估计 : 称 为余项. 称给出 的定量或定性描述的式)()()( xPxfxR nn ?= )(xR n 51 )()()( xRxPxf nn += 为函数 的 Taylor 公式. )(xf 1. 误差的定量刻画 ( 整体性质 ) —— Taylor 中值定理 : Th 1 设函数 满足条件: f ⅰ> 在闭区间 上 有直到 阶连续导数; ],[ ba f n ⅱ> 在开区间 内 有 阶导数. ),( ba f 1+n 则对 ),,( ),,( babax ∈?∈? ξ 使 +?++? ′′ +?′+= n n ax n af ax af axafafxf )( ! )( )( !2 )( ))(()()( )( 2 null 1 )1( )( )!1( )( + + ? + + n n ax n f ξ ∑ = +?= n k k k ax k af 0 )( )( ! )( 1 )1( )( )!1( )( + + ? + n n ax n f ξ . 证 [1]P188—189. 称这种形式的余项 为 Lagrange 型余项. 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为 具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式. Lagrange 型余项还可写为 )(xR n ,)( )!1( ))(( )( 1 )1( + + ? + ?+ = n n n ax n axaf xR θ ) 1 , 0(∈θ . 0=a 时, 称上述 Taylor 公式为 Maclaurin 公式, 此时余项常写为 ,)( )!1( 1 )( 1)1( ++ + = nn n xxf n xR θ 10 <<θ . 关于 Taylor公式中 Lagrange型余项的进一步讨论可参阅: Alfono, G. Azpeitia, On the Lagrange remeinder of the Taylor formula.Amer. Math. Monthly, 89(1982). Ex [1]P192 2． 误差的定性描述( 局部性质 ) —— Peano 型余项: Th 2 若函数 在点 的某邻域 内具有f a ∪ )(a 1?n 阶导数, 且 存在, 则 )( )( af n +?++? ′′ +?′+= n n ax n af ax af axafafxf )( ! )( )( !2 )( ))(()()( )( 2 null ( ) n ax )( ?null , 证 设 , . 应用)()()( xPxfxR nn ?= n axxG )()( ?= L′Hospital 法则 1?n 次, 并 注意到 存在, 就有 )( )( af n ===== ? ? →→ )( )( lim )( )( lim )1( )1( 0 0 xG xR xG xR n n n ax n ax )(2)1( ))(()()( lim )()1()1( axnn axafafxf nnn ax ?? ??? ?? → null = 0)( )()( lim ! 1 )( )1()1( = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ?? → af ax afxf n n nn ax . 称 ( ) n n axxR )()( ?= null 为 Taylor 公式的 Peano 型余项, 相应的 Maclaurin 公式的 Peano 型余项为 . 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为 具 Peano 型余项的 Taylor 公式( 或 Maclaurin 公式 ). )()( n n xxR null= 四 . 函数的 Taylor 公式( 或 Maclaurin 公式 )展开: 1. 直接展开: 例 2 求 的 Maclaurin 公式 . x exf =)( 52 解 ) 10 ( , )!1(!!2!1 1 1 2 << + +++++= + θ θ n xn x x n e n xxx e null . 例 3 求 的 Maclaurin 公式 . xxf sin)( = 解 )( )!12( ) 1 ( !5!3 sin 2 12 1 53 xR m xxx xx m m m + ? ?+?+?= ? ? null , 10 ,) 2 1 (sin )!12( )( 12 2 << ? ? ? ? ? ? ++ + = + θπθ mx m x xR m m . 例 4 求函数 的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . )1ln()( xxf += 解 )!1() 1()0( , )1( )!1( ) 1()( 1)(1)( ??= + ? ?= ?? nf x n xf nn n nn . )() 1( 32 )1ln( 1 32 n n n x n xxx xx nullnull +?+?+?=+ ? . 例 6 把函数 展开成含 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . tgxxf =)( 5 x 2. 间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式. 例 6 把函数 展开成含 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 2 sin)( xxf = 14 x 解 ) ( !7!5!3 sin 7 753 x xxx xx null+?+?= , ) ( !7!5!3 sin 14 14106 22 x xxx xx null+?+?= . 例 7 把函数 展开成含 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . xxf 2 cos)( = 6 x 解 ) ( !6!4!2 1cos 6 642 x xxx x null+?+?= , ), ( !6 2 !3 4 212cos 6 664 2 x xx xx null+?+?= ( 注意, 0 ),()( ≠= kxkx nullnull ) ∴ ) ( !6 2 !3 2 1)2cos1( 2 1 cos 6 654 22 x xx xxx null+?+?=+= . 例 8 先把函数 x xf + = 1 1 )( 展开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 利用得到的 展开式, 把函数 x xg 53 1 )( + = 在点 展开成具 Peano 型余项的 Taylor 公式. 2 0 =x 解 , )1( !)1( 1 )( + + ? = n n n x n f . !)1()0( )( nf nn ?= ); ()1(1)( 32 nnn xxxxxxf nullnull +?++?+?= 13 )2(5 1 1 13 1 )2(513 1 53 1 )( ? + = ?+ = + = x xx xg = ? ? ? ? ? ? ??+??+?? nnn xxx )2() 13 5 () 1()2() 13 5 ()2( 13 5 1 13 1 22 null + ( ).)2( n x?null 例 9 把函数 展开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 ，并与 的相应展开式 进行比较. shx xsin 53 解 ), ( !!2!1 1 2 n n x x n xxx e nullnull +++++= )( ! )1( !2!1 1 2 n n nx x n xxx e nullnull +?+?+?= ; ∴ ) ( )!12(!5!32 12 1253 ? ?? + ? ++++= ? = m mxx x m xxx x ee shx nullnull . 而 ) ( )!12( )1( !5!3 sin 12 12153 ? ?? + ? ? +?+?= m mm x m xxx xx nullnull . 五 . Taylor 公式应用举例 : 1. 证明 是无理数 : e 例 10 证明 是无理数. e 证 把 展开成具 Lagrange 型余项的 Maclaurin 公式 , 有 x e 10 , )!1(! 1 !3 1 !2 1 11 << + ++++++= ξ ξ n e n e null . 反设 是有理数, 即e p q p e ( = 和 为整数), 就有 q =en! 整数 + 1+n e ξ . 对 q p nenqn ?=>? !! , 也是整数. 于是 , ??= + q p n n e ! 1 ξ 整数 = 整数―整数 = 整数. 但由 因而当 时，,30 ,10 <<<?<< ee ξ ξ 3>n 1+n e ξ 不可能是整数. 矛盾. 2． 计算函数的近似值 : 例 11 求 精确到 的近似值. e 000001.0 解 10 , )!1(! 1 !3 1 !2 1 11 << + ++++++= ξ ξ n e n e null . 注意到 有 ,30 ,10 <<<?<< ee ξ ξ )!1( 3 ) 1 ( + ≤ n R n . 为使 000001.0 )!1( 3 < +n , 只要取 . 现取 , 即得数 e的精确到 的近似值为 9≥n 9=n 000001.0 718281.2 !9 1 !3 1 !2 1 11 ≈+++++≈ nulle . 3. 利用 Taylor 公式求极限: 原理: 54 例 12 求极限 ) 0 ( , 2 lim 2 0 > ?+ ? → a x aa xx x . 解 ) (ln 2 ln1 22 2 ln xa x axea axx null+++== , ) (ln 2 ln1 22 2 xa x axa x null++?= ? ; ). (ln2 222 xaxaa xx null+=?+ ? ∴ a x xax x aa x xx x 2 2 222 0 2 0 ln ) (ln lim 2 lim = + = ?+ → ? → null . 3． 证明不等式： 原理 . 例 13 证明: 时, 有不等式 . 0≠x xe x +>1 Ex [1]P192-193 §3 运用导数研究函数性态（ 6 时 ） 一、 可微函数单调性判别法： 1．单调性判法： Th 1 设函数 在区间 内可导. 则在 内 ↗ (或↘) )(xf ),( ba ),( ba )(xf ? 在 内 ( 或 ). ),( ba 0)( ≥′ xf 0≤ 证 )。 ?) ( 证 . ? 0)( ≥′ + xf ) Th 2 设函数 在区间 内可导. 则在 内 ↗↗( 或↘↘) )(xf ),( ba ),( ba )(xf ? ⅰ > 对 有 ( 或 ; ⅱ> 在 内任子区间上),,( bax∈? 0)( ≥′ xf )0≤ ),( ba .0)( ≡ / ′ xf 2． 单调区间的分离 : 的升、降区间分别对应)(xf )(xf ′ 的非负、非正值区间. 例 1 分离函数 的单调区间. xxxf ?= 3 )( 二、可微极值点判别法: 极值问题: 极值点, 极大值还是极小值, 极值是多少. 1．可微极值点的必要条件 : Fermat 定理( 表述为 Th3 ). 函数的驻点和( 连续但) 不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法. 2． 极值点的充分条件 : 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点. Th 4 (充分条件Ⅰ) 设函数 在点 连续, 在邻域)(xf 0 x ) , ( 00 xx δ? 和 ) , ( 00 δ+xx 内可导. 则 ⅰ > 在 ) , ( 00 xx δ? 内 ,0)( <′ xf 在 ) , ( 00 δ+xx 内 0)( >′ xf 时 , 为 的一个极小值点; ? 0 x )(xf ⅱ > 在 ) , ( 00 xx δ? 内 ,0)( >′ xf 在 ) , ( 00 δ+xx 内 0)( <′ xf 时 , 为 的一个极大值点; ? 0 x )(xf ⅲ > 若 在上述两个区间内同号, 则 不是极值点. )(xf ′ 0 x Th 5 (充分条件Ⅱ——“雨水法则”)设点 为函数 的驻点且 0 x )(xf )( 0 xf ′′ 存在.则 ⅰ> 当 时, 为 的一个极大值点; 0)( 0 <′′ xf 0 x )(xf ⅱ> 当 时, 为 的一个极小值点. 0)( 0 >′′ xf 0 x )(xf 55 证法一 . )( lim )()( lim)( 00 0 0 00 xx xf xx xfxf xf xxxx ? ′ = ? ′?′ =′′ →→ 当 0)( 0 <′′ xf 时, 在点 的 某空心邻域内 0 x 0 )( xx xf ? ′ )( ,0 xf ′?< 与 异号, …… 0 xx? 证法二 用 Taylor 公式展开到二阶, 带 Peano 型余项. Th 6 (充分条件Ⅲ ) 设 ,而 .则 0)()()( 0 )1( 00 ===′′=′ ? xfxfxf n null 0)( 0 )( ≠xf n ⅰ > n为奇数时, 不是极值点; 0 x ⅱ > n为偶数时, 是极值点. 且 对应极小; 对应极大. 0 x 0)( 0 )( >xf n 0)( 0 )( <xf n 例 2 求函数 3 2 )52()( xxxf ?= 的极值. [1] P190 E3 例 3 求函数 x xxf 432 )( 2 += 的极值. [1] P190 E4 3． 函数的最值 : 设函数 在闭区间 上连续且仅有有限个可疑点 . 则 = ; )(xf ],[ ba n xxx ,,, 21 null )(max ],[ xf bax∈ max } )(,),(),(),(),( { 21 n xfxfxfbfaf null . min)(min ],[ = ∈ xf bax } )(,),(),(),(),( { 21 n xfxfxfbfaf null 函数最值的几个特例 : ⅰ > 单调函数的最值: ⅱ> 如果函数 在区间 上可导且仅有一个驻点, 则当 为极大值点时, 亦为最大值点; 当 为极小值点时, 亦为最小值点. )(xf ],[ ba 0 x 0 x 0 x 0 x ⅲ> 若函数 在)(xf R 内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值 点. ⅳ> 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点. Ex [1]P 214—215 最值应用问题: B 1.5km A 1km 例 4 A、 B 两村距输电线（直线）分别为 和 （如图） ， 长 . 现 两村合用一台变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长 km1 km5.1 CD .3km BEAE + 最小. C Ex D 解 设 x如图，并设输电线总长为 .则有 )(xL .30 ,5.1)3(1)( 222 ≤≤+?++=+= xxxEBAExL 0 1 5.1)3( 1)3(5.1)3( )( 222 222 令 === +?+? +??+? =′ xx xxxx xL , ? 1)3(5.1)3( 222 +?=+? xxxx , .09625.1 2 =?+? xx 解得 和 ( 捨去 ). 答： …… 2.1=x 6?=x 四． 利用导数证明不等式: 我们曾在前面简介过用中值定理或 Taylor 公式证明不等式的一些方法. 其实, 利用导 数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅 [3]P112— 142 ). 本段仅介绍利用单调性 或极值证明不等式的简单原理. 1 ．利用单调性证明不等式 : 原理 : 若 ↗ , 则对f βα <? , 有不等式 )()( βα ff ≤ . 56 例 5 证明: 对任意实数 和 , 成立不等式 a b . 1 ||1 || ||1 b b a a ba ba + + + ≤ ++ + 证 取 ?> + =′≥ + = ,0 )1( 1 )( ).0( , 1 )( 2 x xfx x x xf 在 ) , 0 [ ∞+ 内 ↗↗.于 是, 由 , 就有 )(xf |||| || baba +≤+ ) |||| () || ( bafbaf +≤+ , 即 ||1 || ||1 || ||||1 || ||||1 || ||||1 |||| ||1 || b b a a ba b ba a ba ba ba ba + + + ≤ ++ + ++ = ++ + ≤ ++ + . 2. 不等式原理: [4]P169—171. 不等式原理: 设函数 在区间 上连续,在区间)(xf ) , [ ∞+a ) , ( ∞+a 内可导,且 ; 又 则 0)( >′ xf .0)( ≥af ax > 时, (不等式原理的其他形式.) .0)( >xf 例 6 证明: 2 1 >x 时, . 1)1ln( 2 ?>+ arctgxx 例 7 证明: 时, 0>x !3 sin 3 x xx ?> . 3．利用极值证明不等式: 例 8 证明: 时, . 0≠x xe x +>1 Ex [1]P 213— 215 1-20； 五、 凸性 拐点 Jensen 不等式 （ 2时 ） （一） 凸性的定义及判定： 1．凸性的定义： 由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义 设函数 在区间 上连续. 若对)(xf ],[ ba ],[, 21 baxx ∈? , 恒有 2 )()( 2 2121 xfxfxx f + ≥? ? ? ? ? ? + , ( 或 2 )()( 2 2121 xfxfxx f + ≤? ? ? ? ? ? + . ) 则称曲线 在区间 上是凹( 或凸) 的 . 若在上式中, 当)(xfy = ],[ ba 21 xx ≠ 时 , 有严格 不等号成立, 则称曲线 在区间 上是严格凹( 或严格凸) 的 . 凹和凸也分别 称为上凸和下凸. )(xfy = ],[ ba 凸性的几何意义 : 倘有切线, 与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向. 2． 利用二阶导数判断曲线的凸向 : Th 设函数 在区间 内存在二阶导数, 则在 内 )(xf ),( ba ),( ba ⑴ 在 内严格上凸; )( ,0)( xfxf ?<′′ ),( ba ⑵ 在 内严格下凸. )( ,0)( xfxf ?>′′ ),( ba 该判别法也俗称为“雨水法则”. 证法一 ( 用 Taylor 公式 ) 对 设),,(, 21 baxx ∈? 2 21 0 xx x + = , 把 在点 展 开成具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式 , 有 )(xf 0 x ,)( 2 )( ))(()()( 2 01 1 01001 xx f xxxfxfxf ? ′′ +?′+= ξ 2 02 2 02002 )( 2 )( ))(()()( xx f xxxfxfxf ? ′′ +?′+= ξ . 其中 1 ξ 和 2 ξ 在 与 之间. 注意到 1 x 2 x )( 0201 xxxx ??=? , 就有 [] 2 022 2 011021 ))(())(( 2 1 )(2)()( xxfxxfxfxfxf ?′′+?′′+=+ ξξ , 于是 若有 上式中 []?<′′ ,0)(xf )(2)()( ,0 021 xfxfxf <+?<null , 即 严格上凸. )(xf 57 若有 上式中 []?>′′ ,0)(xf )(2)()( ,0 021 xfxfxf >+?>null , 即 严格下凸. )(xf 证法二 ( 利用 Lagrange 中值定理 . ) 若 ,0)( >′′ xf 则有 )(xf ′ ↗↗, 不妨设 ,并设 2 1 xx < 2 21 0 xx x + = ,分别在区间 和 上应用 Lagrange 中值定理, 有 ],[ 01 xx ],[ 20 xx ))(()()( ),,( 10110011 xxfxfxfxx ?′=??∈? ξξ , ))(()()( ),,( 02202202 xxfxfxfxx ?′=??∈? ξξ . 有 ),()( , 2122011 ξξξξ ffxxx ′<′?<<<< 又由 0 0210 >?=? xxxx ， ? ))(( 101 xxf ?′ξ < ))(( 022 xxf ?′ξ , ? )()()()( 0210 xfxfxfxf ?<? ， 即 ? ? ? ? ? ? + =>+ 2 2)(2)()( 21 021 xx fxfxfxf ， 严格下凸. )(xf 可类证 的情况. 0)( <′′ xf 3． 凸区间的分离 : 的正、负值区间分别对应函数 的下凸和上凸区间. )(xf ′′ )(xf （二） 曲线的拐点: 拐点的定义. 例 1 确定函数 的上凸、下凸区间和拐点. [4] P154 E20 2 )( x xexf ? = 解 的定义域为 . 令 , 解得 f ), , ( ∞+∞? ),21()( 2 2 xexf x ?=′ ? 2 )32(2)( 2 x exxxf ? ?=′′ 0)( =′′ xf 2 3 , 0 , 2 3 321 ==?= xxx . 在区间 ) , 2 3 ( , ) 2 3 , 0 ( , ) 0 , 2 3 ( , ) 2 3 , ( ∞+??∞? 内 f ′′ 的符号依次为 +?+? , , , ， . 拐点为 : null ? . 2 3 , 2 3 , ) 0 , 0 ( , 2 3 , 2 3 2 3 2 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ee 倘若注意到本题中的 是奇函数, 可使解答更为简捷. )(xf （三） Jensen 不等式及其应用 : Jensen 不等式 : 设在区间 上恒有 ( 或],[ ba 0)( >′′ xf ) 0< , 则对 上的任意 n个 点 , 有 Jensen 不等式: ],[ ba )1( nkx k ≤≤ ∑ = ≥ n k k xf n 1 )( 1 ( 或 ? ? ? ? ? ? ≤ ∑ = n k k x n f 1 1 ) , 且等号当且仅当 n xxx === null 21 时成立. 证 令 ∑ = = n k k x n x 1 0 1 , 把 表为点 处具二阶 Lagrange 型余项的 Taylor 公式， 仿前述定理的证明，注意 ∑ 即得所证. )( k xf 0 x = =? n k k xx 1 0 ,0)( 对具体的函数套用 Jensen 不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证 明不等式的方法称为 Jensen 不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数 的严格单调性. 例 1 证明 : 对 有不等式 ,, R∈? yx )( 2 1 2 yx yx eee +≤ + . 例 2 证明均值不等式: 对 , 有均值不等式 + ∈? R n aaa ,,, 21 null 58 n aaa n 111 21 +++ null n aaa aaa n n n +++ ≤≤ null null 21 21 . 证 先证不等式 n aaa aaa n n n +++ ≤ null null 21 21 . 取 xxf ln)( = . 在 内严格上凸, 由 Jensen 不等式 , 有 )(xf ) , 0 ( ∞+ ∑∑∑∑∏ ===== ? ? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ? ≤== n k n k k n k kk n k k n n k k x n x n fxf n x n x 11111 1 ln 1 )( 1 ln 1 ln . 由 ↗↗ )(xf ? n aaa aaa n n n +++ ≤ null null 21 21 . 对 + ∈R n aaa 1 ,, 1 , 1 21 null 用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端. 例 3 证明: 对 R∈? n xxx ,,, 21 null , 有不等式 n xxx n xxx nn 22 2 2 121 +++ ≤ +++ nullnull . ( 平方根平均值 ) 例 4 设 ，证明 . 6=++ zyx 12 222 ≥++ zyx 解 取 , 应用 Jensen 不等式 . 2 )( xxf = 例 6 在⊿ 中, 求证 ABC 2 33 sinsinsin ≤++ CBA . 解 考虑函数 xxxfxxxf sin . 0 , 0 sin .0 ,sin)( ?<<?=′′≤≤= ππ 在区 间 ) , 0 ( π 内凹, 由 Jensen 不等式, 有 2 3 3 sin 33 )()()( 3 sinCsinBsinA == ? ? ? ? ? ? ++ ≤ ++ = ++ ∴ πCBA f CfBfAf . 2 33 sinCsinBsinA ≤++? . 例 7 已知 求证 1 ,,, =++∈ + cbacba R 6737373 333 ≤+++++ cba . 解 考虑函数 3 )( xxf = , 在)(xf ) , 0 ( ∞+ 内严格上凸. 由 Jensen 不等式 , 有 ≤ +++++ = +++++ 3 )73()73()73( 3 737373 333 cfbfafcba 28)8()7( 3 737373 3 ===+++= ? ? ? ? ? ? +++++ ≤ fcbaf cba f . ? 6737373 333 ≤+++++ cba . 例 8 已知 求证 .2 , 0 , 0 33 ≤+>> βαβα 2≤+βα . ( 留为作业 ) 解 函数 在 3 )( xxf = ) , 0 ( ∞+ 内严格下凸. 由 Jensen 不等式 , 有 = + ≤ ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? + = + 2 )()( 228 )( 3 3 βαβαβαβα ff f ?=≤ + ,1 2 2 2 33 βα 2 , 8)( 3 ≤+?≤+ βαβα . Ex [1]P215-216 59 § 5 不定式的极限 ( 2 时 ) 本节内容介绍较简，必须在课后参阅[4] P162—167. 一. 0 0 型: Th 1 ( L′Hospital 法则 ) ( 证 ) 应用技巧. 例 1 . cos cos1 lim 2 xxtg x x + →π 例 2 )1ln( )21( lim 2 2 1 0 x xe x x + +? → . 例 3 x x e x ? + → 1 lim 0 . ( 作代换 xt = 或利用等价无穷小代换直接计算. ) 例 4 x x x x sin 1 sin lim 2 0→ . ( L′Hospital 法则失效的例 ) 二． ∞ ∞ 型 : Th 2 ( L′Hospital 法则 ) ( 证略 ) 例 5 ) 0 ( , ln lim > +∞→ α α x x x . 例 6 3 lim x e x x +∞→ . 註 : 关于 当xxe x ln,, α +∞→x 时的阶. 例 7 x xx x sin lim + ∞→ . ( L′Hospital 法则失效的例 ) 三. 其他待定型: . （前四个是幂指型的.） ∞?∞∞∞? ∞ , ,0 ,1 ,0 00 例 8 例 9 .lnlim 0 xx x + → )(seclim 2 tgxx x ? → π . 例 10 . 例 11 x x x = →0 lim x x x ? ? ? ? ? ? + + → 1 1lim 0 . 例 12 () 2 1 0 coslim x x x → . 例 13 n n n ? ? ? ? ? ? + ∞→ 2 1 1lim . 例 14 设 ? ? ? ? ? = ≠ = .0 ,0 ,0 , )( )( x x x xg xf 且 .3)0( ,0)0()0( =′′=′= ggg 求 ).0(f ′ 解 2 00 )( lim 0 )( lim )0()( lim)0( x xg x x xg x fxf f xxx →→→ = ? = ? =′ 2 3 )0( 2 1)0()( lim 2 1 2 )( lim 00 0 0 =′′= ′?′ = ′ = →→ g x gxg x xg xx . Ex [1]P 231— 232 60