第二篇 单变量函数微积分学 第一部分单变量函数微分学 Ch 4 导数与微分 计划课时： 18 课时 P120—173 2004．11．13. Ch 4 导数与微分 §1 导数的概念 一、导数的背景与定义： 1．背景： 速度、曲线的切线. 2．导数的定义 : 定义的各种形式. )( 0 xf ′ )0(f ′ 的定义. 导数的记法. 有限增量公式 : .0 ),( )( 0 →ΔΔ+Δ′=Δ xxxxfy D 例 1． 求 ,)( 2 xxf = ). 1 (f ′ 例 2 设函数 在点 可导, 求极限 )(xf 0 x . )3()( lim 00 0 h hxfxf h ?? → 单侧导数 : 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点. 例 3 . )( xxf = 考查 在点 的可导情况. )(xf 0=x 二．导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例 4 求曲线 在点 处的切线与法线方程. 2 )( xxfy == ) 1 , 1 ( 三．可导与连续的关系: 四．导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法. . )()( lim)( 0 x xfxxf xf x Δ ?Δ+ =′ →Δ 注意: 等具体函数的导函数不能记为( xsin ,nsi x′ 应记为 .)(sin ′x Ex P125 2，3 ， 4， 5，6 ， 7； [4]P128—133 6，9 ，10 ，23，53— 57. （初等函数导数计算的算术化） § 2 简单函数的导数 一．几种基本初等函数的导数 : 常函数、三角函数、对数函数、幂函数的求导。 二．导数的四则运算法则 : 推导导数四则运算公式. ( 只证“ ×”和“ ÷”) 例 1 求 .395)( 23 +?+= xxxxf ).(xf ′ 例 2 求 ( .lncos xxy = .| π= ′ x y ). 1 π ? 例 3 . 1 2 2 x x y + ? = 求 . dx dy 例 4 证明 : ( 用商的求导公式证明 ). . ,) ( 1 +??? ∈?=′ Znnxx nn 例 5 证明 : .csc) ( ,sec) ( 22 xctgxxtgx ?=′=′ 例 6 证明 : .secsec xtgxx dx d = . 例 7 求曲线 1 2 1 2 ++= xxy 在点 处的切线方程. ) 1 , 2(? 三 . 反函数的导数: 推导公式并指出几何意义. 例 8 证明反三角函数的求导公式. ( 只证反正弦 ) 例 8 证明指数函数的求导公式. 初等函数导数表 Ex P141 四 . 复合函数求导法 —— 链导公式： 例 9 设 α 为实数，求幂函数 的导数. )0( ≥= xxy α 解 () . 1lnln ? =?=?= ′ =′ αααα α αα x x x x eey xx 例 10 ,1)( 2 += xxf 求 和 )0(f ′ ). 1 (f ′ 例 11 ),1ln( 2 ++= xxy 求 .y′ 例 12 , 1 2 x tgy = 求 .y′ 五． 参数方程所给函数求导公式： 设函数 )( ),( tytx ψ? == 可导且 ,0)( ?≠′ t? . )( )( t t dx dy ? ψ ′ ′ = 证 （ 法一 ） 用定义证明. （ 法二 ） 由 ,0)( ?≠′ t? 恒有 0)( >′ t? 或 .0)( <′ t? )( t?? 严格单调. ( 这些事 实的证明将在下一章给出. ) 因此, )(t? 有反函数, 设反函数为 ), 有 xt ( 1? =? 39 ( ),)()( 1 xty ? == ?ψψ 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有 . )( )( t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ? ψ ′ ′ ==?= 例 13 求.sin ,cos tbytax == . dx dy 六． 取对数求导法 : 例 14 . )4)(3( )2()1( 4 5 32 xx xx y ?+ ?? = 求 .y′ 例 15 求 ().sin ln x xy = .y′ 例 16 求 , x x ey = .y′ 七．抽象函数求导 : 例 17 求 和.)12( 32 xxf =+ )12( 2 +′ xf ). 5 (f ′ 例 18 可导, f ( ),)( 22 xx efexF ? = 求 )(xF′ . Ex P146、158 § 3 微分 一. 微分概念: 1. 微分问题的提出 : 从求 的近似值入手, 引出微分问题. D 31sin ( 几个数据: 0175 . 0 180 = π , ,8660.0 2 3 6 cos == π .5151.00151.05000.031sin =+≈ D ( 查表得 ) .515038.031sin = D 2． 微分的定义 : 3． 微分的计算和几何意义 : Th ( 可微与可导的关系 ). 例 1 求 ( )xd 3sin 2 和 .darctgx 二 . 微分运算法则: 法则 1—4 . 一阶微分形式不变性. 利用微分求导数. 微商. 例 2 求 和 ,cosln 22 xxxy += dy .y′ 例 3 求 和 , )sin( bax ey + = dy .y′ 40 三．微分的应用 : 1．建立近似公式 : 原理 : ,dyy ≈Δ 即 ).)(()()( 000 xxxfxfxf ?′+≈ 特别当 时, 有近似公式 0 0 =x .)0()0()( xffxf ′+≈ 具体的近似公式如: xex n xxx xn +≈+≈+≈ 1 , 1 11 ,sin 等. 2. 作近似计算 : 原理: .)()()( 00 . 0 xxfxfxxf Δ′+=Δ+ 例 4 求 97.0 和 3 127 的近似值. 例 5 求 的近似值. ( 参阅[1] P138 E4 ) D 29sin 3． 估计误差： 绝对误差估计： ,)( 0 xxfy Δ′≈Δ 相对误差估计： ),(lnln ),0( )( ?=>= xfyxfy .)(ln xfd y dy y y =≈ Δ 例 6 设已测得一根圆轴的直径为 ，并知在测量中绝对误差不超过 . 试求 以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差. cm43 cm2.0 4. 求速度 : 原理: .)( ,)( ),( dt dx xf dt dy dxxfdyxfy ′=′== 例 7 球半径 R 以 sec2.0 cm 的速度匀速增大. 求 cmR 4= 时, 球体积增大的 速度. Ex P151 § 4 高阶导数 一. 高阶导数: 定义 : . )()( lim)( 00 0 0 x xfxxf xf x Δ ′?Δ+′ =′′ →Δ () ( .)()( ,)()( )1()( ′ = ′ ′=′′ ? xfxfxfxf nn 注意区分符号 )( 0 xf ′′ 和 ().)( 0 ′ ′ xf 以函数 为例介绍高阶导数计算方法. 7523sin)( 232 ?++++= xxxexxf x 高阶导数的记法 . 二 . 几个特殊函数的高阶导数: 1． 多项式 : 多项式的高阶导数. 例 1 ()( ,1223)( 18 15 2 ??= xxxQ ) 求 和 . ) 0 ( )48( Q )235.0( )49( ?Q 41 2. 正弦和余弦函数 : 计算 、 、() )( sin n x () )( cos n x ( ) )( sin n kx 、 ( ) )( cos n kx 的公式. 3． 和 的高阶导数： x e kx e 4． x 1 的高阶导数： 5． ))(( 1 bxax ++ 的高阶导数： 6．分段函数在分段点的高阶导数：以函数 求 ? ? ? ? ? <? ≥ = .0 , ,0 , )( 2 2 xx xx xf )(xf ′′ 为例. 三 . 高阶导数的运算性质 : 设函数 和 均 阶可导. 则 )(xu )(xv n 1． () ).()( )( )( xkuxku n n = 2． () ).()()()( )()( )( xvxuxvxu nn n ±=± 3．乘积高阶导数的 Leibniz 公式： 约定 ).()( )0( xuxu = () （ 介绍证法. ） ∑ = ? = n k kknk n n xvxuCxvxu 0 )()( )( ).()()()( 例 2 求 ,cos xey x = . )5( y 解 ?====== .10 ,5 ,1 3 5 2 5 4 5 1 5 5 5 0 5 CCCCCC ).cos(sin4)sincos5sin10cos10sin5(cos )5( xxexxxxxxey xx ?=?++??= 例 3 求 ,sin 2 xxy = . )80( y 解 ;0)()( ,2)( ,2)( )(2222 ===′′′=′′=′ n xxxxx " .sin)(sin ,cos)(sin ,sin)(sin )78()79()80( xxxxxx ?=?== )sin(2 2 7980 )cos(280sin)sin( 2)80(2)80( xxxxxxxy ? ? +??+== .cos160sin)6320( 2 xxxx ??= 例 4 其中 二阶可导. 求 ),(arctgxfy = )(xf . 2 2 dx yd 例 5 验证函数 满足微分方程 xy arcsin= 42 ) 3 ( .0)12()1( )(2)1()2(2 ≥=?+?? ++ nynxynyx nnn 并依此求 ).0( )(n y 解 .11 , 1 1 2 2 =′? ? =′ yx x y 两端求导 ,0 1 1 2 2 = ? ′ ?′′?? x yx yx 即 .0)1( 2 =′?′′? yxyx 对此式两端求 阶导数, 利用 Leibniz 公式, 有 n =???+?+? +++ )(1)1()(2)1(1)2(2 )2()2()1( n n nn n n n n yCxyyCyxCyx .0)12()1( )(2)1()2(2 =?+??= ++ nnn ynxynyx 可见函数 满足所指方程. 在上式中令xy arcsin= ,0=x 得递推公式 ).(2)2( nn yny = + 注意到 和 , 就有 0)0( =′′y 1)0( =′y kn 2= 时 , ;0)0( )( = n y 12 += kn 时 , )0(13)32()12()0( 2222)( fkky n ′????= " [ ] .!)!12( 2 ?= k 四 . 参数方程所确定函数的高阶导数 : = ′ ′ ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ′ = ? ? ? ? ? ? = )( )( )( 2 2 t t t dt dx dx dy dt d dx yd ? ? ψ () . )( )()()()( 3 t tttt ? ?ψ?ψ ′ ′′′?′′′ 例 6 求 .sin ,cos tbytax == . 2 2 dx yd 解 .ctgt a b dx dy ?= . sin 322 2 ta b dx yd ?==" 五． 高阶微分： 高阶微分的定义： ()( ) =?′=′== dxxfddxxfddydyd )()()( 2 .)())(()( 22 dxxfdxxfdxdxxf ′′=′′=?′′= n阶微分定义为 阶微分的微分， 即 1?n ( ) .)( )(1 nnnn dxxfyddyd === ? " ( 注意区分符号 的意义. )( ),0( ,)( 2222 xdxddxdx == ) 例 7 求 .)( ,sin)( 2 xxuuufy ==== ? . 2 yd 43 以例 7 为例, 说明高阶微分不具有形式不变性: 在例 7 中, 倘若以 求二阶微分, 然后代入 , 就有 uy sin= 2 xu = ;sin4)2(sin)(sin)()(sin 22222222 dxxxxdxxduuduuyd ?=?=?=′′= 倘若先把 代入 , 再求二阶微分, 得到 2 xu = uy sin= .sin4cos2)sin4cos2(sin 222222222222 dxxxdxxdxxxxxdyd ?=?== 可见上述两种结果并不相等. 这说明二阶微分已经不具有形式不变性. 一般地 , 高 阶微 分不具有形式不变性. Ex P171 习 题 课 一 . 可导条件 : 例 1 设在点 的某邻域内有 0 0 =x . )( 2 xxf ≤ 证明 在点 )(xf 0 0 =x 可导. 例 2 设函数 在点 可导, )(xf 0 x .0)( ,0)( 00 ≠′= xfxf 则 在点 | )( | xf 0 x 不可导. 例 3 设函数 定义在区间 内 , )(xf ),( ba ).,( 0 bax ∈ 试证明 : 在点 可导的充 要条件是存在 内的函数 （仅依赖于 和 . 使 在点 连续且适 合条件 )(xf 0 x ),( ba )(xf ? f ) 0 x )(xf ? 0 x ).,( ),()()()( 00 baxxfxxxfxf ∈?=? ? 并有 ).()( 00 xfxf ′= ? 证 设 存在, 定义 )? )( 0 xf ′ ? ? ? ? ? =′ ≠ ? ? = ? . ),( , , )()( )( 00 0 0 0 xxxf xx xx xfxf xf 易验证函数 在点 连续 , 且 )(xf ? 0 x ),()()()( 00 xfxxxfxf ? ?=? ).()( 00 xfxf ′= ? 44 )? 设 又 在点 连续. 则有 ),()()()( 00 xfxxxfxf ? ?=? )(xf ? 0 x ).()(lim )()( lim)( 0 0 0 0 00 xfxf xx xfxf xf xxxx ?? →→ == ? ? =′ 即 存在且 )( 0 xf ′ ).()( 00 xfxf ? =′ 二 . 求导数或求切线: 例 4 求)2)(1()( ??= xxxxf ),25( ?x" )0(f ′ 和 ). 1 (f ′ 例 5 ,1)( 2 ?= xarctgxf 求 ) 5 1 ( . ) 25 () 5 ( lim 0 ? +? → h hff h 例 6 ? ? ? ? ? = ≠ = ? .0 ,0 ,0 , )( 2 1 x xe xf x 求 ).0( )(n f 解 .0limlim)0( 2 2 1 1 0 =======′ ∞→ = ? → t t x t x x e t x e f ? ? ? ? ? = ≠ =′∴ ? .0 ,0 ,0 , 2 )( 2 1 3 x xe x xf x 设 =)( )( xf n ? ? ? ? ? = ≠ ? .0 ,0 ,0 ,) 1 ( 2 1 x xe x P x 其中 ) 1 ( x P 为 x 1 的多项式. 注意到对任何正整 数 ,0lim , = +∞→ t m t e t m 则有 .0) 1 ( 1 lim) 0 ( 2 1 0 )1( == ? → + x x n e x P x f ∴ 对 有 ,n? .0) 0 ( )( = n f 例 7 抛物线方程为 求下列切线: .3 2 ?= xy ⑴ 过点 ( 该点在抛物线上 ) ( .) 1 , 2 ( .074 =?? yx ) ⑵ 过点 . ( 该点不在抛物线上 ) ( ) 0 , 2 ( 042 =?? yx 和 ) .0126 =?? yx 45 一．曲线的吻接 : 曲线的吻接及其解析表达. 参阅[4] P112. 例 8 设 ? ? ? ? ? ? ? ? ? >+ = <+ = .0 , ,0 , ,0 ,2 sin )( 2 xcbx xa x x x xf 确定 、 b和 的值，使函数 在点 可导. ) a c )(xf 0=x 1 ,2 ( === bca 四 . 奇、偶函数和周期函数的导函数： 例 9 可导奇函数的导函数是偶函数. ( 给出用定义证和用链导公式证两种证法) 例 10 设 是偶函数且在点 可导, 则 )(xf 0=x 0) 0 ( =′f . 证 = ? ?? ===== ? =′ ?+ → ?= → + t ftf x fxf f t xt x )0()( lim )0()( lim) 0 ( 00 ),0( )0()( lim 0 ? → ′?= ? ?= ? f t ftf t 即 ).0()0( ?+ ′?=′ ff 由 存在， )0(f ′ .0)0( ),0()0( ),0()0()0( =′?′?=′?′=′=′? ?+ ffffff 简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变. 五 . 关于可导性的一些结果 : 1. 若 是初等函数, 则 也是初等函数. 在初等函数 的定义域内, 导函 数 不存在的点是函数 的不可导点. 例如函数 )(xf )(xf ′ )(xf )(xf ′ )(xf 3 1 )( xxf = 的定义域是 R , 但 导函数 3 2 3 1 )( ? =′ xxf 在点 0=x 没有定义, 因此点 0=x 是函数 3 1 )( xxf = 的不可导 点. 参阅[4] P114. 2． 存在仅在一点可导的函数. 例如 ? ? ? = . ,0 , , )( 2 为有理数 为无理数 x xx xf 该函数仅在点 可导. 0=x 3． 存在处处连续但处处不可导的函数. 十九世纪后半叶, 德国数学家 Weierstrass 大约 在 1875 年首先给出了这样的一个函数, 其后直到现在给出更为简单的这类函数的 例的工作一直在进行着. 其中较简单的例可参阅 F. Riesz (匈牙利人) 著《泛函分 析》Vo l P3—5, 或 Mark Lynch , 《A continuous ， nowhere differentiable function 》， Amer . Math . Monthly, Vol 99, №1, 1992, P8— 9. 近年来, 对这一 问题给出了更一般的回答, 即在某种意义下( 在纲的意义下), 连续但不可导的函 数要比连续且可导的函数多得多. 可参阅丁传松著《实分析导论》（科学出版社， 1998.） P5— 8. 46